Matrices Invertibles y Elementos de Álgebra Matricial

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Matrices Invertibles y Elementos de Álgebra Matricial"

Transcripción

1 Matrices Invertibles y Elementos de Álgebra Matricial Departamento de Matemáticas, CCIR/ITESM 12 de enero de 2011 Índice 91 Introducción 1 92 Transpuesta 1 93 Propiedades de la transpuesta 2 94 Matrices invertibles 2 95 Motivación del algoritmo de inversión 2 96 Algoritmo para invertir una matriz 3 97 Comentario 4 98 Propiedades de la inversa 4 99 Ecuaciones con matrices Complejidad computacional de la inversión 8 91 Introducción En esta lectura veremos la matriz transpuesta y la matriz inversa a una matriz dada En caso de que la matriz inversa a ella exista) Revisaremos las propiedades que tienen el tomar la inversa o la transpuesta de una matriz así como un método eficiente de inversión Terminaremos con la aplicación de estos conceptos a la solución de cierto tipo de ecuaciones matriciales 92 Transpuesta Definición 91 La matriz transpuesta de una matriz A n m es una matriz con dimensiones m n cuyo elemento i, j) es precisamente el elemento j, i) de la matriz A A esta matriz se le simboliza A T Una forma fácil de construir A T es tomar los renglones de A y convertirlos en columnas Ejemplo 91 Determine A T si A = Siguiendo la indicación de tomar los renglones de A como columnas para A T tenemos: 1 4 A T =

2 93 Propiedades de la transpuesta 1 La transpuesta de la transpuesta de una matriz A es otra vez A: A T ) T = A 2 La transpuesta de una suma es la suma de las transpuestas: A + B) T = A T + B T 3 c A) T = c A T 4 A B) T = B T A T La transpuesta de un producto es el producto de las transpuestas pero en orden contrario 94 Matrices invertibles Definición 92 Se dice que una matriz A cuadrada n n es una matriz invertible, o que es una matriz no singular, si existe una matriz B n n, que llamaremos la matriz inversa de A, que cumple: A B = I y B A = I 1) Una matriz invertible sólo tiene una inversa, es decir, la inversa es única La única inversa de una matriz invertible A se representa por A 1 Así A A 1 = I = A 1 A 2) Como se puede ver 0 C = 0, para cualquier matriz C de dimensiones adecuadas, esto significa que existen matrices cuadradas que no pueden ser invertibles La matrix cuadrada 0 es una de ellas) este tipo de matrices se llama matriz singular o matriz no invertible 95 Motivación del algoritmo de inversión Veamos un ejemplo que motivará el algoritmo para obtener la inversa de una matriz Ejemplo 92 Determine la inversa de 1 2 A = 3 5 Suponga que buscamos una matriz B, 2 2 tal que A B = I 2 2 : 1 2 b11 b = 3 5 b 21 b Así se debe cumplir: Para elemento 1,1) del producto: 1 b 11 2 b 21 = 1 Para elemento 2,1) del producto: 3 b 11 5 b 21 = 0 Para elemento 1,2) del producto: 1 b 12 2 b 22 = 0 Para elemento 2,2) del producto: 3 b 12 5 b 22 = 1 Esto conduce a dos sistemas de ecuaciones: uno en b 11 y b 21 y otro b 21 y b 22 con matrices aumentadas que al reducirse quedan:

3 y Y así b 11 = 5, b 21 = 3, b 21 = 2, y b 22 = 1 Quedando la inversa como A = B = 3 1 Observemos que Ambas matrices aumentadas tienen la misma matriz de coeficientes: exactamente A Teniendo la misma matriz de coeficientes, los sistemas deben reducirse con las mismas operaciones de renglón En cada sistema, la columna de las constantes es una columna de I Como las matrices aumentadas tienen las mismas matrices de coeficientes y las operaciones de renglón para la reducción son las mismas, entonces el proceso se puede llevar a cabo formando la matriz aumentada A I y reduciendo Después del proceso de reducción, la inversa queda exactamente acamodada en la posición donde entró I 96 Algoritmo para invertir una matriz Para determinar A 1, si existe, haga los siguiente: 1 Construya la matriz aumentada A I Aquí I representa la matriz identidad n n 2 Reduzca la matriz A I Digamos que se obtenga B C 3 Si la matriz B es la matriz identidad, entonces A sí es invertible y A 1 = C 4 Si la matriz B no es la identidad, entonces A no es invertible Ejemplo 93 Invierta las matrices: Para A 1 : A 1 I = A 1 = y A 2 = R 2 R 2 +2 R R 2 1 R R 1 R 1 3 R

4 Como en el resultado final B es la matriz identidad, A 1 es una matriz invertible y A = 2 1 Para A 2 : A 2 I = R 2 R 2 2 R R R /2 R 1 R 1 R / /2 = B C Como en el resultado final B no es la matriz identidad, A 2 no es una matriz invertible Observe con cuidado que en cálculo para A 2 que no hace falta concluir por completo hasta la forma reducida: en el momento que aparezca un renglón en ceros en la parte correspondiente a B la matriz ya no será invertible 97 Comentario Recuerde que para una matriz A n n la matriz inversa de ella se definió como una matriz B n n que cumple A B = I n = B A y en nuestra deducción del algoritmo sólo buscamos que se cumpla A B = I En los resultados teóricos de álgebra de matrices se tiene que Si A es una matriz cuadrada y existe una matriz cuadrada C tal que A C = I, entonces A es invertible Es decir, que es suficiente tener inversa lateral derecha para tener inversa por ambos lados Si A es una matriz cuadrada invertible y si B es una matriz cuadrada que cumple A B = I, entonces A 1 = B Es decir, que la inversa lateral derecha de una matriz cuadrada invertible coincide con la inversa de la matriz Estos resultados teóricos justifican que sólo busquemos la inversa derecha de una matriz para decir si la matriz es invertible y que la matriz encontrada es precisamente su inversa 98 Propiedades de la inversa 1 Si la matriz A, n n, puede invertirse, entonces el sistema A x = b tiene solución única para cada vector b Esta solución puede calcularse como x = A 1 b 2 Sean A y B dos matrices cuadradas n n invertibles cualquiera entonces AB es invertible y A B) 1 = B 1 A 1 3 La inversa de una matriz invertible también es una matriz invertible y A 1 ) 1 = A 4

