INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA página 37

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA página 37"

Transcripción

1 INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA página 37

2 página 38 SUMA DE FRACCIONES CONCEPTO Las cuatro operaciones fundamentales, suma, resta, multiplicación y división, con fracciones algebraicas se realizan bajo los mismos principios que en la Aritmética se utilizan, o sea, para la suma y resta, sacando común denominador; para la multiplicación, multiplicando numeradores con numeradores y denominadores con denominadores; y para la división, multiplicando "en cruz". Por esta razón, para el estudio de cada una de estas operaciones con fracciones algebraicas, se hará un recordatorio del proceso respectivo que se emplea en la Aritmética, para que el alumno traslade cada uno de los procesos aritméticos a los algebraicos, respetando simplemente las reglas del Álgebra ya conocidas. SUMA La suma de fracciones está basada en la ley fundamental de la suma que dice que "solamente cosas iguales se pueden sumar y el resultado debe ser de esas mismas cosas". O sea que cosas diferentes no se pueden sumar. Es de sentido común que no se pueden sumar cuadernos más piojos. Además, que si se suman plumas más plumas el resultado son plumas, no camiones. Por esa razón, de entrada no se puede sumar un medio más un tercio porque son cosas diferentes: la primera son mitades y la otra son terceras partes, que al final de cuentas son cosas diferentes. Para poder efectuar esta suma, la Aritmética hace un truco muy simple para reducir ambas fracciones a "cosas iguales" (fracciones equivalentes). Se sabe que , y por otra parte, de manera que sumar (cosas dife rentes) es lo mismo que sumar (ya cosas iguales). El proceso conocido como "sacar común denominador" es un procedimiento mecanizado para reducir las fracciones que se desean sumar a fracciones equivalentes; en otras palabras, es convertir cosas diferentes que no se pueden sumar a cosas iguales que ya se puedan sumar. 1 1 Cuando se tienen dos fracciones como las anteriores y, entre ellas hay un número infinito 3 de comunes denominadores, como son, por ejemplo, 6, 1, 18, 4, 30, 36, 4, etc. Pero de todos ellos hay uno que es el más pequeño, el 6, por lo que a ése se le llama mínimo común denominador. Se procura entonces obtener el mínimo común denominador, en vez de cualquier otro común denominador, solamente porque al trabajar con cantidades más pequeñas el trabajo se minimiza, pero no porque sea falso ni incorrecto. Es decir, se podría hacer la suma de la siguiente forma

3 INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA página lo cual es verdadero, solamente que es más complicado que haciéndolo con el mínimo común denominador, el 6. Un común denominador es al final de cuentas un múltiplo de todos los denominadores, por lo que se trata de un "común múltiplo". Si se refiere al mínimo común denominador entonces se habla del mínimo común múltiplo (se abrevia m.c.m.) de todos esos denominadores. COMÚN DENOMINADOR: REGLA ARITMÉTICA Para sacar el mínimo común denominador de fracciones aritméticas (o mínimo común múltiplo de todos los denominadores): Cada denominador se factoriza en sus factores primos; el mínimo común denominador se obtiene multiplicando todos los factores primos diferentes que hayan aparecido, con su máximo exponente. Ejemplo 1: Obtener el mínimo común denominador de las fracciones Solución: * Los factores primos de 4 son 3 3. * Los factores primos de 60 son 3 5. * Los factores primos de 5 son 3 5. * Los factores diferentes, con su máximo exponente, que aparecieron son 3, 3 y 5 * El mínimo común denominador es Ejemplo : Obtener el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de 8, 1 y 18. Solución: * Los factores primos de 8 son 3. * Los factores primos de 1 son 3. * Los factores primos de 18 son 3. * Los factores diferentes, con su máximo exponente, que aparecieron son 3 y 3 * El mínimo común múltiplo (m.c.m.) es REGLA ALGEBRAICA Por lo que se dijo la página anterior, la suma con fracciones algebraicas tiene el mismo principio que se emplea en la Aritmética, o sea que se puede trasladar la regla, respetando simplemente las reglas del Álgebra ya conocidas.

4 página 40 SUMA DE FRACCIONES De manera que para sacar el mínimo común denominador de fracciones algebraicas (que es lo mismo que el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de todos los denominadores), por translación de la regla Aritmética se obtiene la siguiente regla algebraica: Para sacar el mínimo común denominador de fracciones algebraicas Cada denominador se factoriza (factorización total); El mínimo común denominador se obtiene multiplicando todos los factores diferentes que hayan aparecido, con su máximo exponente. Debe entenderse que lo anterior es aplicable tanto a denominadores que sean monomios como a los que sean polinomios. Para facilitar el trabajo de comprensión y aprendizaje, se dividirá en dos partes: la primera cuando se trata de denominadores monomios; la segunda, cuando éstos son polinomios. Pero el procedimiento es el mismo en ambos casos. DENOMINADORES MONOMIOS Ejemplo 3: Obtener el mínimo común denominador de las fracciones 5 7 a 6ab 4 Solución: * Los factores de a 4 (primer denominador) son a 4. * Los factores de 6ab (segundo denominador) son 3 a b. * Los factores diferentes con su máximo exponente que aparecieron son, 3, a 4 y b * El mínimo común denominador es 3 a 4 b 6a 4 b. Ejemplo 4: Obtener el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de 8abc, 6b 3 y 9a. Solución: * Los factores de 8abc son 3 a b c. * Los factores de 6b 3 son 3 b 3. * Los factores de 9a son 3 a. * Los factores diferentes con su máximo exponente que aparecieron son 3, 3, a y b 3. * El mínimo común múltiplo (m.c.m.) es 3 3 a b 3 7a b 3.

5 INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA página 41 EJERCICIO 13 Obtener el m.c.m. de las siguientes cantidades: 1) 4a ; 3ab 3 ) ab 3 ; 5a 3 c 3) 14a 3 c ; 1b c 4) 6a; 8b; 7c 5) 10a ; 5ab ; a b 6) 63a 4 c ; 49a b 3 ; ab 6 7) 15a 3 ; 10ab; 4a b 3 8) 35b ; 5a 3 bc ; 7a c 4 9) 6a 4 c; a b c ; 9ab 6 c 3 10) 16b ; a 7 b; a 5 b 5 c 5 11) 81c 4 ; 6a; a 3 b 3 c 1) 5ab 4 ; 7a 4 c; 3x y 7 13) 7x 6 ; 11c 3 ; a 3 b 6 14) 7d 9 ; 9a 8 c ; a 5 d 5 15) 7y ; 7a 3 x 3 ; 4a 6 y 7 SUMA DE FRACCIONES: REGLA ARITMÉTICA Para efectuar la suma de fracciones aritméticas: Se obtiene el mínimo común denominador; Se divide ese mínimo común denominador entre el primer denominador y el resultado obtenido se multiplica por su numerador respectivo; Se repite el paso anterior con cada una de las fracciones a sumar; Se efectúa la suma del numerador obtenido. Ejemplo 5:Efectuar la suma de fracciones Solución: El mínimo común denominador es Se escribe: * Dividiendo ese mínimo común denominador entre el primer denominador resulta El 75 obtenido se multiplica por su numerador respectivo, es decir En ese momento se lleva escrito * Dividiendo el mínimo común denominador entre el segundo denominador resulta El 30 obtenido se multiplica por su numerador respectivo, es decir En ese momento se lleva escrito

