SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD

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1 Pág. Página 9 PRACTICA Sistemas lineales Comprueba si el par (, ) es solución de alguno de los siguientes sistemas: x + y 5 a) x y x y 5 x + y 8 El par (, ) es solución de un sistema si al sustituir x por e y por, se verifican ambas igualdades: x + y a) x y ( ) 9 + (, ) es solución del sistema. x y 5 x + y 8 ( ) La segunda ecuación no se cumple para x, y. El par (, ) no es solución de este sistema. Completa para que los siguientes sistemas tengan como solución x, y : x y y x a) x + y y + x x y a) Si x, y x + y 6 7 ( ) Así, x y 7 x + y 0 es el sistema buscado. y x Si x, y y + x ( ) + El sistema que tiene como solución x, y es: y x y + x Busca dos soluciones para cada una de estas ecuaciones y representa las rectas correspondientes: a) x + y 5 x y

2 Pág. a) x + y 5 x y Soluciones de esta ecuación son, Soluciones de esta ecuación son, por ejemplo: (, ) y (, ) por ejemplo: (0, ) y (, 0) (, ) (, 0) (, ) (0, ) Resuelve gráficamente cada uno de los siguientes sistemas: x + y 5 x y 7 a) x + y y 0 x + y 5 x + y c) x y x + 0 a) x + y 5 x + y Buscamos dos soluciones para cada una de las ecuaciones: x + y 5 x y x + y x y x + y (0, ) x + y 5 (, 0) (, ) Las rectas se cortan en el punto (, ) La solución del sistema es x, y. x y 7 y 0 La segunda ecuación representa a una recta paralela al eje X, y. (, ) x y 7 y 0 La primera ecuación tiene como soluciones, por ejemplo, los puntos (, ) y (, ). (, ) La solución del sistema es x, y, punto de intersección de ambas rectas. x + y 5 c) x y Buscamos dos soluciones para cada una de las ecuaciones:

3 Pág. x + y 5 x y x y x y 0 Las dos rectas se cortan en el punto (, ), luego x, y es la solución del sistema. x y (, ) (5, 0) (, 0) x + y 5 x + y x + 0 La primera ecuación tiene como soluciones, por ejemplo, los puntos (, 0) y (, ). La segunda ecuación es la de una recta paralela al eje Y, x. Las dos rectas se cortan en el punto (, ) x, y. x + 0 (, 0) (, ) x + y La solución del sistema es 5 Dos de los siguientes sistemas tienen solución única, uno de ellos es incompatible (no tiene solución) y otro es indeterminado (tiene infinitas soluciones). Intenta averiguar de qué tipo es cada uno, simplemente observando las ecuaciones. Después, resuélvelos gráficamente para comprobarlo: x + y 5 x + y x + y a) c) y x x + y x + y 6 El sistema c) tiene infinitas soluciones, pues la segunda ecuación es la primera multiplicada por. Por tanto, las dos ecuaciones dicen lo mismo. El sistema es incompatible, sin solución, ya que las ecuaciones son contradictorias: x + y x + y x + y x + y Los sistemas a) y tienen solución. Imposible que se cumplan ambas a la vez. Resolvemos gráficamente todos los sistemas para comprobarlo: x + y x y a) x + y 5 y x x + y 5 x y y x x y 0 (, ) (, ) (0, ) (, ) Las dos rectas se cortan en (, ) La solución del sistema es x, y.

4 Pág. x + y x + y x + y x y x + y 0 x y 0 Las rectas son paralelas El sistema no tiene solución. (0, ) (0, ) (, ) (, ) c) x + y x + y 6 x + y x y x +y x y (0, ) (, ) (, 0) (, ) Se trata de la misma recta El sistema tiene infinitas soluciones. x + y x y x + y x y x y 0 5 x y 0 El sistema tiene solución única x 0, y, punto de corte de ambas rectas. (, 5) (, 0) x y (, ) (0, ) x + y 6 Resuelve estos sistemas por el método de sustitución: x 5y 5 8x 7y 5 x + 5y a) c) x + y x + 6y 5 x y 7 x y 5x + y 7 a) x 5y 5 x + y Despejamos y de la segunda ecuación y sustituimos en la primera: y x x 5( x) 5 x x 5 x 0 x 0 y 0 Solución: x 0, y 8x 7y 5 x + 6y 5 Despejamos x de la segunda ecuación y sustituimos en la primera: x 5 6y 8( 5 6y) 7y 5 0 8y 7y 5 55y 55 y x 5 6 ( ) Solución: x, y

