Sistemas de ecuaciones lineales

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1 9 Sistemas de ecuaciones lineales 1. Sistemas lineales. Resolución gráfica Comprueba si = 2, = 3 es solución del siguiente sistema: = = 13 P I E N S A C A L C U L A + 4 = = 13 Verifica las dos ecuaciones, luego es solución del sistema. Carné calculista 57,3 : 0,84 C = 68,21; R = 0,0036 A P L I C A L A T E O R Í A 1 Haz la representación gráfica de las soluciones de la siguiente ecuación: 2 + = 5 2 Haz la representación gráfica de las soluciones de la siguiente ecuación: 2 = 3 A(1, 3) 2 + = 5 B(3, 1) 2 = 3 B(5, 4) A(1, 2) 230 SOLUCIONARIO

2 3 La suma de dos números e es 5. Escribe una ecuación que eprese dicha condición calcula cinco parejas de números que la verifiquen. Representa gráficamente el conjunto de todas las soluciones. + = 5 A(1, 4) B(2, 3) C(3, 2) D(4, 1) E(5, 0) a) 3 + = 7 + = 3 P(2, 1) = 2, = 1 Es compatible porque tiene solución. b) + = = 3 2 = 1 Es incompatible porque no tiene solución. 4 Resuelve gráficamente los sistemas: a) + = = 7 c) b) 2 + = 3 2 = 1 2 = 1 P(1, 3) + 2 = 7 c) d) 2 = = = 2 3 = 2 Son compatibles o incompatibles? = 1, = 3 Es compatible porque tiene solución. d) 3 = = 2 Es incompatible porque no tiene solución. TEMA 9. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 231

3 2. Métodos de sustitución e igualación Resuelve mentalmente el siguiente sistema observando el dibujo: = 4 + = 5 P I E N S A C A L C U L A Cada piña pesa 1 kg, el melón, 4 kg Carné calculista : 9 = = = 11 7 = = 2 A P L I C A L A T E O R Í A = 1, = 2 Se resuelve por igualación. = 1, = 3 6 = = 12 = 2, = = 5 2 = 8 = 2, = SOLUCIONARIO

4 = 13 2 = 18 = 3, = 4 + = 1 3 = 9 Se resuelve por igualación. = 2, = 3 La suma de dos números e es 8 el doble del primero más el triple del segundo es 19. Halla el valor de ambos números La suma de dos números e es 11, su diferencia es 3. Halla el valor de ambos números. = 1 er número. = 2 número. + = 11 = 3 } = 7, = 4 Halla dos números proporcionales a 3 5 cua suma es 16 = 1 er número. = 2 número. = 3 5 = 6, = 10 + = 16 = 1 er número. = 2 número. + = = 19 } = 5, = 3 3. Método de reducción qué método utilizar P I E N S A C A L C U L A En el dibujo de la izquierda está planteado un sistema. Resuélvelo mentalmente aplicando estas pautas: = = 17 Un CD vale 5, una cinta de vídeo, 4 Carné calculista 358,6 : 8,7 C = 41,21; R = 0,073 a) Suma las dos ecuaciones calcula el valor de un CD. b) Sustitue el valor del CD en la primera ecuación calcula el valor de una cinta. TEMA 9. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 233

5 = = 17 Se resuelve por reducción; sumando las dos ecuaciones se obtiene = 5, = = = 5 Se resuelve por reducción; restando las dos ecuaciones se obtiene = 2, = = = 10 Se resuelve por igualación.también se resuelve bien por reducción; restando las dos ecuaciones se obtiene = 3, = 2 Se resuelve por reducción: el m.c.m.(4, 6) = 12; se multiplica la 1ª ecuación por 3 la 2ª por 2 se suman. = 2, = Se resuelve por reducción; se multiplica la 1ª ecuación por 4 la 2ª por 3 se suman. = 1, = 3 El doble de un número más el triple de otro es igual a 16, seis veces el primero menos cinco veces el segundo es igual a 20. Calcula ambos números. = 1 er número = 2 número = = 20 } = 5, = = = 25 A P L I C A L A T E O R Í A = = 17 Se resuelve por reducción; multiplicando la 1ª ecuación por 2 sumando se obtiene = 1, = = = Dos pantalones tres camisas valen 120.Tres pantalones dos camisas valen 130. Cuánto vale cada pantalón cada camisa? = precio de un pantalón. = precio de una camisa = = 130 } = 30 precio de un pantalón. = 20 precio de una camisa. 234 SOLUCIONARIO

