SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD
|
|
- Francisco Javier Agüero Hidalgo
- hace 8 años
- Vistas:
Transcripción
1 Pág. Página 9 PRACTICA Sistemas lineales Comprueba si el par (, ) es solución de alguno de los siguientes sistemas: x + y 5 a) x y x y 5 x + y 8 El par (, ) es solución de un sistema si al sustituir x por e y por, se verifican ambas igualdades: x + y a) x y ( ) 9 + (, ) es solución del sistema. x y 5 x + y 8 ( ) La segunda ecuación no se cumple para x, y. El par (, ) no es solución de este sistema. Completa para que los siguientes sistemas tengan como solución x, y : x y y x a) x + y y + x x y a) Si x, y x + y 6 7 ( ) Así, x y 7 x + y 0 es el sistema buscado. y x Si x, y y + x ( ) + El sistema que tiene como solución x, y es: y x y + x Busca dos soluciones para cada una de estas ecuaciones y representa las rectas correspondientes: a) x + y 5 x y
2 Pág. a) x + y 5 x y Soluciones de esta ecuación son, Soluciones de esta ecuación son, por ejemplo: (, ) y (, ) por ejemplo: (0, ) y (, 0) (, ) (, 0) (, ) (0, ) Resuelve gráficamente cada uno de los siguientes sistemas: x + y 5 x y 7 a) x + y y 0 x + y 5 x + y c) x y x + 0 a) x + y 5 x + y Buscamos dos soluciones para cada una de las ecuaciones: x + y 5 x y x + y x y x + y (0, ) x + y 5 (, 0) (, ) Las rectas se cortan en el punto (, ) La solución del sistema es x, y. x y 7 y 0 La segunda ecuación representa a una recta paralela al eje X, y. (, ) x y 7 y 0 La primera ecuación tiene como soluciones, por ejemplo, los puntos (, ) y (, ). (, ) La solución del sistema es x, y, punto de intersección de ambas rectas. x + y 5 c) x y Buscamos dos soluciones para cada una de las ecuaciones:
3 Pág. x + y 5 x y x y x y 0 Las dos rectas se cortan en el punto (, ), luego x, y es la solución del sistema. x y (, ) (5, 0) (, 0) x + y 5 x + y x + 0 La primera ecuación tiene como soluciones, por ejemplo, los puntos (, 0) y (, ). La segunda ecuación es la de una recta paralela al eje Y, x. Las dos rectas se cortan en el punto (, ) x, y. x + 0 (, 0) (, ) x + y La solución del sistema es 5 Dos de los siguientes sistemas tienen solución única, uno de ellos es incompatible (no tiene solución) y otro es indeterminado (tiene infinitas soluciones). Intenta averiguar de qué tipo es cada uno, simplemente observando las ecuaciones. Después, resuélvelos gráficamente para comprobarlo: x + y 5 x + y x + y a) c) y x x + y x + y 6 El sistema c) tiene infinitas soluciones, pues la segunda ecuación es la primera multiplicada por. Por tanto, las dos ecuaciones dicen lo mismo. El sistema es incompatible, sin solución, ya que las ecuaciones son contradictorias: x + y x + y x + y x + y Los sistemas a) y tienen solución. Imposible que se cumplan ambas a la vez. Resolvemos gráficamente todos los sistemas para comprobarlo: x + y x y a) x + y 5 y x x + y 5 x y y x x y 0 (, ) (, ) (0, ) (, ) Las dos rectas se cortan en (, ) La solución del sistema es x, y.
4 Pág. x + y x + y x + y x y x + y 0 x y 0 Las rectas son paralelas El sistema no tiene solución. (0, ) (0, ) (, ) (, ) c) x + y x + y 6 x + y x y x +y x y (0, ) (, ) (, 0) (, ) Se trata de la misma recta El sistema tiene infinitas soluciones. x + y x y x + y x y x y 0 5 x y 0 El sistema tiene solución única x 0, y, punto de corte de ambas rectas. (, 5) (, 0) x y (, ) (0, ) x + y 6 Resuelve estos sistemas por el método de sustitución: x 5y 5 8x 7y 5 x + 5y a) c) x + y x + 6y 5 x y 7 x y 5x + y 7 a) x 5y 5 x + y Despejamos y de la segunda ecuación y sustituimos en la primera: y x x 5( x) 5 x x 5 x 0 x 0 y 0 Solución: x 0, y 8x 7y 5 x + 6y 5 Despejamos x de la segunda ecuación y sustituimos en la primera: x 5 6y 8( 5 6y) 7y 5 0 8y 7y 5 55y 55 y x 5 6 ( ) Solución: x, y
5 Pág. 5 x + 5y c) x y 7 Despejamos y de la segunda ecuación y sustituimos en la primera: y x 7 x + 5(x 7) x + 5x 5 7x x y Solución: x, y x y 5x + y 7 5x + ( x y Solución: x, y Despejamos y de la primera ecuación y sustituimos en la segunda: y x ) 7 5x + (x ) 7 5x + 6x 7 x x 7 Resuelve los siguientes sistemas por el método de igualación: y x 5x + y 8 a) x y x y x + 6y c) x y x 5y x + y 0 y x a) x Igualamos las y: x x y x 6 x x x y Solución: x, y 5x + y 8 Despejamos y de cada una de las ecuaciones e igualamos: x y y 8 5x y x + Solución: x, y 8 5x x + 7 7x x y +
