TEMA 1: Cálculo Diferencial de una variable

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1 TEMA 1: Cálculo Diferencial de una variable Cálculo para los Grados en Ingeniería EPIG - UNIOVI Curso

2 Los números Naturales I Los números Naturales N = f1, 2, 3, g I Principio de inducción Supongamos que n es un elemento perteneciente al conjunto de los números naturales N = f1, 2, 3, g y que P es una propiedad que puede veri car o no n. Si se cumple que i) se veri ca P(1) ii) si se veri ca P(n) entonces se veri ca P(n + 1) entonces todo número natural veri ca la propiedad P.

3 Conjuntos Numéricos I Los números Enteros I Los números Racionales Q m n Z = f, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, g en donde m y n son números enteros, siendo n 6= 0 I Los números Reales R

4 Valor absoluto de un número real I De nición jj = I Propiedades del valor absoluto si > 0 si < 0 1) jj 0; jj = 0 () = 0 2) jj y () y y 3) j + yj jj + jyj 4) j yj jjj jyjj 5) j yj = jj jyj 6) j y j = jj jyj si y 6= 0

5 Topología I Intervalos en R Intervalo abierto Intervalo cerrado Intervalo semiabierto Intervalo semiabierto (a, b) = f 2 R/a < < bg [a, b] = f 2 R/a bg (a, b] = f 2 R/a < bg [a, b) = f 2 R/a < bg I Entorno en R Dado un número real, se llama entorno de a todo intervalo abierto de la forma U() = ( r, + r), con r > 0. I Conjunto abierto I Conjunto cerrado I Punto interior, punto eterior y punto frontera I Punto adherente y punto de acumulación

6 De niciones básicas I Función real de variable real Una función f : A! R es una aplicación de un subconjunto A R en R, es decir a cada 2 A le corresponde un valor f () 2 R. I Dominio e imagen Sea f una función real de variable real. El dominio f, que se representa Dom f, es el conjunto de números reales para los cuales está de nida f (). Si Dom f = A, representaremos la función de la forma f : A! R La imagen de f, denotada por Im f, es el conjunto de valores de la función y = f ().

7 De niciones básicas I Función creciente y decreciente Sea f : A! R una función real de variable real, y B A. i) f es creciente en B si 8 1, 2 2 B con 1 < 2 es f ( 1 ) f ( 2 ). (Si f ( 1 ) < f ( 2 ), f es estrictamente creciente). ii) f es decreciente si 8 1, 2 2 B con 1 < 2 es f ( 1 ) f ( 2 ). (Si f ( 1 ) > f ( 2 ), f es estrictamente decreciente). I Función acotada Una función real de variable real f : A! R es acotada superiormente si eiste K 2 R tal que f () K para todo 2 A. De manera análoga se de nen las funciones acotadas inferiormente. Una función f es acotada si lo es superior e inferiormente, o lo que es equivalente, si eiste K 2 R tal que jf ()j K para todo 2 A.

8 De niciones básicas I Función par e impar Sea f una función de nida en un dominio A R tal que si 2 A. i) f es par si f ( ) = f (), 8 2 A. ii) f es impar si f ( ) = f (), 8 2 A. 2 A y y= 2 y y= 3 f( ) 0 f () f( ) 0 f () La grá ca de una función par es simétrica respecto del eje OY. La grá ca de una función impar es simétrica respecto al origen de coordenadas.

9 De niciones básicas I Función periódica Una función f es periódica si eiste h 2 R, h > 0, tal que f () = f ( + h), 8 2 Dom f El periodo T de una función f es el mínimo valor h con la propiedad anterior. f () T 0

10 De niciones básicas I Etremos Relativos y Absolutos Sea f una función de nida en dominio A 2 R. a) f tiene un máimo relativo en 0 2 A si eiste δ > 0 tal que f () f ( 0 ) para todo 2 ( 0 δ, 0 + δ) \ A. b) f tiene un mínimo relativo en 0 2 A si eiste δ > 0 tal que f () f ( 0 ) para todo 2 ( 0 δ, 0 + δ) \ A. c) f tiene un máimo absoluto en 0 2 A si f () f ( 0 ) para todo 2 A. d) f tiene un mínimo absoluto en 0 2 A si f () f ( 0 ) para todo 2 A.

