, determinar: dominio y raíces; intervalos de continuidad y tipo de x 2 4 discontinuidades; asíntotas verticales y horizontales; su gráfica.

Transcripción

1 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I EVALUACIÓN GLOBAL E00 ) Dadas las funciones f) +4, g) 3 & h), obtener: g/h)), h f)) &g h)), así como sus respectivos dominios. ) Dada la función definida por f) , obtener: raíces, intervalos de crecimiento y de decrecimiento; puntos críticos y su clasificación; intervalos de concavidad hacia arriba y de concavidad hacia abajo; puntos de infleión y un bosquejo de la gráfica. 3) A un depósito cilíndrico de 5 m de radio le está entrando agua a razón de 5 l por segundo. Calcular la rapidez a la que sube el nivel del agua. [Recordar que l es igual a dm 3.] 4) Una página ha de contener 30 cm de teto. Los márgenes superior e inferior deben ser de cm y los laterales de cm. Hallar las dimensiones de la página que permiten ahorrar más papel. 5) Si se lanza una pelota hacia arriba desde la azotea de un edificio que tiene 5 m de altura con una velocidad inicial de 0 m/s, entonces la altura sobre el suelo t segundos después será ht) 5 + 0t 5t. Durante qué intervalo de tiempo estará la pelota por lo menos 40 m arriba del suelo? 6) La posición instantánea en metros) de una partícula que se mueve en línea recta, está dada por st) t 8t + 8, donde t se mide en segundos. a) Calcular las velocidades promedio en cada uno de los siguientes intervalos: [3,4], [3.5,4], [4,4.5] y [4,5] b) Utilizando la definición de derivada, calcular la velocidad instantánea de la partícula en t 4 seg. 7) Para la función f) + 8, determinar: dominio y raíces; intervalos de continuidad y tipo de 4 discontinuidades; asíntotas verticales y horizontales; su gráfica. canek.azc.uam.m: / 3/ 006.

2 EVALUACIÓN GLOBAL E00 Respuestas ) Dadas las funciones f) +4, g) 3 & h), obtener: g/h)), h f)) &g h)), así como sus respectivos dominios. Tenemos: g/h)) g) h) 3 ; h f)) h[f)] h +4) +4 +3; g h)) g[h)] g ) 3 ) 4. Como D f [ 4, + ), D g, 3] & D h R, tenemos: { D g } D h g Dh { D h h) 0 }. Como D g Dh, 3] R, 3] & h) 0 ±, entonces D g, 3] {± }, ), ), 3] ; h D h f { } { D f f) Dh [ 4, + ) } +4 R [ 4, + ); D g h { D h h) D g } { R, 3] }. Como 3 4 [, ], resulta que D g h [, ]. ) Dada la función definida por f) , obtener: raíces, intervalos de crecimiento y de decrecimiento; puntos críticos y su clasificación; intervalos de concavidad hacia arriba y de concavidad hacia abajo; puntos de infleión y un bosquejo de la gráfica. Calculemos las raíces: )0 3 0, & ; 0& ± Que son las raíces de f, y que concuerdan con el hecho de que f) es impar. Para determinar los intervalos de crecimiento se deriva f f ) )0 0; 0 0; + ) )0 0& ±. Estos tres puntos críticos, 0 & dividen a la recta en cuatro intervalos donde la derivada tiene los siguientes valores: Eligiendo arbitrariamente ±, ), + ) se tiene que f ±) > 0 f) es creciente en, ) y en, + ). Análogamente, eligiendo ±, 0) 0, ) se ve que f ± ) < 0 f) es decreciente en, 0) y en 0, ). Como en, la función pasa de ser creciente a ser decreciente. Luego entonces, [,f )] [, 3 ) 5 5 ) 3 ], 3+5), )

3 EVALUACIÓN GLOBAL E00 3 es un máimo relativo. Además, por ser f) impar, el punto, ) es un mínimo relativo. Siendo f) decreciente en, 0) y en 0, ), en 0, 0) la función no tiene valor etremo. Concavidad: Para la concavidad se deriva nuevamente f ) ) 0 0& ± ± Se determina el signo de la segunda derivada en los cuatro intervalos donde la segunda derivada no es cero. En, ), eligiendo, ) se tiene que f ) < 0, luego f) dirige su concavidad hacia abajo en, ). ) Yen, + la dirige hacia arriba, pues f) es impar. En, 0 ),, 0 ), f ) > 0, luego f) dirige su concavidad hacia arriba en ), 0. Y en cambio la dirige hacia abajo en 0, ), pues f) es impar. Puntos de infleión: Los tres puntos [,f )] [, 3 ) 5 5 ) ] 3 [,f ), , ); [0,f0)] 0, 0) y también )] , ) son de infleión. Con toda la información obtenida, conociendo que f) yf ) son impares y que f ) es par, así como que las tres son continuas en todo R, la gráfica de la función f) queda de la siguiente manera

