MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas

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1 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Tema 7 Funciones reales de una variable real Elaborado por la Profesora Doctora María Teresa González Montesinos

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3 Índice. Funciones reales. Dominio y recorrido.. Función real de variable real Dominio y recorrido de una función Gráfica de una función Funciones elementales.. Función constante Función lineal Funciones polinómicas Función valor absoluto Función racional Función irracional Función exponencial Función logarítmica Funciones trigonométricas Funciones trigonométricas inversas Propiedades de las funciones Funciones acotadas Funciones monótonas Funciones pares e impares Funciones periódicas Funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas Álgebra de funciones. Composición. Inversa de una función.. Operaciones con funciones Composición de funciones Inversa de una función Ejercicios propuestos 6

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5 Tema 7. Funciones reales. Dominio y recorrido.. Función real de variable real Llamamos función real de variable real a toda correspondencia f de R en R que a cada número real x le asocia un único número real y = f(x). Escribiremos f : R R x y = f(x) En la notación y = f(x), x es la denominada variable independiente e y es la llamada variable dependiente o imagen de x por f. Ejemplo. Sea la función real de variable real f : R R dada por f(x) = x. Esta fórmula lo que hace es asignar a cada número real x otro número real dado por x, de manera que, por ejemplo, f() =, f(π) = π, f( 3) = 3, etc. Ejemplo. Considérese la función g(x) = x. Tenemos que, por ejemplo, g(0) = 0 =, g( 3) = ( 3) =, g(3) = 3 =, g( ) = Nótese lo que ocurre cuando intentamos hallar g( ) y g(): g( ) = ( ) =. ( ) = = 0, g() = = = 0, es decir, no existen ni g( ) ni g(), pues no se puede dividir entre cero. Obsérvese que los valores x = ± son precisamente los que anulan del denominador de la función g. Ejemplo.3 Sea la función h(x) = x + 6. Se tiene, por ejemplo, que h( ) = + 6 = =, h() = + 6 = 7. Pero, cuál es la imagen de cualquier punto x < 6? Resulta que a estos puntos no se les puede calcular la imagen por h pues el radicando se hace negativo y no se puede calcular la raíz cuadrada de un número negativo... Dominio y recorrido de una función Dada una función f : R R llamaremos Dominio de f al subconjunto de números reales a los que se les puede calcular la imagen por f, esto es, dom(f) = {x R : f(x)}. De forma habitual se escribirá la función como f : D R R, siendo D = dom(f). Así, en el caso del ejemplo. tendremos que dom(f) = R, es decir, podemos calcular la imagen por f de cualquier número real; en el ejemplo. el dominio viene dado por dom(g) = R {,}; en el caso del ejemplo.3 tenemos que dom(h) = [ 6,+ ), lo que quiere decir que sólo podemos hallar la imagen por h de números que sean mayores o iguales que -6. Recorrido, imagen o rango de f al subconjunto de números reales que se obtiene al calcular la imagen de todos los puntos o números del dominio, es decir, rec(f) = Im(f) = f(d) = {y R : y = f(x),x dom(f)}.

6 Matemáticas para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas.3. Gráfica de una función Llamaremos gráfica o grafo de una función f al conjunto de puntos del plano que sigue: gr(f) = {(x,y) R : y = f(x),x dom(f)}. Es importante tener en cuenta que cada punto de la gráfica de una función f tiene como primera f(x 3 ) f(x ) (x,f(x )) (x 3,f(x 3 )) x x x 3 (x,f(x )) f(x ) Figura : Gráfica de una función. componente un punto del dominio, x 0, y como segunda componente la imagen de éste, y 0 = f(x 0 ). Así, conocido dom(f) y calculando la imagen por f de todos los puntos del dominio, se forma una curva que es precisamente la gráfica o grafo de f. Obviamente, es imposible dibujar dicha curva considerando todos los puntos del dominio, pues éste está constituido por infinitos puntos. No obstante, hallando la imagen de algunos puntos, se puede obtener de forma aproximada la gráfica de la función. Ejemplo. Dibujemos de forma aproximada la gráfica de una función muy sencilla: f(x) = x + 3. Para ello, elaboraremos una tabla con algunos valores del dominio de f y sus imágenes. En primer lugar hallemos dom(f). Como no se puede calcular la raíz cuadrada de números negativos, debe ser x dom(f) x x 3, es decir, dom(f) = [ 3,+ ), con lo cual ya conocemos el conjunto del que hay que escoger los puntos para elaborar la tabla. x f(x) 0, 3,73 6, 3 Representando los puntos (x,f(x)) de la tabla anterior y uniéndolos, se obtiene una curva que es, aproximadamente, la gráfica de f:

