INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA página 37

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA página 37"

Transcripción

1 INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA página 37

2 página 38 SUMA DE FRACCIONES CONCEPTO Las cuatro operaciones fundamentales, suma, resta, multiplicación y división, con fracciones algebraicas se realizan bajo los mismos principios que en la Aritmética se utilizan, o sea, para la suma y resta, sacando común denominador; para la multiplicación, multiplicando numeradores con numeradores y denominadores con denominadores; y para la división, multiplicando "en cruz". Por esta razón, para el estudio de cada una de estas operaciones con fracciones algebraicas, se hará un recordatorio del proceso respectivo que se emplea en la Aritmética, para que el alumno traslade cada uno de los procesos aritméticos a los algebraicos, respetando simplemente las reglas del Álgebra ya conocidas. SUMA La suma de fracciones está basada en la ley fundamental de la suma que dice que "solamente cosas iguales se pueden sumar y el resultado debe ser de esas mismas cosas". O sea que cosas diferentes no se pueden sumar. Es de sentido común que no se pueden sumar cuadernos más piojos. Además, que si se suman plumas más plumas el resultado son plumas, no camiones. Por esa razón, de entrada no se puede sumar un medio más un tercio porque son cosas diferentes: la primera son mitades y la otra son terceras partes, que al final de cuentas son cosas diferentes. Para poder efectuar esta suma, la Aritmética hace un truco muy simple para reducir ambas fracciones a "cosas iguales" (fracciones equivalentes). Se sabe que , y por otra parte, de manera que sumar (cosas dife rentes) es lo mismo que sumar (ya cosas iguales). El proceso conocido como "sacar común denominador" es un procedimiento mecanizado para reducir las fracciones que se desean sumar a fracciones equivalentes; en otras palabras, es convertir cosas diferentes que no se pueden sumar a cosas iguales que ya se puedan sumar. 1 1 Cuando se tienen dos fracciones como las anteriores y, entre ellas hay un número infinito 3 de comunes denominadores, como son, por ejemplo, 6, 1, 18, 4, 30, 36, 4, etc. Pero de todos ellos hay uno que es el más pequeño, el 6, por lo que a ése se le llama mínimo común denominador. Se procura entonces obtener el mínimo común denominador, en vez de cualquier otro común denominador, solamente porque al trabajar con cantidades más pequeñas el trabajo se minimiza, pero no porque sea falso ni incorrecto. Es decir, se podría hacer la suma de la siguiente forma

3 INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA página lo cual es verdadero, solamente que es más complicado que haciéndolo con el mínimo común denominador, el 6. Un común denominador es al final de cuentas un múltiplo de todos los denominadores, por lo que se trata de un "común múltiplo". Si se refiere al mínimo común denominador entonces se habla del mínimo común múltiplo (se abrevia m.c.m.) de todos esos denominadores. COMÚN DENOMINADOR: REGLA ARITMÉTICA Para sacar el mínimo común denominador de fracciones aritméticas (o mínimo común múltiplo de todos los denominadores): Cada denominador se factoriza en sus factores primos; el mínimo común denominador se obtiene multiplicando todos los factores primos diferentes que hayan aparecido, con su máximo exponente. Ejemplo 1: Obtener el mínimo común denominador de las fracciones Solución: * Los factores primos de 4 son 3 3. * Los factores primos de 60 son 3 5. * Los factores primos de 5 son 3 5. * Los factores diferentes, con su máximo exponente, que aparecieron son 3, 3 y 5 * El mínimo común denominador es Ejemplo : Obtener el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de 8, 1 y 18. Solución: * Los factores primos de 8 son 3. * Los factores primos de 1 son 3. * Los factores primos de 18 son 3. * Los factores diferentes, con su máximo exponente, que aparecieron son 3 y 3 * El mínimo común múltiplo (m.c.m.) es REGLA ALGEBRAICA Por lo que se dijo la página anterior, la suma con fracciones algebraicas tiene el mismo principio que se emplea en la Aritmética, o sea que se puede trasladar la regla, respetando simplemente las reglas del Álgebra ya conocidas.

4 página 40 SUMA DE FRACCIONES De manera que para sacar el mínimo común denominador de fracciones algebraicas (que es lo mismo que el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de todos los denominadores), por translación de la regla Aritmética se obtiene la siguiente regla algebraica: Para sacar el mínimo común denominador de fracciones algebraicas Cada denominador se factoriza (factorización total); El mínimo común denominador se obtiene multiplicando todos los factores diferentes que hayan aparecido, con su máximo exponente. Debe entenderse que lo anterior es aplicable tanto a denominadores que sean monomios como a los que sean polinomios. Para facilitar el trabajo de comprensión y aprendizaje, se dividirá en dos partes: la primera cuando se trata de denominadores monomios; la segunda, cuando éstos son polinomios. Pero el procedimiento es el mismo en ambos casos. DENOMINADORES MONOMIOS Ejemplo 3: Obtener el mínimo común denominador de las fracciones 5 7 a 6ab 4 Solución: * Los factores de a 4 (primer denominador) son a 4. * Los factores de 6ab (segundo denominador) son 3 a b. * Los factores diferentes con su máximo exponente que aparecieron son, 3, a 4 y b * El mínimo común denominador es 3 a 4 b 6a 4 b. Ejemplo 4: Obtener el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de 8abc, 6b 3 y 9a. Solución: * Los factores de 8abc son 3 a b c. * Los factores de 6b 3 son 3 b 3. * Los factores de 9a son 3 a. * Los factores diferentes con su máximo exponente que aparecieron son 3, 3, a y b 3. * El mínimo común múltiplo (m.c.m.) es 3 3 a b 3 7a b 3.

5 INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA página 41 EJERCICIO 13 Obtener el m.c.m. de las siguientes cantidades: 1) 4a ; 3ab 3 ) ab 3 ; 5a 3 c 3) 14a 3 c ; 1b c 4) 6a; 8b; 7c 5) 10a ; 5ab ; a b 6) 63a 4 c ; 49a b 3 ; ab 6 7) 15a 3 ; 10ab; 4a b 3 8) 35b ; 5a 3 bc ; 7a c 4 9) 6a 4 c; a b c ; 9ab 6 c 3 10) 16b ; a 7 b; a 5 b 5 c 5 11) 81c 4 ; 6a; a 3 b 3 c 1) 5ab 4 ; 7a 4 c; 3x y 7 13) 7x 6 ; 11c 3 ; a 3 b 6 14) 7d 9 ; 9a 8 c ; a 5 d 5 15) 7y ; 7a 3 x 3 ; 4a 6 y 7 SUMA DE FRACCIONES: REGLA ARITMÉTICA Para efectuar la suma de fracciones aritméticas: Se obtiene el mínimo común denominador; Se divide ese mínimo común denominador entre el primer denominador y el resultado obtenido se multiplica por su numerador respectivo; Se repite el paso anterior con cada una de las fracciones a sumar; Se efectúa la suma del numerador obtenido. Ejemplo 5:Efectuar la suma de fracciones Solución: El mínimo común denominador es Se escribe: * Dividiendo ese mínimo común denominador entre el primer denominador resulta El 75 obtenido se multiplica por su numerador respectivo, es decir En ese momento se lleva escrito * Dividiendo el mínimo común denominador entre el segundo denominador resulta El 30 obtenido se multiplica por su numerador respectivo, es decir En ese momento se lleva escrito

6 página 4 SUMA DE FRACCIONES * Dividiendo el mínimo común denominador entre el tercer denominador resulta El 8 obtenido se multiplica por su numerador respectivo, es decir En ese momento se lleva escrito * Efectuando la suma del numerador obtenido: REGLA ALGEBRAICA Por lo que se dijo en páginas anteriores, la suma con fracciones algebraicas tiene el mismo principio que se emplea en la Aritmética, o sea que se puede trasladar la regla, respetando simplemente las reglas del Álgebra ya conocidas. Para efectuar la suma de fracciones algebraicas: # Se obtiene el mínimo común denominador; # Se divide ese mínimo común denominador entre el primer denominador y el resultado obtenido se multiplica por su numerador respectivo; # Se repite el paso anterior con cada una de las fracciones a sumar; # Se efectúa la suma del numerador obtenido, si es que resultan términos semejantes. Debe entenderse que lo anterior es aplicable a denominadores que sean monomios como a los que sean polinomios, aunque de momento sólo se vean los primeros. Ejemplo 6: Efectuar la suma de fracciones 5 7 4a 6ab

