Capitán de fragata ingeniero AGUSTÍN E. GONZÁLEZ MORALES. ÁLGEBRA PARA INGENIEROS (Solucionario)

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Capitán de fragata ingeniero AGUSTÍN E. GONZÁLEZ MORALES. ÁLGEBRA PARA INGENIEROS (Solucionario)"

Transcripción

1 Capitán de fragata ingeniero AGUSTÍN E. GONZÁLEZ MORALES ÁLGEBRA PARA INGENIEROS (Solucionario)

2 2

3 Í N D I C E CAPÍTULO : MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CAPÍTULO 2: ESPACIOS VECTORIALES DE DIMENSIÓN FINITA CAPÍTULO 3: FUNCIONES Y APLICACIONES LINEALES CAPÍTULO 4: DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES Y FORMAS CUADRÁTICAS 3

4 CAPÍTULO MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. Se dice que una matriz es ortogonal si su inversa es igual a su transpuesta. Sean y dos matrices de orden n invertibles. es simétrica y ortogonal. Simplificar: Se simplifica teniendo en cuenta que usando por ser simétrica y por ser ortogonal: Resp.: 2. Sean y dos matrices tales que (matriz nula). Si es invertible, demostrar que tiene que ser la matriz nula. 0, premultiplicando por : 0, como, y 0 0, entonces 0, como queríamos demostrar. 3. Hallar la inversa de Con el método de Gauss Permutando F (Fila ) con F 2, y haciendo después F 4 F F 2 F 3 : La inversa es: Resp.: Hallar la matriz que verifica la identidad siendo, y 4

5 Sacando factor común:, premultiplicando por, supuesto que exista la inversa:, y teniendo en cuenta que, entonces : : Resp: Calcular el determinante de Vandermonde Y generalizar el resultado hasta el exponente natural. El determinante de Vandermonde de orden se expresa con la siguiente fórmula general: y su solución es: Se observa que para un determinante de orden 2 el resultado es correcto: Procedamos por inducción: Supongamos que la solución es cierta para y veamos lo que sucede para : Efectuemos la siguiente operación con las filas: 5

6 es decir extrayendo factores comunes: luego como por tanto O sea, se ha obtenido la expresión del determinante de orden, que se corresponde con el de sin más que sustituir por. En el determinante del enunciado la solución es: Resp.: 6. Resolver la ecuación siendo e identidad Resolviendo el determinante resulta una ecuación de segundo grado. 6

7 7 Resp. : 2 7. Hallar el rango de la siguiente matriz en función de los valores de sus parámetros: F 2 F 3 : O sea: (b- 2), por tanto: Resp.: Para 2, : rango 3. Para b=2, : rango 2 8. En el dominio de las matrices cuadradas de orden 5, demostrar: 2 2 = A ; A+A= 2 2 Al calcular det se puede sacar factor común al 2 de cada fila: det det 9. Si en el dominio de las matrices cuadradas de orden se satisface que, demostrar que es invertible y que ha de ser par. Si entonces det det. Como det det det det det y det, entonces det ; es decir det 0, luego A es invertible; además det 0, luego es par. 0. Calcular el rango de Buscamos el mayor de los menores complementarios no nulos ; para ello permutamos la primera fila con la segunda y hacemos ceros por debajo de la diagonal principal. Con ello deducimos que el rango es 2.. Discutir y resolver según los valores de, el sistema: El determinante de la matriz de coeficientes es: 2 Discusión: Si 0,, 2 es sistema es compatible y determinado. La solución es:

8 , Si 0 el sistema es incompatible para cualquier valor de. Si el sistema se reduce a: Si el sistema es incompatible. Si el sistema es compatible indeterminado con,, Si 2 el sistema se reduce a: Si 2 el sistema es incompatible. Si 2 el sistema es compatible indeterminado con 0,, 2. Hallar la potencia n-sima de la matriz y en general: Resp.: 3 3. Sea, descomponer en una suma de una matriz simétrica y una antisimétrica Sumando miembro a miembro: Por tanto: Resp.: Demostrar que: 8