5 Pág. 5 x + 5y c) x y 7 Despejamos y de la segunda ecuación y sustituimos en la primera: y x 7 x + 5(x 7) x + 5x 5 7x x y Solución: x, y x y 5x + y 7 5x + ( x y Solución: x, y Despejamos y de la primera ecuación y sustituimos en la segunda: y x ) 7 5x + (x ) 7 5x + 6x 7 x x 7 Resuelve los siguientes sistemas por el método de igualación: y x 5x + y 8 a) x y x y x + 6y c) x y x 5y x + y 0 y x a) x Igualamos las y: x x y x 6 x x x y Solución: x, y 5x + y 8 Despejamos y de cada una de las ecuaciones e igualamos: x y y 8 5x y x + Solución: x, y 8 5x x + 7 7x x y +

6 Pág. 6 x +6y c) Despejamos x de cada ecuación e igualamos: x y x 6y x + y Solución: x 0, y x 5y Despejamos x de cada ecuación e igualamos: x + y 0 6y + y 9y y 9 x 6 ( ) + 0 5y x 0 y x 5y 0 y (5y ) (0 y) 5y 6 0 8y y 6 y x 5 8 Solución: x, y 8 Resuelve los siguientes sistemas por el método de reducción: x + y x + 5y a) 5x y x y x + 6y 5x y 7 c) x 5y x + y x + y a) Sumando ambas ecuaciones obtenemos 8x 8 x 5x y + y y y Solución: x, y x + 5y x y ( ) x + 5 x x Solución: x, y x 0y x y y 6 y

7 Pág. 7 x + 6y c) x 5y ( ) x +6 ( ) x Solución: x, y 5x y 7 x + y y y x 7 x 5 7 y y 85 6 y Solución: x 7, y x y x 5y 5x 6y 8x +6y 76 y y Resuelve por el método que consideres más adecuado: 7x + 6y a) y + 5 (x + ) y +7 c) x +(y + ) 0 5x y x + y x y + (x + y) 6 a) 7x +6y y + 5 Despejamos y de la segunda ecuación y la sustituimos en la primera: y 7x + 6 ( ) 7x 7x x Solución: x, y 5x y 0x 6y x + y x +6y x x 5 y 9 y y Solución: x, y (x + ) y +7 x + 6 y +7 c) x + (y + ) 0 x + y + 0 x y x + y

8 Pág. 8 Despejamos y de la primera ecuación y sustituimos en la segunda: y x x + (x ) x + 6x 7x 0 x 0 y 0 Solución: x 0, y x y + (x + y) 6 x + y x + y 8 Despejamos x de la segunda ecuación y sustituimos en la primera: x 8 y (8 y) + y 6 y + y y x 8 6 Solución: x 6, y 0 Resuelve los sistemas de ecuaciones siguientes por el método que consideres oportuno y comprueba la solución que obtengas: x y a) x + y 7 x + y x y,5 x y c) x +y 5/ x y a) x + y 7 Por reducción, multiplicamos la - a ecuación por ( ) y sumamos: x + y 8 x + y 7 x + + y x + y 5y 5 y + y x x Solución: x, y Comprobación: ( ) + + ( ) 9 7

9 Pág. 9 x + y x y,5 Por reducción, multiplicamos la segunda ecuación por y sumamos: x + y 6x y,5,5 7x,5 x 0,5 7 x y y 0,5 Solución: x 0,5, y 0,5 Comprobación: 0,5 + ( 0,5) 0,5 0,5 ( 0,5) ( 0,5),5 + 0,5,5 x y c) x + y 5/ Por reducción, multiplicamos la segunda ecuación por y sumamos: x y x y 5 y 7 y 5 x y x Solución: x, y Comprobación: ( ) ( ) x + + y x + y x + + y x + 8y x + y x +8y 7 x y x 7 8y y 7 8y 5y 5 y x 7 8 x Solución: x, y