7 INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA página 43 Solución: El mínimo común denominador de 4a y 6ab es 3 a b 1a b. Se escribe: 5 7 4a 6ab 1a b * Dividiendo ese mínimo común denominador entre el primer denominador resulta 1a b 4a 3b. El 3b obtenido se multiplica por su numerador respectivo, es decir 3b 5. En ese momento se lleva escrito ( b) a 6ab 1a b * Dividiendo el mínimo común denominador entre el segundo denominador resulta 1a b 6ab a. El a obtenido se multiplica por su numerador respectivo, es decir a 7. En ese momento se lleva escrito ( b) ( a) a 6ab 1a b * Efectuando las multiplicaciones que quedaron indicadas en el nuevo numerador resulta ( b) ( a) a 6ab 1a b 15b 14a 1ab * Como no aparecieron términos semejantes, no se puede efectuar la suma del numerador obtenido, de manera que la respuesta es lo escrito en el paso anterior, es decir: b 14a 4a 6ab 1a b Ejemplo 7: Efectuar la suma de fracciones b 1 5a 8b 6a b

8 página 44 SUMA DE FRACCIONES Solución: El mínimo común denominador de 8b y 6a b es 3 3 a b 4a b. Se escribe: b 1 5a 8b 6a b 4a b * Dividiendo ese mínimo común denominador entre el primer denominador resulta 4a b 8b 3a. El 3a obtenido se multiplica por su numerador respectivo, es decir 3a (b 1). En ese momento se lleva escrito ( b ) a 3a 1 b 1 5 8b 6a b 4a b * Dividiendo el mínimo común denominador entre el segundo denominador resulta 4a b 6a b 4b. El 4b obtenido se multiplica por su numerador respectivo, es decir 4b(5a ). En ese momento se lleva escrito ( ) ( ) a 3a b 1 4b 5a b 1 5 8b 6a b 4a b * Efectuando las multiplicaciones que quedaron indicadas en el nuevo numerador resulta ( ) ( ) a 3a b 1 4b 5a b 1 5 8b 6a b 4a b ab a ab b 4ab * Finalmente, efectuando la suma de términos semejantes que aparecieron en el nuevo numerador, la respuesta es: b a a b a b 8b 6a b 4a b

9 INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA página 45 Ejemplo 8: Efectuar la suma de fracciones a 9ab a b a b b ab a Solución: * El mínimo común denominador de 6a 3, 9ab y a b es 3 a 3 b 18a 3 b Se escribe: a b b ab a 6a 9ab a b 18a b 3 3 * Dividiendo ese mínimo común denominador entre el primer denominador resulta 18a 3 b 6a 3 3b. El 3b obtenido se multiplica por su numerador respectivo, es decir 3b (5a - 3). En ese momento se lleva escrito ( a ) 3b a 3 3b b ab a 6a 9ab a b 18a b * Dividiendo el mínimo común denominador entre el segundo denominador resulta 18a 3 b 9ab a. El a obtenido se multiplica por su numerador respectivo, es decir a (3b - b). En ese momento se lleva escrito ( ) ( ) 3b 5a 3 a 3b b 3 3 5a 3 3b b ab a 6a 9ab a b 18a b * Dividiendo el mínimo común denominador entre el tercer denominador, resulta 18a 3 b a b 9ab. El 9ab obtenido se multiplica por su numerador respectivo, es decir 9ab(ab a). En ese momento se lleva escrito ( ) ( ) ( ) 5a 3 3b b ab a 3b 5a 3 a 3b b 9ab ab a 3 3 6a 9ab a b 18a b * Efectuando las multiplicaciones que quedaron indicadas en el nuevo numerador resulta

10 página 46 SUMA DE FRACCIONES ( ) ( ) ( ) a b b ab a 3b 5a 3 a 3b b 9ab ab a 3 3 6a 9ab a b 18a b ab a b b a b a b a b a b * Finalmente, efectuando la suma de términos semejantes que aparecieron en el nuevo numerador, la respuesta es: a 9ab a b 18a b a b b ab a a b b a b

11 INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA página 47 EJERCICIO 14 Efectuar la suma de las siguientes fracciones: a 5b 3 6ab 9b 1) ) a 7b 4b 10a 3 x 5y 4x y 18y 3 3) 4) 4 3 5c 7a ac 1a c 1 5 a 6ab x a b ax 5) 6) 3 x ab ab b x 15ab bc 8bc abc 9abc 3 3 5bc 35abc ) 8) 3 5 xy ax 3 7xy 6ax 3 9) ab 3ab abc 6 bc 1 18ab 1abc 30bc ) 3 4 3ax y 4axy y a x 0xy 10a xy 11) 3ab 3ab c 3c 3acd 49ab 14bc 35cd 1) a 1 3ab b 5 6a 9ab 1b

12 página 48 SUMA DE FRACCIONES DENOMINADORES POLINOMIOS Como se dijo en páginas anteriores, el proceso para sumar fracciones es el mismo para las fracciones aritméticas que para las algebraicas, y en éstas últimas es el mismo para aquellas que contienen denominadores monomios que para las que contienen denominadores polinomios. Para efectuar una suma de fracciones algebraicas con denominadores polinomios, se siguen entonces exactamente las mismas reglas aplicadas a los denominadores monomios, de las páginas 40 y 4, las cuales son: Para sacar el mínimo común denominador de fracciones algebraicas # Cada denominador se factoriza (factorización total); # El mínimo común denominador se obtiene multiplicando todos los factores diferentes que hayan aparecido, con su máximo exponente. Para efectuar la suma de fracciones algebraicas: # Se obtiene el mínimo común denominador; # Se divide ese mínimo común denominador entre el primer denominador y el resultado obtenido se multiplica por su numerador respectivo; # Se repite el paso anterior con cada una de las fracciones a sumar; # Se efectúa la suma del numerador obtenido, si es que resultan términos semejantes. Significa que cuando se trate de denominadores polinomios, éstos deben factorizarse primero para poder aplicar el proceso. Ejemplo 1: Efectuar la suma de fracciones 3a 5 b 7 5 a b a ab b a b Solución: * Factorizando el primer denominador a - b, (diferencia de cuadrados, página 16):

13 INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA página 49 a - b (a - b)(a b). a ab b * Factorizando el segundo denominador, (trinomio de la forma ax bxy cy Entonces:, página 6): a ab b (a b)(a b) (a b). 3a 5 b 7 5 3a 5 b 7 5 ( )( ) ( a b) a b a ab b a b a b a -b a b * El mínimo común denominador de (a - b)(a b), (a b) y (a - b) es (a b) (a - b). Se escribe: 3a 5 b 7 5 ( a b)( a -b) ( a b) a b ( a b) ( a b) * Dividiendo ese mínimo común denominador entre el primer denominador se obtiene (a b) (a - b) (a b)(a - b) a b. Este (a b) obtenido se multiplica por su numerador respectivo (por el primer numerador), es decir (a b)(3a 5). En ese momento se lleva escrito ( )( ) ( ) ( ) ( 3 5) ( ) ( ) 3a 5 b 7 5 a b a a b a -b a b a b a b a b * Dividiendo ahora el mínimo común denominador entre el segundo denominador se obtiene (a b) (a - b) (a b) a - b. Este (a - b) obtenido se multiplica por su numerador respectivo (por el segundo numerador), es decir (a - b)(b 7). En ese momento se lleva escrito ( )( ) ( ) ( ) ( 3 5) ( ) ( 7) ( ) ( ) 3a 5 b 7 5 a b a a b b a b a -b a b a b a b a b * Dividiendo el mínimo común denominador entre el tercer denominador se obtiene que (a b) (a - b) (a - b) (a b).

