Tema 7. Límites y continuidad de funciones

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1 Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Análisis: Límites y continuidad de funciones 55 Límite de una función en un punto Tema 7 Límites y continuidad de funciones Idea inicial Si una función f está definida para todos los valores de próimos a a, aunque no necesariamente en el mismo a, entonces, se dice que el ite de f () vale l, cuando tiende a a, si el valor de f () se aproima a l cuando se aproima a a Se escribe así: f ( ) l (También f () l, cuando a) a Si una función f () no tiende a ningún número concreto, cuando tiende a a, se dice que no tiene ite cuando tiende a a Usando la calculadora puede estudiarse el ite, cuando tiende a, de las funciones a) f ( ) b) g ( ) ENT[ ] c) h ( ) d) i ( ) Para ello, en todos los casos, se darán a valores próimos a y se calcularán los valores que toma la respectiva función a) Para f ( ) : :,9,99,999,00,0, f () 0,6 0,960 0,99600,0000,00, Tanto para valores menores que como para mayores que (en ambos casos próimos a ), la función toma valores muy próimos a En este caso se escribe, ( ) Observa que la función está definida en y que el ite coincide con f() b) Para g ( ) ENT[ ] (La parte entera de se define como el número entero inmediatamente menor o igual a ) :,9,99,999,00,0, g ()? Para valores cercanos y menores que, la función toma siempre el valor ; para valores cercanos y mayores que, siempre vale En este caso, ENT[ ] no eiste Observa que la función está definida en y sin embargo no tiene ite en ese punto c) Para h ( ) : :,9,99,999,00,0, h () ? wwwmatematicasjmmmcom

2 Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Análisis: Límites y continuidad de funciones 56 Para valores cercanos y menores que, la función toma valores grandes y negativos; para valores cercanos y mayores que, la función toma valores cada vez más grandes En este caso, no eiste Observa que la función no está definida en y que tampoco tiene ite en ese punto d) Para i ( ) : :,9,99,999,00,0, i () 0,56 0,506 0,5006 0,5 0,99 0,9 0,9 Para valores próimos y menores que, la función se acerca cada vez más a 0,5; y lo mismo hace para valores próimos y mayores que En este caso, 0, 5 Observa que la función no está definida en y sin embargo tiene ite en ese punto Definición de ite de una función en un punto A la vista de los ejemplos anteriores, se concluye: ) Para la eistencia del ite de una función en un punto a no importa que la función esté o no definida en ese punto ) Lo que importa son los valores que toma la función en un entorno de ese punto a ) Eistirá el ite, y su valor será l, cuando todos los puntos próimos a a se transformen, mediante la función, en puntos próimos a l Esto es, si está cerca de a, entonces f ( ) está cerca de l (Véase la figura adjunta) Con más precisión: ) Eistirá el ite de f (), cuando a, y su valor será l, si para cualquier entorno de l, E ε (l), puede encontrarse otro entorno de a, E δ (a), de manera que todos los valores de Eδ (a) se transformen, mediante f (), en puntos de E ε (l) O con símbolos: f ( ) l ε > 0, δ > 0, 0 < a < δ f ( ) l a < ε Esta epresión se lee así: ite de f () cuando tiende a a es igual a l, equivale a decir que para todo número épsilon mayor que cero, eiste un número delta, también mayor que 0, tal que para todo que cumpla que su diferencia con a, en valor absoluto, sea mayor que 0 y menor que delta, se cumple que la diferencia entre f () y l, también en valor absoluto, es menor que el número épsilon elegido La condición, 0 < a, indica que no toma el valor a, pues en tal caso a 0 La condición, La conclusión, a < δ, indica que E (a) f ( ) l < ε, significa que f ( ) E ( l) δ Observación: El concepto de ite es el más importante del cálculo infinitesimal, y uno de los más difíciles Para ayudar a comprenderlo se plantea y resuelve el siguiente ejercicio ε wwwmatematicasjmmmcom

3 Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Análisis: Límites y continuidad de funciones 57 Ejercicio: Demuestra, aplicando la definición, que ( ) Solución: Hay que ver que para cualquier ε > 0, eiste δ > 0 tal que si ( ) < ε Como < δ, entonces ) < ε < ε ε < < ε (transformando la desigualdad) ( ε < < ε ε < < ε Por tanto, tomando δ < mínimo de { ε, ε } se cumple que ( ) < ε Luego, efectivamente, el ite vale Por ejemplo, si se toma ε 0,, el valor de δ puede ser cualquier número menor que 0,085, pues δ < mínimo de { 0,, 0, } mín{0,056, 0,085) Si se elige δ 0,, para todo tal que < 0, 0,98 < <,0, se cumple que ( ) < 0, Límites laterales En la definición de ite no se distingue entre las posibilidades < a o > a, pues al escribir 0 < a < δ resulta indiferente: lo único que se pide es que este próimo a a No obstante, algunas veces conviene distinguir si a por la izquierda (siendo < a), que se escribe a ; o si a por la derecha (siendo > a), denotado por a Esta distinción da lugar al estudio de los ites laterales A f () se le llama ite lateral por la izquierda a A f () se le llama ite lateral por la derecha a Observación: Este estudio tiene interés cuando: ) La función está definida a trozos y se quiere calcular el ite en alguno de los puntos de unión de los diferentes trozos ) La función tiene asíntotas verticales y se quiere determinar la posición de la curva respecto a ellas Pues bien, para que eista el ite de una función en un punto es necesario que eistan los limites laterales y que sean iguales Esto es, para que eista f ( ) l es necesario que a f ( ) f ( ) l a a Ejemplo:, si < Para estudiar el ite de la función f ( ) en el, si punto es necesario considerar los ites laterales Por la izquierda: f ( ) Por la derecha: f ( ) ( ) Como ambos ites coinciden, eiste el ite y vale wwwmatematicasjmmmcom

