Tema 6: Ecuaciones e inecuaciones.

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1 Tema 6: Ecuaciones e inecuaciones. Ejercicio 1. Encontrar, tanteando, alguna solución de cada una de las siguientes ecuaciones: 3 a) + 5 = 69 Probamos para =,3,4,... = = 3 3 = = = = 69. NO NO SÍ ES ES ES SOLUCIÓN SOLUCIÓN Hemos obtenido la solución = 4. SOLUCIÓN b) = 315 Probando con = 3,4, 5 se llega a que 5 es solución, pues 5 5 = 315. c) 4 = = 65 Por tanto, la solución está entre 5 y 6. Probamos con 5,3; 5,4; 5,5; 5,6; 5,7; = ,6 = 983,... La solución es 5,6... Si quisiéramos afinar más, probaríamos con 5,61; 5,6; 4 5,7 = 1055,... 5,63;... (Usa la calculadora)

2 4º ESO A [EDUCANDO CON WIRIS] 1. Las ecuaciones las resolveremos con la función Resolver ecuación dentro de la pestaña Operaciones. Pinchamos en ella y nos aparecerá el esquema de la ecuación. Después sólo tendremos que rellenarlo y pinchar en el para obtener nuestro resultado. Figura 1. Apartado a. Figura 3. Apartado b. Figura 3 4. Apartado c. Figura 4

3 [RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 6. Ecuaciones e inecuaciones. Ejercicio. La suma de un número más su tercera parte es 48. De qué número se trata? Elegimos la incógnita: es el número buscado. La tercera parte del número es. 3 Planteamos la ecuación y la resolvemos: + = = 3 48 = 36 3 Solución: El número buscado es Las ecuaciones las resolveremos con la función Resolver ecuación dentro de la pestaña Operaciones. Pinchamos en ella y nos aparecerá el esquema de la ecuación. Figura 5. Para conocer el resultado sólo tenemos que rellenar con nuestros datos y pinchar en el Figura 6 3

4 4º ESO A [EDUCANDO CON WIRIS] Ejercicio 3. Rodrigo tiene Invierte una parte en un negocio y el resto en un banco. En el negocio gana el 1%; y en el banco, el 3%. Al final ha ganado Cuánto invirtió en cada sitio? Invierte en el negocio ; invierte en el banco Gana en el negocio el 1% de 0, Gana en el banco el 3% de ( ) 0,03 (54000 ) 0,1 + 0,03(54000 ) = 430 0,1 0,03 + 0, = 430 0,09 = 700 = 700 : 0,09 = Solución: Invierte en el negocio y en el banco. 1. Para resolver nuestra ecuación pincharemos en la pestaña Operaciones y después en Resolver ecuación. Entonces ya tendremos el esquema de nuestra ecuación. Figura 7. Para conocer el resultado sólo tenemos que rellenar con nuestros datos y pinchar en el Figura 8 4

5 [RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 6. Ecuaciones e inecuaciones. Ejercicio 4. La suma de tres números consecutivos es 87. Cuáles son los números? El primer número es. Los siguientes, + 1 y +. Planteamos la ecuación: Solución: Los números son 8, 9 y ( + 1) + ( + ) = = 87 = 8 1. Las ecuaciones las resolveremos con la función Resolver ecuación dentro de la pestaña Operaciones. Pinchamos en ella y nos aparecerá el esquema de la ecuación. Figura 9. Para conocer el resultado sólo tenemos que rellenar con nuestros datos y pinchar en el Figura 10 5

6 4º ESO A [EDUCANDO CON WIRIS] Ejercicio 5. Resolver las siguientes ecuaciones: a) = 0 6 ± = = =. Solución única b) = 0 7 ± ± 11 = =. Sin solución c) = = 0 5 = 45 = 9 = ± 9. Sin solución. 1. Las ecuaciones las resolveremos con la función Resolver ecuación dentro de la pestaña Operaciones. Pinchamos en ella y nos aparecerá el esquema de la ecuación. Después sólo tendremos que rellenarlo y pinchar en el para obtener nuestro resultado Figura 11 6