14 página 50 SUMA DE FRACCIONES Este (a b) obtenido se multiplica por su numerador respectivo (por el tercer numerador), es decir (a b) (5). En ese momento se lleva escrito 3a 5 b 7 5 a b a -b a b ( )( ) ( a b) ( a b)( 3a 5) ( a b)( b 7) ( a b) ( 5) ( a b) ( a b) * Efectuando las multiplicaciones que quedaron indicadas en el nuevo numerador resulta 3a 5 b 7 5 a b a -b a b ( )( ) ( a b) ( a b) ( a b) ( ) 3a 3ab 5a 5b ab b 7a 7b 5 a ab b 3a 3ab 5a 5b ab b 7a 7b 5a 10ab 5b ( a b) ( a b) * Finalmente, efectuando la suma de términos semejantes que aparecieron en el nuevo numerador, la respuesta es: 3a 5 b 7 5 8a 15ab 1a b 3b ( a b)( a -b) ( a b) a b ( a b) ( a b) NOTA: Las multiplicaciones en el numerador SÍ son indispensables que se realicen; en cambio las multiplicaciones del denominador son opcionales, pueden hacerse o dejarse así indicadas como en este ejemplo. Ejemplo : Efectuar la suma de fracciones a b 4 a b a ab b a ab a b a ab a b Solución: * Factorizando el primer denominador a - ab - b, (trinomios de la forma ax bxy cy, página 6):

15 INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA página 51 a - ab - b (a - b)(a b). * Factorizando el segundo denominador 3a - 3ab - 5a 5b (agrupación, pág. 13): 3a - 3ab - 5a 5b 3a(a - b) - 5(a - b) (a - b)(3a - 5). * Factorizando el tercer denominador 6a 3ab - 10a - 5b (agrupación, pág 13): * Entonces: 6a 3ab - 5a - 5b 3a(a - b) - 5(a - b) (a b)(3a - 5). a b 4 a b a ab b a ab a b a ab a b a b 4 a b ( a b)( a b) ( a b)( 3a 5) ( a b)( 3a * El mínimo común denominador de (a - b)(a b), (a - b)(3a - 5) y (a b)(3a - 5) es (a - b)(a b)(3a - 5). Se escribe: a b 4 a b ( a b)( a b) ( a b)( 3a 5) ( a b)( 3a ( a b)( a b)( 3a * Dividiendo ese mínimo común denominador entre el primer denominador se obtiene (a - b)(a b)(3a - 5) (a - b)(a b) 3a - 5. Este (3a - 5) obtenido se multiplica por su numerador respectivo (por el primer numerador), es decir (3a - 5)(a b). En ese momento se lleva escrito a b 4 a b ( a b)( a b) ( a b)( 3a 5) ( a b)( 3a ( 3a-5) ( a b) ( a b)( a b)( 3a

16 página 5 SUMA DE FRACCIONES * Dividiendo el mínimo común denominador entre el segundo denominador se obtiene (a - b)(a b)(3a - 5) (a - b)(3a - 5) a b. El (a b) obtenido se multiplica por su numerador respectivo (por el segundo numerador), es decir 4(a b). En ese momento se lleva escrito a b 4 a b ( a b)( a b) ( a b)( 3a 5) ( a b)( 3a ( 3a-5) ( a b) 4( a b) ( a b)( a b)( 3a * Dividiendo el mínimo común denominador entre el tercer denominador se obtiene que (a - b)(a b)(3a - 5) (a b)(3a - 5) (a - b). El (a - b) obtenido se multiplica por su numerador respectivo (por el tercer numerador), es decir (a - b)(a b). En ese momento se lleva escrito a b 4 a b ( a b)( a b) ( a b)( 3a 5) ( a b)( 3a ( 3a-5) ( a b) 4( a b) ( a-b) ( a b) ( a b)( a b)( 3a * Efectuando las multiplicaciones que quedaron indicadas en el nuevo numerador resulta a b 4 a b ( a b)( a b) ( a b)( 3a 5) ( a b)( 3a 3a 5a 3ab 5b 8a 4b a b ( a b)( a b)( 3a * Finalmente, efectuando la suma de términos semejantes que aparecieron en el nuevo numerador, la respuesta es: a b 4 a b ( a b)( a b) ( a b)( 3a 5) ( a b)( 3a

17 INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA página 53 4a 3a 3ab b b ( a b)( a b)( 3a NOTA: Las multiplicaciones en el numerador SÍ son indispensables que se realicen; en cambio las multiplicaciones del denominador son opcionales, pueden hacerse o dejarse así indicadas como en este ejemplo. Ejemplo 3: Efectuar la suma de fracciones 6a x 1 a a x a x x ax a Solución: * Factorizando el primer denominador 45a x 15a (factor común, página 11): 45a x 15a 15a (3x 1) * Factorizando el º denominador 3x - 5x - (trinomios de la forma ax bx c: 3x - 5x - (3x 1)(x - ) * Factorizando el tercer denominador 5ax - 10a (factor común, página 11): 5ax - 10a 5a(x - ) * Entonces: 6a x 1 a ax a x x ax a 6a x 1 a 5 15a 3x 1 3x 1 x 5a x ( ) ( )( ) ( ) * El mínimo común denominador de 15a (3x 1), (3x 1)(x - ) y de 5a(x - ) es 15a (3x 1)(x - ). Se escribe: 6a x 1 a 5 15a 3x 1 3x 1 x 5a x ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 15a 3x 1 x * Dividiendo ese mínimo común denominador entre el primer denominador se obtiene

18 página 54 SUMA DE FRACCIONES 15a (3x 1)(x - ) 15a (3x 1) x -. El (x - ) obtenido se multiplica por su numerador respectivo (por el primer numerador), es decir (x - )(6a ). En ese momento se lleva escrito 6a x 1 a 5 15a 3x 1 3x 1 x 5a x ( ) ( )( ) ( ) ( ) x- 6a ( )( ) 15a 3x 1 x * Dividiendo el mínimo común denominador entre el segundo denominador se obtiene 15a (3x 1)(x - ) (3x 1)(x - ) 15a. El 15a obtenido se multiplica por su numerador respectivo (por el segundo numerador), es decir 15a (x - 1). En ese momento se lleva escrito 6a x 1 a 5 15a 3x 1 3x 1 x 5a x ( ) ( )( ) ( ) ( x-) 6a 15a ( x-1) 15a ( 3x 1)( x ) * Dividiendo el mínimo común denominador entre el tercer denominador se obtiene que 15a (3x 1)(x - ) 5a(x - ) 3a(3x 1). El 3a(3x 1) obtenido se multiplica por su numerador respectivo (por el tercer numerador), es decir 3a (3x 1)(a 5). En ese momento se lleva escrito 6a x 1 a 5 15a 3x 1 3x 1 x 5a x ( ) ( )( ) ( ) ( x-) 6a 15a ( x-1) 3a( 3x 1) ( a 5) 15a ( 3x 1)( x ) * Efectuando las multiplicaciones que quedaron indicadas en el nuevo numerador resulta 6a x 1 a 5 15a 3x 1 3x 1 x 5a x ( ) ( )( ) ( )

19 INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA página 55 ( ) ( )( ) 6ax 1a 30ax 15a 3a 3ax a 15x 5 15a 3x 1 x a 3x 1 x ax a ax a ax a ax a ( )( ) * Finalmente, efectuando la suma de términos semejantes que aparecieron en el nuevo numerador, la respuesta es: 6a x 1 a 5 15a 3x 1 3x 1 x 5a x ( ) ( )( ) ( ) a 3x 1 x ax a ax a ( )( ) NOTA: Las multiplicaciones en el numerador SÍ son indispensables que se realicen; en cambio las multiplicaciones del denominador son opcionales, pueden hacerse o dejarse así indicadas como en este ejemplo.