4 Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Análisis: Límites y continuidad de funciones 58 Cálculo práctico de ites Casos inmediatos Si f () es una función usual (polinómicas, racionales, logarítmicas, etc) y está definida en el punto a, suele cumplirse que: f ( ) f ( a) Esto es, el ite se resuelve sustituyendo a Observaciones: ) Que la función pueda evaluarse en a no es determinante para que eista el ite (no es ni necesario ni suficiente), como se vio con la función g ( ) ENT[ ], pero este es un caso de función definida a trozos, que debe ser estudiado mediante ites laterales ) No obstante, lo primero que debe hacerse para calcular un ite es sustituir por a: hallar f (a) Si eiste f (a) y la función no está definida a trozos, se aceptará que f ( ) f ( a) ) Como el lector sabrá, las funciones que cumplen que f ( ) f ( a), se llaman continuas Se estudiarán más adelante a Lo dicho puede comprobarse en los siguientes casos: a) ( ) b) 0 c) d) 5 0 e) (ln( )) ln( ) ln 7 f) 0 g) Esto no es así en el caso, pues f ( ) no está definida en Algunas propiedades de las operaciones con ites En relación con las operaciones algebraicas pueden aplicarse las siguientes propiedades 0 a Si f ( ) A y g( ) B, con A y B finitos, entonces: a a ) ( f ) ± g( ) ) f ( ) ± g( ) A ± B a ( ; a a ) ( f ( ) g( ) ) f ( ) g( ) A B ) a a f ( ) f ( ) a A, (B 0) a g( ) g( ) B a ) Si ( ) > 0 a f ( ) g ( ) B f, ( ) ( ) a 5) Si ( ) > 0 a f ( ) a ; g ( ) f, ( log f ( ) ) log ( f ( ) ) log A a b b a A b ) El ite de una suma es igual a la suma de los ites ) El ite de un producto es igual al producto de los ites ) El ite de un cociente es igual al cociente de los ites ) El ite de una potencia es igual a la potencia de los ites 5) El ite de un logaritmo es igual al logaritmo del ite Estas propiedades se aplican en ambos sentidos (de izquierda a derecha o de derecha a izquierda), según convenga wwwmatematicasjmmmcom

5 Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Análisis: Límites y continuidad de funciones 59 Indeterminaciones Hay siete casos en los que al sustituir el valor a en la función dada se llega a situaciones etrañas, no definidas, que reciben el nombre de indeterminaciones: formas indeterminadas Escritas esquemáticamente, estas 7 indeterminaciones son: 0 0 [0 ] [ ] [ ] [0 0 ] [ 0 ] Observaciones: ) Cuando en estas epresiones se escribe 0 se quiere significar que se está ante un valor tan pequeño como se quiera (infinitesimal) El concepto matemático que lo define es el de infinitésimo Así, se dice que f () es un infinitésimo en el punto a si f ( ) 0 0 Por tanto, la indeterminación 0 es el cociente de dos infinitésimos Surge si se plantea un f ( ) f ( ) a 0 ite como el siguiente: g( ) g( ) 0 ; esto es, cuando f () y g () son a a infinitésimos en el punto a (Este concepto se completará más adelante, al estudiar la regla de L Hôpital) Igualmente, en las demás indeterminaciones, cada vez que se escribe 0 se está diciendo que la función es un infinitésimo en el punto en cuestión ) Análogamente, cuando se escribe se quiere indicar una epresión que tiende a, que toma los valores 0,999 o,000, sin que necesariamente tome nunca el valor ) Por último, cuando se escribe se quiere significar que la epresión toma valores tan grandes como se quiera: mayores (en valor absoluto) que cualquier número dado En los ites siguientes, al sustituir, aparecen las formas que se indican 0 5 a) 0 b) 5 c) e [ 0 ] d) 9 [ ] e) [ 0 ] f) [ 0 ] g) ( ) / ln 0 [ ] 0 a Algunas veces estas formas indeterminadas pueden resolverse Los métodos de resolución están muy estudiados y se concretan en los siguientes procedimientos: ) Algebraicos Consisten en aplicar las propiedades de las operaciones con ites y, cuando estas sean insuficientes, recurrir a transformaciones algebraicas en la función dada: simplificar, etraer factor común, sumar o restar, operar con potencias y raíces, con logaritmos 0 Aquí se aplicará este método en formas de los tipos: 0,, [ ], [0 ] y [ ] ) Regla de L Hôpital, dando así entrada al cálculo infinitesimal Se verá en otro tema Allí se resolverán las 7 formas indeterminadas wwwmatematicasjmmmcom