6 página 4 SUMA DE FRACCIONES * Dividiendo el mínimo común denominador entre el tercer denominador resulta El 8 obtenido se multiplica por su numerador respectivo, es decir En ese momento se lleva escrito * Efectuando la suma del numerador obtenido: REGLA ALGEBRAICA Por lo que se dijo en páginas anteriores, la suma con fracciones algebraicas tiene el mismo principio que se emplea en la Aritmética, o sea que se puede trasladar la regla, respetando simplemente las reglas del Álgebra ya conocidas. Para efectuar la suma de fracciones algebraicas: # Se obtiene el mínimo común denominador; # Se divide ese mínimo común denominador entre el primer denominador y el resultado obtenido se multiplica por su numerador respectivo; # Se repite el paso anterior con cada una de las fracciones a sumar; # Se efectúa la suma del numerador obtenido, si es que resultan términos semejantes. Debe entenderse que lo anterior es aplicable a denominadores que sean monomios como a los que sean polinomios, aunque de momento sólo se vean los primeros. Ejemplo 6: Efectuar la suma de fracciones 5 7 4a 6ab

7 INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA página 43 Solución: El mínimo común denominador de 4a y 6ab es 3 a b 1a b. Se escribe: 5 7 4a 6ab 1a b * Dividiendo ese mínimo común denominador entre el primer denominador resulta 1a b 4a 3b. El 3b obtenido se multiplica por su numerador respectivo, es decir 3b 5. En ese momento se lleva escrito ( b) a 6ab 1a b * Dividiendo el mínimo común denominador entre el segundo denominador resulta 1a b 6ab a. El a obtenido se multiplica por su numerador respectivo, es decir a 7. En ese momento se lleva escrito ( b) ( a) a 6ab 1a b * Efectuando las multiplicaciones que quedaron indicadas en el nuevo numerador resulta ( b) ( a) a 6ab 1a b 15b 14a 1ab * Como no aparecieron términos semejantes, no se puede efectuar la suma del numerador obtenido, de manera que la respuesta es lo escrito en el paso anterior, es decir: b 14a 4a 6ab 1a b Ejemplo 7: Efectuar la suma de fracciones b 1 5a 8b 6a b

8 página 44 SUMA DE FRACCIONES Solución: El mínimo común denominador de 8b y 6a b es 3 3 a b 4a b. Se escribe: b 1 5a 8b 6a b 4a b * Dividiendo ese mínimo común denominador entre el primer denominador resulta 4a b 8b 3a. El 3a obtenido se multiplica por su numerador respectivo, es decir 3a (b 1). En ese momento se lleva escrito ( b ) a 3a 1 b 1 5 8b 6a b 4a b * Dividiendo el mínimo común denominador entre el segundo denominador resulta 4a b 6a b 4b. El 4b obtenido se multiplica por su numerador respectivo, es decir 4b(5a ). En ese momento se lleva escrito ( ) ( ) a 3a b 1 4b 5a b 1 5 8b 6a b 4a b * Efectuando las multiplicaciones que quedaron indicadas en el nuevo numerador resulta ( ) ( ) a 3a b 1 4b 5a b 1 5 8b 6a b 4a b ab a ab b 4ab * Finalmente, efectuando la suma de términos semejantes que aparecieron en el nuevo numerador, la respuesta es: b a a b a b 8b 6a b 4a b

9 INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA página 45 Ejemplo 8: Efectuar la suma de fracciones a 9ab a b a b b ab a Solución: * El mínimo común denominador de 6a 3, 9ab y a b es 3 a 3 b 18a 3 b Se escribe: a b b ab a 6a 9ab a b 18a b 3 3 * Dividiendo ese mínimo común denominador entre el primer denominador resulta 18a 3 b 6a 3 3b. El 3b obtenido se multiplica por su numerador respectivo, es decir 3b (5a - 3). En ese momento se lleva escrito ( a ) 3b a 3 3b b ab a 6a 9ab a b 18a b * Dividiendo el mínimo común denominador entre el segundo denominador resulta 18a 3 b 9ab a. El a obtenido se multiplica por su numerador respectivo, es decir a (3b - b). En ese momento se lleva escrito ( ) ( ) 3b 5a 3 a 3b b 3 3 5a 3 3b b ab a 6a 9ab a b 18a b * Dividiendo el mínimo común denominador entre el tercer denominador, resulta 18a 3 b a b 9ab. El 9ab obtenido se multiplica por su numerador respectivo, es decir 9ab(ab a). En ese momento se lleva escrito ( ) ( ) ( ) 5a 3 3b b ab a 3b 5a 3 a 3b b 9ab ab a 3 3 6a 9ab a b 18a b * Efectuando las multiplicaciones que quedaron indicadas en el nuevo numerador resulta

10 página 46 SUMA DE FRACCIONES ( ) ( ) ( ) a b b ab a 3b 5a 3 a 3b b 9ab ab a 3 3 6a 9ab a b 18a b ab a b b a b a b a b a b * Finalmente, efectuando la suma de términos semejantes que aparecieron en el nuevo numerador, la respuesta es: a 9ab a b 18a b a b b ab a a b b a b

11 INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA página 47 EJERCICIO 14 Efectuar la suma de las siguientes fracciones: a 5b 3 6ab 9b 1) ) a 7b 4b 10a 3 x 5y 4x y 18y 3 3) 4) 4 3 5c 7a ac 1a c 1 5 a 6ab x a b ax 5) 6) 3 x ab ab b x 15ab bc 8bc abc 9abc 3 3 5bc 35abc ) 8) 3 5 xy ax 3 7xy 6ax 3 9) ab 3ab abc 6 bc 1 18ab 1abc 30bc ) 3 4 3ax y 4axy y a x 0xy 10a xy 11) 3ab 3ab c 3c 3acd 49ab 14bc 35cd 1) a 1 3ab b 5 6a 9ab 1b

12 página 48 SUMA DE FRACCIONES DENOMINADORES POLINOMIOS Como se dijo en páginas anteriores, el proceso para sumar fracciones es el mismo para las fracciones aritméticas que para las algebraicas, y en éstas últimas es el mismo para aquellas que contienen denominadores monomios que para las que contienen denominadores polinomios. Para efectuar una suma de fracciones algebraicas con denominadores polinomios, se siguen entonces exactamente las mismas reglas aplicadas a los denominadores monomios, de las páginas 40 y 4, las cuales son: Para sacar el mínimo común denominador de fracciones algebraicas # Cada denominador se factoriza (factorización total); # El mínimo común denominador se obtiene multiplicando todos los factores diferentes que hayan aparecido, con su máximo exponente. Para efectuar la suma de fracciones algebraicas: # Se obtiene el mínimo común denominador; # Se divide ese mínimo común denominador entre el primer denominador y el resultado obtenido se multiplica por su numerador respectivo; # Se repite el paso anterior con cada una de las fracciones a sumar; # Se efectúa la suma del numerador obtenido, si es que resultan términos semejantes. Significa que cuando se trate de denominadores polinomios, éstos deben factorizarse primero para poder aplicar el proceso. Ejemplo 1: Efectuar la suma de fracciones 3a 5 b 7 5 a b a ab b a b Solución: * Factorizando el primer denominador a - b, (diferencia de cuadrados, página 16):

13 INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA página 49 a - b (a - b)(a b). a ab b * Factorizando el segundo denominador, (trinomio de la forma ax bxy cy Entonces:, página 6): a ab b (a b)(a b) (a b). 3a 5 b 7 5 3a 5 b 7 5 ( )( ) ( a b) a b a ab b a b a b a -b a b * El mínimo común denominador de (a - b)(a b), (a b) y (a - b) es (a b) (a - b). Se escribe: 3a 5 b 7 5 ( a b)( a -b) ( a b) a b ( a b) ( a b) * Dividiendo ese mínimo común denominador entre el primer denominador se obtiene (a b) (a - b) (a b)(a - b) a b. Este (a b) obtenido se multiplica por su numerador respectivo (por el primer numerador), es decir (a b)(3a 5). En ese momento se lleva escrito ( )( ) ( ) ( ) ( 3 5) ( ) ( ) 3a 5 b 7 5 a b a a b a -b a b a b a b a b * Dividiendo ahora el mínimo común denominador entre el segundo denominador se obtiene (a b) (a - b) (a b) a - b. Este (a - b) obtenido se multiplica por su numerador respectivo (por el segundo numerador), es decir (a - b)(b 7). En ese momento se lleva escrito ( )( ) ( ) ( ) ( 3 5) ( ) ( 7) ( ) ( ) 3a 5 b 7 5 a b a a b b a b a -b a b a b a b a b * Dividiendo el mínimo común denominador entre el tercer denominador se obtiene que (a b) (a - b) (a - b) (a b).

