Polinomios y fracciones

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Polinomios y fracciones"

Transcripción

1 BLOQUE II Álgebra 3. Polinomios y fracciones algebraicas 4. Resolución de ecuaciones 5. Sistemas de ecuaciones 6. Inecuaciones y sistemas de inecuaciones

2 3 Polinomios y fracciones algebraicas. Binomio de Newton Desarrolla mentalmente: a) ( + ) b)( ) c) ( + )( ) P I E N S A Y C A L C U L A a) + + b) + c) Desarrolla el siguiente binomio aplicando la fórmula de Newton: ( + ) 3 A P L I C A L A T E O R Í A y 5 4 y 5 3 y 3 5 y y 5 + y Halla el término séptimo en el desarrollo de: ( y) 0 Desarrolla el siguiente binomio aplicando la fórmula de Newton: ( ) Desarrolla el siguiente binomio aplicando la fórmula de Newton: ( + y) y y + 0 y 3 + 5y 4 + y 5 4 Desarrolla el siguiente binomio aplicando la fórmula de Newton: ( y) 6 Como se pide el término 7, r = 6 0 T 7 = T 6 + = ( ) 6 ( ) ()4 y 6 = y Calcula el término en el que el grado de es en el desarrollo de ( ) + T r+ = ( ) r ( ) r = r ( r ) Luego r = ò r = 5 El término que se pide es: T 6 = T 5+ = ( ) = 79 5 r 4 SOLUCIONARIO

3 . Teorema del resto y del factor Calcula mentalmente el valor del polinomio P() = para los valores siguientes: a) = 0 b) = a) P(0) = 9 b) P() = P I E N S A Y C A L C U L A 7 Calcula P() : Q(), siendo: P() = Q() = C() = R() = Halla P() : Q() por Ruffini, siendo: P() = Q() = + 3 C() = 3 R() = 8 9 Calcula el valor numérico del siguiente polinomio para los valores que se indican: P() = a) Para = b) Para = a) P() = b) P( ) = 6 0 Cuál de estos números: o es raíz del polinomio P() = ? P() = 0 ò = es raíz de P() P( ) = 96 π 0 ò = no es raíz de P() Halla, sin hacer la división, el resto de dividir: P() = entre 3 Resto = P(3) = 3 3 Comprueba mentalmente, y sin hacer la división, que el polinomio P() = es divisible entre Resto = P() = 0 Halla el valor de k para que el resto de la siguiente división sea 5 ( 4 + k 6 + ) : ( + ) Por el teorema del resto: P( ) = 5 ò k + 9 = 5 ò k = 4 4 Halla el valor de k para que el polinomio P() = k + 8 sea divisible entre Por el teorema del factor: P() = 0 ò k 4 = 0 ò k = A P L I C A L A T E O R Í A TEMA 3. POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS 5

4 3. Factorización de polinomios Factoriza mentalmente los siguientes polinomios y halla sus raíces: a) + b) c) d) 4 P I E N S A Y C A L C U L A a) ( + ) b) ( + 3) c) ( ) d) ( + )( ) Raíces: Raíces: Raíces: Raíces: = 0, = = 3 = =, = 5 Factoriza mentalmente los siguientes polinomios: a) + 5 b) 9 c) + + d) a) ( + 5) b) ( + 3)( 3) c) ( + ) d) ( 3) 6 7 Factoriza mentalmente los siguientes polinomios y halla sus raíces: a) 3 4 b) 3 + c) 4 5 d) a) ( + )( ) = 0, =, 3 = b) ( ) = 0, = 3 = c) ( + 5)( 5) = = 0, 3 = 5, 4 = 5 d) ( + 3) = 0, = 3 = 3 Factoriza los siguientes polinomios y calcula sus raíces: a) b) c) d) a) ( )( + )( 3) =, =, 3 = 3 b) ( ) ( 3) = =, 3 = 3 c) ( + )( ) ( + 3) =, = 3 =, 4 = 3 d) ( + )( )( 3)( 5) =, =, 3 = 3, 4 = 5 8 Halla un polinomio que tenga las siguientes raíces: a) =, = 3 b) =, = 0 c) =, =, 3 = 3 d) = 0, = 3 =, 4 = 3 a) ( + )( 3) = 3 b) ( ) = c) ( + )( )( 3) = d) ( ) ( + 3) = A P L I C A L A T E O R Í A Halla el M.C.D. y el m.c.m. de los siguientes polinomios: a) P() = Q() = b) P() = 4 Q() = c) P() = 4 3 Q() = SOLUCIONARIO

5 d) P() = Q() = a) P() = ( ) ( ) Q() = ( ) M.C.D.(P(), Q()) = m.c.m. (P(), Q()) = ( ) ( ) b) P() = ( )( + ) Q() = ( + ) ( 3) M.C.D.(P(), Q()) = + m.c.m. (P(), Q()) = ( )( + ) ( 3) c) P() = ( + )( ) Q() = ( + ) ( 3) M.C.D.(P(), Q()) = ( + ) m.c.m. (P(), Q()) = ( + ) ( )( 3) d) P() = ( ) ( + 3) Q() = ( ) ( ) M.C.D.(P(), Q()) = ( ) m.c.m. (P(), Q()) = ( ) ( )( + 3) 4. Fracciones algebraicas Factoriza mentalmente el numerador y el denominador, y simplifica la siguiente fracción: ( + ) ( + ) = = ( + )( ) P I E N S A Y C A L C U L A 0 Descompón mentalmente en factores el numerador y el denominador, y simplifica las siguientes fracciones algebraicas: a) b) a) 0 + b) + A P L I C A L A T E O R Í A ( ) a) = 3( ) 3 ( ) b) = ( + )( ) + Calcula: a) b) 4 Completa para que se verifique la igualdad: + 4 a) = 3 b) = a) ( ) + 3 b) 4 TEMA 3. POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS 7

6 3 Efectúa: + a) + b) a) b) a) ( )( ) b) 5 Opera y simplifica: 4 4 a) ( ) + b) ( + ) : ( ) Calcula: + 3 a) : + b) + : ( + ) a) b) ( + ) 8 SOLUCIONARIO

7 Ejercicios y problemas. Binomio de Newton 6 Desarrolla el siguiente binomio aplicando la fórmula de Newton: ( y) y + 6y y 3 7 Desarrolla el siguiente binomio aplicando la fórmula de Newton: ( + ) Teorema del resto y del factor 3 Calcula P() : Q(), siendo: P() = Q() = C() = + R() = Calcula P() : Q(), siendo: P() = Q() = 3 + C() = R() = Desarrolla el siguiente binomio aplicando la fórmula de Newton: ( + y) y y y y y y 6 9 Halla el término octavo en el desarrollo de: ( ) y Como se pide el término 8, r = 7 y 99 T 8 = T 7 + = ( ) 7 ( ) 5 ( ) 7 = 5 y Halla el coeficiente de 5 en el desarrollo de: ( 3 ) T r+ = ( ) r ( ) (3)7 r = ( ) r ( ) 37 r 7 r r r r Luego 7 r = 5 ò r = El término que se pide es: 7 T = T + = ( ) (3)6 = Calcula P() : Q() por Ruffini, siendo: P() = Q() = 3 C() = R() = 8 Halla P() : Q() por Ruffini, siendo: P() = Q() = + C() = R() = 4 Calcula el valor numérico del siguiente polinomio, para los valores que se indican: P() = a) Para = b) Para = a) P() = 9 b) P( ) = 3 Halla si los valores 5 y 3 son raíces del siguiente polinomio: P() = P(5) = 0 ò = 5 es raíz de P() P(3) = 4? 0 ò = 3 no es raíz de P() TEMA 3. POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS 9