10 Pág. 0 Comprobación: Página 0 Resuelve los sistemas de ecuaciones siguientes: x y + (x ) + y 0 + a) 5 (x + ) y x + y x + y 5 c) x 6 + y 5 (x ) + y 0 a) (x + ) y x + y x y 9 7x x y 9 0 Solución: x, y 0 x y x + y x + y 0 x + 9 y y x + x + y + 5x + y x + y 5x + y 6 x + y ( 5) 5x + y 6 5x 5y 5 y y c) x + ( ) x x Solución: x, y x + y 5 x 6 + y 5 x + 5y 5 x 6 + 5y 5 x 0 x

11 Pág. + 5y 5 5y 5 y Solución: x, y y x + x + y + x y + y + x + x y x + y y x + x + (x + ) x + 9x + 8x 0 x 0 y Solución: x 0, y Sistemas no lineales Halla las soluciones de estos sistemas: x + y a) xy + y x + y c) xy y 0 x + y x + y x y x + y x x + y a) xy + y x y ( y)y + y y y + y y + y 0 ± 9 8 y ± y y y x 0 y x Soluciones: x 0, y x, y x + y x + y y x x + ( x) x x x 5x x ± 0 x 5 ± 0 7 x 5 x

12 Pág. 7 7 x y x y Soluciones: 7 x, y 5 5 x, y x + y c) xy y 0 y x x( x) ( x) 0 ( x)(x ( x)) 0 x ( x) (x ) 0 x x y 0 x y Soluciones: x, y 0 x, y x y x + y x x + y ( + y) + y ( + y) + y + y + y y y 5 ± y 7 0 y 5 ± 9 y 7 y y x 7 5 y x Soluciones: x, y 5 7 x, y Resuelve el sistema siguiente por el método de reducción y comprueba que tiene cuatro soluciones: x + y 7 x y x y 8 x y x + y 7 x y Multiplicamos por la primera ecuación: 5y 5 y y 5 y 5

13 Pág. Si y 5 x Si y 5 x x 7 x 7 x 7 x 7 Soluciones: x 7, y 5; x 7, y 5; x 7, y 5; x 7, y 5 Busca las soluciones de estos sistemas: x y a) x + y 9 x + y 0 x(x y) (y ) x y a) x + y 9 y x x +(x ) 9 x +9x +9 x 9 x x 0 x(x ) 0 Si x 0 y Solución: x 0, y Si x y Solución: x, y x + y 0 x(x y) (y ) y x x 0 x / x 9x x 9x x + x 9x 6 x 6 x x x Si x y Solución: x, y Si x y Solución: x, y x x ( ) ( ) x Resuelve los siguientes sistemas (no olvides comprobar las soluciones): x + y y x + a) + y x + 7 x y

14 x + y a) + x y ( x) + x x( x) 6 x + x x + x x x 6 0 x x 0 ± + ± 6 x ± Si x y x y + Comprobación Pág. x + y y + x xy y x x y + Se verifican ambas ecuaciones. x y Se cumplen ambas ecuaciones. Solución: x, y ; x, y y x + y x + 7 x + x +7 x 6 x (x 6) x x x + 6 x x x ± 69 ± 5 x ± 5 9 y y + 5 Comprobación (de la - a ecuación) x 9, y Solución válida x, y Solución no válida Solución: x 9, y 0 PIENSA Y RESUELVE 6 Cuatro barras de pan y seis litros de leche cuestan 6,8 ; tres barras de pan y cuatro litros de leche cuestan,7. Cuánto vale una barra de pan? Cuánto cuesta un litro de leche?

15 y,6 y 0,8 x + 6 0,8 6,8 x +,8 6,8 x x 0,5 Una barra de pan cuesta 0,5, y un litro de leche, 0,8. 7 La suma de dos números es 5. La mitad de uno de ellos más la tercera parte del otro es 6. De qué números se trata? Llamamos x, y a los números buscados. La suma es 5 x + y 5 La mitad de x + tercera parte de y es 6 x y + 6 x + y 5 x + y 6 Pág. 5 x precio de una barra de pan y precio de un litro de leche x + 6y 6,8 x + y,7 ( ) x + y 0, x 6y,8 y 5 x x + (5 x) 6 x 6 y Los números buscados son 6 y 9. x + 0 x 6 (ESTÁ RESUELTO EN EL LIBRO). 9 Por una calculadora y un cuaderno habríamos pagado, hace tres días, 0,80. El precio de la calculadora ha aumentado un 8%, y el cuaderno tiene una rebaja del 0%. Con estas variaciones, los dos artículos nos cuestan,. Cuánto costaba cada uno de los artículos hace tres días? ANTES DE LA SUBIDA O REBAJA CON SUBIDA O REBAJA CALCULADORA x,08x CUADERNO y 0,9y x + y 0,8,08x + 0,9y, y 0,8 x,08x + 0,9(0,8 x),,08x + 9,7 0,9x, 0,x,6 x,6 9 y 0,8 9,8 0, Hace tres días, la calculadora costaba 9, y el cuaderno,,8.

