EJERCICIOS PROPUESTOS. Escribe las expresiones algebraicas correspondientes. a) Tres números consecutivos. b) Tres números pares consecutivos.

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1 EJERCICIOS PROPUESTOS 4.1 Relaciona cada enunciado con su epresión algebraica. Múltiplo de 3. Número par. El cuadrado de un número más 3. Un número más 5. El triple de un número más Escribe las epresiones algebraicas correspondientes. a) Tres números consecutivos. b) Tres números pares consecutivos. a), ( 1), ( ) b), ( 1), ( ) 4.3 Epresa en forma algebraica el área y el volumen de un cubo cuya arista mide centímetros. Área: Volumen: El largo y el ancho de esta piscina son datos desconocidos, pero sabemos que el largo es el doble que el ancho. Escribe las epresiones algebraicas que nos dan el perímetro y el área de la piscina. Si el ancho es, el largo es. Perímetro: 6; Área: 4.5 Averigua, para estos valores de, el valor numérico de la epresión: a) c) 3 b) 1 d) 5 a) c) b) d) Obtener el valor numérico puede ayudar a comprobar si una igualdad es falsa; basta sustituir la por números sencillos cualesquiera. Comprueba si son falsas estas igualdades. a) 3 c) ( ) 3 5 b) 4 6 d) 3 5 a) Si ; c) Si ; ( ) b) Cierta, por las propiedades de las potencias d) Si 1; El valor numérico de las siguientes epresiones es 0 para algunos números. Indica cuáles son. a) 64 c) 5 b) d) 3 64 a) 8 y 8 c) La epresión nunca es 0. b) 10 d) 4

2 4.8 Relaciona cada epresión algebraica con una equivalente. (y z) y y y y y z ( y) 4.9 Indica cuáles de las siguientes epresiones algebraicas son monomios. a) 3,7 b) c) d) 1 Son todas monomios menos la del apartado d. y z Escribe el coeficiente, la parte literal y el grado de cada monomio. a) 7 y b) 6y 4 z c) 3 5 y 4 d) 9 yz 3 a) Coeficiente: 7. Parte literal: y. Grado: 3. b) Coeficiente: 6. Parte literal: y 4 z. Grado: 7. c) Coeficiente: 3. Parte literal: 5 y 4. Grado: 9. d) Coeficiente: 9. Parte literal: yz 3. Grado: Escribe un monomio semejante a cada uno de estos monomios. a) 7yz b) 11 4 y c) 3 4 y 5 d) 13 7 y 3 Respuesta abierta, por ejemplo: a) yz b) 4 y c) 3 4 y 5 d) 6 7 y Un alumno define el grado de un monomio como el número de factores que forman su parte literal. a) Coincide esta definición con la dada? b) Aplica las dos definiciones al monomio 3 y 4. a) Sí. b) Con la primera definición, el grado es 4 6. Con la segunda definición hemos de tener en cuenta que y 4 y y y y, hay 6 factores, el grado es Halla el monomio que permite calcular el área de los rectángulos cuya base es el doble que la altura. Altura:. Base:. Área: Cuáles de estas epresiones algebraicas son polinomios? 5 a) b) c) 1 a b d) 1 Son polinomios b y c. Indica el grado de estos polinomios. a) b) 1 3 c) 1 d) a) Tiene grado 5. b) Tiene grado 3. c) Tiene grado. d) Tiene grado 11.