6 Pág. 6 x +6y c) Despejamos x de cada ecuación e igualamos: x y x 6y x + y Solución: x 0, y x 5y Despejamos x de cada ecuación e igualamos: x + y 0 6y + y 9y y 9 x 6 ( ) + 0 5y x 0 y x 5y 0 y (5y ) (0 y) 5y 6 0 8y y 6 y x 5 8 Solución: x, y 8 Resuelve los siguientes sistemas por el método de reducción: x + y x + 5y a) 5x y x y x + 6y 5x y 7 c) x 5y x + y x + y a) Sumando ambas ecuaciones obtenemos 8x 8 x 5x y + y y y Solución: x, y x + 5y x y ( ) x + 5 x x Solución: x, y x 0y x y y 6 y
7 Pág. 7 x + 6y c) x 5y ( ) x +6 ( ) x Solución: x, y 5x y 7 x + y y y x 7 x 5 7 y y 85 6 y Solución: x 7, y x y x 5y 5x 6y 8x +6y 76 y y Resuelve por el método que consideres más adecuado: 7x + 6y a) y + 5 (x + ) y +7 c) x +(y + ) 0 5x y x + y x y + (x + y) 6 a) 7x +6y y + 5 Despejamos y de la segunda ecuación y la sustituimos en la primera: y 7x + 6 ( ) 7x 7x x Solución: x, y 5x y 0x 6y x + y x +6y x x 5 y 9 y y Solución: x, y (x + ) y +7 x + 6 y +7 c) x + (y + ) 0 x + y + 0 x y x + y
8 Pág. 8 Despejamos y de la primera ecuación y sustituimos en la segunda: y x x + (x ) x + 6x 7x 0 x 0 y 0 Solución: x 0, y x y + (x + y) 6 x + y x + y 8 Despejamos x de la segunda ecuación y sustituimos en la primera: x 8 y (8 y) + y 6 y + y y x 8 6 Solución: x 6, y 0 Resuelve los sistemas de ecuaciones siguientes por el método que consideres oportuno y comprueba la solución que obtengas: x y a) x + y 7 x + y x y,5 x y c) x +y 5/ x y a) x + y 7 Por reducción, multiplicamos la - a ecuación por ( ) y sumamos: x + y 8 x + y 7 x + + y x + y 5y 5 y + y x x Solución: x, y Comprobación: ( ) + + ( ) 9 7
9 Pág. 9 x + y x y,5 Por reducción, multiplicamos la segunda ecuación por y sumamos: x + y 6x y,5,5 7x,5 x 0,5 7 x y y 0,5 Solución: x 0,5, y 0,5 Comprobación: 0,5 + ( 0,5) 0,5 0,5 ( 0,5) ( 0,5),5 + 0,5,5 x y c) x + y 5/ Por reducción, multiplicamos la segunda ecuación por y sumamos: x y x y 5 y 7 y 5 x y x Solución: x, y Comprobación: ( ) ( ) x + + y x + y x + + y x + 8y x + y x +8y 7 x y x 7 8y y 7 8y 5y 5 y x 7 8 x Solución: x, y
10 Pág. 0 Comprobación: Página 0 Resuelve los sistemas de ecuaciones siguientes: x y + (x ) + y 0 + a) 5 (x + ) y x + y x + y 5 c) x 6 + y 5 (x ) + y 0 a) (x + ) y x + y x y 9 7x x y 9 0 Solución: x, y 0 x y x + y x + y 0 x + 9 y y x + x + y + 5x + y x + y 5x + y 6 x + y ( 5) 5x + y 6 5x 5y 5 y y c) x + ( ) x x Solución: x, y x + y 5 x 6 + y 5 x + 5y 5 x 6 + 5y 5 x 0 x
11 Pág. + 5y 5 5y 5 y Solución: x, y y x + x + y + x y + y + x + x y x + y y x + x + (x + ) x + 9x + 8x 0 x 0 y Solución: x 0, y Sistemas no lineales Halla las soluciones de estos sistemas: x + y a) xy + y x + y c) xy y 0 x + y x + y x y x + y x x + y a) xy + y x y ( y)y + y y y + y y + y 0 ± 9 8 y ± y y y x 0 y x Soluciones: x 0, y x, y x + y x + y y x x + ( x) x x x 5x x ± 0 x 5 ± 0 7 x 5 x
12 Pág. 7 7 x y x y Soluciones: 7 x, y 5 5 x, y x + y c) xy y 0 y x x( x) ( x) 0 ( x)(x ( x)) 0 x ( x) (x ) 0 x x y 0 x y Soluciones: x, y 0 x, y x y x + y x x + y ( + y) + y ( + y) + y + y + y y y 5 ± y 7 0 y 5 ± 9 y 7 y y x 7 5 y x Soluciones: x, y 5 7 x, y Resuelve el sistema siguiente por el método de reducción y comprueba que tiene cuatro soluciones: x + y 7 x y x y 8 x y x + y 7 x y Multiplicamos por la primera ecuación: 5y 5 y y 5 y 5
13 Pág. Si y 5 x Si y 5 x x 7 x 7 x 7 x 7 Soluciones: x 7, y 5; x 7, y 5; x 7, y 5; x 7, y 5 Busca las soluciones de estos sistemas: x y a) x + y 9 x + y 0 x(x y) (y ) x y a) x + y 9 y x x +(x ) 9 x +9x +9 x 9 x x 0 x(x ) 0 Si x 0 y Solución: x 0, y Si x y Solución: x, y x + y 0 x(x y) (y ) y x x 0 x / x 9x x 9x x + x 9x 6 x 6 x x x Si x y Solución: x, y Si x y Solución: x, y x x ( ) ( ) x Resuelve los siguientes sistemas (no olvides comprobar las soluciones): x + y y x + a) + y x + 7 x y
14 x + y a) + x y ( x) + x x( x) 6 x + x x + x x x 6 0 x x 0 ± + ± 6 x ± Si x y x y + Comprobación Pág. x + y y + x xy y x x y + Se verifican ambas ecuaciones. x y Se cumplen ambas ecuaciones. Solución: x, y ; x, y y x + y x + 7 x + x +7 x 6 x (x 6) x x x + 6 x x x ± 69 ± 5 x ± 5 9 y y + 5 Comprobación (de la - a ecuación) x 9, y Solución válida x, y Solución no válida Solución: x 9, y 0 PIENSA Y RESUELVE 6 Cuatro barras de pan y seis litros de leche cuestan 6,8 ; tres barras de pan y cuatro litros de leche cuestan,7. Cuánto vale una barra de pan? Cuánto cuesta un litro de leche?
