a) Un número par I) 2n 1 b) Un número impar II) x, x 1 c) Un número y el que le sigue III) 3a d) El triple de un número IV) 2z x 6 b) e)

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1 Polinomios El 6 de septiembre del 00 se celebró el gran Premio de Singapur, la 5.ª prueba del mundial de Fórmula. La carrera constaba de 6 vueltas a un circuito de m de longitud. Fernando Alonso, el automovilista español, hizo una carrera espectacular que le dio la victoria, con lo cual se situó en segunda posición del campeonato a tan solo puntos del líder, el australiano Mark Webber. Pilotos Tiempo Tiempo (h). Fernando Alonso h 57' 53",964. Sebastian Vettel h 57' 55", Mark Webber h 58' 6", Jenson Button h 58' 7", Nico Rosberg h 58' 43",979 a) Calcula la distancia total en km que tienen que recorrer todos los pilotos para completar el gran Premio. b) Qué expresión algebraica nos permite calcular la velocidad media de los pilotos en esta carrera? c) Halla la velocidad media de los cinco primeros pilotos clasificados en este gran Premio.

2 Recuerda y resuelve Qué es una expresión algebraica. Las expresiones algebraicas se utilizan para traducir enunciados al lenguaje matemático. Por ejemplo, si queremos expresar «el doble de la suma de un número más seis», utilizaríamos números y letras combinados mediante operaciones matemáticas. La expresión algebraica sería: (n 6) Si designamos un número cualquiera por x, escribe una expresión para: a) El triple del número. b) Una quinta parte de x. c) La mitad del cuadrado de ese número. Relaciona en tu cuaderno cada enunciado con su expresión algebraica: a) Un número par I) n b) Un número impar II) x, x c) Un número y el que le sigue III) 3a d) El triple de un número IV) z Qué es un monomio. Un monomio es el producto de un número (coeficiente) por una o más indeterminaciones elevadas a exponentes naturales (parte literal). El grado de un monomio es la suma de los exponentes de la parte literal. Así, el coeficiente de 4x 5 es 4; su parte literal, x 5, y su grado, 5. O bien, el coeficiente de xy es ; su parte literal, xy, y su grado, 3. Dos monomios son semejantes si tienen la misma parte literal. 3 Indica el coeficiente, la parte literal y el grado de cada monomio: a) x 3 d) 0y 7 x 6 b) e) c) 3x y 3 f) 6 m 3 4 mn 4 Indica cuáles de los siguientes monomios son semejantes: 5x,4y, 5p, y 5,x 5, 9y, x Cómo se opera con monomios. Para sumar, o restar, dos monomios semejantes, se suman o se restan los coeficientes y se deja la misma parte literal: 7x 4 9x 4 6x 4 ; 6y 3 y 3 5y 3 Las propiedades de las operaciones con potencias son: a m n a m a n m m n ; a an a (k a m ) n k n a m n ; a 0 ; a a Para multiplicar o dividir dos monomios, se multiplican o se dividen sus coeficientes y sus partes literales: 7x ( 5x 3 ) 35x x (4 x ) (x) x x x 5 5 Reduce, cuando sea posible, las siguientes expresiones a un solo monomio: a) 9y 3 y 3 b) x 5x c) 3x x 6 Opera y simplifica estas potencias: a) x x 4 d) a 4 a b) z 4 z 5 e) y 9 y c) (a ) 5 f) (( 4 5 ) ) 7 Opera y simplifica: a) 6x 4 3x d) y 5 ( 4y 4 ) b) x 7 9x e) (x 4 ) 3 c) (6x 3 ) (3x) f) (3x ) (x) Polinomios 73

3 Expresiones algebraicas Observa y resuelve Observa las siguientes situaciones: a) Ángel y Rocío deciden repartir mensualmente la paga a sus hijos de la siguiente manera: al mes por cada año de su edad actual. Cómo podría cada uno de sus hijos saber la paga total mensual que le corresponde? b) Un profesor de Educación Física cronometra a sus alumnos mientras corren 00 metros. Cómo podrá determinar a qué velocidad han realizado la prueba sus alumnos? c) Una persona construye en su casa una piscina de fondo circular. Cómo podría calcular cuántos litros de agua necesitará para llenarla? Las expresiones que permiten resolver las situaciones anteriores son: a) Paga mensual n, donde n es la edad de cada hijo. b) Velocidad 00/t; donde t es el tiempo en segundos de cada alumno. c) Volumen r h, donde r es el radio, y h, la altura en dm de la piscina. Recuerda Cuando en una expresión algebraica dos letras, o un número y una letra, están juntos sin ningún signo intermedio, significa que se están multiplicando. Así: ab significa «a por b» x significa «por x» Una expresión algebraica es una combinación de operaciones aritméticas en las que intervienen números y letras. Las letras se denominan variables o indeterminadas. Traduce al lenguaje algebraico los siguientes enunciados: a) La mitad de la suma de dos números enteros consecutivos. n (n ), donde n es el primer número. b) El precio de una camiseta que ha sido rebajada un 0 %. 0,8p, donde p es el precio inicial... Valor numérico de una expresión algebraica Cuántos litros de agua necesitaremos para llenar una piscina que tiene 30 dm de profundidad y 50 dm de radio? Tan solo tenemos que sustituir los valores en la fórmula: V r h L El valor numérico de una expresión algebraica para determinados valores de las variables es el resultado de sustituir las variables por su valor y realizar las operaciones indicadas. Calcula el valor numérico para cada una de las expresiones del ejercicio resuelto anterior para n 0 y p 5. 0 (0 ) a) 0,5 b) 0, UNIDAD 5