11 De niciones básicas I Composición de funciones Dadas dos funciones f : A! R y g : B! R de modo que f (A) B, se de ne la función compuesta g f : A! R de la forma g f () = g [f ()], 8 2 A I Función inversa Si f es una función inyectiva entonces eiste una única función g de nida sobre la imagen de f, es decir g : Im f! R, que veri ca g(f ()) = para todo 2 Dom f. Esta función se denomina inversa de f y se denota por g = f 1.

12 De niciones básicas I Función inversa Las grá cas de una función y su inversa son simétricas respecto a la bisectriz del primer cuadrante. y y y=f () f y f 1 a 0 b 0 Función inyectiva. Grá cas de funciones inversas.

13 Funciones trigonométricas y sus inversas y π/2 y π π/2 π/2 π π/2 () a () b (a) y = sen. (b) y = arcsen.

14 Funciones trigonométricas y sus inversas y y π π/2 π/2 π 2π 1 1 () a () b (a) y = cos. (b) y = arccos.

15 Funciones trigonométricas y sus inversas y π/2 y π/2 π/2 π/2 () a () b (a) y = tg. (b) y = arctg.

16 Relaciones trigonométricas básicas a) sen 2 + cos 2 = 1 a ) 1 + tg 2 = sec 2 b) sen( y) = sen cos y cos sen y b ) sen 2 = 2 sen cos c) cos( y) = cos cos y sen sen y c ) cos 2 = cos 2 sen 2 tg + tg y d) tg( y) = d ) tg 2 = 2 tg 1 tg tg y 1 tg 2 e) sen + sen y = 2 sen +y 2 cos y 2 f) sen sen y = 2 cos +y 2 sen y 2 g) cos + cos y = 2 cos +y 2 cos y 2 h) cos cos y = 2 sen +y 2 sen y 2 i) sen 2 1 cos 2 = 2 j) cos cos 2 = 2

17 Funciones hiperbólicas y sh = e e 2 ch = e + e 2 y y = sh. y = ch.

18 Funciones hiperbólicas e th = sh ch = e e + e coth = 1 th ; sech = 1 ch ; cosech = 1 sh y y = th.

19 Relaciones hiperbólicas a) ch 2 sh 2 = 1 a ) 1 th 2 = sech 2 b) sh ( y) = sh ch y ch sh y b ) sh 2 = 2 sh ch c) ch ( y) = ch ch y sh sh y c ) ch 2 = ch 2 + sh 2 th + th y d) th( y) = d ) th 2 = 2 th 1 th th y 1 + th 2 e) sh 2 ch 2 1 = 2 f) ch 2 ch = 2

20 De nición de límite I De nición de límite según Cauchy Sea f () : A! R y a un punto de acumulación de A. lim!a f () = l si 8ε > 0, 9δ(ε) > 0 / 8 2 A, 0 < j aj < δ =) jf () lj < ε l+ε l l ε y y=f () 0 δ a δ δ a+δ

21 No eistencia de Límite I Ejemplo: lim!0 sen 1 y y = sen 1.

22 Propiedades de los límites I Propiedades de los límites de funciones Si eisten los límites lim!a u() y lim!a v() se veri ca: i) lim!a [u() v()] = lim!a u() lim!a v() ii) lim!a [u().v()] = lim!a u(). lim!a v() iii) lim!a u( ) v ( ) = lim u( )!a lim v ( ) ;!a (si lim v() 6= 0)!a

23 Límites de uso frecuente (1) lim!0 sen = 1 (2) lim! (1 + 1 ) = lim α!0 (1 + α) 1/α = e = 2, log (3) lim a (1 + ) = log!0 a e a>0 a6=1 ln(1 + ) ) lim = 1!0 a (4) 1 e lim = ln a, (a > 0) ) 1 lim = 1!0!0

24 Límites laterales I Límites laterales Límite por la derecha de f () cuando! a l = f (a + ) = lim ()!a +f + fa ( ) y y=f() Límite por la izquierda de f () cuando! a fa ( ) l = f (a ) = lim!a f () 0 a I Límites laterales y eistencia de límite lim!a f () = lim () = lim!a +f f ()!a

25 In nitésimos I In nitésimos Se dice que f () es un in nitésimo cuando! a si lim!a f () = 0 I Propiedades de los In nitésimos i) La suma y el producto de un número nito de in nitésimos cuando! a es un nuevo in nitésimo cuando! a. ii) El producto de un in nitésimo cuando! a por una función acotada cuando! a, es un nuevo in nitésimo cuando! a.