7 [RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 6. Ecuaciones e inecuaciones.. Apartado a. Figura 1 3. Apartado b. Figura Apartado c. Figura 14 Ejercicio 6. Resolver: ( + 5) ( + 1)( 3) =

8 4º ESO A [EDUCANDO CON WIRIS] Desarrollamos el cuadrado y quitamos paréntesis: ( 3) = = = 0 11 ± 9 11± 3 = = 11± = 0 = 1 = 4 = 7 Hay dos soluciones: = 1 4 y = = Para resolver nuestra ecuación pincharemos en la pestaña Operaciones y después en Resolver ecuación. Entonces ya tendremos el esquema de nuestra ecuación. Figura 15. Para conocer el resultado sólo tenemos que rellenar con nuestros datos y pinchar en el Figura 16 8

9 [RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 6. Ecuaciones e inecuaciones. Ejercicio 7. Resolver: ( 1) ( + )( ) = Quitamos los denominadores multiplicando por 4: ( 1) ( + )( ) = 3 Efectuamos los productos indicados: ( + 1) ( Quitamos paréntesis: 4 + 4) = = 3 Simplificamos y resolvemos: 4 ± = 0 = Hay dos soluciones: 1 = 1 y 3. 4 = ± = = 1 1 = Para resolver nuestra ecuación pincharemos en la pestaña Operaciones y después en Resolver ecuación. Entonces ya tendremos el esquema de nuestra ecuación. Figura 17. Para conocer el resultado sólo tenemos que rellenar con nuestros datos y pinchar en el 9

10 4º ESO A [EDUCANDO CON WIRIS] Figura 18 Ejercicio 8. El producto de dos números naturales consecutivos es 10. Qué números son? Llamamos y + 1 a los dos números. Ecuación: ( + 1) = 10 1± + 10 = 0 = ± 841 = = 1± 9 = 1 = 15 = 14 Como los dos números son naturales, solo nos vale la solución positiva. Los números buscados son 14 y 15. (Efectivamente, = 10 ). 1. Las ecuaciones las resolveremos con la función Resolver ecuación dentro de la pestaña Operaciones. Pinchamos en ella y nos aparecerá el esquema de la ecuación. Figura 19 10

11 [RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 6. Ecuaciones e inecuaciones.. Para conocer el resultado sólo tenemos que rellenar con nuestros datos y pinchar en el Figura 0 Ejercicio 9. En un triángulo rectángulo, la hipotenusa mide 3 cm más que el cateto mayor, y este mide 3 cm más que el menor. Cuánto miden los tres lados? Figura 1 Llamamos al cateto menor. El otro cateto es + 3, y la hipotenusa, + 6. Por el teorema de Pitágoras: ( + 6) = + ( + 3) 6 ±1 = = = 3 Solo vale la solución positiva. = 9 6 ± 6 7 = 0 = = 11

12 4º ESO A [EDUCANDO CON WIRIS] Los tres lados miden 9 cm, 1 cm y 15 cm. Efectivamente, se cumple que = = 5 = Para resolver nuestra ecuación pincharemos en la pestaña Operaciones y después en Resolver ecuación. Entonces ya tendremos el esquema de nuestra ecuación. Figura. Para conocer el resultado sólo tenemos que rellenar con nuestros datos y pinchar en el Figura 3 Ejercicio 10. La superficie de un rectángulo es 8 sus lados? cm, y su perímetro, cm. Cuánto miden Si el perímetro mide cm, la suma de los dos lados desiguales es 11 cm. 1

13 [RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 6. Ecuaciones e inecuaciones. Figura 4 Llamamos a la longitud de un lado y 11 a la del otro. El área de un rectángulo es el producto de sus lados: (11 ) = ± 9 11± 3 = = = 8 1 = 7 = 4 11± = 0 = Si = 7, entonces 11 = 4. Los dos lados miden 7 cm y 4 cm. Si = 4, entonces 11 = 7. Se llega a la misma solución = 1. Las ecuaciones las resolveremos con la función Resolver ecuación dentro de la pestaña Operaciones. Pinchamos en ella y nos aparecerá el esquema de la ecuación. Figura 5. Para conocer el resultado sólo tenemos que rellenar con nuestros datos y pinchar en el 13