9 Sea el valor del determinante. A la ª fila le sumamos las tres restantes y sacamos factor común a : A 2ª columna le restamos la ª y la 3ª y le sumamos la 4ª y sacamos factor común a : 0 0 A la 2º fila le restamos la 3ª y sumamos 3ª con 4ªy desarrollamos: A la ª columna restamos la 2ª y a la 2ª la 3ª y desarrollamos: A det 0 2 det Restamos la 2ª columna de 4ª, sacamos factor común a en la 2º columna y multiplicamos la ª columna por esa: det det

10 Sumamos la 2ª columna con la 4ª: 2 0 det Restamos la 3ª columna de la ª: det Sacamos factor común en la ª columna y después sumamos la columna 3ª y la ª para obtener la solución del enunciado. det, sacamos factor común a en la ª columna, a en la 2ª y a en la 3ª: / det / / Sacamos factor común a en la ª fila, a en la segunda y a en la tercera: / / det / / / / Multiplicando la ª columna por, la 2ª por y la 3ª por : det 0

11 CAPÍTULO 2 ESPACIOS VECTORIALES DE DIMENSIÓN FINITA E.. En el conjunto de los números enteros se define de la siguiente manera:. Comprobar si, tiene estructura de grupo abeliano. a) La operación es una ley de composición interna, b) Se cumple la propiedad asociativa c) Existe el elemento neutro 3 3 d) Existe el elemento inverso 3 3; 6 Como los elementos de, además, cumplen la propiedad conmutativa: Por lo tanto, Resp.: es un grupo abeliano. E.2. En el conjunto de los números naturales se define de la siguiente manera:. Comprobar si, tiene estructura de grupo abeliano. Se comprueba enseguida que no existe elemento neutro 3 3 Por tanto, Resp.: no es grupo. E.3. Es,, cuerpo? ( y son la suma y el producto conocidos). Los únicos elementos no nulos que admiten inverso multiplicativo son y. Por tanto: Resp.:,, no es cuerpo E.4 Es,, cuerpo? ( el conjunto de los números racionales con y la suma y el producto conocidos). a), es un grupo abeliano b) 0,es un grupo abeliano, donde 0 es el elemento neutro de,. c) La operación es distributiva respecto a la operación +:,,

12 Por lo tanto, Resp.:,, es cuerpo. E.5. Sean y. Sea la adición definida en por,,,. Sea el producto de números reales por elementos de definido mediante la expresión,,. Demostrar que,,, es un espacio vectorial. a), es un grupo abeliano. b) ;,, c), ;,,,,,, d), ;,,,,,,, e) ;,,,,,,,,,, f),, Por lo tanto, Resp.:,,, es un espacio vectorial. E.6. El mismo enunciado anterior, pero modificando la definición del producto:,,. Es (,,, un espacio vectorial? No, pues no se cumple que la unidad del cuerpo sea el elemento neutro del producto, ya que:,,,. Aunque con demostrar esto sería suficiente, tampoco se cumplen las propiedades c) d) y e). Resp.: No es un espacio vectorial E.7. El mismo enunciado, pero modificando la definición de la suma:,,,. Es(,,, un espacio vectorial? No, ya que no existe neutro para la suma. Resp.: No es un espacio vectorial E.8. Demostrar que debe pertenecer a para afirmar que es subespacio de. Si 0 no perteneciese a, no sería grupo abeliano pues no tendría elemento neutro. E.9. En el espacio vectorial,,, con las operaciones conocidas y, determinar si los subconjuntos y son subespacios:,, 2

13 En, se ha de cumplir que:, ;, ;. En efecto:, 2, 2, 2, 2, 2 Resp.: es subespacio Pero, en, :,,,,, Resp.: no es subespacio E.0. En el espacio vectorial,,, con las operaciones conocidas y, determinar si los subconjuntos siguientes,, y son subespacios:,,,,,,,, En,, se ha de cumplir que:, ;, ;. En efecto:,,,,,,. Resp.: es subespacio En,,,,,,,,. Resp.: es subespacio En,,,,,,,,, pues no siempre. Resp.: no es subespacio En,,,, 2,, 2,, 2 2. Resp.: no es subespacio E.. Comprobar si los vectores,, y,, son combinación lineal de los vectores,, y,,. Sea:,, 3, 0, 2, 2, 4. Existe solución para 2. Resp.:,, 3 es CL Sea:, 2, 2, 0, 2, 2, 4. No existe solución que satisfaga las tres coordenadas. Resp.:, 2, 2 no es CL E.2. En el espacio vectorial,,, se consideran las matrices, y. Determinar todas las combinaciones lineales de,, que permiten obtener la matriz nula

