INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA página 37

Transcripción

1 INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA página 37

2 página 38 SUMA DE FRACCIONES CONCEPTO Las cuatro operaciones fundamentales, suma, resta, multiplicación y división, con fracciones algebraicas se realizan bajo los mismos principios que en la Aritmética se utilizan, o sea, para la suma y resta, sacando común denominador; para la multiplicación, multiplicando numeradores con numeradores y denominadores con denominadores; y para la división, multiplicando "en cruz". Por esta razón, para el estudio de cada una de estas operaciones con fracciones algebraicas, se hará un recordatorio del proceso respectivo que se emplea en la Aritmética, para que el alumno traslade cada uno de los procesos aritméticos a los algebraicos, respetando simplemente las reglas del Álgebra ya conocidas. SUMA La suma de fracciones está basada en la ley fundamental de la suma que dice que "solamente cosas iguales se pueden sumar y el resultado debe ser de esas mismas cosas". O sea que cosas diferentes no se pueden sumar. Es de sentido común que no se pueden sumar cuadernos más piojos. Además, que si se suman plumas más plumas el resultado son plumas, no camiones. Por esa razón, de entrada no se puede sumar un medio más un tercio porque son cosas diferentes: la primera son mitades y la otra son terceras partes, que al final de cuentas son cosas diferentes. Para poder efectuar esta suma, la Aritmética hace un truco muy simple para reducir ambas fracciones a "cosas iguales" (fracciones equivalentes). Se sabe que , y por otra parte, de manera que sumar (cosas dife rentes) es lo mismo que sumar (ya cosas iguales). El proceso conocido como "sacar común denominador" es un procedimiento mecanizado para reducir las fracciones que se desean sumar a fracciones equivalentes; en otras palabras, es convertir cosas diferentes que no se pueden sumar a cosas iguales que ya se puedan sumar. 1 1 Cuando se tienen dos fracciones como las anteriores y, entre ellas hay un número infinito 3 de comunes denominadores, como son, por ejemplo, 6, 1, 18, 4, 30, 36, 4, etc. Pero de todos ellos hay uno que es el más pequeño, el 6, por lo que a ése se le llama mínimo común denominador. Se procura entonces obtener el mínimo común denominador, en vez de cualquier otro común denominador, solamente porque al trabajar con cantidades más pequeñas el trabajo se minimiza, pero no porque sea falso ni incorrecto. Es decir, se podría hacer la suma de la siguiente forma

3 INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA página lo cual es verdadero, solamente que es más complicado que haciéndolo con el mínimo común denominador, el 6. Un común denominador es al final de cuentas un múltiplo de todos los denominadores, por lo que se trata de un "común múltiplo". Si se refiere al mínimo común denominador entonces se habla del mínimo común múltiplo (se abrevia m.c.m.) de todos esos denominadores. COMÚN DENOMINADOR: REGLA ARITMÉTICA Para sacar el mínimo común denominador de fracciones aritméticas (o mínimo común múltiplo de todos los denominadores): Cada denominador se factoriza en sus factores primos; el mínimo común denominador se obtiene multiplicando todos los factores primos diferentes que hayan aparecido, con su máximo exponente. Ejemplo 1: Obtener el mínimo común denominador de las fracciones Solución: * Los factores primos de 4 son 3 3. * Los factores primos de 60 son 3 5. * Los factores primos de 5 son 3 5. * Los factores diferentes, con su máximo exponente, que aparecieron son 3, 3 y 5 * El mínimo común denominador es Ejemplo : Obtener el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de 8, 1 y 18. Solución: * Los factores primos de 8 son 3. * Los factores primos de 1 son 3. * Los factores primos de 18 son 3. * Los factores diferentes, con su máximo exponente, que aparecieron son 3 y 3 * El mínimo común múltiplo (m.c.m.) es REGLA ALGEBRAICA Por lo que se dijo la página anterior, la suma con fracciones algebraicas tiene el mismo principio que se emplea en la Aritmética, o sea que se puede trasladar la regla, respetando simplemente las reglas del Álgebra ya conocidas.