8 Ejercicios y problemas 37 Halla, sin hacer la división, el resto de dividir P() = entre + 3 Por el teorema del resto: Resto = P( 3) = Halla el valor de k para que el resto de la siguiente división sea 3 ( 4 + k 3 k + 5) : ( ) Por el teorema del resto: P() = 3 ò 6k + = 3 ò k = 4 a) 4(4 ) = 4( + )( ) = 0, = /, 3 = / b) ( + ) = = 0, 3 = 4 = c) ( + 3)( 3) = = 0, 3 = 3, 4 = 3 d) ( + 3) = 0, = 3 = 3 39 Comprueba, sin hacer la división, que el polinomio P() = es divisible entre + 3 Por el teorema del factor: Resto = P( 3) = 0 40 Halla el valor de k para que el polinomio P() = 3 k + 6 sea divisible entre + Por el teorema del factor: P( ) = 0 ò 4k 4 = 0 ò k = 6 3. Factorización de polinomios 4 Factoriza mentalmente los siguientes polinomios: a) 5 b) c) 4 + d) a) ( 5)( + 5) b) ( 4) c) ( ) = ( + ) ( ) d) ( + 5) 4 Factoriza mentalmente los siguientes polinomios y halla sus raíces: a) b) c) 4 8 d) Factoriza los siguientes polinomios y halla sus raíces: a) b) 3 3 c) d) a) ( 3)( + ) = 3, = 3 = b) ( + )( 3) = 0, =, 3 = 3 c) ( )( ) ( + 3) =, = 3 =, 4 = 3 d) ( ) ( ) = = 0, 3 = 4 =, 5 = 44 Halla un polinomio que tenga las siguientes raíces: a) =, = 3 b) =, = c) =, =, 3 = 3 d) = 0, =, 3 = 4 = a) ( )( + 3) = + 6 b) ( + )( ) = + 30 SOLUCIONARIO

9 c) ( + )( )( 3) = d) ( )( ) = Halla el M.C.D. y el m.c.m. de los siguientes polinomios: a) P() = 3 4 Q() = b) P() = + 3 Q() = 3 + c) P() = Q() = 3 + d) P() = Q() = a) P() = ( ) Q() = ( + )( ) M.C.D.(P(), Q()) = ( ) m.c.m. (P(), Q()) = ( ) ( + ) b) P() = ( )( + 3) Q() = ( )( ) M.C.D.(P(), Q()) = m.c.m. (P(), Q()) = ( )( )( + 3) c) P() = ( )( 3) Q() = ( ) M.C.D.(P(), Q()) = ( ) m.c.m. (P(), Q()) = ( ) ( 3) d) P() = ( ) ( ) Q() = ( )( ) M.C.D.(P(), Q()) = ( )( ) m.c.m. (P(), Q()) = ( ) ( ) 4. Fracciones algebraicas 46 Descompón mentalmente en factores el numerador y el denominador y simplifica las siguientes fracciones algebraicas: a) ( + ) b) 4 c) 4 9 d) 3 ( + ) + a) = ( + )( ) b) = ( ) ( + 3)( 3) c) = (3 + ) d) = Calcula: 8 a) + b) c) d) + 4 ( ) a) b) ( + 3)( 3) c) d) ( ) 48 Efectúa: a) 4 b) 3 a) ( + ) b) Calcula: a) 3 : b) : 3 3 a) 4 ( + 3) b) 4 50 Opera y simplifica: 3 + a) ( + ) b) ( ) + ( ) : a) 3 b) ( ) TEMA 3. POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS 3

10 Ejercicios y problemas Para ampliar Desarrolla el siguiente binomio aplicando la fórmula de Newton: ( ) + 5 Desarrolla el siguiente binomio aplicando la fórmula de Newton: ( ) 4 Halla el término séptimo en el desarrollo de: ( + y) y y y y 3 y 4 y Como se pide el término 7, r = 6 3 T 7 = T 6 + = ( ) ( ) 5 y 6 = 5 y El término que se pide es: 5 T 5 = T 4+ = ( ) ( ) 4 = Halla un polinomio que al ser dividido entre: se obtenga de cociente + 3 y de resto ( )( + 3) = = Observando las gráficas siguientes, halla las raíces de los polinomios: P() = + 4 Q() = Y y = + 4 X Halla el término decimosegundo en el desarrollo de: ( ) 5 Como se pide el término, r = T = T + = ( ) ( ) ()4 ( ) = 8 7 Calcula el coeficiente del término que tiene grado 9 en el desarrollo de: ( ) T r+ = ( ) ( ) r 5 r ( ) r = ( ) ( ) r r 5 + r r r Luego 5 + r = 9 ò r = 4 Y y = Las raíces de P() son: = 4, = 0 Las raíces de Q() son: =, = 5 58 Halla el valor de k para que el polinomio P() = k + 3 sea divisible por + 3 Por el teorema del factor: P( 3) = 0 ò 0 3k = 0 ò k = 34 X 3 SOLUCIONARIO

11 59 Halla el valor de k para que el resto de la división del polinomio P() = 3 + k entre sea 3 Por el teorema del resto: Resto = P() = 3 ò k + 4 = 3 ò k = 60 Di si son eactas las siguientes divisiones sin hacer la división: a) ( 4 ) : ( + ) b) ( 5 3) : ( + ) a) Resto = ( ) 4 = 0 ò Es eacta. b) Resto = ( ) 5 3 = 64 ò No es eacta. Factoriza los siguientes polinomios y halla sus raíces: ( )( )( + + ) Las raíces reales son: =, = ( + ) ( ) = =, 3 = 4 = ( ) ( + )( 3) = =, 3 =, 4 = ( + )( ) 3 =, = 3 = 4 = Simplifica las siguientes fracciones algebraicas: ( + ) ( )( + 3)( + ) Las raíces reales son: =, = ( )( + )( 4) =, =, 3 = ( + ) TEMA 3. POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS 33

12 Ejercicios y problemas Efectúa las operaciones siguientes y simplifica los resultados: ( ) ( : ) ( )( + ) : ( + ) 3 ( + ) ( ) : ( + ) ( : + ) ( + ) ( : 3 ) ( ) SOLUCIONARIO

13 Problemas 83 Calcula los valores de m y n para que el polinomio: P() = m 3 + n sea divisible por + y Por el teorema del factor: P( ) = 0 ò m + n + 3 = 0 P() = 0 ò 4m + n + 8 = 0 Resolviendo el sistema: m = 5, n = 84 Calcula los valores de m y n para que el polinomio: P() = 4 + m n 4 sea divisible por + y 3 Por el teorema del factor: P( ) = 0 ò 8m n = 0 P(3) = 0 ò 7m + 3n + 75 = 0 Resolviendo el sistema: m = 5, n = 0 85 Escribe un polinomio cuyas raíces sean los valores,, 5 ( )( + )( 5) = Escribe dos polinomios P() y Q() tales que: M.C.D.(P(), Q()) = P() = Q() = ( ) 87 Escribe dos polinomios P() y Q() tales que: m.c.m.(p(), Q()) = ( )( ) P() = ( ) Q() = Escribe en forma de polinomio en una variable cada uno de los enunciados siguientes: a) El cubo de un número menos el cuadrado del número, más 4 unidades. b) El área de un rectángulo cuya base mide 5 unidades más que la altura c) El área de un triángulo cuya altura mide unidades menos que la base a) P() = b) A() = ( + 5) = + 5 ( ) c) A() = = Dos números suman 8 unidades. Escribe el polinomio que epresa el producto de dichos números en función del número menor P() = (8 ) = 8 Dados dos números enteros consecutivos, escribe el polinomio que epresa en función del número menor : a) la suma de los números. b) el producto de los números. a) S() = + + = + b) P() = ( + ) = + Dado el rombo siguiente, halla su área en función de 4 A() = = + TEMA 3. POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS 35