6 Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Análisis: Límites y continuidad de funciones 60 0 Límites de funciones racionales cuando a Indeterminación 0 P( ) Las funciones racionales son de la forma f ( ), siendo P() y Q() polinomios El Q( ) 0 único caso de ite no inmediato es cuando da lugar a la indeterminación 0 Esto es, P( ) 0 cuando P(a) 0 y Q(a) 0, pues Q( ) 0 a Este caso puede resolverse simplificando la epresión inicial, pues si P(a) 0 y Q(a) 0, se verifica que P( ) ( a) P ( ) y Q( ) ( a) Q ( ), de donde el cociente P( ) ( a) P ( ) P ( ) Q( ) ( a) Q ( ) Q ( ) P( ) 0 ( a) P ( ) P ( ) Luego: a Q( ) 0 a ( a) Q ( ) a Q ( ) Si el último ite no resulta inmediato se aplica nuevamente la regla anterior Observación: El teorema del factor dice: Para un polinomio P(), si P ( a) 0 a es un factor de P() P ( ) ( a ) P ( ) El polinomio P ( ) se obtiene dividiendo Ejemplo: El, que no resulta inmediato, puede resolverse así: 0 0 ( )( ) El caso 0 k k k Cuando al hacer cualquier ite aparezca la epresión (esto es, f ( ) ), se pondrá 0 a 0 que el valor de ese ite es infinito Esto significa que, aunque el ite no eiste, el valor de la función se hace tan grande como se quiera, infinitamente grande En estos casos es conveniente estudiar los ites laterales en el punto, pues con frecuencia se obtienen signos distintos para el infinito Observación: Cuando f () a, la función f () tiene una asíntota vertical en a: la recta a 5 7 a) También puede ponerse ± Igualmente ± 0 0 b), pues cuando 0 el numerador es negativo y el denominador 0 0 positivo, tanto a la izquierda como a la derecha del 0 wwwmatematicasjmmmcom

7 Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Análisis: Límites y continuidad de funciones 6 c) Para h ( ), que no está definida en, se tiene que 0 Si en este caso se estudian los ites laterales se cumple: por la izquierda: por la derecha: El signo o se decide por los signos del numerador y denominador Geométricamente, estos resultados indican que la curva asociada a la función se va hacia por la izquierda de ; y hacia por la derecha de (Esto equivale a decir que la recta es una asíntota vertical) Observación: Es frecuente confundir los casos k 0 y 0 k El primero vale 0: k 0 0 entre algo 0 0 La indeterminación 0 en funciones con raíces 0 En las funciones con radicales, la indeterminación puede resolverse de dos formas: 0 ) Descomponiendo en factores y simplificando, como para las funciones racionales ) Multiplicando y dividiendo la función dada por la epresión conjugada de alguno de sus términos A continuación se opera y simplifica Observaciones: Como las funciones con radicales de índice par no están definidas para valores negativos del radicando habrá que tenerlo en cuenta al plantear y resolver los ites Así, por ejemplo el sólo puede plantearse por la derecha de, pues f ( ) no está definida cuando Por tanto, este ite habría que plantearlo así: y su valor sería a) 0 0 ( )( ) b) Para la misma función, el ite sólo puede calcularse por la derecha, cuando, pues la función no está definida para valores de < (Su valor es ) 0 ( )( ) ( ) c) ( )( ) ( )( )( ) 0 ( )( ) wwwmatematicasjmmmcom

8 Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Análisis: Límites y continuidad de funciones 6 Límite de una función cuando Antes de estudiar estos ites conviene recordar algunos resultados de las operaciones relacionadas con el infinito ; ; [ ] es indeterminado ± k ; ± k ; ( k) ; ( k) ; ; ( ) ; / (± k) ±; ±k / (±) 0; (k) ; (k) 0; [ / ] es indeterminado En todos los casos k indica un número positivo fijo ( k, negativo); y cuando se escribe sin signo, se supone positivo Límite finito de una función cuando La función f ( ) tiende a cuando 8 Efectivamente, si 000, f(000),98; si 0000, f(0000),9995 Se escribe, 8 La definición precisa es la siguiente: f ( ) l ε > 0, k (grande) > k f ( ) l < ε (Para valores de > k la función no se sale de la franja marcada) Si la definición es análoga: f ( ) l ε > 0, k (grande y negativo) > k f ( ) l < ε Esta definición se lee así: ite de f () cuando tiende a es igual a l, equivale a decir que para todo número épsilon mayor que cero, eiste un k grande, tal que para todo mayor que k, se cumple que la diferencia entre f () y l, es menor que el número épsilon elegido Observación: Si f ( ) l se concluye que la recta y l es una asíntota horizontal de la curva y f () Ejemplo: Como se ha visto anteriormente, 8 horizontal de f ( ) 8 Por tanto, la recta y es una asíntota Límite infinito de una función cuando La función f ( ) toma valores cada vez más grandes cuando Efectivamente, si 00, f(00) 0,0; si 000, f(000) 00,00 Se escribe: wwwmatematicasjmmmcom

9 Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Análisis: Límites y continuidad de funciones 6 La definición precisa es la siguiente: f () p (grande), q (grande) > q f ( ) > p Esta definición se lee así: ite de f () cuando tiende a es igual a, equivale a decir que para todo número p (grande), eiste otro número q (también grande), tal que para todo mayor que q, se cumple que la diferencia entre f () es mayor que p elegido El resultado de estos ites muchas veces resulta inmediato, pues para calcularlos basta con sustituir y aplicar las operaciones con el infinito 7 a) ( 5 ) 5 b) ( 5) c) ( ln( 8) ) d) Límites de funciones racionales cuando Indeterminación P( ) Si P() y Q() son dos polinomios, al calcular se obtendría la epresión ± Q( ) indeterminada ; no obstante se resuelve muy fácilmente, pues su valor depende de los grados de P() y Q(): P( ) Si grado de P() > grado de Q(), ± ± Q( ) P( ) an Si grado de P() grado de Q(),, siendo a n y b n los coeficientes ± Q( ) bn principales de P() y Q(), respectivamente P( ) Si grado de P() < grado de Q(), 0 ± Q( ) Un procedimiento para justificar estos resultados consiste en dividir el numerador y el denominador de la función dada por la mayor potencia de presente en la epresión, como se hace el ejemplo b) siguiente Además, en todos los casos se tendrán en cuenta los signos a) c) 5 9 e) b) d) 0 f) wwwmatematicasjmmmcom