15 y,6 y 0,8 x + 6 0,8 6,8 x +,8 6,8 x x 0,5 Una barra de pan cuesta 0,5, y un litro de leche, 0,8. 7 La suma de dos números es 5. La mitad de uno de ellos más la tercera parte del otro es 6. De qué números se trata? Llamamos x, y a los números buscados. La suma es 5 x + y 5 La mitad de x + tercera parte de y es 6 x y + 6 x + y 5 x + y 6 Pág. 5 x precio de una barra de pan y precio de un litro de leche x + 6y 6,8 x + y,7 ( ) x + y 0, x 6y,8 y 5 x x + (5 x) 6 x 6 y Los números buscados son 6 y 9. x + 0 x 6 (ESTÁ RESUELTO EN EL LIBRO). 9 Por una calculadora y un cuaderno habríamos pagado, hace tres días, 0,80. El precio de la calculadora ha aumentado un 8%, y el cuaderno tiene una rebaja del 0%. Con estas variaciones, los dos artículos nos cuestan,. Cuánto costaba cada uno de los artículos hace tres días? ANTES DE LA SUBIDA O REBAJA CON SUBIDA O REBAJA CALCULADORA x,08x CUADERNO y 0,9y x + y 0,8,08x + 0,9y, y 0,8 x,08x + 0,9(0,8 x),,08x + 9,7 0,9x, 0,x,6 x,6 9 y 0,8 9,8 0, Hace tres días, la calculadora costaba 9, y el cuaderno,,8.
16 Pág. 6 0 Una persona compra un equipo de música y un ordenador por 500. Después de algún tiempo, los vende por 57,50. Con el equipo de música perdió el 0% de su valor, y con el ordenador, el 5%. Cuánto le costó cada uno? PRECIO COMPRA PRECIO VENTA EQUIPO MÚSICA x 0,9x ORDENADOR y 0,85y x + y 500 0,9x + 0,85y 57,5 y 500 x 0,9x + 0,85( 500 x) 57,5 0,9x 5 0,85x 57,5 0,05x,5 x 650, y 850 Le costó 650 el equipo de música y 850 el ordenador. En una cafetería utilizan dos marcas de café, una de 6 /kg y otra de 8,50 /kg. El encargado quiere preparar 0 kg de una mezcla de los dos cuyo precio sea 7 /kg. Cuánto tiene que poner de cada clase? CANTIDAD (kg) PRECIO ( /kg) COSTE CAFÉ INFERIOR x 6 6x CAFÉ SUPERIOR y 8,5 8,5y MEZCLA x + y 0 6x + 8,5y 0 x 0 y 6 (0 y) + 8,5y 0 0 6y + 8,5y 0,5y 0 y 0 8 x 0 8,5 Necesitan kg de café inferior y 8 kg de café superior. Cuántos litros de leche con un 0% de grasa hemos de mezclar con otra leche que tiene un % de grasa para obtener litros con un 6% de grasa? x litros de leche con un 0% de grasa y litros de leche con un % de grasa x + y 0,x + 0,0y 0,06(x + y) 0,0x 0,0y y x x + x x x 6, y Hemos de mezclar 6 litros de leche de un 0% de grasa con litros de leche de un % de grasa.
17 Página La distancia entre dos ciudades, A y B, es de 00 km. Un coche sale desde A hacia B a una velocidad de 90 km/h. Simultáneamente, sale otro coche desde B hacia A a 0 km/h. Cuánto tiempo tardarán en cruzarse? A qué distancia de A se producirá el encuentro? v Se encontrarán al cabo de h a 90 0 km de A. La distancia entre dos localidades A y B es de 60 km. Dos ciclistas salen a la vez de A. La velocidad del primero es /5 de la del segundo y llega / de hora más tarde. Qué velocidad lleva cada uno? V A 5 V B 60 V A t 60 V B (t /) 60 (/5)V B t 60 V B (t /) Dividimos ambas ecuaciones: V B t t V t B ( ) t Pág. 7 A x 00 x 90 km/h 0 km/h B s t ESPACIO VELOCIDAD TIEMPO A x 90 km/h t B 00 x 0 km/h t x 90 x 90t t 00 x 0 00 x 0t t 00 90t 0t 00 00t t v 5 v A t + hora t 60 km B V A velocidad de A V B velocidad de B t tiempo que tarda A en recorrer los 60 km
18 Pág. t t t t 5 5 t t 5 5 V B 60 0 km/h V A 0 6 km/h 5 5 (ESTÁ RESUELTO EN EL LIBRO). 6 El perímetro de un rectángulo es de 0 cm, y su área, de cm. Cuáles son sus dimensiones? y x + y 0 x + y 0 y 0 x x y xy x x(0 x) x 0 ± x 0 x 0 ± 6 Las dimensiones del rectángulo son cm y 7 cm. 7 Si acortamos en cm la base de un rectángulo y en cm su altura, el área disminuye en cm. Calcula las dimensiones del rectángulo sabiendo que su perímetro es de cm. y A xy 0 ± x 7 y 0 7 x y 0 7 x x Perímetro b + h cm b + h y Área b h Área (b )(h ) Área Área (b )(h ) b h b h h b + b h h + b 5 Tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: b + h b + h 5 b h b + h 5 h b 9 Solución: La base del rectángulo mide 9 cm y la altura, cm.
6Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGINA 133
PÁGINA 33 Pág. P RACTICA Comprueba si x =, y = es solución de los siguientes sistemas de ecuaciones: x y = 4 3x 4y = 0 a) b) 5x + y = 0 4x + 3y = 5 x y = 4 a) ( ) = 5? 4 No es solución. 5x + y = 0 5 =
Más detallesEJERCICIOS DE SISTEMAS DE ECUACIONES
EJERCICIOS DE SISTEMAS DE ECUACIONES Ejercicio nº 1.- a) Resuelve por sustitución: 5x y 1 3x 3y 5 b) Resuelve por reducción: x y 6 4x 3y 14 Ejercicio nº.- a) Resuelve por igualación: 5x y x y b) Resuelve
Más detallesSistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas
Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas Una ecuación lineal con dos incógnitas es una epresión de la forma a b c donde a, b c son los coeficientes (números) e son las incógnitas. Gráficamente
Más detalles5Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGINA 114
5Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGINA 4 Pág. P RACTICA Ecuaciones: soluciones por tanteo Es o solución de alguna de las siguientes ecuaciones? Compruébalo. a) 5 b) 4 c) ( ) d) 4 4 a)? 0? 5 no
Más detallesMÉTODOS DE ELIMINACIÓN Son tres los métodos de eliminación más utilizados: Método de igualación, de sustitución y de suma o resta.