5 4 Si c es una constante cualquiera, pero diferente de cero, entonces la matriz c A también es invertible y c A) 1 = 1 c A 1 5 Si k es un número entero postivo, entonces A k también es una matriz invertible y A k) 1 = A 1 ) k 6 La matriz A T también es invertible y A T ) 1 = A 1 ) T 99 Ecuaciones con matrices Ahora pondremos en práctica nuestra álgebra con matrices para resolver ecuaciones donde se involucran incógnitas que representan matrices Ejemplo 94 Resuelva para X c X + A = B Los pasos que se siguen son muy similares al álgebra básica sumamos en ambos miembros la matriz A: c X + A) A = B A Como la suma / resta de matrices es asociativa se pueden agrupar los sumando para dejar juntos A y A: c X = c X + 0 = c X + A A) = B A Siendo estos cálculos para suma y resta de matrices tan similares a los del álgebra básica usaremos la misma regla: Si en una igualdad entre expresiones con matrices aparece sumando o restando una matriz en un miembro la podemos pasar al otro miembro restando o sumando: Ahoara debemos despejar X de la expresión procedemos a multiplicar por el escalar 1/c: X = 1 X = Z + C = D Z = D C 3) c X = B A ) 1 c c X = 1 c cx) = 1 B A) c Siendo estos cálculos para la multiplicación o división con escalares tan similares a los del álgebra básica usaremos la misma regla: Si en una igualdad entre expresiones con matrices aparece multiplicando resp dividiendo) un escalar lo podemos pasar al otro miembro dividiendo resp multiplicando) 5

6 c Z = D Z = 1 c D 4) Por tanto, el valor de la incógnita X es X = 1 B A) c Ejemplo 95 Asumiendo que la matriz A sea invertible, despeje la matriz X de la ecuación: A X = B Este tipo de problemas presenta a los alumnos cierta dificultad en los primeros despejes de ecuaciones matriciales Se debe tener bien en claro que la matriz A a eliminar está a la izquierda de la incógnita está multiplicando a la izquierda y que por consiguiente debe de multiplicarse por la izquierda por la matriz inversa de A: X = I X = A 1 A ) X = A 1 A X) = A 1 B Es equivocado hacer cancelar A pretendiendo multiplicar por la derecha: X = AXA 1 = BA 1 Y representa un error aún más grave dividir entre A pretendiendo cancelar A: X = AX A = B A La regla válida para cancelar matrices cuando éstas poseen inversas que multiplican es la siguiente: A X = B X = A 1 B 5) X A = B X = B A 1 6) Ejemplo 96 Suponiendo que A y B son matrices invertibles, despeje X de: ABX = C Otro problema que los alumnos enfrentan en los primeros despejes aparece en este tipo de problemas Hay dos formas correctas de pensar el problema En la primera la ecuación original se debe pensar agrupada de la siguiente manera: A B) X = C En cuyo caso el despeje de X es directo por las reglas vistas: Otra manera correcta de plantear el problema es: X = A B) 1 C A B X) = C 6

7 De donde el despeje en dos pasos es haciendo primero: B X = A 1 C Para después obtener: X = B 1 A 1 C Note que ambos resultados sin idénticos en vista de la igualdad: A B) 1 = B 1 A 1 Ejemplo 97 Despeje x de la ecuación: X T = A En este caso se debe tener presente la propiedad X T ) T = X Por consiguiente, tomando la transpuesta en cada miembro: X = X T ) T = A T Ejemplo 98 Despeje x de la ecuación: X 1 = A En este caso se debe tener presente la propiedad X 1) 1 = X en cada miembro: X = X 1) 1 = A 1 Por consiguiente, tomando matriz inversa Ejemplo 99 Suponiendo que A es invertible y c 0, despeje X de: Procediendo como anteriormente: A c X + B) + C = D A c X + B) = D C c X + B = A 1 D C) c X = A 1 D C) B X = 1 c A 1 D C) B ) Ejemplo 910 Suponiendo matrices invertibles donde se requiera despeje X de: T A BX) 1 + C) + D = E Este tipo de despejes requiere ser riguroso en el orden: Pasando al segundo miembro D: T A BX) 1 + C) = E D 7

8 Multiplicando por A 1 por la derecha: Tomando la transpuesta en ambos miembros: Pasando al segundo miembro C: BX) 1 + C) T = A 1 E D) BX) 1 + C = A 1 E D) ) T BX) 1 = A 1 E D) ) T C Tomando inversa en ambos miembros: A BX = 1 E D) ) ) T 1 C Finalmente, eliminando la matriz B: X = B 1 A 1 E D) ) T C ) Complejidad computacional de la inversión Supongamos entonces que aplicamos el algoritmo de eliminación gaussiana para invertir una matriz n por n Consideraremos primero el trabajo realizado por los pasos 1 al 4 y posteriormente el trabajo realizado en el paso 5 Es importante notar que el proceso de Gauss avanza dejando la matriz escalonada hasta la columna de trabajo: a 1,1 a 1,2 a 1,m 1 a 1,m b 1,1 b 1,n 0 a 2,2 a 2,m 1 a 2,m 0 0 a m 1,m 1 a m 1,m a m,m b m,1 b m,n a n,m 1 Ciclo del paso 1 al 4 Al asumir que a m,m es diferente de cero, pasamos al paso 3 En el paso 3 hay que hacer cero debajo del elemento m, m), para cada uno de los m n renglones inferiores R i ; para ello habrá que calcular el factor f = a i,m /a m,m por el cual debe multiplicarse el renglón R m, lo cual implica realizar una división, y posteriormente realizar la operación: R i R i f R m En este caso, en el renglón i hay ceros hasta antes de la columna m, en el elemento i, m) quedará un 1 el factor f fue calculado para ello), así que los únicos elementos que deberán calcularse son los elementos del renglón i desde la columna m + 1) y hasta terminar, es decir, hasta la columna n + n, es decir, un total de 2 n m elementos, y para cada uno de ellos habrá que hacer a m+1,j a m+1,j f a m,j, es decir para cada uno de ellos habrá que hacer 2 FLOPs, siendo un total de 2 2 n m) elementos, el número total de FLOPs que habrá que realizar para hacer la operación R i R i f R m es, incluyendo la división para calcular f, 22 n m) + 1 = 4 n 2 m + 1 8

