5 SISTEMAS DE ECUACIONES

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1 5 SISTEMAS DE ECUACINES EJERCICIS PRPUESTS 5. Escribe estos enunciados en forma de una ecuación con dos incógnitas. a) Un número más el doble de otro es. La diferencia de dos números es 5. c) Un número ecede a otro en 40. d) La mitad de la suma de dos números es 5. a) y y 5 c) y 40 d) y 5 5. El triple de la suma de dos números es 8. Escribe la ecuación correspondiente y calcula al menos tres posibles soluciones. La ecuación del problema es: (3 y) 8. Si 3( y) 8 y 6 y 5 Si 3( y) 8 y 6 y 4 Si 3 3(3 y) 8 3 y 6 y La diferencia de dos números naturales es 5 y ambos son menores que. Qué números pueden ser? Escribe las posibles soluciones en una tabla. e y son dos números naturales y las condiciones son: y 5 y <. Las soluciones son: y La suma de las edades de dos hermanos es y el doble de la edad de uno menos la del otro es 3. Plantea el sistema de ecuaciones y comprueba si alguna de estas parejas es solución del sistema. y y 3 6, y 6; 5, y 9; 5, y 7; La solución correcta es 5, y 7. 84

2 5.5 Indica de qué tipo son estos sistemas según el número de soluciones que tienen. a) y y y 4 3 y 5 Se comparan los coeficientes de las variables y los términos independientes. a) 3 3 El sistema es compatible indeterminado porque tiene infinitas soluciones El sistema es compatible determinado porque tiene una única solución. 5.6 Eplica las transformaciones que se han hecho en las siguientes ecuaciones para pasar de un sistema a otro. Son sistemas equivalentes? 3y 3 4 6y 6 3 y 0 9 6y 0 Utiliza la regla de la suma para resolver el sistema. La primera ecuación se multiplica por, y la segunda, por 3. Estas ecuaciones son equivalentes a las anteriores, puesto que si multiplicamos toda la ecuación por un mismo número, resulta una ecuación equivalente a la dada. Resolución del sistema: Se suma y a la segunda ecuación: 3 y y y 3 y Se sustituye en la primera ecuación: y 3y 3 y 3 3 Se sustituye el valor calculado en la segunda ecuación: Resuelve los siguientes sistemas sumando o restando ecuaciones. a) y y 6 3y 3 4 3y 7 a) Se suman las dos ecuaciones: 8 4. Si se sustituye en la primera ecuación: y. Se restan las dos ecuaciones: 6 3. Si se sustituye en la primera ecuación: y Escribe un sistema equivalente al siguiente: 3 y 5 5y 0 Se multiplica la primera ecuación por 5 y la segunda por. 5 0y 5 0y 0 85

3 5.9 Resuelve los siguientes sistemas lineales por los tres métodos algebraicos estudiados. a) 4 y c) 3y 7 y 5 4 3y 5 4 y 8 d) 5y 3 y y 5 4 y 3y 7 a) Método de reducción: 3y 7 4 y Método de igualación: 3y y 3y 7 Método de sustitución: y 8 5y Método de reducción: 5y 4 y 8 Método de igualación: 8 5y 4 4 y 8 5y y 7 3y y 8 y y 5y Método de sustitución: 9 9 y 5 4 3y 5 3y y 4 7 3y y (4 ) 3(4 ) 7 0 5y 40 8 y 4 5y y 4 8 5(4 8) 6 3y c) Método de reducción: 4 3y y y y 4 y y 4 y 4 y y 5 4 3y 5 Método de igualación: 5 y 5 3y 4 5 y 5 3y 4 y y 5 4 3y 5 y 5 4 3( 5) 5 Método de sustitución: 0 0 y d) Método de reducción: 3 y y 5 9 8y y y 3 Método de igualación: 3 y y y 60 8y 9 0 y 0 y 9 y 3 4 Método de sustitución: 3 y y 5 y y 3 86