6 4. Resolución de problemas de sistemas Resuelve mentalmente el siguiente problema: Entre Sonia Ana tienen 30. Si Sonia tiene el doble que Ana, cuánto dinero tiene cada una? Sonia tiene 20, Ana, 10 P I E N S A C A L C U L A Carné calculista 5 4 : 3 ( 7 ) = La suma de dos números es 20, el doble del primero más el triple del segundo es 45. Halla el valor de ambos números. = el 1 er número. = el 2 número. + = = 45} = 15 = 5 En un garaje, ha 25 vehículos entre coches motos. El número total de ruedas sin contar las de repuesto es 80. Cuántos coches cuántas motos ha en el garaje? = número de coches. = número de motos. + = = 80} = 15 coches. = 10 motos Se mezcla aceite de oliva, que cuesta a 3 el litro, con aceite de girasol, que cuesta a 1 el litro. Si tenemos 20 litros de mezcla a un precio de 2,5 el litro, cuántos litros de aceite de cada clase se han mezclado? = litros de aceite de oliva. = litros de aceite de girasol. + = = 50} = 15 litros de aceite de oliva. = 5 litros de aceite de girasol. Ho la edad de Miguel es el doble de la edad de María. Dentro de 10 años la suma de sus edades será 65. Cuántos años tiene actualmente cada uno? María Edad ho Miguel + 10 = = 65 } Edad de María ho: = 15 años. Edad de Miguel ho: = 30 años. A P L I C A L A T E O R Í A Edad dentro de 10 años + 10 TEMA 9. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 235

7 26 En un triángulo isósceles cada uno de los lados iguales mide el doble del lado desigual su perímetro mide 35 m. Cuánto mide cada lado? = = 35 } = 7 m = 14 m 27 En una tienda 5 bocadillos de jamón dos refrescos de cola cuestan 17, 3 bocadillos de jamón 7 refrescos de cola, 16. Cuánto cuesta cada bocadillo de jamón cada refresco de cola? = precio del bocadillo de jamón. = precio del refresco de cola = = 16 } = 3 el bocadillo de jamón. = 1 el refresco de cola. 236 SOLUCIONARIO

8 Ejercicios problemas 1. Sistemas lineales. Resolución gráfica 28 Haz la representación gráfica de las soluciones de la siguiente ecuación: + 2 = 5 31 Resuelve el siguiente sistema gráficamente: 2 + = 5 2 = 1 Es compatible o incompatible? + 2 = 5 A(1, 2) B(3, 1) P(1, 3) 2 = = 5 29 Haz la representación gráfica de las soluciones de la siguiente ecuación: 3 = 1 B(2, 5) A(1, 2) = 1, = 3 Es compatible porque tiene solución. 32 Resuelve el siguiente sistema gráficamente: Es compatible o incompatible? 2 = = 5 3 = = 5 2 = 1 30 La diferencia de dos números e es 1. Escribe una ecuación que eprese dicha condición calcula cinco parejas de números que la verifiquen. Representa gráficamente el conjunto de todas las soluciones. = 1 A(1, 0), B(2, 1), C(3, 2), D(4, 3), E(5, 4) = 1 Es incompatible porque no tiene solución. 33 Resuelve el siguiente sistema gráficamente: Es compatible o incompatible? 3 = = 5 = 2, = 1 Es compatible porque tiene solución. + 3 = 5 3 = 5 P(2, 1) TEMA 9. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 237

9 Ejercicios problemas 2. Métodos de sustitución e igualación = = 0 = 3, = 2 = 2 3 = 1 = 2, = Se resuelve por igualación o por reducción. = 5, = 4 La diferencia de dos números e es 3, el triple del primero más el doble del segundo es 19. Halla el valor de ambos números. = 1 er número = 2 número = = 19} = 5, = 2 = = = = Se resuelve por igualación. = 2, = = = 9 = 1, = = = 6 = 2, = 3 41 La suma de dos números e es 15, uno es el doble del otro. Halla el valor de ambos números. = 1 er número = 2 número + = 15 = 2 } = 5, = Método de reducción qué método utilizar = = 1 Se resuelve por reducción; sumando las dos ecuaciones se obtiene = 2, = = = SOLUCIONARIO