ECUACIONES SIMULTÁNEAS DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS. Dos o más ecuaciones con dos incógnitas son simultáneas cuando satisfacen iguales valores de las incógnitas. Para resolver ecuaciones de esta
Más detallesSistemas de ecuaciones lineales
7 Sistemas de ecuaciones lineales 1. Sistemas lineales. Resolución gráfica a) En qué punto se cortan la gráfica roja la azul del dibujo de la izquierda? b) Tienen algún punto en común las rectas de la
Más detallesSistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas
Unidad Didáctica 4 Sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas Objetivos 1. Encontrar y reconocer las relaciones entre los datos de un problema y expresarlas mediante el lenguaje algebraico.
Más detalles7Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGINA 159
7Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGINA 159 Pág. 1 S istemas de ecuaciones. Resolución gráfica x + y = 3 1 Representa estas ecuaciones: x y = 1 a) Escribe las coordenadas del punto de corte. b)escribe
Más detallesPROBLEMAS DE SISTEMAS DE ECUACIONES
PROBLEMAS DE SISTEMAS DE ECUACIONES Problema nº 1.- Calcula un número sabiendo que la suma de sus dos cifras es 10; y que, si invertimos el orden de dichas cifras, el número obtenido es 36 unidades mayor
Más detallesEcuaciones de primer grado con dos incógnitas
Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas Si decimos: "las edades de mis padres suman 120 años", podemos expresar esta frase algebraicamente de la siguiente forma: Entonces, Denominamos x a la edad
Más detallesEJERCICIOS SOBRE : ECUACIONES DE PRIMER GRADO
1.- Igualdades. Las expresiones en donde aparecen el signo =, se llaman igualdades. Ejemplo: 5 = 7-2 ; x + 2 = 9 Toda igualdad consta de dos miembros, el primer miembro ( lo escrito antes del signo igual
Más detalles1. Ecuaciones lineales 1.a. Definición. Solución.
Sistemas de ecuaciones Contenidos 1. Ecuaciones lineales Definición. Solución 2. Sistemas de ecuaciones lineales Definición. Solución Número de soluciones 3. Métodos de resolución Reducción Sustitución
Más detallesEcuaciones de 1er y 2º grado
Ecuaciones de er y º grado. Ecuaciones de er grado Resuelve mentalmente: a) + = b) = c) = d) = P I E N S A Y C A L C U L A a) = b) = c) = d) = Carné calculista, : C =,; R = 0, Resuelve las siguientes ecuaciones:
Más detallesb) Los lados de un triángulo rectángulo tienen por medida tres números naturales consecutivos. Halla dichos lados.
Problemas Repaso MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CCSS I Profesor:Féli Muñoz Reduce a común denominador el siguiente conjunto de fracciones: + ; y Común denominador: ( + )( ) MCM + ( )( ) ( )( + )( ) ( ) (
Más detallesa) x 1 = 2 b) x + x 6 = 2 + = + = c) x 9x + 20 = 2 d) x 6x 7 = a) x = 1 y x = 1 b) x = 3 y x = 2 c) x = 4 y x = 5 d) x = 1 y x = 7
1 Resuelve las siguientes ecuaciones: a) x 1 = x + x 6 = c) x 9x + = d) x 6x 7 = = a) x = 1 y x = 1 x = 3 y x = c) x = 4 y x = 5 d) x = 1 y x = 7 Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado: a)
Más detallesPRUEBA DE CONOCIMIENTOS Y DESTREZAS INDISPENSABLES 3º ESO 2009. 1) Calcula el valor de A y B, dando el resultado de la forma más sencilla posible.
PRUEBA DE CONOCIMIENTOS Y DESTREZAS INDISPENSABLES º ESO 009 1) Calcula el valor de A y B, dando el resultado de la forma más sencilla posible. 1 A = 8 1 + 1 B = A = 8 1 = 8 = 8 = 6 4 B = = 4 4 = 4 16
Más detallesSOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD
Pág. Página 5 PRACTICA Completa los siguientes sistemas de ecuaciones para que ambos tengan la solución =, =. + 7 = + = a) b) 4 = Sustituimos en cada ecuación =, = operamos: + = a) b) 4 = 0 Comprueba si
Más detallesEcuaciones de segundo grado
3 Ecuaciones de segundo grado Objetivos En esta quincena aprenderás a: Identificar las soluciones de una ecuación. Reconocer y obtener ecuaciones equivalentes. Resolver ecuaciones de primer grado Resolver
Más detallesHIgualdades y ecuacionesh. HElementos de una ecuaciónh. HEcuaciones equivalentes. HSin denominadoresh. HCon denominadoresh
6 Ecuaciones Objetivos En esta quincena aprenderás a: Reconocer situaciones que pueden resolverse con ecuaciones Traducir al lenguaje matemático enunciados del lenguaje ordinario. Conocer los elementos
Más detallesDe dos incógnitas. Por ejemplo, x + y 3 = 4. De tres incógnitas. Por ejemplo, x + y + 2z = 4. Y así sucesivamente.
3 Ecuaciones 17 3 Ecuaciones Una ecuación es una igualdad en la que aparecen ligados, mediante operaciones algebraicas, números y letras Las letras que aparecen en una ecuación se llaman incógnitas Existen
Más detallesALUMNOS DE CUARTO DE ESO CON MATEMÁTICAS DE TERCERO PENDIENTES
ALUMNOS DE CUARTO DE ESO CON MATEMÁTICAS DE TERCERO PENDIENTES La materia se estructurará en dos partes. Los alumnos que tengan en la primera evaluación menos de un cuatro deberán hacer el martes de Febrero
Más detalles1º BACHILLERATO MATEMÁTICAS CCSS
PÁGINA 87, EJERCICIO 48 1º BACHILLERATO MATEMÁTICAS CCSS PROBLEMAS TEMA 4 - ECUACIONES Y SISTEMAS La suma de los cuadrados de dos números naturales impares consecutivos es 170. Calcula el valor del siguiente
Más detallesECUACIONES DE PRIMER GRADO
ECUACIONES DE PRIMER GRADO 1- ECUACION DE PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITA Una ecuación de primer grado con una incógnita es una igualdad en la que figura una letra sin eponente y que es cierta para un solo
Más detallesSistemas de Ecuaciones
4 Sistemas de Ecuaciones Objetivos En esta quincena aprenderás a: Reconocer y clasificar los sistemas de ecuaciones según su número de soluciones. Obtener la solución de un sistema mediante una tablas.