4 5.0 Escribe las ecuaciones de los siguientes sistemas de modo que puedas aplicar el método que consideres más conveniente para resolverlos. a) ( ) 9 8 3y 6 y 7 ( 3) 4(3y ) 4 4( ) (y 4) y 6 y 7 4 3y 8 3y a) y 7 6 ( 3) 4(3y ) 4 y 4 8 y 6 4( ) (y 4) 6 8 y 6 y 8 48y y 0 5. Resuelve gráficamente los siguientes sistemas y después comprueba la solución. a) y y y 3 y 0 Se hace una tabla de valores para cada ecuación y se representan en un eje de coordenadas. a) y y + y = 5 y 5 y y = y 3 y 5 y y y = 3 + y = 0 5. Indica, sin resolverlos, si estos sistemas son compatibles o incompatibles, y compruébalo después representando gráficamente cada uno. a) y 4 y 7 3 y 8 y 0 a) Es un sistema incompatible, Es un sistema compatible determinado, ya que 4 7. ya que y = 7 + y = 4 y = y = 8 87

5 5.3 Señala de qué tipo son las ecuaciones que forman los siguientes sistemas y resuélvelos. a) y 6 c) y 0 ( y) y 6 d) y 8 y y 8 y 5 3 y a) La primera ecuación es de segundo grado y la segunda es de primer grado. y 6 y 0 y 6 4y y 6 y y y La primera ecuación es de segundo grado y la segunda es de primer grado. ( y) y 6 ( ) o y y Si 0 y, y si y 3 c) La primera ecuación es de segundo grado y la segunda es de primer grado. ( ) 6 ( y) y 6 ( ) ( ) 6 6 y y No tiene solución. d) La primera ecuación es de segundo grado y la segunda es de primer grado. y 5 ( 3) y 4 3 y y 3 Si 5 y 4, y si 4 y 3,, y y 5.4 Señala de qué tipo son las dos ecuaciones que forman el siguiente sistema. 3 y y 5 Resuelve el sistema por reducción y comprueba la validez de las soluciones obtenidas. Las dos ecuaciones que forman el sistema son de segundo grado. 3 y y y 4 y 5.5 Marta y Anka leyeron el año pasado 0 libros entre las dos. Si Anka leyó el triple de obras que Marta, cuántos libros leyó cada una? Libros leídos por Marta: Libros leídos por Anka: y y 0 3 y Por tanto, Marta leyó 5 libros, y Anka, La suma de las superficies de dos salas cuadradas del Museo de Cera es de 300 m, y su diferencia es de 500 m. Cuáles son sus dimensiones? Dimensiones de las salas:, y Sistema de ecuaciones: y 300 y 500 Se suman las ecuaciones: 800 Área de una sala: 900 Medida del lado: 30 m Se restan las ecuaciones: y 800 Área de la otra sala: y 400 Medida del lado: y 0 m 88

6 5.7 Un hotel tiene habitaciones sencillas y dobles. En total tiene 00 habitaciones y 74 camas. Cuántas habitaciones tiene de cada tipo? Se designan por d las habitaciones dobles y por s las habitaciones sencillas. Sistema de ecuaciones: d s 00 d s 74 Solución del sistema: 6 habitaciones simples y 74 habitaciones dobles 5.8 En el centro de la plaza de un pueblo han formado con baldosas un rombo de 4 m de superficie. Calcula la medida de sus diagonales si sabemos que suman 0 metros. Se llama D a la diagonal mayor y d a la diagonal menor. Para calcular el área de un rombo se halla la mitad del producto de las dos diagonales. 4 D d 84 D d D 0 d 84 (0 d) d d 4 y d 6 D d 0 El valor de la diagonal menor es d 6, y D 4. El valor d 4 no es válido. RESLUCIÓN DE PRBLEMAS 5.9 Los grupos de 4. o A y 4. o B van a ir de ecursión en dos autobuses diferentes. Si en el del A suben 3 alumnos del B, los dos autocares llevarán el mismo número de estudiantes. En cambio, si seis alumnos de 4. o A suben al autocar de 4. o B, este tendrá el doble de estudiantes que el otro. Cuántos alumnos hay en cada grupo? Se designa con al número de alumnos de 4. o A e y al número de alumnos de 4. o B. 3 y 3 y e y 30 ( 6) y 6 y 6 En el grupo de 4. o A hay 4 alumnos, y en el de 4. o B, Laura ha ido al quiosco y, para pagar, solo lleva monedas de uno y cinco céntimos. a) El periódico cuesta euro, y ella ha reunido el importe eacto con 3 monedas. Cuántas ha entregado de cada tipo? Se llama al número de monedas de céntimo e y al número de monedas de 5 céntimos. 5 y 00 3 y 5y 00 y 7 y 5 y 3 3 y Laura ha entregado 7 monedas de 5 céntimos y 5 monedas de céntimo. Podría pagar también una revista que cuesta,0 euros con 3 monedas? 5 y 0 3 y 5y 0 y y 0 y 3 3 y Sí podría pagarla, con monedas de 5 céntimos y 0 monedas de céntimo. 89

