Ejercicios resueltos. 4 continua en R luego continua en cualquier. , [ 1,1] = 0 que equivale a decir 1,1

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1 Teoremas de continuidad y derivabilidad Ejercicios resueltos.- Demostrar que la siguiente ecuación tiene una solución en el intervalo, : 4 º. Se considera la función 4 continua en R luego continua en cualquier intervalo cerrado que se considere. º. Se busca el intervalo donde se cumplan las hipótesis del Tª Bolzano: 4 > 0 4 < 0 3º. Por tanto en el intervalo, se cumplen las hipótesis del Tª de Bolzano, luego:, tal que 0 que equivale a decir que la ecuación 4 tiene una solución en el intervalo,.- Demostrar que la ecuación 5 3 no puede tener más de dos raíces reales. º. Se considera la función continua y derivable en R luego continua y derivable en cualquier intervalo cerrado que se considere. º. Se buscan los intervalos donde se cumplan las hipótesis del Tª Bolzano: 0 3 > 0 < 0 > 0 3º. Por tanto en el intervalo [0,] y [,] se cumplen las hipótesis del Tª de Bolzano, luego: 0,, tal que tiene soluciones en R que equivale a decir que la ecuación 3.- Demuestra que la ecuación con R tiene a lo más una solución en [,]. Para que valor de existe dicha solución?. º. Se considera la función 3 + continua y derivable en R luego continua y derivable en cualquier intervalo cerrado que se considere. º. Se supone que hay más de solución: hay soluciones,, [,] 0 Luego en el intervalo [, ] se cumplen las hipótesis del Tª Rolle por lo que, [,] 0 que equivale a decir, Veamos que pasa con la función derivada: ±, en contradicción con, Por tanto a lo sumo existe una solución de la ecuación. 3º. Para que valor de existe dicha solución?. Se tiene que cumplir el Tª Bolzano en [,]: < 0, 3 + 7

2 Teoremas de continuidad y derivabilidad 4.- Demostrar que la siguiente ecuación tiene una solución en el intervalo, : 4 º. Se considera la función 4 continua en R luego continua en cualquier intervalo cerrado que se considere. º. Se busca el intervalo donde se cumplan las hipótesis del Tª Bolzano: 4 > 0 4 < 0 3º. Por tanto en el intervalo, se cumplen las hipótesis del Tª de Bolzano, luego:, tal que 0 que equivale a decir que la ecuación 4 tiene una solución en el intervalo, 5.- Demostrar que la ecuación 5 3 no puede tener más de dos raíces reales. º. Se considera la función continua y derivable en R luego continua y derivable en cualquier intervalo cerrado que se considere. º. Se buscan los intervalos donde se cumplan las hipótesis del Tª Bolzano: 0 3 > 0 < 0 > 0 3º. Por tanto en el intervalo [0,] y [,] se cumplen las hipótesis del Tª de Bolzano, luego: 0,, tal que tiene soluciones en R que equivale a decir que la ecuación 4º. Solo hay : Se supone que hay 3 soluciones:,, R < < 0 En los intervalos [, ] y [, ] se cumplen las hipótesis del Tª Rolle, luego:,, 0 pero que solo tiene una solución real en contradicción con la suposición, por tanto solo hay 6.- La función : [,] R definida por intervalo: toma el mismo valor en los extremos del Encontrar su derivada y comprobar que no se anula nunca. Contradice esto el teorema de Rolle? Si intentamos anular la derivada resulta: 0 0 absurdo! Esto no contradice el teorema de Rolle porque la segunda hipótesis no se verifica: la función no es derivable en todos los puntos del intervalo, en el punto 0 no existe la derivada como podemos ver calculándola a través del límite: 0 + h 0 h 0 h h 0 h 3 3 h 8

3 Teoremas de continuidad y derivabilidad 7.- Calcula para que la función 9 + cumpla las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo [0, ]. Dónde se cumple la tesis?. Por ser una función polinómica, es continua y derivable en todo R y se cumplen las dos primeras hipótesis. Tercera hipótesis: ±3 La única solución válida es 3 La tesis se cumple: ± 3 3 0,3 8.- Prueba que la función + < Cumple las hipótesis del Tª de Rolle. 5 4 Averigua dónde cumple la tesis. En cada uno de los intervalos es una función polinómica que es continua y derivable en R El único punto dudoso es estudiamos la continuidad y derivabilidad en dicho punto continua en 4 Se cumple la ª hipótesis: es continua en, 4 derivable en + < 5 4 < < < < 4? derivable en Se cumple la ª hipótesis: es continua en, 4 + se cumple la 3ª hipótesis Veamos dónde se verifica la tesis: < < < [,4 La tesis se verifica en 9