9 Como esto habrá que aplicarlo a todos los renglones por debajo del renglón m y hasta el n, entonces para realizar un ciclo desde el paso 1 hasta el paso 4 deben hacerse n m) 4 n 2m + 1) FLOPS El ciclo del paso 1 al paso 4 y su repetición irá avanzando m desde 1 hasta n 1 Por consiguiente el total de FLOPs será: n 1 n m) 4 n 2 m + 1) = 5 3 n3 3 2 n2 1 6 n m=1 2 Ciclo del paso 5 Las operaciones implicadas en el paso 5 serán R m 1 a m,m R m : n divisiones Para esto se requiere n divisiones; la del pivote entre si mismo ya sabemos que dará 1 y no se realizará, simplemente en la posición m, m) pondremos un 1 R j R j a j,m R m : n multiplcaciones y n restas Esta operación sólo requiere n multiplicaciones y n restas; estas operaciones sólo tienen que ver con los términos en la parte aumentada Los nuevos elementos a j,m serán cero Como hay m 1 renglones superiores, el total de operaciones en un ciclo del paso 5 será: Por consiguiente el total de FLOPs en el paso 5 será: m 1) 2 n) + n 1 2 n m 1) + n) = n 3 2 n 2 + n m=n Por consiguiente y en general: cuando se aplica en algoritmo de inversión de una matriz cuadrada n n anterior utilizando eliminación gaussiana para la reducción el número de máximo de FLOPs será: Ejemplo 911 Sea A una matriz cuadrada Será cierto que: 8 3 n3 7 2 n n 7) Si el sistema A x = 0 tiene infinitas soluciones, entonces A es invertible Que el sistema A x = 0 tenga infinitas soluciones indica que cuando se reduce A 0 queda una columna a la izquierda sin pivote Por tanto, cuando se reduzca A I quedará una columna a la izquierda sin pivote Por tanto, en la reducida no se podrá obtener I B Por tanto, la matriz A no tendrá inversa; será singular Por tanto, es falso que sea invertible La afirmación es falsa Ejemplo 912 Sea A una matriz cuadrada Será cierto que: Si para un vector b el sistema A x = b no tiene solución, entonces A es invertible Si para un vector b el sistema A x = b no tiene solución eso significará que cuando se reduce A b queda pivote en la columna de las constantes Por tanto, en la reducida de A quedará un renglón de ceros Por tanto, cuando se reduzca A I a la izquierda quedará un renglón de ceros Por tanto, en la reducida no podremos obtener I B Así A no tiene inversa Es falso que A es invertible Ejemplo 913 Sea A una matriz cuadrada Será cierto que: 9

10 Si la matriz A no es invertible, entonces A x = 0 tiene infinitas soluciones Si suponemos que la matriz A no es invertible, entonces cuando se reduce A I no queda la identidad en el lado izquierdo Por consiguiente, debe quedar un renglón sin pivote a la izquierda Por tanto, cuando se reduce A 0 debe quedar a la izquierda un renglón de ceros Por tanto y debido a que la matriz es cuadrada debe queda una columna sin pivote a la izquierda en tal reducida Como a la derecha no quedan pivotes pues a la derecha entró el vector de ceros, concluimos que tal sistema es consistente y que en su reducida queda una columna sin pivote Por tanto, A 0 tendrá infinitas soluciones La afirmación es cierta Ejemplo 914 Sea A una matriz cuadrada Será cierto que: Si la matriz A A no es invertible, entonces A x = 0 tiene solución única Si A A no es invertible, tampoco lo es A pues en caso contrario A A sería invertible, que no es el caso) Por tanto, en el lado izquierdo de la reducida de A I no puede quedar la matriz identidad Por tanto, a la izquierda de la reducida de A 0 no queda la identidad Por tanto, debe quedar un renglón sin pivote y por consiguiente siendo cuadrada A) debe quedar una columna sin pivote Por tanto A 0 debe tener infinitas soluciones Así, es falso que A 0 tiene solución única 10

Matrices equivalentes. El método de Gauss

Matrices equivalentes. El método de Gauss Matrices equivalentes. El método de Gauss Dada una matriz A cualquiera decimos que B es equivalente a A si podemos transformar A en B mediante una combinación de las siguientes operaciones: Multiplicar

Más detalles

Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas

Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Departamento de Matemáticas, CCIR/ITESM 8 de septiembre de 010 Índice 111 Introducción 1 11 Matriz 1 113 Igualdad entre matrices 11 Matrices especiales 3 115 Suma

Más detalles

Definición 1.1.1. Dados dos números naturales m y n, una matriz de orden o dimensión m n es una tabla numérica rectangular con m filas y n columnas.

Definición 1.1.1. Dados dos números naturales m y n, una matriz de orden o dimensión m n es una tabla numérica rectangular con m filas y n columnas. Tema 1 Matrices Estructura del tema. Conceptos básicos y ejemplos Operaciones básicas con matrices Método de Gauss Rango de una matriz Concepto de matriz regular y propiedades Determinante asociado a una

Más detalles

Espacios generados, dependencia lineal y bases

Espacios generados, dependencia lineal y bases Espacios generados dependencia lineal y bases Departamento de Matemáticas CCIR/ITESM 14 de enero de 2011 Índice 14.1. Introducción............................................... 1 14.2. Espacio Generado............................................

Más detalles

Subespacios vectoriales en R n

Subespacios vectoriales en R n Subespacios vectoriales en R n Víctor Domínguez Octubre 2011 1. Introducción Con estas notas resumimos los conceptos fundamentales del tema 3 que, en pocas palabras, se puede resumir en técnicas de manejo

Más detalles

Sistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices

Sistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices Sistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices Oscar G Ibarra-Manzano, DSc Departamento de Area Básica - Tronco Común DES de Ingenierías Facultad de Ingeniería, Mecánica, Eléctrica y Electrónica Trimestre

Más detalles

1. INVERSA DE UNA MATRIZ REGULAR

1. INVERSA DE UNA MATRIZ REGULAR . INVERSA DE UNA MATRIZ REGULAR Calcular la inversa de una matriz regular es un trabajo bastante tedioso. A través de ejemplos se expondrán diferentes técnicas para calcular la matriz inversa de una matriz

Más detalles

Matrices. Definiciones básicas de matrices. www.math.com.mx. José de Jesús Angel Angel. jjaa@math.com.mx

Matrices. Definiciones básicas de matrices. www.math.com.mx. José de Jesús Angel Angel. jjaa@math.com.mx Matrices Definiciones básicas de matrices wwwmathcommx José de Jesús Angel Angel jjaa@mathcommx MathCon c 2007-2008 Contenido 1 Matrices 2 11 Matrices cuadradas 3 12 Matriz transpuesta 4 13 Matriz identidad

Más detalles

Sistemas de ecuaciones lineales

Sistemas de ecuaciones lineales Sistemas de ecuaciones lineales Índice general 1. Sistemas de ecuaciones lineales 2 2. Método de sustitución 5 3. Método de igualación 9 4. Método de eliminación 13 5. Conclusión 16 1 Sistemas de ecuaciones

Más detalles

Algebra Matricial y Optimización Segundo Examen Parcial Maestro Eduardo Uresti, Semestre Enero-Mayo 2012

Algebra Matricial y Optimización Segundo Examen Parcial Maestro Eduardo Uresti, Semestre Enero-Mayo 2012 Grupo: Matrícula: Nombre: Algebra Matricial y Optimización Segundo Examen Parcial Maestro Eduardo Uresti, Semestre Enero-Mayo 22. (pts) Sea A una matriz cuadrada. Indique validez a cada una de las siguientes