10 Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Análisis: Límites y continuidad de funciones wwwmatematicasjmmmcom 6 La indeterminación en funciones con raíces En las funciones con radicales, la indeterminación puede resolverse aplicando la comparación de grados, teniendo en cuenta que al aparecer raíces los eponentes pueden ser fraccionarios a) b) La indeterminación [ ] El número e El número e se define como el ite, cuando, de la función f ) ( Esto es: e Aplicando esta definición y las propiedades algebraicas de los ites, pueden darse otros resultados relaciones con el número e Por ejemplo: ) p p e ) e p p ) p e p En general, e A A A ) ( ) ( ) ( Como consecuencia de lo anterior, también puede definirse: ( ) e 0 Otra forma de resolver estos ites es aplicar la transformación: ( ) [ ] ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( g f g e f a) e b) ) ( ) ( e c) ) ( ) /( ) /( ) ( e d) e e e e

11 Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Análisis: Límites y continuidad de funciones 65 6 Comportamiento de otras funciones en el infinito El ite cuando de las funciones eponenciales, logarítmicas y trigonométricas se calcula como sigue Funciones eponenciales Además de de las propiedades usuales (de la potenciación) se emplea las dos siguientes: Si g ( ) f ( ) a, con a > 0, entonces: Si ( ) > 0 a g ( ) g ( ) g ( ) f, ( f ( ) ) ( f ( ) ) a a a g ( ) a En este conteto viene bien recordar la representación gráfica de las funciones eponenciales elementales a) e e c) e e 0 0 e) b) 0 d) e e 0 ± f) Funciones logarítmicas La propiedad particular que puede aplicarse aquí es: ( log a f ( ) ) log a ( f ( ) ) 0 0 a) log log log0 5 5 b) ln ln ln(0 ) Funciones trigonométricas En ningún caso eisten los ites en el infinito Esto es: ± ± sin, cos y no eisten, ya que dichas funciones son periódicas (repiten indefinidamente su comportamiento) Para funciones compuestas hay que determinarlo en cada caso tan ± sin a) 0, pues sin, mientras que el denominador tiende a ± b) cos no eiste Como 0 cos, f ( ) cos tomará valores entre 0 y ± c) Como se dijo en su momento, la función f ( ) tan tiene un comportamiento asintótico π cuando kπ, k Z, cumpliéndose que tan Por tanto, las rectas π π kπ son asíntotas verticales de la función kπ wwwmatematicasjmmmcom

12 Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Análisis: Límites y continuidad de funciones wwwmatematicasjmmmcom 66 7 La indeterminación de la forma [ ] Cuando se plantea la indeterminación [ ], tanto cuando a como cuando, el procedimiento general consiste en operar la epresión inicial hasta transformarla en otra epresión no indeterminada o en otra forma indeterminada del tipo 0 0 o Estas otras formas se resolverían por cualquiera de los métodos vistos anteriormente a) 9 es una forma indeterminada del tipo [ ] Para transformarla se opera la epresión dada: se hace la resta Así: ) )( ( ) )( ( b) 5 [ ] Para transformarla se opera como en el ejemplo anterior Así: 5 ( )( ) ( )( ) ( )( ) c) ( ) [ ] ( )( ) (dividiendo por ) 8 La indeterminación de la forma [0 ] Para terminar este apartado de ites se plantea la indeterminación [0 ] Para resolverla suele dar resultado operar la epresión inicial hasta transformarla en otra epresión no indeterminada o en otra forma indeterminada del tipo 0 0 o Ejemplo: 5 [ 0] Para transformarla basta con operar Así: [ ]

13 Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Análisis: Límites y continuidad de funciones 67 5 Aplicación del cálculo de ites a la determinación de las asíntotas de una función Las asíntotas de una curva son rectas hacia las cuales tiende a pegarse la gráfica de la función Pueden ser verticales, horizontales u oblicuas f() f() b f() f() a a Asíntotas verticales Asíntota horizontal Asíntota oblicua Los criterios para determinar las asíntotas de una curva son: La recta a es una asíntota vertical de la curva y f () si f () La recta y b es una asíntota horizontal de la curva y f () si f ( ) b a La recta y m n es una asíntota oblicua de la curva y f () si: f ( ) m, (m 0 y m ); ( f ( ) m) n, (n ) 5 Asíntotas en funciones racionales P( ) Un caso particularmente frecuente se da con las funciones racionales: f ( ) Q( ) Estas funciones: pueden tener asíntotas verticales en las raíces del denominador: en las soluciones de Q ( ) 0 ; y siempre que el ite en ese punto se haga infinito tienen asíntotas horizontales si el grado de P () es menor o igual que el grado de Q () tienen una asíntota oblicua siempre que el grado de P () grado Q () a) La función f ( ), que no está definida en los puntos y, tiene una asíntota vertical en, pero no en En efecto: es AV 0 0 ( ) 0 ( )( ) En no haya asíntota vertical También tiene una asíntota horizontal, la recta y, pues wwwmatematicasjmmmcom