7 ACTIVIDADES Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas EJERCICIS PARA ENTRENARSE 5. Señala cuáles de los siguientes valores son soluciones de la ecuación 3y 8. a) (, 3) c) (, 6) e) (3, 7) (, ) d) (4, 7) f) (5, 3) a) No es solución. d) (4) 3 (7) No es solución. () 3 () No es solución. e) No es solución. c) () No es solución. f) 5 3 (3) No es solución. 5. Comprueba si 3, y es solución de alguna de las siguientes ecuaciones: a) 5 y 3 y 7 c) 6 4y d) 7y 0 a) 5 (3) 5 4. No es solución. c) 6 (3) No es solución. 3 (3) Sí es solución. d) (3) No es solución. 5.3 Escribe cada uno de estos enunciados en forma de una ecuación con dos incógnitas y señala a qué hace referencia cada una de las incógnitas. a) El perímetro de un rectángulo mide 54 centímetros. El número de camas de un hospital de habitaciones dobles y triples es 56. c) El número de ruedas que hay entre las bicicletas y los triciclos de una tienda es 84. d) En un centro de Secundaria hay 678 personas entre estudiantes y profesores. a) Sea la longitud de la base e y la longitud de la altura y 54. Sea el número de habitaciones dobles e y el número de habitaciones triples 3y 56. c) Sea el número de bicicletas e y el número de triciclos 3y 84. d) Sea el número de estudiantes e y el número de profesores y Escribe una ecuación con dos incógnitas asociada a la siguiente tabla de valores: y Se pide hallar la ecuación de la recta, y m n, por la cual pasan todos los puntos anteriores. Se cogen dos cualesquiera de ellos y los obligamos a que verifiquen la ecuación anterior: (, 5) 5 m n (, ) m n m n 3 y Señala cuáles de las siguientes ecuaciones son equivalentes: a) 4 y 6 y 4 6 c) y 3 d) 4y a y c son equivalentes, ya que si multiplicamos c por obtenemos a. b y d son equivalentes, ya que si multiplicamos b por 7 obtenemos d. 5.6 Eplica razonadamente cuál de estas gráficas representa a la ecuación y 3 : a) y 0 La b, ya que la siguiente tabla de valores verifica la ecuación de la recta y 3 :

8 5.7 Dadas las siguientes ecuaciones: a) 4 5y 3 3 y 8 Forma la tabla de valores asociada a cada una y encuentra alguna solución común a ambas ecuaciones. La tabla asociada a la ecuación 4 5y 3 es: y 3 5 La tabla asociada a la ecuación 3 y 8 es: y 0 4 La solución del sistema es: ; y. Resolución algebraica de sistemas de ecuaciones lineales 5.8 Indica, sin resolverlos, el número de soluciones de los siguientes sistemas y clasifícalos. a) c) 5 4y 5y 4 6 y 5 d) 3 7y 3 5y 3 y y 7 5 y 3 5 a) 4 Sistema compatible determinado Sistema compatible indeterminado 3 5 c) Sistema incompatible 5 6 d) 7 Sistema incompatible Halla la solución de los siguientes sistemas lineales por el método de sustitución despejando la incógnita cuyo coeficiente es. a) 4 y 3y 7 y 5 4 3y 5 a) 4 y 4(7 3) y y 5 3y 7 7 3y 4 3y 5 8 y y Solución: y Solución: y y 5 4 3( 5) Resuelve los siguientes sistemas mediante el método de igualación. a) 5y 8 3y 0 3 4y 5 5 y 9 a) 5y 8 8 5y 3 4y 5 3y 0 3y 5 y 9 5 4y 3 y y 3y 5 4y 9 y 5 0y y y 3 y y 9