4 Actividades Escribe la expresión algebraica correspondiente a cada uno de los siguientes enunciados: a) La mitad de la diferencia de dos números. b) Un tercio de un número. c) La suma del cubo de un número más cinco. d) El siguiente de un número natural. e) La suma de dos números impares consecutivos. f) El producto de dos números pares consecutivos. Escribe la expresión que permite calcular: a) El espacio recorrido por un coche que se desplaza a una velocidad constante v durante un tiempo t. b) El perímetro de un cuadrado de lado x. c) La hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos son a y b. d) El área de un rectángulo que tiene por lados n y p. 3 Asocia cada uno de los siguientes enunciados con una expresión algebraica de las indicadas abajo: a) La quinta parte de la suma de un número y el triple de su cuadrado. b) La suma de la quinta parte de un número y el triple de su cuadrado. c) El doble de la suma de un número al cuadrado y otro número. d) La suma del doble de un número al cuadrado y otro número. e) El cubo de la suma de dos números. f) La suma de los cubos de dos números. x 3 y 3 (x y) 3 x y x 3x ( x y) x 3x Escribe un enunciado para cada una de las siguientes expresiones algebraicas: a) x y d) x y g) x y b) x y e) (x y) h) x c) (x y) f) 3x y i) (3x y) 5 Indica la expresión algebraica que permite contestar a la pregunta planteada en cada caso: a) Si una camiseta cuesta p euros, qué precio tienen 3 camisetas con el 0 % de descuento? b) Si ahora tienes y años, qué edad tendrás dentro de 6 años? Y qué edad tenías hace 4 años? c) La entrada a un parque temático cuesta x euros, y montar en cada atracción, y euros; cuánto te gastarías si montas en 5 atracciones? 6 Halla en cada caso el valor numérico para x 3: a) x 5 c) e) 3x x b) x 6 d) 5(x 5) f) ( x) 7 Calcula el valor numérico de las expresiones algebraicas para cada uno de los valores dados: a) x 3 x x, para x, x, x 0 y x. 5x b), para x, x y x 0. x 5 (x 3) x c), para x y x. 5 8 Averigua en cada caso el valor numérico de estas expresiones algebraicas para los valores indicados: a) x y, para x 3e y 5. b) x y 3 3z, para x, y y z. c) a 3a b, para a y b 3. 9 Escribe la expresión algebraica que permite hallar lo indicado en cada apartado y después calcúlala para el valor dado: a) El volumen de un cubo de arista x, para x m. b) La velocidad media de un coche que recorre s km en t min, para s 30 km y t 5 min. c) El perímetro de un rombo de lado a, para a 3 cm. d) El área de un círculo que tiene por radio r, para r dm. 0 La familia de María gasta mensualmente una quinta parte de sus ingresos en alimentación, la mitad del resto en pagar préstamos al banco y 300 en otros gastos. Escribe una expresión que indique los gastos mensuales de la familia. Si los ingresos de la familia de María son de 500, a cuánto ascienden los gastos? Encuentra la expresión algebraica del área y del perímetro de cada una de estas figuras. Después halla su valor para a 5 cm, b 4 cm y h cm. a) b) c) x Polinomios 75

5 Polinomios Notación de un polinomio Un polinomio se suele designar por una letra mayúscula seguida de las variables entre paréntesis. Ejemplos: P(x) 3 x Q(a, b) 3ab 4 4ab Observa las siguientes expresiones algebraicas: x 5y 5x x 4ab a 7z 3 z 8 5 Todas las expresiones están formadas por sumas y/o restas de monomios. Un polinomio es la suma de dos o más monomios no semejantes. Cada uno de estos monomios se llama término. Así, por ejemplo: x Sin embargo, 3x 6 es un polinomio. x x 3 3 x no es un polinomio. Se define el grado de un polinomio como el mayor de los grados de sus términos. El monomio de mayor grado se denomina término principal, y el de grado 0, término independiente. Al polinomio con dos términos se le denomina binomio. 3 Dados los siguientes polinomios, determina el grado, el término principal y el término independiente. Polinomios ordenados Si los términos de un polinomio figuran en orden creciente, o decreciente, de sus grados, se dice que es un polinomio ordenado. Son ejemplos de polinomios ordenados los siguientes: P(x) x 4 3x 3 x Q(x) 3 6x 3x 4 Polinomios completos Cuando un polinomio tiene términos de todos los grados intermedios entre el término principal y el independiente, recibe el nombre de polinomio completo. Un polinomio ordenado y completo es, por ejemplo, este: x 4 3x 3 x x Polinomio Grado.. Valor numérico de un polinomio Observa el siguiente polinomio: P(x) 3 x x Si sustituimos la x por, obtendremos el valor numérico del polinomio: P(x ) 3 5 Término principal 3ab 4a b 3 3ab 4x 5x 4x Término independiente El valor numérico de un polinomio, para x a, es el número que resulta al sustituir la variable x por el valor a. 4 Calcula el valor numérico de los siguientes polinomios para los valores indicados. a) P(x) 3x 3 x, para x. P( ) 3 ( ) 3 ( ) 4 b) Q(x, y) x y 3xy 5y, para x e y. Q(, ) UNIDAD 5