14 Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Análisis: Límites y continuidad de funciones 68 b) La función f ( ) tiene dos asíntotas, una vertical (la recta ) y otra oblicua, la recta y m n, siendo: f ( ) m ; n ( f ( ) m) La asíntota es la recta y 5 Asíntotas en funciones eponenciales y logarítmicas Las funciones eponenciales suelen tener asíntotas horizontales En concreto, f ( ) e tiene una asíntota horizontal hacia, pues e e 0 La asíntota es el eje OX Igualmente, f ( ) e tiene una asíntota horizontal hacia, pues e e 0 Sus gráficas son las adjuntas Otros casos no son tan inmediatos, pero para determinar sus asíntotas suele dar resultado estudiar el comportamiento del eponente Ejemplo: La función ( ) f e, que no está definida en 0 tiene una asíntota vertical en ese punto, pues e 0 e e 0 También tiene una asíntota horizontal hacia ambos lados del, pues e e 0 e ± La asíntota es la recta y Las funciones logarítmicas suelen tener asíntotas verticales En concreto, f ( ) ln, que sólo está definida para valores de > 0, tiene a la recta 0, como asíntota vertical, pues ln (Su gráfica se hizo anteriormente) 0 Otros casos no son tan inmediatos, pero para determinar sus asíntotas suele dar resultado estudiar los puntos en los que la función dada se anula La función f ( ) ln( ), que está definida sólo para valores de >, tiene a la recta como asíntota vertical, pues ln ( ) wwwmatematicasjmmmcom

15 Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Análisis: Límites y continuidad de funciones 69 6 Continuidad de una función en un punto Una función es continua en un punto cuando el ite de la función en dicho punto es igual al valor de la función en él La definición es la siguiente: f () es continua en el punto a f ( ) f ( a) Esto implica que: ) La función f () está definida en el punto a Esto es, se sabe cuánto vale f (a) ) Eiste el ite en a: eiste f ( ) l a ) El valor del ite coincide con f (a) Esto es, f ( ) l f ( a) a a De las cuatro funciones siguientes, sólo la primera es continua en el punto a 6 Discontinuidad evitable Cuando una función no es continua de dice que es discontinua La causa más común de la discontinuidad está en que la función no esté definida en un punto Así, por ejemplo, la función f ( ) es discontinua en y en ( )( ) Hay casos en los que la discontinuidad es evitable Así sucede para las funciones dadas en las gráficas () y () de más arriba Una función f() tiene una discontinuidad evitable en el punto a cuando tiene ite en ese punto En el caso () la discontinuidad se evita definiendo f ( a) l En el caso () la discontinuidad de evita (imponiendo) redefiniendo f ( a) f ( ) En el caso () la discontinuidad no puede evitarse, pues la gráfica da un salto en el punto a (Se llama discontinuidad de salto finito) Ejemplo: La función f ( ) es discontinua en y en, pues en esos dos puntos no está definida Si se hace el ite en esos puntos, se tiene: ; ( )( ) En el primer caso, en, no eiste ite; por tanto, la discontinuidad no puede evitarse (Esta discontinuidad se llama de salto infinito) En cambio, en sí puede evitarse Se evita definiendo aparte f ( ) a wwwmatematicasjmmmcom

16 Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Análisis: Límites y continuidad de funciones 70 6 Continuidad lateral La función representada en la grafica () puede considerarse continua por la derecha del punto a En cambio, no es continua a su izquierda Una función f () es continua por la derecha en el punto a (en a ) si está definida (se sabe el valor de f (a) ) y el ite coincide con ese valor Esto es, cuando f ( ) f ( a) Una función f () es continua por la izquierda en el punto a (en a ) si está definida (se sabe el valor de f (a) ) y el ite coincide con ese valor Esto es, cuando f ( ) f ( a) a) La función f ( ) no es continua en, pues en ese punto no está definida En consecuencia, tampoco es continua por ninguno de los lados del punto b) La función f ( ) ENT[ ] es discontinua para todo Z, pues la función no tiene ite para ningún valor entero de No obstante, la función es continua por la derecha de todo Por ejemplo, por la derecha de, se cumple que ENT[ ] ENT[] a a En cambio, no es continua por la izquierda de cualquier entero Por ejemplo, para el mismo, por su izquierda se cumple que ENT[ ] ENT[] 6 Propiedades de las funciones continuas Aunque sea de manera escueta conviene indicar algunas propiedades relacionadas con las operaciones de las funciones Estas propiedades son: Si f () y g() con continuas en a, entonces: f ( ) ± g( ) es continua en a f ( ) g( ) es continua en a f ( ) es continua en a si f ( a) 0 f ( ) g( ) es continua en a cuando g ( a) 0 Las propiedades anteriores permiten concluir que la mayoría de las funciones usuales son continuas en todos los puntos de su dominio Así, sin ser ehaustivo puede afirmarse que: n ) Las funciones polinómicas, f ( ) a0 a a n, son continuas siempre, para todo número real Son funciones continuas: a) f ( ) Las funciones constantes se representan mediante una recta horizontal b) f ( ) La función polinómica de primer grado es una recta c) f ( ) La función polinómica de segundo grado es una parábola d) f ( ) 5 Todos los polinomios, de cualquier grado son funciones continuas wwwmatematicasjmmmcom

17 Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Análisis: Límites y continuidad de funciones 7 n a0 a an ) Las funciones racionales, f ( ), son continuas en todos los puntos m b b b m de su dominio; esto es, siempre que b b b m a) La función f ( ) es continua siempre, para todo número real, pues su denominador siempre es distinto de 0 b) La función f ( ) es continua para todo número real distinto de,, ( )( )( ) y Para esos tres valores se anula el denominador ) Las funciones con radicales, trigonométricas, logarítmicas y eponenciales son continuas en todos los puntos de su dominio a) La función f ( ) es continua para todo ; y para todo En el primer caso por la derecha; en el segundo, por la izquierda No está definida en el intervalo (, ) (El lector interesado podrá comprobar que esta función determina la hipérbola y ) b) La función f ( ) es continua sólo en el intervalo [, ], que es su dominio de definición Esta función determina la circunferencia y c) Las funciones seno y coseno son continua siempre La función f ( ), por ejemplo, no es continua en los puntos en los que no está definida, que cos π son kπ d) La función f ( ) log( ), que está definida siempre que [, ], es continua para todo (, ) (, ) e) La función ( ) f ( ) e es continua en todo R En cambio, f ( ) e no es continua en, ya que no está definida en ese punto ) Las funciones definidas a trozos serán continuas si cada función lo es en su intervalo de definición, y si lo son en los puntos de unión de los intervalos; para esto último es necesario que coincidan los ites laterales m Ejemplo: a) La función b) La función, si 0 f ( ) es continua en todo R 0 si > 0, si 0 f ( ) es discontinua en 0 si > 0 wwwmatematicasjmmmcom