9 5.3 Resuelve estos sistemas de ecuaciones utilizando el método de reducción. a) 3 7y 3 y 5 8 6y y a) 3 7y 9y 6 8 6y 34 3 y 5 5 3y y 3 y y y 3 8 6y y 5.3 Escribe las ecuaciones de los siguientes sistemas en la forma a by c y resuélvelos por el método que consideres más conveniente en cada caso. 5 y 6 3 a) c) 5 y ( ) 4y 4 (3y ) 8 y d) y 5 3 y 0 6 y 4 a) y y y 90 3( ) 4y 3 5y 80 c) 4 (3y ) 8 5y y 4 6y 0 8y 4 y 6 8y y 6 y y y 8 5y 00 d) y 5 y 0 3 y 4 6 3y 0 3y (y ) 5y 00 3y 9 6 e y 4 y 4 y Resuelve los siguientes sistemas y señala cuáles son equivalentes. a) 3 y 5 7 y 5 c) 5 y d) 4 y 0 5y 3y 7 4y 9 3 y a) 3 y 5 6 y 0 5 y c) 4 y 0 4 y 0 3y e y 7y 34 y y 7 y 5 7 y 5 d) 4y 9 5y 7 35y 77 3 y 36y 7 y y 3y 6 y y a, b y c son equivalentes por tener la misma solución. 5 y 5 5y 35 3 y 7 3 y 9

10 Resolución gráfica de sistemas 5.34 Cada una de estas tablas está asociada a una ecuación. y y 3 a) Representa los valores de ambas en los mismos ejes de coordenadas para obtener las rectas correspondientes a cada una. Averigua la solución del sistema a partir de la representación gráfica. a) La solución es el punto donde se intersecan las dos rectas, es decir:, y Resuelve gráficamente los siguientes sistemas de ecuaciones: a) 4 y 0 5 y 9 3 y 0 5 6y La solución es:, y 4. La solución es:, y Escribe el sistema de ecuaciones correspondiente a la siguiente representación gráfica e indica su solución. La ecuación eplícita de una recta es: y m n. La primera recta pasa por los puntos: (, 0) 0 m n (0, ) n m n y La segunda recta pasa por los puntos: (, 0) 0 m n (0, 4) 4 n m n 4 m y 4 Por tanto, el sistema buscado es: y y 4 93

11 5.37 Indica, sin resolverlos, si estos sistemas son compatibles o incompatibles, y compruébalo después representando gráficamente cada uno. a) 3 y 6 y 4 5y y 3 Para ello hemos de buscar si eiste proporcionalidad entre los coeficientes y los términos independientes de las ecuaciones de los sistemas: 3 a) Sistema incompatible Sistema compatible determinado Sistemas de ecuaciones de segundo grado 5.38 Señala de qué tipo es cada una de las ecuaciones de los siguientes sistemas y resuélvelos por sustitución. a) 3 4y 5 y 7 y y 7 y 5 a) La primera ecuación es de. o grado, y la segunda es lineal o de. er grado. 3 4y 3 4y 3 4(7 5) y 7 y 7 5 Se resuelve la ecuación de. o grado y sus dos soluciones son: 7 y y La primera ecuación es de. o grado, y la segunda es lineal o de. er grado: y y 7 y y 7 (5 ) (5 ) y 5 y 5 Se resuelve la ecuación de. o grado y sus dos soluciones son: 3 y y Resuelve los siguientes sistemas de primero y segundo grado por sustitución. a) y 00 7y 500 y y 5 y 8 y 00 y 00 7y y No tiene solución real. a) (500 7y) y 00 y 40y y y 5 y 8 y y 5 y 8 Se resuelve la ecuación de. o grado y sus dos soluciones son: 6 y y 6 (8 ) (8 )

12 5.40 Escribe el sistema de ecuaciones asociado a cada una de las siguientes situaciones. a) La suma de dos números es 4 y la suma de los cuadrados de esos números es 00. Dos números cuyo producto es y la suma de sus cuadrados es 5. 9 c) Dos números cuya suma es 8, y la de sus inversos,. 4 0 a) y 4 y 00 y y 5 y 8 c) y Resuelve los sistemas de ecuaciones planteados en la actividad anterior y comprueba que las soluciones cumplen las condiciones del enunciado. y 4 y 00 a) (4 ) Se resuelve la ecuación de.º grado y sus dos soluciones son: 8 6 y 6 y 8 Se comprueba: 6 8 4, y y y 4 y 00 y y 5 y Se hace el cambio de variable t t 5t 44 0 t 6, y t 9 Se deshace el cambio de variable t 6 4 t 9 3 Se sustituye en y. Las soluciones son: y 3 y 3 y 3 4 y 4 4 Se comprueba: y 8 y 9 40 y 8 y 9 40 c) 40(8 ) 40 9(8 ) Se resuelve la ecuación de. o grado y sus dos soluciones son: 8 0 Se comprueba: 8 0 8, y y 0 y 8 95

