REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES

Transcripción

1 REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES

2 Tema 4: Representación de funciones Índice:. Información obtenida de la función... Dominio de la función.. Simetrías..3. Periodicidad.4. Puntos de corte con los ejes..5. Ramas infinitas.. Información obtenida de las derivadas sucesivas... Etremos relativos.. Intervalos de crecimiento y decrecimiento..3. Conveidad y concavidad.

3 . INFORMACIÓN OBTENIDA DE LA FUNCIÓN... Dominio de la función. Sabemos que el dominio de una función es el conjunto de valores de la variable independiente para los que está definida la función. Se representa como Dom(f). El dominio de una función puede venir dado por su propia definición o por sus propiedades matemáticas. En el segundo caso podemos resumir el dominio de las funciones más elementales: Tipo de función f()= Dominio Polinómicas n an a + a R 0 Racionales P ( ) R - { /Q() = 0} Q( ) Radicales g () R - { /g() < 0} Logarítmica log( g ( )) R - { /g() 0} Eponencial g ( ) e Dom(f)=Dom(g) Ejemplo: Halla el dominio de = f() está definida cuando 0 ; ( ) 0 (,0] [ + ) Dom ( f ) =, Ejemplo: Halla el dominio de = L( ) f() está definida cuando > 0 ; ( + )( ) > 0 (, ) ( + ) Dom ( f ) =, Ejemplo: Halla el dominio de la función = arcsen( 5 + ) { / 5 + } Dom ( f ) = 5 + ; 5 + ; Dom( f ) =, Simetrías. Debemos recordar que una función es par si f()=f(-). También se dice que f() es simétrica respecto al eje OY.

4 Ejemplo: f 3 + ) = es par ya que f(-)=f() 4 ( 5 Decimos que una función es impar si f(-)=-f(). También se dice que es simétrica respecto al origen. Ejemplo: Comprobar que = es una función impar..3. Periodicidad. Una función f() es periódica con periodo T si = f ( + kt ) con k Ν. Las funciones periódicas que conocemos hasta el momento son las funciones trigonométricas. Debemos saber que: Si f() es periódica con periodo T, también es periódica f(m+n) y su periodo es m T + π Ejemplo: y = sen La función y = sen tiene periodo π 4 + π π y = sen = sen + En este caso T m π = = 8π 4 m =, entonces el periodo será 4 Si f() y g() son periódicas, entonces periódicas. ± g( ), g( ) y son g( ) Ejemplo: y = sen + sen tiene periodo π.4. Puntos de corte con los ejes. Para obtener los puntos de corte con los ejes de la función y = f () : a) Con el eje OX: Hacemos = 0 b) Con el eje OY: Hacemos =0 en y=f(). y y resolvemos la ecuación ( ) f = 0 Ejemplo: Calcula los puntos de corte con los ejes de la función = e Con el eje OX:, e = 0 ; = 0 el punto de corte es ( 0,0) Con el eje OY: ( 0) = 0 = 0 0 e f, el punto de corte es ( 0,0) 3

5 .5. Ramas infinitas. a) Ramas infinitas en el infinito: En este apartado podemos encontrar las asíntotas horizontales y las oblicuas. Una recta r es una asíntota de la función y=f() si sus gráficas se aproiman en el infinito Asíntotas horizontales. Estudiamos el comportamiento cuando ± de las funciones: a) = b) + = c) + 3 = + = ± + = 0 ± + 3 X = + = + + La recta y=k es una asíntota horizontal de la función f() si eiste alguno de los siguientes límites = k = k + Por tanto para calcular las asíntotas horizontales de una función, hallamos f () y f () + Una función f() tiene como máimo dos asíntotas horizontales. La gráfica de una función puede cortar a una asíntota horizontal, aunque no es así en la mayoría de las funciones elementales. Asíntotas oblicuas. Dada la función = La recta y= es una asíntota oblicua de la función y=f() 4

6 La recta y=m+n es una asíntota oblicua de la función y=f() si eiste alguno de los límites siguientes: + [ m n] = 0 [ m n] = 0 Si la recta y=m+n es una asíntota oblicua, se puede demostrar que siendo m un número real distinto de cero m =, ± Cuando eiste asíntota oblicua para calcular su ordenada en el origen, calculamos el límite: n = ± [ m] Si una función tiene asíntota oblicua en recíprocamente. ±, no puede tener asíntotas horizontales y La gráfica de una función si puede cortar a una asíntota oblicua. Ejemplos: a) b) + = tiene una asíntota oblicua en y = en ± 3 = tiene una asíntota oblicua en y = en ± c) = tiene una asíntota oblicua en y = en + ; y = en Ramas parabólicas Si = ± + ramas parabólicas: y no hay asíntota oblicua, entonces puede haber alguna de las siguientes Se procede de la misma forma cuando 5

7 b) Ramas infinitas en un punto En este apartado tenemos las asíntotas verticales. Observa las siguientes funciones: = = = 9 La recta =a es una asíntota vertical de la función y=f() si eiste alguno de los siguientes límites: f () = ± a a + f () = ± a = ± Las asíntotas verticales, si eisten, se localizan en los valores finitos de la variable en cuyo entorno la variable y tiende a ±. En el caso de funciones racionales, se trata de aquellos valores de que anulan el denominador sin anular el numerador. Una función puede tener infinitas asíntotas verticales, por ejemplo la función y=tag. Ejemplo: Estudiar las ramas infinitas de = Como en = se anula el denominador, la recta = puede ser una asíntota vertical: = = + + Para las asíntotas horizontales: = + = + = = La recta y=- es una asíntota horizontal de f(). Para estudiar si se aproima por arriba o por debajo: 6

8 ( ) = + = + cuando cuando +. INFORMACIÓN OBTENIDA DE LAS DERIVADAS SUCESIVAS... Etremos relativos. Recordamos del tema anterior que para encontrar los etremos relativos: a) Calculamos los puntos críticos, es decir, aquellos en los que f ( ) = 0. b) Se sustituyen los puntos críticos en la derivada segunda Si f ( 0 ) > 0 ; f() tiene un mínimo en 0 Si f ( 0 ) < 0 ; f() tiene un máimo en 0.. Intervalos de crecimiento y decrecimiento. a) Calculamos f (). b) Hallamos los puntos críticos, f ( ) = 0 c) Colocamos los puntos críticos,,... y los puntos que no pertenecen al dominio de f() en una recta, y estudiamos el signo de f () en cada intervalo Si f ( ) > 0 ; f() es creciente Si f ( ) < 0 ; f() es decreciente.3. Conveidad y concavidad. a) Calculamos la segunda derivada. b) Hallamos los puntos en los que se anula la segunda derivada. c) Representamos estos puntos, junto con los que no pertenecen al dominio de f() sobre una recta, y estudiamos el signo de la derivada segunda en cada intervalo. 7

9 Si f ( ) > 0 ; f() es cóncava Si f ( ) < 0 ; f() es convea Los puntos en los que f ( ) = 0 y f ( ) 0 son puntos de infleión. 8