7 Tema Aunque éste no es el método más adecuado para la representación gráfica de una función, nos puede ayudar a ver qué aspecto tiene. Ejemplo. Calcúlese el dominio y el recorrido de la función f(x) =. Represéntese gráficamente x elaborando una tabla de valores. Al igual que en el ejemplo anterior, debemos calcular primeramente el dominio de la función: x dom(f) x 0, de modo que dom(f) = R {0}, esto es, podemos hallar la imagen por f de cualquier número real excepto de x = 0, pues para este valor se anula el denominador de la función f. Antes de calcular el recorrido de la función, representémosla gráficamente, pues la gráfica nos puede aclarar cuál va a ser rec(f). x 0, 0, 0, 0, f(x) 0, 0, 0, 0, La gráfica de la función será entonces

8 Matemáticas para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Si nos fijamos en la gráfica, nótese que, a medida que se van considerando puntos cada vez más cercanos a x = 0 por la izquierda, la curva se dirige a, mientras que si se toman puntos cada vez más próximos a x = 0 por la derecha, la curva se dirige a + ; así, podemos afirmar que rec(f) = R {0}.. Funciones elementales En esta sección realizaremos un estudio de las funciones matemáticas más importantes, analizando todos los aspectos que ya se han visto anteriormente... Función constante Es de la forma f(x) = C, donde C R. Su dominio es claramente todo R y su recorrido es rec(f) = {C}. f(x) = - 0 Figura : Gráfica de una función constante... Función lineal Una función lineal es de la forma f(x) = mx + n, donde m,n R. Su representación gráfica es una recta y, claramente, dom(f) = rec(f) = R. Una función constante es, en particular, una función lineal con m = 0, esto es, su representación gráfica es una recta de pendiente nula. f(x) = x + 3 g(x) = x Figura 3: Gráficas de funciones lineales.

9 Tema 7.3. Funciones polinómicas Una función polinómica o polinomio es del tipo f(x) = a 0 + a x + a x + + a n x n + a n x n, donde a 0,a,...,a n,a n R son los denominados coeficientes del polinomio. Tenemos que dom(f) = R y tanto su recorrido como su gráfica dependen del grado del polinomio, n N, y de los coeficientes de éste. Además los puntos de corte de la gráfica de la función con el eje de abcisas u O son justamente las raíces reales de la ecuación f(x) = 0. Si el polinomio es de segundo grado o de grado, esto es, f(x) = ax +bx+c, entonces diremos que f es una función cuadrática y su gráfica será una parábola de vértice el punto de abcisas x = b a. f(x) = x x g(x) = x x Figura : Gráficas de funciones cuadráticas. Obsérvese que una función constante es un polinomio de grado 0 y que una función lineal es un f(x) = x 3 x 3x + g(x) = x x Figura : Gráficas de funciones polinómicas de grado 3 y. polinomio de grado o de primer grado... Función valor absoluto Ésta viene dada por f(x) = x = { x si x 0, x si x < 0. Se tiene que dom(f) = R y rec(f) = [0,+ ).