26 In nitésimos I Comparación de In nitésimos Sean f () y g() dos in nitésimos cuando! a. Si 8 0 f es de orden superior a g, y se denota f = o(g) f () >< lim!a g() = f es de orden inferior a g, y se denota g = o(f ) l f y g son del mismo orden (l 2 R f0, 1g) >: 1 f y g son equivalentes y se denota por f () s g() I Orden de un In nitésimo Sean f () y g() dos in nitésimos cuando! a. Si f () lim!a [g()] n = l con 0 < jlj < se dice que la función f es un in nitésimo de orden n respecto de g().

27 In nitésimos I Principio de Sustitución Si en una función sustituimos un factor o un divisor in nitésimo por otro equivalente, el valor del límite de la función no varía. Es decir si f () y g() son in nitésimos cuando! a y si α() v f () y β() v g(), entonces f () lim!a g() α() = lim!a β() lim f ().g() = lim α().β()!a!a

28 In nitésimos Equivalentes sen f () f () tg f () arc sen f () f () arc tg f () 1 cos f () f ()2 2 log a (1 + f ()) log a e.f () ln (1 + f ()) f () a f ( ) e f ( ) 1 ln a.f () 1 f () (1 + f ()) p 1 pf (); p 2 R

29 In nitos I In nitos Se dice que la función f () es un in nito cuando! a si lim!a f () = I Comparación de in nitos Sean f () y g() dos in nitos cuando! a. Se tienen los siguientes casos según el valor del límite del cociente 8 f es de orden superior a g, y se denota f = O(g) f () >< lim!a g() = 0 f es de orden inferior a g, y se denota g = O(f ) l f y g son del mismo orden (l 2 R f0, 1g) >: 1 f y g son equivalentes y se escribe f () s g()

30 In nitos a n n + a n 1 n a 0 a n n ln a n n + a n 1 n a 0 ln n, (a n > 0) In nitos equivalentes. log a k a b Jerarquía de in nitos.

31 Casos de indeterminación

32 Resolución de Indeterminaciones I a) Límites de la forma: 0 f () g() = f () 1/g() = g() 1/f () I b) Límites de la forma: f () g() = f () 1 g() f () I c) Límites de la forma 1, 0 y 0 0 L = e lim g ( ) ln f ( )!a = e lim!a g ( )(f ( ) 1)

33 Asíntotas I Asíntotas (a) La recta = a es asíntota vertical de la función f () si al menos uno de los límites laterales de f en a es + ó + + lim () =!a +f ó lim f () =!a (b) La recta y = b es asíntota horizontal de la función f () si lim f () = b ó!+ lim f () = b! y y y=b 0 y=f () =a y=f () 0 ( a ) ( b)

34 Asíntotas I Asíntotas (c) La recta y = m + n, (m 6= 0) es asíntota oblicua de la función f () si lim [f () (m + n)] = 0 ó lim [f () (m + n)] = 0!+! Cálculo: m] m = f () lim!+ ; n = lim [f ()!+ ó m = lim! f () ; n = lim y=m+n [f () m]! 0 y y=f () () c

35 Continuidad. De niciones I Continuidad en un punto Se dice que una función f () es continua en el punto a si lim!a f () = f (a). De este modo la función f () es continua en a si y sólo si lim () = lim!a +f!a f () = f (a) fa ( ) y y=f() 0 a

36 Continuidad. De niciones I Puntos de Discontinuidad de 1 a Especie El punto a se dice punto de discontinuidad de 1 a especie de la función f () si eisten los límites por la derecha y por la izquierda y son nitos. Si Si lim f () = lim () 6= f (a)!a!a +f lim f () 6= lim ()!a!a +f + fa ( )= fa ( ) y y=f() fa ( ) la discontinuidad es evitable la discontinuidad es no evitable y y=f() fa ( ) 0 a fa ( ) + fa ( ) 0 1 a especie evitable. 1 a especie no evitable. a

37 Continuidad. De niciones I Puntos de Discontinuidad de 2 a Especie Si al menos uno de los límites f (a + ) o f (a ) no eiste o es in nito, entonces a es un punto de discontinuidad de 2 a especie de f (). fa ( ) y y=f() fa () 0 a 2 a especie.

