Unidad IV. Volumen. Le servirá para: Calcular el volumen o capacidad de diferentes recipientes o artefactos.

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1 Volumen Unidad IV En esta unidad usted aprenderá a: Calcular el volumen o capacidad de recipientes. Convertir unidades de volumen. Usar la medida del volumen o capacidad, para describir un objeto. Le servirá para: Calcular el volumen o capacidad de diferentes recipientes o artefactos. Para estudiar esta unidad, usted necesita: Conocer las líneas, figuras y áreas. Saber sumar, restar, multiplicar y dividir. Conocer las unidades de longitud y las de superficie. Tema Volumen o capacidad de diferentes recipientes Tema 2 Diferentes unidades de volumen

2 Geometría y medición Tema I Volumen o capacidad de diferentes recipientes Unidad IV Pedro tiene una cremería. Para preparar la crema, llena con leche un tambor de acero inoxidable de 0.88 m de altura y 0.7 m de diámetro. Esto lo hace con una cubeta que mide 0. m de diámetro y 0.4 m de altura. ) Qué cantidad de crema podrá fabricar en su tambor? 2) Con cuántas cubetas de leche se llena el tambor? 02

3 Unidad IV: Volumen Para calcular la cantidad de crema es necesario obtener el volumen del tambor. El volumen es el espacio que se encuentra dentro del tambor. Las unidades de volumen se representan con el índice ( ); por ejemplo, m x m x m = m, que se lee un metro cúbico. El volumen se calcula al multiplicar el área de la base del tambor por su altura: V = área de la base x altura La base es un círculo, por lo que su área es: A = p x r 2 = p x r x r Recuerde que p =.4, y que r es la mitad del diámetro. En este caso, r es igual a 0.7 m; por lo que el área de la base es: A =.4 x 0.5 m x 0.5 m = 0.84,65 m 2 Una vez calculada el área de la base, se puede calcular el volumen multiplicando por la altura del tambor, la que es 0.88 m: V = 0.84,65 m 2 x 0.88 m = 0.8 m Volumen del tambor de Pedro, 0.8 m. Como el área de la base está en m 2 y la altura en m, el volumen se obtuvo en m. Imagine un cubo con una base de m 2 y altura de m. Los volúmenes de líquidos (como la leche) se dan en litros. m m Un litro (l) es lo mismo que un decímetro cúbico (dm ); y un metro cúbico (m ) tiene mil litros, como se ve a continuación. m 0

4 Geometría y medición A qué cantidad de litros equivale m? Un metro cúbico puede ser representado por un cubo con lados de m c/u; como m = 0 dm, cada lado medirá 0 dm; el volumen de un cubo se obtiene al multiplicar su largo por su ancho por su altura. V = largo x ancho x altura = 0 dm x 0 dm x 0 dm =,000 dm Entonces, el volumen de m =,000 dm, y como cada dm = l, tenemos que: m =,000 l litro de leche = cubo de 0 cm x 0 cm x 0 cm Recuerde que, m = 0 dm dm = 0 cm = 04

5 Unidad IV: Volumen Si el volumen del tambor de Pedro es de 0.8 m, y se sabe que a m le caben,000 litros (l), entonces se debe multiplicar a los 0.8 m por,000 l para conocer cuántos litros le caben al tambor de Pedro. 0.8 m = 0.88 x,000 l = 8 l Por lo anterior, cada vez que quiera convertir m a litros sólo tiene que multiplicar a los m por,000. Esto quiere decir, recorrer el punto lugares a la derecha. Si tiene litros y necesita convertirlos a m, deberá dividir a los litros entre,000. Esto quiere decir, recorrer el punto lugares a la izquierda. El número de cubetas necesarias para llenar el tambor se calcula de la siguiente manera. La cubeta con la que se va a llenar tiene las siguientes dimensiones: Aplicando la fórmula para el volumen de un cilindro, tendremos el volumen de la cubeta: V = área de base x altura V = p x r 2 x h V =.4 x 0.5 m x 0.5 m x 0.4 m V = m Como el tambor tiene un volumen de 0.8 m, y ahora sabemos que la cubeta tiene un volumen de m, con ello se puede calcular con cuántas cubetas se llenará el tambor. Sólo se debe dividir el volumen, en m, del tambor entre el volumen, en m, de la cubeta. Así tenemos, 0.8 =.98 cubetas (Use su calculadora) Casi doce cubetas. Como se pudo observar, con el tambor y la cubeta de Pedro, el volumen de algunos recipientes se puede obtener al multiplicar el área de su base por la altura. Lo anterior siempre será posible cuando la base tenga la misma forma que su parte superior. 05

