Nivel Medio I-104 Provincia del Neuquén Patagonia Argentina

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1 Nivel Medio I-104 Provincia del Neuquén Patagonia Argentina TERCER BLOQUE MATEMATICA Está permitida la reproducción total o parcial de parte de cualquier persona o institución que lo considere de utilidad para todo fin educativo. FAENA. 1

2 _PARA TENER EN CUENTA: Si usted desea imprimir este material en color Negro (escala de grises) tan solo tiene que escoger la opción negro en las opciones de la impresora.

3 _UNIDAD_1: NÚMEROS REALES Números irracionales. Operaciones con números irracionales. Operaciones combinadas con radicales. Racionalización. Relaciones entre los conjuntos numéricos. Números reales. _UNIDAD_: POLINOMIOS Expresiones algebraicas. Valor numérico de una expresión algebraica. Monomios. Binomios. Trinomios. Polinomios en general. Suma y resta de polinomios. Multiplicación de monomios y polinomios. División de monomios y polinomios. Descomposición de una expresión entera en un producto de factores. Regla de Ruffini. Teorema del resto. Divisibilidad. _UNIDAD_: FUNCIONES Relación de conjuntos. Función. Grafica de una función. Función constante. Función lineal.

4 ACERCA DE ESTE MODULO QUÉ CONTIENE Y CÓMO SE USA? Este módulo está compuesto por tres unidades en las que se despliegan los contenidos correspondientes al tercer bloque de Matemática. Para cada unidad encontrará actividades acordes que le permitirán poner en práctica los conceptos estudiados y poner a prueba su aprendizaje, lo cual deja abierta la posibilidad de volver atrás y revisar lo ya aprendido si lo considera necesario. Al finalizar el módulo encontrará la bibliografía de referencia que le permitirá profundizar en los contenidos trabajados, y responder a las dudas que le suscite la lectura de este material. La estructura de este módulo de estudio permite visualizar con claridad los conceptos, que se encuentran apartados entre sí, lo cual facilita la elaboración y comprensión de los mismos. Encontrará cuadros, esquemas y palabras resaltadas que colaborarán para una mejor comprensión de los contenidos. Al final del módulo encontrará actividades de tipo evaluativas que podrán ser tomadas para evaluaciones futuras y que usted puede usar a modo de simulacro, para poner a prueba los conocimientos adquiridos a lo largo de toda la unidad. Se recomienda cumplir con este trabajo de cierre ya que le permitirá relacionar unos contenidos con otros y darle una conclusión al trabajo realizado a lo largo de todo el módulo. Todo lo que usted aporte a lo propuesto por este material, profundizará su aprendizaje y su dominio sobre la materia. Es un trabajo que depende de cada uno y que se trata de una inversión. Quien más lee más sabe, una afirmación casi obvia pero poco practicada. Es de este modo cómo uno logra diferenciarse, crecer y desarrollar un proceso propio. 4

5 DESARROLLO DE CONTENIDOS DEL BLOQUE. TERCER AÑO A modo de introducción: En este módulo se desarrollan los contenidos del tercer bloque de matemática, los cuales generarán preguntas y ensayarán respuestas acerca de los números reales, polinomios y funciones lineales. Estos son los temas más importantes que le debe quedar a un alumno de colegio secundario sobre la matemática. Se abordarán los contenidos desde lo más general a lo particular. Cómo se logra esto? Se presenta el tema con una introducción teórica, luego se muestran ejemplos resueltos por el profesor, y por último se da la ejercitación correspondiente al tema presentado. Es ésta última la que le brindará al alumno la habilidad matemática necesaria para resolver problemas. Se presenta en la primera unidad al conjunto de los números reales. Es la anteúltima ampliación al campo numérico. Se conocerán los números irracionales. Se realizarán todo tipo de actividades con ellos. Se aprenderán técnicas matemáticas para la reducción de expresiones. En la segunda unidad se presenta el tema de polinomios. Este es un tema raro porque en lugar de trabajar con números se utilizarán letras. Esto puede resultar chocante para el alumno al principio, pero luego se dará cuenta que es lo mismo. Se aprende a operar con ellos: suma, resta, multiplicación y su división. Se aprenderá a factorizarlos. Esto necesita de una buena habilidad matemática, y es la finalidad de esta unidad desarrollarla. En la tercera y última unidad, se aprende uno de los conceptos matemáticos más importantes: la función. Las funciones matemáticas se utilizan en casi todos los ámbitos que no sean los humanísticos. Se aprenderá a graficarlas. Es por ello que le resultará más ameno éste tema que el anterior.

6 Los contenidos abordados en este módulo constituyen un conjunto básico de saberes que cualquier individuo debe manejar para un buen desarrollo en todo lo que hace a la vida, tanto en el campo personal como laboral. Les dedicamos un buen y entusiasta recorrido de la materia. 6

7 OBJETIVOS PARTICULARES DE CADA UNIDAD OBJETIVOS DE LA UNIDAD 1 Al finalizar esta Unidad se deberá lograr: Que el alumno reconozca el conjunto de los números Reales. Que trabaje correctamente con todas las operaciones de números irracionales. Que sepa racionalizar. OBJETIVOS DE LA UNIDAD Al finalizar esta Unidad se deberá lograr: Que el alumno reconozca las expresiones polinómicas. Que logre realizar las operaciones. Que interprete y demuestre habilidad para la factorización de polinomios. Que sepa reconocer las ventajas de la regla de Ruffini y la utilización del teorema del resto. OBJETIVOS DE LA UNIDAD Al finalizar esta Unidad se deberá lograr: Que el alumno reconozca las diferentes funciones. Que pueda graficarlas correctamente. 7

8 _UNIDAD_1: NÚMEROS REALES NÚMEROS IRRACIONALES Introducción. Hemos estudiado hasta ahora los números naturales (enteros positivos) y los números negativos, que junto con los naturales forman el conjunto de los enteros (Z), y el número fraccionario, que responde a la necesidad de dar solución al problema de la división cuando el dividendo no es un múltiplo del divisor, y también al de la medida de una magnitud cuando la unidad de medida no está contenida en ella un número exacto de veces. Los números enteros y los números fraccionarios componen el campo de los números racionales, segunda ampliación del concepto de número. En el campo de los números racionales, sin embargo, tampoco son posibles todas las operaciones: no es posible, por ejemplo, la radicación, cuando el índice es par y el radicando es negativo, puesto que, siendo las potencias de exponente par siempre positivas, no habrá ningún número racional positivo ni negativo cuyo cuadrado sea negativo; tampoco puede resolverse en éste campo racional el problema de la medida de una magnitud cuando la magnitud considerada no contiene un número exacto de veces, no ya la unidad de medida, sino tampoco ninguna de sus partes alícuotas. Habrá necesidad en este caso de definir un nuevo número, que llamaremos número irracional. Desde otro punto de vista: 8

9 Las expresiones decimales exactas tienen un número limitado de cifras., 0,94 1,0008 Las expresiones decimales periódicas tienen un número ilimitado de cifras decimales que se repiten periódicamente. 0,... 0, , Puede Usted imaginar un número de infinitas cifras que no sean periódicas? Muy fácil, es suficiente escribir infinitos números naturales a partir de la coma, de la forma que se le ocurra: 0, A los números de infinitas cifras no periódicas se los llama números irracionales. El descubrimiento de los números irracionales se le atribuye a Pitágoras al querer demostrar que la raíz cuadrada de no es un número racional. Por oposición llamó irracionales a estos números. Luego se demostró que si la raíz cuadrada de un número entero no es otro número entero entonces es número irracional. Esta propiedad se generalizó a raíces de otros índices. Conjunto de los Números Reales Los números irracionales junto con los racionales forman el conjunto de los reales (R). Así por ejemplo: son números enteros son números irracionales 9