Más detalles

Lección 9: Polinomios

Lección 9: Polinomios LECCIÓN 9 c) (8 + ) j) [ 9.56 ( 9.56)] 8 q) (a x b) d) ( 5) 4 k) (6z) r) [k 0 (k 5 k )] e) (. 0.) l) (y z) s) (v u ) 4 f) ( 5) + ( 4) m) (c d) 7 t) (p + q) g) (0 x 0.) n) (g 7 g ) Lección 9: Polinomios

Más detalles

Tema 1: Fundamentos de lógica, teoría de conjuntos y estructuras algebraicas: Apéndice

Tema 1: Fundamentos de lógica, teoría de conjuntos y estructuras algebraicas: Apéndice Tema 1: Fundamentos de lógica, teoría de conjuntos y estructuras algebraicas: Apéndice 1 Polinomios Dedicaremos este apartado al repaso de los polinomios. Se define R[x] ={a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +... +

Más detalles

E 1 E 2 E 2 E 3 E 4 E 5 2E 4

E 1 E 2 E 2 E 3 E 4 E 5 2E 4 Problemas resueltos de Espacios Vectoriales: 1- Para cada uno de los conjuntos de vectores que se dan a continuación estudia si son linealmente independientes, sistema generador o base: a) (2, 1, 1, 1),

Más detalles

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA UNIDAD CULHUACÁN INTEGRANTES

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA UNIDAD CULHUACÁN INTEGRANTES INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA UNIDAD CULHUACÁN INTEGRANTES CÁRDENAS ESPINOSA CÉSAR OCTAVIO racsec_05@hotmail.com Boleta: 2009350122 CASTILLO GUTIÉRREZ

Más detalles

Qué son los monomios?

Qué son los monomios? Qué son los monomios? Recordemos qué es una expresión algebraica. Definición Una expresión algebraica es aquella en la que se utilizan letras, números y signos de operaciones. Si se observan las siguientes

Más detalles

Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas

Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas Si decimos: "las edades de mis padres suman 120 años", podemos expresar esta frase algebraicamente de la siguiente forma: Entonces, Denominamos x a la edad

Más detalles

Módulo 9 Sistema matemático y operaciones binarias

Módulo 9 Sistema matemático y operaciones binarias Módulo 9 Sistema matemático y operaciones binarias OBJETIVO: Identificar los conjuntos de números naturales, enteros, racionales e irracionales; resolver una operación binaria, representar un número racional

Más detalles

NÚMEROS NATURALES Y NÚMEROS ENTEROS

NÚMEROS NATURALES Y NÚMEROS ENTEROS NÚMEROS NATURALES Y NÚMEROS ENTEROS Los números naturales surgen como respuesta a la necesidad de nuestros antepasados de contar los elementos de un conjunto (por ejemplo los animales de un rebaño) y de

Más detalles

EXPRESIONES ALGEBRAICAS. POLINOMIOS

EXPRESIONES ALGEBRAICAS. POLINOMIOS EXPRESIONES ALGEBRAICAS. POLINOMIOS 1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS. Estas expresiones del área son expresiones algebraicas, ya que además de números aparecen letras. Son también expresiones algebraicas: bac,

Más detalles

Lección 1-Introducción a los Polinomios y Suma y Resta de Polinomios. Dra. Noemí L. Ruiz Limardo 2009

Lección 1-Introducción a los Polinomios y Suma y Resta de Polinomios. Dra. Noemí L. Ruiz Limardo 2009 Lección 1-Introducción a los Polinomios y Suma y Resta de Polinomios Dra. Noemí L. Ruiz Limardo 2009 Objetivos de la Lección Al finalizar esta lección los estudiantes: Identificarán, de una lista de expresiones

Más detalles

Métodos Iterativos para Resolver Sistemas Lineales

Métodos Iterativos para Resolver Sistemas Lineales Métodos Iterativos para Resolver Sistemas Lineales Departamento de Matemáticas, CCIR/ITESM 17 de julio de 2009 Índice 3.1. Introducción............................................... 1 3.2. Objetivos................................................

Más detalles

Ahora podemos comparar fácilmente las cantidades de cada tamaño que se vende. Estos valores de la matriz se denominan elementos.

Ahora podemos comparar fácilmente las cantidades de cada tamaño que se vende. Estos valores de la matriz se denominan elementos. Materia: Matemática de 5to Tema: Definición y Operaciones con Matrices 1) Definición Marco Teórico Una matriz consta de datos que se organizan en filas y columnas para formar un rectángulo. Por ejemplo,

Más detalles

Matrices Invertibles y Elementos de Álgebra Matricial

Matrices Invertibles y Elementos de Álgebra Matricial Matrices Invertibles y Elementos de Álgebra Matricial Departamento de Matemáticas, CSI/ITESM 20 de agosto de 2008 Índice 121 Introducción 1 122 Transpuesta 1 123 Propiedades de la transpuesta 2 124 Matrices

Más detalles

Objetivos: Al inalizar la unidad, el alumno:

Objetivos: Al inalizar la unidad, el alumno: Unidad 7 transformaciones lineales Objetivos: Al inalizar la unidad, el alumno: Comprenderá los conceptos de dominio e imagen de una transformación. Distinguirá cuándo una transformación es lineal. Encontrará

Más detalles

ÁLGEBRA DE MATRICES. Al consejero A no le gusta ninguno de sus colegas como presidente.

ÁLGEBRA DE MATRICES. Al consejero A no le gusta ninguno de sus colegas como presidente. ÁLGEBRA DE MATRICES Página 49 REFLEXIONA Y RESUELVE Elección de presidente Ayudándote de la tabla, estudia detalladamente los resultados de la votación, analiza algunas características de los participantes

Más detalles

4º ESO 1. ECUAC. 2º GRADO Y UNA INCÓGNITA

4º ESO 1. ECUAC. 2º GRADO Y UNA INCÓGNITA 4º ESO 1. ECUAC. 2º GRADO Y UNA INCÓGNITA Una ecuación con una incógnita es de segundo grado si el exponente de la incógnita es dos. Ecuaciones de segundo grado con una incógnita son: Esta última ecuación

Más detalles

SUMA Y RESTA DE FRACCIONES

SUMA Y RESTA DE FRACCIONES SUMA Y RESTA DE FRACCIONES CONCEPTOS IMPORTANTES FRACCIÓN: Es la simbología que se utiliza para indicar que un todo será dividido en varias partes (se fraccionará). Toda fracción tiene dos partes básicas:

Más detalles

Una desigualdad se obtiene al escribir dos expresiones numéricas o algebraicas relacionadas con alguno de los símbolos

