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1 1. Dada la función f(x) = : a) Encontrar el dominio, las AH y las AV. b) Intervalos de crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos relativos. c) Primitiva que cumpla que F(0) = 0. a) Para encontrar el dominio, como nos encontramos ante un cociente de polinomios, lo único que hemos de mirar es qué puntos anulan el denominador, pero se trata de un polinomio que no tiene raíces reales, por lo tanto, el dominio son todos los reales. Como consecuencia de lo anterior, no tiene asíntotas verticales. Para calcular las asíntotas horizontales, hacemos los límites en más y menos infinito. x + x + 1 lim x = + 1 = 1 x + x + 1 lim x = + 1 = 1 Y estos dos límites se pueden resolver aplicando L Hôpital dos veces (que te queda / = 1) o por comparación de infinitos (los dos infinitos son iguales, es decir de grado ), y por lo tanto, dividiendo los coeficientes de los términos de mayor grado (1/1 = 1). Así que hay una asíntota horizontal en y=1. b) Para encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, hay que derivar la función. Como que se trata de un cociente, aplicamos la fórmula: f (x) = (x + 1) (x + 1) (x + x + 1) x (x + 1) Si la igualamos a cero, nos queda: = (x + x + x + 1) (x + x + x) (x + 1) = x + 1 (x + 1) x + 1 (x + 1) = 0 x + 1 = 0 x x = 1 = 1 x = 1 Por lo tanto, tendremos tres intervalos: (, 1) miramos f ( ) = ( ) + 1 (( ) + 1) = 3 5 < 0 decreciente ( 1, 1) miramos f (0) = (0 + 1) = 1 1 = 1 > 0 creciente (1, ) miramos f () = + 1 ( + 1) = 3 5 < 0 decreciente Por lo tanto, tenemos un mínimo en x=-1 y un máximo en x=1. Calculemos las imágenes de estos dos puntos:

2 Por lo tanto, los extremos son: f( 1) = ( 1) + ( 1) + 1 ( 1) = f(1) = = , 1 es un mínimo 1, 3 es un máximo Para dibujar la función, podemos calcular los puntos de corte con los ejes (es muy sencillo) y tenemos: f(0) = = 1 (0, 1) f(x) = 0 x + x + 1 x + 1 = 0 x + x + 1 = 0 No hay raíces Ahora ya podemos dibujar la función: c) Para calcular una primitiva hay que hacer la integral sin límites de integración, pero, al tratarse de una racional, primero hay que hacer la descomposición en fracciones simples. Para hacerla, lo primero es hacer la división, ya que ambos polinomios son de igual grado x x 1 x + 1 x 1 1 / x / Por lo tanto, tenemos que:

3 x + x + 1 = (x + 1) 1 + x x + x + 1 x + 1 = 1 + x x + 1 Y ahora, no hace falta hacer nada más, ya que en esta última fracción nos encontramos que lo de arriba es casi, casi, la derivada de lo de abajo, por lo tanto, directamente podemos poner que: x + x + 1 x x dx = x + 1 dx = dx + 1 x x + 1 dx = x + 1 ln x C Como que nos piden la primitiva que cumpla que F(0) = 0, hacemos: F(0) = ln C = ln 1 + C = C C = 0 Por lo tanto, la primitiva buscada es: F(x) = x + 1 ln x + 1. Dadas las funciones f(x) = x ax 4 y g(x) = + b: a) Hallar a y b para que la recta tangente de las dos funciones sea la misma en el punto x=3. b) Hallar la ecuación de esa recta tangente. c) Para los valores a=b=, calcular el área entre las funciones. a) Para encontrar a y b hemos de imponer dos condiciones: Que la función valga lo mismo en x = 3 f(3) = g(3) Que la derivada valga lo mismo en x = 3 f (3) = g (3) Al aplicar la primera condición tenemos que: Al aplicar la segunda tenemos que: Y al sustituir este último valor tenemos que: 3 a 3 4 = 3 + b 3 a + b = 1 3 a = 3 a = b = 1 b = 17 b) Para hallar la recta tangente, aplicamos la fórmula: Que para x 0 =3 tenemos que: y f(x ) = f (x ) (x x )