4 página 40 SUMA DE FRACCIONES De manera que para sacar el mínimo común denominador de fracciones algebraicas (que es lo mismo que el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de todos los denominadores), por translación de la regla Aritmética se obtiene la siguiente regla algebraica: Para sacar el mínimo común denominador de fracciones algebraicas Cada denominador se factoriza (factorización total); El mínimo común denominador se obtiene multiplicando todos los factores diferentes que hayan aparecido, con su máximo exponente. Debe entenderse que lo anterior es aplicable tanto a denominadores que sean monomios como a los que sean polinomios. Para facilitar el trabajo de comprensión y aprendizaje, se dividirá en dos partes: la primera cuando se trata de denominadores monomios; la segunda, cuando éstos son polinomios. Pero el procedimiento es el mismo en ambos casos. DENOMINADORES MONOMIOS Ejemplo 3: Obtener el mínimo común denominador de las fracciones 5 7 a 6ab 4 Solución: * Los factores de a 4 (primer denominador) son a 4. * Los factores de 6ab (segundo denominador) son 3 a b. * Los factores diferentes con su máximo exponente que aparecieron son, 3, a 4 y b * El mínimo común denominador es 3 a 4 b 6a 4 b. Ejemplo 4: Obtener el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de 8abc, 6b 3 y 9a. Solución: * Los factores de 8abc son 3 a b c. * Los factores de 6b 3 son 3 b 3. * Los factores de 9a son 3 a. * Los factores diferentes con su máximo exponente que aparecieron son 3, 3, a y b 3. * El mínimo común múltiplo (m.c.m.) es 3 3 a b 3 7a b 3.

5 INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA página 41 EJERCICIO 13 Obtener el m.c.m. de las siguientes cantidades: 1) 4a ; 3ab 3 ) ab 3 ; 5a 3 c 3) 14a 3 c ; 1b c 4) 6a; 8b; 7c 5) 10a ; 5ab ; a b 6) 63a 4 c ; 49a b 3 ; ab 6 7) 15a 3 ; 10ab; 4a b 3 8) 35b ; 5a 3 bc ; 7a c 4 9) 6a 4 c; a b c ; 9ab 6 c 3 10) 16b ; a 7 b; a 5 b 5 c 5 11) 81c 4 ; 6a; a 3 b 3 c 1) 5ab 4 ; 7a 4 c; 3x y 7 13) 7x 6 ; 11c 3 ; a 3 b 6 14) 7d 9 ; 9a 8 c ; a 5 d 5 15) 7y ; 7a 3 x 3 ; 4a 6 y 7 SUMA DE FRACCIONES: REGLA ARITMÉTICA Para efectuar la suma de fracciones aritméticas: Se obtiene el mínimo común denominador; Se divide ese mínimo común denominador entre el primer denominador y el resultado obtenido se multiplica por su numerador respectivo; Se repite el paso anterior con cada una de las fracciones a sumar; Se efectúa la suma del numerador obtenido. Ejemplo 5:Efectuar la suma de fracciones Solución: El mínimo común denominador es Se escribe: * Dividiendo ese mínimo común denominador entre el primer denominador resulta El 75 obtenido se multiplica por su numerador respectivo, es decir En ese momento se lleva escrito * Dividiendo el mínimo común denominador entre el segundo denominador resulta El 30 obtenido se multiplica por su numerador respectivo, es decir En ese momento se lleva escrito

6 página 4 SUMA DE FRACCIONES * Dividiendo el mínimo común denominador entre el tercer denominador resulta El 8 obtenido se multiplica por su numerador respectivo, es decir En ese momento se lleva escrito * Efectuando la suma del numerador obtenido: REGLA ALGEBRAICA Por lo que se dijo en páginas anteriores, la suma con fracciones algebraicas tiene el mismo principio que se emplea en la Aritmética, o sea que se puede trasladar la regla, respetando simplemente las reglas del Álgebra ya conocidas. Para efectuar la suma de fracciones algebraicas: # Se obtiene el mínimo común denominador; # Se divide ese mínimo común denominador entre el primer denominador y el resultado obtenido se multiplica por su numerador respectivo; # Se repite el paso anterior con cada una de las fracciones a sumar; # Se efectúa la suma del numerador obtenido, si es que resultan términos semejantes. Debe entenderse que lo anterior es aplicable a denominadores que sean monomios como a los que sean polinomios, aunque de momento sólo se vean los primeros. Ejemplo 6: Efectuar la suma de fracciones 5 7 4a 6ab