Una desigualdad se obtiene al escribir dos expresiones numéricas o algebraicas relacionadas con alguno de los símbolos MATEMÁTICAS BÁSICAS DESIGUALDADES DESIGUALDADES DE PRIMER GRADO EN UNA VARIABLE La epresión a b significa que "a" no es igual a "b ". Según los valores particulares de a de b, puede tenerse a > b, que

Más detalles

UNIDAD I NÚMEROS REALES

UNIDAD I NÚMEROS REALES UNIDAD I NÚMEROS REALES Los números que se utilizan en el álgebra son los números reales. Hay un número real en cada punto de la recta numérica. Los números reales se dividen en números racionales y números

Más detalles

Profr. Efraín Soto Apolinar. Factorización

Profr. Efraín Soto Apolinar. Factorización Factorización La factorización es la otra parte de la historia de los productos notables. Esto es, ambas cosas se refieren a las mismas fórmulas, pero en los productos notables se nos daba una operación

Más detalles

Capitán de fragata ingeniero AGUSTÍN E. GONZÁLEZ MORALES. ÁLGEBRA PARA INGENIEROS (Solucionario)

Capitán de fragata ingeniero AGUSTÍN E. GONZÁLEZ MORALES. ÁLGEBRA PARA INGENIEROS (Solucionario) Capitán de fragata ingeniero AGUSTÍN E. GONZÁLEZ MORALES ÁLGEBRA PARA INGENIEROS (Solucionario) 2 Í N D I C E CAPÍTULO : MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CAPÍTULO 2: ESPACIOS VECTORIALES

Más detalles

OBJETIVOS CONTENIDOS PROCEDIMIENTOS

OBJETIVOS CONTENIDOS PROCEDIMIENTOS 82652 _ 0275-0286.qxd 27/4/07 1:20 Página 275 Polinomios INTRODUCCIÓN Son múltiples los contextos en los que aparecen los polinomios: fórmulas económicas, químicas, físicas, de ahí la importancia de comprender

Más detalles

Lección 24: Lenguaje algebraico y sustituciones

Lección 24: Lenguaje algebraico y sustituciones LECCIÓN Lección : Lenguaje algebraico y sustituciones En lecciones anteriores usted ya trabajó con ecuaciones. Las ecuaciones expresan una igualdad entre ciertas relaciones numéricas en las que se desconoce

Más detalles

Los números racionales

Los números racionales Los números racionales Los números racionales Los números fraccionarios o fracciones permiten representar aquellas situaciones en las que se obtiene o se debe una parte de un objeto. Todas las fracciones

Más detalles

Operaciones con polinomios

Operaciones con polinomios Operaciones con polinomios Los polinomios son una generalización de nuestro sistema de numeración. Cuando escribimos un número, por ejemplo, 2 354, queremos decir: 2 354 = 2 000 + 300 + 50 + 4 = 2)1 000)

Más detalles

INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA página 37

INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA página 37 INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA página 37 página 38 SUMA DE FRACCIONES CONCEPTO Las cuatro operaciones fundamentales, suma, resta, multiplicación y división, con fracciones algebraicas se realizan bajo

Más detalles

Vectores en R n y producto punto

Vectores en R n y producto punto Vectores en R n y producto punto Departamento de Matemáticas, CCIR/ITESM 10 de enero de 011 Índice 4.1. Introducción............................................... 1 4.. Vector..................................................

Más detalles

Al consejero A no le gusta ninguno de sus colegas como presidente. Dos consejeros (C y E) están de acuerdo en los mismos candidatos (B, C y D).

Al consejero A no le gusta ninguno de sus colegas como presidente. Dos consejeros (C y E) están de acuerdo en los mismos candidatos (B, C y D). ÁLGEBRA DE MATRICE Página 48 Ayudándote de la tabla... De la tabla podemos deducir muchas cosas: Al consejero A no le gusta ninguno de sus colegas como presidente. B solo tiene un candidato el C. Dos consejeros

Más detalles

Polinomios y Fracciones Algebraicas

Polinomios y Fracciones Algebraicas Tema 4 Polinomios y Fracciones Algebraicas En general, a lo largo de este tema trabajaremos con el conjunto de los números reales y, en casos concretos nos referiremos al conjunto de los números complejos.

Más detalles

Polinomios y fracciones algebraicas

Polinomios y fracciones algebraicas 829566 _ 0249-008.qxd 27/6/08 09:21 Página 27 Polinomios y fracciones algebraicas INTRODUCCIÓN Son múltiples los contextos en los que aparecen los polinomios: fórmulas económicas, químicas, físicas, de

Más detalles

UNIDAD 6. POLINOMIOS CON COEFICIENTES ENTEROS

UNIDAD 6. POLINOMIOS CON COEFICIENTES ENTEROS UNIDAD 6. POLINOMIOS CON COEFICIENTES ENTEROS Unidad 6: Polinomios con coeficientes enteros. Al final deberás haber aprendido... Expresar algebraicamente enunciados sencillos. Extraer enunciados razonables

Más detalles

Programa para el Mejoramiento de la Enseñanza de la Matemática en ANEP Proyecto: Análisis, Reflexión y Producción. Fracciones

Programa para el Mejoramiento de la Enseñanza de la Matemática en ANEP Proyecto: Análisis, Reflexión y Producción. Fracciones Fracciones. Las fracciones y los números Racionales Las fracciones se utilizan cotidianamente en contextos relacionados con la medida, el reparto o como forma de relacionar dos cantidades. Tenemos entonces

Más detalles

1.4.- D E S I G U A L D A D E S

1.4.- D E S I G U A L D A D E S 1.4.- D E S I G U A L D A D E S OBJETIVO: Que el alumno conozca y maneje las reglas empleadas en la resolución de desigualdades y las use para determinar el conjunto solución de una desigualdad dada y

Más detalles

Tema 2. Espacios Vectoriales. 2.1. Introducción

Tema 2. Espacios Vectoriales. 2.1. Introducción Tema 2 Espacios Vectoriales 2.1. Introducción Estamos habituados en diferentes cursos a trabajar con el concepto de vector. Concretamente sabemos que un vector es un segmento orientado caracterizado por

Más detalles

BASES Y DIMENSIÓN. Propiedades de las bases. Ejemplos de bases.

BASES Y DIMENSIÓN. Propiedades de las bases. Ejemplos de bases. BASES Y DIMENSIÓN Definición: Base. Se llama base de un espacio (o subespacio) vectorial a un sistema generador de dicho espacio o subespacio, que sea a la vez linealmente independiente. β Propiedades

Más detalles

EL GRADO Y LOS ELEMENTOS QUE FORMAN UN POLINOMIO

EL GRADO Y LOS ELEMENTOS QUE FORMAN UN POLINOMIO RECONOCER OBJETIVO EL GRADO Y LOS ELEMENTOS QUE ORMAN UN POLINOMIO NOMBRE: CURSO: ECHA: Un polinomio es una expresión algebraica formada por la suma algebraica de monomios, que son los términos del polinomio.