6 Actividades Escribe un polinomio de grado 6 que tenga cinco términos, el coeficiente del término de grado igual a y como término independiente 0. 3 Ordena de forma creciente los términos de los siguientes polinomios: a) P(x) 5x 4x 5 3x x 4 x 3 8 b) Q(x) 5x 3 x c) R(x) 5x 4 8x 6 x Ordena de forma decreciente los términos de los polinomios e indica después los términos, el término independiente y el grado: a) P(x) 3 x3 x b) Q(x) 3x 4 3x x 3 c) S(x) 3 3 x 5x 7 8x 5 5 Contesta a las siguientes indicaciones: a) Polinomio cuyos términos están escritos en orden creciente de sus grados. b) Determina qué representa el número en el polinomio P(x) 3x 8x. c) Lo son los monomios que tienen la misma parte literal. d) Polinomio con dos términos. e) Monomio de grado 0 de un polinomio. f) Qué nombre reciben los números 3, 8 y en el polinomio P(x) del apartado b)? g) Polinomio al que no le falta ningún término. 6 Indica si está completo cada uno de estos polinomios y, en caso contrario, señala qué términos le faltan: a) A(x) 5x 3 3x 6 x 8x 4 x x 5 b) B(x) 8x 3 5 x 5x c) C(x) 3x 4 7x 4 x 3 7 Calcula el valor numérico de los siguientes polinomios para el valor dado en cada caso: a) P(x) x 3, para x. b) P(x) x, para x 0. x 3 c) P(x) 8x 3, para x. d) P(x) 3x 3, para x. x e) P(x) 3x, para x 3. 9 x3 3 8 Calcula los valores numéricos de estos polinomios para los valores que se indican: a) P(x) 5x 3 3x 3x, para x y x. b) Q(x) x 4 x 5x 3, para x 0 y x 3. c) R(x) 3x 5x, para x y x 3. d) S(x) 5x 4, para x y x. 9 Asocia cada polinomio con un valor de la variable y con su valor numérico para dicho valor:. P(x) 3x x. P(x) x 3 x x 3. P(x) x 3 5x x 4. P(x) 5x I) x 0 II) x III) x IV) x 3 a) b) 0 c) 6 d) 98 0 Indica cuáles de las siguientes expresiones algebraicas son polinomios y, en caso de que no lo sean, explica por qué: a) 5x 3 x 5 b) 3x x x c) 5x 3 x 5 x Cuántos términos tiene un polinomio completo de grado 3? Y uno de grado 4? Y uno de grado 5? Y si el grado es n? Contesta si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas y razona tu respuesta: a) Un polinomio completo siempre está ordenado. b) Un polinomio ordenado tiene que tener término independiente. c) Un polinomio no puede tener el mismo valor numérico para dos valores distintos de la variable. d) Un polinomio no puede tener dos valores numéricos distintos para un mismo valor de la variable. e) El polinomio P(x) 3x 3 x x es un polinomio incompleto. Polinomios 77

7 3 Operaciones con polinomios 3.. Suma y resta de polinomios Para sumar dos polinomios, sumamos sus monomios semejantes y dejamos indicadas las sumas de los monomios no semejantes. + Q(x) P(x) 3x 3 4x 3x P(x) Q(x) x 5x P(x) Q(x) 3x 3 x x Ten en cuenta Un signo menos delante de un paréntesis cambia el signo a todos los términos del polinomio que están dentro del paréntesis. Por ejemplo: 3 (x 3) 3 x 3 El opuesto de un polinomio es el resultante de cambiar los signos a todos sus coeficientes. Así, el polinomio opuesto de Q(x) x 5x es Q(x) x 5x. Para restar dos polinomios, se suma al primero el opuesto del segundo. + Q(x) P(x) 3x 3 4x 3x P(x) Q(x) x 5x P(x) Q(x) 3x 3 6x 8x Actividades 3 Dados los siguientes polinomios, realiza las sumas indicadas: P(x) x 3 5x x Q(x) x x 3 R(x) 5x 4 6x 3 x 3x 4 S(x) 3x a) Q(x) S(x) c) Q(x) R(x) e) P(x) Q(x) R(x) b) P(x) R(x) d) P(x) Q(x) f) P(x) Q(x) S(x) 4 Dados los siguientes polinomios, efectúa las operaciones indicadas: P(x) x 5x 3 Q(x) 5x R(x) 3x x 4 a) P(x) Q(x) g) P(x) Q(x) R(x) b) P(x) Q(x) h) Q(x) R(x) P(x) c) P(x) R(x) i) P(x) Q(x) R(x) d) P(x) R(x) j) P(x) [Q(x) R(x)] e) Q(x) R(x) k) Q(x) [P(x) R(x)] f) Q(x) R(x) l) P(x) [Q(x) R(x)] 5 Realiza las operaciones, teniendo en cuenta que los polinomios no están completos: a) ( 5x 4 6x 4) ( x 4 3x x ) b) ( 5x 4 6x 4) ( x 4 3x x ) c) (x 5) ( 8x 3 x 5x) d) ( 5x 5 7x 3 ) ( 8x 4 3x 3 x) (x 5) 6 Efectúa estas operaciones, teniendo en cuenta que los polinomios no están ordenados: a) ( 9x x 3x 4 ) ( 5 x 3 3x) b) ( 8x x 6 4x 3 ) ( 3x 7x x ) 7 Realiza las siguientes operaciones de polinomios con coeficientes racionales: a) b) c) d) e) 3 x 3 x x 4 3 x 3 x 3 x x 4 3 x 5 x3 x 3 x3 5 x 5 x3 x 3 x3 5 x 3 8 x 5 x x 3 8 x 4 x 8 8 Qué polinomio se debe sumar a P(x) 3x 4x 5 para obtener cada uno de los siguientes? a) 3x c) 4x e) 5 b) 3x d) 0 f) 5x x 3 9 Qué polinomio se resta a Q(x) x 4 x 3 3x 5 para obtener cada uno de los siguientes polinomios? a) x 4 5x 3 c) 0 e) 5x 4 x b) x 4 8 d) x 3 x f) 0x 9 30 Copia y escribe los elementos que faltan: a) P(x) x 4 5x 3 x x 6 Q(x) x 3 5x 5 P(x) Q(x) 3x 4 x 4x b) A(x) x 5 x 4 3x 4 B(x) x 5 x 3 3x x A(x) B(x) 7x 5 x 4 x 3 x x x 3 x3 78 UNIDAD 5