7 INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA página 43 Solución: El mínimo común denominador de 4a y 6ab es 3 a b 1a b. Se escribe: 5 7 4a 6ab 1a b * Dividiendo ese mínimo común denominador entre el primer denominador resulta 1a b 4a 3b. El 3b obtenido se multiplica por su numerador respectivo, es decir 3b 5. En ese momento se lleva escrito ( b) a 6ab 1a b * Dividiendo el mínimo común denominador entre el segundo denominador resulta 1a b 6ab a. El a obtenido se multiplica por su numerador respectivo, es decir a 7. En ese momento se lleva escrito ( b) ( a) a 6ab 1a b * Efectuando las multiplicaciones que quedaron indicadas en el nuevo numerador resulta ( b) ( a) a 6ab 1a b 15b 14a 1ab * Como no aparecieron términos semejantes, no se puede efectuar la suma del numerador obtenido, de manera que la respuesta es lo escrito en el paso anterior, es decir: b 14a 4a 6ab 1a b Ejemplo 7: Efectuar la suma de fracciones b 1 5a 8b 6a b

8 página 44 SUMA DE FRACCIONES Solución: El mínimo común denominador de 8b y 6a b es 3 3 a b 4a b. Se escribe: b 1 5a 8b 6a b 4a b * Dividiendo ese mínimo común denominador entre el primer denominador resulta 4a b 8b 3a. El 3a obtenido se multiplica por su numerador respectivo, es decir 3a (b 1). En ese momento se lleva escrito ( b ) a 3a 1 b 1 5 8b 6a b 4a b * Dividiendo el mínimo común denominador entre el segundo denominador resulta 4a b 6a b 4b. El 4b obtenido se multiplica por su numerador respectivo, es decir 4b(5a ). En ese momento se lleva escrito ( ) ( ) a 3a b 1 4b 5a b 1 5 8b 6a b 4a b * Efectuando las multiplicaciones que quedaron indicadas en el nuevo numerador resulta ( ) ( ) a 3a b 1 4b 5a b 1 5 8b 6a b 4a b ab a ab b 4ab * Finalmente, efectuando la suma de términos semejantes que aparecieron en el nuevo numerador, la respuesta es: b a a b a b 8b 6a b 4a b

9 INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA página 45 Ejemplo 8: Efectuar la suma de fracciones a 9ab a b a b b ab a Solución: * El mínimo común denominador de 6a 3, 9ab y a b es 3 a 3 b 18a 3 b Se escribe: a b b ab a 6a 9ab a b 18a b 3 3 * Dividiendo ese mínimo común denominador entre el primer denominador resulta 18a 3 b 6a 3 3b. El 3b obtenido se multiplica por su numerador respectivo, es decir 3b (5a - 3). En ese momento se lleva escrito ( a ) 3b a 3 3b b ab a 6a 9ab a b 18a b * Dividiendo el mínimo común denominador entre el segundo denominador resulta 18a 3 b 9ab a. El a obtenido se multiplica por su numerador respectivo, es decir a (3b - b). En ese momento se lleva escrito ( ) ( ) 3b 5a 3 a 3b b 3 3 5a 3 3b b ab a 6a 9ab a b 18a b * Dividiendo el mínimo común denominador entre el tercer denominador, resulta 18a 3 b a b 9ab. El 9ab obtenido se multiplica por su numerador respectivo, es decir 9ab(ab a). En ese momento se lleva escrito ( ) ( ) ( ) 5a 3 3b b ab a 3b 5a 3 a 3b b 9ab ab a 3 3 6a 9ab a b 18a b * Efectuando las multiplicaciones que quedaron indicadas en el nuevo numerador resulta

10 página 46 SUMA DE FRACCIONES ( ) ( ) ( ) a b b ab a 3b 5a 3 a 3b b 9ab ab a 3 3 6a 9ab a b 18a b ab a b b a b a b a b a b * Finalmente, efectuando la suma de términos semejantes que aparecieron en el nuevo numerador, la respuesta es: a 9ab a b 18a b a b b ab a a b b a b