14 0 0 La única solución del sistema de ecuaciones anterior, es la trivial: Resp.: 0 E. 3. En el espacio vectorial,,,, determinar si los siguientes vectores son LI: a),,,,,,,, ; b),,,,,,,,. a), 0, 0, 0,, 0,, 0, 0; son LD ya que el º es igual al 3º. b),, 0,,, 2,, 0,. 0 Como 2 0; por lo tanto, los vectores de son LD 0 E.4. Demostrar que las matrices,, son vectores LI Luego 0, es decir las matrices son LI. E.5. Demostrar que el espacio vectorial de los polinomios reales sobre el cuerpo definido por ; son LI. Calculemos 0, siendo 0 el polinomio nulo: 0 0. Entonces: 2 0 que debe cumplirse para cualquier valor de. La única manera de que suceda es para 0, lo que asegura la independencia de y. E.6. Estudiar la dependencia o independencia lineal de los vectores y en el espacio vectorial,,, y en el espacio vectorial,,,. lo tanto: Sea entonces 2/3 pertenece al conjunto, pero no al. Por Resp.: y son LD, pero LI en. E.7. Determinar para que sean LD los vectores,,,,, y,, Resp.: E. 8. Determinar si los vectores,,,,,,,, son un SG de. 0 0, luego son LI y SG

15 E. 9. Proponer una base en cada caso: a),,, b),,, c),,, d),,,. es el conjunto de los números complejos. a) Cualquier número real no nulo b) la base canónica c) la base canónica d) Ejercicios. Sean y. Sea la adición definida en por,,,. Sea el producto de números reales por elementos de definido mediante la expresión,,. Es,,, un espacio vectorial?,,,,,, como Resp.: No es espacio vectorial 2. Demostrar que los vectores,,,,,,,,,,,,,,, son ligados e indicar su relación de dependencia. Empleando el método de Gauss: ~ ~ se aprecia que el cuarto vector es CL de los otros tres. De manera que:,2,, 2 2,3,0,,2,,3,3,,0 cuyas soluciones son: 2,,. Por tanto: Resp.: 2,2,, 2 2,3,0,,2,,3,3,,0 3. Determinar los valores de y para que sea 3 el rango del siguiente sistema de vectores:,,,,,,,,,,, ~ 3 3 ~ Si 2 0 y 3 6 0, entonces 2 y Discusión: Si 2, sistema LD. Si 2 ó, sistema LI, Demostrar que los vectores,,,,,,,, forman una base de. Hallar las coordenadas del vector,, respecto de esta base. 5

16 Se comprueba que el determinante de los vectores de S es distinto de cero, por tanto forman una base. Las coordenadas del vector,, 2 respecto de dicha base son los coeficientes,, que satisfacen: 2,,,3, 2,,3,,2 Resp: /87, 2,7 5. Demostrar que si,, son base de un espacio vectorial de dimensión 3, el conjunto,, también es una base de dicho espacio. 0 es decir: 0 Como,, son LI, entonces 0, por tanto,, también es una base 6. Sea,, la base canónica de. En el mismo espacio vectorial tenemos el conjunto,, donde ; ;. Se pide: a) Demostrar que,, es una base. b) Hallar la expresión del cambio de la base canónica a la base,,. c) Calcular las coordenadas del vector,, expresado en la base canónica, en términos de la base,,. a) El determinante formado por los vectores 3,2,, 4,,, 2,, es distinto de cero. Por tanto, son una base b) 2 con,, en la base canónica y,, en la base,, c) Sean,,, y,,, dos bases de. Hallar las expresiones matriciales de los cambios de base de a y de a.,, 2 2,,, 2 0, sistema de ecuaciones cuyas soluciones son: 5 3, 3, 3, 3. De manera que un vector en la base como el, se expresa en la base mediante la expresión,, tal que: Resp.: /3 5 y es decir: /3 5 Resp.: /2 5 6