3 4.16 Indica el grado de los siguientes polinomios. a) 3y y 5 y b) zt 3t 3 z 5 a) Tiene grado 4. b) Tiene grado Determina el valor numérico de cada polinomio para 10. a) 3 1 c) 4 1 b) 4 d) 6 3 a) c) b) d) Calcula el valor numérico del polinomio P() para los valores 1, y 3. P(1) P() P(3) Reduce términos en estas epresiones. a) 8 7y 5 c) 1y y 4y b) 3 6z 3 4z 3 3 d) y a) 3 7y c) 11y 4y b) z 3 d) y La suma de dos monomios es Indica qué monomios pueden ser. a) 7 y 3 3 c) 6 4 y 4 b) 7 5 y 3 5 d) 9 5 y 9 5 Los del apartado b. 4.1 Con los siguientes polinomios. P() Q() R() Realiza estas operaciones. a) P() Q() d) R() Q() b) P() R() e) P() Q() R() c) P() Q() f) P() Q() R() a) d) b) e) c) f) Realiza estos productos de monomios. a) (y) (3z) c) (5ab c) (4a 3 c) (b c) b) (3y ) (5 yz) d) (1y) (6 ) ( y 3 ) a) 6yz c) 0a 4 b 4 c 3 b) 15 3 y 3 z d) 7 5 y Multiplica el monomio por el polinomio. a) (3 5 1) c) ab (ab 3c ab) b) 5zt (z t 3zt 3 ) d) y (5 y 3y) a) c) a b 3 3abc a b b) 10z 3 t 15z t 4 d) 10 y 4y 3 6 y 3

4 4.4 Calcula estos productos de binomios. a) ( 11). ( 11) c) ( 3y) ( y) b) ( 3 y 3 ). (7 ) d) (3tz t ) (tz z ) a) 4 11 c) 5y 3y b) y 3 y 3 d) 3t z 3tz 3 t 3 z t z 4.5 Saca factor común en estas epresiones. a) y c) 3t 5 1t t b) 4z z 4 1z d) 6 4 y 4 7 y 1 3 y a) ( 7 y) c) 3t (t 3 7t 4 5) b) z(z 3 6) d) 6 3 y( 4 4 3y) 4.6 Realiza estos productos. a) ( 1) ( 3) b) (3 3 3) ( 1) a) b) Efectúa estos productos de polinomios. a) ( ) ( 3 3 1) b) ( ) ( ) a) b) Desarrolla estas potencias. a) ( y 1) c) (a 1) 3 b) (ab 1 a) d) (1 3t) 3 a) ( y 1) ( y 1) 4 y y y y y 1 4 y 4y 4 y 1 b) (ab 1 a) (ab 1 a) 4a b ab a b ab 1 a a b a a 4a b 4a b a 4ab a 1 c) (a 1) (a 1) (4a 4a 1) (a 1) 8a 3 4a 8a 4a a 1 8a 3 1a 6a 1 d) (1 3t) (1 3t) (1 6t 9t ) (1 3t) 1 3t 6t 9t 9t 7t 3 7t 3 18t 9t Comprueba la veracidad de estas igualdades. Si alguna es falsa, escribe el resultado verdadero. a) ( 3 3) c) (5 3)(5 3) 5 9 b) ( 3 5) d) (3 4y) 9 16y a) Cierta. c) Falsa. (5 3)(5 3) 5 9 b) Falsa. ( 3 5) d) Falsa. (3 4y) y 4 y 4.30 Desarrolla las siguientes epresiones utilizando las igualdades notables. a) (a 3b) c) (3a b) b) (a 3b) d) (a 3b) (a 3b) a) a 9b 6ab c) 9a b 6ab b) a 9b 6ab d) a 9b

5 4.31 A partir de esta igualdad a b (a b) (a b), resuelve estas operaciones. a) b) 75 5 c) d) a) (11 10) (11 10) 1 b) 75 5 (75 5) (75 5) c) (999 1) (999 1) d) ( ) ( ) Epresa como una potencia estos polinomios. a) 9 y 6y c) b) 5y y d) a) (3 y) c) ( 7) b) (5y 10) d) ( 6)