18 Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Análisis: Límites y continuidad de funciones 7 7 Continuidad de una función en un intervalo y teoremas relacionados El concepto de continuidad en un punto puede etenderse a un intervalo finito o infinito, abierto o cerrado Esto permitirá aplicar algunos teoremas importantes propios de las funciones continuas Definición: Una función f es continua en un intervalo abierto (a, b) cuando es continua para todo punto c (a, b) Ejemplo: La función f ( ) cosec es continua en el intervalo (0, π) sen Observación: La función cosec es discontinua en todos los puntos que anulan a sen ; esto es, en kπ, k Z Definición: Una función f es continua en un intervalo cerrado [a, b] cuando es continua para todo punto c (a, b) y además es continua en a por la derecha y en b por la izquierda Ejemplo: La función f ( ) sen es continua en el intervalo [0, π] Observación: La función sen es continua en todo R 7 Proposición inicial Si f () es continua en a y f ( a) 0, entonces eiste un entorno del punto a, E ε (a), en el que la función conserva el signo Esto es, si f ( a) > 0, la función es positiva para todos los puntos de ese entorno; y si f ( a) < 0, la función es negativa en ese entorno La demostración de esta proposición es muy sencilla, pues, si f () es continua en a, se cumple que f ( ) f ( a) ε > 0, δ > 0, 0 < a < δ f ( ) f ( a) < ε a Pero f ( ) f ( a) < ε f ( a) ε < f ( ) < f ( a) ε Por tanto, si f ( a) > 0 bastaría con tomar ε < f (a) para asegurar que f ( ) > 0 siempre que E (a) (Y los mismo cuando f ( a) < 0) ε 7 Teorema de Bolzano (Checo, 78/88) Asegura que si una función continua en un intervalo cerrado toma signos distintos en sus etremos, entonces corta al eje en algún punto de ese intervalo Teorema: Si f () es una función continua en el intervalo cerrado [a, b] y toma valores de distinto signo en sus etremos ( f ( a) < 0 < f ( b) o f ( a) > 0 > f ( b) ), entonces eiste algún punto c (a, b) tal que f ( c) 0 Esto es, si la función es negativa en a ( f ( a) < 0 ) y positiva en b ( f ( b) > 0 ), entonces se anula en algún punto c entre a y b ( f ( c) 0 ) Geométricamente, esto significa que si f ( a) < 0 y f ( b) > 0, entonces la gráfica de f () corta al eje OX en un punto, al menos wwwmatematicasjmmmcom

19 Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Análisis: Límites y continuidad de funciones 7 Desde el punto de vista algebraico, este teorema asegura que si f ( a) < 0 y f ( b) > 0, entonces la ecuación f ( ) 0 tiene una solución entre a y b Esa solución será el punto c cuya eistencia afirma el teorema a) La función f ( ) es continua en todo R, y en particular en el intervalo [, ] Como f ( ) < 0 y f ( ) 8 6 > 0, puede asegurase que ésa función toma el valor 0 para algún número comprendido entre y Esto es, eiste un número c, mayor que y menor que, tal que f ( c) 0 Ese número c será una solución de la ecuación 0, pues cumple que c c 0 (Otra cosa es encontrar el valor eacto de esa solución, ya que salvo en casos concretos no podrá obtenerse; aunque, como se verá en las aplicaciones de estos teoremas siempre se puede hallar una buena aproimación) b) La función f ( ) cos corta al eje OX en el intervalo [0, ] pues: ) es continua en todo R, y en particular en el intervalo dado; ) f ( 0) 0 cos0 < 0 y f ( ) cos > 0, pues cos < Luego, la función verifica las hipótesis del teorema de Bolzano y, por tanto, eiste un punto c (0, ) tal que f ( c) 0 En ese punto la función f ( ) cos corta al eje OX 7 Teorema de Weierstrass (Alemán, 85/897) Asegura que toda función continua en un cerrado tiene un máimo y un mínimo (absolutos) en ese intervalo Teorema: Si f () es una función continua en el intervalo cerrado [a, b], entonces eiste un punto c [a, b] tal que f ( c) M f ( ), para todo perteneciente a [a, b] El significado geométrico de este teorema es que la gráfica de f alcanza el máimo en c y ese máimo vale M Análogamente, eiste un punto d [a, b] tal que f ( d) m f ( ) para todo [a, b]; que equivale a decir en d la función toma el valor mínimo a) La función f ( ) es continua en el intervalo [0, ] (y en todo R) Por tanto, eiste un punto de ese intervalo en el cual f ( ) alcanza su valor máimo; y otro punto en el que toma el valor mínimo En este caso, al tratarse de una parábola es fácil encontrar esos puntos El máimo lo toma en, y vale ; el mínimo, en y vale b) La función f ( ) cos( e ) es continua en el intervalo [, ] Por tanto, eiste un punto de ese intervalo en el cual esa función alcanza su valor máimo En este caso resulta más difícil encontrar dicho valor No obstante, se sabe que si e kπ, con k Z, la función vale : el máimo para el coseno; y cuando e ( k )π, la función vale, el mínimo para el coseno En el primer caso, para k se tiene: e π,8 máimo En el segundo caso, para k 0: e π, mínimo wwwmatematicasjmmmcom