8 3.. Producto de polinomios Para multiplicar dos polinomios se multiplica cada monomio del primer polinomio por cada uno de los monomios del otro y después se suman los términos semejantes. 5 Multiplica P(x) Q(x) siendo P(x) 4x y Q(x) x 3 3x x. Vamos a resolverlo de dos formas distintas: Método : P(x) Q(x) (4x ) ( x 3 3x x ) 4x ( x 3 3x x ) ( x 3 3x x ) 4x 4 x 3 8x 4x x 3 6x 4x 4x 4 4x 3 4x 8x Método : P(x) x 3 3x x Q(x) 4x Potencias de polinomios Las potencias de un polinomio son un caso particular de la multiplicación de polinomios. Veamos un ejemplo: Calculemos P(x) 3, siendo P(x) x P(x) 3 (x ) 3 ( x ) ( x ) ( x ) ( x ) ( x 4 x x ) ( x ) ( x 4 x ) x 6 x 4 x x 4 x x 6 3x 4 3x Actividades P(x) & x 6x 4x 4x P(x) & 4x 4 x 8x 4x P(x) Q(x) & 4x 4 4x 4x 8x 3 Realiza las siguientes multiplicaciones de un monomio 33 Copia en tu cuaderno y completa los elementos que por un polinomio: a) ( x 3 5x 3) d) x( x x 5x 3) faltan en la siguiente multiplicación: 3x 3 x x 4 b) x( x 3 x 5x 3) c) x ( x 3 x 5x 3) x c) 5 5 x3 x 3 3 x f) 4 3 x 7 9 x 6 x 3 x 5x x x 5x 3 5x 0x 3 Efectúa estas multiplicaciones de polinomios: x x 3 x x a) (5x ) (x 4) 34 Realiza las operaciones y simplifica: b) ( 3x ) (3 x) c) ( x) ( x 3x ) d) (x 3) ( x 3x ) e) ( 3x 3 3x ) (x ) a) (x 3) 5(x 3) b) (x ) (x 3) (x ) (x 3) c) 5x( x 3 ) ( x 4 3) ( x 3 ) d) ( 6x 3x) ( x ) ( x ) ( 4) e) [( x x 3) ( x x 3)] ( x x) f) ( 3x ) ( x x ) f) [( 7x 3 x ) ( 5x 3 x )] ( x 4 3) g) ( x 3 x 3x 5) ( x 5x) h) (x ) (x 4) (x 3) 35 Dados los polinomios A(x), B(x) y C(x), realiza las operaciones indicadas: i) ( x) ( x ) ( x 3 ) A(x) 3x x B(x) 5x x C(x) x 3 j) ( x 3x ) ( 5x 3x ) a) A(x) B(x) C(x) d) [A(x) C(x)] B(x) k) ( 5x 3x ) ( 5x 3x ) l) ( 3x ) ( 5x 3x ) x 3 b) A(x) [B(x) 3C(x)] e) A(x) [B(x) C(x)] c) A(x) B(x) C(x) f) C(x) [A(x) B(x)] m) ( x 4 x ) ( x 3 x ) 36 Calcula los siguientes cubos: n) ( 3x 3 x x 7) ( 4x 5 ) a) (x ) 3 b) (x ) 3 c) (x ) 3 d) (3x ) 3 Polinomios 79

