OPERACIONES CON POLINOMIOS

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1 OPERACIONES CON POLINOMIOS. SUMA ALGEBRAICA DE POLINOMIOS. En la práctica para sumar dos o más polinomios suelen colocarse unos deajo de los otros, de tal modo que los términos semejantes queden en columna, para facilitar la reducción de éstos, separados unos de otros con sus respectivos signos. Hallar las sumas: a) a + c con a + + c. De acuerdo con lo indicado se tiene. a + c a + + c a ) 7a + c con 7a + c. Ordenando: 7a + c 7a + c c c) 9 y + con y + y + y 9. Ordenando: 9 y + y + + y d) + y con y + y. Ordenando: 0 + y + y y + y + y + y Simplificando: + + y + y = + y + y e) a c + cd, c + cd de, c a + de y c cd a. Ordenando: -

2 a c + cd c + cd de a + c de a c cd+ 0 a f) (a ) ( + c d) + ( + c d) + ( a) = a c + d + + c d + a = g) a = a ( c + c ) + + (a a + c c ) c c (a a + ) = = a + c h) a + a [ a + ] = a + a [ a + 9] = a + a + a 9 = = a 7 i) j) ( + y z) ( y + z) + ( + y + z) ( y + z) = = + y z + y z + y + z + + y z = y z ( = + + ) ( 7) ( = + + 8) =. RESTA ALGEBRAICA DE POLINOMIOS Cuando el sustraendo es un polinomio, hay que restar del minuendo cada uno de los términos del sustraendo, así que a continuación del minuendo escriiremos el sustraendo camiándose el signo a todos sus términos. La resta se realiza de igual manera que la suma de polinomios. a) De a + restar a. Ordenando: a + a + + minuendo sustraendo diferencia ) De 8a + restar a +. Ordenando: 8a + a a + minuendo sustraendo diferencia c) De y z restar + y + 7z. Ordenando, se tiene: -

3 y z y 7z 7 y 9z minuendo sustraendo diferencia. MULTIPLICACIÓN Multiplicación de monomios. Para multiplicar un monomio por otro, se empieza por aplicar la regla de los signos para la multiplicación, después se multiplican los coeficientes y finalmente las literales; si éstas son todas diferentes se colocan unas a continuación de las otras con sus propios eponentes y sin signos intermedios. Cuando intervienen potencias con la misma ase, se conserva la misma ase y se suman los eponentes. a) (a)(a) = a ) ( 9a c )( 8d e g) = 7a c d e g c) ( a)(ay) = a y d) y ( z) = y z e) ( y z )( yz ) = y z f) 7 (a + )(a + 7 ) = a + 9 Multiplicación de un polinomio por un monomio. Para multiplicar un polinomio por un monomio, se multiplica éste por todos y cada uno de los términos del polinomio, tomando en cuenta la regla de los signos, y se suman algeraicamente los resultados. a) ) ( + )( ) = (a c a c a c )( ac) = a c + a c + 8a c c) (a m n + a m n+ a m n+ )(a m ) = a m n+ + a m n+ a m n+ Multiplicación de polinomios. Para multiplicar un polinomio por otro, se multiplican todos y cada uno de los términos de uno de ellos por todos y cada uno de los términos del otro, teniendo en cuenta la regla de los signos, y se suman algeraicamente los resultados; finalmente se hace la correspondiente reducción de términos semejantes. a) ( + )( + ) = = = + ) ( + y y)( + y + y) = = + y + y + + y y + y + y + y y y y = -

4 (a + a + a )(a a + ) = c) = a a + a + a a + a + a a + a = = a + a + a a + a d) ( a)( )( c) = ( a + a)( c) = = a + a c + c + ac ac. DIVISIÓN División de un monomio entre otro monomio. Para dividir un monomio entre otro, primero se aplica la regla de los signos para la división, después se dividen entre si los coeficientes y finalmente las literales. Cuando éstas son diferentes pueden conservarse en el mismo lugar, pero cuando se trata de potencias con la misma ase se restan los eponentes. a) a 9a 8 c cd y e a = d cy e a ) = a a 0m y c) = m y d) m y y n z z a = m y n z a División de un polinomio entre un monomio. Se dividen todos los términos del polinomio entre el monomio, separando los cocientes parciales con sus propios signos. a) a a + 9a a = a a + ) 8 8 a a a = a a a 8 8 y z y z 9 y z c) = y z y 7yz 7 y z d) m m+ m+ a a + a m m m+ = a + a a a -