20 página 56 SUMA DE FRACCIONES EJERCICIO 15 Efectuar la suma de las siguientes fracciones: 5 x 3 1) ) x 3x 4 x y y y y 4 5x 7 x x x 3) 4) ) 5a 7 8 4a 1a 9 a 3 6) 7) 13 5x 9 5ax 5bx 10ax 10bx 8) 15a 7 9a 1 3a 1 3b 11 ab 5 60b 1b 30ab 6ab 3 y 5 10x 9 7xy 9abxy 4x y 8abxy 9) 10) 4x ax 3x ax x 1a 6 7 8x 11 10x 35 30x 10 6x 19x 7 11) 9ax 1 3a 10 x 11 7ax x 8a 4 7a 1 x 4 1) x 9 5x 17 3a 16 ax 4x ax 4x a 16 13) 5 3a 4 6a a a a a 14) 5x 6 10x 3 x x x x ) 3 9b 1 0b 3 4b 1 b 6b 18 b 7

INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA página 57

INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA página 57 INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA página 57 página 58 RESTA DE FRACCIONES RESTA La resta de fracciones está basada, por ser el inverso de la operación suma, en las mismas reglas y leyes de la suma, es

Más detalles

INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA página 9

INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA página 9 INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA página 9 página 10 FACTORIZACIÓN CONCEPTO Para entender el concepto teórico de este tema, es necesario recordar lo que se mencionó en la página referente al nombre que

Más detalles

Operatoria algebraica

Operatoria algebraica Eje temático: Algebra y funciones Contenidos: Operatoria algebraica Ecuaciones de primer grado Nivel: 1 Medio Operatoria algebraica 1. Operatoria algebraica 1.1. Términos semejantes Un término algebraico

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS. CASO I cuando todos los términos de un polinomio tienen un factor común. Algebra Baldor

PROBLEMAS RESUELTOS. CASO I cuando todos los términos de un polinomio tienen un factor común. Algebra Baldor PROBLEMAS RESUELTOS CASO I cuando todos los términos de un polinomio tienen un factor común CASO II factor comun por agrupación de terminos CASO III trinomio cuadrado perfecto CASO IV Diferencia de cuadrados

Más detalles

Polinomios y fracciones algebraicas

Polinomios y fracciones algebraicas UNIDAD Polinomios y fracciones algebraicas U n polinomio es una expresión algebraica en la que las letras y los números están sometidos a las operaciones de sumar, restar y multiplicar. Los polinomios,

Más detalles

DEL LENGUAJE DE LOS NÚMEROS AL LEGUAJE ALGEBRAICO.

DEL LENGUAJE DE LOS NÚMEROS AL LEGUAJE ALGEBRAICO. DEL LENGUAJE DE LOS NÚMEROS AL LEGUAJE ALGEBRAICO. En ocasiones, en matemáticas, necesitamos operar con números desconocidos. Para ello, se toman letras para representar esas cantidades desconocidas o

Más detalles

POLINOMIOS OPERACIONES CON MONOMIOS

POLINOMIOS OPERACIONES CON MONOMIOS POLINOMIOS Una expresión algebraica es una combinación de letras y números, ligados por los signos de las operaciones: adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación. Las expresiones algebraicas

Más detalles

UNIDAD 6. POLINOMIOS CON COEFICIENTES ENTEROS

UNIDAD 6. POLINOMIOS CON COEFICIENTES ENTEROS UNIDAD 6. POLINOMIOS CON COEFICIENTES ENTEROS Unidad 6: Polinomios con coeficientes enteros. Al final deberás haber aprendido... Expresar algebraicamente enunciados sencillos. Extraer enunciados razonables

Más detalles

Material N 15 GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 12

Material N 15 GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 12 C u r s o : Matemática Material N 5 GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES ÁLGEBRA DE POLINOMIOS EVALUACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS Evaluar una epresión algebraica consiste en sustituir

Más detalles

Lección 9: Polinomios

Lección 9: Polinomios LECCIÓN 9 c) (8 + ) j) [ 9.56 ( 9.56)] 8 q) (a x b) d) ( 5) 4 k) (6z) r) [k 0 (k 5 k )] e) (. 0.) l) (y z) s) (v u ) 4 f) ( 5) + ( 4) m) (c d) 7 t) (p + q) g) (0 x 0.) n) (g 7 g ) Lección 9: Polinomios

Más detalles

Qué son los monomios?

Qué son los monomios? Qué son los monomios? Recordemos qué es una expresión algebraica. Definición Una expresión algebraica es aquella en la que se utilizan letras, números y signos de operaciones. Si se observan las siguientes

Más detalles

Los polinomios. Un polinomio es una expresión algebraica con una única letra, llamada variable. Ejemplo: 9x 6 3x 4 + x 6 polinomio de variable x

Los polinomios. Un polinomio es una expresión algebraica con una única letra, llamada variable. Ejemplo: 9x 6 3x 4 + x 6 polinomio de variable x Los polinomios Los polinomios Un polinomio es una expresión algebraica con una única letra, llamada variable. Ejemplo: 9x 6 3x 4 + x 6 polinomio de variable x Elementos de un polinomio Los términos: cada

Más detalles

CONVOCATORIA 2016 GUÍA DE ESTUDIO PARA PRUEBA DE ADMISIÓN DE MATEMÁTICAS

CONVOCATORIA 2016 GUÍA DE ESTUDIO PARA PRUEBA DE ADMISIÓN DE MATEMÁTICAS CONVOCATORIA 2016 GUÍA DE ESTUDIO PARA PRUEBA DE ADMISIÓN DE MATEMÁTICAS Guía de Estudio para examen de Admisión de Matemáticas CONTENIDO PRESENTACIÓN... 3 I. ARITMÉTICA... 4 1. OPERACIONES CON FRACCIONES...

Más detalles

EXPRESIONES ALGEBRAICAS. POLINOMIOS

EXPRESIONES ALGEBRAICAS. POLINOMIOS EXPRESIONES ALGEBRAICAS. POLINOMIOS 1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS. Estas expresiones del área son expresiones algebraicas, ya que además de números aparecen letras. Son también expresiones algebraicas: bac,

Más detalles

Matemáticas. para administración y economía Ernest F. Haeussler, Jr.* Richard S. Paul

Matemáticas. para administración y economía Ernest F. Haeussler, Jr.* Richard S. Paul Matemáticas para administración y economía Ernest F. Haeussler, Jr.* Richard S. Paul Curso Propedéutico de Matemáticas Unidad IV Secciones 6 y 8) 0.6 Operaciones con epresiones algebraicas. 0.8 fracciones

Más detalles

Multiplicación. Adición. Sustracción

Multiplicación. Adición. Sustracción bernardsanz TERMINOLOGÍA ALGEBRAICA Algebra: generalización de la aritmética, la cual representa cantidades por medio de símbolos en lugar de números concretos, estos símbolos representan números cualesquiera.

Más detalles

Colegio Hermanos Carrrera. Departamento de Matemática Prof. Roberto Medina

Colegio Hermanos Carrrera. Departamento de Matemática Prof. Roberto Medina Colegio Hermanos Carrrera Departamento de Matemática Prof. Roberto Medina Unidad 2 Objetivos: - Conceptos algebraicos básicos - Valoración de expresiones algebraicas - Reducción de términos semejantes

Más detalles

5 Expresiones algebraicas

5 Expresiones algebraicas 8948 _ 04-008.qxd /9/07 :0 Página 9 Expresiones algebraicas INTRODUCCIÓN RESUMEN DE LA UNIDAD El lenguaje algebraico sirve para expresar situaciones relacionadas con la vida cotidiana, utilizando letras

Más detalles

1º) Siempre que se pueda, hay que sacar factor común: :a b ± a c ± a d ± = a (b ± c ± d ± ):

1º) Siempre que se pueda, hay que sacar factor común: :a b ± a c ± a d ± = a (b ± c ± d ± ): Pág. 1 de 7 FAC T O R I Z AC I Ó N D E P O L I N O M I O S Factorizar (o descomponer en factores) un polinomio consiste en sustituirlo por un producto indicado de otros de menor grado tales que si se multiplicasen

Más detalles

Nivel Medio I-104 Provincia del Neuquén Patagonia Argentina

Nivel Medio I-104 Provincia del Neuquén Patagonia Argentina Nivel Medio I-104 Provincia del Neuquén Patagonia Argentina www.faena.edu.ar info@faena.edu.ar TERCER BLOQUE MATEMATICA Está permitida la reproducción total o parcial de parte de cualquier persona o institución

