Lección 24: Lenguaje algebraico y sustituciones

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1 LECCIÓN Lección : Lenguaje algebraico y sustituciones En lecciones anteriores usted ya trabajó con ecuaciones. Las ecuaciones expresan una igualdad entre ciertas relaciones numéricas en las que se desconoce uno o más valores llamados incógnitas, y resolver una ecuación es encontrar esos valores. Las ecuaciones son importantes porque nos permiten resolver distintos tipos de problemas de un modo relativamente fácil, es decir, responder a alguna o algunas preguntas a partir de cierta información que se conoce o puede averiguarse. No todos los problemas con los que nos enfrentamos en el ámbito de las matemáticas se pueden resolver con ecuaciones, pero algunos sí. Para resolver un problema a través de una ecuación lo primero que hay que hacer, es encontrar la ecuación apropiada. En esta lección veremos cómo construir ecuaciones para algunas situaciones. Antes de trabajar con problemas veremos cómo expresar con números y letras algunas relaciones numéricas sencillas. Recuerde que usamos letras cuando queremos referirnos a un número que desconocemos o a un número cualquiera y recuerde además que en un mismo problema o ecuación se debe usar la misma letra cada vez que nos referimos al mismo número. Veamos cómo traducir a lenguaje matemático las siguientes expresiones: 53

2 GUÍA DE MATEMÁTICAS II A un número le sumo 3 Aquí se habla de la suma de dos números, uno que no conocemos y otro que es 3; para escribir esta expresión de modo matemático le asignamos una letra, por ejemplo a, al número desconocido y escribimos a + 3. Un número menos 5 da 8 Nuevamente tenemos una operación entre dos números, uno que no conocemos y otro que es 5, pero ahora se trata de una resta y sabemos que el resultado es 8, entonces,si llamamos b al número desconocido, podemos escribir b - 5 = 8. El doble de un número Nosotros sabemos que el doble de un número se obtiene sumando dos veces ese número o multiplicándolo por, como no conocemos el número, usaremos una letra para referirnos a él. Podemos escribir entonces c + c ó c. Para evitar confundir el signo de multiplicación con la letra x que podría representar algún número, se ha decidido que cuando se trabaja con letras no se usa ese signo, sino que se escribe directamente c, que significa dos veces c, es decir c. El triple de un número, más 7 En este caso podemos pensar en escribir 3 d + 7 pero recordando lo que dijimos en el punto anterior, escribimos 3d El doble de un número más ese número es igual a Aquí tenemos dos operaciones con el número desconocido, una multiplicación por y una suma. Si g es el nombre de la

3 LECCIÓN incógnita, escribimos g + g = 7. Observe que si tenemos dos veces un número y le agregamos otra vez ese número, ahora, lo tendremos tres veces, es decir g + g =3g. Por lo tanto la expresión g + g = 7 se puede escribir como 3g = 7. La cuarta parte de un número Llamaremos s al número desconocido, entonces, podemos pensar la expresión anterior de dos formas: El número s está dividido entre cuatro, esto es: s ó s Tenemos s del número s, esto es s s, que por lo que dijimos antes escribimos directamente como s. La tercera parte de un número más su mitad es igual a ese mismo número menos Aquí el número desconocido, que llamaremos k, aparece tres veces, en los dos sumandos y en el resultado. Un sumando es la tercera parte de k, es decir k; el otro es la mitad 3 de k, es decir k, y el resultado de la suma es k -. Ahora podemos escribir k + k = k -, o bien k + k = k El producto de dos números es 56 Observe que en este caso tenemos dos incógnitas y la expresión no dice cómo es una con respecto a la otra y tampoco nos dice que sean iguales, así que debemos considerar que tenemos dos cantidades distintas y usar letras distintas para referirnos a cada una. Por ejemplo, podemos decir que una 55

4 GUÍA DE MATEMÁTICAS II de ellas es w y la otra es p. Ahora sólo debemos indicar que la multiplicación de esas dos cantidades es 56, en lenguaje algebraico esto es: wp = 56. La suma del doble de un número más 6 Si llamamos m al número desconocido, la expresión nos dice que al doble de m le debemos sumar 6, entonces tenemos: m+ 6. El doble de la suma de un número más 6 Fíjese que esta expresión es distinta de la anterior, aquí nos dice que hay que multiplicar por la suma del número desconocido más 6, es decir debemos expresar claramente que el multiplica a esa suma y no sólo al número, que llamaremos t. Entonces escribimos (t + ). Aquí también se acostumbra quitar el signo de multiplicación y se pone sólo (t + ). La mitad de la suma de tres números es Tenemos tres cantidades que debemos considerar que son distintas porque en ningún momento nos dicen que sean iguales. Vamos a llamar n, q y r a las tres incógnitas y escribiremos lo que nos dice el enunciado que hay que hacer con ellas. Sumar las tres cantidades: n + q + r Dividir la suma entre Igualar el resultado de las operaciones a. 56