6 Geometría y medición Para facilitar el cálculo del volumen de recipientes, existen tablas de fórmulas, como la que se muestra a continuación. Cubo La base es cuadrada. Volumen = área de la base x la altura Área de la base: A = L x L Volumen = L x L x L V = L Fórmula: V = L Paralelogramo La base es rectangular. Volumen = área de la base x la altura Área de la base: A = L x L 2 Volumen = L x L 2 x h V = L x L 2 x h Fórmula: V = L x L 2 x h Prisma triangular Es un prisma con la base en forma de triángulo. 06 Volumen = área de la base x la altura Área de la base: A = Volumen = V = b x a 2 b x a 2 x h x h b x a 2 b x a Fórmula: V = x h 2

7 Unidad IV: Volumen Cilindro Tiene base circular. Volumen = área de la base x la altura Área de la base: A = p x r 2 Volumen = p x r 2 x h V = p x r x r x h Recuerde que: p =.4 y r x r = r 2 Fórmula: V = p x r x r x h V = p x r 2 x h También existen figuras cuya parte superior no es igual a su base. En estas figuras todas las esquinas de su base se unen en un punto llamado vértice, a una altura determinada. Estas figuras se llaman pirámides; pero cuando su base es un círculo y todas sus partes se unen en el vértice se llama cono. El volumen de estos cuerpos se obtiene multiplicando el área de su base por la tercera parte de su altura ( h ó 0. h). Pirámide triangular Su base es un triángulo. Volumen = área de la base x de la altura b x a Área de la base: A = 2 b x a Volumen = x h 2 b x a V = x h 2 b x a Fórmula: V = x h 2 b x a V = x 0. h 2 07

8 Geometría y medición Pirámide cuadrangular Su base es un cuadrado. Volumen = área de la base x Área de la base: A = a x b Volumen = a x b x V = a x b x h h de la altura Fórmula: V = a x b x h V = a x b x 0. h Cono Su base es un círculo. Volumen = área de la base x Área de la base: A = p x r 2 Volumen = p x r 2 x V = p x r 2 x h Fórmula: V = p x r x r x h V = p x r x r x 0. h h de la altura Recuerde que en todas las pirámides y el cono, el volumen se obtiene multiplicando el área de su base x de su altura. Una de las figuras especiales de las que se puede obtener su volumen es la esfera. 08

9 Unidad IV: Volumen La esfera La esfera es un cuerpo que no tiene base, como los otros que se han analizado; por lo que su fórmula se puede obtener de una manera práctica, como se muestra a continuación.. Busque una naranja grande, pártala a la mitad y quítele los gajos, como se muestra en el dibujo. La mitad de esta naranja representa la mitad de una esfera. 2. Con su cinta métrica o con una regla obtenga su diámetro. Suponga que mide 7. cm, D = 7. cm. Con cartón o papel periódico construya un cilindro con diámetro y altura iguales a las del diámetro de la media naranja. Recuerde que, D = 2 r 09

10 Geometría y medición 4. Con la media naranja llene, con azúcar o arroz, el cilindro que construyó; observe que con tres medias naranjas se llena el cilindro. 0 Esto quiere decir que, medias naranjas = al volumen del cilindro. Recordando que el volumen del cilindro es: V C = p x r 2 x h En este caso, h = 2 r; por lo que la fórmula del volumen del cilindro queda de la siguiente forma: V C = p x r 2 x 2 r V C = 2p x r Esto quiere decir que, Volumen de medias naranjas = 2p x r Para conocer el volumen de una media naranja, se pasa al que está multiplicando en el lado derecho dividiendo al lado izquierdo: Volumen de media naranja = 2p x r Como esta fórmula sólo representa al volumen de media naranja, o sea, media esfera, y nosotros requerimos el de una esfera completa, se multiplica a esta fórmula por 2. Volumen de una esfera = 2 (2p x r ) Realizando las operaciones, la fórmula para la obtención del volumen de una esfera queda, V = 4p x r

11 Unidad IV: Volumen Ejemplos para el cálculo de volumen de varios recipientes. Cuál es el volumen, en m, de un recipiente para arena con tolva, que tiene las medidas que se indican en el dibujo? Volumen de la caja: V = L x L 2 x L V = 2.5 m x 2 m x 2 m 2 V = 0 m Volumen de la tolva: 2.6 V 2 = área de la base x h V 2 = 2.5 m x 2 m x (2.6 m) V 2 =.6 m Acotaciones en metros Volumen total: V + V 2 = 0 m +.6 m V =.6 m