14 página 50 SUMA DE FRACCIONES Este (a b) obtenido se multiplica por su numerador respectivo (por el tercer numerador), es decir (a b) (5). En ese momento se lleva escrito 3a 5 b 7 5 a b a -b a b ( )( ) ( a b) ( a b)( 3a 5) ( a b)( b 7) ( a b) ( 5) ( a b) ( a b) * Efectuando las multiplicaciones que quedaron indicadas en el nuevo numerador resulta 3a 5 b 7 5 a b a -b a b ( )( ) ( a b) ( a b) ( a b) ( ) 3a 3ab 5a 5b ab b 7a 7b 5 a ab b 3a 3ab 5a 5b ab b 7a 7b 5a 10ab 5b ( a b) ( a b) * Finalmente, efectuando la suma de términos semejantes que aparecieron en el nuevo numerador, la respuesta es: 3a 5 b 7 5 8a 15ab 1a b 3b ( a b)( a -b) ( a b) a b ( a b) ( a b) NOTA: Las multiplicaciones en el numerador SÍ son indispensables que se realicen; en cambio las multiplicaciones del denominador son opcionales, pueden hacerse o dejarse así indicadas como en este ejemplo. Ejemplo : Efectuar la suma de fracciones a b 4 a b a ab b a ab a b a ab a b Solución: * Factorizando el primer denominador a - ab - b, (trinomios de la forma ax bxy cy, página 6):

15 INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA página 51 a - ab - b (a - b)(a b). * Factorizando el segundo denominador 3a - 3ab - 5a 5b (agrupación, pág. 13): 3a - 3ab - 5a 5b 3a(a - b) - 5(a - b) (a - b)(3a - 5). * Factorizando el tercer denominador 6a 3ab - 10a - 5b (agrupación, pág 13): * Entonces: 6a 3ab - 5a - 5b 3a(a - b) - 5(a - b) (a b)(3a - 5). a b 4 a b a ab b a ab a b a ab a b a b 4 a b ( a b)( a b) ( a b)( 3a 5) ( a b)( 3a * El mínimo común denominador de (a - b)(a b), (a - b)(3a - 5) y (a b)(3a - 5) es (a - b)(a b)(3a - 5). Se escribe: a b 4 a b ( a b)( a b) ( a b)( 3a 5) ( a b)( 3a ( a b)( a b)( 3a * Dividiendo ese mínimo común denominador entre el primer denominador se obtiene (a - b)(a b)(3a - 5) (a - b)(a b) 3a - 5. Este (3a - 5) obtenido se multiplica por su numerador respectivo (por el primer numerador), es decir (3a - 5)(a b). En ese momento se lleva escrito a b 4 a b ( a b)( a b) ( a b)( 3a 5) ( a b)( 3a ( 3a-5) ( a b) ( a b)( a b)( 3a

16 página 5 SUMA DE FRACCIONES * Dividiendo el mínimo común denominador entre el segundo denominador se obtiene (a - b)(a b)(3a - 5) (a - b)(3a - 5) a b. El (a b) obtenido se multiplica por su numerador respectivo (por el segundo numerador), es decir 4(a b). En ese momento se lleva escrito a b 4 a b ( a b)( a b) ( a b)( 3a 5) ( a b)( 3a ( 3a-5) ( a b) 4( a b) ( a b)( a b)( 3a * Dividiendo el mínimo común denominador entre el tercer denominador se obtiene que (a - b)(a b)(3a - 5) (a b)(3a - 5) (a - b). El (a - b) obtenido se multiplica por su numerador respectivo (por el tercer numerador), es decir (a - b)(a b). En ese momento se lleva escrito a b 4 a b ( a b)( a b) ( a b)( 3a 5) ( a b)( 3a ( 3a-5) ( a b) 4( a b) ( a-b) ( a b) ( a b)( a b)( 3a * Efectuando las multiplicaciones que quedaron indicadas en el nuevo numerador resulta a b 4 a b ( a b)( a b) ( a b)( 3a 5) ( a b)( 3a 3a 5a 3ab 5b 8a 4b a b ( a b)( a b)( 3a * Finalmente, efectuando la suma de términos semejantes que aparecieron en el nuevo numerador, la respuesta es: a b 4 a b ( a b)( a b) ( a b)( 3a 5) ( a b)( 3a

17 INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA página 53 4a 3a 3ab b b ( a b)( a b)( 3a NOTA: Las multiplicaciones en el numerador SÍ son indispensables que se realicen; en cambio las multiplicaciones del denominador son opcionales, pueden hacerse o dejarse así indicadas como en este ejemplo. Ejemplo 3: Efectuar la suma de fracciones 6a x 1 a a x a x x ax a Solución: * Factorizando el primer denominador 45a x 15a (factor común, página 11): 45a x 15a 15a (3x 1) * Factorizando el º denominador 3x - 5x - (trinomios de la forma ax bx c: 3x - 5x - (3x 1)(x - ) * Factorizando el tercer denominador 5ax - 10a (factor común, página 11): 5ax - 10a 5a(x - ) * Entonces: 6a x 1 a ax a x x ax a 6a x 1 a 5 15a 3x 1 3x 1 x 5a x ( ) ( )( ) ( ) * El mínimo común denominador de 15a (3x 1), (3x 1)(x - ) y de 5a(x - ) es 15a (3x 1)(x - ). Se escribe: 6a x 1 a 5 15a 3x 1 3x 1 x 5a x ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 15a 3x 1 x * Dividiendo ese mínimo común denominador entre el primer denominador se obtiene

18 página 54 SUMA DE FRACCIONES 15a (3x 1)(x - ) 15a (3x 1) x -. El (x - ) obtenido se multiplica por su numerador respectivo (por el primer numerador), es decir (x - )(6a ). En ese momento se lleva escrito 6a x 1 a 5 15a 3x 1 3x 1 x 5a x ( ) ( )( ) ( ) ( ) x- 6a ( )( ) 15a 3x 1 x * Dividiendo el mínimo común denominador entre el segundo denominador se obtiene 15a (3x 1)(x - ) (3x 1)(x - ) 15a. El 15a obtenido se multiplica por su numerador respectivo (por el segundo numerador), es decir 15a (x - 1). En ese momento se lleva escrito 6a x 1 a 5 15a 3x 1 3x 1 x 5a x ( ) ( )( ) ( ) ( x-) 6a 15a ( x-1) 15a ( 3x 1)( x ) * Dividiendo el mínimo común denominador entre el tercer denominador se obtiene que 15a (3x 1)(x - ) 5a(x - ) 3a(3x 1). El 3a(3x 1) obtenido se multiplica por su numerador respectivo (por el tercer numerador), es decir 3a (3x 1)(a 5). En ese momento se lleva escrito 6a x 1 a 5 15a 3x 1 3x 1 x 5a x ( ) ( )( ) ( ) ( x-) 6a 15a ( x-1) 3a( 3x 1) ( a 5) 15a ( 3x 1)( x ) * Efectuando las multiplicaciones que quedaron indicadas en el nuevo numerador resulta 6a x 1 a 5 15a 3x 1 3x 1 x 5a x ( ) ( )( ) ( )

19 INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA página 55 ( ) ( )( ) 6ax 1a 30ax 15a 3a 3ax a 15x 5 15a 3x 1 x a 3x 1 x ax a ax a ax a ax a ( )( ) * Finalmente, efectuando la suma de términos semejantes que aparecieron en el nuevo numerador, la respuesta es: 6a x 1 a 5 15a 3x 1 3x 1 x 5a x ( ) ( )( ) ( ) a 3x 1 x ax a ax a ( )( ) NOTA: Las multiplicaciones en el numerador SÍ son indispensables que se realicen; en cambio las multiplicaciones del denominador son opcionales, pueden hacerse o dejarse así indicadas como en este ejemplo.