11 INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA página 47 EJERCICIO 14 Efectuar la suma de las siguientes fracciones: a 5b 3 6ab 9b 1) ) a 7b 4b 10a 3 x 5y 4x y 18y 3 3) 4) 4 3 5c 7a ac 1a c 1 5 a 6ab x a b ax 5) 6) 3 x ab ab b x 15ab bc 8bc abc 9abc 3 3 5bc 35abc ) 8) 3 5 xy ax 3 7xy 6ax 3 9) ab 3ab abc 6 bc 1 18ab 1abc 30bc ) 3 4 3ax y 4axy y a x 0xy 10a xy 11) 3ab 3ab c 3c 3acd 49ab 14bc 35cd 1) a 1 3ab b 5 6a 9ab 1b

12 página 48 SUMA DE FRACCIONES DENOMINADORES POLINOMIOS Como se dijo en páginas anteriores, el proceso para sumar fracciones es el mismo para las fracciones aritméticas que para las algebraicas, y en éstas últimas es el mismo para aquellas que contienen denominadores monomios que para las que contienen denominadores polinomios. Para efectuar una suma de fracciones algebraicas con denominadores polinomios, se siguen entonces exactamente las mismas reglas aplicadas a los denominadores monomios, de las páginas 40 y 4, las cuales son: Para sacar el mínimo común denominador de fracciones algebraicas # Cada denominador se factoriza (factorización total); # El mínimo común denominador se obtiene multiplicando todos los factores diferentes que hayan aparecido, con su máximo exponente. Para efectuar la suma de fracciones algebraicas: # Se obtiene el mínimo común denominador; # Se divide ese mínimo común denominador entre el primer denominador y el resultado obtenido se multiplica por su numerador respectivo; # Se repite el paso anterior con cada una de las fracciones a sumar; # Se efectúa la suma del numerador obtenido, si es que resultan términos semejantes. Significa que cuando se trate de denominadores polinomios, éstos deben factorizarse primero para poder aplicar el proceso. Ejemplo 1: Efectuar la suma de fracciones 3a 5 b 7 5 a b a ab b a b Solución: * Factorizando el primer denominador a - b, (diferencia de cuadrados, página 16):

13 INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA página 49 a - b (a - b)(a b). a ab b * Factorizando el segundo denominador, (trinomio de la forma ax bxy cy Entonces:, página 6): a ab b (a b)(a b) (a b). 3a 5 b 7 5 3a 5 b 7 5 ( )( ) ( a b) a b a ab b a b a b a -b a b * El mínimo común denominador de (a - b)(a b), (a b) y (a - b) es (a b) (a - b). Se escribe: 3a 5 b 7 5 ( a b)( a -b) ( a b) a b ( a b) ( a b) * Dividiendo ese mínimo común denominador entre el primer denominador se obtiene (a b) (a - b) (a b)(a - b) a b. Este (a b) obtenido se multiplica por su numerador respectivo (por el primer numerador), es decir (a b)(3a 5). En ese momento se lleva escrito ( )( ) ( ) ( ) ( 3 5) ( ) ( ) 3a 5 b 7 5 a b a a b a -b a b a b a b a b * Dividiendo ahora el mínimo común denominador entre el segundo denominador se obtiene (a b) (a - b) (a b) a - b. Este (a - b) obtenido se multiplica por su numerador respectivo (por el segundo numerador), es decir (a - b)(b 7). En ese momento se lleva escrito ( )( ) ( ) ( ) ( 3 5) ( ) ( 7) ( ) ( ) 3a 5 b 7 5 a b a a b b a b a -b a b a b a b a b * Dividiendo el mínimo común denominador entre el tercer denominador se obtiene que (a b) (a - b) (a - b) (a b).