10 Además de los números irracionales provenientes de raíces, existen otros números irracionales, como por ejemplo: el numero, el número e, muy conocidos por sus importantes aplicaciones en cálculos de superficies, volumen y perímetros en círculos, esferas, cilindros; y en expresiones de crecimiento de población respectivamente. Las expresiones formadas por el signo radical y una expresión numérica o literal dentro de la raíz, se llama radical. Definición de raíz: Donde n se llama índice, a se llama radicando y b raíz. La doble flecha se traduce como si y solo si. Indica equivalencia entre las expresiones. Ejemplo. La raíz cúbica de 7 es si y solo si al cubo es 7. Ejemplo. Ejercicio 1 Cuáles de las siguientes raíces no son números enteros? 10

11 OPERACIONES CON NUMEROS IRRACIONALES ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE RADICALES Podemos sumar y restar expresiones con radicales solamente cuando tengan el mismo radical, es decir que se pueden sumar y restar radicales semejantes (son aquellos que tienen el mismo índice y el mismo radicando). Lo explicaremos mejor mediante ejemplos: Ejemplo 1: En este caso se me pide realizar una operación combinada de suma y resta Podremos sumar y restar ya que todos los términos tienen De otra forma: saco factor común a la raíz y luego sumo. Ejemplo : Acá también se me pide realizar una operación combinada de suma y resta. Sin embargo no será posible porque los tres radicales son diferentes. Por lo tanto, el resultado del ejercicio es la misma expresión anterior. Puede racionalizarse y llevarse a una mínima expresión, pero eso se verá más adelante. 11

12 MULTIPLICACIÓN DE RADICALES Existe una propiedad de los radicales, que nos dice: n n n a b a b (Y viceversa), siempre que n a y n b existan. Esta propiedad de las raíces se denomina distributiva respecto del producto. Esto significa que si tengo dos números multiplicándose dentro de una raíz, puedo extraer la raíz de cada uno de ellos y luego multiplicarlos; o también que si tengo dos raíces de igual índice multiplicándose puedo multiplicar los números y obtener la raíz después. Ejemplo 1: Primero tenía dentro de la raíz cuadrada 9. 4, entonces saqué raíz cuadrada a cada uno de los números para finalmente multiplicarlos. Ejemplo : 1 1 En este caso no me conviene hacer lo del ejemplo anterior, porque 1 es un número irracional Por eso multipliqué 1. primero y luego saque la raíz cuadrada a este resultado. DIVISIÓN DE RADICALES Propiedad distributiva respeto del cociente La propiedad nos dice que: 1

13 n a : n n n n : b a b (Y viceversa) b n a : a : b, siempre que n a y n b existan y que b 0 Entonces, si tenemos raíces de grado n que se estén dividiendo, dará lo mismo si las resolvemos por separado y después las dividimos, que si primero las dividimos y luego extraemos la raíz. Ejemplo1: 7 : 8 : 1, Primero se extraen las raíces cúbicas para luego dividir los resultados. Ejemplo : 64 : 8 64:8 dejamos al último la raíz cúbica. 8 Primero resolvemos la división de los radicandos y POTENCIACIÓN DE RADICALES Lo único que debemos hacer es dividir al exponente por el índice del radical. Veamos algunos ejemplos: Ejemplo 1: Como vemos, el índice del radical (en este caso ) pasó a dividir al exponente (en este caso 6). El resultado de esta división (para nosotros 6 = ) será el nuevo exponente para el radicando (en este caso 6). Finalmente hemos realizado la potenciación. 1

14 Ejemplo : En este caso, hemos hecho lo mismo que en el caso anterior, haciendo la aclaración de que cuando en un radical no está escrito el índice, éste es. CONSIDERACIONES A LA POTENCIACION DE LOS RACIONALES Toda raíz de radicando negativo e índice par no tiene solución en el conjunto de los números reales. En otras palabras, la radicación no es cerrada en IR. Ejemplo: 8 no existe en el conjunto de los reales porque no hay número que elevado al cuadrado dé (-8). Si el índice es impar, la raíz real es única y del mismo signo que el radicando. Ejemplo: 7 porque (-) = 7 7 porque = 7 Si el índice es par y el radicando positivo, existen dos raíces reales opuestas. Ejemplo: 4 porque = 4 y además (-) = 4 Se observa que hay dos raíces reales opuestas: y. 14

15 La radicación no es distributiva respecto de la suma o resta: n a b n a n b Raíz de una raíz Se multiplican los índices a efectos de calcular la raíz de una raíz. En general: n m a n. m a Ejemplo: Potencia de exponente racional Aquí el denominador es el índice de la raíz y el numerador es el exponente al cual está elevado el radicando: Para simplificar las raíces se puede operar convirtiendo el radicando en producto de potencias: En otras ocasiones, lo que se hace es introducir números dentro de una raíz, para lo cual debemos elevarlos al índice de la raíz: a b a. b a 6 b EXTRACCIÓN DE FACTORES FUERA DEL RADICAL: La extracción de factores fuera del radical puede ser muy útil para la suma y resta de radicales. Si el radicando esta formado por una parte numérica y una literal, se descompone el número en el producto de sus factores primos. Luego si los 1

16 exponentes son mayores o iguales que el índice de la raíz se pueden extraer factores fuera de la misma. 108abc abc a4abbc a4bc ab Ejemplo: 108a b a c 4 b c ab a b c y como se pueden simplificar exponentes con índice resulta: a bc ab 6 a bc ab a otra forma de hacerlo es dividir cada exponente por el índice de la raíz, el resultado ( cociente ) de esa división es el exponente con el cual el número o letra salen fuera del radicando y el resto de la división el exponente con el cual quedan dentro de la raíz. 4 ab bc Ejemplo: 4 a10b1c9 = 4 a10b1c9 = abc 4 abc a b c = a b c = a b c a 4 : 4 = 1 y resto 1 ;10 : 4 = y resto ;1 : 4 = y resto 1 ;9 : 4 = y resto 1 bc Ejemplo en la suma: INTRODUCCIÓN DE FACTORES DENTRO DEL RADICAL: Se multiplica el exponente de cada factor que está fuera del radical por el índice de la raíz, y dicho resultado es el exponente con el que entra al radical (recordar que 1 es el único exponente que no se escribe) por ejemplo en ab, y a tienen exponente 1. 16

17 Ejemplo: a b c abc a b c abc 6 9 = a b c producto de potencias de igual base se suman los exponentes ) (Recordar que en el 17

18 EJERCICIOS 1) Realizar las siguientes operaciones: a) b) c) ) Resolver: a) b) c) d) ) Desarrolla los siguientes ejercicios hasta encontrar el resultado final a) ( - ) = b) (p -n. p n ) n = 18

19 c) [(a - ) - ] - = d) (a -1 ) - :a = 4) Extraer factores fuera del radical. a) b) c) d) ) Introducir factores dentro del radical. a) b) c) d) RESPUESTAS EJERCICIOS 19

20 0

21 OPERACIONES COMBINADAS CON RADICALES Propiedad fundamental de las raíces El valor de una raíz no varía, si se multiplican o dividen a la vez el índice de la raíz y el exponente del radicando por el mismo número. Esta propiedad nos permite multiplicar y dividir raíces de distinto índice Ejemplo 1: a a b b a 6 4 b a b 6 4 ab a b 6 a b 6 4 a b a b ab ab a b 6 4 Ejemplo : xy 4 x y 4 xy 4 x y 4 x y 4 4 x y 4 7 x y x y 4 1