20 página 56 SUMA DE FRACCIONES EJERCICIO 15 Efectuar la suma de las siguientes fracciones: 5 x 3 1) ) x 3x 4 x y y y y 4 5x 7 x x x 3) 4) ) 5a 7 8 4a 1a 9 a 3 6) 7) 13 5x 9 5ax 5bx 10ax 10bx 8) 15a 7 9a 1 3a 1 3b 11 ab 5 60b 1b 30ab 6ab 3 y 5 10x 9 7xy 9abxy 4x y 8abxy 9) 10) 4x ax 3x ax x 1a 6 7 8x 11 10x 35 30x 10 6x 19x 7 11) 9ax 1 3a 10 x 11 7ax x 8a 4 7a 1 x 4 1) x 9 5x 17 3a 16 ax 4x ax 4x a 16 13) 5 3a 4 6a a a a a 14) 5x 6 10x 3 x x x x ) 3 9b 1 0b 3 4b 1 b 6b 18 b 7

INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA página 57

INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA página 57 INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA página 57 página 58 RESTA DE FRACCIONES RESTA La resta de fracciones está basada, por ser el inverso de la operación suma, en las mismas reglas y leyes de la suma, es

Más detalles

INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA página 9

INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA página 9 INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA página 9 página 10 FACTORIZACIÓN CONCEPTO Para entender el concepto teórico de este tema, es necesario recordar lo que se mencionó en la página referente al nombre que

Más detalles

Qué son los monomios?

Qué son los monomios? Qué son los monomios? Recordemos qué es una expresión algebraica. Definición Una expresión algebraica es aquella en la que se utilizan letras, números y signos de operaciones. Si se observan las siguientes

Más detalles

UNIDAD 6. POLINOMIOS CON COEFICIENTES ENTEROS

UNIDAD 6. POLINOMIOS CON COEFICIENTES ENTEROS UNIDAD 6. POLINOMIOS CON COEFICIENTES ENTEROS Unidad 6: Polinomios con coeficientes enteros. Al final deberás haber aprendido... Expresar algebraicamente enunciados sencillos. Extraer enunciados razonables

Más detalles

Lección 9: Polinomios

Lección 9: Polinomios LECCIÓN 9 c) (8 + ) j) [ 9.56 ( 9.56)] 8 q) (a x b) d) ( 5) 4 k) (6z) r) [k 0 (k 5 k )] e) (. 0.) l) (y z) s) (v u ) 4 f) ( 5) + ( 4) m) (c d) 7 t) (p + q) g) (0 x 0.) n) (g 7 g ) Lección 9: Polinomios

Más detalles

EXPRESIONES ALGEBRAICAS. POLINOMIOS

EXPRESIONES ALGEBRAICAS. POLINOMIOS EXPRESIONES ALGEBRAICAS. POLINOMIOS 1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS. Estas expresiones del área son expresiones algebraicas, ya que además de números aparecen letras. Son también expresiones algebraicas: bac,

Más detalles

TEMA 2 POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS

TEMA 2 POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS Matemáticas B 4º E.S.O. Tema : Polinomios y fracciones algebraicas. 1 TEMA POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS.1 COCIENTE DE POLINOMIOS 4º.1.1 COCIENTE DE MONOMIOS 4º El cociente de un monomio entre otro

Más detalles

Los polinomios. Un polinomio es una expresión algebraica con una única letra, llamada variable. Ejemplo: 9x 6 3x 4 + x 6 polinomio de variable x

Los polinomios. Un polinomio es una expresión algebraica con una única letra, llamada variable. Ejemplo: 9x 6 3x 4 + x 6 polinomio de variable x Los polinomios Los polinomios Un polinomio es una expresión algebraica con una única letra, llamada variable. Ejemplo: 9x 6 3x 4 + x 6 polinomio de variable x Elementos de un polinomio Los términos: cada

Más detalles

DEL LENGUAJE DE LOS NÚMEROS AL LEGUAJE ALGEBRAICO.

DEL LENGUAJE DE LOS NÚMEROS AL LEGUAJE ALGEBRAICO. DEL LENGUAJE DE LOS NÚMEROS AL LEGUAJE ALGEBRAICO. En ocasiones, en matemáticas, necesitamos operar con números desconocidos. Para ello, se toman letras para representar esas cantidades desconocidas o

Más detalles

Operatoria algebraica

Operatoria algebraica Eje temático: Algebra y funciones Contenidos: Operatoria algebraica Ecuaciones de primer grado Nivel: 1 Medio Operatoria algebraica 1. Operatoria algebraica 1.1. Términos semejantes Un término algebraico

Más detalles

Polinomios y fracciones algebraicas

Polinomios y fracciones algebraicas UNIDAD Polinomios y fracciones algebraicas U n polinomio es una expresión algebraica en la que las letras y los números están sometidos a las operaciones de sumar, restar y multiplicar. Los polinomios,

Más detalles

Se sabe que, y por otra parte, de manera que sumar (cosas

Se sabe que, y por otra parte, de manera que sumar (cosas página 1 página CONCEPTO Las cuatro operaciones fundamentales, suma, resta, multiplicación y división, con fracciones algebraicas se realizan bajo los mismos principios que en la aritmética se utilizan,

Más detalles

Tema 3. Polinomios y fracciones algebraicas

Tema 3. Polinomios y fracciones algebraicas Tema. Polinomios y fracciones algebraicas. Monomios.. Definiciones.. Operaciones con monomios. Polinomios.. Definiciones.. Operaciones con polinomios. Factorización de un polinomio.. Teorema del resto.

Más detalles

martilloatomico@gmail.com

martilloatomico@gmail.com Titulo: OPERACIONES CON POLINOMIOS (Reducción de términos semejantes, suma y resta de polinomios, signos de agrupación, multiplicación y división de polinomios) Año escolar: 2do: año de bachillerato Autor:

Más detalles

Lección 1-Introducción a los Polinomios y Suma y Resta de Polinomios. Dra. Noemí L. Ruiz Limardo 2009

Lección 1-Introducción a los Polinomios y Suma y Resta de Polinomios. Dra. Noemí L. Ruiz Limardo 2009 Lección 1-Introducción a los Polinomios y Suma y Resta de Polinomios Dra. Noemí L. Ruiz Limardo 2009 Objetivos de la Lección Al finalizar esta lección los estudiantes: Identificarán, de una lista de expresiones

Más detalles

Una desigualdad se obtiene al escribir dos expresiones numéricas o algebraicas relacionadas con alguno de los símbolos

Una desigualdad se obtiene al escribir dos expresiones numéricas o algebraicas relacionadas con alguno de los símbolos MATEMÁTICAS BÁSICAS DESIGUALDADES DESIGUALDADES DE PRIMER GRADO EN UNA VARIABLE La epresión a b significa que "a" no es igual a "b ". Según los valores particulares de a de b, puede tenerse a > b, que

Más detalles

Profr. Efraín Soto Apolinar. Factorización

Profr. Efraín Soto Apolinar. Factorización Factorización La factorización es la otra parte de la historia de los productos notables. Esto es, ambas cosas se refieren a las mismas fórmulas, pero en los productos notables se nos daba una operación

Más detalles

Polinomios: Definición: Se llama polinomio en "x" de grado "n" a una expresión del tipo

Polinomios: Definición: Se llama polinomio en x de grado n a una expresión del tipo Polinomios: Definición: Se llama polinomio en "x" de grado "n" a una expresión del tipo P (x) = a 0 x n + a 1 x n 1 +... + a n Donde n N (número natural) ; a 0, a 1, a 2,..., a n son coeficientes reales