16 Pág. 6 0 Una persona compra un equipo de música y un ordenador por 500. Después de algún tiempo, los vende por 57,50. Con el equipo de música perdió el 0% de su valor, y con el ordenador, el 5%. Cuánto le costó cada uno? PRECIO COMPRA PRECIO VENTA EQUIPO MÚSICA x 0,9x ORDENADOR y 0,85y x + y 500 0,9x + 0,85y 57,5 y 500 x 0,9x + 0,85( 500 x) 57,5 0,9x 5 0,85x 57,5 0,05x,5 x 650, y 850 Le costó 650 el equipo de música y 850 el ordenador. En una cafetería utilizan dos marcas de café, una de 6 /kg y otra de 8,50 /kg. El encargado quiere preparar 0 kg de una mezcla de los dos cuyo precio sea 7 /kg. Cuánto tiene que poner de cada clase? CANTIDAD (kg) PRECIO ( /kg) COSTE CAFÉ INFERIOR x 6 6x CAFÉ SUPERIOR y 8,5 8,5y MEZCLA x + y 0 6x + 8,5y 0 x 0 y 6 (0 y) + 8,5y 0 0 6y + 8,5y 0,5y 0 y 0 8 x 0 8,5 Necesitan kg de café inferior y 8 kg de café superior. Cuántos litros de leche con un 0% de grasa hemos de mezclar con otra leche que tiene un % de grasa para obtener litros con un 6% de grasa? x litros de leche con un 0% de grasa y litros de leche con un % de grasa x + y 0,x + 0,0y 0,06(x + y) 0,0x 0,0y y x x + x x x 6, y Hemos de mezclar 6 litros de leche de un 0% de grasa con litros de leche de un % de grasa.

17 Página La distancia entre dos ciudades, A y B, es de 00 km. Un coche sale desde A hacia B a una velocidad de 90 km/h. Simultáneamente, sale otro coche desde B hacia A a 0 km/h. Cuánto tiempo tardarán en cruzarse? A qué distancia de A se producirá el encuentro? v Se encontrarán al cabo de h a 90 0 km de A. La distancia entre dos localidades A y B es de 60 km. Dos ciclistas salen a la vez de A. La velocidad del primero es /5 de la del segundo y llega / de hora más tarde. Qué velocidad lleva cada uno? V A 5 V B 60 V A t 60 V B (t /) 60 (/5)V B t 60 V B (t /) Dividimos ambas ecuaciones: V B t t V t B ( ) t Pág. 7 A x 00 x 90 km/h 0 km/h B s t ESPACIO VELOCIDAD TIEMPO A x 90 km/h t B 00 x 0 km/h t x 90 x 90t t 00 x 0 00 x 0t t 00 90t 0t 00 00t t v 5 v A t + hora t 60 km B V A velocidad de A V B velocidad de B t tiempo que tarda A en recorrer los 60 km

18 Pág. t t t t 5 5 t t 5 5 V B 60 0 km/h V A 0 6 km/h 5 5 (ESTÁ RESUELTO EN EL LIBRO). 6 El perímetro de un rectángulo es de 0 cm, y su área, de cm. Cuáles son sus dimensiones? y x + y 0 x + y 0 y 0 x x y xy x x(0 x) x 0 ± x 0 x 0 ± 6 Las dimensiones del rectángulo son cm y 7 cm. 7 Si acortamos en cm la base de un rectángulo y en cm su altura, el área disminuye en cm. Calcula las dimensiones del rectángulo sabiendo que su perímetro es de cm. y A xy 0 ± x 7 y 0 7 x y 0 7 x x Perímetro b + h cm b + h y Área b h Área (b )(h ) Área Área (b )(h ) b h b h h b + b h h + b 5 Tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: b + h b + h 5 b h b + h 5 h b 9 Solución: La base del rectángulo mide 9 cm y la altura, cm.

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