10 6 Matemáticas para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas f(x) = x Figura 6: Gráfica de la función valor absoluto... Función racional Ésta es una función de la forma f(x) = P(x) Q(x), donde P y Q son polinomios. Como el denominador no puede anularse, será dom(f) = {x R : Q(x) 0}, es decir, no pertenecerán al dominio las soluciones de la ecuación Q(x) = 0. f(x) = x3 x x Figura 7: Gráfica de una función racional..6. Función irracional Una función irracional tiene la forma f(x) = n P(x), siendo P un polinomio y n N. Para calcular el dominio de este tipo de funciones hay que tener en cuenta la paridad de n: Si n es par entonces el radicando debe ser no negativo, con lo que dom(f) = {x R : P(x) 0}; además la función siempre tomará valores no negativos, de modo que rec(f) = [0,+ ). Si n es impar no tendremos los inconvenientes anteriores, pues existen las raíces n-ésimas de números negativos y los resultados también serán negativos.

11 Tema 7 7 f(x) = x - 0 Figura 8: Gráfica de una función irracional..7. Función exponencial Llamamos función exponencial de base a R + a la función f(x) = a x. En este caso es dom(f) = R. Además rec(f) = (0,+ ) ya que para cualquier x R es a x > 0. Las propiedades básicas de la función exponencial son: () a x+y = a x a y ; () Por definición, a x = a x; (3) a x b x = (ab) x. f(x) = x g(x) = ( ) x Figura 9: Gráficas de funciones exponenciales..8. Función logarítmica Por definición, si a > 0, x = a y log a x = y Se obtiene así la función logaritmo en base a, que es la inversa de la función exponencial a x. La expresión log a x = y significa lo siguiente: y es el número al que hay que elevar a la base a para obtener x. Por ejemplo, como 3 = 8 entonces log 8 = 3.

12 8 Matemáticas para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Se tiene que dom(f) = (0,+ ) y rec(f) = R, al contrario que en el caso de la función exponencial. Las propiedades básicas de esta función son las que siguen: () log a = 0, log a a =, log a a b = b; () log a (xy) = log a x + log a y; ( ) x (3) log a = log y a x log a y; () log a x k = k log a x, k R. Cuando la base del logaritmo es el número e escribiremos ln x en lugar de log e x y hablaremos del logaritmo neperiano de x. f(x) = ln x Figura 0: Gráfica de la función logaritmo neperiano..9. Funciones trigonométricas Las funciones trigonométricas fundamentales son sen x, cos x, tg x. Las propiedades de estas funciones ya se estudiaron en el tema de trigonometría. Se tiene que { } (k + )π dom(sen) = dom(cos) = R y dom(tg) = R : k Z ; rec(sen) = rec(cos) = [,] y rec(tg) = R..0. Funciones trigonométricas inversas Arco seno Ésta es la función inversa del seno y se denota por arcsen, de modo que y = arcsen x x = sen y, siendo dom(arcsen) = rec(sen) = [, ] y rec(arcsen) = dom(sen) = R. Arco coseno Ésta es la función inversa del coseno y se escribirá arccos, siendo y = arccos x x = cos y, con dom(arccos) = rec(cos) = [,] y rec(arccos) = dom(cos) = R.

13 Tema 7 9 sen x cos x tg x Figura : Gráficas de las funciones trigonométricas. Arco tangente Así se denomina la inversa de la función tangente, se denota por arctg y es tal que y = arctg x x = tg y, siendo dom(arc tg) = rec(tg) = R y rec(arc tg) = dom(tg). 3. Propiedades de las funciones A continuación se estudian algunas definiciones atendiendo a ciertas propiedades que puedan poseer algunas funciones. Para ello, considérese en toda esta sección una función f : D R R, donde D = dom(f). 3.. Funciones acotadas Diremos que f es o está acotada inferiormente en D si existe un número real α tal que f(x) α, x D, es decir, rec(f) [α,+ ); se dirá que α es una cota inferior de f. acotada superiormente en D si existe un número real β tal que f(x) β, x D, de modo que rec(f) (,β]; se dirá que β es una cota superior de f.