22 RACIONALIZACION Racionalizar una expresión es quitar las raíces que aparecen en el denominador del mismo. Esto se logra multiplicando la expresión por otra que ya sabemos que simplificada vale 1. Puede ocurrir que: x y x y x xy xy x y x y xy y El denominador sea una raíz cuadrada: en este caso se multiplica numerador y denominador por la misma raíz. El denominador sea una raíz de índice mayor que : en este caso se multiplica numerador y denominador por una raíz del mismo índice que el denominador, pero con un radicando elevado a un exponente que sea lo que le falta para poder simplificar la raíz. Nuevo exponente = índice exponente del radicando El denominador sea un binomio con raíces cuadradas: en este caso debemos multiplicar numerador y denominador por el conjugado del denominador(*) Producto de números conjugados: (a +b) (a -b) = a ab + ab b = a b El producto de números conjugados da siempre por resultado el cuadrado del primer termino menos el cuadrado del segundo termino. (dos números son conjugados si solo cambia el signo de operación + ó que separa los términos) El conjugado de ( 7 ) es ( 7 + )

23 El conjugado de ( 8 + ) es ( 8 ) Ejemplos de productos por su conjugado: ( + x) ( x) = ( ) x = 9 x ( + 11 ) ( 11 ) = ( 11 ) = 11 = 14 ( 10 + ) ( 10 ) = ( 10 ) ( ) = 10 = 7 (*) Nota: Si el exponente de los factores numéricos o literales es mayor o igual al índice de la raíz, primero se extraen factores fuera del radical y luego se racionaliza. Ejemplo 1: 4 8 a a a a a a a a a a a a a a a a a a Ejemplo : En el ultimo paso se aplico la propiedad distributiva de la división con respecto a la suma y a la resta (en una fracción el denominador es el divisor y divide a cada uno de los términos del numerador). Ejemplo :

24 4 EJERCICIO MODELO Realizar las siguientes operaciones y racionalizar 8 6 RESOLUCION

25 EJERCICIOS 1) Racionalizar y resolver cuando sea posible. ) Realizar las siguientes operaciones y racionalizar. ) Racionalizar. Consejo: en las sumas y restas racionalizar por términos y luego resolver las operaciones sacando común denominador. Cuando al racionalizar el denominador es negativo, se lo transforma en positivo, cambiando los signos del numerador (es decir que multiplicamos numerador y denominador por 1).

26 RESPUESTAS EJERCICIOS 1) a) 7 b) c) 4a b b d) 14 7 ) a) 10 b) c) d) ) 1 a) b) c) 6 7 d) e) 6 f) 6 1 6

27 RELACIONES ENTRE LOS CONJUNTOS NUMERICOS N Naturales Z Q Enteros negativos R Fracciones I Irracionales Para darle una connotación histórica, el conjunto de los naturales {1,,,...} fue el primero utilizado por el hombre. Luego surgió la necesidad de trabajar con números negativos naciendo así el conjunto de los números enteros {...,-,-,-1,0,1,,,...}. Con la división de los números enteros nacen los conjuntos de números fraccionarios que junto con los enteros forman el conjunto de los números racionales {/, 7/8, 1/, etc}. Con las raíces aparecen los números irracionales { ,,. }. Por último el conjunto que engloba a todos estos otros conjuntos es el de los números reales. Pero éste conjunto no es cerrado porque cuando uno quiere calcular la raíz cuadrada de (-4) no da, es decir, (-)*(-) no es igual a (-4). Con lo que nace un último conjunto de números, el complejo. El conjunto de los números complejos engloba a todos los demás. Este campo complejo se verá en un bloque posterior. 7

28 NÚMEROS REALES El conjunto formado por los números racionales y los irracionales es el conjunto de los números reales. Notación Q: conjunto de números racionales. Q U I = IR I: conjunto de los números irracionales. IR: conjunto de números reales OBSERVACIONES N 0 simboliza los números naturales y además el cero Z + simboliza los números enteros positivos Z simboliza los números enteros negativos Q + simboliza los números racionales positivos Q simboliza los números racionales negativos R+ simboliza los números reales positivos R simboliza los números reales negativos Z simboliza los números enteros (positivos y negativos) Q simboliza los números racionales (positivos y negativos) R simboliza los números reales (positivos y negativos) 8

29 NÚMEROS REALES (CONTINUACIÓN DEL TEMA) En el conjunto de los números reales IR se definen las siguientes operaciones binarias: adición y multiplicación. Las mismas son cerradas, es decir, la adición y la multiplicación de números reales siempre da por resultado otro número real. En el conjunto de los reales se pueden realizar todas las operaciones vistas en racionales e irracionales, y se cumplen todas las propiedades vistas en ellos. 9

30 _UNIDAD_: POLINOMIOS EXPRESIONES ALGEBRAICAS Se llama expresión algebraica a todo conjunto de números y letras unidos por signos que indican las operaciones que hay que efectuar. Esas letras representan números. Las expresiones algebraicas constan de elementos denominados términos; éstos están compuestos de la siguiente forma: Ejemplo: 7ab Signo: positivo Coeficiente: 7 indica la cantidad de veces que se repite el factor literal. (incluye al signo) Factor literal: ab está compuesto por letras. Ejemplo: Expresar el valor del perímetro y del área de un terreno rectangular. x y Si suponemos que mide "x" metros de largo e "y" metros de ancho, obtendremos: Perímetro: x + y ; Área: x y Ambas son expresiones algebraicas (recuérdese que el signo de la multiplicación entre letra y número x, acostumbra a no ponerse) 0

31 Otras expresiones algebraicas podrían ser: a) Suma de cuadrados: a + b b) Triple de un número menos doble de otro: x - y c) Suma de varias potencias de un número: a 4 + a + a + a 1

32 VALOR NUMERICO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA Si en una expresión algebraica se sustituyen las letras por números y se realizan las operaciones indicadas se obtiene un número que es el valor numérico de la expresión algebraica para dichos valores de las letras. En el ejemplo, si el largo del terreno fuera 0m (a= 0) y el ancho 0m (b= 0), el valor numérico de: Perímetro = 0m + 0m = 100m + 60m = 160m Área = 0m 0m = 100m Naturalmente debe observarse que el valor numérico de una expresión algebraica no es único sino que depende del valor que demos a las letras que intervienen en ella. Como las letras de la expresión algebraica pueden tomar cualquier valor numérico, entonces con la misma expresión pueden obtenerse infinitos números.

33 EJERCICIOS: 1) Calcular el valor numérico de la expresión algebraica a - ax + 4 si: a) a = ; x = b) a = -; x = 1 c) a = -; x = 4 d) a = 4; x = 4 RESPUESTAS: a) 4 b) 1 c) 7 d) -1

34 MONOMIOS Si se observan las siguientes expresiones algebraicas se verá que en ellas aparecen distintas operaciones: Ejemplo: a) ax b) -xy c) 8ab x d) ax - y e) x + x 4. En las tres primeras expresiones no aparecen sumas entre términos mientras que en la d) y la e) sí. En los tres primeros casos se trata de monomios mientras que en los otros dos no. Podemos decir por tanto que: Un monomio es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones que aparecen entre las letras son el producto y la potencia de exponente natural. Es decir, es toda expresión algebraica que consta de un solo término. Ejemplo: x y ; 9a b ; -ax ; 7 x ; a bx 4 El coeficiente de un monomio es el número (con su respectivo signo) que aparece multiplicando a las letras. Normalmente se coloca al principio. Si es un 1 no se escribe y nunca es 0 ya que la expresión completa sería 0. En los tres ejemplos de monomios anteriores los coeficientes son; respectivamente. 7 ; 9 ; - ; y 1 4 Hay distintos tipos de monomios: Monomios racionales e irracionales. 4