Más detalles

Material N 15 GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 12

Material N 15 GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 12 C u r s o : Matemática Material N 5 GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES ÁLGEBRA DE POLINOMIOS EVALUACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS Evaluar una epresión algebraica consiste en sustituir

Más detalles

Coeficientes 43 X = 43 X partes literales - 7 a 3 = - 7 a 3

Coeficientes 43 X = 43 X partes literales - 7 a 3 = - 7 a 3 APUNTES Y EJERCICIOS DEL TEMA 3 1-T 3--2ºESO EXPRESIONES ALGEBRAICAS: Son combinaciones de n os y letras unidos con operaciones matemáticas (aritméticas), que generalmente suelen ser sumas, restas, multiplicaciones

Más detalles

Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos

Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 13 13 V a l o r n u m é r i c o Valor numérico de expresiones compuestas P r o c e d i m i e n t o 1. Se reemplaza cada letra por su valor numérico 2. Se efectúan las operaciones indicadas Hallar

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS. CASO I cuando todos los términos de un polinomio tienen un factor común. Algebra Baldor

PROBLEMAS RESUELTOS. CASO I cuando todos los términos de un polinomio tienen un factor común. Algebra Baldor PROBLEMAS RESUELTOS CASO I cuando todos los términos de un polinomio tienen un factor común CASO II factor comun por agrupación de terminos CASO III trinomio cuadrado perfecto CASO IV Diferencia de cuadrados

Más detalles

Una fracción es una expresión que nos indica que, de un total dividido en partes iguales, escogemos sólo algunas de esas partes.

Una fracción es una expresión que nos indica que, de un total dividido en partes iguales, escogemos sólo algunas de esas partes. FRACCIONES 1. LAS FRACCIONES. 1.1. CONCEPTO. Una fracción es una expresión que nos indica que, de un total dividido en partes iguales, escogemos sólo algunas de esas partes. Una fracción también es una

Más detalles

Operaciones con polinomios

Operaciones con polinomios Operaciones con polinomios Los polinomios son una generalización de nuestro sistema de numeración. Cuando escribimos un número, por ejemplo, 2 354, queremos decir: 2 354 = 2 000 + 300 + 50 + 4 = 2)1 000)

Más detalles

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

EXPRESIONES ALGEBRAICAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS Trabajar en álgebra consiste en manejar relaciones numéricas en las que una o más cantidades son desconocidas. Estas cantidades se llaman V A R I A B L ES, I N C Ó G N I T A S o

Más detalles

NÚMEROS NATURALES Y NÚMEROS ENTEROS

NÚMEROS NATURALES Y NÚMEROS ENTEROS NÚMEROS NATURALES Y NÚMEROS ENTEROS Los números naturales surgen como respuesta a la necesidad de nuestros antepasados de contar los elementos de un conjunto (por ejemplo los animales de un rebaño) y de

Más detalles

Multiplicación. Adición. Sustracción

Multiplicación. Adición. Sustracción bernardsanz TERMINOLOGÍA ALGEBRAICA Algebra: generalización de la aritmética, la cual representa cantidades por medio de símbolos en lugar de números concretos, estos símbolos representan números cualesquiera.

Más detalles

Clases de apoyo de matemáticas Fracciones y decimales Escuela 765 Lago Puelo Provincia de Chubut

Clases de apoyo de matemáticas Fracciones y decimales Escuela 765 Lago Puelo Provincia de Chubut Clases de apoyo de matemáticas Fracciones y decimales Escuela 765 Lago Puelo Provincia de Chubut Este texto intenta ser un complemento de las clases de apoyo de matemáticas que se están realizando en la

Más detalles

Los números racionales

Los números racionales Los números racionales Los números racionales Los números fraccionarios o fracciones permiten representar aquellas situaciones en las que se obtiene o se debe una parte de un objeto. Todas las fracciones

Más detalles

El número de arriba de la fracción, el numerador, nos dice cuántas de las partes iguales están coloreadas.

El número de arriba de la fracción, el numerador, nos dice cuántas de las partes iguales están coloreadas. Qué es una fracción? Una fracción es un número que indica parte de un entero o parte de un grupo. El siguiente círculo está dividido en partes iguales de las cuales partes están coloreadas. El número de

Más detalles

4º ESO MATEMÁTICAS Opción A 1ª EVALUACIÓN

4º ESO MATEMÁTICAS Opción A 1ª EVALUACIÓN 4º ESO MATEMÁTICAS Opción A 1ª EVALUACIÓN Bloque 2. POLINOMIOS. (En el libro Tema 3, página 47) 1. Definiciones. 2. Valor numérico de una expresión algebraica. 3. Operaciones con polinomios: 3.1. Suma,

Más detalles

Divido la barra de helado en ocho partes iguales. De esas ocho partes tomo seis. Parte de la barra que reparto a mis amigos :

Divido la barra de helado en ocho partes iguales. De esas ocho partes tomo seis. Parte de la barra que reparto a mis amigos : 1.- NECESIDAD DE QUE EXISTAN LAS FRACCIONES. Imagina que tienes una barra de helado que quieres repartir entre tus ocho amigos que por la tarde van a ir a tu casa a merendar. Para ir adelantando trabajo

Más detalles

Si los términos no son semejantes no se pueden reducir a un total. Cuando los elementos son de la misma especie se dice que son semejantes.

Si los términos no son semejantes no se pueden reducir a un total. Cuando los elementos son de la misma especie se dice que son semejantes. Operaciones básicas con Expresiones Algebraicas (adición, sustracción, multiplicación y división) y redacta un informe Teórico práctico donde describas el procedimiento para realizar cada operación y al

Más detalles

1º) Siempre que se pueda, hay que sacar factor común: :a b ± a c ± a d ± = a (b ± c ± d ± ):

1º) Siempre que se pueda, hay que sacar factor común: :a b ± a c ± a d ± = a (b ± c ± d ± ): Pág. 1 de 7 FAC T O R I Z AC I Ó N D E P O L I N O M I O S Factorizar (o descomponer en factores) un polinomio consiste en sustituirlo por un producto indicado de otros de menor grado tales que si se multiplicasen

Más detalles

1.3 Números racionales

1.3 Números racionales 1.3 1.3.1 El concepto de número racional Figura 1.2: Un reparto no equitativo: 12 5 =?. Figura 1.3: Un quinto de la unidad. Con los números naturales y enteros es imposible resolver cuestiones tan simples

Más detalles

REGLA DE RUFFINI. FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS

REGLA DE RUFFINI. FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS REGLA DE RUFFINI. FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS Si en una división de polinomios el divisor es de la forma (x - a) se puede aplicar la regla de Ruffini para obtener el cociente y el resto de la división.

Más detalles

Polinomios y Fracciones Algebraicas

Polinomios y Fracciones Algebraicas Tema 4 Polinomios y Fracciones Algebraicas En general, a lo largo de este tema trabajaremos con el conjunto de los números reales y, en casos concretos nos referiremos al conjunto de los números complejos.

Más detalles

CONVOCATORIA 2016 GUÍA DE ESTUDIO PARA PRUEBA DE ADMISIÓN DE MATEMÁTICAS

CONVOCATORIA 2016 GUÍA DE ESTUDIO PARA PRUEBA DE ADMISIÓN DE MATEMÁTICAS CONVOCATORIA 2016 GUÍA DE ESTUDIO PARA PRUEBA DE ADMISIÓN DE MATEMÁTICAS Guía de Estudio para examen de Admisión de Matemáticas CONTENIDO PRESENTACIÓN... 3 I. ARITMÉTICA... 4 1. OPERACIONES CON FRACCIONES...