Más detalles

Coeficientes 43 X = 43 X partes literales - 7 a 3 = - 7 a 3

Coeficientes 43 X = 43 X partes literales - 7 a 3 = - 7 a 3 APUNTES Y EJERCICIOS DEL TEMA 3 1-T 3--2ºESO EXPRESIONES ALGEBRAICAS: Son combinaciones de n os y letras unidos con operaciones matemáticas (aritméticas), que generalmente suelen ser sumas, restas, multiplicaciones

Más detalles

PRODUCTOS NOTABLES: son aquellas multiplicaciones algebraicas

PRODUCTOS NOTABLES: son aquellas multiplicaciones algebraicas PRODUCTOS NOTABLES: son aquellas multiplicaciones algebraicas que se resuelven siguiendo Reglas y Fórmulas específicas para cada caso y cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, es decir

Más detalles

Fundación Uno A)2011 B)2012 B)2013 D)2014 E)2015. es equivalente a 12 b 7 + a 7 b 12 a 19 a 19 a 13 a 6 b 7 + a 7 b 6 b13 a: D) a8 +a 3 b 5 +b 8

Fundación Uno A)2011 B)2012 B)2013 D)2014 E)2015. es equivalente a 12 b 7 + a 7 b 12 a 19 a 19 a 13 a 6 b 7 + a 7 b 6 b13 a: D) a8 +a 3 b 5 +b 8 ENCUENTRO # 6 TEMA:Fracciones Algebraicas CONTENIDOS:. Máximo Común Divisor 2. Mínimo Común Múltiplo 3. Simplificación de Fraciones Algebraicas 4. Suma de Fracciones Algebraicas 5. Resta de Fracciones

Más detalles

A)2011 B)2012 B)2013 D)2014 E)2015. C) a5 +b 5

A)2011 B)2012 B)2013 D)2014 E)2015. C) a5 +b 5 ENCUENTRO # 6 TEMA: Fracciones algebraicas CONTENIDOS:. Máximo común divisor 2. Mínimo común múltiplo 3. Simplificación de fracciones algebraicas 4. Suma de fracciones algebraicas 5. Resta de fracciones

Más detalles

Tema 3. Polinomios y fracciones algebraicas

Tema 3. Polinomios y fracciones algebraicas Tema. Polinomios y fracciones algebraicas. Monomios.. Definiciones.. Operaciones con monomios. Polinomios.. Definiciones.. Operaciones con polinomios. Factorización de un polinomio.. Teorema del resto.

Más detalles

Módulo 2: Expresiones polinómicas. Factorización

Módulo 2: Expresiones polinómicas. Factorización CURSO DE NIVELACIÓN Apunte teórico - práctico Módulo 2: Expresiones polinómicas. Factorización 1 FACTORIZACIÓN Una expresión polinómica es (justamente) una expresión formada por sumas y restas de términos,

Más detalles

José de Jesús Ángel Ángel, c 2010. Factorización

José de Jesús Ángel Ángel, c 2010. Factorización José de Jesús Ángel Ángel, c 2010. Factorización Contenido 1. Introducción 2 1.1. Notación.................................. 2 2. Factor común 4 2.1. Ejercicios: factor común......................... 4

Más detalles

Una desigualdad se obtiene al escribir dos expresiones numéricas o algebraicas relacionadas con alguno de los símbolos

Una desigualdad se obtiene al escribir dos expresiones numéricas o algebraicas relacionadas con alguno de los símbolos MATEMÁTICAS BÁSICAS DESIGUALDADES DESIGUALDADES DE PRIMER GRADO EN UNA VARIABLE La epresión a b significa que "a" no es igual a "b ". Según los valores particulares de a de b, puede tenerse a > b, que

Más detalles

Factorización. Ejercicios de factorización. www.math.com.mx. José de Jesús Angel Angel. jjaa@math.com.mx

Factorización. Ejercicios de factorización. www.math.com.mx. José de Jesús Angel Angel. jjaa@math.com.mx Factorización Ejercicios de factorización www.math.com.mx José de Jesús Angel Angel jjaa@math.com.mx MathCon c 2007-2008 Contenido 1. Introducción 2 1.1. Notación...........................................

Más detalles

Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos

Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 13 13 V a l o r n u m é r i c o Valor numérico de expresiones compuestas P r o c e d i m i e n t o 1. Se reemplaza cada letra por su valor numérico 2. Se efectúan las operaciones indicadas Hallar

Más detalles

TEMA 2 POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS

TEMA 2 POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS Matemáticas B 4º E.S.O. Tema : Polinomios y fracciones algebraicas. 1 TEMA POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS.1 COCIENTE DE POLINOMIOS 4º.1.1 COCIENTE DE MONOMIOS 4º El cociente de un monomio entre otro

Más detalles

4º ESO MATEMÁTICAS Opción A 1ª EVALUACIÓN

4º ESO MATEMÁTICAS Opción A 1ª EVALUACIÓN 4º ESO MATEMÁTICAS Opción A 1ª EVALUACIÓN Bloque 2. POLINOMIOS. (En el libro Tema 3, página 47) 1. Definiciones. 2. Valor numérico de una expresión algebraica. 3. Operaciones con polinomios: 3.1. Suma,

Más detalles

martilloatomico@gmail.com

martilloatomico@gmail.com Titulo: OPERACIONES CON POLINOMIOS (Reducción de términos semejantes, suma y resta de polinomios, signos de agrupación, multiplicación y división de polinomios) Año escolar: 2do: año de bachillerato Autor:

Más detalles

EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y POLINOMIOS

EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y POLINOMIOS EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y POLINOMIOS 1. Dado el polinomio A(x)=x +3. Halla: a) (B(x)) y b)(b(x)) 3. a) Define valor numérico de un polinomio P(x) en x=a. b) Halla el valor numérico del polinomio P(x) =

Más detalles

Polinomios y fracciones algebraicas

Polinomios y fracciones algebraicas 829566 _ 0249-008.qxd 27/6/08 09:21 Página 27 Polinomios y fracciones algebraicas INTRODUCCIÓN Son múltiples los contextos en los que aparecen los polinomios: fórmulas económicas, químicas, físicas, de

Más detalles

Operaciones Fundamentales del Álgebra. Operaciones con Fracciones Algebraicas.. E xponentes y Radicales 99. Ecuaciones Lineales o de Primer Grado

Operaciones Fundamentales del Álgebra. Operaciones con Fracciones Algebraicas.. E xponentes y Radicales 99. Ecuaciones Lineales o de Primer Grado ÍNDICE COMPETENCIA Operaciones Fundamentales del Álgebra 5 COMPETENCIA Operaciones con Fracciones Algebraicas.. 7 COMPETENCIA E ponentes y Radicales 99 COMPETENCIA Ecuaciones Lineales o de Primer Grado

Más detalles

CONCEPTOS ALGEBRAICOS BASICOS

CONCEPTOS ALGEBRAICOS BASICOS CONCEPTOS ALGEBRAICOS BASICOS OBJETIVOS: 1.- Expresar relaciones numéricas mediante símbolos numéricos y literales. 2.- Reconocer las expresiones algebraicas y sus elementos. 3.- Reducir y evaluar expresiones

Más detalles

MANEJO DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS. Al finalizar el capítulo el alumno manejará expresiones algebraicas para la solución de problemas

MANEJO DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS. Al finalizar el capítulo el alumno manejará expresiones algebraicas para la solución de problemas MANEJO DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS Al finalizar el capítulo el alumno manejará expresiones algebraicas para la solución de problemas 34 Reforma académica 003 MAPA CURRICULAR Matemáticas I Aritmética y Álgebra

Más detalles

Factorización de polinomios

Factorización de polinomios Factorización de polinomios Polinomios Un polinomio p en la variable x es una expresión de la forma: px a 0 a 1 x a x a n1 x n1 a n x n donde a 0, a 1, a,, a n1, a n son unos números, llamados coeficientes

Más detalles

Recuerdas qué es? Expresión algebraica. Es una combinación de números y letras relacionados mediante operaciones aritméticas.