14 página 50 SUMA DE FRACCIONES Este (a b) obtenido se multiplica por su numerador respectivo (por el tercer numerador), es decir (a b) (5). En ese momento se lleva escrito 3a 5 b 7 5 a b a -b a b ( )( ) ( a b) ( a b)( 3a 5) ( a b)( b 7) ( a b) ( 5) ( a b) ( a b) * Efectuando las multiplicaciones que quedaron indicadas en el nuevo numerador resulta 3a 5 b 7 5 a b a -b a b ( )( ) ( a b) ( a b) ( a b) ( ) 3a 3ab 5a 5b ab b 7a 7b 5 a ab b 3a 3ab 5a 5b ab b 7a 7b 5a 10ab 5b ( a b) ( a b) * Finalmente, efectuando la suma de términos semejantes que aparecieron en el nuevo numerador, la respuesta es: 3a 5 b 7 5 8a 15ab 1a b 3b ( a b)( a -b) ( a b) a b ( a b) ( a b) NOTA: Las multiplicaciones en el numerador SÍ son indispensables que se realicen; en cambio las multiplicaciones del denominador son opcionales, pueden hacerse o dejarse así indicadas como en este ejemplo. Ejemplo : Efectuar la suma de fracciones a b 4 a b a ab b a ab a b a ab a b Solución: * Factorizando el primer denominador a - ab - b, (trinomios de la forma ax bxy cy, página 6):

15 INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA página 51 a - ab - b (a - b)(a b). * Factorizando el segundo denominador 3a - 3ab - 5a 5b (agrupación, pág. 13): 3a - 3ab - 5a 5b 3a(a - b) - 5(a - b) (a - b)(3a - 5). * Factorizando el tercer denominador 6a 3ab - 10a - 5b (agrupación, pág 13): * Entonces: 6a 3ab - 5a - 5b 3a(a - b) - 5(a - b) (a b)(3a - 5). a b 4 a b a ab b a ab a b a ab a b a b 4 a b ( a b)( a b) ( a b)( 3a 5) ( a b)( 3a * El mínimo común denominador de (a - b)(a b), (a - b)(3a - 5) y (a b)(3a - 5) es (a - b)(a b)(3a - 5). Se escribe: a b 4 a b ( a b)( a b) ( a b)( 3a 5) ( a b)( 3a ( a b)( a b)( 3a * Dividiendo ese mínimo común denominador entre el primer denominador se obtiene (a - b)(a b)(3a - 5) (a - b)(a b) 3a - 5. Este (3a - 5) obtenido se multiplica por su numerador respectivo (por el primer numerador), es decir (3a - 5)(a b). En ese momento se lleva escrito a b 4 a b ( a b)( a b) ( a b)( 3a 5) ( a b)( 3a ( 3a-5) ( a b) ( a b)( a b)( 3a

16 página 5 SUMA DE FRACCIONES * Dividiendo el mínimo común denominador entre el segundo denominador se obtiene (a - b)(a b)(3a - 5) (a - b)(3a - 5) a b. El (a b) obtenido se multiplica por su numerador respectivo (por el segundo numerador), es decir 4(a b). En ese momento se lleva escrito a b 4 a b ( a b)( a b) ( a b)( 3a 5) ( a b)( 3a ( 3a-5) ( a b) 4( a b) ( a b)( a b)( 3a * Dividiendo el mínimo común denominador entre el tercer denominador se obtiene que (a - b)(a b)(3a - 5) (a b)(3a - 5) (a - b). El (a - b) obtenido se multiplica por su numerador respectivo (por el tercer numerador), es decir (a - b)(a b). En ese momento se lleva escrito a b 4 a b ( a b)( a b) ( a b)( 3a 5) ( a b)( 3a ( 3a-5) ( a b) 4( a b) ( a-b) ( a b) ( a b)( a b)( 3a * Efectuando las multiplicaciones que quedaron indicadas en el nuevo numerador resulta a b 4 a b ( a b)( a b) ( a b)( 3a 5) ( a b)( 3a 3a 5a 3ab 5b 8a 4b a b ( a b)( a b)( 3a * Finalmente, efectuando la suma de términos semejantes que aparecieron en el nuevo numerador, la respuesta es: a b 4 a b ( a b)( a b) ( a b)( 3a 5) ( a b)( 3a