20 Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Análisis: Límites y continuidad de funciones 7 7 Teorema de los valores intermedios (Darbou) (Francés, 8/97) Asegura que una función continua en un intervalo cerrado [a, b] toma todos los valores entre f( a ) y f( b ) Dice lo siguiente: Si f () es una función continua en [a, b] y f ( a) f ( b), entonces la función toma cada valor comprendido entre f (a) y f (b) Esto es, para cualquier número k comprendido entre f (a) y f (b), f ( a) < k < f ( b), eiste un c [a, b], tal que f ( c) k La demostración de esta consecuencia es fácil Basta con definir otra función g( ) f ( ) k y aplicarle el teorema de Bolzano En efecto: La función g( ) f ( ) k es continua en [a, b], por ser diferencia de dos funciones continuas en [a, b] Además, g ( a) > 0 y g ( b) < 0, pues g ( a) k f ( a) > 0 y g ( b) k f ( b) < 0 Luego, g () cumple las hipótesis del teorema de Bolzano En consecuencia, eiste algún punto c (a, b) tal que g ( c) 0 Pero esto significa que g ( c) k f ( c) 0 f ( c) k Observación Este resultado puede ampliarse un poco más, afirmando que Si f () es una función continua en [a, b], entonces la función toma cada valor comprendido entre el mínimo y el máimo de f () en ese intervalo Esto es, para cualquier número k comprendido entre m y M, m < k < M, eiste un c [a, b], tal que f ( c) k a) La función f ( ), es continua en el intervalo [0, ] En sus etremos toma los valores f ( 0) y f ( ) Por tanto, la función toma todos los valores entre y ; por ejemplo, el valor, 8 (Ese valor lo toma en la solución de la ecuación,8, que es,8,89 Es evidente que,89 [0, ]) b) Dada la función f ( ) 5 5 Puede afirmarse que esa función toma el valor en algún punto del intervalo [0, ]? Y el valor? Como la función es continua y en los etremos del intervalo toma los valores f ( 0) 5 y f ( ), se deduce que toma todos los valores entre y 5; en particular, el valor Esto es, eistirá algún punto c (0, ) tal que f ( ) (Véase la figura adjunta) Como no está entre y 5, no puede afirmarse que la función tome ese valor para algún punto del intervalo (0, ); pero tampoco puede afirmarse que no lo tome (De hecho hay dos valores que toman el valor ) c) Podría asegurarse que la función f( ) tan toma el valor 0 en el intervalo [π/, π/]? Esta función cumple que f ( π / ) y f ( π / ) ; y el valor 0 está entre y Sin embargo, como la función no es continua en el intervalo dado, no puede asegurase que tome el valor 0 wwwmatematicasjmmmcom

21 Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Análisis: Límites y continuidad de funciones 75 Problemas Propuestos Definición de ites Demuestra, aplicando la definición, que ( ) Demuestra, aplicando la definición, que 8 Cálculo de ites por métodos algebraicos Resuelve los siguientes ites: a) 8 5 b) 8 c) 0 5 Halla, en función de los valores de p, los siguientes ites: p 8 a) b) p 5 Calcula los siguientes ites: a) 0 b) 0 c) ( ) 6 Calcula: 0 a) b) 5 c) 7 Calcula el valor de los siguientes ites: a) 5 b) c) A partir de la definición del número e, e, utilizando las propiedades de los ites, demuestra que a) p p p e b) e, p 0 c) p p e p 9 Aplicando los resultados anteriores calcula: a) b) c) wwwmatematicasjmmmcom

22 Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Análisis: Límites y continuidad de funciones 76 0 Teniendo en cuenta que, e y la propiedad: Si f ( ) > 0, A( ) A( ) a g ( ) ( ) ( ) g ( ) f ( ) f ( ) a, demuestra que si se cumple que ( f ( ) ) ( g() ) a A( ) g ( ), entonces, la indeterminación ( f ( ) ) [ ] g ( ) aplicando la transformación: ( f ( ) ) [ ] e ( f ( ) ) g ( ) y, puede resolverse Aplicando la transformación anterior, halla el valor de los siguientes ites: a) b) c) a Halla el valor de a para que 5 Calcula: a) log b) log c) log d) ln e Calcula: a) sin π b) cos π c) tan 5 Calcula: a) sin sin b) c) π / tan d) tan 6 Halla el valor de los siguientes ites: a) /( ) b) 7 Halla el valor de los siguientes ites: a) 9 /( ) b) 8 Calcula los siguientes ites: a) 5 6 ( ) b) 9 c) wwwmatematicasjmmmcom

23 Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Análisis: Límites y continuidad de funciones 77 9 Calcula los ites: a) b) ( ) c) ( 5 ) Asíntotas de una función 0 Halla las asíntotas de la función de sus asíntotas f ( ) Indica la posición de la curva respecto Dada la función f ( ) de la curva respecto a ellas ( ) Halla las asíntotas de la función f ( ) Sea f ( ) Halla su dominio y sus asíntotas, halla con detalle sus asíntotas; e indica la posición Eiste algún valor de p para el que la función asíntota vertical? p f ( ) tenga solamente una 6 Comprueba que la función f ( ) sin no tiene asíntotas 7 Halla las asíntotas de las siguientes funciones: a) f ( ) e b) f ( ) e c) f ( ) e d) f ( ) e 8 Halla las asíntotas de las siguientes funciones: a) f ( ) log( ) b) f ( ) log c) f ( ) log( ) d) f ( ) log Continuidad 9 Indica los puntos de discontinuidad de cada una de las siguientes funciones Justifica la respuesta en cada caso a) f ( ) 8 b) f ( ) c) f ( ) d) f ( ) e) f ( ) 8 f) f ( ) g) f ( ) h) f ( ) i) f ( ) e j) f ) e m) f ( ) tan n) ( k) ( ) log( 5 6) ( ) sin f o) ( ) f l) f ( ) log sin f ( ) cos p) f ( ) cos wwwmatematicasjmmmcom