Recuerdas qué es? Expresión algebraica. Es una combinación de números y letras relacionados mediante operaciones aritméticas. Recuerdas qué es? Expresión algebraica Es una combinación de números y letras relacionados mediante operaciones aritméticas. Propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma Si a, b y c

Más detalles

UNIDAD I NÚMEROS REALES

UNIDAD I NÚMEROS REALES UNIDAD I NÚMEROS REALES Los números que se utilizan en el álgebra son los números reales. Hay un número real en cada punto de la recta numérica. Los números reales se dividen en números racionales y números

Más detalles

Área: Matemática ÁLGEBRA

Área: Matemática ÁLGEBRA Área: Matemática ÁLGEBRA Prof. HENRY AYTE MORALES FICHA DE TRABAJO RECUPERACIÓN 1ro SEC A, B y C I. TEORÍA DE EXPONENTES 1. DEFINICIÓN Es un conjunto de fórmulas que relaciona a los exponentes de las expresiones

Más detalles

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

EXPRESIONES ALGEBRAICAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS Trabajar en álgebra consiste en manejar relaciones numéricas en las que una o más cantidades son desconocidas. Estas cantidades se llaman V A R I A B L ES, I N C Ó G N I T A S o

Más detalles

OBJETIVOS CONTENIDOS PROCEDIMIENTOS

OBJETIVOS CONTENIDOS PROCEDIMIENTOS 82652 _ 0275-0286.qxd 27/4/07 1:20 Página 275 Polinomios INTRODUCCIÓN Son múltiples los contextos en los que aparecen los polinomios: fórmulas económicas, químicas, físicas, de ahí la importancia de comprender

Más detalles

Polinomios y fracciones algebraicas

Polinomios y fracciones algebraicas 0 Polinomios y fracciones algebraicas En esta Unidad aprenderás a: d Trabajar con epresiones polinómicas. d Factorizar polinomios. d Operar con fracciones algebraicas. d Descomponer una fracción algebraica

Más detalles

DESIGUALDADES página 1

DESIGUALDADES página 1 DESIGUALDADES página 1 1.1 CONCEPTOS Y DEFINICIONES Una igualdad en Álgebra es aquella relación que establece equivalencia entre dos entes matemáticos. Es una afirmación, a través del signo =, de que dos

Más detalles

PENDIENTES 2º ESO. Segundo examen DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS. Preparación del segundo examen de recuperación de MATEMÁTICAS DE 2º ESO Curso 2013-2014

PENDIENTES 2º ESO. Segundo examen DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS. Preparación del segundo examen de recuperación de MATEMÁTICAS DE 2º ESO Curso 2013-2014 014 015 Preparación del segundo examen de recuperación de MATEMÁTICAS DE º ESO Curso 013-014 PENDIENTES º ESO Segundo examen DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Preparación del segundo examen de recuperación de

Más detalles

EL GRADO Y LOS ELEMENTOS QUE FORMAN UN POLINOMIO

EL GRADO Y LOS ELEMENTOS QUE FORMAN UN POLINOMIO RECONOCER OBJETIVO EL GRADO Y LOS ELEMENTOS QUE ORMAN UN POLINOMIO NOMBRE: CURSO: ECHA: Un polinomio es una expresión algebraica formada por la suma algebraica de monomios, que son los términos del polinomio.

Más detalles

FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS GUIA DE NIVELACION 3 PERIODO

FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS GUIA DE NIVELACION 3 PERIODO FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS GUIA DE NIVELACION 3 PERIODO Recuerde que: 1. Factorizar una expresión algebraica consiste en escribirla como un producto. 2. Existen varios casos de factorización. Revisemos

Más detalles

POLINOMIOS. División. Regla de Ruffini.

POLINOMIOS. División. Regla de Ruffini. POLINOMIOS. División. Regla de Ruffini. Recuerda: Un monomio en x es una expresión algebraica de la forma a x tal que a es un número real y n es un número natural. El real a se llama coeficiente y n se

Más detalles

1.3 Números racionales

1.3 Números racionales 1.3 1.3.1 El concepto de número racional Figura 1.2: Un reparto no equitativo: 12 5 =?. Figura 1.3: Un quinto de la unidad. Con los números naturales y enteros es imposible resolver cuestiones tan simples

Más detalles

IES MARIA INMACULADA MATEMÁTICAS 2º E.S.O. Curso 2010-2011 TEMA : LENGUAJE ALGEBRÁICO

IES MARIA INMACULADA MATEMÁTICAS 2º E.S.O. Curso 2010-2011 TEMA : LENGUAJE ALGEBRÁICO IES MARIA INMACULADA MATEMÁTICAS º E.S.O. Curso 010-011 GUIÓN DEL TEMA 1. Lenguaje numérico y lenguaje algebraico.. Epresión algebraica.. Valor numérico de una epresión algebraica.. Monomios. 5. Grado

Más detalles

Profr. Efraín Soto Apolinar. Factorización

Profr. Efraín Soto Apolinar. Factorización Factorización La factorización es la otra parte de la historia de los productos notables. Esto es, ambas cosas se refieren a las mismas fórmulas, pero en los productos notables se nos daba una operación

Más detalles

Matemáticas I (Álgebra) Manual de bachillerato. Primera Edición, 2009 Compilación y Asesoría Pedagógica Erika Alejandra López Estrada

Matemáticas I (Álgebra) Manual de bachillerato. Primera Edición, 2009 Compilación y Asesoría Pedagógica Erika Alejandra López Estrada Matemáticas I (Álgebra) Manual de bachillerato Primera Edición, 2009 Compilación y Asesoría Pedagógica Erika Alejandra López Estrada Coordinador editorial Alan Santacruz Farfán Revisión Alejandro Vázquez

Más detalles

DESARROLLO. a r a s = ar s

DESARROLLO. a r a s = ar s ENCUENTRO # 11 TEMA:Operaciones con polinomios CONTENIDOS: 1. División de polinomios. DESARROLLO Ejercicio Reto 1. El resultado de n 4 n 1 es: A) 1 B) 1 n 1 B)4 n 1 D) 4 E) 1 4 4 4 4 4 n 1 4 2. Si para

Más detalles

Profesoresdematemáticaswww.institu teofmathematics.webs.comprofesores dematemáticaswww.instituteofmathe. matics.webs.comprofesoresdematemá

Profesoresdematemáticaswww.institu teofmathematics.webs.comprofesores dematemáticaswww.instituteofmathe. matics.webs.comprofesoresdematemá Profesoresdematemáticaswww.institu teofmathematics.webs.comprofesores dematemáticaswww.instituteofmathe Matemáticas IV matics.webs.comprofesoresdematemá ENP ticaswww.instituteofmathematics.web s.comprofesoresdematematicaswww.i

Más detalles

REGLA DE RUFFINI. FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS

REGLA DE RUFFINI. FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS REGLA DE RUFFINI. FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS Si en una división de polinomios el divisor es de la forma (x - a) se puede aplicar la regla de Ruffini para obtener el cociente y el resto de la división.

Más detalles

1. División de polinomios por monomios

1. División de polinomios por monomios 1. División de polinomios por monomios El cociente de dos monomios (si es posible) es igual a otro monomio que tiene: como coeficiente, el cociente de los coeficientes; como parte literal, las letras que

Más detalles

Operaciones con Fracciones Aritméticas

Operaciones con Fracciones Aritméticas Aritméticas Carlos A. Rivera-Morales Álgebra Tabla de Contenido Contenido : Contenido Discutiremos: el mínimo común múltiplo de dos o más números enteros : Contenido Discutiremos: el mínimo común múltiplo

Más detalles

La suma se realiza miembro a miembro. La suma de polinomios goza de las mismas propiedades que la suma de números. Ejemplo:

La suma se realiza miembro a miembro. La suma de polinomios goza de las mismas propiedades que la suma de números. Ejemplo: Tema 4. Polinomios 1. Definición Un polinomio es una expresión hecha con constantes, variables y exponentes, que están combinados. Los exponentes sólo pueden ser 0, 1, 2, 3,... etc. No puede tener un número

Más detalles

INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA página 67

INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA página 67 INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA página 67 página 68 MULTIPLICACIÓN La multiplicación, a partir de su definición original, representa o es una suma abreviada. Por ejemplo, + + + +, se abrevia con 5. De

Más detalles

Multiplicación de Polinomios. Ejercicios de multiplicación de polinomios. www.math.com.mx. José de Jesús Angel Angel. jjaa@math.com.

