EJERCICIOS RESUELTOS DE LOS TEOREMAS DEL VALOR MEDIO

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1 MATEMÁTICAS EJERCICIOS RESUELTOS DE LOS TEOREMAS DEL VALOR MEDIO Juan Jesús Pascual TEOREMAS DEL VALOR MEDIO. Es aplicable el teorema de Rolle a la función f( x) = x 5x 6 en [ 0, 5 ]? El teorema de Rolle dice que: Para una función f que es continua en [ a, b ], derivable en ( a,b ) y además cumple que f( a) = f( b), entonces tal que f () c = 0 Veamos si nuestra función cumple todas estas condiciones: - Estudiamos la continuidad en [ 0, 5 ]: Es inmediato que f es continua en todo R, ya que se trata de un polinomio. Así que f es continua en [ 0, 5 ] - Estudiamos la derivabilidad en ( 0,5 ) : Es inmediato que f es derivable en todo R, ya que se trata de un polinomio. Así que f es derivable en ( 0,5 ) - Estudiamos si se cumple f( a) = f( b) f( 0) = = 6 f( 0) f( 5) = f( 5) = = 6 Podemos entonces afirmar que se cumple el Teorema de Rolle. Hallemos el punto c, el cuál está dado por la condición f () c = 0. Tenemos que encontrar, entonces, los valores x que anulan la primera derivada de la función. La derivada de f( x) = x 5x 6 es f ( x) = x 5. 5 Así que f ( x) = 0 x 5= 0 x= /8

2 Teoremas del valor medio. Ejercicios resueltos. Es aplicable el teorema de Rolle a la función f( x) = x en [ 0, ]? El teorema de Rolle dice que: Para una función f que es continua en [ a, b ], derivable en ( a,b ) y además cumple que f( a) = f( b), entonces tal que f () c = 0 Lo primero que vamos a hacer es escribir la función dada como sigue, ya que se trata de una función de valor absoluto. ( x ) si x< f( x) = x si x Veamos si nuestra función cumple todas estas condiciones: - Continuidad en [ 0, ]: La continuidad de f sólo puede fallar en el punto. La función será continua en si los límites laterales son iguales y su valor coincide con el valor de f( ): lim f( x) = lim ( x ) = 0 x x lim f( x) = lim( x ) = 0 x x f( ) = = 0 Vemos que lim f( x) = lim f( x) = f( ) = 0, luego la función es continua en. x x - Derivabilidad en ( 0, ): La derivabilidad de f sólo puede fallar en el punto. Para probar que f = f : es derivable en hay que ver si se cumple que ( ) ( ) f( x) f( ) ( x) ( ) ( x) f = lim = lim = lim x x x x x x = /8

3 Teoremas del valor medio. Ejercicios resueltos f( x) f( ) ( x) ( ) x f = lim = lim = lim = x x x x x x ( ) ( ) f f No es derivable en. Conclusión: No se cumplen todos los requisitos del Teorema de Rolle. No existirá ningún c ( 0, ) que verifique f () c = 0. x ax si x. Halla a, b y c para que f( x) = bx c si x> Rolle en [,7] cumpla el Teorema de El teorema de Rolle dice que: Para una función f que es continua en [ a, b ], derivable en ( a,b ) y además cumple que f( a) = f( b), entonces tal que f () c = 0 Veamos si nuestra función cumple todas estas condiciones: - Continuidad en [,7] : La continuidad de f sólo puede fallar en el punto. La función será continua en si los límites laterales son iguales y su valor coincide con el valor de f( ): lim f x = lim x ax = 9 a ( ) x x lim f( x) = lim( bx c) = b c x x f( ) = 9 a Se tiene que cumplir entonces que: lim f( x) = lim f( x) = f( ), es decir: 9 a= b c - Derivabilidad en (,7) : x x /8

4 Teoremas del valor medio. Ejercicios resueltos La derivabilidad de f sólo puede fallar en el punto. Para probar que f = f : es derivable en hay que ver si se cumple que ( ) ( ) f( x) f( ) x ax9a f = lim = lim = x x x x x 9 a( x) x a( x) = lim = lim lim = x x x x x x ( x) ( x ) a( x) = lim x lim x x = 9 a x f( x) f( ) bx c ( b c) bxb f = lim = lim = lim = x x x x x x = lim x b( x) x = b Se tiene que cumplir entonces que a= b A modo de concreción, vamos a reunir todas las condiciones que se han de dar para la continuidad y derivabilidad, que no son más que las definidas por el siguiente sistema de ecuaciones: a= b 9 a = a c c = 9 9 a= b c Nos queda analizar una última condición: - La función debe tener el mismo valor en los extremos del intervalo: f( ) = f( 7). f( ) = ( ) a( ) = a a = 7b 9 f( 7) = 7b 9 Pero a= b, por lo que a= 7b 9 a= 7a 9 a= Conclusión final: /8