10 Se resuelve por reducción; restando las dos ecuaciones se obtiene = 4, = = 4 = 3 11 = 2, = = = = = 30 Se resuelve por reducción; se multiplica la 1ª ecuación por 5 la 2ª por 2 se suman = 2, = = = 33 Se resuelve por reducción; multiplicando la 1ª ecuación por 2 sumando se obtiene = 3, = 1 Se resuelve por reducción: el m.c.m.(4, 6) = 12; se multiplica la 1ª ecuación por 3 la 2ª por 2 se suman = 3, = 2 El triple de un número más el doble de otro es igual a 17, cinco veces el primero menos el doble del segundo es igual a 7. Halla ambos números. = 1 er número. = 2 número = = 7 } = 3, = 4 49 Tres kilos de manzanas dos kilos de naranjas cuestan 9. Dos kilos de manzanas 2 kilos de naranjas cuestan 7. Cuánto vale el kilo de manzanas el kilo de naranjas? = precio de un kilo de manzanas. = precio de un kilo de naranjas = = 7 } = 2 el kilo de manzanas. = 1,5 el kilo de naranjas. 4. Resolución de problemas de sistemas La suma de dos números es 3, su diferencia es 11. Halla el valor de ambos números. = el 1 er número. = el 2 número. + = 3 = 11} = 7 = 4 En un corral ha 80 animales entre gallinas conejos. El número de patas que ha en total es 220. Cuántas gallinas cuántos conejos ha en el corral? = número de gallinas. = número de conejos. + = = 220 } = 50 gallinas. = 30 conejos. TEMA 9. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 239

11 Ejercicios problemas 52 Se mezcla café de tipo A, que cuesta a 6 el kilo, con café de tipo B, que cuesta a 4 el kilo. Si tenemos 60 kilos de mezcla que sale a 4,5 el kilo, cuántos kilos de café de cada clase se han mezclado? 54 Halla los lados de un rectángulo sabiendo que uno es el triple del otro que el perímetro mide 40 m = kilos de café del tipo A. = kilos de café del tipo B. + = = 270 } = 15 kilos de café del tipo A. = 45 kilos de café del tipo B. 53 Ho la edad de Ana es el triple de la de su hija, hace 5 años era cinco veces maor. Cuántos años tiene actualmente cada una? Hija Ana Edad ho = 3 5 = 5( 5)} Edad de la hija ho: = 10 años. Edad de Ana ho: = 30 años. Edad hace 5 años 5 5 = = 40 } = 5 m = 15 m 55 Dos kilos de gambas tres kilos de pulpo cuestan 51, tres kilos de gambas dos kilos de pulpo cuestan 54. Cuánto cuesta cada kilo de gambas cada kilo de pulpo? = precio del kilo de gambas. = precio del kilo de pulpo = = 54} = 12 el kilo de gambas. = 9 el kilo de pulpo. Para ampliar 56 Resuelve el siguiente sistema gráficamente: = = = = Es compatible o incompatible? = 0 = 0 El sistema es compatible. P(0, 0) 240 SOLUCIONARIO

12 57 Resuelve el siguiente sistema gráficamente: Es compatible o incompatible? No tiene solución, el sistema es incompatible. 58 Escribe un sistema que tenga las soluciones = 2, = 3 + = = 23} 59 2 = = = 5 Un ángulo de un romboide es el doble del ángulo consecutivo. Cuánto mide cada uno de los ángulos de dicho romboide? 2 = = = 11 Se resuelve por reducción, se multiplica la 1ª ecuación por 5 la 2ª por 3 se suman. = 4, = 1 = 2 = 5 27 = 3, = 6 Halla dos números sabiendo que suman 8 que su diferencia es 2 = el 1 er número. = el 2º número. + = 8 = 2 } = 5 = 3 = = 360 } = 60 = = = 1 Se resuelve por reducción, se multiplica la 1ª ecuación por 5 la 2ª por 2 se suman. = 3, = 2 64 Halla dos números que sean proporcionales a 3 4 cua suma sea 35 = el 1 er número = el 2 número = = 35 = 15 = 20 TEMA 9. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 241

13 Ejercicios problemas Problemas 65 Halla dos números sabiendo que tres veces el primero más cuatro veces el segundo es 68 que cinco veces el primero menos cuatro veces el segundo es 4 = el 1 er número. = el 2º número = = 4} = 8 = En el aparcamiento de un centro escolar ha 50 vehículos entre coches bicicletas. El número total de ruedas, sin contar las de repuesto, es 140. Cuántos coches cuántas bicicletas ha en el aparcamiento? = = 46} Edad de Susana ho: = 10 años. Edad de Pedro ho: = 20 años. 69 Susana Pedro Un aula tiene forma rectangular, mide 2 metros más de largo que de ancho la suma del largo del ancho es 14 m. Halla el área del aula. Edad ho Edad dentro de 8 años = número de coches. = número de bicicletas. + = = 140 } = 20 coches. = 30 bicicletas Se mezcla trigo con avena para obtener pienso. El kilo de trigo cuesta a 0,3 el kilo de avena a 0,2. Si se quieren obtener kilos de pienso a 0,25 el kilo, cuántos kilos de trigo de avena tendremos que comprar? = kilos de trigo. = kilos de avena. + = ,3 + 0,2 = ,25 } = kilos de trigo. = kilos de avena. La edad de Pedro es el doble de la edad de Susana. Dentro de 8 años la suma de sus edades será 46 años. Cuántos años tiene actualmente cada uno? = = 14 } = 6 m, = 8 m Área = 8 6 = 48 m En una tienda Pablo compra 2 cuadernos 1 bolígrafo le cobran 6. Rocío compra 4 cuadernos 3 bolígrafos le cobran 13. Cuánto cuesta cada cuaderno cada bolígrafo? = precio de un cuaderno. = precio del un bolígrafo. 2 + = = 13 } = 2,5 cada cuaderno. = 1 cada bolígrafo. Se divide un ángulo recto en dos partes. Sabiendo que una parte es el doble de la otra, halla cuánto mide cada una de las partes. 242 SOLUCIONARIO