13 CUESTINES PARA ACLARARSE 5.4 Indica si las siguientes epresiones son verdaderas o falsas. a) 3 y 5 es equivalente a 6 y 0. El sistema 5y tiene infinitas soluciones. 5y c) En la representación gráfica del sistema 5y 4 tan solo aparece una recta. 3 5y a) Verdadera, ya que si multiplicamos por la ecuación 3 y 5, obtenemos la ecuación 6 y 0. Falsa, ya que implica que el sistema es incompatible y, por tanto, no tiene solución. c) Verdadera, ya que la. a ecuación del sistema se obtiene multiplicando por 3 la. a ecuación, y, por tanto, ambas ecuaciones son equivalentes bserva las dos rectas correspondientes a un sistema de ecuaciones. Cómo han de ser los coeficientes de las incógnitas en ambas ecuaciones? Si las ecuaciones de ambas rectas son a by c a b c, se ha de verificar que a by c a b c para que las rectas sean paralelas como en el dibujo Dado el sistema: a 4y 7 ay 5 Calcula un valor de a para que el sistema: a) No tenga solución. Disponga de infinitas soluciones. c) Tenga una solución. a) a 4 a a 4 a. Si a y a, el sistema es incompatible y, por tanto, no tiene solución. a 4 a 7. Por el apartado a es imposible que se verifique la igualdad anterior, y, por tanto, no eiste valor de a para el 5 cual el sistema tenga infinitas soluciones. a 4 c) a a 4 a. Si a y a, entonces el sistema tiene una única solución Las dos gráficas siguientes representan las ecuaciones de un sistema. a) Es un sistema de primero o de segundo grado? Razona tu respuesta. Cuáles son las soluciones del sistema? a) Es un sistema de segundo grado, ya que en la gráfica aparece representada una parábola. Las soluciones del sistema son los puntos en los que se cruzan las dos funciones representadas: P (, ), y P (4, 5). 96

14 PRBLEMAS PARA APLICAR 5.46 Pedro y María van todos los miércoles de compras al mercadillo. Los dos han comprado en el mismo puesto. María ha adquirido camisetas y un pantalón por un total de euros, y Pedro ha pagado 39 euros por 3 camisetas y pantalones. Cuál es el precio de cada camiseta y de cada pantalón? precio de una camiseta y precio de un pantalón y 4 y 44 3 y 39 3 y y y 39 y 4 y 4 El precio de cada camiseta es de 5, y el de cada pantalón, de Un eamen final consta de 0 preguntas de elección múltiple. Cada respuesta correcta es puntuada con 3 puntos, y se resta un punto por cada una incorrecta. Un alumno ha respondido a todas las preguntas y ha obtenido 36 puntos. Cuántas preguntas respondió de manera correcta y cuántas de forma errónea? n. o de respuestas correctas y n. o de respuestas incorrectas y 0 3 y 36 y 0 4 y 0 y Respondió 4 preguntas de manera correcta y 6 de manera incorrecta Laura se ha fijado en las señales de tráfico que hay en el camino que va desde su casa hasta el polideportivo. Ha comprobado que todas tienen forma de triángulo o cuadrilátero. Si en total hay 9 señales y entre todas reúnen 3 ángulos, cuántas hay de cada tipo? n. o de triángulos y n. o de cuadriláteros y 9 3 3y 7 3 4y 3 3 4y 3 Hay 4 triángulos y 5 cuadriláteros. y 5 3 4y Si yo te diera 5 euros, tú tendrías el triple de dinero del que me quedaría a mí. Si yo te diera 6 euros, ambos tendríamos la misma cantidad de dinero. número de euros de la chica y número de euros del chico 3( 5) y 5 3 y 0 6 y 6 y 3 y 0 48 y 0 y La chica tiene 6 euros, y el chico, 8. 97