5 + m + m + m a a + 8a e) = a + a + m a División de un polinomio entre otro polinomio. Sore la ase de la división aritmética, se dará un método para la división entre polinomios. Se ordenan los términos del numerador y del denominador con relación a una letra, en orden de potencias decrecientes. Se divide el primer término del numerador entre el primer término del denominador para otener el primer término del cociente. Se multiplica el cociente otenido por cada término del denominador, colocando el resultado en columna (deajo del término semejante en caso de eistir, si no tiene semejante en el numerador se escrie en el lugar que le corresponda de acuerdo con la ordenación de potencias), para poder sustraerlo del numerador al producto se le camia de signo. Considerar el residuo otenido como un nuevo numerador y repetir los pasos y para encontrar el segundo término del cociente y el siguiente residuo. Continuar el proceso hasta otener un residuo que sea de menor grado que el grado del denominador. Si el residuo es cero, la división es eacta, y se puede epresar como: numerador denominador = cociente dividendo = divisor Si el residuo es diferente de cero, se puede epresar como: numerador denominador Ejemplos = cociente residuo + denominador a) Dividir + a entre a + a +. Podemos epresarlo como: numerador 0 a + a + a + = dividendo denominador o divisor Para la solución hacemos uso del símolo tendremos:,llamado galera, por lo que -

6 denominador o divisor a + a + a + a + -a - a 0 + a + - a cociente numerador o dividendo Residuo = Es una división eacta ) Dividir: + 8 entre +. Siguiendo los pasos de ejemplo anterior, se tiene: = residuo; división eacta c) Dividir entre +. Arreglando dividendo y divisor en orden decreciente de sus potencias tenemos: división eacta d) Dividir a a + a entre a. Ordenando se tiene: a + a + a + a a + 0a + a a -a + a 0 + a + a a - - a + a 0 + a a - - a + a 0 +a - - a = División no -

7 Por lo que, tamién se puede epresar como: a + a a = a + a a + a + + a e) Dividir y + y y + y entre y i) Ordenando con respecto a ; tenemos: y + y y y y + y y + y - y + y 0 + y y + y - y + y 0 - y + y + y - y 0 - y División no eacta ii) Ordenando con respecto a y; tenemos : -y + y + y + - y + y y + y + y - y + y 0 y + y + y + y - y 0 - y + y + y y 0 - y + y - - División no eacta f) Hacer la división de a a a entre a + a +. Ordenando: a a a + a + a 0a a a- - a a a 0 a a a + a + a + a 0 a a + a + a + 0 División eacta -7

8 g) Dividir entre +. Ordenando y dividiendo: División eacta h) Efectuar la siguiente división: 7 +. Ordenando tenemos: División no eacta -8

9 i) Efectuar la siguiente división: a a + a + a a a 0 a 9 + a División eacta j) Hacer la división que se indica: a a + a a + a a + a 8a + a + a a 0 0a + 7a 8a + + 0a a + 0a 0 + a 8a a 8a 0 División eacta. DIVISIBILIDAD DE UN POLINOMIO EN ENTRE UN BINOMIO DE LA FORMA - a Se llama polinomio en aquel en que la literal de este nomre está afectada eclusivamente de eponentes enteros y positivos en todos los términos en que participan, en los cuales de una vez estalecemos cierto orden, porque su manejo resulta mas sencillo si de preferencia están ordenados conforme a las potencias decrecientes de o de y ó de z, si tuviéramos que emplear estas literales. ) ) ) 8 Si una epresión no satisface el requisito de que los eponentes de la literal fundamental, sean enteros y positivos, no dee llamarse polinomio, sino simplemente suma de términos, como es el caso del siguiente ejemplo: + Al referirnos a la división de un polinomio en entre un inomio de la forma a ; previamente deemos aclarar que dicho inomio siempre tiene la forma a, nada más que el -9