6 4.33 RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Halla la fórmula que nos permite calcular el número de saludos que se intercambia un grupo de 40 amigos que se ven después de las vacaciones. Resolvemos el problema para cuando son pocos amigos. Cuando son dos amigos: 1 saludo. Cuando son tres amigos: 3 saludos; 3 3 Cuando son cuatro amigos: 6 saludos; Cuando son n amigos: n (n 1). Lo cual es lógico, puesto que cada persona saluda a (n 1) personas, tendríamos así n (n 1), pero es que en este recuento está contado cada saludo dos veces, con lo cual dividimos entre. En el caso de 40 amigos nos da como resultado: saludos Determina la fórmula que da el número de diagonales de los polígonos conveos de 0 lados. Resolvemos el problema para polígonos de menos lados. Un triángulo no tiene diagonales. Un cuadrilátero tiene 4 1 diagonales. Un pentágono tiene 5 5 diagonales. Un heágono tiene diagonales. Generalizando, tenemos que para un polígono de n lados, el número de diagonales es: n (n 3) Así, si es un polígono de 0 lados, tendrá diagonales.

7 Epresiones algebraicas y su valor numérico EJERCICIOS PARA ENTRENARSE 4.35 Relaciona cada epresión algebraica con su valor numérico para ( 1) (3 1) Calcula, en cada caso, si el valor numérico de las siguientes epresiones es 0. a) 3 4 b) c) ( ) 3 d) 7 a) c) ( ) b) d) Escribe la epresión algebraica que genera estos valores La epresión es 3n, siendo n un número natural Escribe la epresión algebraica del área de cada figura. a) b) h y a) h b) Calculamos la altura del triángulo por el teorema de Pitágoras: 4 h h 3 Así, el área del triángulo de arriba es: 3 Del triángulo de abajo conocemos la base y la altura. Así, el área resulta: y Si sumamos las dos áreas, obtenemos el área de la figura: 3 y

8 4.39 Epresa en forma algebraica cada frase. a) Los cuadrados de tres números consecutivos. b) Dos números que sumen 34. c) El doble de un número menos cuatro quintos del mismo número. d) El 30 % de un número impar. a),( 1), ( ) b), 34 c) 4 5 d) 0,3 (k 1) 4.40 El monedero de una persona contiene las siguientes monedas. monedas de 1 euro. y monedas de 50 céntimos. z monedas de 0 céntimos. m monedas de 10 céntimos. t monedas de 5 céntimos. Halla la epresión algebraica que epresa el dinero, en euros, que tiene en el monedero. Tiene: 0,50y 0,0z 0,10m 0,05t 4.41 Indica si son monomios estas epresiones algebraicas. a) 5yz b) 8 c) 7z 3 y 4 d) 1y 3 y a) Es monomio. b) No son monomios porque el eponente de y no es natural. c) No son monomios porque el eponente de y no es natural. d) No es monomio porque el eponente de no es natural. 4.4 Indica el coeficiente, parte literal y grado de cada monomio. a) 8 b) 7 5 z 4 m 3 c) y 5 d) 3 8 yz 4 a) Coeficiente: 8. Parte literal:. Grado:. b) Coeficiente: 7 5. Parte literal: z 4 m 3. Grado: 7. c) Coeficiente: 1 8. Parte literal: y 5. Grado: 6. d) Coeficiente: 3. Parte literal: yz 4. Grado: 5.

9 4.43 Cuál de los siguientes monomios es el de mayor grado? 3 yz 3 7y 4 z 3 8z 5 4y 6 El segundo polinomio, 7y 4 z 3, que tiene grado Escribe el polinomio que cumple las siguientes características. Binomio en la variable z. De grado 5. Con coeficiente del término principal 8. Término independiente 7. El polinomio que cumple las características es: 8z Calcula el término independiente, a, del polinomio z 4 3z a, sabiendo que el valor numérico para 1 y z es 10. Sustituimos las variables por los valores numéricos en el polinomio: (1) 4 (1) 3 a El resultado de dicha sustitución es igual a 10, de modo que a 10 a 1. Operaciones con monomios y polinomios 4.46 Realiza estas sumas de monomios. a) 4zy 3 7zy 3 15zy 3 zy 3 c) 3y z 5yz b) yz 3 yz d) a) 10zy 3 b) 1 6 yz c) 3y z 5yz d) Copia y completa esta suma de polinomios. 4 3 (4 ) 6 (6) (4) 15 Con los siguientes polinomios. P() M() T() Realiza las operaciones indicadas. a) P() T() M() b) (M() P()) (T() M()) c) 3P() 4T() M() a) ( ) ( ) b) [( ) ( )] [ ( )] ( ) ( ) c) 3( ) 4( ) ( ) Copia y completa esta multiplicación de polinomios