9 3.3. Identidades notables Cómo se puede expresar con un polinomio el área de este cuadrado? El lado del cuadrado mide a b; por tanto, su área será (a b). Si te fijas en la figura, verás que: (a b) a a ab b b Observa y resuelve Supongamos que tenemos dos monomios, A y B, y queremos calcular el cuadrado de la suma, (A B), y el cuadrado de la diferencia, (A B), de esos monomios. a) Qué resultado obtendrías? b) Puedes simplificar este resultado? Realizamos los productos: (A B) (A B) (A B) A A A B B A B B A AB B (A B) (A B) (A B) A A A B B A B B A AB B a ab ab b a b El cuadrado de la suma de dos monomios es igual al cuadrado del primero más el doble del producto del primero por el segundo más el cuadrado del segundo: (A B) A AB B Cómo se puede expresar con un polinomio el área del cuadrado azul? El lado del cuadrado azul mide a b; por consiguiente, su área será (a b). Fíjate ahora en la figura y verás que: (a b) a a ab b b 6 Calcula (3x x 5 ). (3x x 5 ) (3x ) 3x x 5 (x 5 ) 9x 4 x 7 4x 0 El cuadrado de la diferencia de dos monomios es igual al cuadrado del primero menos el doble del producto del primero por el segundo más el cuadrado del segundo: (A B) A AB B 7 Calcula (x x 3 ). (a b) ab a (x x 3 ) (x) x x 3 (x 3 ) 4x 4x 4 x 6 Observa y resuelve ab b b Queremos calcular ahora el producto de la suma de dos monomios por su diferencia, es decir, (A B) (A B). Qué obtenemos? Realizamos el producto: (A B) (A B) A A A B B A B B A B La suma de dos monomios por su diferencia es igual a la diferencia de sus cuadrados: (A B) (A B) A B 8 Calcula (7x 5 x 6 ) (7x 5 x 6 ). (7x 5 x 6 ) (7x 5 x 6 ) (7x 5 ) (x 6 ) 49x 0 4x 80 UNIDAD 5

10 Actividades 37 Utiliza las identidades notables para calcular los siguientes cuadrados de binomios: a) (x ) f) (5x ) b) (x ) g) (x 4y) c) (x 3) h) (x 4y) d) (x 3) i) (3x 5x 3 ) e) (5x ) j) (x 3x) 38 Utiliza las identidades notables para calcular estos cuadrados de binomios: x5 7 x3 3 x4 5 x3 a) c) b) d) 39 Utiliza las identidades notables para calcular las siguientes multiplicaciones de binomios: a) (x ) (x ) d) ( x 5) ( x 5) b) (x 3) (x 3) e) ( 4x 3) ( 4x 3) c) (3x ) (3x ) f) 40 Calcula: a) (x ) y ( x) b) ( 3x x) y (x 3x ) c) (x y) y (y x) 3 x 3 x3 x 3 x 3 x 3x 3 x 3x Podrías sacar alguna conclusión a la vista de los resultados que has obtenido? Justifícala. 44 Expresa como producto de dos factores: a) 4x x 9 d) x x 4 b) 65 e) 6 c) 5x 0x f) 9x 4 45 Copia en tu cuaderno y completa estas expresiones, sabiendo que se trata de identidades notables: a) ( ) 36x x b) ( ) x 4 9 c) ( 5) 4x x d) ( x 4 ) 8 e) ( ) ( ) 49 f) ( 3) ( 3) 6x 46 Halla el valor numérico de las siguientes expresiones para x 3 e y y empareja las que den el mismo resultado. Qué observas? a) (x y f) b) 4(x y) g) xy c) (x y h) d) (x y) (x y) i) xy e) ( 5x y ) 4x j) 4x 4y 47 Expresa con un polinomio el área de cada una de estas figuras: 4 Expresa los siguientes polinomios como el cuadrado x de una suma de dos monomios: b) a) x x d) x xy y b) x 4x 4 e) 4x 4x x c) x 6x 9 f) 9x x 4 48 Copia y completa las siguientes expresiones para 4 Expresa estos polinomios como el cuadrado de la que sean el cuadrado de un binomio: diferencia de dos monomios: a) x x c) x 6x a) x 0x 5 d) x xy b) 4x 5 d) x 4x b) 4x 4x e) 5x 0x 49 Desarrolla los productos y simplifica el resultado: c) 9x x 4 f) 4x 8x 4 a) (x x) (x x) 43 Expresa los siguientes binomios como la suma de dos monomios por su diferencia: b) 4( x x) ( x x) ( x x) a) x 4 d) 9x 49 c) (x 3 x) (4x 6 x ) b) x 5 e) 6 x d) ( x 3x 5 ) ( 3x 3 x) (7x ) c) 4x 00 f) 64 36x e) 3[(x ) x ] ( 3x ) a) x x ) ) x 6 x x 4 x x x x y y y y Polinomios 8