Más detallesPara resolver estos problemas podemos seguir tres pasos:
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Algunos problemas pueden resolverse empleando sistemas de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas. Muchas veces se pueden resolver utilizando una sola ecuación con una
Más detallesResuelve problemas PÁGINA 75
PÁGINA 7 Pág. 1 Resuelve problemas 9 Una empresa de alquiler de coches cobra por día y por kilómetros recorridos. Un cliente pagó 10 por días y 400 km, y otro pagó 17 por días y 00 km. Averigua cuánto
Más detallesEcuaciones Problemas Ejercicios resueltos
Ecuaciones Problemas Ejercicios resueltos 1. En el siguiente dibujo todos los autos son iguales: Determinar el largo de cada auto. Sea x el largo de cada auto. De acuerdo a la figura, la ecuación que modela
Más detallesSistemas de ecuaciones lineales
Sistemas de ecuaciones lineales Índice general 1. Sistemas de ecuaciones lineales 2 2. Método de sustitución 5 3. Método de igualación 9 4. Método de eliminación 13 5. Conclusión 16 1 Sistemas de ecuaciones
Más detallesSistemas de ecuaciones
Sistemas de ecuaciones Cuando aparecen varias incógnitas en un problema, resulta más sencillo resolverlo planteando más de una ecuación con más de una incógnita. Un sistema de ecuaciones es un conjunto
Más detalles) = 5. Operaciones con polinomios 54 SOLUCIONARIO 1. POLINOMIOS. SUMA Y RESTA 2. MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS
54 SOLUCIONARIO 5. Operaciones con polinomios. POLINOMIOS. SUMA RESTA PIENSA CALCULA Dado el cubo de la figura, calcula en función de : a) El área. b) El volumen. a) A ( ) = 6 b) V ( ) = CARNÉ CALCULISTA
Más detallesSistemas de ecuaciones lineales
9 Sistemas de ecuaciones lineales 1. Sistemas lineales. Resolución gráfica Comprueba si = 2, = 3 es solución del siguiente sistema: 2 + 4 3 = 14 5 2 + 3 = 13 P I E N S A C A L C U L A + 4 = 14 5 + = 13
Más detalles7 ECUACIONES. SISTEMAS DE ECUACIONES
EJERCICIOS PROPUESTOS 7. Escribe estos enunciados en forma de ecuación. a) La suma de dos números consecutivos es. La suma de tres números pares consecutivos es 0. c) Un número más su quinta parte es.
Más detallesEsta es la forma vectorial de la recta. Si desarrollamos las dos posibles ecuaciones, tendremos las ecuaciones paramétricas de la recta:
Todo el mundo sabe que dos puntos definen una recta, pero los matemáticos son un poco diferentes y, aún aceptando la máxima universal, ellos prefieren decir que un punto y un vector nos definen una recta.
Más detallesEjercicios de Trigonometría
Ejercicios de Trigonometría 1) Indica la medida de estos ángulos en radianes: a) 0º b) 45º c) 60º d) 120º Recuerda que 360º son 2π radianes, con lo que para hacer la conversión realizaremos una simple
Más detalles3ª Parte: Funciones y sus gráficas
3ª Parte: Funciones y sus gráficas Relaciones funcionales. Estudio gráfico y algebraico de funciones 1. Interpretación de gráficas 1. Un médico dispone de 1hora diaria para consulta. El tiempo que podría,
Más detallesFUNCIONES DE PROPORCIONALIDAD
UNIDAD 2 PROPORCIONALIDAD. FUNCIONES DE PROPORCIONALIDAD 1.- INTRODUCCIÓN Continuamente hacemos uso de las magnitudes físicas cuando nos referimos a diversas situaciones como medida de distancias (longitud),
Más detallesI.E.S. Miguel de Cervantes (Granada) Departamento de Matemáticas GBG 1
ECUACIONES Y SISTEMAS. PROBLEMAS 1. El lado de un cuadrado mide 3 m más que el lado de otro cuadrado. Si la suma de las dos áreas es 89 m, calcula las dimensiones de los cuadrados.. La suma de dos números
Más detalles9 FUNCIONES DE PROPORCIONALIDAD DIRECTA E INVERSA
9 FUNCINES DE PRPRCINALIDAD DIRECTA E INVERSA EJERCICIS PRPUESTS 9. Dibuja la gráfica de la función que eprese que el precio del litro de gasolina en los últimos 6 meses ha sido siempre de 0,967 euros.
Más detallesRecuerdas qué es? Constante de proporcionalidad Es el cociente de cualquiera de las razones que intervienen en una proporción.
Recuerdas qué es? Coordenadas de un punto Un punto del plano viene definido por un par ordenado de números. La primera coordenada es la abscisa del punto, la segunda coordenada es la ordenada del punto.
Más detallesEcuaciones e Inecuaciones
5 Ecuaciones e Inecuaciones Objetivos En esta quincena aprenderás a: Resolver ecuaciones de primer y segundo grado. Resolver ecuaciones bicuadradas y factorizadas. Identificar y resolver inecuaciones de
Más detallesFunciones más usuales 1
Funciones más usuales 1 1. La función constante Funciones más usuales La función constante Consideremos la función más sencilla, por ejemplo. La imagen de cualquier número es siempre 2. Si hacemos una
Más detallesEcuaciones de primer y segundo grado
Igualdad Ecuaciones de primer y segundo grado Una igualdad se compone de dos expresiones unidas por el signo igual. 2x + 3 = 5x 2 Una igualdad puede ser: Falsa: 2x + 1 = 2 (x + 1) 2x + 1 = 2x + 2 1 2.