5 LECCIÓN Aquí debe quedar claro que divide a la suma así que usaremos paréntesis para indicar que primero se debe hacer la suma y después la división. Considerando esto, podemos plantear nuestra ecuación en cualquiera de las formas posibles: (n+q+r) = o bien k + q + r = La suma de tres números naturales consecutivos Usted recordará que el consecutivo de un número naturales el que le sigue en la serie numérica y encontramos el consecutivo de cualquier número natural, sumándole uno a ese número. Entonces, si llamamos h al menor de los tres números que menciona el enunciado, los otros quedan expresados como h + y h+ y la suma de esos números es: h+ h + + h +. Como lo que tenemos es una suma, podemos cambiar el orden de los sumandos y nos queda h+ h + + h + = h + h + h + + = 3h+ 3. Es decir que la suma de tres números consecutivos es 3h+ 3. En las traducciones que hemos hecho de expresiones en español a expresiones en lenguaje algebraico, podemos observar que este lenguaje, permite escribir de forma más breve y clara distintas relaciones numéricas. Sin embargo, las expresiones que hemos traducido son relativamente sencillas. Para tener una idea de las ventajas de contar con un lenguaje como el algebraico, imagínese que tuviéramos que expresar en español, la siguiente ecuación con tres incógnitas, x, w y z: x w- (x- z) xz + w 5 =

6 GUÍA DE MATEMÁTICAS II Usted ya ha usado lenguaje algebraico en las fórmulas, que permiten calcular perímetros, áreas, volúmenes, transformar mediciones de una escala a otra, etc. o para resolver algunas ecuaciones. Para resolver ecuaciones debemos despejar la incógnita y encontrar así, su valor; mientras que al usar fórmulas generalmente debemos reemplazar las letras por los valores que les corresponden y encontrar el resultado de las operaciones indicadas. Por ejemplo, si se quiere encontrar el perímetro y el área de un rectángulo que mide 5.5 cm de base y 8.5 cm de altura, usamos las fórmulas que conocemos: P= (b+ h) A= bh En donde b es la base, h la altura, P el perímetro y A el área del rectángulo. Sustituimos los valores de b y h en las fórmulas y obtenemos P= ( ) = 8 cm A= 5.5 x 8.5 = 6.75 cm Si ahora, queremos calcular el volumen de un paralelepípedo rectangular cuyas medidas son 7 cm de largo, cm de ancho y 0 cm de altura, usamos la fórmula para encontrar este volumen: V = bah Como b = 7, a = y h = 0, se tiene: V = 7 0 = 80 cm 3 58

7 LECCIÓN Ejercicio Escriba con lenguaje matemático cada una de las expresiones siguientes. Para facilitar la comparación de sus respuestas con la solución que trae el libro, le sugerimos usar en el primer inciso la letra a para representar el número desconocido, en el segundo la letra b, en el tercero la c y así sucesivamente. a) A un número se le suma y se le resta. b) La suma del doble de un número más la mitad del mismo es 5. c) La mitad de la diferencia de un número menos 8, es. d) La suma de tres números tales que cada uno es el doble del anterior. Ejercicio Relacione cada expresión algebraica de la derecha con su correspondiente expresión en español. EXPRESIÓN ALGEBRAICA EXPRESIÓN EN ESPAÑOL a) (r + q). Doce menos el triple de la suma de un número más otro número. b) - 3x+ y. La suma de la octava parte de un número, más la sexta parte de ese número, más la cuarta parte del mismo. 59

8 GUÍA DE MATEMÁTICAS II EXPRESIÓN ALGEBRAICA EXPRESIÓN EN ESPAÑOL c) z + z + z 3. El cuadrado de la suma de dos 8 6 números. d) 8t - t - 3. La suma de los cuadrados de dos números e) - 3 (x+ y) 5. Ocho veces un número menos la mitad de la diferencia de ese número menos tres. f) r + q 6. Doce menos el triple de un número, más otro número Ejercicio 3 Encuentre el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas considerando los valores asignados para cada letra. EXPRESIÓN ALGEBRAICA VALORES DE LAS VARIABLES a) 3(x+ y) x= y= 3 b) 80-3m- 5q m= 5 q= 0 c) 5 + s s = 3 d) (7 - r) + r - r = 60

9 Ejercicio LECCIÓN Si m = 3, q = -, r = ys =, encuentre el valor numérico de cada una de las siguientes expresiones algebraicas: a) m- 3s b) 6r + 5 s c) (m+ q) - r 6

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