11 Grados de los polinomios que intervienen en una división Al dividir polinomios, hay que tener en cuenta que: El grado del dividendo tiene que ser mayor o igual que el grado del divisor. El grado del resto ha de ser menor que el del divisor. El grado del cociente es la diferencia entre el del dividendo y el del divisor. Actividades 50 Realiza las siguientes divisiones: a) (x 6) b) ( x 5 5x 7 ) c) ( 5x 4 x 3 5x) 5x 5 Efectúa estas divisiones de polinomios: a) ( x 5x 3) (x 3) b) ( x 4 3x 3 x 8) (x 3) c) ( 0x 3 x 5x) ( x 3) d) ( 9x 4 3x 3 x ) (3x ) 5 Divide los polinomios indicados y comprueba el resultado utilizando la expresión D d c r. a) D(x) x 9 x 7 x 5 x 3 x y d(x) x b) D(x) x 5 4x 4 7x 3 x y d(x) x 3 x 53 Calcula el resto de una división de la que conoces el dividendo, D(x); el divisor, d(x); y el cociente, C(x): D(x) 3x 3 4x x d(x) 3x x C(x) x x 3.4. División de polinomios División de un polinomio entre un monomio Para dividir un polinomio entre un monomio, se divide cada término del polinomio entre el monomio. 9 Calcula (9x 6 3x 5 6x ) (3x ). ( 9x 6 3x 5 6x ) ( 3x ) ( 9x 6 ) ( 3x ) ( 3x 5 ) ( 3x ) ( 6x ) ( 3x ) 3x 4 x 3 División entera de polinomios La división entera de polinomios es similar a la división entera de números reales. Observa cómo se divide P(x) 3x 5 5x 4 4x 3x entre Q(x) x x:. Se comprueba que ambos polinomios están ordenados y se deja un espacio donde falte un término de algún grado.. Se divide el término principal del dividendo entre el término principal del divisor: 3x 5 x 3x 3 Este resultado es el primer término del cociente. En la división de polinomios se cumple que el dividendo, D(x), es igual al producto del divisor, d(x), por el cociente, C(x), más el resto, r(x): D(x) r(x) d(x) C(x) 3x 5 5x 4 4x 3x x x 3x 5x 4x 3x x x 3x 3 3. Se multiplica 3x 3 por cada término 3x 5x 4x 3x x x del divisor, y el resultado 3x 6x 3x 3 se le resta al dividendo. x 4 4x 3x 4. Se repite el proceso hasta que el polinomio obtenido tenga un grado menor que el divisor. 4x 3x 3 x 3x 5x 3x x x 3x 6x x x 4 4x 3x x x x 3 4x 3x x 4x 3x & D(x) d(x) C(x) r(x) 0 Comprueba en la división del ejemplo anterior que se cumple que D(x) d(x) C(x) r(x). Dividendo: D(x) 3x 5 5x 4 4x 3x ; Divisor: d(x) x x; Cociente: C(x) 3x 3 x x; Resto: r(x) 3x. d(x) C(x) r(x) ( x x) ( 3x 3 x x) (3x ) ( 3x 5 x 4 x 3 6x 4 x 3 4x ) (3x ) 3x 5 5x 4 4x 3x 8 UNIDAD 5

12 4 Factorización de polinomios Factorizar un polinomio es descomponerlo en producto de polinomios de menor grado. Factorizar mediante identidades Piensa y deduce Observa las siguientes expresiones: x Cuando un polinomio sea el resultado de desarrollar una identidad notable, se puede volver a dicha identidad y así factorizar el polinomio: A(x) x 4 (x ) (x ) B(x) x 4 x ( x x) ( x x) C(x) x 8x 6 x 4x 4 (x 4) x 4 A(x) 4 B(x) C(x) x 8x 6 Cómo podrías transformar estas sumas en productos? x La división exacta Observa ahora esta división exacta de polinomios: x 3 x x x x 5x x x 4x x 4x x 0 La división es exacta cuando el resto es 0, por lo que: Dividendo Divisor Cociente Por consiguiente: x 3 5x x (x ) ( x x). Cuando un polinomio puede ser dividido de forma exacta, se puede factorizar así: Dividendo Divisor Cociente & D(x) d(x) C(x) Sacar factor común Observa que en el polinomio P(x) 6x 3 0x todos los términos contienen la expresión x : P(x) 6 x x 3 3 x x 5 x Por tanto, es posible extraer este factor común a todos los términos del polinomio y escribir: x 5 P(x) x (6x 3 3x 5) Extrae factor común en los polinomios. a) A(x) 9xy 8 x 5 y 3 3x b) B(x) 3x 4x 3 x A(x) 3x ( 3y 8 4x 4 y 3 x) B(x) x ( 3x 4x ) Actividades 54 Identifica identidades notables y factoriza: a) x 8 4x 6 4x4 b) x 6 6x 4 9x c) 9x 4 x 55 Divide la expresión: ( x 3 3x x 3) (x 3) Utiliza el resultado para factorizar el dividendo. 56 Saca factor común: a) x 6 6x y b) 4x y x3y4 c) 5x 4 5x 5 d) 8x 3 6x 3x e) a b c ab b c Polinomios 83