Más detallesGEOMETRÍA ANALÍTICA 2º Curso de Bachillerato 22 de mayo de 2008
1. Sean los puntos A (1, 0,-1) y B (,-1, 3). Calcular la distancia del origen de coordenadas a la recta que pasa por A y B. Calculemos la recta que pasa por A y B. El vector AB es (1,-1,4) y por tanto
Más detallesREPASO DE LA PRIMERA EVALUACIÓN
REPASO DE LA PRIMERA EVALUACIÓN º ESO. Escribe todos los divisores de: 7,, 8, y Sol: a),,,, 6, 8, 9,, 8,, 6, 7 b),,,, 6, 8,, c),,, 7,, 8 d),,, 9,, d),,, 6, 9, 8, 7,. Descompón en factores primos: 800,
Más detalles4º ESO 1. ECUAC. 2º GRADO Y UNA INCÓGNITA
4º ESO 1. ECUAC. 2º GRADO Y UNA INCÓGNITA Una ecuación con una incógnita es de segundo grado si el exponente de la incógnita es dos. Ecuaciones de segundo grado con una incógnita son: Esta última ecuación
Más detallesTEMA: ECUACIONES CON NÚMEROS NATURALES ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA.
TEMA: ECUACIONES CON NÚMEROS NATURALES INTRODUCCIÓN: Las ecuaciones sirven, básicamente, para resolver problemas ya sean matemáticos, de la vida diaria o de cualquier ámbito- y, en ese caso, se dice que
Más detallesE 1 E 2 E 2 E 3 E 4 E 5 2E 4
Problemas resueltos de Espacios Vectoriales: 1- Para cada uno de los conjuntos de vectores que se dan a continuación estudia si son linealmente independientes, sistema generador o base: a) (2, 1, 1, 1),
Más detallesFunciones lineales. Objetivos. Antes de empezar. 1.Función de proporcionalidad directa pág. 170 Definición Representación gráfica
10 Funciones lineales Objetivos En esta quincena aprenderás a: Identificar problemas en los que intervienen magnitudes directamente proporcionales. Calcular la función que relaciona a esas magnitudes a
Más detallesPROBLEMAS QUE SE RESUELVEN CON ECUACIONES
PROBLEMAS QUE SE RESUELVEN CON ECUACIONES 1º) El perímetro de un triángulo isósceles mide 15 cm. El lado desigual del triángulo es la mitad de cada uno de los lados iguales. Halla la longitud de cada uno
Más detallesSoluciones a las actividades
Soluciones a las actividades BLOQUE I Álgebra 1. Sistemas lineales 2. Matrices 3. Determinantes 4. Sistemas lineales con parámetros 1 Sistemas lineales 1. Sistemas de ecuaciones lineales Piensa y calcula
Más detallesPROPORCIONALIDAD - teoría
PROPORCIONALIDAD RAZÓN: razón de dos números es el cociente indicado de ambos. Es decir, la razón de los dos números a y b es a:b, o lo que es lo mismo, la fracción b a. PROPORCIÓN: es la igualdad de dos
Más detallesCUADERNO DE VERANO 3º ESO FRACCIONES. 1. Efectúa las siguientes operaciones: 5 = 7 = 1 1 = c) 2 3 + = d) 5 29 : = e) 4. f) 24
CUADERNO DE VERANO º ESO FRACCIONES. Efectúa las siguientes operaciones: a) 0 9 9 b) 0 0 7 c) d) 8 e) 7 9 : f) 9 9 7 : : ) El aire es una mezcla de gases. En la capa más próima a la superficie de la Tierra,
Más detallesProblemas de Cinemática 1 o Bachillerato
Problemas de Cinemática 1 o Bachillerato 1. Sean los vectores a = i y b = i 5 j. Demostrar que a + b = a + b a b cos ϕ donde ϕ es el ángulo que forma el vector b con el eje X.. Una barca, que lleva una
Más detallesNÚMEROS Y OPERACIONES
NÚMEROS Y OPERACIONES NUESTRO SISTEMA DE NUMERACIÓN Para escribir un número usamos sólo diez cifras, que son: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 El número 2 1 403.745 está formado por siete órdenes de unidades.
Más detalles7Soluciones a los ejercicios y problemas
PÁGINA Pág. P RACTICA Sistemas lineales Comprueba si el par (3, ) es solución de alguno de los siguientes sistemas: x + y 5 x y 5 a) b) 3x y 4x + y El par (3, ) es solución de un sistema si al sustituir
Más detalles4 Ecuaciones y sistemas
Solucionario Ecuaciones y sistemas ACTIVIDADES INICIALES.I. Comprueba si las siguientes ecuaciones tienen como soluciones,,. a) 0 b) 5 () 8 a) 0 () () es solución. 0 8 9 6 0 6 0 0 9 5 5 6 5 es solución.
Más detallesNivelación de Matemática MTHA UNLP 1. Los números reales se pueden representar mediante puntos en una recta.
Nivelación de Matemática MTHA UNLP 1 1. Desigualdades 1.1. Introducción. Intervalos Los números reales se pueden representar mediante puntos en una recta. 1 0 1 5 3 Sean a y b números y supongamos que
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS DE OPTIMIZACIÓN
Problemas de optimiación Ejercicio PROBLEMAS RESUELTOS DE OPTIMIZACIÓN Un banco lana al mercado un plan de inversión cua rentabilidad R(, en euros, viene dada en función de la cantidad invertida, en euros,
Más detallesTema 6: Ecuaciones e inecuaciones.
Tema 6: Ecuaciones e inecuaciones. Ejercicio 1. Encontrar, tanteando, alguna solución de cada una de las siguientes ecuaciones: 3 a) + 5 = 69 Probamos para =,3,4,... = = 3 3 = 4 4 3 3 3 + 5 = 13. + 5 =
Más detallesExamen de Matemáticas 2 o de Bachillerato Mayo 2003
Examen de Matemáticas o de Bachillerato Mayo 00 1. Expresar el número 60 como suma de tres enteros positivos de forma que el segundo sea el doble del primero y su producto sea máximo. Determinar el valor
Más detallesLAS FUNCIONES ELEMENTALES
UNIDAD LAS FUNCIONES ELEMENTALES Página 98. Las siguientes gráficas corresponden a funciones, algunas de las cuales conoces y otras no. En cualquier caso, vas a trabajar con ellas. Las ecuaciones correspondientes
Más detallesCapítulo 5: Ecuaciones de segundo grado y sistemas lineales
º de ESO Capítulo : Ecuaciones de segundo grado sistemas lineales Autora: Raquel Hernández Revisores: Sergio Hernández María Molero Ilustraciones: Raquel Hernández Banco de Imágenes de INTEF Ecuaciones
Más detalles4. Cuáles son los dos números?