35 Los monomios: a x a a b; ; b ellos figuran no están afectadas de ningún radical. son racionales porque las letras que en En cambio: b a ; a x ; son irracionales. x Monomios enteros y no enteros. Monomios fraccionarios. Los monomios: a x; 4a b x; a y en sus denominadores no figura ninguna letra. a x ; a b ; 4a b x se llaman enteros porque son racionales son en cambio, monomios no enteros; los dos primeros porque no son racionales y el tercero porque en su denominador figura una letra. Todo monomio algebraico racional que contenga una letra en el denominador se llama monomio fraccionario. Se denomina grado de un monomio entero a la suma de los exponentes de la parte literal. Ejemplo: 4a b x 4 es un monomio de noveno grado. a x es un monomio de grado tres. Los coeficientes de un monomio pueden no ser enteros. Monomios semejantes Son monomios semejantes entre sí aquellos en los que aparecen las mismas letras con los mismos exponentes, sin importar si el coeficiente es igual o no. Ejemplo: Son monomios semejantes: ax 4 y ; -ax 4 y ; ax 4 y ; ax 4 y

36 No son monomios semejantes: axy ; a x 4 y ; bx 4 Conclusiones: Dos monomios semejantes sólo se diferencian en el coeficiente. Los monomios semejantes tienen el mismo grado. 6

37 BINOMIOS TRINOMIOS POLINOMIOS EN GENERAL Un polinomio está constituido por varios términos, que son los monomios. Según el número de términos, se denominan así: términos (binomio) términos (trinomio) 4 términos (cuatrinomio) términos en adelante (polinomio de n términos.) Ejemplo: -4x + 8x 8 es un binomio formado por los monomios 4x y 8x 8 ax + bx +c es un trinomio formado por los monomios ax, bx y c. Un polinomio es la suma algebraica de monomios. Un polinomio es racional cuando todos sus términos o monomios son racionales. De lo contrario, es irracional. Análogamente, un polinomio es entero cuando todos sus términos son enteros, y no entero en el caso contrario. En este bloque nos interesan los polinomios formados por monomios enteros, es decir, los polinomios enteros. Ejemplo: 4x -x -x+4 es un polinomio entero. x a + bx no es entero porque contiene una letra en el denominador. Grado de un polinomio Es el grado del término de mayor grado. Ejemplo: ab 4 c a b 7p 4 b es de grado nueve. 7

38 Polinomios en x Los polinomios en x son aquellos en los que en su parte literal sólo aparece la letra x. Ejemplo: P(x) = x x + 4x + 4x 4 1 Dándole cualquier valor a la x se obtiene el valor numérico del polinomio. El grado del polinomio va a ser el mayor exponente de x. Ejemplo: P(x) es de grado 4. Letra ordenatriz: es la letra que se utiliza para analizar o determinar el orden del polinomio. Ejemplo: La letra ordenatriz de P(x) es la x. Orden de un polinomio Si el exponente de la letra ordenatriz en cualquiera de los términos es menor que en el término siguiente, entonces el orden del polinomio es CRECIENTE. Si el exponente de la letra ordenatriz en cualquiera de los términos es mayor que en el término siguiente,entonces el polinomio es de orden DECRECIENTE. Ejemplo: P(x) está desordenado, ordenándolo en forma decreciente queda: P(x) = 4x 4 + x + 4x x 1 y en forma creciente: P(x) = 1 x + 4x + x + 4x 4 Polinomio completo 8

39 Es aquel en el que aparecen TODOS los exponentes de la letra ordenatriz entre el mayor y el menor que figuran. Ejemplo: P(x) está completo porque aparecen todos los exponentes de x, desde x 4 hasta x 0 que sería 1/. Ejemplo: Completar y ordenar en forma decreciente a Q(a). Q(a) = a - a 4 + Q(a) = - a a + 0 a + a + Síntesis: cuando se trabaja con polinomios se deben tener en cuenta: _ el valor numérico (si es que se pide) _ el / los coeficientes _ la parte literal _ el grado _ el orden 9

40 SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS Los polinomios constituyen formas de expresar números, tal como se ha visto al calcular el valor numérico de un polinomio. Al igual que con los números, los polinomios se pueden sumar, restar, multiplicar, dividir, elevarlos a algún exponente o aplicarles alguna raíz. Al operar con polinomios el resultado es otro polinomio. Dado que no es necesario dar valores numéricos a la parte literal, se trabaja con las formas polinómicas, esto es, teniendo en cuenta los coeficientes y la parte literal. Suma y resta de monomios y polinomios Observar las siguientes operaciones: 1) ax 4 y - ax 4 y = ax 4 y ) 4ax 4 y + x y En el primer caso la resta de monomios se puede hacer mientras que en el segundo caso la suma no. En el primer caso se trata de monomios semejantes y en el segundo no. Por lo tanto: Para sumar o restar dos monomios tienen que ser semejantes. El resultado de la suma o resta es otro monomio semejante a ellos que tiene por coeficiente la suma o diferencia, según el caso, de los coeficientes. Cuando los monomios no son semejantes la suma queda indicada y el resultado es un polinomio como veremos en este tema. 40

41 Si se trabaja con polinomios en x: para sumar y restar hay que prestar atención a los exponentes de x (la parte literal). Para sumar y restar polinomios se aplican las propiedades conmutativa y asociativa, luego se resuelven los coeficientes de los términos de igual parte literal asociados. Ejemplo: Calcular E(x) = A(x) + B(x) ; H(x) = A(x) B(x) Forma práctica de resolver la suma y resta de polinomios a) Se completan y se ordenan en forma decreciente. b) Se encolumnan los términos de igual parte literal. 41

42 Ejemplo: Con los mismos polinomios A(x) y B(x). Para restar resulta conveniente transformar la resta en suma, cambiando los signos de los coeficientes del sustraendo, es decir, A(x)+ [-B(x)] 4

43 EJERCICIOS: 1. Calcula las sumas de los monomios que se indican: a) ax 4 ax 4 + ax 4 b) x x + x + x +x. Realiza las siguientes operaciones: a) 8 ab ( 8 ab) = b) 17 x ( x) = c) 8cg (16 cg ) = d) (a 7b + 4c) ( a b + 4c) =. Resuelve: a) (6x 6x + x) ( 4 + 6x x ) = b) (4x + 8y 9z) ( x +y z) = c) ( x + 7x 4 + x ) ( 9 + x x x ) = d) 1b [ ( 7x b) + (6x 4b) ] = e) x [4a 7x ( 4a b)] = f) [ ( 8x + y 4z) ] [ 4 x ( 7y z)] = g) 18ab [(6ab c) + (4ab c)] = P(x) = x4 + x 7x + x + 4 4) Dados : Q(x) = 4x + x R(x) = x + 4x + Hallar: a) P(x) + Q(x) b) P(x) + R(x) c) P(x) Q(x) d) P(x) + R(x) Q(x) e) Q(x) + R(x) P(x) 4

44 RESPUESTAS: 1) a) 4ax 4 b) 6x + x ) a) 46 ab b) 14x c) - 4cg d) a - b ) a) x + x + 4 b) 9x + 7y 8z c) x + x + 1 d) 17b -1x e) x + 7x 8a b f) 4x y 6z g) 8ab + c 44

45 MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS Y POLINOMIOS Se aplican las siguientes propiedades: 1 ) Producto de potencias de igual base. ) Propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma y de la resta. ) Propiedad conmutativa 4 ) Propiedad asociativa El producto de dos monomios se obtiene multiplicando en un orden cualquiera todos los factores que en ellos figuran. Si los monomios son enteros, se agrupan las potencias de las mismas letras así como sus coeficientes. Ejemplo: Recordar producto de potencias de igual base (a m a n = a m+n ) CONSECUENCIAS: 1 ) El producto de dos monomios es otro monomio. ) Su coeficiente es el producto de los coeficientes de los factores. ) Cada letra del producto está afectada de un exponente que es la suma de los exponentes que tiene en ambos factores. 4 ) El grado de un producto es la suma de los grados de cada uno de los factores. 4