10 número a por si solo, puede ser positivo o negativo y esto origina que a veces el signo de liga entre los dos términos del inomio sea positivo (+) como se ve a continuación. ( + ) = ; ( ) = + Según lo anterior, dado un inomio de esta naturaleza, el número a siempre dee considerarse con signo contrario al que tenga en el inomio. El teorema del residuo. Epresa que el residuo resultante al dividir un polinomio en entre un inomio de la forma a puede calcularse, sin necesidad de hacer la división; si en el polinomio sustituimos en el lugar de el número a, precisamente tomado con signo contrario al que tenga el inomio. Demostración. Para su demostración, supondremos que p() simoliza a cualquier polinomio en ; que Q() simoliza, tamién, al polinomio en que resulta como cociente al dividir el polinomio en entre el inomio a, y que R es el residuo correspondiente de dicha división. De acuerdo con esto tendremos: p() a R = Q() + a Despejando: = R p() Q()( a) + ( a) = Q()( a) + R a Si en esta última epresión sustituimos a por (+ a), otendremos: p( + a) = Q( + a)(a a) + R = 0 + R R = p(a) Queda demostrado el teorema del residuo, y que es de gran interés, porque así podremos averiguar anticipadamente si una división de este tipo, va a ser eacta, cuando el residuo calculado valga cero. ) Aplicando el teorema del residuo, diga si la siguiente división es eacta o no En el polinomio en se sustituye el número a, tomado con signo contrario al que tenga en el inomio, es decir (- ) R = p(a) = p( ) = ( ) = () ( ) + () + 8( 8) + 7() + = = = 0 70 = 80 ( ) R = 80 + ( ) + 8( ) + 7( ) ( ) = Sin hacer la división, el residuo es 80. Para comproar efectuamos la división: -0

11 = Residuo = 80 ) Aplicando el teorema del residuo, decir si la división siguiente es eacta o no Aplicando el teorema del residuo tenemos. R = p(a) = p() = () () + () + 8() + 7() = = = 0 R = 0 Comproación: () =

12 . DIVISIÓN SINTÉTICA O SIMPLIFICADA. Tiene por ojeto determinar el cociente de un polinomio en entre un inomio de la forma a, de una manera sencilla y rápida, aplicando los siguientes pasos, en el ejemplo que ya se ha visto = Primero. Segundo. Tercero. Cuarto. Se divide el primer término del dividendo ( ) entre el primer término del divisor (), para otener el primer término del cociente ( ) Se multiplica el coeficiente del primer término del cociente () por el segundo término del divisor tomado con signo contrario al que tenga el inomio (+), y el producto resultante (+ ) se suma algeraicamente al coeficiente (-) del término de grado inmediato inferior en el dividendo; el resultado otenido (+) será al coeficiente del segundo término del cociente el cual se escrie en el lugar respectivo acompañado de la literal afectada de un eponente una unidad menor, respecto del término anterior(+ ). El nuevo coeficiente (+) se vuelve a multiplicar por el segundo término del divisor con signo contrario y el producto (+), nuevamente se suma al coeficiente (+) del siguiente término del dividendo, oteniéndose (+) que es el coeficiente del tercer término del cociente, al que se volverá acompañar de la literal con un eponente otra unidad menor(+ ) Y así sucesivamente. ) = = 8 Aplicando el teorema del residuo: R = p( + ) = = 0 R = 0 División eacta ) Completando el dividendo y dividiendo, se tiene: = ) Completando el dividendo y dividiendo, se tiene: =

13 ) = = ) = PRODUCTOS NOTABLES. Se llama así a ciertos productos que cumplen con reglas fijas, cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, es decir sin verificar la multiplicación. Eisten varios tipos de productos notales, algunos de los cuales se muestran a continuación.. Cuadrado de la suma de dos cantidades (cuadrado de un inomio) Si elevamos, la suma a + al cuadrado, equivale a multiplicar por si mismo ese inomio es decir que: (a + ) = (a + )(a + ) Desarrollando este producto tendremos: a + a + a + a + a + a + a + 0 sea que; (a + ) = a + a + Cuyo resultado se puede epresar: El cuadrado de la suma de dos términos es igual al cuadrado del primer término más el dole producto de los dos términos más el cuadrado del segundo término. ) ( + ) = + ()() + () = ) (a + ) = (a) + (a)( ) + ( ) = a + 0a + ) (a + ) = 9a + 0a + ) ) (7a + 9y ) = 9a + a y + 8y ( + ) = ) (a + y ) = a + a y + y -