4 Y por lo tanto tenemos que la recta es: f(3) = = 4 f (3) = 3 3 = 3 y ( 4) = 3 (x 3) y + 4 = 3x 9 y = 3x 13 c) Para hallar el área entre ambas funciones hemos de encontrar los puntos de corte de ambas parábolas, que son: x x 4 = x + x x 6 = 0 x = ( ) ± ( ) 4 1 ( 6) 1 x = = ± = ± 4 = x = 6 Por lo tanto hemos de hacer la integral entre - y 6. Sólo nos queda saber qué función va por arriba y cuál va por abajo en ese intervalo, pero eso es muy fácil ya que calculamos f(0) y g(0) y f(0) = = 4 g(0) = 0 + = Por lo tanto, hemos de calcular la integral de g(x) f(x). Por lo tanto: A = [g(x) f(x)] dx = x + x x 4 dx = x + x + 6 = x 6 + x + 6x = ( ) + ( ) + 6 ( ) 6 = ( ) = 6 6 = 18 4,67 u 3 dx 3. Dada la función f(x) = dt, calcular: a) El polinomio de Taylor de orden dos en el punto a = 1 (sin hacer la integral). b) Aproximar con el polinomio hallado f(1.1) y calcular una cota del error cometido. a) Lo primero que necesitamos es encontrar f(1) y f (1). Para encontrar el primer valor (sin tener que calcular la integral) es muy sencillo, ya que tenemos una integral de 1 a 1 y eso, por definición es cero. Por lo tanto, tenemos que: f(1) = 0

5 Para encontrar el valor de f (1) sin hacer la integral, aplicamos el teorema fundamental del cálculo en su versión con la regla de la cadena y tenemos que: f (x) = e x (x) = e x f (1) = e 1 = e,7188 Ahora sólo nos falta calcular f (x), pero eso es sencillo (con la fórmula de la derivada del cociente): f (x) = e x e 1 x = e (x 1) x f (1) = e (1 1) 1 = 0 Por lo tanto, el polinomio de Taylor de grado en x=1 es: P, (x) = 0 + e 1! (x 1) + 0! (x 1) = e (x 1) b) Para calcular de forma aproximada f(1,1) usamos nuestro polinomio: f(1,1) P, (1,1) = e (1,1 1) = 0,1 e 0,7188 Como piden la cota del error, necesitamos la tercera derivada de f(x), es decir: f (x) = [e (x 1) + e 1] x e (x 1) x (x ) La fórmula del resto es: = e (x x + ) x R, (x) = f (c) (x 1) con c (1, x) 3! = e (x x + x) x Como que nos piden el error cometido al aproximar f(1,1) el error será: R, (x) = f (c) (1,1 1) = f (c) (0,1) = f (c) 3! con c (1, x) Y como que nos piden una cota superior, hay que acotar el valor de la derivada tercera de f entre 1 y 1,1, por lo tanto tendremos que: R, (x) = f (c) 6000 = e (c c + ) c 6000 e, (1,1 1,1 + ) = 3, = 0, La hipotenusa de un triángulo rectángulo va desde el origen de coordenadas a un punto (x,y) de la gráfica de la función f(x) = e con x>0 y uno de los catetos está sobre el eje de las x (ver figura). Se pide: a) Hallar la fórmula del área del triángulo en función de x.

6 b) Hallar el triángulo de área máxima (si no has resuelto el apartado a utiliza A(x) = x e ).Calcular también la longitud de la hipotenusa de ese triángulo de área máxima. (x, y) y=e -x/4 a) Para calcular el área del triángulo, basta con recordar aquello de base por altura partido por dos, es decir: A(x) = Base Altura = x y x e = b) Para maximizar el área, hay que derivar e igualar a cero, así que: A (x) = 1 1 e + x e 1 4 = 1 1 x 4 e = 0 1 x 4 = 0 e = 0 Como que lo segundo no pasa nunca, la solución será la que resuelve: 1 x 4 = 0 1 = x 4 x = 4 Nos queda calcular la hipotenusa de ese triángulo, pero es muy fácil ya que tenemos x (y por lo tanto y) y entonces, aplicando Pitágoras h = x + y = (4) + e = 16 + (e ) = 16 + e = 4,017 Por último, nos falta saber cuál es el área máxima, pero, como tenemos la fórmula del área en función de x A(4) = 4 e = e = e = 0,736

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