Multiplicación de Polinomios. Ejercicios de multiplicación de polinomios. www.math.com.mx. José de Jesús Angel Angel. jjaa@math.com. Multiplicación de Polinomios Ejercicios de multiplicación de polinomios www.math.com.mx José de Jesús Angel Angel jjaa@math.com.mx MathCon c 2007-2008 Contenido 1. Antecedentes 2 2. Multiplicación de monomios

Más detalles

Contenido Nº1 Factor Común Monomio

Contenido Nº1 Factor Común Monomio GUIA PREPARATORIA MATEMATICA UNIDAD : ALGEBRA. CONTENIDOS : Factorizaciones. NOMBRE: Fecha:.. Contenido Nº1 Factor Común Monomio I. EJERCICIOS. Halla el factor común de los siguientes ejercicios: 1) 6x

Más detalles

3 POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS

3 POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS PARA EMPEZAR Un cuadrado tiene 5 centímetros de lado. Escribe la epresión algebraica que da el área cuando el lado aumenta centímetros. A ( 5) Señala cuáles de las siguientes

Más detalles

Polinomios: Definición: Se llama polinomio en "x" de grado "n" a una expresión del tipo

Polinomios: Definición: Se llama polinomio en x de grado n a una expresión del tipo Polinomios: Definición: Se llama polinomio en "x" de grado "n" a una expresión del tipo P (x) = a 0 x n + a 1 x n 1 +... + a n Donde n N (número natural) ; a 0, a 1, a 2,..., a n son coeficientes reales

Más detalles

Polinomios y Fracciones Algebraicas

Polinomios y Fracciones Algebraicas Tema 4 Polinomios y Fracciones Algebraicas En general, a lo largo de este tema trabajaremos con el conjunto de los números reales y, en casos concretos nos referiremos al conjunto de los números complejos.

Más detalles

a) Un número par I) 2n 1 b) Un número impar II) x, x 1 c) Un número y el que le sigue III) 3a d) El triple de un número IV) 2z x 6 b) e)

a) Un número par I) 2n 1 b) Un número impar II) x, x 1 c) Un número y el que le sigue III) 3a d) El triple de un número IV) 2z x 6 b) e) Polinomios El 6 de septiembre del 00 se celebró el gran Premio de Singapur, la 5.ª prueba del mundial de Fórmula. La carrera constaba de 6 vueltas a un circuito de 5 067 m de longitud. Fernando Alonso,

Más detalles

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE CHETUMAL

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE CHETUMAL INSTITUTO TECNOLÓGICO DE CHETUMAL CUADERNILLO DEL CURSO DE NIVELACIÓN 014 PARA LAS CARRERAS DE: INGENIERÍA CIVIL INGENIERÍA ELÉCTIRCA INGENIERÍA EN SISTEMAS COMPUTACIONALES INGENIERÍA EN TECNOLOGIAS DE

Más detalles

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

EXPRESIONES ALGEBRAICAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS Un grupo de variables representadas por letras junto con un conjunto de números combinados con operaciones de suma, resta, multiplicación, división, potencia o etracción de raíces

Más detalles

SOLUCIÓN DE INECUACIONES DE UNA VARIABLE

SOLUCIÓN DE INECUACIONES DE UNA VARIABLE SOLUCIÓN DE INECUACIONES DE UNA VARIABLE Resolver una inecuación es hallar el conjunto de soluciones de las incógnitas que satisfacen la inecuación. Terminología: ax + b > cx + d Primer miembro Segundo

Más detalles

BOLETIN Nº 4 MATEMÁTICAS 3º ESO Operaciones con radicales

BOLETIN Nº 4 MATEMÁTICAS 3º ESO Operaciones con radicales Radicales " Raíz: se llama raíz de un número o de una expresión algebraica a todo número o expresión algebraica que elevada a una potencia "n"; reproduce la expresión dada. " Elementos de la raíz. - Radical:

Más detalles

Capítulo 4. Productos notables y factorización

Capítulo 4. Productos notables y factorización Capítulo 4 Productos notables y factorización Las siguientes fórmulas de multiplicación de expresiones algebraicas ayudan a factorizar muchas expresiones, sin embargo se debe aprender a reconocer cuál

Más detalles

Lección 1-Introducción a los Polinomios y Suma y Resta de Polinomios. Dra. Noemí L. Ruiz Limardo 2009

Lección 1-Introducción a los Polinomios y Suma y Resta de Polinomios. Dra. Noemí L. Ruiz Limardo 2009 Lección 1-Introducción a los Polinomios y Suma y Resta de Polinomios Dra. Noemí L. Ruiz Limardo 2009 Objetivos de la Lección Al finalizar esta lección los estudiantes: Identificarán, de una lista de expresiones

Más detalles

Propiedades de les desigualdades.

Propiedades de les desigualdades. Desigualdades Inecuaciones Diremos que a < b a es menor que b si b a es un número positivo. Gráficamente, a queda a l esquerra de b. Diremos que a > b a mayor que b si a b es un número positivo. Gráficamente,

Más detalles

MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas

MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Tema 2 Polinomios y fracciones algebraicas Elaborado por la Profesora Doctora

Más detalles

TEMA 3 POLINOMIOS NOMBRE Y APELLIDOS... HOJA 1 - FECHA...

TEMA 3 POLINOMIOS NOMBRE Y APELLIDOS... HOJA 1 - FECHA... TEMA 3 POLINOMIOS NOMBRE Y APELLIDOS... HOJA 1 - FECHA... TEMA 3 EXPRESIONES ENTERAS Y POLINOMIOS Una expresión algebraica es una combinación de letras y números con operaciones matemáticas que las unen,

Más detalles

Si los términos no son semejantes no se pueden reducir a un total. Cuando los elementos son de la misma especie se dice que son semejantes.

Si los términos no son semejantes no se pueden reducir a un total. Cuando los elementos son de la misma especie se dice que son semejantes. Operaciones básicas con Expresiones Algebraicas (adición, sustracción, multiplicación y división) y redacta un informe Teórico práctico donde describas el procedimiento para realizar cada operación y al

Más detalles

El número de arriba de la fracción, el numerador, nos dice cuántas de las partes iguales están coloreadas.

El número de arriba de la fracción, el numerador, nos dice cuántas de las partes iguales están coloreadas. Qué es una fracción? Una fracción es un número que indica parte de un entero o parte de un grupo. El siguiente círculo está dividido en partes iguales de las cuales partes están coloreadas. El número de

Más detalles

Ecuaciones de primer y segundo grado

Ecuaciones de primer y segundo grado Igualdad Ecuaciones de primer y segundo grado Una igualdad se compone de dos expresiones unidas por el signo igual. 2x + 3 = 5x 2 Una igualdad puede ser: Falsa: 2x + 1 = 2 (x + 1) 2x + 1 = 2x + 2 1 2.