14 = 2 + = 90 } = 30 = En un bar nos han cobrado 5 por 4 cafés 2 refrescos. Otro día nos cobran 11 por 8 cafés 5 refrescos. Cuánto cuesta cada café cada refresco? = precio de un café. = precio de un refresco = = 11} = 0,75 cada café. = 1 cada refresco. 73 En un supermercado, por fin de temporada, se venden los melones las sandías por unidades. Óscar compra 4 melones 3 sandías le cobran 18. Sonia compra 2 melones 5 sandías le cobran 16. Qué precio tiene cada melón cada sandía? = precio de un melón. = precio de una sandía = = 16 } = 3 cada melón. = 2 cada sandía. Una finca rectangular mide 25 m más de largo que de ancho. Si el perímetro mide 250 m, cuánto mide su área? = = 250 } = 50 m = 75 m Área = = m Ángel tiene 9 animales entre gatos canarios. El total de patas que tienen es 28. Calcula cuántos gatos cuántos canarios tiene. = número de gatos. = número de canarios. + = = 28 } = 5 gatos. = 4 canarios. Se tienen 75 monedas: unas son de 10 céntimos de euro otras de 20 céntimos de euro. Si en total suman 10, cuántas monedas ha de cada tipo? = monedas de 10 céntimos de euro. = monedas de 20 céntimos de euro. + = 75 0,1 + 0,2 = 10 } = 50 monedas de 10 céntimos de euro. = 25 monedas de 20 céntimos de euro. Para profundizar 77 La suma de dos números es 16, su cociente es 3. Halla ambos números. = el 1 er número. = el 2 número. + = 16 = 3 = 12 = 4 TEMA 9. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 243

15 Ejercicios problemas 78 La suma de las dos cifras de un número es 9, la cifra de las decenas es el doble de la cifra de las unidades. De qué número se trata? = cifra de las unidades. = cifra de las decenas. + = 9 = 2 } = 3, = 6. El número es el Luis tiene el doble de dinero que Silvia. Si Luis le da 15 a Silvia, entonces tienen lo mismo. Cuánto dinero tiene cada uno? = dinero que tiene Silvia. = dinero que tiene Luis. = 2 15 = + 15 } = 30 es el dinero que tiene Silvia. = 60 es el dinero que tiene Luis. 80 La edad de un padre es el doble de la del hijo, hace 10 años era el triple. Qué edad tiene cada uno? Halla una fracción equivalente a 3/4 en la que la suma del numerador del denominador valga 14 = numerador de la fracción. = denominador de la fracción. = = 14 = 6, = 8 Dos números proporcionales a 2 3 suman 20. Calcula ambos números. = el 1 er número. = el 2 número. = = 20 = 8, = 12 Se tienen 250 monedas de las cuales unas son de 2 céntimos de euro otras de 5 céntimos de euro. Si en total suman 6,5, cuántas monedas ha de cada tipo? = 2 10 = 3( 10) } Edad del hijo ho: = 20 años. Edad del padre ho: = 40 años. 81 Hijo Padre Edad ho Calcula el área de un rectángulo sabiendo que su perímetro mide 16 m que su base es el triple de la altura = 16 = 3 } = 2 m, = 6 m Área = 6 2 = 12 m 2 Edad hace 10 años = monedas de 2 céntimos de euro. = monedas de 5 céntimos de euro. + = 250 0,02 + 0,05 = 6,5 } = 200 monedas de 2 céntimos de euro. = 50 monedas de 5 céntimos de euro. 85 Repartir 500 proporcionalmente a 2 3 = 1ª parte de euros. = 2ª parte de euros. + = 500 = 2 3 = 200 = SOLUCIONARIO