17 INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA página 53 4a 3a 3ab b b ( a b)( a b)( 3a NOTA: Las multiplicaciones en el numerador SÍ son indispensables que se realicen; en cambio las multiplicaciones del denominador son opcionales, pueden hacerse o dejarse así indicadas como en este ejemplo. Ejemplo 3: Efectuar la suma de fracciones 6a x 1 a a x a x x ax a Solución: * Factorizando el primer denominador 45a x 15a (factor común, página 11): 45a x 15a 15a (3x 1) * Factorizando el º denominador 3x - 5x - (trinomios de la forma ax bx c: 3x - 5x - (3x 1)(x - ) * Factorizando el tercer denominador 5ax - 10a (factor común, página 11): 5ax - 10a 5a(x - ) * Entonces: 6a x 1 a ax a x x ax a 6a x 1 a 5 15a 3x 1 3x 1 x 5a x ( ) ( )( ) ( ) * El mínimo común denominador de 15a (3x 1), (3x 1)(x - ) y de 5a(x - ) es 15a (3x 1)(x - ). Se escribe: 6a x 1 a 5 15a 3x 1 3x 1 x 5a x ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 15a 3x 1 x * Dividiendo ese mínimo común denominador entre el primer denominador se obtiene

18 página 54 SUMA DE FRACCIONES 15a (3x 1)(x - ) 15a (3x 1) x -. El (x - ) obtenido se multiplica por su numerador respectivo (por el primer numerador), es decir (x - )(6a ). En ese momento se lleva escrito 6a x 1 a 5 15a 3x 1 3x 1 x 5a x ( ) ( )( ) ( ) ( ) x- 6a ( )( ) 15a 3x 1 x * Dividiendo el mínimo común denominador entre el segundo denominador se obtiene 15a (3x 1)(x - ) (3x 1)(x - ) 15a. El 15a obtenido se multiplica por su numerador respectivo (por el segundo numerador), es decir 15a (x - 1). En ese momento se lleva escrito 6a x 1 a 5 15a 3x 1 3x 1 x 5a x ( ) ( )( ) ( ) ( x-) 6a 15a ( x-1) 15a ( 3x 1)( x ) * Dividiendo el mínimo común denominador entre el tercer denominador se obtiene que 15a (3x 1)(x - ) 5a(x - ) 3a(3x 1). El 3a(3x 1) obtenido se multiplica por su numerador respectivo (por el tercer numerador), es decir 3a (3x 1)(a 5). En ese momento se lleva escrito 6a x 1 a 5 15a 3x 1 3x 1 x 5a x ( ) ( )( ) ( ) ( x-) 6a 15a ( x-1) 3a( 3x 1) ( a 5) 15a ( 3x 1)( x ) * Efectuando las multiplicaciones que quedaron indicadas en el nuevo numerador resulta 6a x 1 a 5 15a 3x 1 3x 1 x 5a x ( ) ( )( ) ( )

19 INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA página 55 ( ) ( )( ) 6ax 1a 30ax 15a 3a 3ax a 15x 5 15a 3x 1 x a 3x 1 x ax a ax a ax a ax a ( )( ) * Finalmente, efectuando la suma de términos semejantes que aparecieron en el nuevo numerador, la respuesta es: 6a x 1 a 5 15a 3x 1 3x 1 x 5a x ( ) ( )( ) ( ) a 3x 1 x ax a ax a ( )( ) NOTA: Las multiplicaciones en el numerador SÍ son indispensables que se realicen; en cambio las multiplicaciones del denominador son opcionales, pueden hacerse o dejarse así indicadas como en este ejemplo.

20 página 56 SUMA DE FRACCIONES EJERCICIO 15 Efectuar la suma de las siguientes fracciones: 5 x 3 1) ) x 3x 4 x y y y y 4 5x 7 x x x 3) 4) ) 5a 7 8 4a 1a 9 a 3 6) 7) 13 5x 9 5ax 5bx 10ax 10bx 8) 15a 7 9a 1 3a 1 3b 11 ab 5 60b 1b 30ab 6ab 3 y 5 10x 9 7xy 9abxy 4x y 8abxy 9) 10) 4x ax 3x ax x 1a 6 7 8x 11 10x 35 30x 10 6x 19x 7 11) 9ax 1 3a 10 x 11 7ax x 8a 4 7a 1 x 4 1) x 9 5x 17 3a 16 ax 4x ax 4x a 16 13) 5 3a 4 6a a a a a 14) 5x 6 10x 3 x x x x ) 3 9b 1 0b 3 4b 1 b 6b 18 b 7