14 0 Matemáticas para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas arcsen x arccos x arctg x Figura : Gráficas de las funciones trigonométricas inversas. acotada en D si lo está tanto inferior como superiormente, es decir, si existe un número real K f(x) K, x D K f(x) K, x D. Con esto estamos diciendo que rec(f) [ K,K]. Ejemplo 3. En este ejemplo se estudia la acotación de algunas funciones estudiadas en la sección anterior. Toda función constante f(x) = C es acotada véase la figura. Como puede observarse en la figura 3, las funciones lineales no están acotadas ni inferior ni superiormente. En cuanto a las funciones cuadráticas, se muestra en la figura que si a < 0 entonces la función estará acotada superiormente y si a > 0 lo estará inferiormente. La función g(x) representada en la figura está acotada inferiormente, al igual que f(x) = x y f(x) = x en las figuras 6 y 8, respectivamente. También están acotadas inferiormente las funciones exponenciales, como se muestra en la figura 9. Las funciones sen y cos son acotadas véase la figura.

15 Tema 7 Ejemplo 3. Consideremos las funciones { (x ) si x < si x f(x) = 3 si x, g(x) = x si < x 3, x si x > 3 si x x si < x < 0 h(x) = x. si 0 x < si x Veamos si estas funciones son acotadas. Para ello, observemos sus representaciones gráficas: f(x) g(x) h(x) Como podemos ver, la función f está acotada inferiormente por cualquier número menor o igual que 3, siendo rec(f) = [ 3,+ ). La función g está acotada superiormente por cualquier número mayor o igual, con rec(g) = (,]. Finalmente, h está acotada pues rec(h) = [,]. 3.. Funciones monótonas Sea S D. Se dice que f es decreciente (estrictamente decreciente) en S si f(x ) f(x ) (f(x ) > f(x )), x,x S, x < x.

16 Matemáticas para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas creciente (estrictamente creciente) en S si Ejemplo 3.3 Tenemos que f(x ) f(x ) (f(x ) < f(x )), x,x S, x < x. Una función constante puede considerarse tanto creciente como decreciente. Como se muestra en la figura 3, la función lineal f(x) = x+3 es estrictamente creciente mientras que la función g(x) = x + 3 es estrictamente decreciente. Obsérvese la función cuadrátrica g(x) = x x + de la figura. La abscisa del vértice de la parábola que forma viene dada por x 0 = =, de manera que la función es estrictamente decreciente en el intervalo (,] y es estrictamente creciente en el intervalo [,+ ). Las funciones exponenciales de base a > son estrictamente crecientes mientras que las de base a < son estrictamente decrecientes. Este comportamiento queda patente en la figura 9. Todas las funciones logarítmicas son estrictamente crecientes. Ejemplo 3. Considérense la función h del ejemplo 3.. Observando su gráfica podemos afirmar a priori que h es creciente. No obstante, si se desea hacer un estudio más exhaustivo de la monotonía de la función, podemos afirmar que h es estrictamente creciente en el intervalo [,] y en el resto del dominio es creciente Funciones pares e impares Diremos que f es una función par o simétrica respecto del eje de ordenadas si f( x) = f(x), x D, y que es impar o simétrica respecto del origen de coordenadas si Ejemplo 3. Se verifica que: f( x) = f(x), x D. La función valor absoluto es par o simétrica respecto del eje O, como puede verse en la figura 6. También es par la función f(x) = x que aparece en la figura 8 pues f( x) = f(x), para cualquier x dom(f) = (, ] [,+ ). Las funciones sen y cos son impar y par, respectivamente. Ejemplo 3.6 Consideremos dos funciones muy sencillas: { f(x) = x x si x 0,, g(x) = x si x > 0. Tenemos que f es par pues f( x) = ( x) = x = f(x), para cualquier x R; g es impar ya que { { ( x) si x 0 g( x) = ( x) si x > 0 = x si x 0, x si x < 0 = g(x). Este comportamiento se vislumbra claramente en las gráficas de ambas funciones:

17 Tema 7 3 f(x) g(x) Funciones periódicas La función f será periódica en D si existe un número real T, llamado período, tal que f(x + T) = f(x), x D. Ejemplo 3.7 Las funciones periódicas más conocidas son las trigonométricas: Las funciones sen y cos son periódicas de período π, ya que sen(x + π) = sen x, cos(x + π) = cos x, x R. La función tg es periódica de período π al ser tg(x + π) = tg x, x dom(tg). 3.. Funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas Se dice que f es una función inyectiva si para cualesquiera x,x D tales que x x es f(x ) f(x ), o de forma equivalente, si para cualesquiera x,x D tales que f(x ) = f(x ) se tiene que x = x. Diremos que f es una función sobreyectiva o suprayectiva si todo número real es imagen por f de algún punto del dominio de f, es decir, rec(f) = R. Por último, f es una función biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva. Ejemplo 3.8 Se tiene que: Ninguna función constante f(x) = C es inyectiva ni sobreyectiva; lo primero porque puntos distintos tienen la misma imagen, y lo segundo porque rec(f) = {C} R. Toda función lineal no constante es biyectiva, por ser tanto inyectiva como sobreyectiva véase la figura 3. Las funciones cuadráticas tampoco son ni inyectivas ni sobreyectivas. Como puede observarse en las representaciones gráficas de la figura, siempre se encuentran dos puntos distintos que tienen la misma imagen, como por ejemplo, f( ) = f(0) = y g(0) = g() =, de modo que ninguna de las funciones es inyectiva; en cuanto a la sobreyectividad, tenemos que rec(f) = (,] y rec(g) = [,+ ), es decir, existen puntos de R que no son imágenes de los puntos de los dominios de f y g.

18 Matemáticas para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Las funciones exponenciales sí son inyectivas por ser estrictamente crecientes o decrecientes, aunque no son sobreyectivas, pues su recorrido no es todo el conjunto de los números reales. Las funciones logarítmicas son biyectivas, pues son estrictamente crecientes y por tanto inyectivas, y su recorrido es R, como se muestra en el caso particular de la figura 0. Ninguna función periódica va a ser inyectiva, por la propia definición de función periódica: si existe un número real T tal que f(x + T) = f(x), para cualquier x dom(f), ya tenemos infinidad de puntos distintos que tienen la misma imagen. Las funciones sen y cos no son sobreyectivas por ser su recorrido el intervalo [,] R. Sin embargo la función tangente sí lo es pues rec(tg) = R.. Álgebra de funciones. Composición. Inversa de una función.. Operaciones con funciones Con las funciones se pueden realizar las operaciones algebraicas habituales, es decir, la suma, el producto por un escalar, el producto y el cociente. Sean f : D R R y g : E R R dos funciones, siendo D = dom(f) y E = dom(g). Suma.- La función f + g está definida como (f + g)(x) = f(x) + g(x), x dom(f + g) = D E. Producto por un escalar.- Dado un escalar o un número real λ, la función λf está definida como (λf)(x) = λf(x), x dom(λf) = D. Producto.- La función fg está definida como (fg)(x) = f(x)g(x), x dom(fg) = D E. Cociente.- La función f ( ) f g está definida como (x) = f(x) ( ) f g g(x), x dom = (D E) g {x E : g(x) = 0}. Ejemplo. La función h(x) = 3sen x ln x es la suma de dos funciones: f(x) = 3sen x y g(x) = ln x; además, la primera es el producto de un número, 3, por la función seno, y la segunda es el producto del número por la función logaritmo neperiano. Como dom(f) = R y dom(g) = (0, + ), será dom(h) = (0, + ). h(x) = x e x es el producto de las funciones f(x) = x y g(x) = e x. La función h(x) = ln x es el cociente de la función ln x y de la función lineal g(x) = x. x Al ser dom(ln) = (0,+ ) y como el denominador de h no puede anularse, tendremos que dom(h) = (0,+ ) {} = (0,) (,+ )... Composición de funciones Consideremos dos funciones f : D R R y g : E R R, donde D = dom(f) y E = dom(g), y tales que f(d) = rec(f) E. Se define la función f compuesta con g, y se denotará por g f, como g f : D R R x (g f)(x) = g (f(x))