46 Producto de varios monomios Se multiplican dos de ellos, el producto obtenido por un tercero, y así sucesivamente. Las consecuencias anteriores siguen aplicándose. Ejemplo: 46

47 EJERCICIOS: Resolver los siguientes productos. a) ax ( a x) y 4 x = b) 9ax ( a x ) a x 4 = c) x y ( x y z) 4x y z 4 = d) a bc a b c ( a bc ) = e) 9x y ( x y ) ( xy ) = RESPUESTAS: a) 0a 4 x 6 y 4 b) 90a 6 x 9 c) 4x 7 y 7 z d) 0a 8 b c 7 e) 4x 6 y 6 47

48 MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS Y POLINOMIOS (CONTINUACIÓN DEL TEMA) Producto de un polinomio por un monomio Para multiplicar un polinomio por un monomio se multiplica cada término del polinomio por el monomio y se suman los productos obtenidos. Ejemplo 1: P(x)= x +x 4 -x -x +x ; Q(x) = x P(x) Q(x)= (x +x 4 -x -x +x) (x ) = = (x x ) + (x 4 x ) + (-x x ) + (-x x ) + (x x ) = = 4x 8 + 6x 7-4x 6 -x +4x 4 Ejemplo : Multiplicando directamente el monomio por cada término del polinomio, aplicando la regla de los signos. (x - x + x - ) x = 9x - 6x 4 + 6x -1x 48

49 EJERCICIOS: 1) Calcular los siguientes productos. a) (x x + 7x 4) ( x) b) (4a a x + ax x ) (ax ) c) (x 4x x + 1) ( x) d) (x 4 + x x ) (x ) e) (x y x y + 4xy ) (x y) RESPUESTAS: a) 6x 4 + 4x 14x + 8x b) 1a 4 x 9a x + 1a x 4 6ax c) 6x 4 + 1x + 9x x d) 10x 6 + 4x 4 6x 4x e) 1x y 1x 4 y + 0x y 4 49

50 MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS Y POLINOMIOS (CONTINUACIÓN DEL TEMA) Observación: Si el polinomio está ordenado con respecto a una letra, el producto estará ordenado con respecto a la misma letra, si se toman sucesivamente todos los términos del polinomio en el orden que están escritos. Pueden cambiarse, obviamente, el orden de los factores del producto sin alterar el resultado. Producto de dos polinomios. Para multiplicar dos polinomios se suman los términos que se obtuvieron multiplicando cada término de uno de los polinomios por todos los términos del otro. Ejemplo 1: Calcular: H(x) = A(x) B(x) 0

51 Ejemplo : Se multiplica cada término del primer factor por todos los términos del segundo factor, luego se suman los términos semejantes. Otra forma para la multiplicación 1 ) Se completan y ordenan los polinomios en orden decreciente. ) Se encolumnan por igual parte literal. ) Se aplica la propiedad distributiva. 4 ) Se suman los coeficientes de igual parte literal (distribuidos en columnas). Ejemplo: Primero se multiplicó x por todos los otros términos del polinomio de arriba, y así sucesivamente. 1

52 EJERCICIOS: 1. a) Obtener la expresión del volumen de este cuerpo. Obtener su valor numérico cuando x = 1. b) Obtener la expresión del área de cada una de sus caras. Obtener sus valores numéricos cuando x = 1.. Obtener la expresión del área y del volumen de la superficie del siguiente cilindro. Obtener sus valores numéricos cuando x = 1. h =x

53 ACLARACIÓN SOBRE LOS EJERCICIOS: en los ejercicios dados de áreas y volúmenes aparecen expresiones en forma de funciones polinómicas. El objetivo de trabajar con estos ejercicios es que el alumno incorpore las mecánicas de resolución y las utilice con mayor fluidez. Puede pensarse que la solución más sencilla es acreditar un valor numérico a x y el problema queda resuelto. Esto es así pero lo que se intenta es que el alumno se familiarice con todas las operaciones y propiedades. En los ejercicios ya resueltos se observa que tanto las áreas como los volúmenes dependen de x, luego están en función de x. Así entonces se tiene una aplicación de funciones polinómicas. A cada valor de x le corresponde un valor numérico del volumen que depende de la forma del polinomio. RESPUESTAS: 1) a) V = 8x + 108x + 64x + 60 V(1) = 840 b) Área1=x +x+4 Área=4x +44x+7 Área=8x +8x+40 Área1(1) = 70 Área(1) = 10 Área(1) = 76 ) V = r h = 1x + 1x 4 + x ) Área base = r = 4x +4x+1) V(1) = 7 = 84,8 Área base (1)= 9 = 8,7 Área cara lateral = rh = 1x 4 +6x ) Área cara lateral (1)=18 = 6,

54 DIVISIÓN DE MONOMIOS Y POLINOMIOS En ésta división aparecen las siguientes operaciones y propiedades: 1 ) Cociente de potencias de igual base (se restan los exponentes) ) Propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma y de la resta. ) Producto de potencias de igual base (se suman los exponentes) 4 ) Suma de polinomios. Dado que los polinomios son en definitiva un número (como ya se ha visto al obtener el valor numérico del polinomio) la división puede analizarse mediante números sencillos. Donde: D(x) = dividendo; d(x) = divisor; C(x) = cociente; R(x) = resto. Como 4 = entonces D(x) = C(x) d(x) + R(x) Se supondrá siempre que los valores numéricos atribuidos a las letras no anulan el divisor, pues en éste caso la definición carecería de sentido. División de dos monomios La división de los monomios A y B da lugar a la fracción A / B. Esta fracción puede simplificarse, en ciertos casos, multiplicando o dividiendo sus dos términos por una misma expresión algebraica, especialmente en el caso en que ambos monomios tengan factores comunes. 4

55 Ejemplos: Observación: En el último ejemplo el cociente no es entero. El cociente de dos monomios enteros no será un monomio entero cuando: _ el dividendo no contenga todas las letras que figuran en el divisor. _ una letra que figure en el dividendo y el divisor tenga un exponente inferior en el dividendo.

56 EJERCICIOS: 1. Calcular la siguiente división de polinomios: (6a x ) : (a x) El cociente, es un monomio?. Calcular ahora: (6a x y) : (a 6 x) Es el cociente un monomio? Por qué?. (7x 4 y a ) : (x y a ) 4. (a b x 4 ) : (a 4 bx ). (81x 7 y b 6 ) : (-x y b 4 ) 6

57 DIVISIÓN DE MONOMIOS Y POLINOMIOS (CONTINUACIÓN DEL TEMA) División de un polinomio por un monomio Se aplica el mismo procedimiento que se hace con los números. Se debe encontrar un término (monomio) tal que multiplicado por el divisor anule el primer término del dividendo (al escribir el producto de un término del cociente por el divisor debajo del dividendo va con el signo cambiado). No olvidarse de completar el polinomio y ordenarlo en forma decreciente. Ejemplo: (x es un término tal que multiplicado por x da 4x 4 D (x): Q(x) = x -x +x-4 R= -4 División de dos polinomios Es igual que la división de polinomio por monomio. 7

58 Ejemplo: En resumen: Para hacer la división de polinomios, el polinomio dividendo debe ser completo y ordenado, si no esta completo se completa con 0x n Siendo n los exponentes de x que faltan), y el polinomio divisor debe estar ordenado (no se lo completa), luego dividimos el primer monomio del dividendo por el primer monomio del divisor (En el ejemplo x :x ; se obtiene el cociente x 4 ), multiplicamos el cociente (x 4 ) por el divisor (x-), lo encolumnamos debajo de los monomios semejantes y se lo restamos al dividendo. Así sucesivamente hasta que el exponente del dividendo sea menor que el exponente del divisor. Para dividir dos polinomios haremos lo mismo que para dividir monomios y polinomios, teniendo en cuenta que en el divisor nos encontraremos con ó mas términos. 8