5 Teoremas del valor medio. Ejercicios resueltos a= b= ; c= 9, por lo que la siguiente función cumplirá el Teorema de Rolle: x si x f( x) = x 9 si x>. Verifica que se cumple el Teorema del valor medio para f( x) = x 7x 0 en el intervalo [, 5 ] Recordemos el Teorema del valor medio: Para una función f que es continua en [ a, b ], derivable en ( a,b ), entonces f( b) f( a) tal que f () c = ba La función, por tratarse de un polinomio, es continua y derivable en todo R, por lo que debe de existir, como mínimo, un c tal que f( b) f( a) f () c =. ba Vamos a buscar el valor de c: f( b) f( a) Sustituimos los datos del enunciado en la expresión f () c = : ba f( x) = x 7x 0 f ( x) = x7 f( 5) f( ) f( b) = f( 5) = = 5 f () c = 5 f( a) = f( ) = 7 0= 7 x 7= c= 5. Verifica que se cumple el Teorema del valor medio para f( x) = x x en el intervalo [ 0, ] y encuentra todos los números c que lo satisface. 5/8

6 Teoremas del valor medio. Ejercicios resueltos Recordemos el Teorema del valor medio: Para una función f que es continua en [ a, b ], derivable en ( a,b ), entonces f( b) f( a) tal que f () c = ba La función dada es un polinomio, por lo que será continua y derivable en todo R. Ello quiere decir que, como mínimo, habrá un c que cumpla f( b) f( a) f () c = ba Vamos a hallar esos valores c: f ( x) = x 9 f( 0) = x = x = x=± 0 f( ) = 9 De estas dos soluciones, sólo está en [ 0, ], por lo que c= 6. Sea la función f( x) = 5. Halla todos los valores pertenecientes al x intervalo (, ), que denotaremos por c, que cumplan lo siguiente: f( ) f() f () c = Recordemos el Teorema del valor medio: Para una función f que es continua en [ a, b ], derivable en ( a,b ), entonces f( b) f( a) tal que f () c = ba Para hallar c tenemos que encontrar el valor de f () c y eso se hace f( ) f() sustituyendo los valores de f( ) y f() en la expresión : 6/8

7 Teoremas del valor medio. Ejercicios resueltos f( ) = 5 = f( ) f() = = f() c = f() = 5 = Los valores c que hacen que se cumpla f () c = son: f ( x) = 0 x = = =± x x Pero en (, ) sólo está incluido el. Así que nuestra solución es: x= 7. Demuestra que f( x ) cumple todas los requisitos del teorema del valor medio en [,6 ]. Para qué puntos se cumple? x si x< f( x) = x 0x9 si x Recordemos el Teorema del valor medio: Para una función f que es continua en [ a, b ], derivable en ( a,b ), entonces f( b) f( a) tal que f () c = ba Estudiamos si la función cumple estas condiciones: - Continuidad en [,6 ]: La continuidad de f sólo puede fallar en el punto. La función será continua en si los límites laterales son iguales y su valor coincide con el valor de f( ): lim f( x) = lim( x ) = 5 x x lim f x = lim x 0x 9 = 5 ( ) x x f( ) = 5 7/8

8 Teoremas del valor medio. Ejercicios resueltos Se cumple lim f( x) = lim f( x) = f( ), por lo que f( x ) es continua en x= x x - Derivabilidad en (,6 ): La derivabilidad de f sólo puede fallar en el punto. Para probar que f = f : es derivable en hay que ver si se cumple que ( ) ( ) f( x) f( ) x( ) ( x) f = lim = lim = lim = x x x x x x ( ) ( ) x 0x9 ( 0 9) f x f f = lim = lim = x x x x ( x6)( x ) = lim x = x Se cumple f ( ) f ( ) =, luego la función es derivable en x= Lo anterior asegura que existe como mínimo un c (,6) tal que f( 6) f( ) f () c =. Veamos cual es ese valor. 6 Si el posible punto es menor que : f ( x) =, lo cual se queda fuera del intervalo (,6 ) Si el posible punto es mayor que : f( 6) f( ) 57 f ( x) = x 0= = = x= 6 8/8

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