Más detalles

Lección 4: Suma y resta de números racionales

Lección 4: Suma y resta de números racionales GUÍA DE MATEMÁTICAS II Lección : Suma y resta de números racionales En esta lección recordaremos cómo sumar y restar números racionales. Como los racionales pueden estar representados como fracción o decimal,

Más detalles

TEMA 2 POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS

TEMA 2 POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS Matemáticas B 4º E.S.O. Tema : Polinomios y fracciones algebraicas. 1 TEMA POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS.1 COCIENTE DE POLINOMIOS 4º.1.1 COCIENTE DE MONOMIOS 4º El cociente de un monomio entre otro

Más detalles

Llamamos potencia a todo producto de factores iguales. Por ejemplo: 3 4 = 3 3 3 3

Llamamos potencia a todo producto de factores iguales. Por ejemplo: 3 4 = 3 3 3 3 1. NÚMEROS NATURALES POTENCIAS DE UN NÚMERO NATURAL Llamamos potencia a todo producto de factores iguales. Por ejemplo: 3 4 = 3 3 3 3 El factor que se repite es la base, y el número de veces que se repite

Más detalles

Geometría Tridimensional

Geometría Tridimensional Capítulo 4 Geometría Tridimensional En dos dimensiones trabajamos en el plano mientras que en tres dimensiones trabajaremos en el espacio, también provisto de un sistema de coordenadas. En el espacio,

Más detalles

Divisibilidad y números primos

Divisibilidad y números primos Divisibilidad y números primos Divisibilidad En muchos problemas es necesario saber si el reparto de varios elementos en diferentes grupos se puede hacer equitativamente, es decir, si el número de elementos

Más detalles

INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA página 9

INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA página 9 INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA página 9 página 10 FACTORIZACIÓN CONCEPTO Para entender el concepto teórico de este tema, es necesario recordar lo que se mencionó en la página referente al nombre que

Más detalles

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Capítulo 7 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 7.1. Introducción Se denomina ecuación lineal a aquella que tiene la forma de un polinomio de primer grado, es decir, las incógnitas no están elevadas a potencias,

Más detalles

Polinomios y fracciones algebraicas

Polinomios y fracciones algebraicas UNIDAD Polinomios y fracciones algebraicas U n polinomio es una expresión algebraica en la que las letras y los números están sometidos a las operaciones de sumar, restar y multiplicar. Los polinomios,

Más detalles

Listas de vectores y conjuntos de vectores

Listas de vectores y conjuntos de vectores Listas de vectores y conjuntos de vectores La explicación de los temas Dependencia lineal y Bases en el curso de Álgebra Lineal se puede basar en uno de los siguientes dos conceptos (o en ambos): ) listas

Más detalles

QUÉ ES UN NÚMERO DECIMAL?

QUÉ ES UN NÚMERO DECIMAL? QUÉ ES UN NÚMERO DECIMAL? Un número decimal representa un número que no es entero, es decir, los números decimales se utilizan para representar a los números que se encuentran entre un número entero y

Más detalles

Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos

Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 13 13 V a l o r n u m é r i c o Valor numérico de expresiones compuestas P r o c e d i m i e n t o 1. Se reemplaza cada letra por su valor numérico 2. Se efectúan las operaciones indicadas Hallar

Más detalles

Coeficientes 43 X = 43 X partes literales - 7 a 3 = - 7 a 3

Coeficientes 43 X = 43 X partes literales - 7 a 3 = - 7 a 3 APUNTES Y EJERCICIOS DEL TEMA 3 1-T 3--2ºESO EXPRESIONES ALGEBRAICAS: Son combinaciones de n os y letras unidos con operaciones matemáticas (aritméticas), que generalmente suelen ser sumas, restas, multiplicaciones

Más detalles

Polinomios: Definición: Se llama polinomio en "x" de grado "n" a una expresión del tipo

Polinomios: Definición: Se llama polinomio en x de grado n a una expresión del tipo Polinomios: Definición: Se llama polinomio en "x" de grado "n" a una expresión del tipo P (x) = a 0 x n + a 1 x n 1 +... + a n Donde n N (número natural) ; a 0, a 1, a 2,..., a n son coeficientes reales

Más detalles

Nota 1. Los determinantes de orden superior a 3 se calculan aplicando las siguientes propiedades:

Nota 1. Los determinantes de orden superior a 3 se calculan aplicando las siguientes propiedades: Capítulo 1 DETERMINANTES Definición 1 (Matriz traspuesta) Llamaremos matriz traspuesta de A = (a ij ) a la matriz A t = (a ji ); es decir la matriz que consiste en poner las filas de A como columnas Definición

Más detalles

Matemáticas para la Computación

Matemáticas para la Computación Matemáticas para la Computación José Alfredo Jiménez Murillo 2da Edición Inicio Índice Capítulo 1. Sistemas numéricos. Capítulo 2. Métodos de conteo. Capítulo 3. Conjuntos. Capítulo 4. Lógica Matemática.

Más detalles

Tema 07. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES

Tema 07. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES Tema 07 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES Límite de una función en un punto Vamos a estudiar el comportamiento de las funciones f ( ) g ( ) ENT[ ] h ( ) i ( ) en el punto Para ello, damos a valores próimos

Más detalles

LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES

LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES Capítulo 9 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES 9.. Introducción El concepto de ite en Matemáticas tiene el sentido de lugar hacia el que se dirige una función en un determinado punto o en el infinito. Veamos

Más detalles

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES INTRODUCCIÓN En el presente documento se explican detalladamente dos importantes temas: 1. Descomposición LU. 2. Método de Gauss-Seidel. Se trata de dos importantes herramientas

Más detalles

REPASO NÚMEROS NATURALES Y NÚMEROS ENTEROS

REPASO NÚMEROS NATURALES Y NÚMEROS ENTEROS SUMA REPASO NÚMEROS NATURALES Y NÚMEROS ENTEROS NÚMEROS NATURALES (N) 1. Características: Axiomas de Giuseppe Peano (*): El 1 es un número natural. Si n es un número natural, entonces el sucesor (el siguiente

Más detalles

Matrices invertibles. La inversa de una matriz

Matrices invertibles. La inversa de una matriz Matrices invertibles. La inversa de una matriz Objetivos. Estudiar la definición y las propiedades básicas de la matriz inversa. Más adelante en este curso vamos a estudiar criterios de invertibilidad