Más detalles

EL GRADO Y LOS ELEMENTOS QUE FORMAN UN POLINOMIO

EL GRADO Y LOS ELEMENTOS QUE FORMAN UN POLINOMIO RECONOCER OBJETIVO EL GRADO Y LOS ELEMENTOS QUE ORMAN UN POLINOMIO NOMBRE: CURSO: ECHA: Un polinomio es una expresión algebraica formada por la suma algebraica de monomios, que son los términos del polinomio.

Más detalles

POLINOMIOS. División. Regla de Ruffini.

POLINOMIOS. División. Regla de Ruffini. POLINOMIOS. División. Regla de Ruffini. Recuerda: Un monomio en x es una expresión algebraica de la forma a x tal que a es un número real y n es un número natural. El real a se llama coeficiente y n se

Más detalles

UNIDAD I NÚMEROS REALES

UNIDAD I NÚMEROS REALES UNIDAD I NÚMEROS REALES Los números que se utilizan en el álgebra son los números reales. Hay un número real en cada punto de la recta numérica. Los números reales se dividen en números racionales y números

Más detalles

POLINOMIOS OPERACIONES CON MONOMIOS

POLINOMIOS OPERACIONES CON MONOMIOS POLINOMIOS Una expresión algebraica es una combinación de letras y números, ligados por los signos de las operaciones: adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación. Las expresiones algebraicas

Más detalles

4º ESO 1. ECUAC. 2º GRADO Y UNA INCÓGNITA

4º ESO 1. ECUAC. 2º GRADO Y UNA INCÓGNITA 4º ESO 1. ECUAC. 2º GRADO Y UNA INCÓGNITA Una ecuación con una incógnita es de segundo grado si el exponente de la incógnita es dos. Ecuaciones de segundo grado con una incógnita son: Esta última ecuación

Más detalles

Polinomios y fracciones algebraicas

Polinomios y fracciones algebraicas 829566 _ 0249-008.qxd 27/6/08 09:21 Página 27 Polinomios y fracciones algebraicas INTRODUCCIÓN Son múltiples los contextos en los que aparecen los polinomios: fórmulas económicas, químicas, físicas, de

Más detalles

Matrices Invertibles y Elementos de Álgebra Matricial

Matrices Invertibles y Elementos de Álgebra Matricial Matrices Invertibles y Elementos de Álgebra Matricial Departamento de Matemáticas, CCIR/ITESM 12 de enero de 2011 Índice 91 Introducción 1 92 Transpuesta 1 93 Propiedades de la transpuesta 2 94 Matrices

Más detalles

Matemáticas. para administración y economía Ernest F. Haeussler, Jr.* Richard S. Paul

Matemáticas. para administración y economía Ernest F. Haeussler, Jr.* Richard S. Paul Matemáticas para administración y economía Ernest F. Haeussler, Jr.* Richard S. Paul Curso Propedéutico de Matemáticas Unidad IV Secciones 6 y 8) 0.6 Operaciones con epresiones algebraicas. 0.8 fracciones

Más detalles

Tema 04:Fracciones. Primero de Educación Secundaria Obligatoria. I.e.s Fuentesaúco.

Tema 04:Fracciones. Primero de Educación Secundaria Obligatoria. I.e.s Fuentesaúco. 2010 Tema 04:Fracciones. Primero de Educación Secundaria Obligatoria. I.e.s Fuentesaúco. Manuel González de León. mgdl 01/01/2010 . INDICE: 01. APARICIÓN DE LAS FRACCIONES. 02. CONCEPTO DE FRACCIÓN. 03.

Más detalles

FRACCIONES. Una fracción tiene dos términos, numerador y denominador, separados por una raya horizontal.

FRACCIONES. Una fracción tiene dos términos, numerador y denominador, separados por una raya horizontal. FRACCIONES Las fracciones representan números (son números, mucho más exactos que los enteros o los decimales), Representa una o varias partes de la unidad. Una fracción tiene dos términos, numerador y

Más detalles

José de Jesús Ángel Ángel, c 2010. Factorización

José de Jesús Ángel Ángel, c 2010. Factorización José de Jesús Ángel Ángel, c 2010. Factorización Contenido 1. Introducción 2 1.1. Notación.................................. 2 2. Factor común 4 2.1. Ejercicios: factor común......................... 4

Más detalles

OBJETIVOS CONTENIDOS PROCEDIMIENTOS

OBJETIVOS CONTENIDOS PROCEDIMIENTOS 82652 _ 0275-0286.qxd 27/4/07 1:20 Página 275 Polinomios INTRODUCCIÓN Son múltiples los contextos en los que aparecen los polinomios: fórmulas económicas, químicas, físicas, de ahí la importancia de comprender

Más detalles

Llamamos potencia a todo producto de factores iguales. Por ejemplo: 3 4 = 3 3 3 3

Llamamos potencia a todo producto de factores iguales. Por ejemplo: 3 4 = 3 3 3 3 1. NÚMEROS NATURALES POTENCIAS DE UN NÚMERO NATURAL Llamamos potencia a todo producto de factores iguales. Por ejemplo: 3 4 = 3 3 3 3 El factor que se repite es la base, y el número de veces que se repite

Más detalles

Colegio Hermanos Carrrera. Departamento de Matemática Prof. Roberto Medina

Colegio Hermanos Carrrera. Departamento de Matemática Prof. Roberto Medina Colegio Hermanos Carrrera Departamento de Matemática Prof. Roberto Medina Unidad 2 Objetivos: - Conceptos algebraicos básicos - Valoración de expresiones algebraicas - Reducción de términos semejantes

Más detalles

Factorización de polinomios

Factorización de polinomios Factorización de polinomios Polinomios Un polinomio p en la variable x es una expresión de la forma: px a 0 a 1 x a x a n1 x n1 a n x n donde a 0, a 1, a,, a n1, a n son unos números, llamados coeficientes

Más detalles

TEMA 3 POLINOMIOS NOMBRE Y APELLIDOS... HOJA 1 - FECHA...

TEMA 3 POLINOMIOS NOMBRE Y APELLIDOS... HOJA 1 - FECHA... TEMA 3 POLINOMIOS NOMBRE Y APELLIDOS... HOJA 1 - FECHA... TEMA 3 EXPRESIONES ENTERAS Y POLINOMIOS Una expresión algebraica es una combinación de letras y números con operaciones matemáticas que las unen,

Más detalles

OPERACIONES CON POLINOMIOS

OPERACIONES CON POLINOMIOS OPERACIONES CON POLINOMIOS. SUMA ALGEBRAICA DE POLINOMIOS. En la práctica para sumar dos o más polinomios suelen colocarse unos deajo de los otros, de tal modo que los términos semejantes queden en columna,

Más detalles

Descomposición factorial de polinomios

Descomposición factorial de polinomios Descomposición factorial de polinomios Contenidos del tema Introducción Sacar factor común Productos notables Fórmula de la ecuación de segundo grado Método de Ruffini y Teorema del Resto Combinación de

Más detalles

Módulo 2: Expresiones polinómicas. Factorización

Módulo 2: Expresiones polinómicas. Factorización CURSO DE NIVELACIÓN Apunte teórico - práctico Módulo 2: Expresiones polinómicas. Factorización 1 FACTORIZACIÓN Una expresión polinómica es (justamente) una expresión formada por sumas y restas de términos,

Más detalles

Wise Up Kids! En matemáticas, a la división de un objeto o unidad en varias partes iguales o a un grupo de esas divisiones se les denomina fracción.