Problemas algebraicos 1 PROBLEMAS (SISTEMAS LINEALES) 1.1 PROBLEMAS (SISTEMAS NO LINEALES) 1.- La razón de dos números es tres quintos y si aumentamos el denominador una unidad y disminuimos el numerador
Más detallesEJERCICIOS DE REPASO 2º ESO
NOMBRE: CURSO: 0-0 EJERCICIOS DE REPASO º ESO.- Calcula, poniendo los pasos que haces, no sólo el resultado: a ) - ( - ) + 8 ( - ) = b) ( - 8 ) [ 7 + ( - 9 ) ] = c) 7 ( 8 ) + : ( - + 7 ) = d) 6 : ( 8 )
Más detallesProblemas de Física 1 o Bachillerato
Problemas de Física o Bachillerato Principio de conservación de la energía mecánica. Desde una altura h dejamos caer un cuerpo. Hallar en qué punto de su recorrido se cumple E c = 4 E p 2. Desde la parte
Más detallesPROBLEMAS QUE SE RESUELVEN CON ECUACIONES. 1.- Qué edad tiene Rita sabiendo que dentro de 24 años tendrá el triple de la que tiene ahora?
PROBLEMAS QUE SE RESUELVEN CON ECUACIONES 1.- Qué edad tiene Rita sabiendo que dentro de 24 años tendrá el triple de la que tiene ahora? Solución : 12 años 2.- Si al doble de un número le restas 13, obtienes
Más detallesEJERCICIOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL
EJERCICIOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL 1. Disponemos de 210.000 euros para invertir en bolsa. Nos recomiendan dos tipos de acciones. Las del tipo A, que rinden el 10% y las del tipo B, que rinden el 8%. Decidimos
Más detallesCajón de Ciencias. Ejercicios resueltos de Movimiento rectilíneo uniforme
Ejercicios resueltos de Movimiento rectilíneo uniforme 1) Pasar de unidades las siguientes velocidades: a) de 36 km/h a m/s b) de 10 m/s a km/h c) de 30 km/min a cm/s d) de 50 m/min a km/h 2) Un móvil
Más detallesSOLUCIONES. Matemáticas 3 EDUCACIÓN SECUNDARIA 1 3 1 1 3, 4 2,3 + : a) Expresamos N = 2,3 en forma de fracción: 10 N = 23,333 N = 2,333 21 7 = + = =
Matemáticas EDUCACIÓN SECUNDARIA Opción A SOLUCIONES Evaluación: Fecha: Ejercicio nº 1.- a) Opera y simplifica: 1 1 1, 4, + : 5 b) Reduce a una sola potencia: 4 1 5 5 0 a) Expresamos N =, en forma de fracción:
Más detallesACTIVIDADES DEL TEMA 4
ACTIVIDADES DEL TEMA. Resuelve las siguientes ecuaciones: a. 0 0 c. 0 b. 9 0 d. 0. Resuelve las siguientes ecuaciones bicuadradas: a. 0 b. 0. Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado: a. ( -
Más detalles3. Una pelota se lanza desde el suelo hacia arriba. En un segundo llega hasta una altura de 25 m. Cuál será la máxima altura alcanzada?
Problemas de Cinemática 1 o Bachillerato Caída libre y tiro horizontal 1. Desde un puente se tira hacia arriba una piedra con una velocidad inicial de 6 m/s. Calcula: a) Hasta qué altura se eleva la piedra;
Más detallesEjercicios resueltos de porcentajes
Ejercicios resueltos de porcentajes 1) Calcula los siguientes porcentajes: a) 30% de 600 b) 45% de 81 c) 50% de 340 d) 25% de 48 2) Calcula el término que falta en las siguientes expresiones: a) 40% de
Más detallesMATEMÁTICAS-EJERCICIOS DE RECUPERACION PENDIENTES 1º E.S.O. 2º BLOQUE. Nombre y Apellidos:
TEMA 7. SISTEMA METRICO DECIMAL 1. 2. Para pasar de una medida de superficie inferior a otra inmediatamente superior: a) Se multiplica el resultado de la medida por 100. b) Se multiplica el resultado de
Más detallesPENDIENTES 2º ESO. Segundo examen DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS. Preparación del segundo examen de recuperación de MATEMÁTICAS DE 2º ESO Curso 2013-2014
014 015 Preparación del segundo examen de recuperación de MATEMÁTICAS DE º ESO Curso 013-014 PENDIENTES º ESO Segundo examen DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Preparación del segundo examen de recuperación de
Más detallesRESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS La resolución de problemas mediante ecuaciones tiene una serie de dificultades que nos llevan a plantear un tema separado del resto. Las dificultades, llegado este punto en que
Más detallesSUCESIONES INFINITAS
SUCESIONES INFINITAS 1 2 Ejercicio: Cálculo del término general de una sucesión: Encontrar el quincuagésimo término de la sucesión 1, 3, 5, 7,... Es una progresión aritmética de diferencia 2. Su término
Más detallesEJERCICIOS DE MATEMÁTICAS I HOJA 4. Ejercicio 1. Se consideran los vectores
EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS I HOJA 4 Ejercicio 1. Se consideran los vectores u 1 = (1, 1, 0, 1), u 2 = (0, 2, 1, 0), u 3 = ( 1, 1, 1, 1), u 4 = (2, 2, 1, 0) de R 4. Expresa, si es posible, los vectores u
Más detallesSOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES DE CADA EPÍGRAFE
Pág. Página 4 En la última semana, los 0 monos de un parque natural han comido 0 kg de fruta. Acaban de traer monos más y disponemos de 080 kg de fruta. Para cuántos días tenemos? (Averigua previamente
Más detallesSOLUCIONES CIRCUNFERENCIA. 1. Ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto (1, 2) y que pasa por el punto (2,3).