38 Continuidad de las funciones elementales - Funciones polinómicas. - Funciones racionales. - Funciones irracionales. - Función eponencial. - Función logarítmica. - Funciones trigonométricas y sus inversas. - Funciones hiperbólicas y sus inversas.

39 Propiedades de las funciones continuas I Operaciones con funciones continuas. Continuidad de la funcion compuesta i) Si f () y g() son continuas en a, tambien son continuas en a f () f () g(); f ().g(); (g(a) 6= 0) g() ii) Si la función u = ϕ() es continua en = a e y = f (u) es continua en u a = ϕ(a) entonces la función compuesta y = f [ϕ()] es continua en el punto = a. I Continuidad de la función inversa Si la función y = f () está de nida, es estrictamente monótona creciente (decreciente) y continua en el intervalo [a, b], con f (a) = c, y f (b) = d, entonces eiste una función inversa = ϕ(y) de nida, estrictamente monótona creciente (decreciente) y también continua en el intervalo [c, d] ([d, c]).

40 Propiedades de funciones continuas en un intervalo cerrado I Acotación Si f () es continua en [a, b] entonces f () está acotada en [a, b] I Teorema de Weierstrass Si f () es continua en [a, b] entonces f () alcanza el máimo y el mínimo en [a, b]. y M y=f() m a b Teorema de Weierstrass.

41 Propiedades de funciones continuas en un intervalo cerrado I Teorema de Darbou de los Valores intermedios Si f () es continua en [a, b] y si m = min f () y M = a b ma f (), entonces f () toma todos los valores comprendidos a b entre m y M. y M y=f() A m a 0 0 b Teorema de valores intermedios.

42 Propiedades de funciones continuas en un intervalo cerrado I Teorema de Bolzano Si f () es continua en [a, b] y toma valores de signo contrario en los etremos del intervalo, entonces eiste al menos una raíz de f () en (a, b), es decir si f (a).f (b) < 0, 9c 2 (a, b) tal que f (c) = 0 y y=f() a 0 c b Teorema de Bolzano.

43 Derivada. De niciones I Derivada en un punto Dada una función y = f () : A! R, y un punto a 2 Å, se dice que f es derivable en a si eiste y es nito, el límite f 0 y (a) = lim!0 ; f 0 (a) = lim h!0 f (a + h) f (a) h Al límite se le denomina derivada de f en el punto a. y f( a+h) fa () y=f () 0 a a+h Interpretación geométrica de la derivada.

44 Derivada. De niciones I Derivadas laterales Sea f () : A! R. Si f está de nida en un intervalo a la derecha de a de la forma [a, a + ε), si eiste el límite f+(a) 0 f (a + h) f (a) = lim h!0 + h se le denomina derivada por la derecha de f en a. Si f está de nida en un intervalo a la izquierda de a de la forma (a ε, a], si eiste el límite f 0 (a) = lim h!0 f (a + h) h f (a) se le denomina derivada por la izquierda de f en a. I Se cumple que: f 0 (a) = f 0 +(a) = f 0 (a)

45 Derivada. De niciones I Recta tangente Si la función f () : A! R tiene derivada en el punto a 2 Å, eiste una y sólo una recta tangente a la curva dada por f en dicho punto, que tiene por ecuación y = f (a) + f 0 (a)( a) y y=f() y y=f () 0 f f +( a) ( a) a 0 a Punto anguloso. Tangente vertical.

46 Derivada. Propiedades I Continuidad y derivabilidad Si una función f es derivable en un punto a, entonces es continua en a. I Continuidad de la derivada y derivabilidad Sea f () una función continua en a, tal que eiste f 0 () para todo punto de un entorno reducido de a. i) Si lim f 0 () = lim f 0 () entonces eiste f 0 (a) y se cumple!a +!a f 0 (a) = lim!a f 0 () ii) Si lim f 0 () 6= lim!a +!a f 0 () f 0 (a).