Más detalles

MATERIAL DIDACTICO DE MATEMÁTICAS

MATERIAL DIDACTICO DE MATEMÁTICAS MATERIAL DIDACTICO DE MATEMÁTICAS Matemáticas 1 INSTITUTO TECNOLÓGICO DE ROQUE MATERIAL DIDACTICO DE MATEMÁTICAS DEPARTAMENTO CIENCIAS BÁSICAS ELABORARON: ERIKA RAMOS OJEDA RAQUEL ALDACO SEGOVIANO JORGE

Más detalles

mcd y mcm Máximo Común Divisor y Mínimo Común múltiplo www.math.com.mx José de Jesús Angel Angel jjaa@math.com.mx

mcd y mcm Máximo Común Divisor y Mínimo Común múltiplo www.math.com.mx José de Jesús Angel Angel jjaa@math.com.mx mcd y mcm Máximo Común Divisor y Mínimo Común múltiplo www.math.com.mx José de Jesús Angel Angel jjaa@math.com.mx MathCon c 2007-2008 Contenido 1. Divisores de un número entero 2 2. Máximo común divisor

Más detalles

Operaciones con polinomios

Operaciones con polinomios Operaciones con polinomios Los polinomios son una generalización de nuestro sistema de numeración. Cuando escribimos un número, por ejemplo, 2 354, queremos decir: 2 354 = 2 000 + 300 + 50 + 4 = 2)1 000)

Más detalles

. Definición: Dos o más términos son semejantes cuando tienen las mismas letras y afectadas por el mismo exponente.

. Definición: Dos o más términos son semejantes cuando tienen las mismas letras y afectadas por el mismo exponente. Ejercicios Resueltos del Algebra de Baldor. Consultado en la siguiente dirección electrónica http://www.quizma.cl/matematicas/recursos/algebradebaldor/index.htm. Definición: Dos o más términos son semejantes

Más detalles

Polinomios y fracciones algebraicas

Polinomios y fracciones algebraicas Polinomios y fracciones algebraicas POLINOMIOS SUMA, RESTA Y MULTIPLICACIÓN POTENCIAS DIVISIÓN REGLA DE RUFFINI DIVISORES DE UN POLINOMIO FACTORIZACIÓN DE UN POLINOMIO VALOR NUMÉRICO DE UN POLINOMIO TEOREMA

Más detalles

(a+b) (a b)=a 2 b 2 OBJETIVOS CONTENIDOS PROCEDIMIENTOS

(a+b) (a b)=a 2 b 2 OBJETIVOS CONTENIDOS PROCEDIMIENTOS Polinomios INTRODUCCIÓN Son múltiples los contextos en los que aparecen los polinomios: fórmulas económicas, químicas, físicas, de ahí la importancia de comprender el concepto de polinomio y otros asociados

Más detalles

Programa de Algebra Superior Caracterización de la asignatura: Esta materia se agregó al plan de estudios de las ingenierías como reforzamiento de

Programa de Algebra Superior Caracterización de la asignatura: Esta materia se agregó al plan de estudios de las ingenierías como reforzamiento de Programa de Algebra Superior Caracterización de la asignatura: Esta materia se agregó al plan de estudios de las ingenierías como reforzamiento de las bases matemáticas para mejorar el aprendizaje de los

Más detalles

Iniciación a las Matemáticas para la ingenieria

Iniciación a las Matemáticas para la ingenieria Iniciación a las Matemáticas para la ingenieria Los números naturales 8 Qué es un número natural? 11 Cuáles son las operaciones básicas entre números naturales? 11 Qué son y para qué sirven los paréntesis?

Más detalles

UNIDAD DE APRENDIZAJE IV

UNIDAD DE APRENDIZAJE IV UNIDAD DE APRENDIZAJE IV Saberes procedimentales 1. Interpreta y utiliza correctamente el lenguaje simbólico ara el manejo de expresiones algebraicas. 2. Identifica operaciones básicas con expresiones

Más detalles

POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS

POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS Página 66 PARA EMPEZAR, REFLEXIONA Y RESUELVE Múltiplos y divisores. Haz la división: 4 + 5 0 + 5 A la vista del resultado, di dos divisores del polinomio 4 + 5 0. (

Más detalles

Aquí van cada uno de los casos de factorización que conviene tener presente:

Aquí van cada uno de los casos de factorización que conviene tener presente: Se puede decir que la factorización algebraica es el proceso inverso de La multiplicación del mismo tipo. Existen diversos tipos de factorización, cuyas reglas y algoritmos dependen de la forma de la expresión.

Más detalles

FACTORIZACIÓN I # DE FACTORES PRIMOS POLINOMIO FACTORIZADO. multiplicación (x + 1) (x + 3) = x 2 + 4x + 3. P(x, y, z) = (x + y)(x - y)z 2 x 3

FACTORIZACIÓN I # DE FACTORES PRIMOS POLINOMIO FACTORIZADO. multiplicación (x + 1) (x + 3) = x 2 + 4x + 3. P(x, y, z) = (x + y)(x - y)z 2 x 3 I Es el proceso que consiste en transportar un polinomio racional entero en una multiplicación de dos o mas polinomios de grados mayores o iguales a uno, llamado factores: multiplicación (x + 1) (x + 3)

Más detalles

FACTORIZACIÓN MÉTODO DE FACTORIZACIÓN A. FACTOR COMÚN MONOMIO

FACTORIZACIÓN MÉTODO DE FACTORIZACIÓN A. FACTOR COMÚN MONOMIO Es el proceso que consiste en transportar un polinomio racional entero en una multiplicación de dos o más polinomios de grados mayores o iguales a uno, llamado factores: multiplicación (x + 1) (x + 3)

Más detalles

Desarrollar los puntos anteriores en hojas cuadriculadas examen.

Desarrollar los puntos anteriores en hojas cuadriculadas examen. DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS TERCER PERIODO - 2014 NOMBRE DEL ESTUDIANTE: GRADO: OCTAVO CURSO: ASIGNATURA: MATEMÁTICAS PROFESOR (A): INDICADORES DE DESEMPEÑO 301. Comunicación Matemática: Utiliza lenguaje

Más detalles

NÚMEROS NATURALES Y NÚMEROS ENTEROS

NÚMEROS NATURALES Y NÚMEROS ENTEROS NÚMEROS NATURALES Y NÚMEROS ENTEROS Los números naturales surgen como respuesta a la necesidad de nuestros antepasados de contar los elementos de un conjunto (por ejemplo los animales de un rebaño) y de

Más detalles

3 Polinomios y fracciones algebráicas

3 Polinomios y fracciones algebráicas Solucionario 3 Polinomios y fracciones algebráicas ACTIVIDADES INICIALES 3.I. Para cada uno de los siguientes monomios, indica las variables, el grado y el coeficiente, y calcula el valor numérico de los

Más detalles

Capítulo 2 Números Reales

Capítulo 2 Números Reales Introducción Capítulo Números Reales La idea de número aparece en la historia del hombre ligada a la necesidad de contar objetos, animales, etc. Para lograr este objetivo, usaron los dedos, guijarros,

Más detalles

TEMA 4 FRACCIONES MATEMÁTICAS 1º ESO

TEMA 4 FRACCIONES MATEMÁTICAS 1º ESO TEMA 4 FRACCIONES Criterios De Evaluación de la Unidad 1 Utilizar de forma adecuada las fracciones para recibir y producir información en actividades relacionadas con la vida cotidiana. 2 Leer, escribir,

Más detalles

Guía 4 Formalizando conceptos y procedimientos algebraicos

Guía 4 Formalizando conceptos y procedimientos algebraicos 1 Guía 4 Formalizando conceptos y procedimientos algebraicos Nombre Curso Capacidad Destreza Valor Actitud 1 Año Medio A B C D Resolver Problemas Analizar Colaboración Constancia Aprendizajes Esperados

Más detalles

FRACCIONES. Una fracción tiene dos términos, numerador y denominador, separados por una raya horizontal.

FRACCIONES. Una fracción tiene dos términos, numerador y denominador, separados por una raya horizontal. FRACCIONES Las fracciones representan números (son números, mucho más exactos que los enteros o los decimales), Representa una o varias partes de la unidad. Una fracción tiene dos términos, numerador y

Más detalles

Conectados con el pasado, proyectados hacia el futuro Plan Anual de Matemática III Año PAI VIIIGrado

Conectados con el pasado, proyectados hacia el futuro Plan Anual de Matemática III Año PAI VIIIGrado Actualizado en febrero del 2013 Conectados con el pasado, proyectados hacia el futuro Plan Anual de Matemática III Año PAI VIIIGrado CONTENIDOS OBJETIVOS ESPECÍFICOS HABILIDADES CRITERIOS DE EVALUACIÓN

Más detalles