Wise Up Kids! En matemáticas, a la división de un objeto o unidad en varias partes iguales o a un grupo de esas divisiones se les denomina fracción. Fracciones o Quebrados En matemáticas, a la división de un objeto o unidad en varias partes iguales o a un grupo de esas divisiones se les denomina fracción. Las fracciones pueden ser representadas de

Más detalles

UNIDAD DE APRENDIZAJE IV

UNIDAD DE APRENDIZAJE IV UNIDAD DE APRENDIZAJE IV Saberes procedimentales 1. Interpreta y utiliza correctamente el lenguaje simbólico ara el manejo de expresiones algebraicas. 2. Identifica operaciones básicas con expresiones

Más detalles

CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES

CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES INECUACIONES NOTA IMPORTANTE: El signo de desigualdad de una inecuación puede ser,, < o >. Para las cuestiones teóricas que se desarrollan en esta unidad únicamente se utilizará la desigualdad >, siendo

Más detalles

Guía 4 Formalizando conceptos y procedimientos algebraicos

Guía 4 Formalizando conceptos y procedimientos algebraicos 1 Guía 4 Formalizando conceptos y procedimientos algebraicos Nombre Curso Capacidad Destreza Valor Actitud 1 Año Medio A B C D Resolver Problemas Analizar Colaboración Constancia Aprendizajes Esperados

Más detalles

La suma se realiza miembro a miembro. La suma de polinomios goza de las mismas propiedades que la suma de números. Ejemplo:

La suma se realiza miembro a miembro. La suma de polinomios goza de las mismas propiedades que la suma de números. Ejemplo: Tema 4. Polinomios 1. Definición Un polinomio es una expresión hecha con constantes, variables y exponentes, que están combinados. Los exponentes sólo pueden ser 0, 1, 2, 3,... etc. No puede tener un número

Más detalles

Lección 24: Lenguaje algebraico y sustituciones

Lección 24: Lenguaje algebraico y sustituciones LECCIÓN Lección : Lenguaje algebraico y sustituciones En lecciones anteriores usted ya trabajó con ecuaciones. Las ecuaciones expresan una igualdad entre ciertas relaciones numéricas en las que se desconoce

Más detalles

Divisibilidad y números primos

Divisibilidad y números primos Divisibilidad y números primos Divisibilidad En muchos problemas es necesario saber si el reparto de varios elementos en diferentes grupos se puede hacer equitativamente, es decir, si el número de elementos

Más detalles

Nivel Medio I-104 Provincia del Neuquén Patagonia Argentina

Nivel Medio I-104 Provincia del Neuquén Patagonia Argentina Nivel Medio I-104 Provincia del Neuquén Patagonia Argentina www.faena.edu.ar info@faena.edu.ar TERCER BLOQUE MATEMATICA Está permitida la reproducción total o parcial de parte de cualquier persona o institución

Más detalles

IES MARIA INMACULADA MATEMÁTICAS 2º E.S.O. Curso 2010-2011 TEMA : LENGUAJE ALGEBRÁICO

IES MARIA INMACULADA MATEMÁTICAS 2º E.S.O. Curso 2010-2011 TEMA : LENGUAJE ALGEBRÁICO IES MARIA INMACULADA MATEMÁTICAS º E.S.O. Curso 010-011 GUIÓN DEL TEMA 1. Lenguaje numérico y lenguaje algebraico.. Epresión algebraica.. Valor numérico de una epresión algebraica.. Monomios. 5. Grado

Más detalles

MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas

MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Tema 4 La recta en el plano Elaborado por la Profesora Doctora María Teresa

Más detalles

3 POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS

3 POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS PARA EMPEZAR Un cuadrado tiene 5 centímetros de lado. Escribe la epresión algebraica que da el área cuando el lado aumenta centímetros. A ( 5) Señala cuáles de las siguientes

Más detalles

POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS

POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS Página 66 PARA EMPEZAR, REFLEXIONA Y RESUELVE Múltiplos y divisores. Haz la división: 4 + 5 0 + 5 A la vista del resultado, di dos divisores del polinomio 4 + 5 0. (

Más detalles

CONCEPTOS ALGEBRAICOS BASICOS

CONCEPTOS ALGEBRAICOS BASICOS CONCEPTOS ALGEBRAICOS BASICOS OBJETIVOS: 1.- Expresar relaciones numéricas mediante símbolos numéricos y literales. 2.- Reconocer las expresiones algebraicas y sus elementos. 3.- Reducir y evaluar expresiones

Más detalles

Polinomios y fracciones algebraicas

Polinomios y fracciones algebraicas 0 Polinomios y fracciones algebraicas En esta Unidad aprenderás a: d Trabajar con epresiones polinómicas. d Factorizar polinomios. d Operar con fracciones algebraicas. d Descomponer una fracción algebraica

Más detalles

Ecuaciones de primer y segundo grado

Ecuaciones de primer y segundo grado Igualdad Ecuaciones de primer y segundo grado Una igualdad se compone de dos expresiones unidas por el signo igual. 2x + 3 = 5x 2 Una igualdad puede ser: Falsa: 2x + 1 = 2 (x + 1) 2x + 1 = 2x + 2 1 2.

Más detalles

GUIA SEMANAL DE APRENDIZAJE PARA EL GRADO OCTAVO

GUIA SEMANAL DE APRENDIZAJE PARA EL GRADO OCTAVO GUIA SEMANAL DE APRENDIZAJE PARA EL GRADO OCTAVO IDENTIFICACIÓN AREA: Matemáticas. ASIGNATURA: Matemáticas. DOCENTE. Juan Gabriel Chacón c. GRADO. Octavo. PERIODO: Segundo UNIDAD: Polinomios TEMA: Expresiones

Más detalles

PENDIENTES 2º ESO. Segundo examen DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS. Preparación del segundo examen de recuperación de MATEMÁTICAS DE 2º ESO Curso 2013-2014

PENDIENTES 2º ESO. Segundo examen DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS. Preparación del segundo examen de recuperación de MATEMÁTICAS DE 2º ESO Curso 2013-2014 014 015 Preparación del segundo examen de recuperación de MATEMÁTICAS DE º ESO Curso 013-014 PENDIENTES º ESO Segundo examen DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Preparación del segundo examen de recuperación de

Más detalles

DESIGUALDADES página 1

DESIGUALDADES página 1 DESIGUALDADES página 1 1.1 CONCEPTOS Y DEFINICIONES Una igualdad en Álgebra es aquella relación que establece equivalencia entre dos entes matemáticos. Es una afirmación, a través del signo =, de que dos

Más detalles

5 Expresiones algebraicas

5 Expresiones algebraicas 8948 _ 04-008.qxd /9/07 :0 Página 9 Expresiones algebraicas INTRODUCCIÓN RESUMEN DE LA UNIDAD El lenguaje algebraico sirve para expresar situaciones relacionadas con la vida cotidiana, utilizando letras

Más detalles

TEMA 4 FRACCIONES MATEMÁTICAS 1º ESO

TEMA 4 FRACCIONES MATEMÁTICAS 1º ESO TEMA 4 FRACCIONES Criterios De Evaluación de la Unidad 1 Utilizar de forma adecuada las fracciones para recibir y producir información en actividades relacionadas con la vida cotidiana. 2 Leer, escribir,

Más detalles

VECTORES. Módulo, dirección y sentido de un vector fijo En un vector fijo se llama módulo del mismo a la longitud del segmento que lo define.

VECTORES. Módulo, dirección y sentido de un vector fijo En un vector fijo se llama módulo del mismo a la longitud del segmento que lo define. VECTORES El estudio de los vectores es uno de tantos conocimientos de las matemáticas que provienen de la física. En esta ciencia se distingue entre magnitudes escalares y magnitudes vectoriales. Se llaman

Más detalles

. Definición: Dos o más términos son semejantes cuando tienen las mismas letras y afectadas por el mismo exponente.