14 4º ESO A [EDUCANDO CON WIRIS] Figura 6 Ejercicio 11. El área total de un cilindro de 15 cm de altura es Figura π cm. Hallar el radio. Recordemos que A = A + A TOTAL BASE LATERAL A BASE = πr A LATERAL = πr h = πr 15 = 30πr El área total, según nos dicen, es ecuación πr + 30πr = 500π. Dividiendo todo por π : 500π cm. Con todos estos resultados, construimos la 15 ± ± 35 r + 15r 50 = 0 r = = r = 5 1 r = 10 La única solución válida es 10. Es decir, el radio es de 10 cm. 14

15 [RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 6. Ecuaciones e inecuaciones. 1. Para resolver nuestra ecuación pincharemos en la pestaña Operaciones y después en Resolver ecuación. Entonces ya tendremos el esquema de nuestra ecuación. Figura 8. Para conocer el resultado sólo tenemos que rellenar con nuestros datos y pinchar en el Figura 9 Ejercicio 1. El área total de un cilindro de 15 cm de altura es 1500 cm. Hallar su radio. Este problema es idéntico al anterior, pero el área no está dada para que se pueda simplificar. Para resolverlo, tendremos que manejar números aproimados. πr + πr 15 = 1500 πr + 30π 1500 = 0 30π ± (30π ) + 4 π 1500 r = = 9, 68 4π cm 15

16 4º ESO A [EDUCANDO CON WIRIS] 30 π + 4 π π = 4 π = 1. Las ecuaciones las resolveremos con la función Resolver ecuación dentro de la pestaña Operaciones. Pinchamos en ella y nos aparecerá el esquema de la ecuación. Figura 30. Para conocer el resultado sólo tenemos que rellenar con nuestros datos y pinchar en el Figura 31 Ejercicio 13. Un inversor deposita a un cierto porcentaje. Al cabo de un año añade y mantiene todo el capital al mismo porcentaje. Al finalizar el.º año le devuelven A qué porcentaje impuso su capital? Llamamos al índice de crecimiento anual. (Es decir, si el tanto por ciento es r, entonces es 1+ r / 100 ). 16

17 [RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 6. Ecuaciones e inecuaciones. COMIENZO 1. er AÑO º AÑO FINAL ( ) Por tanto: ( ) = = 0 Se resuelve la ecuación y se obtiene como única raíz positiva 1,05. Si el índice de crecimiento anual es 1,05, entonces el porcentaje de aumento anual s del 5%. 1. Para resolver nuestra ecuación pincharemos en la pestaña Operaciones y después en Resolver ecuación. Entonces ya tendremos el esquema de nuestra ecuación. Figura 3. Para conocer el resultado sólo tenemos que rellenar con nuestros datos y pinchar en el Figura 33 17

18 Ejercicio 14. 4º ESO A [EDUCANDO CON WIRIS] Un vendedor callejero lleva un cierto número de relojes, por los que piensa sacar 00. Pero comprueba que dos de ellos están deteriorados. Aumentando el precio de los restantes en 5, consigue recaudar la misma cantidad. Cuántos relojes llevaba? Llevaba relojes. El precio de cada uno iba a ser Le quedan relojes. Los vende a Este precio es 5 superior al anterior: = + 5 Esta ecuación es la misma que hemos resuelto arriba. La ecuación tiene dos soluciones: -8 y 10. Solo la positiva es válida, teniendo en cuenta el conteto del problema. Solución: Llevaba 10 relojes. 1. Las ecuaciones las resolveremos con la función Resolver ecuación dentro de la pestaña Operaciones. Pinchamos en ella y nos aparecerá el esquema de la ecuación. Figura 34. Para conocer el resultado sólo tenemos que rellenar con nuestros datos y pinchar en el Figura 35 18