Más detalles

PROPORCIONALIDAD - teoría

PROPORCIONALIDAD - teoría PROPORCIONALIDAD RAZÓN: razón de dos números es el cociente indicado de ambos. Es decir, la razón de los dos números a y b es a:b, o lo que es lo mismo, la fracción b a. PROPORCIÓN: es la igualdad de dos

Más detalles

Repaso de matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales

Repaso de matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales Tema 1 Repaso de matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales Comenzamos este primer tema con un problema de motivación. Problema: El aire puro está compuesto esencialmente por un 78 por ciento

Más detalles

Problemas fáciles y problemas difíciles. Cuando a los niños les planteamos problemas de suma y resta, Laura dejó sin resolver el siguiente problema:

Problemas fáciles y problemas difíciles. Cuando a los niños les planteamos problemas de suma y resta, Laura dejó sin resolver el siguiente problema: Problemas fáciles y problemas difíciles Alicia Avila Profesora investigadora de la Universidad Pedagógica Nacional Cuando a los niños les planteamos problemas de suma y resta, Laura dejó sin resolver el

Más detalles

Cálculo Simbólico también es posible con GeoGebra

Cálculo Simbólico también es posible con GeoGebra www.fisem.org/web/union ISSN: 1815-0640 Número 34. Junio de 2013 páginas 151-167 Coordinado por Agustín Carrillo de Albornoz Cálculo Simbólico también es posible con GeoGebra Antes de exponer las posibilidades

Más detalles

DESIGUALDADES página 1

DESIGUALDADES página 1 DESIGUALDADES página 1 1.1 CONCEPTOS Y DEFINICIONES Una igualdad en Álgebra es aquella relación que establece equivalencia entre dos entes matemáticos. Es una afirmación, a través del signo =, de que dos

Más detalles

MATEMÀTIQUES 4ESO 14/15 NOM I COGNOMS. AUTOEVALUACIÓN INECUACIONES Y P.L tutor: SEK-CATALUNYA SISTEMA EDUCATIU SEK.

MATEMÀTIQUES 4ESO 14/15 NOM I COGNOMS. AUTOEVALUACIÓN INECUACIONES Y P.L tutor: SEK-CATALUNYA SISTEMA EDUCATIU SEK. MATEMÀTIQUES 4ESO 14/1 NOM I COGNOMS SEK-CATALUNYA COL LEGI INTERNACIONAL SISTEMA EDUCATIU SEK Aula INTEL LIGENT AUTOEVALUACIÓN INECUACIONES Y PROGRAMACIÓN LINEAL. Ámbito Científico Técnico Curso: 4ESO

Más detalles

FORMA CANONICA DE JORDAN Y ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES A COEFICIENTES CONSTANTES

FORMA CANONICA DE JORDAN Y ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES A COEFICIENTES CONSTANTES FORMA CANONICA DE JORDAN Y ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES A COEFICIENTES CONSTANTES Eleonora Catsigeras 6 de mayo de 997 Notas para el curso de Análisis Matemático II Resumen Se enuncia sin demostración

Más detalles

ALGEBRA LINEAL. Héctor Jairo Martínez R. Ana María Sanabria R.

ALGEBRA LINEAL. Héctor Jairo Martínez R. Ana María Sanabria R. ALGEBRA LINEAL Héctor Jairo Martínez R. Ana María Sanabria R. SEGUNDO SEMESTRE 8 Índice general. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.. Introducción................................................ Conceptos

Más detalles

Operaciones con vectores y matrices ECONOMETRÍA I OPERACIONES CON VECTORES Y MATRICES. Ana Morata Gasca

Operaciones con vectores y matrices ECONOMETRÍA I OPERACIONES CON VECTORES Y MATRICES. Ana Morata Gasca ECONOMETRÍA I OPERACIONES CON VECTORES Y MATRICES Ana Morata Gasca 1 DEFINICIÓN DE VECTOR Un vector es todo segmento de recta dirigido en el espacio. CARACTERÍSTICAS DE UN VECTOR Origen o Punto de aplicación:

Más detalles

VECTORES. Módulo, dirección y sentido de un vector fijo En un vector fijo se llama módulo del mismo a la longitud del segmento que lo define.

VECTORES. Módulo, dirección y sentido de un vector fijo En un vector fijo se llama módulo del mismo a la longitud del segmento que lo define. VECTORES El estudio de los vectores es uno de tantos conocimientos de las matemáticas que provienen de la física. En esta ciencia se distingue entre magnitudes escalares y magnitudes vectoriales. Se llaman

Más detalles

Valores y vectores propios de una matriz. Juan-Miguel Gracia

Valores y vectores propios de una matriz. Juan-Miguel Gracia Juan-Miguel Gracia Índice 1 Valores propios 2 Polinomio característico 3 Independencia lineal 4 Valores propios simples 5 Diagonalización de matrices 2 / 28 B. Valores y vectores propios Definiciones.-

Más detalles

Profr. Efraín Soto Apolinar. Números reales

Profr. Efraín Soto Apolinar. Números reales úmeros reales En esta sección vamos a estudiar primero los distintos conjuntos de números que se definen en matemáticas. Después, al conocerlos mejor, podremos resolver distintos problemas aritméticos.

Más detalles

Álgebra Lineal Ma1010

Álgebra Lineal Ma1010 Álgebra Lineal Ma1010 es en R n y producto punto Departamento de Matemáticas ITESM es en R n y producto punto Álgebra Lineal - p. 1/40 En este apartado se introduce el concepto de vectores en el espacio

Más detalles

Ejemplo: Resolvemos Sin solución. O siempre es positiva o siempre es negativa. Damos un valor cualquiera Siempre + D(f) =

Ejemplo: Resolvemos Sin solución. O siempre es positiva o siempre es negativa. Damos un valor cualquiera Siempre + D(f) = T1 Dominios, Límites, Asíntotas, Derivadas y Representación Gráfica. 1.1 Dominios de funciones: Polinómicas: D( = La X puede tomar cualquier valor entre Ejemplos: D( = Función racional: es el cociente

Más detalles

_ Antología de Física I. Unidad II Vectores. Elaboró: Ing. Víctor H. Alcalá-Octaviano

_ Antología de Física I. Unidad II Vectores. Elaboró: Ing. Víctor H. Alcalá-Octaviano 24 Unidad II Vectores 2.1 Magnitudes escalares y vectoriales Unidad II. VECTORES Para muchas magnitudes físicas basta con indicar su valor para que estén perfectamente definidas y estas son las denominadas

Más detalles

Los polinomios. Un polinomio es una expresión algebraica con una única letra, llamada variable. Ejemplo: 9x 6 3x 4 + x 6 polinomio de variable x

Los polinomios. Un polinomio es una expresión algebraica con una única letra, llamada variable. Ejemplo: 9x 6 3x 4 + x 6 polinomio de variable x Los polinomios Los polinomios Un polinomio es una expresión algebraica con una única letra, llamada variable. Ejemplo: 9x 6 3x 4 + x 6 polinomio de variable x Elementos de un polinomio Los términos: cada

Más detalles

ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS 1

ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS 1 ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS Se da la relación entre dos conjuntos mediante el siguiente diagrama: (, ) (2, 3) (, 4) (, 2) (7, 8) (, ) (3, 3) (5, ) (6, ) (, 6)........ 5 6......... 2 5 i) Observa la correspondencia

Más detalles

PROBLEMAS DE ECUACIONES SIMULTÁNEAS

PROBLEMAS DE ECUACIONES SIMULTÁNEAS PROBLEMAS DE ECUACIONES SIMULTÁNEAS Por: ELÍAS LOYOLA CAMPOS 1. En un recinto del zoológico se tienen dos tipos de animales: avestruces y jirafas. Hay 30 ojos y 44 patas, cuántos animales hay de cada tipo?