17 8. Demostrar que el conjunto,, ; es un subespacio vectorial de. Obtener una base y determinar la dimensión y las ecuaciones paramétricas e implícitas del subespacio. Sea, 2, 0; y y dos vectores cualesquiera de. La condición necesaria y suficiente para que sea un subespacio es que ; es decir:, 2, 0, 2, 0, 2, 0 que, en efecto, pertenece a. Resp.:, 2, 0; es subespacio Una base del subespacio es: Resp.:, 2, 0 cuya dimensión es: Resp.: dimensión de la base del subespacio: Las ecuaciones paramétricas son: Resp.: ; 2; 0 y eliminando el parámetro, la ecuaciones implícitas son: Resp.: 2; 0 9. Obtener una base del espacio vectorial de las matrices cuadradas de orden y del espacio vectorial de las matrices de orden. Resp.: 0 0 0, 0 0 0, 0 0 0, Resp.: , , , , , Sean,, ;,, y,,. Sea,, el subespacio engendrado por estos tres vectores. Calcular: a) una base de y las ecuaciones implícitas. b) el vector,,, pertenece a? c) el vector,,, pertenece a? d) Para qué valores de el vector,, pertenece a? a) Como ~ entonces: Resp.: una base de es, 3, 7, 2,5,6 Sea vector de :,,, entonces:,,, 3, 7 2,5,6. Eliminando y, deducimos que: Resp.: Ecuación implícita de : b) Resp: el vector 3, 2, pertenece a c) Resp.: el vector,, 3 no pertenece a d) Resp: /7 7

18 . Hallar una base del subespacio engendrado por los vectores,,, y,,, y ampliar dicha base a una del espacio vectorial de. Como los vectores del enunciado son LI, constituyen una base del subespacio engendrado por ellos. Cualquier vector,,, será combinación lineal:,,, 2, 2, 3,, 4, 6, es decir, los vectores del subespacio engendrado son de la forma: Los vectores canónicos 0, 0,,0 y 0, 0,0, no satisfacen las dos ecuaciones anteriores, por tanto no pertenecen al subespacio y una base ampliada de es: Resp.: 2, 2,3,,,4, 6, 2, 0,0,0,, 0,0,,0 2. Sea el subespacio vectorial de engendrado por el vector,, y sea,,,. a) Demostrar que es subespacio de. b) Obtener una base y la dimensión de. c) Hallar una base, dimensión y las ecuaciones paramétricas e implícitas de los subespacios y. a) En efecto,,, ; es subespacio porque dos vectores cualesquiera y cumplen la condición necesaria y suficiente. Una base del subespacio es,, cuya dimensión es. En,, 3 0, 2 0, se observa que 2, 3, por tanto cualquier vector de es de la forma, 3, 2 y se satisface la condición y, :, 3, 2, 3, 2, 3, 2 b) Como, 3, 2,3, 2, entonces: Resp.: una base de es:,3, 2 cuya dimensión es: Resp.: dim : c) Como,, y,3, 2 son LI, entonces 0: Resp.: No existe base de y dim 0 Los vectores,3, 2 y,, constituyen una base de la unión, cuya dimensión es 2. Como, entonces: Resp.:,3, 2 y,, son una base de y dim 2 las ecuaciones paramétricas de son: Resp.:, 3, 2 y eliminando los parámetros se obtiene la ecuación implícita de : Resp.: Sean los subespacios de :,,, ;,, y,, ;,,. a) Son y subespacios suplementarios, es decir, y,,. b) Hallar una base y la dimensión de. 8