19 [RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 6. Ecuaciones e inecuaciones. Ejercicio 15. El lado menor de un triángulo rectángulo mide 5 cm. Calcular el otro cateto sabiendo que la hipotenusa mide 1 cm más que él. Figura = ( + 1) + 5 = = 5 1 = 1 Solución: El otro cateto mide 1 cm. 1. Para resolver nuestra ecuación pincharemos en la pestaña Operaciones y después en Resolver ecuación. Entonces ya tendremos el esquema de nuestra ecuación. Figura 37. Para conocer el resultado sólo tenemos que rellenar con nuestros datos y pinchar en el 19

20 4º ESO A [EDUCANDO CON WIRIS] Figura 38 Ejercicio 16. Resolver estas inecuaciones: a) + 1 < < 7 < 6 < 6 : < 3 Solución: puede ser cualquier número menor que 3. Conjunto de soluciones: (,3) b) : (Al cambiar de signo, cambia el sentido de la desigualdad) Solución: puede ser -1 o cualquier número mayor que él. Conjunto de soluciones: [ 1,+ ) 1. Cuando queremos resolver una inecuación debemos escribir resolver_inecuación y después la inecuación entre paréntesis. Para insertar los símbolos necesarios pinchamos encima de ellos dentro de la pestaña Símbolos. Cuando esté rellena la inecuación pinchamos en el para obtener nuestro resultado. 0

21 [RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 6. Ecuaciones e inecuaciones. Figura 39. Apartado a. Figura Apartado b. Figura 41 Ejercicio 17. Resolver este sistema de inecuaciones: < 1.ª inecuación: ª inecuación: 5 < < 3 > 3 Sistema: Solución: 3 < 5 1

22 4º ESO A [EDUCANDO CON WIRIS] La solución del sistema es cualquier número mayor que 3, que no supere al Para resolver un sistema de inecuaciones escribimos, al igual que para una inecuación individual, Resolver_inecuación y después pinchamos en el icono de Lista vertical e indicamos cuántas inecuaciones queremos que tenga nuestro sistema y aceptamos. Figura 4. Cuando hemos aceptado, podemos ver que nos aparece el esquema de nuestro sistema de inecuaciones. Figura El último paso es rellenar los huecos con los datos de nuestro sistema y pinchar en el icono = para obtener nuestro resultado. Figura 44

23 [RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 6. Ecuaciones e inecuaciones. Ejercicio 18. Cuánto vale un chocolate con churros en el bar de la esquina? Ayer fuimos 6 personas y nos costó más de 0. Hoy hemos idos 8 personas y ha costado menos de 30. Llamamos al precio del chocolate con churros: Ayer: 6 > 0 > 3,3 3,34 Hoy: 8 < 30 < 3,75 3,74 Por tanto, su precio está comprendido entre 3,34 y 3,74. Probablemente, sea 3, Para resolver un sistema de inecuaciones escribimos, al igual que para una inecuación individual, Resolver_inecuación y después pinchamos en el icono de Lista vertical e indicamos cuántas inecuaciones queremos que tenga nuestro sistema y aceptamos. Figura 45. Cuando hemos aceptado, podemos ver que nos aparece el esquema de nuestro sistema de inecuaciones. 3

24 4º ESO A [EDUCANDO CON WIRIS] Figura El último paso es rellenar los huecos con los datos de nuestro sistema y pinchar en el icono = para obtener nuestro resultado. Figura 47 Ejercicio Resolver la inecuación < + 1. Suprimimos denominadores y agrupamos los términos como en las ecuaciones: * 7 3 < + 3 < 7 5 < 5 5 > 5 > 1 (*) Al multiplicar por -1 para cambiar de signo, cambia también el signo de la desigualdad. Soluciones: ( 1, + ) 1. Para resolver un sistema de inecuaciones escribimos, al igual que para una inecuación individual, Resolver_inecuación y después pinchamos en el icono de Lista vertical e indicamos cuántas inecuaciones queremos que tenga nuestro sistema y aceptamos. 4

25 [RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 6. Ecuaciones e inecuaciones. Figura 48. Cuando hemos aceptado, podemos ver que nos aparece el esquema de nuestro sistema de inecuaciones. Figura El último paso es rellenar los huecos con los datos de nuestro sistema y pinchar en el icono = para obtener nuestro resultado. Figura 50 5

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