Más detalles

5 Ecuaciones lineales y conceptos elementales de funciones

5 Ecuaciones lineales y conceptos elementales de funciones Programa Inmersión, Verano 206 Notas escritas por Dr. M Notas del cursos. Basadas en los prontuarios de MATE 300 y MATE 3023 Clase #6: martes, 7 de junio de 206. 5 Ecuaciones lineales y conceptos elementales

Más detalles

no descompone no descompone no descompone

no descompone no descompone no descompone Problema 1. Sea I n el conjunto de los n primeros números naturales impares. Por ejemplo: I 3 = {1, 3, 5, I 6 = {1, 3, 5, 7, 9, 11, etc. Para qué números n el conjunto I n se puede descomponer en dos partes

Más detalles

Sistemas de ecuaciones lineales

Sistemas de ecuaciones lineales Sistemas de ecuaciones lineales Problemas teóricos Sistemas de ecuaciones lineales con parámetros En los siguientes problemas hay que resolver el sistema de ecuaciones lineales para todo valor del parámetro

Más detalles

Esta es la forma vectorial de la recta. Si desarrollamos las dos posibles ecuaciones, tendremos las ecuaciones paramétricas de la recta:

Esta es la forma vectorial de la recta. Si desarrollamos las dos posibles ecuaciones, tendremos las ecuaciones paramétricas de la recta: Todo el mundo sabe que dos puntos definen una recta, pero los matemáticos son un poco diferentes y, aún aceptando la máxima universal, ellos prefieren decir que un punto y un vector nos definen una recta.

Más detalles

Diagonalización de matrices

Diagonalización de matrices diagonalizacion.nb Diagonalización de matrices Práctica de Álgebra Lineal, E.U.A.T., Grupos ºA y ºB, 2005 Algo de teoría Qué es diagonalizar una matriz? Para estudiar una matriz suele ser conveniente expresarla

Más detalles

Álgebra Lineal Ma1010

Álgebra Lineal Ma1010 Álgebra Lineal Ma1010 Mínimos Cuadrados Departamento de Matemáticas ITESM Mínimos Cuadrados Álgebra Lineal - p. 1/34 En esta sección veremos cómo se trabaja un sistema inconsistente. Esta situación es

Más detalles

a < b y se lee "a es menor que b" (desigualdad estricta) a > b y se lee "a es mayor que b" (desigualdad estricta)

a < b y se lee a es menor que b (desigualdad estricta) a > b y se lee a es mayor que b (desigualdad estricta) Desigualdades Dadas dos rectas que se cortan, llamadas ejes (rectangulares si son perpendiculares, y oblicuos en caso contrario), un punto puede situarse conociendo las distancias del mismo a los ejes,

Más detalles

Centro de Capacitación en Informática

Centro de Capacitación en Informática Combinación de funciones y fórmulas =SI(Y(...)...) o =Si(O(...)...) En secciones anteriores vimos que la función SI() debía cumplir una condición, como por ejemplo, controlar si en una celda determinada

Más detalles

Dirección de Evaluación de la Calidad Educativa

Dirección de Evaluación de la Calidad Educativa Operaciones: Resolver problemas con dos operaciones Dentro del núcleo estructurante Operaciones, uno de los Saberes Básicos Fundamentales, donde se observa tienen más dificultades los alumnos es respecto

Más detalles

Aplicaciones Lineales

Aplicaciones Lineales Aplicaciones Lineales Ejercicio Dada la matriz A = 0 2 0 a) Escribir explícitamente la aplicación lineal f : 2 cuya matriz asociada con respecto a las bases canónicas es A. En primer lugar definimos las

Más detalles

Matemáticas I: Hoja 3 Espacios vectoriales y subespacios vectoriales

Matemáticas I: Hoja 3 Espacios vectoriales y subespacios vectoriales Matemáticas I: Hoa 3 Espacios vectoriales y subespacios vectoriales Eercicio 1. Demostrar que los vectores v 1, v 2, v 3, v 4 expresados en la base canónica forman una base. Dar las coordenadas del vector

Más detalles

DESIGUALDADES E INECUACIONES

DESIGUALDADES E INECUACIONES DESIGUALDAD DESIGUALDADES E INECUACIONES Para hablar de la NO IGUALDAD podemos utilizar varios términos o palabras. Como son: distinto y desigual. El término "DISTINTO" (signo ), no tiene apenas importancia

Más detalles

Objetivos: Al inalizar la unidad, el alumno:

Objetivos: Al inalizar la unidad, el alumno: Unidad 3 espacios vectoriales Objetivos: Al inalizar la unidad, el alumno: Describirá las características de un espacio vectorial. Identiicará las propiedades de los subespacios vectoriales. Ejempliicará

Más detalles

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

EXPRESIONES ALGEBRAICAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS Un grupo de variables representadas por letras junto con un conjunto de números combinados con operaciones de suma, resta, multiplicación, división, potencia o etracción de raíces

Más detalles

Datos del autor. Nombres y apellido: Germán Andrés Paz. Lugar de nacimiento: Rosario (Código Postal 2000), Santa Fe, Argentina

Datos del autor. Nombres y apellido: Germán Andrés Paz. Lugar de nacimiento: Rosario (Código Postal 2000), Santa Fe, Argentina Datos del autor Nombres y apellido: Germán Andrés Paz Lugar de nacimiento: Rosario (Código Postal 2000), Santa Fe, Argentina Correo electrónico: germanpaz_ar@hotmail.com =========0========= Introducción

Más detalles

Espacios vectoriales y aplicaciones lineales.

Espacios vectoriales y aplicaciones lineales. Práctica 2 Espacios vectoriales y aplicaciones lineales. Contenido: Localizar bases de espacios vectoriales. Suma directa. Bases y dimensiones. Cambio de base. Aplicaciones lineales. Matriz asociada en

Más detalles