16 Aplica tus competencias Problemas de edades Ho las edades de Sara de su hijo José suman 43 años. Dentro de 4 años la edad de la madre será el doble de la edad del hijo. Cuántos años tiene actualmente cada uno? Resuelto en el libro del alumnado. Ana Pablo son hermanos. La suma de sus edades es 29 años. Hace 10 años la edad de Ana era el doble de la de su hermano. Cuántos años tiene actualmente cada uno? Pablo Ana Edad ho Edad hace 10 años Ho la suma de las edades de Antonio su nieta Juana es 98 años. Dentro de cinco años la edad del abuelo será el quíntuplo de la de su nieta. Cuántos años tiene actualmente cada uno? Juana Antonio Edad ho + = = 5( + 5)} Edad de Juana ho: = 13 años. Edad de Antonio ho: = 85 años. Edad dentro de 5 años = = 2( 10)} Edad de Pablo ho: = 13 años. Edad de Ana ho: = 16 años. TEMA 9. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 245

17 Comprueba lo que sabes 1 Define qué es un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas pon un ejemplo. Un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas es una epresión algebraica de la forma: a + b = c a + b = c } Ejemplo = = 8 } 2 Haz la representación gráfica de las soluciones de la siguiente ecuación: + 2 = 5 3 Resuelve el siguiente sistema gráficamente clasifícalo: 3 = = = 5 A(1, 2) B(3, 1) + 3 = 4 = 3, = = 1, = 2 Se resuelve por reducción; se multiplica la 1ª ecuación por 5 la 2ª por 2 se suman. = 3, = 2 Halla dos números sabiendo que uno es el triple del otro que el doble del primero más cinco veces el segundo es 85 = el 1 er número = el 2 número = = 85} = 5, = = = = = 1 3 = 1 8 Una finca rectangular mide 25 m más de largo que de ancho. Si el perímetro mide 250 m, cuánto mide su área? El sistema no tiene solución porque las rectas son paralelas; por tanto, el sistema es incompatible. 4 = 1 = 2 4 = = 250 } = 50 m = 75 m Área = = m SOLUCIONARIO

18 Resuelve el siguiente sistema gráficamente, clasifícalo, si es compatible, halla la solución: Resuelto en el libro del alumnado. 90 Linu/Windows Windows Derive Paso a paso 89 + = 4 2 = 1 Resuelve algebraicamente el siguiente sistema: 2 + = = Un campo de fútbol tiene forma rectangular. El largo más el ancho mide 150 m el largo es el doble del ancho. Cuánto mide cada lado? Resuelto en el libro del alumnado. Internet. Abre: elige Matemáticas, curso tema. Resuelto en el libro del alumnado. Practica 93 Resuelve los siguientes sistemas gráficamente, clasifícalos, si son compatibles, halla las soluciones. b) a) + = 3 b) 3 + = = 1 3 = 2 c) 2 = 1 d) + 2 = = 2 3 = 2 a) Sistema incompatible. No tiene solución. c) Sistema compatible. = 2, = 1 Sistema compatible. = 1, = 3 TEMA 9. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 247

19 Linu/Windows d) 96 Halla dos números sabiendo que entre los dos suman 12 que el doble del primero más el triple del segundo es 29 Sistema incompatible. No tiene solución. 94 Resuelve los siguientes sistemas algebraicamente: a) 3 + = 5 b) = = = 14 a) = 2, = 1 b) = 1, = 3 = el 1 er número. = el 2 número. + = = 29} = 7 = 5 97 El patio de un colegio tiene forma rectangular. El largo es el triple del ancho, el perímetro mide 400 m. Halla las dimensiones del patio. Plantea el siguiente problema resuélvelo con auda de Wiris o DERIVE: 95 Ana compra 4 CD 3 DVD por 100. Óscar compra en el mismo establecimiento 2 CD 3 DVD por 80. Cuánto cuesta cada CD cada DVD? = valor del CD = valor del DVD = = 80} = 10 cada CD = 20 cada DVD = medida del ancho. = medida del largo. = = 400} = 50 m = 150 m 248 SOLUCIONARIO

20 Soluciones de la Evaluación de Diagnóstico Bloque 2: Álgebra Ejercicios c b c a c d a Caminar a) 50 cm b) 89,6 m/min = 5,4 km/h Terreno familiar 800 m 2 Cine Precio de la entrada: 4,8 Precio del paquete de palomitas: 1,5 8 c 9 b 10 d 11 a SOLUCIONES DE LA EVALUACIÓN DE DIAGNÓSTICO 249

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