15 5.50 Una empresa de reciclado de papel mezcla pasta de papel de baja calidad, que compra por 0,5 euros el kilogramo, con pasta de mayor calidad, de 0,40 euros el kilogramo, para conseguir 50 kilogramos de pasta de 0,3 euros el kilogramo. Cuántos kilogramos utiliza de cada tipo de pasta? n. o de kg de papel de baja calidad y n. o de kg de papel de mayor calidad y 50 y y 50 0,5 0,4y 0, y y 550 5y 300 y y Utiliza 30 kg de papel de baja calidad y 0 kg del de mayor calidad. 5.5 Utilizando la regla de la división, averigua el dividendo y el divisor de la misma sabiendo que el cociente es ; el resto, 7, y que el producto de ambos es igual a 490. (d 7)d 490 d 7d D d 7 d 4 D d D 35 d Q 4 T7,5 El resultado d 7,5 no es entero, por eso no lo consideramos. 5.5 Si el largo de un rectángulo fuese 4 centímetros más corto, y el ancho, 3 centímetros más largo, la figura obtenida sería un cuadrado cuya área sería igual que la del rectángulo inicial. Qué área tendría el cuadrado? longitud del largo del rectángulo y longitud del ancho del rectángulo 4 y 3 y 7 y 7 y ( 4)(y 3) y y 3 4y 3 4y 3 3y y 9 y 9 3 4y 3 4y El área del cuadrado es: ( 4)(y 3) 44 cm La profesora de Tecnología quiere partir un listón de madera de 4 centímetros de longitud en tres trozos para construir una escuadra, de manera que el trozo de mayor longitud mida 3 centímetros. Cuál es la longitud de los otros trozos? 3 cm Por el teorema de Pitágoras: y 69 y 3 4 y y ( ) 69 y 69 y 69 y Las longitudes de los trozos han de ser 3 y 8 cm y 8 3 y

16 5.54 La edad de mi nieto será, dentro de tres años, un cuadrado perfecto, y hace tres años era eactamente la raíz cuadrada de ese cuadrado perfecto. Cuál es la edad actual de mi nieto? edad actual del nieto y edad del nieto hace tres años 3 y 3 ( 3) y , y (no válida) La edad actual del nieto es de 6 años De un triángulo isósceles sabemos que su perímetro es 36 centímetros y que la altura asociada al lado desigual mide centímetros. Halla la longitud de cada uno de los lados del triángulo. longitud de los lados iguales, e y longitud del lado desigual cm Por el teorema de Pitágoras: y 4 y 576 y 36 y y y 576 y e y Los dos lados iguales miden 3 cm, y el lado desigual, 0 cm Una agricultora quiere comprobar cuál es el número de hectáreas de superficie que posee su terreno rectangular de cultivo. Sabe que la distancia máima eistente entre dos puntos del mismo es de 5 decámetros, y que la proporción entre el largo y el ancho es 4:3. Si una hectárea equivale a 00 decámetros cuadrados, cuántas hectáreas tiene la superficie? La distancia máima entre dos puntos del rectángulo corresponderá a la diagonal de este. 6 y 9 y 65 y 5 5 y 9 65 y 5 y 5 dam 3 4y 4 3 y dam Solo consideramos las soluciones positivas. Área dam 3 hectáreas 5.57 Con la ayuda de los alumnos de varios centros escolares se están rehabilitando las casas de un pueblo abandonado. Ahora se ocupan de la remodelación de un depósito de 000 m 3 que abastece de agua potable al pueblo. Tiene forma de prisma cuadrangular tal que la altura es el cuadrado del lado de la base menos 6 metros. Calcula la longitud del lado de la base y la altura del depósito. h 000 h m (h 5) h 000 h 5h h 5 y h 40 (solución no válida) h 5 La base mide 0 m, y la altura, 5 m. REFUERZ Ecuaciones de primer grado con incógnitas 5.58 Traduce a ecuaciones los siguientes enunciados. a) La suma de dos números es 0. La diferencia de dos números es 0. c) El producto de dos números es 4. a) y 0 y 0 c) y 4 99

17 5.59 Relaciona cada ecuación con una de sus soluciones. Ecuación Solución 4 5y 3 (, 6) y (, ) 7y (3, 4) 8 y (, 3) Sistemas de ecuaciones lineales 5.60 Dada la ecuación 3 4y 5, resuelve los sistemas que forma con cada una de las siguientes: a) 3 4y 7 3 4y 3 a) 3 4y 5 3 4y 7 3 4y 5 3 4y 3 Se resuelve por reducción: 8y y 4 Se resuelve por reducción: 8y 8 y Resuelve los siguientes sistemas eplicando en cada caso el método que utilizas. a) 4 y 8 5y 3t 5m 9 t 4m 4 y 8 5y a) Método de reducción 3t 5m 9 t 4m 0 5y 40 5y 9 9 6t 0m 38 m t 3 6t m 6 Método de reducción m 44 y Escribe las ecuaciones de los siguientes sistemas en la forma a by c y señala, sin resolverlos, el número de soluciones de cada uno. a) 3( ) 6y 3 5y ( ) c) ( y) 3( y) 6y 3y a) 3( ) 6y 3 3 6y 3 6y 3 3 ( y) 3 5y ( ) 7 3( y) 6 3y 3y 6 3 6y 3y 4 y 3 5y 4 c) 6y 6y y 4 7 5y 6 3 No tiene solución. 4 5 Tiene solución única. 6 Tiene infinitas soluciones. 6 00