19 a) En :, 2,,0,0,2, y una base es,0,0,,2,. En 0 0 : 2,, 2,, una base es 2,,. Como det 2 0, entonces 2 los tres vectores son LI y constituyen una base de y 0, 0, 0. Por tanto: Resp.: y son suplementarios: b) Como y en : 2 0, entonces todo vector de es de la forma,, 2,0,2 0,,. O sea, una base de y, por tanto, de es:,0,2, 0,,. Resp.: una base de es:,0,2, 0,, Resp.: dim 2 4. Consideremos el espacio de y la base,,. Si el conjunto,, es tal que: ; ; : a) Demostrar que,, forman una base. b) Hallar la matriz de cambio de a. c) Calcular las coordenadas de un vector en la base sabiendo que en la base sus coordenadas son,,. a) Evaluemos la expresión: 0 es decir: o sea: como,, son LI por ser base, entonces: sistema cuya única solución es la trivial 0. Por tanto: Resp.:,, forman una base b) La matriz de cambio de a es: 2 Resp.: 2 2 c) 2 Como 2, entonces: /4,, 2 2 Resp.: /4,, 9

20 CAPÍTULO 3 FUNCIONES Y APLICACIONES LINEALES E.. Sean,, y,. Clasificar : tal que,.,2,3 2,2 2,3 3,2 3,3, Resp.: Es inyectiva porque toso elemento de tiene imagen en. No es sobreyectiva porque existen elementos de sin antecedente en. E.2. Las funciones : y : son: Determinar, y calcular y. Resp.: 2 Resp.: 2 Resp.: Si consideramos que la parte entera de 2es, entonces: Resp.: 2 /2 3/2 E.3. Demostrar que la función : definida por,,, es una aplicación lineal. Se comprueba fácilmente que E.4. Demostrar que : tal que,,, no es una aplicación lineal. Debido al sumando de la segunda coordenada de, se comprueba fácilmente que E.5. Demostrar que la función : definida por,,,, es un automorfismo. Debemos probar que se trata de una transformación lineal biyectiva: a) es una transformación lineal pues se satisface que ; b) es inyectiva porque cada elemento del dominio tiene un y sólo un elemento en el codominio; y c) es sobreyectiva porque para todo elemento del codominio existe un elemento en el dominio. Por tanto, la aplicación es biyectiva. E.6. Determinar el núcleo de : :,,,. El núcleo es tal que,, 0,0, o sea, 0,0 que exige. Resp.:,,; E.7. Determinar el núcleo y la imagen de tal que, 20

21 El núcleo es tal que Resp.:,; La imagen ;,. Sea, entonces existen vectores, tales que,, o sea: 0 0 es decir:, 0. Luego: Resp.: 0 ; 0 E.8. Determinar el núcleo y la imagen de: tal que,,,. El núcleo es tal que,,, 0,0, es decir: 0,. Resp.: 0,,; Los vectores de la imagen son de la forma: Resp.:,;, E. 9. Determinar el núcleo y la imagen de : :,. El núcleo es tal que,, es decir: 2 Resp.: 2,; Los vectores de la imagen son: Resp.: Ejercicios. Consideremos la aplicación lineal : dada por:,,,, a) Determinar los valores de para los que es biyectiva. b) Para, hallar una base, la dimensión y las ecuaciones implícitas del núcleo y la imagen. c) Para, hallar la matriz asociada a cuando se considera en ambos espacios la base,,,,,,,,. d) Para, hallar,,. a) Si 3 entonces la aplicación es biyectiva. La matriz de 3 la aplicación lineal es: 2 0 cuyo determinante es 2 2 que se 2 anula para. Por tanto: Resp.: Biyectiva b) El núcleo es tal que:,,3,22,20,0,0 es decir:

22 sistema cuya solución es 0. Luego Resp.: 0,0,0, dim 0 Resp.: Ecuaciones implícitas del núcleo: 0 Como dim, entonces: Resp.: dim 3 Los vectores de la imagen son la de forma: 3, 2 2, 2,2, 3,2, 2,0, como los vectores,2,, 3,2, 2,,0, son LI, constituyen una base. Resp.: Una base de :,2,, 3,2, 2,,0, Sea,, un vector de la imagen, entonces:,2, 3,2, 2,0,,, como la dimensión de la imagen coincide con la de, todos los vectores de pertenecen a la imagen, entonces: Resp.:. Ecuaciones paramétricas de la imagen:,, 2. Sea : la aplicación lineal definida por:,,,, a) Calcular la matriz asociada a respecto de la base canónica. b) Hallar una base y las ecuaciones cartesianas del núcleo. c) Sea,,. Hallar una base de los subespacios, y. d) Hallar la matriz asociada a respecto de la base:,,,,,,,,. a) Mediante obtenemos las imágenes de los vectores de la base canónica:,0,0,,, 0,,0 2,,, 0,0, 3,0,2 Por tanto: 2 3 Resp.: la matriz asociada es 0 2 b) Para calcular el núcleo : 0 0 como det 0 y los 2 0 vectores,2,3 y,,0 son LI, entonces sea, por tanto 2 3 0, 0, es decir,. Resp.:,, Resp.: Una base de es,, Resp.: Ecuaciones cartesianas de : 0, 0 c) Como los vectores de son de la forma,,,0, 0,, entonces: Resp.: Una base de :,0,, 0,, Las imágenes por de los vectores de las base de son: , Resp.: Una base de : 4,,3,,, Como dim dim dim dim y dim dim 2, y, por ejemplo, los vectores,0,, 0,,, 4,,3 son LI pues su determinante es distinto de cero, al estar en, entonces 22

23 d) Resp.: Cualquier base de es base de 0 0 Empleando la expresión:, con 2 0 entonces: Resp.: Sea : tal que,,,, ;,,,, y,,,,. Determinar una base y las ecuaciones del núcleo y la imagen. Como siendo la base canónica de, entonces: ; 0 ; expresiones que se pueden sintetizar en la siguiente: por lo tanto: es decir, la matriz de la aplicación lineal es: El núcleo es tal que como det 0: Resp.: 0,0,0 Resp.: Ecuaciones cartesianas de : 0 Resp.: 4. Sea : la aplicación lineal definida por:,,,,, Calcular: a) La matriz asociada a respecto a las bases canónicas. b) La matriz asociada a respecto a las bases,,,,,,,, y,,,,,,,,,,,,,,, a),0,0,,0,,0,0,0 0,,0,0 0,0,,0 0,0,0, 0,,0,2,0,0,0,0,0 0,,0,0 0,0,,0 0,0,0, 0,0, 0,3,0,,0,0,0 0,,0,0 0,0,,0 0,0,0, ; ; 0; ; 2; 0; 0 0; 3; 0; 23

24 Luego la matriz asociada a respecto de la bases canónicas es: Resp.: b),2,,8,0,2 2,,,0, 0,2,0,0 0,0,,0 0,0,0,3 0,,2,8,0,2 2,,0, 0,2,0,0 0,0,,0 0,0,0,3 0,0, 0,3,0, 2,,0, 0,2,0,0 0,0,,0 0,0,0,3 /2; 7/4; 0; 5/6 /2; 7/4; 0; 5/6 0; 3/2; 0; /3 Luego la matriz asociada a respecto de la bases de apartado b) es: /2 /2 0 7/4 7/4 3/2 Resp.: /6 5/6 /3 5. Sea : la aplicación lineal definida por:,, y,,. Hallar una base de los subespacios, y. Como los vectores de son de la forma,,,0, 0,, entonces: Resp.: Una base de :,0,, 0,, Las imágenes por de los vectores de las base de son: , Resp.: Una base de : 3,2,3, 0,, Como dim dim dim dim y dim dim 2, y, por ejemplo, los vectores,0,, 0,,, 3,2,3 son LI pues su determinante es distinto de cero, al estar en, entonces Resp.: Cualquier base de es base de 6. Sea : la aplicación lineal cuya matriz asociada respecto a la base canónica es: a) Hallar la imagen del vector,,. b) Hallar la base, dimensión y ecuaciones implícitas del núcleo y la imagen. c) Sea,,. Probar que es un subespacio y hallar una base del dicho subespacio. d) Sea,,,,,,,, una base. Hallar la matriz asociada a respecto a dicha base. a) 24