47 Derivada. Propiedades I Función derivable en un conjunto Si la función f tiene derivada en cada punto de un intervalo abierto A = (a, b) se dice que es derivable en dicho intervalo A. Y para este tipo de funciones de nimos el siguiente concepto. I Función Derivada Sea f una función derivable en un conjunto A. La función que en cada punto 2 A toma el valor f 0 () se denomina función derivada de f y se denota por f 0 A! R! f 0 f ( + ) () = lim!0 f ()

48 Diferencial. De nición I Diferencial Sea f una función derivable. Se de ne la diferencial de f como dy = f 0 () y f( + ) y=f () f () 0 tg P α N M + dy y

49 Derivadas de funciones elementales y = k y 0 = 0 y = a y 0 = a ln a y = n y 0 = n n 1 y = e y 0 = e y = p y 0 = 1 2 p y = log a y 0 = 1 log a e y = 1 y 0 = 1 2 y = ln y 0 = 1 y = sen y 0 = cos y = arcsen y 0 1 = p 1 2 y = cos y 0 = sen y = arccos y 0 = 1 p 1 2 y = tg y 0 = 1 cos 2 y = arctg y 0 =

50 Derivadas de funciones elementales y = sh y 0 = ch y = argsh y 0 = y = ch y 0 = sh y = argch y 0 = 1 p p 2 1 y = th y 0 = 1 ch 2 y = argth y 0 = 1 1 2

51 Propiedades fundamentales de la derivada Regla de linealidad y = af bg y 0 = af 0 bg 0 Regla del producto y = f g y 0 = f 0 g + fg 0 Regla del cociente y = f g y 0 = f 0 g fg 0 g 2 I Derivada de la función compuesta. Regla de la cadena Si u = h() es una función derivable en a, e y = g(u) es una función derivable en h(a) entonces la función compuesta y = g h, esto es y = f () = g[h()] es derivable en a y se veri ca y 0 = y 0 u u 0

52 Propiedades fundamentales de la derivada I Derivada de la función inversa Sea f : A! R inyectiva y derivable en a, con f 0 (a) 6= 0 y sea f 1 : f (A)! A su inversa. Entonces f 1 es derivable en f (a) y se cumple que (f 1 ) 0 (f (a)) = 1/f 0 (a) I Derivada de una función epresada en forma paramétrica Sea una función y() dada, en un entorno de 0, por las ecuaciones = (t) y = y(t) con (t 0 ) = 0. Si es derivable en t 0, con 0 (t 0 ) 6= 0, e y es derivable en 0 se veri ca que y 0 ( 0 ) = y 0 (t 0 )/ 0 (t 0 )

53 Condición necesaria de Etremo Relativo I Condición necesaria de etremo Sea f derivable en c 2 (a, b). Si c es un etremo relativo de f entonces f 0 (c) = 0. I Punto crítico Se dice que c es un punto crítico de f si se cumple f 0 (c) = 0 o 0 (c). y y=f () M a c 1 0 m c 2 c 3 c 4 b Etremos relativos.

54 Propiedades de las funciones derivables I Teorema de Rolle Sea f () una función continua en el intervalo cerrado [a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b). Si f (a) = f (b), eiste al menos un punto c 2 (a, b) tal que f 0 (c) = 0 y fa ()=() fb f ( c)=0 y=f() 0 a c f ( c)=0 c b

55 Propiedades de las funciones derivables I Teorema del valor medio de Lagrange Sea f () una función continua en el intervalo cerrado [a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b). Entonces eiste al menos un punto c 2 (a, b) tal que y f c ( )=tgα y=f () f 0 (c) = f (b) b f (a) a fa () α fb ( ) fa ( ) 0 a c b a c b

56 Propiedades de las funciones derivables I Regla de l Hôpital Sean f () y g() funciones derivables en un entorno reducido del punto a, con g 0 () 6= 0 en dicho entorno. Si lim!a f () = lim!a g() = 0 ó lim!a f () = lim!a g() = y el límite lim!a f 0 () g 0 () eiste, o es in nito con signo determinado, entonces también eiste lim!a f () g(), veri cándose f () lim!a g() = lim f 0 ()!a g 0 ()