59 EJERCICIOS: 1) (4x + 8x 4 + 6x + 4x + 8x 4) : (x + x ) ) (8x 4 + 4x 8) : (x x) - ) (6x +) : (x ) 4) (6x 4x 4 + 6x + ) : (x + x) ) (x 4 16) : (x + ) RESPUESTAS: 1) x + x + x + 1 Resto = 1x ) 4x + 4x + 6 Resto = 1x 8 ) x + x + Resto = 9 4) x x + 8x 8 Resto = 16x + ) x x + 4x 8 Resto = 0 9

60 CUADRADO Y CUBO DE UN BINOMIO CUADRADO DE UN BINOMIO (a + b) =(a + b) (a + b) (a b) =(a b) (a b) Ejemplo: (x + y) = (x + y) (x + y) = 4x + xy +xy + y = 4x + 4xy + y Regla para hallar el cuadrado de un binomio (a ± b) es igual al cuadrado del primer termino, mas el doble producto del primero por el segundo (si es una suma) y menos (si es una resta ), mas el cuadrado del segundo termino. (a + b) = a + ab + b (a b) = a ab + b Los cuadrados son siempre positivos, el único que puede ser negativo es el doble producto si se trata del cuadrado de una resta (a b) o siendo una suma, el primer término es negativo ( a + b) Ejemplo 1: (x + y ) = (x ) + x y + (y ) = 4x 4 +1x y + 9y 6 60

61 Ejemplo : (x 4y ) = (x) x 4y + (4y ) = x 40xy + 16y 4 Ejemplo : ( x + 4y ) = ( x ) + ( x ) 4y + (4y ) = 9x 6 4x y + 16y 4 CUBO DE UN BINOMIO (a + b) = (a + b) (a + b) (a + b) = a + a b + ab + b (a b) = (a b) (a b) (a b) = a a b + ab b El cubo de un binomio es igual al cubo del primer término, mas el triplo del cuadrado del primer termino por el segundo, mas el triplo del primero por el cuadrado del segundo, mas el cubo del segundo término. Si se trata del cubo de una resta, los signos son alternadamente positivos y negativos ( +,, +, ) Ejemplo: (x + y) = (x ) + (x ) y + x (y) + (y) = = 7x 6 + 9x 4 y + x 4y + 8y = 7x 6 + 4x 4 y + 6x y + 8y En caso de no recordar las reglas para resolver el cuadrado y el cubo de un binomio, se aplica la definición de potencia, es decir, multiplicar a la base por si misma tantas veces como indica el exponente y luego multiplicar como producto cualquiera de polinomios. (a + b) = (a + b) (a + b) (a b) = (a b) (a b) (a b) 61

62 EJERCICIOS: Desarrollar los siguientes cuadrados y cubos de bnomios: 1) (7x + a) = ) ( a b ) = ) (x ) = 4) (x + y) = ) (x y ) = 6) (4a + ) = RESPUESTAS: 1) 49x + 8xa + 4a ) 4 9 a 4 1a b + b 4 ) x 0x + 9 4) 8x + 60x y + 10xy + 1y ) 7x 6 4x 4 y + 6x y 6 8y 9 6) 64a + 144a 108a + 7 6

63 REGLA DE RUFFINI División de polinomios con el divisor del tipo "x a El caso más importante de la división de polinomios es el que tiene por divisor un binomio del tipo x - a, siendo "a" un número entero; por ejemplo (x 1) ; (x + ), etc. Además de realizarse la división por el método general expuesto en un apartado anterior, se puede realizar también usando la regla de Ruffini. La regla de Ruffini se utiliza fundamentalmente cuando el polinomio dividendo tiene como única letra (variable) la x y el ya citado divisor es (x a). La regla utiliza los coeficientes del polinomio dividendo y el valor de "a" (obsérvese que va cambiado de signo), obteniéndose los coeficientes del polinomio cociente y el valor del resto (obsérvese que el resto siempre será un número). Ejemplo1: (x + x x 1) : (x ) "Se deben colocar todos los coeficientes del dividendo ordenados de mayor a menor grado y si falta el de algún grado intermedio colocar un 0 6

64 + - Se "baja" el primer coeficiente del dividendo. (En el ejemplo 1) - Se multiplica a (en el ejemplo es ) por el coeficiente bajado y se coloca el resultado debajo del segundo coeficiente (el signo de a será positivo si el divisor es del tipo (x a) y negativo si el divisor es del tipo (x + a). -Se suma el segundo coeficiente con el resultado anterior y se baja el resultado. (En el ejemplo es ) - Se continúa el mismo proceso hasta terminar con los coeficientes. Los números obtenidos de la fila inferior (en el ejemplo 1 ) son los coeficientes del cociente (de un grado menor al dividendo) excepto el último número (en el ejemplo 9) que es el valor del resto. Así en el ejemplo anterior: El cociente es x + x + y el resto es 9. (x x x 1) : (x ) = x +x + y Resto = 9 Ejemplo : (x 4 x +x +): (x ) = x + x + 4x

65 TEOREMA DEL RESTO Como hemos visto en el apartado anterior, mediante la Regla de Ruffini, se obtiene de forma sencilla el cociente y el resto de la división de un polinomio por el binomio (x a). También hemos conocido en apartados anteriores lo que es el valor numérico de una expresión algebraica en general y por tanto de un polinomio en particular. Ejemplo: Calcula el valor numérico de los polinomios dividendo del ejercicio anterior para los valores de x = y x = 1 respectivamente. Compara dicho valor numérico con el resto de las divisiones efectuadas en dicho ejercicio Qué has observado? El resultado que seguro has observado se puede expresar como el enunciado del teorema del resto: El resto de la división de un polinomio P(x) por un binomio de la forma (x a), es igual al valor numérico del polinomio cuando x toma el valor "a", que podemos expresar como P(a). El resto de la división de un polinomio P(x) por un binomio de la forma (x + a), es igual al valor numérico del polinomio cuando x toma el valor " a", que podemos expresar como P( a). Ejemplo1: A(x) = x 8 ; B(x ) x En A(x) : B (x) El divisor es de la forma (x a) calculo el resto como A() A() = 8 = 8 8 = 0 por lo tanto el resto de la división A(x) : B(x) es cero. 6

66 Ejemplo : Calcular el resto de (x + x 4) : (x + ) R( ) = ( ) + ( ) 4 = ( 7) = = 1 el resto es = 1 66

67 EJERCICIOS: 1) Calcular el cociente y el resto de las siguientes divisiones aplicando Ruffini. a) (x + 6x 1) : (x ) b) (x 4 + x x + x ) : (x 1) c) (4x x 4 + x + 4) : (x ) d) (x 4 + 9x + x + 4) : (x + ) e) (x + 7) : (x + ) f) (4x + 4x + 8) : (x + ) g) (x x + 1 x 6 1 ) : (x + 1) ) Calcular el resto de las siguientes divisiones por el teorema del Resto. a) (x + 4x x + 1) : (x + ) b) (x 7x + 14x 1) : (x ) c) (x 4 + 4x + x 9) : (x + ) d) (x 6x 4 + 8x ) : (x 1) 67

68 e) (x 4x 10x 0): (x ) RESPUESTAS: 1) a) x + 10x + 0 resto: 9 b) x + x + x + resto: 0 c) 4x 4 + x + 10x + x + 44 resto: 9 d) x + x 4x + 8 resto: 1 e) x x + 9 resto: 0 f) 4x 4x + 8 resto: 8 g) x 4 x + 1 x 1 x + 6 resto: 1 ) a) Resto = b) Resto = 1 c) Resto = 9 d) Resto = 1 e) Resto = 70 68