4 0 9.- Sea la función + > 0 Calcula "" y "" para que cumpla las hipótesis del Tª de Lagrange en [, ] Teoremas de continuidad y derivabilidad La función es continua y derivable R 0 R puesto que los trozos lo son luego para que se cumplan las hipótesis del Tª se tiene que cumplir la continuidad y derivabilidad en 0 continua en derivable en > 0 < 0 > 0 0 derivable en Prueba que la función < satisface las hipótesis del teorema del valor medio en el intervalo [0,] y calcula el o los valores vaticinados por el teorema. La función es continua en el intervalo [0,] continua en R (es polinómica) continua en < continua en porque continua en R continua en > < La función es derivable en el intervalo 0, >? derivable en R (es polinómica) derivable en < derivable en R derivable en > derivable en porque El valor o valores que vaticina el teorema del valor medio: < < < ± 0

5 .- Calcula aplicando la regla de L Hôpital:,,, Teoremas de continuidad y derivabilidad,,, ó ô lím x x x 0 ô 0 Las indeterminaciones 0. se transforman en o y se pueden resolver por L Hôpital [0 ó] 0 [ ] ô [ ó] 0 Se ha aplicado la fórmula: [ ] [ ] Otra forma de hacerlo es: ó ô Así: [. ô]. ô + Las indeterminaciones se transforman en o. ô y se pueden resolver por L Hôpital lim ó ô 0. ô ó ô ó ô ó ô ó ô ó ô

6 Teoremas de continuidad y derivabilidad Ejercicios propuestos.- Determina los extremos absolutos de la función :[ 0,8] R.- Sea : R R dada por f ( x) x x 3. f definida por A. Estudia si cumple las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo [,4] B. Estudia si cumple las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo [,3] C. Si cumple las hipótesis del teorema de Rolle en alguno de los intervalos de los apartados anteriores, determina el punto correspondiente cuya existencia se afirma en dicho teorema 3.- Demostrar que la ecuación + tiene exactamente dos soluciones en [, ] 4.-Demuestra que la siguiente función nunca tiene dos raíces en el intervalo cerrado [0,] : 3 + a) Si "n" es par entonces el polinomio p no puede tener más de dos raíces reales. b) Si "n" es impar entonces el polinomio p no puede tener más de tres raíces reales. 6.- Demuestra que la ecuación ln x x 3 tiene al menos una solución real a) Sea f :[,] R la función definida por f ( x) x 6x + x + 0 Determina todos los puntos de la gráfica de f en los que la recta tangente a la gráfica de f es paralela a la recta que pasa por los puntos A (, f ( ) ) y B(,f ( )). Cuál de ellos es el predicho? por el Tª de Lagrange en el intervalo [,] b) Considera :[ 0,π ] R f definida por f ( x) x + sen x. Comprueba si f cumple las hipótesis del Tª y, en caso afirmativo, encuentra dichos valores. 8.- Sea la función: < 0 Sol : a 0 Calcular " a " para que ésta función cumpla las hipótesis del Tª del valor medio de Lagrange en el intervalo, ( Sol : valor vaticinado, + ) Sea la función. 0 a) Para que valor de " " será continua en 0? b) Se puede aplicar el Tª de Lagrange en [,]? x 4x 0.- Se puede aplicar el teorema de Rolle a la función f ( x) en el intervalo [0, 4]? Razónalo x ax 3 si x < 4.- Calcula a y b para que f ( x) cumpla las hipótesis del teorema del x + 0x b si x 4 valor medio en el intervalo [, 6]. Dónde cumple la tesis? (Solución: a ; b 9; c 9 ) x + nx si x <.- Se considera la función f ( x) 3 x + m si x a. Determina y para que se cumplan las hipótesis del teorema del valor medio en [-4, ] b. Halla los puntos del intervalo cuya existencia garantiza el teorema. 3. a) 0 (Solución /6 ) b) (Solución: ) c) (Solución: )

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