10 4.50 Saca factor común en estas epresiones. a) 8 y y 4 y c) 8z t 3 3 t 4 7 z4 t 3 4 b) 9t 3 4 5t 6 t 7 5 d) a 3 b a 4 b a 9 b a) y (4y y ) c) t 4z t 7 z4 t b) 4 t (9t 5t t 5 ) d) 3 a3 b a3 b 5 7a 6 b 4.51 Epresa estos polinomios en forma de productos. a) 4y 4y c) 36z t 4z t 4z b) 49 7z z d) 3z 1z 1 4 a) ( y) c) (6zt z) b) 7 z d) (3z 1) 4.5 Desarrolla las siguientes potencias de polinomios. a) (3 4) 3 b) ( 1) 4 c) ( 3y) 4 d) ( y z) a) (3 4) 3 (3) 3 (4) 3 3(3) (4) 3(4) (3) b) ( 1) 4 ( 1) ( 1) ( 1 ) ( 1 ) c) ( 3y) 4 ( 3y) ( 3y) (4 9y 1y) (4 9y 1y) y 4 16 y 96 3 y 16y 3 d) ( y z) ( y z) ( y z) y z y y yz z zy z y z y z yz 4.53 Realiza las siguientes operaciones. a) 5( 1) 4( 3 7 ) f) (7 ) (4 5) (3 9) b) (3 ). ( 1) 3( ) g) ( 3 1) ( 1) c) h) ( 1) ( 1) d) ( ) (5 3). ( 4) 3( 1) i) ( ) 5 ( 3 ) ( 4 ) (7 ) e) 4(5 6 1) ( 3 6) 7 8 j) 3( 1) 4(7 9) 7(4 ) a) f) b) g) c) h) 3 3 d) i) e) j)

11 CUESTIONES PARA ACLARARSE 4.54 Puede eistir un trinomio, con una sola variable, de grado 1? Justifica la respuesta. No. Todos los polinomios de grado 1 son de la forma a b, luego, como mucho, son binomios Los siguientes polinomios tienen sus términos ordenados en forma decreciente. (3 3 ) (7 3 ) P() (6 4 ) ( ) R() ( 5 ) (4 3 ) T() ( 3 ) 3 L() [( ) (6 4 )] M() Cuál es el grado de los polinomios P(), R(), T(), L() y M()? Grado P() 3 Grado R() 4 Grado T() 8 Grado L() 9 Grado M() Indica si son correctas estas operaciones. a) b) (4 3) c) (4 3 ) d) 7 y (6y 3 ) 1 3 y 4 e) (5 y) (5 y) 5 4y a) Incorrecta b) Incorrecta c) Correcta d) Correcta e) Incorrecta Puede tener un polinomio un mismo valor numérico para dos valores distintos de la variable? Justifica tu respuesta. Sí, por ejemplo, lo vemos en el caso del polinomio, cuyo valor, tanto para 1 como para 1, es 1. Puede tener un polinomio varios valores numéricos para un determinado valor de la variable? Justifica la respuesta. No, las operaciones que incluye un polinomio dan como resultado sólo un valor Sin realizar operaciones, para qué valor de el polinomio toma el valor 7? Para Indica qué valores de la incógnita hacen que el polinomio P() ( 1) ( 7) ( 3) tenga como valor numérico 0. Para 1, 7 y Halla el polinomio de grado cuyo término principal es 16, cuyo término independiente es 1 y que es un cuadrado perfecto. Cuántas soluciones eisten? a 16 a b c donde 16 b 1 b (4 1) c 1