14 Ejercicios y problemas 9 Escribe el polinomio que da el área de un triángulo equilátero en función del lado 3 3 h A() = Escribe el polinomio que epresa la suma de las áreas del triángulo y del cuadrado en función de 3 (00 ) A() = ( ) En una cartulina cuadrada de 60 cm de lado se recorta un cuadrado de lado en las esquinas, para construir una caja sin tapa. Escribe el volumen de la caja en función de 60 cm 60 cm Para profundizar Simplifica las siguientes fracciones algebraicas: 96 4 y 6y 3 3y V() = (60 ) = Con una cartulina como la de la figura, se construye un cilindro sin tapas. Escribe: a) el área lateral del cilindro en función de b) el volumen del cilindro en función de 97 ( + y) 98 4y 4 8 y a a + a b b a b (a + ) a) A() = = 3 b) V() = π ( ) = 95 π π Se divide un alambre de 00 m de longitud en dos trozos, y se forman el triángulo equilátero y el cuadrado siguientes. 99 Simplifica las siguientes fracciones algebraicas: y + y y + y y y 36 SOLUCIONARIO

15 ( + y) 0 ( + y ) y 0 y + y y( y) + y 8y 3 y y y y y 4y ( + y)( y) y + y y + y + y y y TEMA 3. POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS 37

16 Aplica tus competencias 05 Halla el polinomio que define un movimiento uniformemente acelerado en el que: a = 4 m/s, v 0 = 5 m/s y e 0 = m e(t) = 4t + 5t + e(t) = t + 5t + 06 Halla el monomio que define el movimiento de un cuerpo que se deja caer en el vacío en el que: a = 9,8 m/s, v 0 = 0 m/s y e 0 = 0 m e(t) = 9,8t e(t) = 4,9t 38 SOLUCIONARIO

17 Comprueba lo que sabes Enuncia el teorema del resto y pon un ejemplo. El resto que se obtiene al dividir el polinomio P() entre el binomio a es el valor numérico del polinomio para = a R = P(a) Ejemplo Halla el resto de la siguiente división: P() = entre + 3 Resto = P( 3) = ( 3) 3 5 ( 3) + 7 = = = 5 Desarrolla el siguiente binomio aplicando la fórmula de Newton: ( 3) Halla el coeficiente de en el desarrollo de: ( + ) 8 T 8 r + = ( ) ( ) 8 r r r Luego 6 r + r = ò 6 r = ò r = 4 El término que se pide es: T 8 5 = T 4 + = ( ) ( ) = Factoriza el siguiente polinomio y halla sus raíces: P() = = ( + )( ) Raíces: = ; = 5 Halla el M.C.D. y el m.c.m. de los polinomios siguientes: P() = 3 4, Q() = 3 + P() = 3 4 = ( 4) = ( + )( ) Q() = 3 + = ( + ) M.C.D.(P(), Q()) = ( + ) m.c.m.(p(), Q()) = ( + )( ) Efectúa la operación siguiente y simplifica el resultado: ( 3 ) Calcula el valor de k para que el polinomio P() = = k + 6 sea divisible por ( + ) Por el teorema del factor: P( ) = 0 ( ) 3 3( ) + ( )k + 6 = 0 8 k + 6 = 0 4 k = 0 k = 7 Dado el cilindro inscrito en el cono de la figura siguiente, halla el polinomio que epresa el volumen del cilindro en función del radio Se tiene: 0 0 h = ò h = (5 ) 5 5 El volumen es: V() = π (5 ) = 0π π 3 h h 5 TEMA 3. POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS 39

18 Linu/Windows Paso a paso 07 Desarrolla: ( + ) 4 Resuelto en el libro del alumnado. 08 Divide P() = entre Q() = Resuelto en el libro del alumnado. 09 Halla el valor numérico del polinomio P() = para = Resuelto en el libro del alumnado. 0 Factoriza: Resuelto en el libro del alumnado. Calcula: Resuelto en el libro del alumnado. Plantea los siguientes problemas y resuélvelos con ayuda de Wiris o Derive: + Halla el valor de k para que el resto de la siguiente división sea 3 ( 3 + k 0) : ( ) Resuelto en el libro del alumnado. 3 Internet. Abre: y elige Matemáticas, curso y tema. Practica 4 Desarrolla el siguiente binomio: ( + y) y y + 0 y 3 + 5y 4 + y 5 6 Calcula el valor numérico del siguiente polinomio para los valores que se indican: P() = a) Para = b) Para = 5 Calcula P() : Q(), siendo: P() = Q() = C() = R() = a) P() = b) P( ) = 6 7 Factoriza los siguientes polinomios: a) b) SOLUCIONARIO

19 Windows Derive a) ( )( + )( 3) b) ( + )( ) ( + 3) 8 Halla las raíces de los siguientes polinomios: a) b) a) ( ) ( 3) = =, 3 = 3 b) ( + )( )( 3)( 5) =, =, 3 = 3, 4 = 5 9 Calcula: a) + b) + a) b) Calcula: a) + b) + + a) 3 + b) Calcula: : 3 Calcula: + : 3 Plantea los siguientes problemas y resuélvelos con ayuda de Wiris o Derive: 3 4 Halla el valor de k para que el resto de la siguiente división sea 5 ( 4 + k 6 + ) : ( + ) P( ) = 5 k = 4 Halla el valor de k para que el polinomio P() = k + 8 sea divisible entre P() = 0 k = TEMA 3. POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS 4

4 Operaciones. con polinomios. 1. Operaciones con polinomios. Desarrolla mentalmente: a) (x + 1) 2 b)(x 1) 2 c) (x + 1)(x 1)

4 Operaciones. con polinomios. 1. Operaciones con polinomios. Desarrolla mentalmente: a) (x + 1) 2 b)(x 1) 2 c) (x + 1)(x 1) 4 Operaciones con polinomios 1. Operaciones con polinomios Desarrolla mentalmente: a) ( + 1) 2 b)( 1) 2 c) ( + 1)( 1) P I E N S A Y C A L C U L A a) 2 + 2 + 1 b) 2 2 + 1 c) 2 1 1 Dados los siguientes polinomios:

Más detalles

Polinomios y fracciones

Polinomios y fracciones 3 Polinomios y fracciones algebraicas Ejercicios y problemas. Binomio de Newton 6 Desarrolla el siguiente binomio aplicando la fórmula de Newton: ( y) 3 8 3 y + 6y y 3 7 Desarrolla el siguiente binomio

Más detalles

Polinomios y fracciones

Polinomios y fracciones 3 Polinomios y fracciones algebraicas. Binomio de Newton Desarrolla mentalmente: a) ( + ) b)( ) c) ( + )( ) P I E N S A Y C A L C U L A a) + + b) + c) ( + ) 3 A P L I C A L A T E O R Í A 6 3 5 y 5 4 y

Más detalles

5 Operaciones. con polinomios P I E N S A Y C A L C U L A A P L I C A L A T E O R Í A. 1. Polinomios. Suma y resta

5 Operaciones. con polinomios P I E N S A Y C A L C U L A A P L I C A L A T E O R Í A. 1. Polinomios. Suma y resta 5 Operaciones con polinomios 1. Polinomios. Suma y resta Dado el cubo de la figura, calcula en función de : a) El área. b) El volumen. a) A() = 6 2 b) V() = 3 P I E N S A Y C A L C U L A 1 Dado el prisma

Más detalles

3 Polinomios y fracciones algebráicas

3 Polinomios y fracciones algebráicas Solucionario 3 Polinomios y fracciones algebráicas ACTIVIDADES INICIALES 3.I. Para cada uno de los siguientes monomios, indica las variables, el grado y el coeficiente, y calcula el valor numérico de los

Más detalles

4 Operaciones. con polinomios. 1. Operaciones con polinomios. Desarrolla mentalmente: a) (x + 1) 2 b)(x 1) 2 c) (x + 1)(x 1)

4 Operaciones. con polinomios. 1. Operaciones con polinomios. Desarrolla mentalmente: a) (x + 1) 2 b)(x 1) 2 c) (x + 1)(x 1) 4 Operaciones con polinomios 1. Operaciones con polinomios Desarrolla mentalmente: a) ( + 1) 2 b)( 1) 2 c) ( + 1)( 1) P I E N S A Y C A L C U L A a) 2 + 2 + 1 b) 2 2 + 1 c) 2 1 1 Dados los siguientes polinomios:

Más detalles

POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS

POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS Página 66 PARA EMPEZAR, REFLEXIONA Y RESUELVE Múltiplos y divisores. Haz la división: 4 + 5 0 + 5 A la vista del resultado, di dos divisores del polinomio 4 + 5 0. (

Más detalles

Ejercicios Resueltos del Tema 4

Ejercicios Resueltos del Tema 4 70 Ejercicios Resueltos del Tema 4 1. Traduce al lenguaje algebraico utilizando, para ello, una o más incógnitas: La suma de tres números consecutivos Un número más la mitad de otro c) El cuadrado de la

Más detalles

3 POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS

3 POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS PARA EMPEZAR Un cuadrado tiene 5 centímetros de lado. Escribe la epresión algebraica que da el área cuando el lado aumenta centímetros. A ( 5) Señala cuáles de las siguientes

Más detalles

ECUACIONES DE PRIMER GRADO

ECUACIONES DE PRIMER GRADO ECUACIONES DE PRIMER GRADO 1- ECUACION DE PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITA Una ecuación de primer grado con una incógnita es una igualdad en la que figura una letra sin eponente y que es cierta para un solo

Más detalles

Polinomios y fracciones algebraicas

Polinomios y fracciones algebraicas 0 Polinomios y fracciones algebraicas En esta Unidad aprenderás a: d Trabajar con epresiones polinómicas. d Factorizar polinomios. d Operar con fracciones algebraicas. d Descomponer una fracción algebraica

Más detalles

) = 5. Operaciones con polinomios 54 SOLUCIONARIO 1. POLINOMIOS. SUMA Y RESTA 2. MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS

) = 5. Operaciones con polinomios 54 SOLUCIONARIO 1. POLINOMIOS. SUMA Y RESTA 2. MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS 54 SOLUCIONARIO 5. Operaciones con polinomios. POLINOMIOS. SUMA RESTA PIENSA CALCULA Dado el cubo de la figura, calcula en función de : a) El área. b) El volumen. a) A ( ) = 6 b) V ( ) = CARNÉ CALCULISTA

Más detalles

Ecuaciones de 1er y 2º grado

Ecuaciones de 1er y 2º grado Ecuaciones de er y º grado. Ecuaciones de er grado Resuelve mentalmente: a) + = b) = c) = d) = P I E N S A Y C A L C U L A a) = b) = c) = d) = Carné calculista, : C =,; R = 0, Resuelve las siguientes ecuaciones:

Más detalles

TEMA 2 POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS

TEMA 2 POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS Matemáticas B 4º E.S.O. Tema : Polinomios y fracciones algebraicas. 1 TEMA POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS.1 COCIENTE DE POLINOMIOS 4º.1.1 COCIENTE DE MONOMIOS 4º El cociente de un monomio entre otro

Más detalles

4 Polinomios. 1. Polinomios. Piensa y calcula. Aplica la teoría. 1. Cuáles de las siguientes expresiones son monomios? Indica

4 Polinomios. 1. Polinomios. Piensa y calcula. Aplica la teoría. 1. Cuáles de las siguientes expresiones son monomios? Indica 4 Polinomios 1. Polinomios Piensa y calcula Calcula mentalmente el área y el volumen del cubo del dibujo. A() = 6 2 V() = 3 Aplica la teoría 1. Cuáles de las siguientes epresiones son monomios? Indica

Más detalles

Polinomios y fracciones algebraicas

Polinomios y fracciones algebraicas Polinomios y fracciones algebraicas POLINOMIOS SUMA, RESTA Y MULTIPLICACIÓN POTENCIAS DIVISIÓN REGLA DE RUFFINI DIVISORES DE UN POLINOMIO FACTORIZACIÓN DE UN POLINOMIO VALOR NUMÉRICO DE UN POLINOMIO TEOREMA

Más detalles

2Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 42

2Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 42 PÁGINA 42 Pág. 20 cm r r l l 20 cm Amparo quiere fabricar las cuatro velas que ha diseñado sobre el lienzo, pero aún no se ha decidido sobre alguna de sus dimensiones. Para hacerlo necesita saber su volumen

Más detalles

Tema 3. Polinomios y fracciones algebraicas

Tema 3. Polinomios y fracciones algebraicas Tema. Polinomios y fracciones algebraicas. Monomios.. Definiciones.. Operaciones con monomios. Polinomios.. Definiciones.. Operaciones con polinomios. Factorización de un polinomio.. Teorema del resto.

Más detalles

Colegio Las Tablas Tarea de verano Matemáticas 3º ESO

Colegio Las Tablas Tarea de verano Matemáticas 3º ESO Colegio Las Tablas Tarea de verano Matemáticas º ESO Nombre: C o l e g i o L a s T a b l a s Tarea de verano Matemáticas º ESO Resolver la siguiente ecuación: 5 5 6 Multiplicando por el mcm(,,6) = 6 y

Más detalles

4º ESO MATEMÁTICAS Opción A 1ª EVALUACIÓN

4º ESO MATEMÁTICAS Opción A 1ª EVALUACIÓN 4º ESO MATEMÁTICAS Opción A 1ª EVALUACIÓN Bloque 2. POLINOMIOS. (En el libro Tema 3, página 47) 1. Definiciones. 2. Valor numérico de una expresión algebraica. 3. Operaciones con polinomios: 3.1. Suma,

Más detalles

Soluciones a las actividades

Soluciones a las actividades Soluciones a las actividades BLOQUE I Aritmética. Los números reales. Potencias, radicales y logaritmos Los números reales. Números racionales e irracionales a) Calcula mentalmente el área de un cuadrado

Más detalles

2. Si P(x)= x 3 -x 2-3x+1, Q(x)= 2x 2-2x+1 y R(x)= 2x 3-6x 2 +6x-1, opera: a) P+Q; b) P-Q+R; c) 2P-3R; d) P.Q-R; e) P+Q-R; f) Q.

2. Si P(x)= x 3 -x 2-3x+1, Q(x)= 2x 2-2x+1 y R(x)= 2x 3-6x 2 +6x-1, opera: a) P+Q; b) P-Q+R; c) 2P-3R; d) P.Q-R; e) P+Q-R; f) Q. ejerciciosyeamenes.com POLINOMIOS 1. Si P()= - +1 y Q()= -+, opera: a) P-Q b) P+Q c) P+Q P.Q Sol: a) P-Q= -6 +-1 b) P+Q= 1 - -6+7 c) P+Q= -+ P.Q= 1 5-1 +17 - -+. Si P()= - -+1, Q()= -+1 y R()= -6 +6-1,

Más detalles

Polinomios y fracciones algebraicas

Polinomios y fracciones algebraicas UNIDAD Polinomios y fracciones algebraicas U n polinomio es una expresión algebraica en la que las letras y los números están sometidos a las operaciones de sumar, restar y multiplicar. Los polinomios,

Más detalles

REGLA DE RUFFINI. FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS

REGLA DE RUFFINI. FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS REGLA DE RUFFINI. FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS Si en una división de polinomios el divisor es de la forma (x - a) se puede aplicar la regla de Ruffini para obtener el cociente y el resto de la división.

Más detalles

POLINOMIOS. División. Regla de Ruffini.

POLINOMIOS. División. Regla de Ruffini. POLINOMIOS. División. Regla de Ruffini. Recuerda: Un monomio en x es una expresión algebraica de la forma a x tal que a es un número real y n es un número natural. El real a se llama coeficiente y n se

Más detalles

Bachillerato. Matemáticas. Ciencias y tecnología

Bachillerato. Matemáticas. Ciencias y tecnología Bachillerato º Matemáticas Ciencias y tecnología Índice Unidad 0 Números reales........................................... 7. Evolución histórica................................... 8. Números reales......................................