13 Estrategias para resolver problemas Resolver casos particulares Una forma de afrontar resolver un un problema es buscar es resolver todos casos los particulares casos posibles. que te permitan generalizar hasta conseguir tu objetivo. Problema A partir de dados de cm de arista queremos formar cubos cuya arista mida cm, cm, 3 cm, Encuentra una expresión algebraica que indique el número de dados necesarios para formar cada cubo en función de la medida de su arista. Resolución. Vamos a resolver el problema para cubos cuya arista valga cm, cm y 3 cm. Con un solo dado formamos el cubo cuya arista vale cm. Para el cubo de cm de arista, necesitamos 8 dados. Para el cubo de 3 cm de arista, necesitamos 7 dados.. Intentamos deducir una regla de formación a partir de los casos particulares: El cubo de cm de arista tiene planta formada por dado. El cubo de cm de arista tiene plantas formadas por dados cada una. El cubo de 3 cm de arista tiene 3 plantas formadas por dados cada una. 3. Intentamos generalizar los resultados obtenidos: Un cubo cuya arista sea de n unidades tendrá n plantas y cada una de esas plantas será un cuadrado de lado n, es decir estará formada por n dados. Luego, para formar el cubo de n cm de arista necesitaremos n n n 3 dados. Otros problemas Cuántos cuadrados como el marcado en rojo puedes colorear en la figura? Escribe una expresión algebraica que exprese el número de cuadros incluidos en una figura cuyo lado esté formado por n cuadrados UNIDAD 5

14 Ejercicios y problemas Expresiones algebraicas Expresa algebraicamente estos enunciados: a) El cubo de la suma de tres números. b) El producto de dos números menos el producto de sus cuadrados. c) Diez unidades menos la suma de dos números impares consecutivos. d) La quinta parte del doble de la suma de dos números. e) El doble de un número más la quinta parte de otro. f) La diferencia entre el doble de un número y el triple de otro. g) La diferencia de los cubos de dos números. h) Cinco unidades más que el diez por ciento de un número. Escribe un enunciado para cada expresión: a) x y d) (x y) b) (x y) e) x y c) 3 xy f) x y 3 Indica algebraicamente el perímetro y el área de cada una de estas figuras: a) x c) x b) d) 3x y 3x 3x 4 Comprueba la siguiente igualdad para los valores n 5 y n 0: 3 n ( n) n x 5 5 Escribe la expresión algebraica que permite calcular el volumen de un cubo de arista x. Halla el volumen para x, x 3 y x 5. Tiene sentido calcular el volumen para x? Por qué? 6 Escribe la expresión algebraica que permite calcular el precio final de un artículo que cuesta p euros después de una rebaja del 0 %. Halla el precio final para p 5. x x a 3a a a x Monomios. Operaciones con monomios 7 Indica cuál es el grado, el coeficiente y la parte literal de los siguientes monomios y escribe luego un monomio semejante a cada uno de ellos: 3 a) a b) 3a c) x 3 y 5 d) 8 Realiza las siguientes sumas de monomios: a) 5x 7x 3x c) 5 x 5 x 3 3x 5 b) x 5 5x 3x x 5 d) 3 x3 4 x x 3x 9 Efectúa los productos: a) y ( 3y ) c) 3x ( 5x ) 3x 4 y b) 4xyz d) 8ab x y a b ( 8a 3 ) Polinomios 0 Indica los términos, los coeficientes, el término independiente y el grado de cada uno de los siguientes polinomios: a) 3x 5x 6 x 4 3 c) 5x x 6 9x b) x 3 4x 4 6x d) x 5 x 3 8x 4 x Escribe un polinomio que sea: a) Completo, ordenado, creciente y de grado 5. b) Incompleto, de grado 0, que tenga como coeficiente del término de grado 5 y cuyo término independiente valga 0. Calcula, en cada caso, el valor de a para que el valor numérico del polinomio sea el indicado: a) P(x) 3x x a & P( ) 9 b) Q(x) x 4 x x a & Q() c) R(x) x 3 x a & R(0) 5 d) S(x) ax 5 & S() Operaciones con polinomios 3 Realiza estas sumas y restas: a) ( x 3x 9) ( 3x 5x ) b) ( x 3x 9) ( 3x 5x ) c) ( x 3x 9) ( 3x 5x ) d) ( 5x 4 8x 3 ) ( x 5) ( x 4 x 3) 5 e) 3 x5 4 x x5 x 4 x 7 x3 5 x Polinomios 85