12 PROBLEMAS PARA APLICAR 4.6 Mario le pasa a Pablo una multiplicación de polinomios para que compruebe el resultado, pero no se pueden leer todos los coeficientes. Cuáles son los coeficientes que faltan? a 3 b 3 a b 4 a b 4 (a ) 3 (b a 4) (b a) b a 5 b a 4 3 b a a 3, b 4 b Halla el polinomio que aparece en las siguientes igualdades Q() a) 1 3 b) (L()) a) Q() b) (L()) ( 3) L() La edad de un hombre y la de su hijo se diferencian en 30 años. Dentro de cinco años, la edad del padre será el triple que la de su hijo. Completa, utilizando una variable, la tabla con la edad del padre y del hijo. Edad actual Edad dentro de cinco años edad hijo Padre Hijo 30 edad padre ( 5) 35 3( 5) Padre Hijo Edad actual Edad dentro de cinco años 45 15

13 4.65 Epresa mediante un polinomio el área de las figuras. a) b) Dividimos las figuras en otras más simples y sumamos las áreas: a) b) Averigua los valores de e y, para que se produzca la siguiente transformación. y y y y 4 ( 1) 3 y y Los valores son: 1, y Epresa con un monomio el área de un triángulo equilátero de lado. 4 Aplicando el teorema de Pitágoras: h h 4 Área

14 4.68 En una pirámide del antiguo Egipto descubrieron la siguiente inscripción. Un joven matemático desveló el enigma y, para su sorpresa, descubrió que se trataba de un polinomio. Cuál era? Calculamos las diferentes áreas: Sin conocer todavía la división de polinomios, pero sabiendo que cumplen la misma regla de dividir que los números, halla el polinomio dividendo de la división. P() P() ( 3)( 1) (3 )

15 REFUERZO Epresiones algebraicas 4.70 Escribe en lenguaje algebraico. a) Dos números cuyo producto es 18. c) Un múltiplo de 5 más su doble. b) Tres cubos consecutivos. d) El producto de dos pares consecutivos. a) y 18 c) 5 10 b) 3,( 1) 3,( ) 3 d) ( ) Monomios y polinomios Indica cuáles de estos monomios son semejantes a 3 zy 3. a) 8 yz 3 c) zy 3 yz 3 b) d) 15zy 3 17 El c, porque tiene la misma parte literal. Comprueba si que estos pares de polinomios son no son equivalentes, hallando sus valores numéricos para 1. a) ( ) 3 y 3 8 b) 8 4 y 4 c) (3 ) 3 y 7 5 a) (1 ) y No son equivalentes. b) y 4 1 No son equivalentes. c) (3 1 ) y No son equivalentes. Operaciones con polinomios Efectúa estos productos. a) 3 (4 3 5 ) b) 5 yz 4 (4 3 5 ) c) (6y 5y 1) (4y 3) a) b) 0 5 yz yz 4 10 yz 4 c) 4y 4 18y 3 0y 15y 4y 3 4y 4 34y 15y 3 Realiza las operaciones indicadas con los siguientes polinomios. P() Q() 6 L() 5 M() a) P() Q() b) Q() M() c) L() M() d) (M()) a) c) b) 3 d) Utilizando los productos notables, desarrolla estas potencias de binomios. a) ( 3) b) (a 3b) c) ( ) d) (3 t 3 ) a) 6 9 b) a 1ab 9b c) d) 9 1t 3 4t Completa estas igualdades. a) ( z) 5 4z b) (3z ) 1 a) (5 z) 5 0z 4z b) (3z 1) 9z 4 6z 1

16 AMPLIACIÓN 4.77 Una igualdad notable muy útil en el cálculo de polinomios es la siguiente: (a b) 3 a 3 3a b 3b a b 3 Teniendo en cuenta este resultado, desarrolla las siguientes potencias. a) ( 1) 3 b) (3 y) 3 a) ( 1) b) (3 y) y 9y y Encuentra un polinomio N(), de grado, de forma que N(0) 3, N(1) 1 y N() N() a b c N(1) a b c 1 4(9 b) b b b 1 Así: N() N(0) c 3 N() 4a b c 15 a b 9 4a b 1 6b 4 b 4 a 5 Hemos representado en una gráfica los valores numéricos de un polinomio, P(), según el valor de la variable por la que sustituimos. P() 1 O 1 X a) Para qué valores de el valor numérico del polinomio es 0? b) Qué valores toma el polinomio cuando la variable es 1? a) Para 1, y 3 b) P(1) Epresa el área coloreada en azul en forma de un solo monomio. El área del cuadrado es. La del círculo es. 4 La suma de las áreas de los huecos entre el cuadrado y el círculo es: Si dividimos entre 4 tendremos la de un hueco, y entonces dividimos entre dos y tendremos el área de la mitad de uno de esos huecos:

17 4.81 Escribe la fórmula que permite calcular el volumen del siguiente cuerpo geométrico. 5 Sumamos los volúmenes del prisma y de la pirámide y obtenemos el volumen del conjunto. La base del prisma es un heágono regular de lado. Calculamos la apotema de la base utilizando el Teorema de Pitágoras: Apotema 3 4 Calculamos el volumen del prisma: V prisma A base h Calculamos el volumen de la pirámide: V pirámide A 3 3 base h Así, el volumen de la pirámide es: V T

18 PARA INTERPRETAR Y RESOLVER 4.8 Depósito lácteo El depósito de un camión destinado a transportar leche tiene la forma de la figura. a) Determina, mediante dos epresiones polinómicas P() y Q(), la superficie y el volumen del depósito. b) Calcula la superficie y el volumen si y 3 metros. a) Superficie total Superficie lateral cilindro Superficie esfera 6 4 Volumen total Volumen cilindro volumen esfera b) A() ,96 m ; A(3) ,65 m V() ,1 m 3 ; V(3) ,9 m Ayudas para material El Ayuntamiento de Jarrilla ofrece a sus habitantes una ayuda para la compra de material escolar ante el inicio de curso. La ayuda se calcula utilizando la fórmula: A 5n 50i Siendo: A: la ayuda en euros. n: el número de hijos que integran la familia y que están escolarizados en Educación Primaria o en ESO. i: un coeficiente relacionado con los ingresos anuales del total de integrantes de la familia y que se calcula mediante la siguiente tabla. Ingresos anuales Menos de euros 4 Entre y euros 3 Entre y euros Más de euros 1 Calcula la ayuda que corresponde a cada una de las siguientes familias: Familia Hijos escolarizados Ingresos anuales González Pérez Sánchez García González: A 5n 50i Pérez: A 5n 50i Sánchez: A 5n 50i García: A 5n 50i i

19 AUTOEVALUACIÓN 4.A1 Indica cuál de estas epresiones algebraicas es un monomio. z 5 7y 5t 1 15z 3 m El único monomio es 15z 3 m 4 4.A Con los siguientes polinomios. A() 3 B() C() 4 3 Realiza las operaciones indicadas. a) A() B() b) (A()) c) A() C() a) (3 ) (5 6 1) b (3 ) c) (3 ) (4 3) A3 Cuál es el grado de este polinomio? 15y 4 3 y y y 6 El polinomio tiene grado 8. 4.A4 Halla los valores de a, b y c, para que los polinomios A() y B() sean iguales. A() (7a 4) 3 6 (1 5b) B() 3 3 8c (b 4) 11 4.A5 Para que sean iguales, los coeficientes de cada uno de sus términos han de ser iguales. Así: 7a c 6 b 4 b 1 5b 11 5b 10 Luego a 1, b y c 0 Relaciona cada área rayada con el monomio que le corresponde. 7a 7 c 0 6 a 1 b c 0 a) b) 3 8 c) 3 a) Cuadrado b) Triángulo c) Rectángulo 3 4.A6 Aplica las igualdades notables para desarrollar las siguientes operaciones. a) (a b) c) (3 1) (3 1) b) ( y) d) (3t 3 ) a) 4a b 4ab c) 9 1 b) 4 4 y 4 y d) 9t 6 4 1t 3 4.A7 Calcula el valor numérico del polinomio P() 3 3 para el valor. P() () 3 () () 3 8

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