Más detalles

BLOQUE IV. Funciones. 10. Funciones. Rectas y parábolas 11. Funciones racionales, irracionales, exponenciales y logarítmicas 12. Límites y derivadas

BLOQUE IV. Funciones. 10. Funciones. Rectas y parábolas 11. Funciones racionales, irracionales, exponenciales y logarítmicas 12. Límites y derivadas BLOQUE IV Funciones 0. Funciones. Rectas y parábolas. Funciones racionales, irracionales, exponenciales y logarítmicas. Límites y derivadas 0 Funciones. Rectas y parábolas. Funciones Dado el rectángulo

Más detalles

Operaciones con polinomios

Operaciones con polinomios 5 Operaciones con polinomios 5.1 Igualdades notables El cuadrado de una suma es igual al cuadrado del primero, más el doble del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo: (a + b) a + ab + b El

Más detalles

9 Ecuaciones. de primer grado. 1. El lenguaje algebraico

9 Ecuaciones. de primer grado. 1. El lenguaje algebraico 9 Ecuaciones de primer grado 1. El lenguaje algebraico Calcula el resultado de las siguientes epresiones: a) Tenía 5 y me han dado 7. Cuántos euros tengo? b) En un rectángulo, un lado mide metros y el

Más detalles

PÁGINA 77 PARA EMPEZAR

PÁGINA 77 PARA EMPEZAR Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 77 Pág. 1 PARA EMPEZAR El arte cósico Vamos a practicar el arte cósico : Si a 16 veces la cosa le sumamos 5, obtenemos el mismo resultado que si multiplicamos

Más detalles

Sistemas de ecuaciones lineales

Sistemas de ecuaciones lineales 7 Sistemas de ecuaciones lineales 1. Sistemas lineales. Resolución gráfica a) En qué punto se cortan la gráfica roja la azul del dibujo de la izquierda? b) Tienen algún punto en común las rectas de la

Más detalles

b) Los lados de un triángulo rectángulo tienen por medida tres números naturales consecutivos. Halla dichos lados.

b) Los lados de un triángulo rectángulo tienen por medida tres números naturales consecutivos. Halla dichos lados. Problemas Repaso MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CCSS I Profesor:Féli Muñoz Reduce a común denominador el siguiente conjunto de fracciones: + ; y Común denominador: ( + )( ) MCM + ( )( ) ( )( + )( ) ( ) (

Más detalles

Polinomios. Objetivos. Antes de empezar. 1.Expresiones algebraicas pág. 64 De expresiones a ecuaciones Valor numérico Expresión en coeficientes

Polinomios. Objetivos. Antes de empezar. 1.Expresiones algebraicas pág. 64 De expresiones a ecuaciones Valor numérico Expresión en coeficientes 4 Polinomios Objetivos En esta quincena aprenderás: A trabajar con expresiones literales para la obtención de valores concretos en fórmulas y ecuaciones en diferentes contextos. La regla de Ruffini. El

Más detalles

2 Fracciones y. números decimales. 1. Operaciones con fracciones. Realiza mentalmente las siguientes operaciones: Solución: a) b) c) Carné calculista

2 Fracciones y. números decimales. 1. Operaciones con fracciones. Realiza mentalmente las siguientes operaciones: Solución: a) b) c) Carné calculista Fracciones y números decimales. Operaciones con fracciones Realiza mentalmente las siguientes operaciones: + c) 0 c) P I E N S A Y C A L C U L A Carné calculista : C = ; R = Calcula mentalmente: + c) c)

Más detalles

Recuerda lo fundamental

Recuerda lo fundamental Polinomios y fracciones algebraicas Recuerda lo fundamental Curso:... Fecha:... DIVISIÓN DE POLINOMIOS El proceso para dividir dos polinomios es similar a... EJEMPLO: + 4 + La regla de Ruffini sirve para

Más detalles

Sistemas de ecuaciones lineales

Sistemas de ecuaciones lineales 9 Sistemas de ecuaciones lineales 1. Sistemas lineales. Resolución gráfica Comprueba si = 2, = 3 es solución del siguiente sistema: 2 + 4 3 = 14 5 2 + 3 = 13 P I E N S A C A L C U L A + 4 = 14 5 + = 13

Más detalles

Polinomios. Antes de empezar

Polinomios. Antes de empezar Antes de empezar Utilidad de los polinomios Los polinomios no solo están en la base de la informática, en economía los cálculos de intereses y duración de las hipotecas se realizan con expresiones polinómicas,

Más detalles

( x ) 2 SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD. 1 Saca factor común: 2 Expresa los polinomios siguientes como cuadrado de un binomio:

( x ) 2 SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD. 1 Saca factor común: 2 Expresa los polinomios siguientes como cuadrado de un binomio: Pág. 1 Página 95 PRACTICA Factor común e identidades notables 1 Saca factor común: a) 9x 2 + 6x 3 b) 2x 3 6x 2 + 4x c) 10x 3 5x 2 d) x 4 x 3 + x 2 x a) 9x 2 +6x 3 = 3(3x 2 + 2x 1) b) 2x 3 6x 2 + 4x = 2x(x

Más detalles

9 Geometría. analítica. 1. Vectores

9 Geometría. analítica. 1. Vectores 9 Geometría analítica 1. Vectores Dibuja en unos ejes coordenados los vectores que nacen en el origen de coordenadas y tienen sus extremos en los puntos: A(, ), B(, ), C(, ) y D(, ) P I E N S A C A L C

Más detalles

8 Geometría. analítica. 1. Vectores

8 Geometría. analítica. 1. Vectores Geometría analítica 1. Vectores Dibuja en unos ejes coordenados los vectores que nacen en el origen de coordenadas y tienen sus extremos en los puntos: A(, ), B(, ), C(, ) y D(, ) P I E N S A C A L C U

Más detalles

EJERCICIOS PROPUESTOS. Escribe las expresiones algebraicas correspondientes. a) Tres números consecutivos. b) Tres números pares consecutivos.

EJERCICIOS PROPUESTOS. Escribe las expresiones algebraicas correspondientes. a) Tres números consecutivos. b) Tres números pares consecutivos. EJERCICIOS PROPUESTOS 4.1 Relaciona cada enunciado con su epresión algebraica. Múltiplo de 3. Número par. El cuadrado de un número más 3. Un número más 5. El triple de un número más 7. 5 3 3 3 7 4. Escribe

Más detalles

1º) Siempre que se pueda, hay que sacar factor común: :a b ± a c ± a d ± = a (b ± c ± d ± ):

1º) Siempre que se pueda, hay que sacar factor común: :a b ± a c ± a d ± = a (b ± c ± d ± ): Pág. 1 de 7 FAC T O R I Z AC I Ó N D E P O L I N O M I O S Factorizar (o descomponer en factores) un polinomio consiste en sustituirlo por un producto indicado de otros de menor grado tales que si se multiplicasen

Más detalles

Potencias, radicales y logaritmos

Potencias, radicales y logaritmos Potencias, radicales y logaritmos 1. Potencias de exponente natural y entero Calcula mentalmente las siguientes potencias: a) b) ( ) c) d) ( ) P I E N S A Y C A L C U L A a) 8 b) 8 c) 8 d) 8 1 Calcula

Más detalles

Ecuaciones de segundo grado

Ecuaciones de segundo grado 3 Ecuaciones de segundo grado Objetivos En esta quincena aprenderás a: Identificar las soluciones de una ecuación. Reconocer y obtener ecuaciones equivalentes. Resolver ecuaciones de primer grado Resolver

Más detalles

CURSO DE MATEMÁTICA BÁSICA: ÁLGEBRA

CURSO DE MATEMÁTICA BÁSICA: ÁLGEBRA http:/// CURSO DE MATEMÁTICA BÁSICA: ÁLGEBRA DESARROLLA EN FORMA RESUMIDA CADA UNIDAD CON: I. GUIONES DE CONFERENCIAS II. FICHAS DE ESTUDIO III. LABORATORIOS DE EJERCICIOS Trata las unidades siguientes:

Más detalles

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD Pág. Página 75 PRACTICA Operaciones con polinomios Efectúa las operaciones y simplifica las siguientes epresiones: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6( ) 4( 4) ( ) ( 5) ( ) ( ) ( ) 9 ( 4 ) 9 4 4 4 5 8 ( ) ( ) 6( ) 6

Más detalles

Polinomios: Definición: Se llama polinomio en "x" de grado "n" a una expresión del tipo

Polinomios: Definición: Se llama polinomio en x de grado n a una expresión del tipo Polinomios: Definición: Se llama polinomio en "x" de grado "n" a una expresión del tipo P (x) = a 0 x n + a 1 x n 1 +... + a n Donde n N (número natural) ; a 0, a 1, a 2,..., a n son coeficientes reales

Más detalles

+ 7 es una ecuación de segundo grado. es una ecuación de tercer grado.