69 DESCOMPOSICIÓN DE UNA EXPRESIÓN ENTERA EN UN PRODUCTO DE FACTORES Las anteriores operaciones (adición, sustracción, multiplicación y elevación a potencias de monomios y polinomios) permiten, cuando dichos monomios y polinomios están ligados por los signos de las operaciones, reemplazar la expresión dada por un polinomio o un monomio. Esto es lo que se llama desarrollar. Aunque en numerosos casos es conveniente desarrollar, en otros muchos es en cambio conveniente reemplazar la expresión entera dada por un producto de factores, operación análoga a la que permite, en aritmética, reemplazar un número por un producto de factores primos. Por la falta de una regla general, se indican a continuación algunos procedimientos que conviene practicar, en el mismo orden que aquí se indican. Factorización de polinomios Factorizar un polinomio es obtener otra expresión del mismo mediante factores. (Es decir transformar el polinomio en un producto de n términos). Debe recordarse que los elementos de una suma se denominan términos y los elementos que aparecen en una multiplicación se denominan factores. No todos los polinomios pueden factorizarse. Hay seis casos especiales de factoreo. 1 ) Factor común Sacar factor común en un polinomio es sustituirlo por el producto del monomio que se saca como factor y del polinomio cuyos términos son los cocientes de 69

70 los términos del polinomio dado por el factor común. (Es decir que se divide a cada término del polinomio por el factor común). En la práctica, el mayor factor común que puede sacarse es el formado por las letras comunes a todos los términos del polinomio, afectada cada una de ellas de su menor exponente; de los números el máximo común divisor de todos los coeficientes del polinomio (regla análoga a la del máximo común divisor en aritmética). Ejemplo1: x 4 9 x x = x 1 ( x x ) Ejemplo: 77a b 4 ab c + 99a b cd + a b = = 11ab (7ab bc + 9acd + a b) ) Factor común por grupos Si no hay factor común y hay una cantidad par de términos, se forman grupos con igual cantidad de términos y en cada grupo se saca factor común, de forma tal que los polinomios que se forman dentro de los paréntesis sean iguales y sacar nuevamente factor común. Ejemplo: ac + ad + bc + bd = a(c + d) + b(c + d) = (c + d)(a + b) xy + x + y + 6 = x(y + )+ (y + ) = (y + )(x + ) 70

71 ) Trinomio cuadrado perfecto. Cuadrado de un binomio Está formado por tres términos, dos de los cuales son cuadrados perfectos y el tercero es el doble del primer termino por el segundo. Para factorearlo debo comprobar que dos son cuadrados perfectos y el otro el doble producto de la primer base por la segunda. Si el signo del doble producto es positivo es el cuadrado de una suma y si es negativo es el cuadrado de una resta. (a + b) = a + a b + b (a b) = a a b + b Ejemplo: x + 6x + 9 = x = (x) 9 = () x y son las bases de los cuadrados x = 6x x + 6x + 9 = (x + ) 4 ) Cuatrinomio cubo perfecto. Cubo de un binomio Es igual al cubo del primero más el triple del producto del cuadrado del primero por el segundo más el triple del producto del cuadrado del segundo por el primero más el cubo del segundo. Y se factorea como el cubo de un binomio (a + b) = a + a b + a b + b (a b) = a a b + a b b 71

72 En un trinomio debo comprobar que dos términos son cubos perfectos, y los otros dos son, uno el triple del cuadrado del primero por el segundo y el otro el triple del primero por el cuadrado del segundo. Ejemplo: 8x 1 x x 1 = dos términos al cubo Y los otros dos 8x = (x) (x) 1 = 4x 1 1 = x x primer término 1 1 = 1 x 1 = x 1 6 = x 1 segundo término 8x 1 x x 1 = x ) Diferencia de cuadrados Es una resta de dos términos que son cuadrados. a b = (a + b) (a b) = a a a b + b a b b La diferencia de cuadrados se factorea como la suma por la resta de las bases de los cuadrados. Las bases se obtienen al aplicar la raíz cuadrada a cada término a a, a es la primera base. b b, b es la segunda base 7

73 Ejemplos: x 4 4 = (x ) = (x )(x + ) x 6y = (x 6y)(x + 6y) 16x 4 9y 6 = (4x y )( 4x + y ) 6 ) Sumas o diferencias de potencias de igual grado Dado el polinomio x m ± a m debo determinar en primer lugar si es divisible por la suma o por la resta de las bases (esto significa que al dividir x m ± a m por x ± a, el resto es cero). x m + a m es divisible por x + a si m es impar. x m + a m con m par no se puede factorizar. x m a m es divisible por x a siempre x m a m es divisible por x + a si m es par. x m ± a m = (x + a) (el cociente de dividir x m ± a m por x ± a aplicando RUFFINI) Ejemplo 1: Factorizar x + 8 x + 8 = x + Es divisible por x +. 7

74 Aplico Ruffini Se obtiene: x + 8 = (x + )(x x +4) Ejemplo : Factorizar x 4 16 x 4 16 = x Es divisible por x + ; y también por x. Aplico Ruffini para: (x 4 16) : (x ) Cociente = x + x + 4x +8 Se obtiene: x 4 16 = (x )( x + x + 4x +8) Vuelvo a aplicar Ruffini para: (x + x + 4x +8) : (x + ) Cociente = 1x + 0x +4 = x + 4 Se obtiene: x 4 16 = (x )(x + )(x + 4) 74

75 EJERCICIOS: Factorizar: 1) Factor común y factor común por grupos. a) 9x a 4 1x a + 1x 4 a b) a b 4 + ab 8 + a 4 b c) xy y + xb 10b d) 6a 4a x + ax x e) 49x 1xy 14ax + 6ay ) Trinomio cuadrado perfecto. a) x + 10x + b) 4x 4 x c) x 4 + 0x y + 9y d) 49x 8 6x 4 y + 16y 6 ) Cuatrinomio cubo perfecto. a) x + 1x + 48x

76 b) 7x 7x 4 + 9x 1 c) 1a + 10a b + 60ab 6 + 8b 9 d) x 9 x x 1 7 Nota: 1 se puede expresar como potencia de cualquier exponente (1, 1, 1 4, 1,etc.) dado que de acuerdo a lo visto en la propiedades de la potencia 1 n =1 4) Diferencia de cuadrados a) x 9 b) a 4 1 c) 16x 6 y 4 d) 49x 9y e) x 6 1 ) Suma o diferencia de potencias de igual grado. a) x + 7 b) x 4 1 c) x + d) x ) En la siguiente expresión desarrollar los cuadrados y luego Factorear. 76

77 (ax b) (bx a) = RESPUESTAS: 1) a) x a (xa 4a + x ) b) ab a b 4 a b c) (x )(y + b) d) (a x)(a +x) e) (7x y)(7x a) ) a) (x + ) b) 1 x - c) (x + y) d) (7x 4 4y ) ) a) (x + 4) b) (x 1) c) (a + b ) 77

78 4) d) x 1 - a) (x + )(x ) b) (a +1)(a 1) c) (4x + y )(4x y ) d) (7x + y)(7x y) e) (x + 1)(x 1) = (x + 1)(x x + 1)(x 1) (x + x + 1) ) a) (x + )(x x + 9) b) (x 1)(x + 1)(x + 1) c) (x + )(x 4 x + 4x 8x + 16) d) (x )(x + x 4 + 4x + 8x + 16x + ) El ejercicio b) podría resolverse también como una diferencia de cuadrados y dentro de uno de los paréntesis queda otra diferencia de cuadrados. 6) (x + )(x )(a + b)(a b) 78