15 Ejercicios y problemas 4 Realiza las siguientes multiplicaciones: a) ( 5x ) (4x) 5 4 b) c) ( 3x x ) (x ) d) ( x 3 5x 4 ) ( x 3x) e) ( 3x 5 x 4 x 3 5x 7) ( x 5 3x ) 5 Opera y simplifica estas expresiones: a) (x 5) 0 b) 5(x ) 6(x 3) c) x( x 3 x 3) 3(x ) d) 7( x ) 5x 3 x (x 3) (x ) e) (x ) (x ) (x ) 6 Opera las siguientes expresiones y reduce a una sola fracción: x x 3 a) 4 4 x x x b) 3 6 x x x 3x c) d) x3 3 x 0 x5 5 ( x ) (x 3) 3 7 Dados los polinomios P(x), Q(x) y R(x), realiza las operaciones indicadas: P(x) 3x 5x Q(x) x 3 x 3 R(x) x a) P(x) Q(x) R(x) c) P(x) Q(x) R(x) b) [P(x) Q(x)] R(x) d) P(x) [Q(x) R(x)] 8 Dados P(x) x x y Q(x) x 3x, halla las siguientes potencias: a) [P(x)] 3 b) [P(x)] c) [Q(x)] d) [Q(x)] 9 Calcula: a) (x 5) g) (3x ) (3x ) 4 b) (3x 7) h) ( 6x 5x) c) (x 5) (x 5) i) ( x 3 5x ) d) ( x ) j) ( x ) ( x ) e) 3 3 x x k) x3 7 x f) 7 l) 5 x x Opera y simplifica: a) (x ) (x ) b) (x ) (x ) c) ( 3x) 4(4 x) d) (3x ) (3x ) x(3 5x 3 x 5 x 3 x x x e) 3 f) Efectúa las divisiones de polinomios y comprueba los resultados utilizando D d c r: a) ( x 3 3x 4x) (x ) b) ( x 5 x 4 5x 3 x ) ( x ) c) ( 8x 4 4x 3 3x 4x) (x ) d) ( 0x 5 5x 4 4x 3 x x ) (x ) Factorización de polinomios Utiliza las identidades notables para factorizar los siguientes polinomios: a) x x d) x 4 x b) 9x x 4 e) x 4 4x 4 c) 5x 0x 4 f) 9 x 3 x 4 3 Factoriza los siguientes polinomios expresándolos como una suma por diferencia de monomios: a) 9x 36 c) 4x e) 5x 8 6 b) 49 x d) x 4 f) 4 x4 x 4 Comprueba que las siguientes divisiones son exactas y utilízalas para factorizar el dividendo: a) ( x 3 x x) (x ) b) ( x 4 x 3 4x 4) ( x ) 5 Factoriza las siguientes expresiones extrayendo factor común: a) x 3 3x 0x b) 5x 3 5x 0 c) 6x 4 4x 3 x d) 3(x 5) 5(x 5) 8(x 5) e) x ( x 3) 3x( x 3) 4( x 3) f) 3 x 3 x 3 ) 86 UNIDAD 5

16 Ejercicios y problemas Problemas con expresiones algebraicas 6 El primero de tres números consecutivos es a. Calcula el producto de los tres números. 7 Luis tiene x años, y su madre, el triple que él. Qué edad tendrá Luis dentro de siete años? Y su madre? Resuelve el problema para x 4. 8 La altura de un rectángulo es 3 m menor que su base. Cuál será la expresión de su área? Calcula el área en el caso de que la base mida m. 9 Escribe en lenguaje algebraico el desarrollo del siguiente juego y simplifica el resultado para explicar cómo se puede averiguar el número inicial: Piensa un número, súmale, multiplica el resultado por 0, divide lo que te dé entre 5, resta 4 al resultado, anota lo que obtienes finalmente. 30 En un jardín hay el doble de petunias que de geranios. Si se siembran cinco geranios más y se transplanta a otro jardín una tercera parte de las petunias, qué expresión refleja el total de plantas que tiene ahora el jardín? Cuántas plantas habrá al final si al principio había 4 petunias? 3 Una clase de 3. de ESO comienza el curso con x chicos e y chicas. A las dos semanas, María y Ana se cambian de colegio, al tiempo que cinco chicos vienen a estudiar a esa misma clase. Al mes, la clase va a visitar un museo junto con otros grupos, de manera que se dobla el número de chicos, mientras que el de chicas se incrementa en. En el primer turno de visita solo dejan entrar a una cuarta parte de los chicos y a un tercio de las chicas: Escribe la expresión algebraica que indica el número de chicos y chicas que entra al museo en ese turno. Evaluación Traduces un enunciado a una expresión algebraica, y viceversa Escribe una expresión algebraica que traduzca los siguientes enunciados: a) El triple de la diferencia de dos números. b) El cuadrado de un número impar. Redacta un enunciado que se corresponda con las siguientes expresiones: a) x y b) x y Hallas el valor numérico de una expresión algebraica 3 Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas para el valor de la variable indicada: a) 6x 4, para x. y b) x, para x 5 e y 9. 3 c) 6x y, para x e y 0. d) x 6, para x. Identificas los elementos de un polinomio y calculas valores numéricos 4 Escribe un polinomio ordenado y completo de grado 5 cuyo término principal tenga por coeficiente y cuyo término independiente sea Dado el polinomio P(x), calcula P(), x3 x x P( ) y P(0). Realizas operaciones con polinomios 6 Efectúa las operaciones indicadas: P(x) x 3 5x x 3 Q(x) x 6x 4 R(x) 4x a) P(x) Q(x) R(x) e) P(x) 5R(x) b) P(x) Q(x) f) (x) c) R(x) [P(x) Q(x)] g) (x) R d) (x) h) Q(x) R(x) 7 Realiza la siguiente división de polinomios: ( 6x 5 5x 4 x 3 6x 3) ( x ) Factorizas polinomios 8 Encuentra identidades notables y úsalas para factorizar los siguientes polinomios: a) x 4 6x 5 9x6 b) 4x 6 x 9 Extrae factor común en las siguientes expresiones: a) 3a 3 b 6ab a b) 8x 5 y 4x 4 y 4 x 3 y 4x 3 y 0 Utilizando la división del ejercicio 7, factoriza el siguiente polinomio: Q R 3 6x 5 5x 4 x 3 6x 3 Polinomios 87

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