57 Derivadas y Diferenciales sucesivas. I Notación f 00 () = (f 0 ) 0 () f (n) () =... f (n 1) 0 () d(df ) = d 2 f d 2 f = f 00 ()d 2 d (n) f = f (n) ()d n f 0 () = dy d ; f 00 () = d2 y d 2 ;...; f (n) () = dn y d n

58 Derivadas sucesivas. De niciones I Derivada segunda en un punto Si y = f () : A! R, es una función derivable en un entorno de a se de ne la derivada segunda de f en a como f 00 (a) = lim h!0 f 0 (a + h) f 0 (a) h suponiendo que este límite eista y sea nito. I Derivada n-ésima en un punto Si y = f () : A! R, es una función derivable n 1 veces en un entorno de a se de ne la derivada n-ésima de f en a como f (n) (a) = lim h!0 f (n 1) (a + h) f (n 1) (a) h suponiendo que este límite eista y sea nito.

59 Derivadas sucesivas. Propiedades I Derivada de la suma y = au() bv()! y (n) = au (n) () + bv (n) () I Derivada del producto. Fórmula de Leibniz y (n) = (uv) (n) n = u (n) v + 0 y = uv y 0 = u 0 v + uv 0 y 00 = u 00 v + 2u 0 v 0 + uv 00 n u (n 1) v y 000 = u 000 v + 3u 00 v 0 + 3u 0 v 00 + uv 000 y (4) = u (4) v + 4u 000 v 0 + 6u 00 v u 0 v uv (4)... n uv (n) n

60 Aproimación de funciones. Polinomios de Taylor I Polinomio de Taylor Sea f () una función con derivadas hasta orden n en un punto = a. Entonces eiste un polinomio P n (), y sólo uno, de grado n que satisface P n (a) = f (a); Pn(a) 0 = f 0 (a); Pn 00 (a) = f 00 (a);...; P n (n) (a) = f (n) (a) y es el polinomio de Taylor P n () = P n () = f (a) + f 0 (a) 1! n k =0 ( a) + f 00 (a) 2! f (k ) (a) ( a) k k! ( a) f (n) (a) ( a) n n!

61 Aproimación de funciones. Polinomios de Taylor R n () = f () f () = P n () + R n () = y n k =0 P n () f (k ) (a) ( a) k + R n () k! R n( ) y=f () P n( ) 0 a

62 Fórmula de Taylor I Teorema de Taylor Si las funciones f, f 0, f 00,..., f (n+1) están de nidas en [a, ], eiste t 2 (a, ) tal que el resto de Taylor de orden n de f en a viene dado por R n () = f (n+1) (t) ( a)n+1 (n + 1)! Esta es la llamada fórmula de Taylor con el resto en la forma de Lagrange.

63 Estudio local de una función I Función creciente y decreciente. De nición Sea f derivable en (a, b). Entonces f es estrictamente creciente en (a, b) si f 0 () > 0 para a < < b. Sea f derivable en (a, b). Entonces f es estrictamente decreciente en (a, b) si f 0 () < 0 para a < < b f () f ( ) Estudio del crecimiento y decrecimiento.

64 Estudio local de una función I Condiciones su cientes de Etremo Relativo 1) La De nición. 2) Condición su ciente basada en la derivada primera. 3) Condición su ciente basada en la derivada segunda. 4) Condición su ciente basada en las derivadas superiores. Métodos para estudiar puntos críticos.