+ 7 es una ecuación de segundo grado. es una ecuación de tercer grado. ECUACIONES Y DESIGUALDADES UNIDAD VII VII. CONCEPTO DE ECUACIÓN Una igualdad es una relación de equivalencia entre dos epresiones, numéricas o literales, que se cumple para algún, algunos o todos los valores

Más detalles

UNIDAD 2 Polinomios y fracciones algebraicas

UNIDAD 2 Polinomios y fracciones algebraicas UNIDAD Polinomios y fracciones algebraicas.. Operaciones básicas con polinomios. Realiza las siguientes sumas y restas: a) ( + + ) + ( 4 + + ) b) ( 4 + + ) + ( 4 + + ) c) ( 4 + + ) (5 + + ) d) ( + + 6)

Más detalles

Teoría Tema 1 Inecuaciones

Teoría Tema 1 Inecuaciones página 1/7 Teoría Tema 1 Inecuaciones Índice de contenido Qué es una inecuación?...2 Inecuaciones de primer grado...3 Sistemas de inecuaciones con una incógnita...4 Inecuaciones de segundo grado...5 Inecuaciones

Más detalles

BLOQUE III Funciones

BLOQUE III Funciones BLOQUE III Funciones 8. Funciones 9. Continuidad, límites y asíntotas 0. Cálculo de derivadas. Aplicaciones de las derivadas. Integrales 8 Funciones. Estudio gráfico de una función Piensa y calcula Indica

Más detalles

Las fracciones. 1. Concepto de fracción. Cuatro personas se van a comer a partes iguales una tarta. Qué parte le corresponde a cada una?

Las fracciones. 1. Concepto de fracción. Cuatro personas se van a comer a partes iguales una tarta. Qué parte le corresponde a cada una? Las fracciones. Concepto de fracción Cuatro personas se van a comer a partes iguales una tarta. Qué parte le corresponde a cada una? P I E N S A Y C A L C U L A / Carné calculista 0 : C = 8; R = A P L

Más detalles

Funciones racionales, irracionales, exponenciales y logarítmicas

Funciones racionales, irracionales, exponenciales y logarítmicas Funciones racionales, irracionales, eponenciales y logarítmicas. Funciones racionales Despeja y de la epresión y = 6. Qué tipo de función es? P I E N S A C A L C U L A 6 y = Es una función racional que

Más detalles

Matemática SECRETARÍA ACADÉMICA AREA INGRESO. - Septiembre de 2010 -

Matemática SECRETARÍA ACADÉMICA AREA INGRESO. - Septiembre de 2010 - SECRETARÍA ACADÉMICA AREA INGRESO - Septiembre de 00 - SECRETARÍA ACADÉMICA ÁREA INGRESO UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL Zeballos 000 Rosario - Argentina www.frro.utn.edu.ar e-mail: ingreso@frro.utn.edu.ar

Más detalles

Colegio Las Tablas Tarea de verano Matemáticas 3º ESO

Colegio Las Tablas Tarea de verano Matemáticas 3º ESO Colegio Las Tablas Tarea de verano Matemáticas º ESO Nombre: C o l e g i o L a s T a b l a s Tarea de verano Matemáticas º ESO Resolver la siguiente ecuación: 4 5 5 6 Resolver las siguientes ecuaciones

Más detalles

IES MARIA INMACULADA MATEMÁTICAS 2º E.S.O. Curso 2010-2011 TEMA : LENGUAJE ALGEBRÁICO

IES MARIA INMACULADA MATEMÁTICAS 2º E.S.O. Curso 2010-2011 TEMA : LENGUAJE ALGEBRÁICO IES MARIA INMACULADA MATEMÁTICAS º E.S.O. Curso 010-011 GUIÓN DEL TEMA 1. Lenguaje numérico y lenguaje algebraico.. Epresión algebraica.. Valor numérico de una epresión algebraica.. Monomios. 5. Grado

Más detalles

EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y POLINOMIOS

EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y POLINOMIOS EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y POLINOMIOS 1. Dado el polinomio A(x)=x +3. Halla: a) (B(x)) y b)(b(x)) 3. a) Define valor numérico de un polinomio P(x) en x=a. b) Halla el valor numérico del polinomio P(x) =

Más detalles

Ejercicios de Análisis propuestos en Selectividad

Ejercicios de Análisis propuestos en Selectividad Ejercicios de Análisis propuestos en Selectividad.- Dada la parábola y 4, se considera el triángulo rectángulo T( r ) formado por los ejes coordenados y la tangente a la parábola en el punto de abscisa

Más detalles

CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES

CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES INECUACIONES NOTA IMPORTANTE: El signo de desigualdad de una inecuación puede ser,, < o >. Para las cuestiones teóricas que se desarrollan en esta unidad únicamente se utilizará la desigualdad >, siendo

Más detalles

Examen de Matemáticas 2 o de Bachillerato Mayo 2003

Examen de Matemáticas 2 o de Bachillerato Mayo 2003 Examen de Matemáticas o de Bachillerato Mayo 00 1. Expresar el número 60 como suma de tres enteros positivos de forma que el segundo sea el doble del primero y su producto sea máximo. Determinar el valor

Más detalles

Conectados con el pasado, proyectados hacia el futuro Plan Anual de Matemática III Año PAI VIIIGrado

Conectados con el pasado, proyectados hacia el futuro Plan Anual de Matemática III Año PAI VIIIGrado Actualizado en febrero del 2013 Conectados con el pasado, proyectados hacia el futuro Plan Anual de Matemática III Año PAI VIIIGrado CONTENIDOS OBJETIVOS ESPECÍFICOS HABILIDADES CRITERIOS DE EVALUACIÓN

Más detalles

a) Un número par I) 2n 1 b) Un número impar II) x, x 1 c) Un número y el que le sigue III) 3a d) El triple de un número IV) 2z x 6 b) e)

a) Un número par I) 2n 1 b) Un número impar II) x, x 1 c) Un número y el que le sigue III) 3a d) El triple de un número IV) 2z x 6 b) e) Polinomios El 6 de septiembre del 00 se celebró el gran Premio de Singapur, la 5.ª prueba del mundial de Fórmula. La carrera constaba de 6 vueltas a un circuito de 5 067 m de longitud. Fernando Alonso,

Más detalles

Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos

Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 13 13 V a l o r n u m é r i c o Valor numérico de expresiones compuestas P r o c e d i m i e n t o 1. Se reemplaza cada letra por su valor numérico 2. Se efectúan las operaciones indicadas Hallar

Más detalles

Tema 6: Ecuaciones e inecuaciones.