4 4 EVALUACIÓN GLOBAL E00 f) ) A un depósito cilíndrico de 5 m de radio le está entrando agua a razón de 5 l por segundo. Calcular la rapidez a la que sube el nivel del agua. [Recordar que l es igual a dm 3.] Recordar también que 5 m 50 dm, luego el volumen del agua es V πr h 50 πh h 50 π V. Derivando con respecto al tiempo: dht) dv dv, pero, como dt 50 π dt dt 5 dm3 /s, entonces: dht) dt 50 π 5 dm/s 50 5 π dm/s 50π dm/s, que es la rapidez a la que sube el agua. 4) Una página ha de contener 30 cm de teto. Los márgenes superior e inferior deben ser de cm y los laterales de cm. Hallar las dimensiones de la página que permiten ahorrar más papel. Hagamos un croquis con el tamaño de la página y los datos cm cm cm cm ycm cm Se sabe que y 30 cm. Se quiere minimizar el área de la página de papel, esto es: A + )y + 4). Entonces, el área es una función de dos variables,, y.

5 EVALUACIÓN GLOBAL E00 5 Pero como y 30 y 30, sustituyendo este valor en la epresión para el área de la página, queda como función de la única variable, a saber: ) 30 A) +) Para hallar los puntos críticos se deriva A ) Por lo que 5; y Como A ) 4 60 ) 0 3 > 0, se trata, en efecto, de un mínimo. 5) Si se lanza una pelota hacia arriba desde la azotea de un edificio que tiene 5 m de altura con una velocidad inicial de 0 m/s, entonces la altura sobre el suelo t segundos después será ht) 5 + 0t 5t. Durante qué intervalo de tiempo estará la pelota por lo menos 40 m arriba del suelo? Hacemos 5 + 0t 5t 40 5t 0t Como 5t 0t + 5 5t 4t + 3) 5t )t 3), entonces 5t 0t para t y también para t 3. Estos dos puntos dividen a la recta real en tres intervalos:, ),, 3) y 3, + ). Se quiere saber cuándo 5t 0t + 5 5t )t 3) 0. Es decir, cuando t )t 3) 0. Esto se puede saber considerando la tabla siguiente: Signo de Intervalos t t 3 5t 0t +5 t<< 3) + <t<3 + <)3 <t Luego entonces, 5t 0t +5 0 t [, 3]. 3 6) La posición instantánea en metros) de una partícula que se mueve en línea recta, está dada por st) t 8t + 8, donde t se mide en segundos.

6 6 EVALUACIÓN GLOBAL E00 a) Calcular las velocidades promedio en cada uno de los siguientes intervalos: [3,4], [3.5,4], [4,4.5] & [4,5] Calculamos: s4) s3) ) [3, 4] : v ; 4 3 s4) s3.5) [3.5, 4] : v ) ; s4.5) s4) [4, 4.5] : v s5) s4) [4, 5] : v ) ; b) Utilizando la definición de derivada, calcular la velocidad instantánea de la partícula en t 4 segundos. Por definición: st) s4) v4) lím t 4 t 8t +6 lím t 4 límt 4)0. lím t 8t +8 t 4 lím t 4) t 4 7) Para la función f) + 8, determinar: dominio y raíces; intervalos de continuidad y tipo de 4 discontinuidades; asíntotas verticales y horizontales; su gráfica. Dominio: D f { R 4 0 } { R + ) ) 0 } R {± }. Raíces: Para hallar las raíces se resuelve + 8 0; como ) ), se ve que + 80 & 4, pero como / D f, la única raíz de f es 4. Continuidades: La función por ser racional es continua en su dominio, es decir,, ), ), + ). Calculamos lím f) Pues lím +4)> 0& lím + 4) ) lím + ) ) lím )0. Asíntotas: La discontinuidad en es esencial, de hecho es infinita, y entonces la recta es una asíntota vertical. Análogamente +4 lím f) lím ,

7 EVALUACIÓN GLOBAL E00 7 por lo que la discontinuidad en es removible, pues si se define f) 3, f) resultaría continua en. Y ahora: + 8 lím ± ) lím + ± 4 ) lím 8 ± 4. Entonces, la recta y es asíntota horizontal La gráfica de la función f) es: f) 3 4