18 5.63 Indica, sin resolverlos, si estos sistemas son compatibles o incompatibles, y compruébalo después representando gráficamente cada uno. a) y 6 y 4 y 6 y 6 Sistema compatible determinado 6 6 Sistema incompatible Sistemas de ecuaciones de segundo grado 5.64 Resuelve por sustitución el siguiente sistema de primero y segundo grado, y comprueba que la solución obtenida es correcta. y 9 y 90 y 9 9 y (9 y) y 90 9y y 90 y 9y 90 0 y 90 y 90 y 9 y y Solución : 5 y 6 Solución : 6 y 5 AMPLIACIÓN De un rombo se sabe que su área es 0 cm, y que la proporción eistente entre la diagonal mayor y la diagonal menor es 0:3. Calcula la medida de las diagonales. D d 0 3D 0d D 3 D 40 D 800 D 0 cm 0 d 3 0 d 3D d 0 6 cm 0 La siguiente figura muestra la posición que debe ocupar una escalera de bomberos sobre dos edificios. Calcula la longitud de la escalera y la posición sobre la que debe posarse en la acera. y m y 0 (50 ) y y 36,06 m La escalera debe medir 36,06 metros y estar situada a 0 metros de la primera casa. 0

19 5.67 Resuelve los siguientes sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas utilizando los mismos métodos que con dos ecuaciones. y z 6 a) 3y z 7 5y 3z 0 5 y z 4 3y 4z 5 y z 0 y z 6 3y z 7 5y 3z 0 a) y z 60y 36z 8 y 56z 68 z 3 5 y z 4 3y 4z 5 y z 0 y z 3y z 7 0y 6z 0 5 y z 4 5 5y 0z 5 5 5y 5z 0 5 y z 4 9y 47z 03 y 45z 35 z 3 y z 5y 3z 9 y 4z 5 y z 4 7y z 9 7y 6z 4 y z 60y 36z 8 60y 0z 60 5 y z 4 9y 47z 03 9y 0z Calcula las dimensiones de un rectángulo sabiendo que su diagonal mide 5 centímetros, y su área, 08 cm. y 5 y y y y 08 y 4 5y y 4 5y Cambio: u y, u y u 5u u 5 63 u 44 y ; 9 Q Tu 8 y 9; Las soluciones negativas no las consideramos porque las dimensiones de un rectángulo tienen que ser positivas. El rectángulo tendrá por dimensiones 9 centímetros La gráfica muestra una de las ecuaciones de un sistema incompatible. Halla la epresión de las dos ecuaciones del sistema sabiendo que la otra recta pasa por el punto (0, ). La recta pasa por los puntos de la siguiente tabla: Hallemos la ecuación de dicha recta, cuya ecuación eplícita es: y m n. Por tanto, al sustituir los valores de la anterior tabla en la ecuación obtenemos: n y 0 m n m m. y 0 0 Sustituyendo estos valores en la ecuación eplícita anterior, obtenemos: y y. Si el sistema debe ser incompatible, es debido a que las rectas que representan a sus ecuaciones son paralelas (no tienen puntos en común), y, por tanto, sus pendientes, es decir, m, han de ser iguales. Además, la otra recta ha de pasar por el punto (0, ). Por tanto: y m n con m y n 0 n y La segunda ecuación del sistema es: y y. Finalmente, el sistema buscado es: y y 0