. Definición: Dos o más términos son semejantes cuando tienen las mismas letras y afectadas por el mismo exponente. Ejercicios Resueltos del Algebra de Baldor. Consultado en la siguiente dirección electrónica http://www.quizma.cl/matematicas/recursos/algebradebaldor/index.htm. Definición: Dos o más términos son semejantes

Más detalles

Ámbito Científico-Tecnológico Módulo III Bloque 2 Unidad 1 Quien parte y reparte, se lleva la mejor parte

Ámbito Científico-Tecnológico Módulo III Bloque 2 Unidad 1 Quien parte y reparte, se lleva la mejor parte Ámbito Científico-Tecnológico Módulo III Bloque 2 Unidad 1 Quien parte y reparte, se lleva la mejor parte En esta unidad vamos a estudiar los números racionales, esto es, los que se pueden expresar en

Más detalles

PÁGINA 77 PARA EMPEZAR

PÁGINA 77 PARA EMPEZAR Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 77 Pág. 1 PARA EMPEZAR El arte cósico Vamos a practicar el arte cósico : Si a 16 veces la cosa le sumamos 5, obtenemos el mismo resultado que si multiplicamos

Más detalles

REPASO NÚMEROS NATURALES Y NÚMEROS ENTEROS

REPASO NÚMEROS NATURALES Y NÚMEROS ENTEROS SUMA REPASO NÚMEROS NATURALES Y NÚMEROS ENTEROS NÚMEROS NATURALES (N) 1. Características: Axiomas de Giuseppe Peano (*): El 1 es un número natural. Si n es un número natural, entonces el sucesor (el siguiente

Más detalles

Nombre del polinomio. uno monomio 17 x 5 dos binomio 2x 3 6x tres trinomio x 4 x 2 + 2

Nombre del polinomio. uno monomio 17 x 5 dos binomio 2x 3 6x tres trinomio x 4 x 2 + 2 SISTEMA DE ACCESO COMÚN A LAS CARRERAS DE INGENIERÍA DE LA UNaM III. UNIDAD : FUNCIONES POLINÓMICAS III..1 POLINOMIOS La expresión 5x + 7 x + 4x 1 recibe el nombre de polinomio en la variable x. Es de

Más detalles

VII INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS

VII INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS VII INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS Diez fórmulas más habrán de agregarse al formulario actual de integrales del estudiante. Son seis correspondientes a las seis funciones trigonométricas seno, coseno, tangente,

Más detalles

3 Polinomios y fracciones algebráicas

3 Polinomios y fracciones algebráicas Solucionario 3 Polinomios y fracciones algebráicas ACTIVIDADES INICIALES 3.I. Para cada uno de los siguientes monomios, indica las variables, el grado y el coeficiente, y calcula el valor numérico de los

Más detalles

DIVISIBILIDAD SOLUCIÓN:

DIVISIBILIDAD SOLUCIÓN: DIVISIBILIDAD 1. Si a, b y c son números naturales tales que c = a. b, se dice: a) c es divisor de a y de b. b) c es múltiplo de a y de b. c) a y b son múltiplos de c. Todo número descompuesto en un producto

Más detalles

Área: Matemática ÁLGEBRA

Área: Matemática ÁLGEBRA Área: Matemática ÁLGEBRA Prof. HENRY AYTE MORALES FICHA DE TRABAJO RECUPERACIÓN 1ro SEC A, B y C I. TEORÍA DE EXPONENTES 1. DEFINICIÓN Es un conjunto de fórmulas que relaciona a los exponentes de las expresiones

Más detalles

Recuerdas qué es? Expresión algebraica. Es una combinación de números y letras relacionados mediante operaciones aritméticas.

Recuerdas qué es? Expresión algebraica. Es una combinación de números y letras relacionados mediante operaciones aritméticas. Recuerdas qué es? Expresión algebraica Es una combinación de números y letras relacionados mediante operaciones aritméticas. Propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma Si a, b y c

Más detalles

1. División de polinomios por monomios

1. División de polinomios por monomios 1. División de polinomios por monomios El cociente de dos monomios (si es posible) es igual a otro monomio que tiene: como coeficiente, el cociente de los coeficientes; como parte literal, las letras que

Más detalles

mcd y mcm Máximo Común Divisor y Mínimo Común múltiplo www.math.com.mx José de Jesús Angel Angel jjaa@math.com.mx

mcd y mcm Máximo Común Divisor y Mínimo Común múltiplo www.math.com.mx José de Jesús Angel Angel jjaa@math.com.mx mcd y mcm Máximo Común Divisor y Mínimo Común múltiplo www.math.com.mx José de Jesús Angel Angel jjaa@math.com.mx MathCon c 2007-2008 Contenido 1. Divisores de un número entero 2 2. Máximo común divisor

Más detalles

Lección 4: Suma y resta de números racionales

Lección 4: Suma y resta de números racionales GUÍA DE MATEMÁTICAS II Lección : Suma y resta de números racionales En esta lección recordaremos cómo sumar y restar números racionales. Como los racionales pueden estar representados como fracción o decimal,

Más detalles

Polinomios y fracciones algebraicas

Polinomios y fracciones algebraicas Polinomios y fracciones algebraicas POLINOMIOS SUMA, RESTA Y MULTIPLICACIÓN POTENCIAS DIVISIÓN REGLA DE RUFFINI DIVISORES DE UN POLINOMIO FACTORIZACIÓN DE UN POLINOMIO VALOR NUMÉRICO DE UN POLINOMIO TEOREMA

Más detalles

SUMA Y RESTA DE FRACCIONES

SUMA Y RESTA DE FRACCIONES SUMA Y RESTA DE FRACCIONES CONCEPTOS IMPORTANTES FRACCIÓN: Es la simbología que se utiliza para indicar que un todo será dividido en varias partes (se fraccionará). Toda fracción tiene dos partes básicas:

Más detalles

Módulo 9 Sistema matemático y operaciones binarias

Módulo 9 Sistema matemático y operaciones binarias Módulo 9 Sistema matemático y operaciones binarias OBJETIVO: Identificar los conjuntos de números naturales, enteros, racionales e irracionales; resolver una operación binaria, representar un número racional

Más detalles

Capítulo 4. Productos notables y factorización

Capítulo 4. Productos notables y factorización Capítulo 4 Productos notables y factorización Las siguientes fórmulas de multiplicación de expresiones algebraicas ayudan a factorizar muchas expresiones, sin embargo se debe aprender a reconocer cuál

Más detalles

Tema 1: Fundamentos de lógica, teoría de conjuntos y estructuras algebraicas: Apéndice

Tema 1: Fundamentos de lógica, teoría de conjuntos y estructuras algebraicas: Apéndice Tema 1: Fundamentos de lógica, teoría de conjuntos y estructuras algebraicas: Apéndice 1 Polinomios Dedicaremos este apartado al repaso de los polinomios. Se define R[x] ={a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +... +

Más detalles

PARÁBOLA. 1) para la parte positiva: 2) para la parte negativa: 3) para la parte positiva: 4) para la parte negativa:

PARÁBOLA. 1) para la parte positiva: 2) para la parte negativa: 3) para la parte positiva: 4) para la parte negativa: Página 90 5 LA PARÁBOLA 5.1 DEFINICIONES La parábola es el lugar geométrico 4 de todos los puntos cuyas distancias a una recta fija, llamada, y a un punto fijo, llamado foco, son iguales entre sí. Hay

Más detalles

Datos del autor. Nombres y apellido: Germán Andrés Paz. Lugar de nacimiento: Rosario (Código Postal 2000), Santa Fe, Argentina

Datos del autor. Nombres y apellido: Germán Andrés Paz. Lugar de nacimiento: Rosario (Código Postal 2000), Santa Fe, Argentina Datos del autor Nombres y apellido: Germán Andrés Paz Lugar de nacimiento: Rosario (Código Postal 2000), Santa Fe, Argentina Correo electrónico: germanpaz_ar@hotmail.com =========0========= Introducción

Más detalles

Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas

Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas Si decimos: "las edades de mis padres suman 120 años", podemos expresar esta frase algebraicamente de la siguiente forma: Entonces, Denominamos x a la edad

Más detalles

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

EXPRESIONES ALGEBRAICAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS Un grupo de variables representadas por letras junto con un conjunto de números combinados con operaciones de suma, resta, multiplicación, división, potencia o etracción de raíces

Más detalles