SOLUCIONES CIRCUNFERENCIA 1. Ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto (1,) y que pasa por el punto (,). Para determinar la ecuación de la circunferencia es necesario conocer el centro y el
Más detallesk) x - 5 + 6 = 11 l) 5x - 2 = 3x - 1 m) 2x - 3 = 4x - 7 n) 5x + 4 = 6x + 3 ñ) 6x - 1 = 8x - 5 o) 3x + 10 = 5x - 6 p) 4x + 1 = 9x - 64
Tema : Ecuaciones Resolver las siguientes ecuaciones de primer grado: a) b) c) 0 9 d) - e) f) g) 0 h) i) - j) k) - l) - - m) - - n) ñ) - - o) 0 - p) 9 - q) 9 - r) - 0 s) - - Resolver las siguientes ecuaciones
Más detallesProporcionalidad. 1. Calcula:
Proporcionalidad 1. Calcula:. Resuelve los siguientes problemas: a. Tres kilos de naranjas cuestan,4. Cuánto cuestan dos kilos? b. Seis obreros descargan un camión en tres horas. Cuánto tardarán cuatro
Más detallesColegio Las Tablas Tarea de verano Matemáticas 3º ESO
Colegio Las Tablas Tarea de verano Matemáticas º ESO Nombre: C o l e g i o L a s T a b l a s Tarea de verano Matemáticas º ESO Resolver la siguiente ecuación: 5 5 6 Multiplicando por el mcm(,,6) = 6 y
Más detalles9 Ecuaciones. de primer grado. 1. El lenguaje algebraico
9 Ecuaciones de primer grado 1. El lenguaje algebraico Calcula el resultado de las siguientes epresiones: a) Tenía 5 y me han dado 7. Cuántos euros tengo? b) En un rectángulo, un lado mide metros y el
Más detallesProblemas de optimización
Problemas de optimización 1º) La producción de cierta hortaliza en un invernadero (Q(x) en Kg) depende de la temperatura x (ºC) según la expresión. a) Calcula razonadamente cuál es la temperatura óptima
Más detallesECUACION DE DEMANDA. El siguiente ejemplo ilustra como se puede estimar la ecuación de demanda cuando se supone que es lineal.
ECUACION DE DEMANDA La ecuación de demanda es una ecuación que expresa la relación que existe entre q y p, donde q es la cantidad de artículos que los consumidores están dispuestos a comprar a un precio
Más detallesCUADERNO Nº 10 NOMBRE: FECHA: / / Funciones lineales
Funciones lineales Contenidos 1. Función de proporcionalidad directa Definición Representación gráfica 2. Función afín Definición Representación gráfica 3. Ecuación de la recta Forma punto-pendiente Recta
Más detalles1.4.- D E S I G U A L D A D E S
1.4.- D E S I G U A L D A D E S OBJETIVO: Que el alumno conozca y maneje las reglas empleadas en la resolución de desigualdades y las use para determinar el conjunto solución de una desigualdad dada y
Más detallesLección 24: Lenguaje algebraico y sustituciones
LECCIÓN Lección : Lenguaje algebraico y sustituciones En lecciones anteriores usted ya trabajó con ecuaciones. Las ecuaciones expresan una igualdad entre ciertas relaciones numéricas en las que se desconoce
Más detalles3º ESO. matemáticas IES Montevil tema 9: lenguaje algebraico, ecuaciones y sistemas curso 2010/2011
1. Escribe utilizando el lenguaje algebraico las siguientes afirmaciones El doble de un La mitad de un La décima parte de un Un más su cuarta parte El triple de un más el doble de otro La quinta parte
Más detallesSerie 5 - Problemas de enunciado
Serie 5 - Problemas de enunciado Nombre:...Curso: 4ºD Resuelve los siguientes problemas. El proceso a seguir es como en el problema resuelto: [1º] Definir adecuadamente la(s) incógnita(s) [2º] Realizar
Más detallesTema 8: Problemas con ecuaciones y sistemas. INTENTA RESOLVER TODOS ESTOS PROBLEMAS PLANTEANDO UNA ECUACIÓN
Matemáticas Ejercicios Tema 8 3º ESO Bloque II: Álgebra Tema 8: Problemas con ecuaciones y sistemas. INTENTA RESOLVER TODOS ESTOS PROBLEMAS PLANTEANDO UNA ECUACIÓN 1.- La base de un rectángulo mide 8 cm
Más detalles3 Polinomios y fracciones algebráicas
Solucionario 3 Polinomios y fracciones algebráicas ACTIVIDADES INICIALES 3.I. Para cada uno de los siguientes monomios, indica las variables, el grado y el coeficiente, y calcula el valor numérico de los
Más detallesCajón de Ciencias. Problemas resueltos de sistemas de ecuaciones
Problemas resueltos de sistemas de ecuaciones 1) En una granja se crían gallinas y conejos. En total hay 50 cabezas y 134 patas Cuántos animales hay de cada clase? 2) En un taller hay vehículos de 4 y
Más detallesPROBLEMAS FINANCIEROS
PROBLEMAS FINANCIEROS 1. Por un artículo que estaba rebajado un 12% hemos pagado 26,4 euros. Cuánto costaba antes de la rebaja? (Sol: 30 ) 2. Un ordenador cuesta 1 036 euros sin I.V.A. Sabiendo que se
Más detallesMATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas
Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Tema 3 Ecuaciones y sistemas. Inecuaciones Elaborado por la Profesora Doctora
Más detallesSOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES DE CADA EPÍGRAFE
Pág. Página Completa la siguiente tabla: Nº- de vídeos 0 6 7 8 9 0 Coste no socios 0, 7, 0, 7, 0, Coste socios 6 7 8 9 0 Completa en tu cuaderno la gráfica de la derecha, representando los resultados con
Más detallesA continuación voy a colocar las fuerzas que intervienen en nuestro problema.
ísica EL PLANO INCLINADO Supongamos que tenemos un plano inclinado. Sobre él colocamos un cubo, de manera que se deslice sobre la superficie hasta llegar al plano horizontal. Vamos a suponer que tenemos
Más detalles