24 Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Análisis: Límites y continuidad de funciones 78 0 Indica los puntos de discontinuidad de cada una de las siguientes funciones Justifica la respuesta en cada caso, si, si cos, si 0 a) f ( ) b) f ( ) c) f ( ), si >, si >, si > 0, si 0 e, si, si d) f ( ) e) f ( ) f) f ( ), si > sin, si > 0 ( ) ln si > 5 8 Estudia la continuidad de función f ( ) Si tuviese alguna discontinuidad 6 evitable cómo podría evitarse? Determina el tipo de discontinuidades que presenta la función f ( ) 7 8 Dependiendo de los valores de p, tiene la función f ( ) alguna p discontinuidad? Si la tuviese, podría evitarse en algún caso? k La función f ( ) es discontinua en los puntos y Podría evitarse alguna discontinuidad para algún valor de k? 5 Para qué valores de a es continua en la función, si f ( )? a, si > 6 Determina los valores de a y b que hacen que la función sea continua en todo R 7 Determina la continuidad de las funciones: a) f ( ) b) f ( ) f ( ) sin cos e a b < π π < 0 0 Teorema de Bolzano 8 Enuncia el teorema de Bolzano Aplicando dicho teorema comprueba que la función f ( ) 5 corta al eje OX en el intervalo [, ] 9 Comprueba que la ecuación e 0 tiene una raíz en el intervalo [, ] Calcula un valor de esa raíz con una aproimación del orden de las centésimas wwwmatematicasjmmmcom

25 Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Análisis: Límites y continuidad de funciones 79 0 Comprueba que el polinomio P ( ) 0, tiene dos raíces negativas y otra positiva Da una solución aproimada de la raíz positiva Determina los valores que puede toma p para que la función f ( ) p corte al eje de abscisas como se indica: a) Una vez en el intervalo [, 0] b) Una vez en el intervalo [0, ] c) Dos veces en el intervalo [, ] Halla el valor de p para que la función f ( ) p tome con seguridad el valor en algún punto del intervalo [, ]: Para qué valores del parámetro a puede asegurarse que la función f ( ) a corta dos veces al eje OX, en el intervalo [, ]? Puede aplicarse el teorema de Bolzano a la función f ( ) en el intervalo [0, π]? cos 5 Puede aplicarse el teorema de Bolzano a la función f ( ) sin cos en el intervalo [0, π]? Encuentra, si eiste, un punto de [0, π] en el cual se anule esta función 6 Aplicando el teorema de Bolzano halla un intervalo en el que las siguientes funciones corten al eje de abscisas: a) ( ) f 6 b) g ( ) c) h( ) e 7 Por qué no se puede aplicar el teorema de Bolzano, en el intervalo [, ], a las siguientes funciones? a) f ( ) b) h( ) c) g( ) d) i( ) tan e sin 8 Comprueba que la ecuación sin cos tiene alguna solución real en el intervalo [ π, π] 9 Demuestra que la función f ( ) e cos corta infinitas veces al eje OX Da dos intervalos distintos en los que pueda asegurarse que la gráfica de f corta al eje OX 50 Demuestra que la función f ( ) e sin corta al eje OX en algún punto del intervalo (π/, π) wwwmatematicasjmmmcom

26 Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Análisis: Límites y continuidad de funciones 80 Soluciones a) /5 b) c) 0 a) Si p el ite será infinito; si p, vale b) Si p el ite valdrá 0; si p, vale 5 a) / b) 8 c) 0 6 a) 0 b) /5 c) 7 a) / b) / c) / / 9 a) e b) e c) e a) e b) e c) e a ln a) b) 5 log c) d) a) 0 b) 0 c) 5 a) ± b) 0 c) π/ d) no eiste 6 a) No eiste: 0; b) c) / 7 a) b) No eiste: 0; 8 a) b) / c) 9 a) b) 5/ c) 5/ 0 ; y ; ; y 0 0; y 0 0; y 5 p ±; p ± 7 a) y 0 b) ; y c) No tiene d) y 0; y 8 a) b) 0 c) ; d) ; y 0 9 b) c) { 8, 8} e) < h) [0, ] j) 0 k) 6/5 m) π π k n) 0 a) d) 0 e) f) Discontinua en o En, f ( ) Evitable en, f ( ) No evitable en 8 9 Si p > o p <, la función tiene dos discontinuidades; si p ±, tiene una discontinuidad No pueden evitarse Si k, puede evitarse en Si k, puede evitarse en 5 a 6 b ; a 7 Continuas siempre 8 Corta dos veces al eje OX entre y 9,5 0 0, a) p > 5 b) p > c) p > 5 p a > No 5 π/ 6 a) [0, ] o [, ] b) [0, ] o [, ] c) [0, ] o [, 5] 7 Ninguna de las funciones es continua en el intervalo [, ] 9 Al menos una vez en cada intervalo [ ( k ) π, kπ] con k entero positivo 50 La función se anula en algún entre π/ y π Ese será el punto de corte wwwmatematicasjmmmcom

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