25 0,3, Resp.:,3,0 3,,2 b) 0 0 Para calcular el núcleo : 0 0 como el determinante 0 0 de la matriz asociada a es distinto de cero entonces: Resp.: 0,0,0 Resp.: Ecuaciones cartesianas de : 0 Como dim, entonces: Resp.: Resp.: Ecuaciones de la imagen:,, c) En,, 0 se ha de cumplir que:, ;, ;. En efecto:,, 0,, 0,, 0. Resp.: es subespacio Resp.: Una base de :,0,0, 0,,0 d) 2 0 Empleando la expresión:, con entonces: Resp: Sea : la aplicación lineal definida por,,,,, ;,,,,, y,,,,,. Calcular: a) La expresión matricial de la aplicación respecto a las bases canónicas. b) Sea,,,,,,,, una base de. Hallar las coordenadas del vector,, respecto a. Hallar una matriz tal que, donde son las coordenadas del vector respecto la base y respecto a la base canónica. a) Como siendo la base canónica de y la base canónica de, entonces: ; ; expresiones que se pueden sintetizar en la siguiente: por lo tanto:

26 Resp.: b) 3,5, 2,, 0,, 3 0, 0, α 5 0 β 2 3 γ Resp.: 3,2,5 3,2, Como cualquier vector: entonces por tanto Resp.:

27 CAPÍTULO 4 DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES Y FORMAS CUADRÁTICAS E.. Dados dos vectores,, y,, calcular si: a) Coinciden en dirección y sentido. b) Forman un ángulo de 60º. c) Son perpendiculares entre sí. d) Forman un ángulo de 20º. e) Son de la misma dirección y sentido contrario. cos a) Si 0 entonces cos : Resp.: b) Si 60 entonces cos /2: c) d) Si 90 entonces cos 0: Si 80 entonces cos Resp.: Resp.: 0 Resp.: E.2. Cuál es la proyección del vector,, sobre el,,.,2,3; 3,4, cos cos Resp.: E.3. Sea,,, y la matriz. Se define,. Demostrar que es un producto interior. En efecto: a),, pues es un escalar., b),,, c),, d),, e), á E.4. Determinar para que,, e,, sean ortogonales con el producto interior usual. 3, 4,,, 3 4 0, es decir: 27

28 Resp.:, /3 E.5. Comprobar que la base de formada por los vectores, y, es ortonormal con el producto interior usual. Con cos, sea 3, ;, 3; es ortonormal pues y 0 E.6. Demostrar que,, donde y son polinomios en, es un producto interior. Sea la base,,. Ortonormalizarla. a),, b),,, c),, d) 0 e), Resp.:, ; y polinomios en, es un producto interior Para ortonormalizar: ; ;, 0, 2 0 Por tanto,, 0, 2 0 /3, 0, 2/3 0 0 Por tanto, /3 Luego, la base ; ; /3 está formada por vectores ortogonales, para normalizarla dividimos por el módulo de cada uno de ellos:, 2; 2, 2/3; 3 2, /3 /3 8/45; 45 8 /3 Resp.: Base ortonormalizada:,, /3 28

29 E.7. Demostrar: a) el producto de toda matriz por su traspuesta es una matriz simétrica. b) la suma de toda matriz cuadrada y su traspuesta es una matriz simétrica. a) Como, luego es simétrica por ser igual a su transpuesta. b) Como, es decir es simétrica E.8. Sea el operador : :,, que representa una rotación plana de ángulo y centro en el origen (0,0). Demostrar que es ortogonal con el producto interior usual.,,,,,, cos sen, sen cos cos sen, sen cos E.9. Determinar una matriz ortogonal que diagonalice a. λ 2 2 0; 0 y λ 3 son los valores propios. 2 λ Vectores propios: 0 Para 0: y Como, entonces ; Para 3: y 0 0 Con el mismo procedimiento: ; Resulta: tal que Resp.: E.0. Efectuar una transformación de coordenadas que diagonalice la forma cuadrática. La matriz de la forma cuadrática es En λ 0 se deduce λ 3 que 8 y λ 2 son los valores propios. Resolviendo 0 y normalizando los correspondientes vectores propios, se obtiene la matriz ortogonal: 29