19 Tema 7 Ejemplo. Sean f(x) = e x y g(x) = x +. Entonces (g f)(x) = g (f(x)) = g(e x ) = (e x ) + = e x + ; (f g)(x) = f (g(x)) = f(x + ) = e x +. Se tiene además que dom(g f) = dom(f g) = R. Ejemplo.3 Consideremos las funciones f(x) = sen x y g(x) =. Tendremos que x En este caso es.3. Inversa de una función (g f)(x) = g (f(x)) = g(sen x) = sen x ; ( ) ( ) (f g)(x) = f (g(x)) = f = sen. x x dom(g f) = {x R : sen x 0} = R {kπ : k Z}, dom(f g) = R {0}. Sea f : D R R una función inyectiva. Si x D sabemos que existe un único y R tal que y = f(x). Definimos entonces la función inversa de f como la función f : f(d) R y = f(x) f (y) = x. Es obvio que si f no es inyectiva, no puede existir f, ya que si x,x D son tales que f(x ) = y y f(x ) = y, cuál es el valor de f (y), x o x? En este caso se escribirá que f (y) = x,x, indicando con ello que el punto y posee dos imágenes por f, aunque la función inversa no esté definida. Observación. Sea f : D R R una función que posee inversa; entonces. f también posee inversa, siendo (f ) = f. En efecto, si f (y) = x, entonces (f ) (y) = f (x) = y = f(x).. (f f)(x) = x y (f f )(y) = y. Así es, si y = f(x) con x D, se tiene que (f f)(x) = f (f(x)) = f (y) = x, (f f )(y) = f ( f (y) ) = f(x) = y. Ejemplo. La función f(x) = x no es inyectiva, pues es una función par. Sin embargo, podemos considerar f : [0,+ ) R, que sí es inyectiva en el intervalo [0,+ ). De este modo, y = f(x) = x x = y = f (y). Por lo tanto, la función inversa de f en el intervalo [0,+ ) viene dada por f (y) = y. Ejemplo. Recuérdese que hemos estudiado anteriormente las funciones inversas de las funciones trigonométricas en determinados intervalos.

20 6 Matemáticas para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas. Ejercicios propuestos () Hállese el dominio de las siguientes funciones, representándolo después sobre la recta real: a) f(x) = x x, g(x) = 3 x + 9, h(x) = b) f(x) = 3x 8x + 9 x 7x +, g(x) = x x, h(x) = c) f(x) = d) f(x) = x x, g(x) = ln x x, g(x) = x x, h(x) = x x 3 + 3x x 3 ; x x 6 ; x ; x x, h(x) = ln(x 3). 3x + () Represéntense gráficamente las funciones siguientes, indicando su dominio y recorrido: a) f(x) = x x 3, g(x) = 3 x + 9, h(x) = x x; b) f(x) = c) f(x) = x x +, g(x) = x x +, h(x) = { x si x < 3 x + si x 3, g(x) = x 9 ; si x x + 3 si < x x 3 si x >. (3) Indíquense en las funciones representadas a continuación, el dominio y el recorrido, así como las propiedades que se verifiquen en cuanto a acotación, monotonía, simetrías, etc.: f (x) 0 f (x)

21 f 3 (x) Tema f (x) f (x) f 6 (x) f 7 (x) f 8 (x)

22 8 Matemáticas para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas f 9 (x) f 0 (x) f (x) f (x) () Calcula, si es posible, g f y f g, indicando el dominio de dichas composiciones: a) f(x) = x, g(x) = x ; b) f(x) = x, g(x) = x + ; c) f(x) = ln(x), g(x) = e x ; d) f(x) = senx, g(x) = x; e) f(x) = x 3 8, g(x) = x. () Averigua si las siguientes funciones poseen inversas. En caso afirmativo, calcula dicha función así como su dominio: a) f(x) = x, g(x) = x en [0,+ ), h(x) = x en (,0]; b) f(x) = x 3, g(x) = x +, h(x) = x + en [0,+ ); c) f(x) = x, g(x) = x en (, ].

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