Tema 6: Ecuaciones e inecuaciones. Tema 6: Ecuaciones e inecuaciones. Ejercicio 1. Encontrar, tanteando, alguna solución de cada una de las siguientes ecuaciones: 3 a) + 5 = 69 Probamos para =,3,4,... = = 3 3 = 4 4 3 3 3 + 5 = 13. + 5 =

Más detalles

EXPRESIONES ALGEBRAICAS. POLINOMIOS

EXPRESIONES ALGEBRAICAS. POLINOMIOS EXPRESIONES ALGEBRAICAS. POLINOMIOS 1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS. Estas expresiones del área son expresiones algebraicas, ya que además de números aparecen letras. Son también expresiones algebraicas: bac,

Más detalles

UNIDAD 2 Polinomios y fracciones algebraicas

UNIDAD 2 Polinomios y fracciones algebraicas Pág. 1 de 3 I. Sabes operar polinomios con agilidad y obtener el cociente y el resto de una división? 1 Multiplica y simplifica las siguientes epresiones: 4( 4) 2 + 3( 2 2 + 3) 2( 2 + 5) = b) (3y 1)(3y

Más detalles

Los polinomios. Un polinomio es una expresión algebraica con una única letra, llamada variable. Ejemplo: 9x 6 3x 4 + x 6 polinomio de variable x

Los polinomios. Un polinomio es una expresión algebraica con una única letra, llamada variable. Ejemplo: 9x 6 3x 4 + x 6 polinomio de variable x Los polinomios Los polinomios Un polinomio es una expresión algebraica con una única letra, llamada variable. Ejemplo: 9x 6 3x 4 + x 6 polinomio de variable x Elementos de un polinomio Los términos: cada

Más detalles

MATEMÁTICAS: 2º BACHILLERATO SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN: HOJA 6

MATEMÁTICAS: 2º BACHILLERATO SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN: HOJA 6 MATEMÁTICAS: º BACHILLERATO SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN: HOJA 6 1.- Determina dos números cuya suma sea y tales que el producto de uno de ellos por el cubo del otro sea máimo. = 1 er número;

Más detalles

Programa de Algebra Superior Caracterización de la asignatura: Esta materia se agregó al plan de estudios de las ingenierías como reforzamiento de

Programa de Algebra Superior Caracterización de la asignatura: Esta materia se agregó al plan de estudios de las ingenierías como reforzamiento de Programa de Algebra Superior Caracterización de la asignatura: Esta materia se agregó al plan de estudios de las ingenierías como reforzamiento de las bases matemáticas para mejorar el aprendizaje de los

Más detalles

2Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGINA 53

2Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGINA 53 Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGINA 5 Pág. P RACTICA Operaciones con polinomios Opera y simplifica las siguientes epresiones ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( 5) 4 ( ) ( )( ) (4 5) 6 9 4 4 6 7 4 4

Más detalles

Problemas Tema 1 Enunciados de problemas de Repaso 4ºESO

Problemas Tema 1 Enunciados de problemas de Repaso 4ºESO página / Problemas Tema Enunciados de problemas de Repaso 4ºESO Hoja. Calcula las medidas de un rectángulo cuya superficie es de 40 metros cuadrados, sabiendo que el largo es 6 metros mayor que el triple

Más detalles

P RACTICA. 1 Opera y simplifica las siguientes expresiones: 2 Efectúa las siguientes operaciones y simplifica el resultado:

P RACTICA. 1 Opera y simplifica las siguientes expresiones: 2 Efectúa las siguientes operaciones y simplifica el resultado: P RACTICA Operaciones con polinomios Opera y simplifica las siguientes epresiones ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( 5) 4 ( ) ( )( ) (4 5) 6 9 4 4 6 7 4 4 4 0 75 0 77 4 ( 6 9) (9 ) (4 5) 4 8 4 5 4 5 8 Efectúa

Más detalles

FRACCIONES. Una fracción tiene dos términos, numerador y denominador, separados por una raya horizontal.

FRACCIONES. Una fracción tiene dos términos, numerador y denominador, separados por una raya horizontal. FRACCIONES Las fracciones representan números (son números, mucho más exactos que los enteros o los decimales), Representa una o varias partes de la unidad. Una fracción tiene dos términos, numerador y

Más detalles

BOLETIN Nº 4 MATEMÁTICAS 3º ESO Operaciones con radicales

BOLETIN Nº 4 MATEMÁTICAS 3º ESO Operaciones con radicales Radicales " Raíz: se llama raíz de un número o de una expresión algebraica a todo número o expresión algebraica que elevada a una potencia "n"; reproduce la expresión dada. " Elementos de la raíz. - Radical:

Más detalles

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

EXPRESIONES ALGEBRAICAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS Trabajar en álgebra consiste en manejar relaciones numéricas en las que una o más cantidades son desconocidas. Estas cantidades se llaman V A R I A B L ES, I N C Ó G N I T A S o

Más detalles

2Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 42

2Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 42 Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 4 Pág. 0 cm r r l l 0 cm Amparo quiere fabricar las cuatro velas que ha diseñado sobre el lienzo, pero aún no se ha decidido sobre alguna de sus dimensiones.

Más detalles

MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas

MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Tema 3 Ecuaciones y sistemas. Inecuaciones Elaborado por la Profesora Doctora

Más detalles

BLOQUE II. Álgebra. 7. Polinomios 8. Ecuaciones de 1 er y 2º grado 9. Sistemas de ecuaciones lineales

BLOQUE II. Álgebra. 7. Polinomios 8. Ecuaciones de 1 er y 2º grado 9. Sistemas de ecuaciones lineales BLOQUE II Álgebra 7. Polinomios 8. Ecuaciones de er y º grado 9. Sistemas de ecuaciones lineales 7 Polinomios. Lenguaje algebraico Dado el cubo de la figura siguiente, halla su área y su volumen en función

Más detalles

P RACTICA. 1 Opera y simplifica las siguientes expresiones: a) 3x(2x 1) (x 3)(x + 3) + (x 2) 2 b)(2x 1) 2 +(x 1)(3 x) 3(x +5) 2

P RACTICA. 1 Opera y simplifica las siguientes expresiones: a) 3x(2x 1) (x 3)(x + 3) + (x 2) 2 b)(2x 1) 2 +(x 1)(3 x) 3(x +5) 2 Pág. P RACTICA Operaciones con polinomios Opera y simplifica las siguientes epresiones: 3( ) ( 3)( + 3) + ( ) ( ) +( )(3 ) 3( +5) 4 ( 3) (3 )(3 + ) (4 3 + 35) 3 3 3 Efectúa las siguientes operaciones y

Más detalles

ES OBLIGATORIA LA RESOLUCIÓN COMPLETA DE CADA EJERCICIO (PLANTEAMIENTO, DESARROLLO Y SOLUCIÓN) DE FORMA CLARA Y CONCISA.

ES OBLIGATORIA LA RESOLUCIÓN COMPLETA DE CADA EJERCICIO (PLANTEAMIENTO, DESARROLLO Y SOLUCIÓN) DE FORMA CLARA Y CONCISA. EJERCICIOS DE REPASO MATEMÁTICAS.- º ESO ES OBLIGATORIA LA RESOLUCIÓN COMPLETA DE CADA EJERCICIO (PLANTEAMIENTO DESARROLLO Y SOLUCIÓN) DE FORMA CLARA Y CONCISA.. Sergio trabaja horas todas las semanas

Más detalles

ASOCIATIVA: La suma no varia si se asocian en diferentes formas los sumandos. NEUTRO: El cero ( 0 ) es le elemento neutro aditivo.

ASOCIATIVA: La suma no varia si se asocian en diferentes formas los sumandos. NEUTRO: El cero ( 0 ) es le elemento neutro aditivo. ARITMETICA I. NÚMEROS NATURALES Ν Es el conjunto de los números positivos desde el cero hasta el infinito ( ). Ejemplo: Ν{0,1,,3,4,, } I.1 PROPIEDADES DEL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES. Dentro de las

Más detalles

INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL SECRETARIA ACADEMICA DIRECCION DE EDUCACION MEDIA SUPERIOR

INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL SECRETARIA ACADEMICA DIRECCION DE EDUCACION MEDIA SUPERIOR INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL SECRETARIA ACADEMICA DIRECCION DE EDUCACION MEDIA SUPERIOR CENTRO DE ESTUDIOS CIENTÍFICOS Y TECNOLÓGICOS NÚM. 13 RICARDO FLORES MAGÓN Guía para el ETS (ordinario o especial)

Más detalles

2. Calcula cociente y resto en la siguiente división de polinomios: (x 5 32) : (x 1)

2. Calcula cociente y resto en la siguiente división de polinomios: (x 5 32) : (x 1) . Un polinomio con raíces únicas, 0, 2, 2, 3 es: a) 4 +4 3 + 2 6 b) 4 +6 3 +9 2 42 c) 5 6 4 +9 3 +4 2 2 d) 5 +6 4 +9 3 4 2 2 e) 4 4 3 + 2 +6 2. Calcula cociente y resto en la siguiente división de polinomios:

Más detalles

PRUEBA DE CONOCIMIENTOS Y DESTREZAS INDISPENSABLES 3º ESO 2009. 1) Calcula el valor de A y B, dando el resultado de la forma más sencilla posible.