79 _UNIDAD_: FUNCIONES: RELACION DE CONJUNTOS Sea el producto cartesiano entre los conjuntos A y B que da un nuevo conjunto C. A x B = C Se tienen los siguientes pares ordenados. C = { (a, h), (a, w), (b, h), (b, w), (c, h), (c, w) } Relación A = conjunto de partida. B = conjunto de llegada. Sean los conjuntos Dominio A ; Imagen B. Dom = {a, c} ; Im = {h, w} Relaciono a los conjuntos A y B con la siguiente relación: (R: relación) A R B = D 79

80 D = { (x, y) / x A ; y B ; x R y } D = { (a, h), (a, w), (c, w) } Otro ejemplo de relación: Dom = { b } ; Im = { h, w } A R B = G Entonces: G = { (b, h), (b, w) } Otro ejemplo: R : es la mitad de Dom = { 1,,, 4 } Im = {, 4, 6, 8 } 80

81 FUNCION Se dice que una relación es una función si a cada elemento del dominio le corresponde uno y solo un elemento de la imagen, y no hay elementos aislados en el dominio (elementos que no tengan imagen). Toda función es una relación, pero no toda relación es función. A R B = K K = {(x, y) / x A ; y B ; x R y ; (x m, y h ) (x m, y t ) } En otras palabras: Si de cada elemento del conjunto Dom, gráficamente, parte una flecha y solo una hacia el conjunto Im, entonces esa relación es función. Si en una relación existe al menos un elemento del conjunto Dom que esté relacionado con dos o más elementos del conjunto Im, entonces esa relación no es función. El último ejemplo es una función. Funciones Una función es una relación de dos magnitudes numéricas (llamadas variables) las cuales están relacionadas de forma unívoca (uno a uno). En una función a cada valor de la primera magnitud (variable independiente) le corresponde un valor y sólo uno de la segunda magnitud (variable dependiente). Suele decirse que la segunda magnitud es función de la primera. 81

82 Simbólicamente se puede expresar: y = f (x) Donde x es la variable independiente e y la variable dependiente. Esta forma de representar una función es muy útil, si la relación entre la x y la y es una expresión matemática (por ejemplo y = x + 1), en ese caso podemos saber con certeza los valores que toma la variable dependiente (y) para cualquier valor que tomemos de la variable independiente (x). Por ejemplo, al valor x= le corresponde el valor y = + 1 = = y al valor x = - le corresponde el valor y = ( - ) + 1 = = -. 8

83 GRAFICA DE UNA FUNCION Si se dispone de una expresión matemática de una función, se puede realizar fácilmente una tabla de valores de la misma y una gráfica de la función, ya que cada pareja de valores (x,y) de la tabla que hagamos determina un punto del plano, uniendo todos los puntos de la tabla obtendremos la gráfica de la función. Ejemplo: y = x + 1 Los ejes del gráfico se denominan: Eje x: eje de las abscisas. Eje y: eje de las ordenadas. Elementos de una función En una función, dos magnitudes se relacionan de forma unívoca. La primera de esas magnitudes se denomina variable independiente y la segunda variable dependiente. Además, hemos visto que en algunos casos la función (de una variable) admite una expresión del tipo y = f (x) 8

84 Los dos principales elementos de una función son los valores posibles que pueden tomar las variables (dependiente e independiente). El Dominio de una función es el conjunto de valores que puede tomar la variable independiente (x). Se lo representa con alguna de estas expresiones: D(f), Dom(f). El Recorrido, Rango o Imagen de una función es el conjunto de valores que toma la variable dependiente, o sea, es el conjunto de valores que puede alcanzar la función. Se lo representa con alguna de estas expresiones: R(f), Rango(f), Im(f). Funciones elementales Funciones constantes Las funciones constantes son las más simples de todas las funciones. Su expresión analítica es y = K, o f(x)=k, siendo K un número real cualquiera. Esto significa que sea cual sea el valor de x la función siempre toma el valor K El gráfico de una función constante es una línea recta horizontal que toca el eje Y en el valor y = K. Funciones polinómicas de primer grado. Dependencia lineal La expresión algebraica de este tipo de funciones es un polinomio de primer grado, y = ax + b, siendo a y b dos números reales cualesquiera y a es distinto de cero. (Observa que si a = 0 se trataría de la función constante y = b). En una función de este tipo se dice que la y depende linealmente de la x, se dice esto porque la gráfica de esta función es una línea recta. El coeficiente a 84

85 de las funciones lineales se denomina pendiente de la recta, (determina la inclinación de la misma). El coeficiente b se denomina ordenada al origen ya que es el valor que toma la función cuando x es igual a cero y, por lo tanto, es el punto de contacto de la recta de la función con el eje Y de ordenadas. Ejemplo: y = x +1 y = a x + b Variable dependiente Ordenada al origen Variable independiente Pendiente Ejemplos: 1) y = x Pendiente = Ordenada = ) y = x + Pendiente = Ordenada = Si a (pendiente) es positiva la recta forma con el eje de las x un ángulo agudo. Si a es negativa la recta forma con el eje de las x un ángulo obtuso. 8

86 Los ángulos se miden a partir del semieje positivo de las x y en sentido antihorario (contrario a las agujas del reloj). Graficas de los ejemplos: 86

87 RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARESE RECTAS PARALELAS: Dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente y distinta ordenada al origen. y 1 = ax + b y = ax + c y1 // y Ejemplo: y = x + 1 y = x Gráfico RECTAS PERPENDICULARES: Dos rectas son perpendiculares si sus pendientes son invertidas y de signos opuestos. 87

88 y 1 = ax + b 1 y = x + b, c, d, etc a y1 y La ordenada al origen de la perpendicular puede ser la misma o cualquier otro número, incluido el cero. Ejemplo: y = x y = x + 1 Gráfico: RAIZ DE LA FUNCION: La raíz de una función es el valor de x que hace nula la función (es el valor de x que hace que y valga cero, es el punto donde la recta corta al eje de las x). 88

89 Para hallarla se iguala la función a cero y se despeja x para obtener su valor. Ejemplo: y = x 4 x 4 = 0 x = 4 x = 4 : x = 89

90 EJERCICIOS: 1) Representar gráficamente las siguientes funciones, indicar para cada una la pendiente, la ordenada al origen y hallar las raíces. a) y = x b) y = x c) y = x + d) y = 1 x e) y = x + 1 f) y = x + ) Para cada una de las siguientes rectas, escribir la ecuación de una recta paralela, una perpendicular y hallar la raíz de la recta dada. a) y = x + b) y = x 4 c) y = x + 1 d) y = x 90

91 RESPUESTAS: 1) a) x = 0 ; pendiente = ; ordenada = 0 b) x = 0 ; pendiente = 1 ; ordenada = 0 1 c) x = ; pendiente = ; ordenada = d) x = 6 ; pendiente = 1 ; ordenada = e) x = 1 ; pendiente = 1 ; ordenada = 1 f) x = 4 ; pendiente = ; ordenada = ) a) // y = x ± c ; y = 1 x ± b ; x = 1 b) // y = x ± c ; y = x ± b ; x = 6 c) // y = x ± c ; y = x ± b ; x = d) // y = x ± c ; y = 1 x ± b ; x = Donde b es la ordenada al origen de la función dada y c un número distinto de b. 91

92 Aritmética y álgebra III Alcántara, Lomazzi, Mina Editorial Estrada. Tapia y 4 Editorial Estrada Estudio dirigido de Matemática Bert, Pedemonti, Semino AZ editora. Matemática Camus, Massana Editorial Aique. Matemática. Bogani, Elsa de Destuet, Oharriz. Ed. Plus Ultra. Matemática 8 y 9. Ed. Mc. Graw Hill 9

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