20 5.70 De un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas sabemos que las dos ecuaciones tienen asociadas las siguientes tablas de valores: y y a) Halla las dos ecuaciones que forman dicho sistema. Resuelve el sistema de manera analítica aplicando alguno de los métodos. c) Resuélvelo gráficamente. a) Cada una de las ecuaciones que forman el sistema son de la forma: y m n. De la primera tabla obtenemos, al sustituir en la ecuación: 7 m n 7 n n 3 0 5m m 5 De la segunda tabla obtenemos, al sustituir en la ecuación: 3m 3 n n 3m n m n 4m m 4 7 m n 0 y 3 y 3 3 3m n El sistema buscado es: y 3 y Método de reducción: c) y 3 4 y 6 y y 4 y 6 4 y 6 y y y y Para interpretar y resolver 5.7 Cinco animales Cecilia quiere estudiar la evolución de las características físicas de cinco especies animales. Por eso ha observado de forma especial a un ejemplar de cada una de ellas. Una de las variables que interesan para el estudio es la masa corporal de cada una a los 8 meses de vida, pero, ineplicablemente, en su libreta solo tiene estos datos. Animales Masa conjunta (kg) Animales Masa conjunta (kg) Perro y gato 30 Gato y cerdo 93 Perro y pato 7 Gato y cabra 7 Perro y cerdo 07 Pato y cerdo 90 Perro y cabra 86 Pato y cabra 69 Gato y pato 3 Cerdo y cabra 49 Calcula la masa que tenía el cerdo en esa época. Si se suman todos los valores ofrecidos por la tabla, se obtiene cuatro veces la masa de los cinco animales juntos Así: Perro Gato Pato Cerdo Cabra Por tanto: Cerdo 84 (Perro Gato) (Pato Cabra) kg 03

21 5.7 Fábrica de electrodomésticos En una fábrica de electrodomésticos se montan lavadoras y lavavajillas. En ella hay mecánicos que trabajan 7 horas diarias y que están capacitados para componer indistintamente lavadoras o lavavajillas. bserva el tiempo que se tarda en ensamblar cada electrodoméstico. Lavadora Lavavajillas horas 3 horas a) Escribe el polinomio que determina el tiempo necesario para montar lavadoras e y lavavajillas. Escribe la ecuación que determina el número de lavadoras y de lavavajillas que se pueden armar en un día. c) Los estudios de mercado muestran que se venden el doble de lavadoras que de lavavajillas. Calcula, en estas condiciones, cuántos electrodomésticos de cada clase se compondrán en un día. a) T 3y 3y y 84 c) 4y 3y 84 y y 4. Se deberán montar 4 lavadoras y lavavajillas. y AUTEVALUACIÓN 5.A 5.A 5.A3 Halla dos números cuya suma sea 4, y su diferencia, 8. y 4 y 4 y 3 Sean e y los dos números y 4 y 8 Los números son 3 y. Encuentra la solución del sistema por sustitución. 3 4(9 5) y 9 0 Resuelve este sistema por igualación. 5 y 9 3 4y 0 y y 0 6 y 6 7 y 0 y (6 6) (0 7) y y A4 Halla la solución de este sistema por reducción. 5 3y 6y 8 6y 8 6y 6 y 0 6y 4 6y 8 04

22 5.A5 5.A6 Halla el valor de los coeficientes de la ecuación a by 3 para que, y y, y 8 sean dos de sus soluciones. ; y ; y 8 a b 3 a 8b 3 Los coeficientes son: a 5 y b. a b 3 a 3 a 5 6 6b 6 b 6 bserva las siguientes representaciones gráficas y señala la solución de cada uno de los sistemas. a) a) e y 3 El sistema es incompatible; no tiene solución. 5.A7 Resuelve el siguiente sistema de segundo grado por reducción. 3 y 9 4y 5 3 y 9 3 y 5 Si y 3 y y 4 y y 4 0 y e y 7 Si y 7 3 (no es real). 5.A8 La diagonal de un rectángulo mide 6 centímetros, y el perímetro, 68 centímetros. Halla los lados del rectángulo. 6 cm y Por el teorema de Pitágoras: y 676 y 676 y y 34 y 68 La solución es: 4 0 y 0 y 4 La base mide 4 cm, y la altura, 0 cm (la otra solución válida del sistema corresponde al mismo rectángulo girado 90). ro y plata MATETIEMPS Se sabe que el oro y la plata pierden 5,% y 9,5% de su peso al introducirlos en el agua. Nos dicen que una joya de gramos es de oro puro, pero al introducirla en el agua pierde 0,7 grs. Nos han engañado? Sea la cantidad eistente de oro e y la cantidad de plata. El peso de la joya será: y, y la pérdida de peso al introducirla en el agua: 0,05 0,095y 0,7. Si resolvemos el sistema planteado por sustitución, tenemos: y. Luego: 0,05 0,095 ( ) 0,7 0,05,4 0,095 0,7 0,044 0,44 0 Luego la joya tiene 0 gramos de oro y de plata, lo que indica que no es pura. 05

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