12 Geometría y medición Recuerde que todos los volúmenes se expresan en unidades cúbicas. O sea, tienen unidades de longitud (m, dm, cm, mm) con un tres pequeño arriba de la unidad: m, dm, cm, mm, ft, in Otra unidad de volumen muy utilizada es el litro, ésta no es cúbica, sin embargo, equivale a dm, litro = dm = = litro litro Cuando se necesita medir una cantidad muy pequeña de líquido se utiliza el mililitro como medida de volumen. Éste es la milésima parte de un litro, l =,000 ml. Ejercicios Calcule el volumen de las siguientes figuras.. Cubo Podría ser un tinaco para agua. V = L 2

13 Unidad IV: Volumen 2. Prisma rectangular Podría ser una pileta. V = L x L 2 x h. Cilindro Podría ser un recipiente como el tambor de la crema de Pedro. V = p x r 2 x h 4. Pirámide triangular Podría ser la terminación de la torre de una iglesia. V = área de la base x h Base Como la base es un tríangulo, su fórmula será: Área de la base: A = b x a 2 b x a V = x 2 h

14 Geometría y medición 5. Cono 6. Esfera Puede ser un cucurucho o un barquillo. Puede ser una pelota. r = 0.25 m Área del círculo = p x r 2 V = área de la base X h V = p x r x r x h V = 4 p x r V = 4p x r x r x r Problemas. Cuántos litros de agua le caben a una cisterna que tiene las siguientes medidas? Recuerde que, m =,000 l 4

15 Unidad IV: Volumen 2. Cuántos litros de agua le caben a un tinaco cilíndrico de plástico que se llena hasta el borde indicado?. Cuántos litros de pintura caben en un bote como el que se muestra en el dibujo? r = 0.4 m h = 0. m 4. Cuál es el volumen de un silo de arena que tiene las siguientes dimensiones? cilindro cono El silo es cilíndrico 5

16 Geometría y medición Tema 2 Diferentes unidades de volumen Unidad IV Rogelio tiene una tlapalería. Uno de sus clientes le pide 4 litros de barniz para madera. Rogelio al buscar el barniz se da cuenta que solamente tiene botes de de litro o de galón. 4 Qué puede proponer Rogelio a su cliente para surtirle el barniz? Este problema tiene dos soluciones:. Como 4 botes de de litro me dan litro, y como el cliente pide 4 litros, Rogelio 4 puede darle a su cliente 6 botes de de litro, porque 4 4 botes de de litro = litro 4 4 botes de de litro x 4 = 6 botes de de litro Esta solución no es práctica porque son muchos botes

17 Unidad IV: Volumen 2. Rogelio puede convertir galón a litros y ver cuánto le falta para los 4 litros que necesita su cliente. Rogelio sabe que galón es igual a.785 l, gal =.785 l Como el cliente requiere 4 litros, y con galón sólo se tienen.785 l, le faltarán: 4.0 l.785 l = 0.25 l Recuerde que Así que le puede ofrecer un bote de galón y un bote de al cliente: bote de galón + bote de l.785 l l = 4.05 l l = l El cliente está de acuerdo y le agradece a Rogelio la solución. l. Con lo que le entregará En la práctica, es necesario convertir las unidades de volumen en función de nuestras necesidades. Estas son algunas de las unidades de volumen más utilizadas y sus equivalencias. Sistema métrico decimal TABLA DE EQUIVALENCIAS DE UNIDADES DE VOLUMEN Sistema Símbolo Nombre Equivalencia Sistema inglés l ml mm cm dm m in ft gal litro Con esta tabla, usando la regla de tres, podemos hacer las conversiones necesarias. 4 mililitro milímetro cúbico centímetro cúbico decímetro cúbico metro cúbico pulgada cúbica pie cúbico Galón 4 4 = dm = 0.00 m =,000 cm = 0.00 l = 0.00 cm =,000 mm =,000 cm =,000,000 mm =,000 l = 6.87 cm = m =.785 l 7

18 Geometría y medición Ejemplos del uso de la tabla.. Si Ramiro tiene en su tienda 200 l de pintura y los va a envasar en botes de galón, cuántos botes necesitará? Para conocer el número de botes, Ramiro necesita saber a cuántos galones equivalen los 200 l de pintura. I. En la tabla se obtiene la equivalencia de galones a litros. gal =.785 l II. Se plantea la regla de tres, diciendo que si galón equivale a.785 l, a cuántos galones equivaldrán 200 l. gal =.785 l? gal = 200 l III. Se resuelve la regla de tres, multiplicando en cruz y dejando sola a la interrogación. 200 l x gal =? gal x.785 l Los.785 l que están en la derecha multiplicando, pasan a la izquierda dividiendo. 200 l x gal =? gal.785 l Al resolver la operación, se tiene que 200 l equivalen a galones, por lo que Ramiro necesitará 52 botes de galón y le sobrará un poquito, menos de litro. 2. A Agustín Álvarez lo contratan para construir un tinaco para cuando haga falta el agua. Agustín le dice al cliente que el tamaño del tinaco será de.2 m x.2 m x m; el cliente está de acuerdo y pregunta, cuántos litros le van a caber? Qué debe contestar Agustín? Para contestar, primero se debe obtener el volumen en m del tinaco, y luego convertirlo a litros. Cálculo del volumen. Como el tinaco es un prisma rectangular su volumen se obtiene multiplicando el área de la base por la altura. V = L x L 2 x h =.2 m x.2 m x m =.44 m 8