PRUEBA DE CONOCIMIENTOS Y DESTREZAS INDISPENSABLES 3º ESO 2009. 1) Calcula el valor de A y B, dando el resultado de la forma más sencilla posible. PRUEBA DE CONOCIMIENTOS Y DESTREZAS INDISPENSABLES º ESO 009 1) Calcula el valor de A y B, dando el resultado de la forma más sencilla posible. 1 A = 8 1 + 1 B = A = 8 1 = 8 = 8 = 6 4 B = = 4 4 = 4 16

Más detalles

6. Usa el teorema del resto para comprobar si los siguientes polinomios son divisibles por (x 2)

6. Usa el teorema del resto para comprobar si los siguientes polinomios son divisibles por (x 2) 1. Halla el cociente y el resto de la división: (3x 2 7x + 5) : (x 2 ) 2. Halla el cociente y el resto de la división: (x 3 3x 2 2) : (x 2 + 1) 3. Calcula y simplifica: a) 3x(x + 7) 2 + (2x 1)( 3x + 2)

Más detalles

Polinomios y Fracciones Algebraicas

Polinomios y Fracciones Algebraicas Tema 4 Polinomios y Fracciones Algebraicas En general, a lo largo de este tema trabajaremos con el conjunto de los números reales y, en casos concretos nos referiremos al conjunto de los números complejos.

Más detalles

Universidad de la Frontera Departamento de Matemática y Estadística. Problemas de Optimización. Cĺınica de Matemática. J. Labrin - G.

Universidad de la Frontera Departamento de Matemática y Estadística. Problemas de Optimización. Cĺınica de Matemática. J. Labrin - G. Universidad de la Frontera Departamento de Matemática y Estadística Cĺınica de Matemática 1 Problemas de Optimización J. Labrin - G.Riquelme 1. Una caja con base cuadrada y parte superior abierta debe

Más detalles

ACTIVIDADES PARA PREPARAR EL EXAMEN DE SEPTIEMBRE. ES OBLIGATORIO ENTREGARLAS EL DÍA DEL MISMO PARA PODER APROBAR

ACTIVIDADES PARA PREPARAR EL EXAMEN DE SEPTIEMBRE. ES OBLIGATORIO ENTREGARLAS EL DÍA DEL MISMO PARA PODER APROBAR ACTIVIDADES PARA PREPARAR EL EXAMEN DE SEPTIEMBRE. ES OBLIGATORIO ENTREGARLAS EL DÍA DEL MISMO PARA PODER APROBAR ª evaluación: N OS REALES. POTENCIAS Y RADICALES Escribe cuatro números racionales y cuatro

Más detalles

Ecuaciones segundo F H G I K J H G I K J. Cómo se llama al nº que está dentro de la raíz? Despeja x en las siguientes ecuaciones:

Ecuaciones segundo F H G I K J H G I K J. Cómo se llama al nº que está dentro de la raíz? Despeja x en las siguientes ecuaciones: Ecuaciones segundo 1 Cuadrado Raíz 1 Qué es el cuadrado de un número? Calcula: a)( ) b) 7 c) 16 d) 0 e) 4 f ) 0 g) 4 Cómo se llama al nº que está dentro de la raíz? Despeja en las siguientes ecuaciones:

Más detalles

Iniciación a las Matemáticas para la ingenieria

Iniciación a las Matemáticas para la ingenieria Iniciación a las Matemáticas para la ingenieria Los números naturales 8 Qué es un número natural? 11 Cuáles son las operaciones básicas entre números naturales? 11 Qué son y para qué sirven los paréntesis?

Más detalles

POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS EJERCICIOS

POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS EJERCICIOS ESO POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS EJERCICIOS EXPRESIONES ALGEBRAICAS - Traduce los siguientes enunciados a epresiones algebraicas El doble de un número menos su tercera parte. El doble del resultado

Más detalles

PENDIENTES DE MATEMÁTICAS DE 2º ESO (CURSO 2014-2015)

PENDIENTES DE MATEMÁTICAS DE 2º ESO (CURSO 2014-2015) PENDIENTES DE MATEMÁTICAS DE 2º ESO (CURSO 2014-2015) CRITERIOS E INDICADORES Se detallan a continuación los criterios de evaluación junto con sus indicadores de contenidos asociados. En negrita se indican

Más detalles

Monomios. Monomios 75. 9x 4. 5x 2. x 11. a) x 8 c)

Monomios. Monomios 75. 9x 4. 5x 2. x 11. a) x 8 c) Polinomios Qué tienes que saber? 58 QUÉ tienes que saber? Ten en cuenta Un monomio es una epresión algebraica formada por el producto de un número, llamado coeficiente, y una o más variables con eponente

Más detalles

4º ESO 1. ECUAC. 2º GRADO Y UNA INCÓGNITA

4º ESO 1. ECUAC. 2º GRADO Y UNA INCÓGNITA 4º ESO 1. ECUAC. 2º GRADO Y UNA INCÓGNITA Una ecuación con una incógnita es de segundo grado si el exponente de la incógnita es dos. Ecuaciones de segundo grado con una incógnita son: Esta última ecuación

Más detalles

Tema 2 Polinomios y fracciones algebraicas 1

Tema 2 Polinomios y fracciones algebraicas 1 Tema Polinomios y fracciones algebraicas 1 TEMA POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS EJERCICIO 1 : Desarrolla y simplifica: b) 4 1 a) 1 5 5 4 c) 1 4 1 d) 1 6 1 1 5 4 4 5 4 a) 1 5 1 5 5 6 5 4 4 5 4 4 b)

Más detalles

Potencias y Raíces. 100 Ejercicios para practicar con soluciones

Potencias y Raíces. 100 Ejercicios para practicar con soluciones Potencias y Raíces. 00 Ejercicios para practicar con soluciones Cuál es el área de un cuadrado cuyo lado mide cm? Expresa el resultado en forma de potencia. El área de un cuadrado es: A Por tanto, el área

Más detalles

9.Método de integración por partes.-

9.Método de integración por partes.- Matemáticas de º de bachillerato página 6 Integral indefinida P P P Se trata de otro método que permite resolver cierto tipo de integrales. Veamos: Sea u() una función. Para abreviar la epresaremos por

Más detalles

DERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN. APLICACIONES

DERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN. APLICACIONES UNIDAD 6 DERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN. APLICACIONES Página 5 Problema y f () 5 5 9 Halla, mirando la gráfica y las rectas trazadas, f'(), f'(9) y f'(). f'() 0; f'(9) ; f'() Di otros tres puntos en

Más detalles

1. Una función de X en Y es una regla de correspondencia que asocia a cada elemento de X con un único elemento de Y

1. Una función de X en Y es una regla de correspondencia que asocia a cada elemento de X con un único elemento de Y UNIDAD I. FUNCIONES POLINOMIALES Conceptos clave: Sean X y Y dos conjuntos no vacíos. 1. Una función de X en Y es una regla de correspondencia que asocia a cada elemento de X con un único elemento de Y

Más detalles

( ) 6. NÚMEROS NATURALES Y ENTEROS 1. Efectúa: = =

( ) 6. NÚMEROS NATURALES Y ENTEROS 1. Efectúa: = = NÚMEROS NATURALES Y ENTEROS. Efectúa a) ( ) ( ) 8 ( ) b) ( ) ( ) c) ( ) d) ( ) e) ( 8) ( ) f) ( ) ( ) g) [ ( ) ] h) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ). Al enchufar la corriente a un congelador, la temperatura desciende

Más detalles