14 7) (a + + ) = a + a ) ( a+ + y ) = a+ + a+ y + y. Cuadrado de la diferencia de dos cantidades. Elevar a al cuadrado, equivalente a multiplicar ese inomio por si mismo o sea: (a ) = (a )(a ) Desarrollando tendremos: a - a - a - a - a + a - a + o sea que Por lo que: (a ) = a a + (a ) = ( a). Ya que: ( a) = a + a El cual se puede epresar como; El cuadrado de la diferencia de dos términos es igual al cuadrado del primer término, menos el dole producto del primer término por el segundo término, más el cuadrado del segundo término. ) ( ) = 0 + ) ) (a ) = a a + 9 (0 9y ) = y + 8 y 0 ) (a ) = a 0a + ) ( a+ a ) = a+ a+ a + 9 a = a+ a + 9 a. Producto de la suma por la diferencia de dos términos. Sea el producto. (a + )(a ), que desarrollado nos da: -

15 a + a - a + a - a + a Esto es: (a + )(a ) = a Lo que significa que: el producto de inomios conjugados, es igual al cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo término. ) (a + )(a ) = a ) ( + )( ) = ) ) (a + )(a ) = a 9 n+ m n+ (a a ) = a 9a m ) (a )( + a) = (a )(a + ) = a. Cuo de un inomio. Sea (a + ) = (a + )(a + )(a + ) = (a + ) (a + ). Desarrollando: a + a + a + a + a + a + a + a + a + a + a + Por lo tanto: (a + ) = a + a + a + Que se puede enunciar como: El cuo de un inomio es igual al cuo del primer término, más el triple producto del cuadrado del primer término por el segundo, más el triple producto del primer término por el cuadrado del segundo término, más el cuo del segundo término.. Diferencia de un inomio al cuo. Se desarrolla análogamente a la suma, es decir el caso anterior, por lo que, desarrollando: a - a + a - a - a + a - a + a - a - a + a - Por lo tanto: (a ) = a a + a -

16 Lo que nos dice que: El cuo de la diferencia de dos términos es igual al cuo del primer término menos el triple producto del cuadrado del primer término por el segundo, más el triple producto del primer término por el cuadrado del segundo término, menos el cuo del segundo término. Ejemplos ) (a + ) = (a) + (a) () + (a)() + () = a + a + a + ) ( ) = () () + ()() () = + 8 ) ( + ) = () + () () + ()() + () = ) ( + ) = () + () () + ()() + () = ) ( a ) = () (a ) + ()(a ) (a ) = a + a a. Producto de dos inomios que tienen un término común. Sean los inomios: (a + ) y (a + c). Su producto es: a + a + c a + a + ac + c a + a + ac + c = a + a( + c) + c Por lo que: (a + )(a + c) = a + a( + c) + c El cual se epresa como: el producto de dos inomios que tienen un término común es igual al cuadrado del término común, más el producto del común por la suma de los no comunes, más el producto de los no comunes. ) ( + 7)( ) = + (7 ) + (7)( ) = + ) ( 7)( ) = + ( 7 ) + ( 7)( ) = + ) ( + 7)( + ) = ( ) + (7 + ) + (7)() = ) ( + )( + ) = + ( + ) + ()() = Producto de dos inomios de la forma: (m + a)(n + ) = mn + an + m + a = mn + (an + m) + a -

17 Es decir: (m + a)(n + ) = mn + (an + m) + a ) ( )( + ) = ()() + [( )() + ()()]+ ( )() = = 0 + ( + ) = 0 + ) ( )( + ) = + ( + ) = 0 8. El trinomio cuadrado perfecto: (a + + c) = (a + + c)(a + + c). Desarrollando las operaciones indicadas se tiene. a + + c a + + c a + a + ac + a + + c + ac + c + c a + a + ac + + c + c Ordenando tenemos: (a + + c) Ejemplo: = a + + c + a + ac + c ( + a + ) = () + (a) + () + ()(a) + ()() + (a)() = = + a a + + a 9. Suma de cuos. Dado el producto: (a + )(a a + ). Efectuando la operación de multiplicación indicada tenemos: a - a + a + a - a + a + a - a + a Por lo que: (a + )(a a + ) = a + 0. Diferencia de cuos. De la misma manera, desarrollando el producto (a )(a + a + ), tenemos: (a )(a + a + ) = a + a + a a a. Es decir: (a )(a + a + ) = a ) ( + y)( y + y ) = () (y) = 8 y -7

18 ) y( y)(9 + y + y ) = y[() = y(7 (y) y ] = ) = 8 y 9y -8