19 Unidad IV: Volumen Con lo anterior, Agustín ya sabe que el tinaco tendrá.44 m. Ahora, convierte el volumen a litros (l). I. Localiza en la tabla la equivalencia de m en litros. m =,000 l II. Se plantea la regla de tres. m =,000 l.2 m =? l II. Se resuelve la regla de tres, multiplicando en cruz y dejando sola a la? l.? l x m =.2 m x,000 l Como m está multiplicando del lado izquierdo, pasa al lado derecho dividiendo.? l =.2 m x,000 l m Al resolver la operación, se tiene que.2 m equivalen a,200 l. Con esto, Agustín le puede decir a su cliente que su tinaco tendrá capacidad para,200 litros. Así como sabemos que para convertir m a litros hay que multiplicar por,000, porque l = dm y,000 dm = m, podemos establecer factores por los cuales multiplicar las unidades de volumen para convertirlas en otras unidades. A continuación se presenta una tabla para conversión de algunas unidades de volumen. TABLA DE CONVERSIÓN DE UNIDADES DE VOLUMEN Si tiene multiplique por para obtener Si tiene multiplique por para obtener m,000 l (litros) ml 0.00 l m,000 dm mm 0.00 cm m,000,000 cm ft (pie ) m m 5. ft gal (galón).785 l l 0.00 m l gal l,000 ml cm 0.06 in dm 0.00 m in (pulg ) 6.87 cm cm,000 mm l in dm,000,000 mm l 0.05 ft ml cm ft (pie ) 28.2 l 9

20 Geometría y medición Algunos ejemplos de conversión usando la tabla.. Tengo una cisterna para agua con m. Cuántos litros se almacenan? Busco en la tabla las unidades que tengo (m ) y las que quiero obtener (l). Según la tabla, si tengo m y quiero obtener l debo multiplicar por,000. m = x,000 litros =,000 litros 2. Qué volumen, en m, ocupan 200 litros? Busco en la tabla las unidades que tengo (litros) y las que quiero obtener (m ). Según la tabla, debo multiplicar los litros por 0.00 para obtener m. 200 l = 200 x 0.00 m = 0.2 m. Una cubeta de pintura tiene 5 galones, a cuántos litros equivalen? Busco en la tabla las unidades que tengo (galones) y las que quiero obtener (litros). Según la tabla, si tengo galones debo multiplicar por.785 para obtener l. 5 gal = 5 x.785 l = 8.9 l Problemas. Cuántos litros caben en una cisterna como la que se presenta en el croquis? 2. Suponga usted que tiene un negocio donde da clases de natación en una alberca que mide 0 m de largo, 20 m de ancho y.5 m de profundidad; si uno de los empleados le recomienda vaciar la alberca para limpiarla, cuántos litros tirará de agua, si le hace caso?. Cuántos galones de agua le caben a un recipiente como el que se muestra en la figura? 20

21 Autoevaluación Instrucciones: Lea cuidadosamente la siguiente información y conteste las preguntas utilizando los datos de la misma. Clemente compró cajas de diferentes tamaños para empacar su mercancía.. Calcule la capacidad de cada una de las siguientes cajas de acuerdo a sus medidas. Forma de la base Cuadrada Cuadrada Rectangular Rectangular ancho 5 cm 20 cm 0 cm 40 cm Medidas largo 5 cm 20 cm 50 cm 60 cm altura 5 cm 40 cm 40 cm 20 cm Capacidad 2. Qué caja tiene más capacidad? Anote los datos. Forma de la base: Capacidad: Medidas: ancho: largo: altura:. Qué caja tiene menos capacidad? Anote los datos. Forma de la base: Capacidad: Medidas: ancho: largo: altura: 2

22 4. Juan quiere comprar un tinaco para su tortería. Le ofrecen al mismo precio dos que se representan con los dibujos de abajo, por lo que ha decido comprar el que tenga más capacidad. Cuál comprará? a) Capacidad del tinaco cilíndrico en cm. b) Capacidad del tinaco con forma de prisma rectangular en cm. c) Juan compró el tinaco. 5. Cuál es la capacidad de los tinacos en litros? Cilíndrico: Prisma rectangular: Volumen del prisma = lado x lado x lado Volumen del cilindro = p x radio x radio x altura p =.4 l =,000 cm 22

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