65 Estudio local de una función I Condición su ciente basada en la derivada primera Sea c un punto crítico de la función f siendo f una función continua en un entorno de c y derivable en dicho entorno ecepto, quizás, en el punto c. Si en ese entorno se cumple f 0 () > 0 para < c f 0 ) c es máimo relativo de f () < 0 para > c f 0 () < 0 para < c f 0 ) c es mínimo relativo de f () > 0 para > c f 0 () tiene el mismo signo a ambos lados de c ) c no es etremo relativo de f

66 Estudio local de una función I Condición su ciente basada en la derivada primera f () f () + f () f () + f () f () + + c c c f () f () + f () f () + f () f () c ( a ) c ( b) c () c

67 Estudio local de una función I Condición su ciente basada en la derivada segunda Sea c un punto crítico de la función f tal que f 0 (c) = 0. Si eiste y es continua la derivada segunda f 00 en un entorno de c se tiene que Si f 00 (c) > 0 ) c es mínimo relativo de f Si f 00 (c) < 0 ) c es máimo relativo de f Si f 00 (c) = 0 ) No podemos asegurar nada f ( c)>0 f ( c)<0 f c ( )=0 f c ( )=0 c c ( a) ( b)

68 Estudio local de una función I Condición su ciente basada en las derivadas de orden superior a dos Sea f () una función con derivadas continuas hasta el orden n + 1 en un entorno del punto c. Supongamos además que se cumple f 0 (c) = f 00 (c) = f 000 (c) =... = f (n) (c) = 0; f (n+1) (c) 6= 0; n 2 Entonces, se tiene Si n + 1 es par ) f (n+1) (c) > 0 ) c es mín. relativo de f f (n+1) (c) < 0 ) c es má. relativo de f Si n + 1 es impar ) no hay ni máimo ni mínimo

69 Etremos Absolutos. Método 1) Calcular los p. críticos de f en (a, b) (en la gura son c 1, c 2, c 3 y c 4 ). 2) Hallar el valor de f en a, b y en los puntos críticos. 3) Comparar los valores obtenidos en el paso 2. - El mayor valor es el máimo absoluto de f en [a, b] (en la gura es b). - El menor valor es el mínimo absoluto de f en [a, b] (en la gura es c 1 ). y y=f () M a c 1 0 m c 2 c 3 c 4 b

70 Concavidad, conveidad y puntos de in eión I Concavidad y Conveidad. De nición Sea I un intervalo real y f () : I! R una función derivable en I. Se dice que f () es convea en I si y sólo si para todo 0, 2 I, la grá ca de f () en I queda por encima de la tangente a la curva de f () en 0. Si la grá ca queda por debajo, la función se dice que es cóncava en I. y y f () f () 0 a 0 b 0 a 0 ( a ) ( b) b (a) Función convea. (b )Función cóncava.

71 Concavidad, conveidad y puntos de in eión I Criterio de Concavidad y Conveidad Sea I un intervalo real y f () : I! R una función dos veces derivable en I. Si f 00 () > 0 para todo 2 I entonces f () es convea en I. Si f 00 () < 0 para todo 2 I entonces f () es cóncava en I.

72 Concavidad, conveidad y puntos de in eión I Punto de In eión. De nición Sea I un intervalo real y 0 2 I un punto de continuidad de f () : I! R. Se dice que la función f () tiene un punto de in eión en 0, si la función pasa en este punto de convea a cóncava, o viceversa. y f ( c)=0 y=f () 0 a c b

73 Concavidad, conveidad y puntos de in eión I Criterio de Punto de In eión Sea I un intervalo real, 0 2 I y f () : I! R una función dos veces derivable en un entorno del punto 0, ecepto quizás en el propio 0. Si f 00 ( 0 ) = 0 o 00 ( 0 ) y f 00 () cambia de signo al pasar por el punto 0 entonces la función f () tiene un punto de in- eión en 0. Si f 00 () mantiene su signo, no hay punto de in eión en 0.

74 Construcción de grá cas. Sumario i) Dominio. ii) Crecimiento y Decrecimiento. iii) Máimos y Mínimos. iv) Concavidad, Conveidad y Puntos de In eión. v) Asíntotas. Sumario de dibujo de curvas.

75 Optimización en Ingeniería. Método 1) Encontrar la función a optimizar F y las variables o incógnitas:, y,... 2) Hallar la relación entre las variables de forma que podamos epresar F como función de una sola variable: F (). 3) Hallar el dominio de la función F (). 4) Calcular el máimo o mínimo absoluto de F ().

76 Optimización en Ingeniería. Ejemplo Construcción de una caja

77 Optimización en Ingeniería. Ejemplo P Q Trayectoria de tiempo mínimo.