30 2 2 La transformación ortogonal de coordenadas está dada por: O sea 2 2 de manera que se convierte en: Resp.:, 8 2 donde los coeficientes son los valores propios de la matriz Ejercicios. Sea una matriz cuadrada de orden 3 que verifica: ; ; Hallar: a) La matriz. b) Por qué es diagonalizable? Hallar la matriz diagonal semejante a y la matriz de paso correspondiente. c) Consideremos la forma cuadrática de :,,. Hallar la matriz asociada. a) Resp.: 0 b) 0 Los valores propios de se calculan anulando el polinomio característico: det cuyas raíces son dichos valores propios: λ, λ 2, λ. Como son todos distintos, entonces es diagonalizable. A continuación se hallan los vectores propios con 0: Para λ Se observa que la 3ª fila es CL y que la ª y la 2ª son LI. Por tanto, 0 y 0 ; es decir. Un vector propio es 0,,. Para λ 2: 30

31 Análogamente y un vector propio es,, Para λ : es decir, 2 2 y un vector propio es 2,,. Por lo tanto, una matriz de paso que diagonaliza es: 0 2 Resp.: Comprobación: matriz diagonal, con los valores propios en la diagonal principal. 0 c) La matriz asociada a,, 2 2 es precisamente : 0 Resp.: Sea : la aplicación lineal definida por:,,,, Hallar, si existe, una base en respecto a la cual la matriz asociada a sea diagonal. 2 3 Como,, 2 3,, 2 0, entonces 0 es su matriz asociada. 2 Los valores propios de se calculan anulando el polinomio característico: 2 3 det cuyas raíces son dichos valores propios: λ λ 2, λ 0. Hay dos valores propios iguales λ λ 2. A continuación se hallan los vectores propios con 0: Para λ λ Se observa que la 3ª fila es igual a la 2ª cambiada de signo y que la ª y la 2ª son LI. Por tanto, y 0. La solución a este sistema de ecuaciones es de la forma,,,,. Como el orden de multiplicidad de λ λ es 2 y la dimensión del subespacio solución es, entonces no es diagonalizable. Resp.: No existe ninguna base 3

32 3. Sea : la aplicación lineal definida por:,, Hallar una base en respecto a la cual la matriz asociada a sea diagonal. Los valores propios se calculan con cuyas raíces son dichos autovalores: λ λ, λ 4. Hay dos valores propios iguales λ λ. Calculemos los vectores propios con 0: Para λ λ : Como las tres filas son iguales entonces 0. Es decir, cualquier vector asociado a λ λ es de la forma,,,0, 0,,. Los vectores,0, y 0,, son LI y constituyen una base del subespacio solución λ λ. Como la dimensión de esta base es 2 y coincide con el grado de multiplicidad de λ λ, la matriz de es diagonalizable. Los vectores,0, y 0,, son autovectores asociados. Para λ 4: Como det 2 0 y det 2 0 el rango es 2; es decir la tercera 2 2 ecuación es CL. Por tanto, 2 0, 2 0, o sea, el vector propio asociado a λ 4 es de la forma,,. Sea el vector,,. Por lo tanto, una base que diagonaliza es: Resp.:,0,, 0,,,,, Comprobación: Sea : la aplicación lineal cuya matriz asociada respecto a la base canónica es: Hallar una base ortonormal respecto a la cual la matriz asociada a sea diagonal. Los valores propios se calculan con 0 cuyas raíces son dichos autovalores: λ λ, λ 2. Hay dos iguales λ λ. Calculemos los vectores propios con 0: 32

33 Para λ λ : Como las tres filas son iguales, entonces 0. Es decir, cualquier vector asociado a λ λ es de la forma,,,0, 0,,. Los vectores,0, y 0,, son LI y constituyen una base del subespacio solución λ λ. Como la dimensión de esta base es 2 y coincide con el grado de multiplicidad de λ λ, la matriz de es diagonalizable. Los vectores,0, y 0,, son autovectores asociados. Para λ 2: Como det 2 0 y det 2 0 el rango es 2; es decir la tercera 2 2 ecuación es CL. Por tanto, 2 0, 2 0, o sea, el vector propio asociado a λ 4 es de la forma,,. Sea el vector,,. La base,0,, 0,,,,, diagonaliza la matriz, pero no es ortonormal. Para ello, como,0, es perpendicular a,,, pero no lo es a 0,,, elegimos otro vector,, que sea normal a,0, y a,, y que cumpla la condición 0 impuesta por el autovalor λ λ. Es decir:,,,0, 0 y,,,, 0. Vemos que la condición 0 se reitera. De estas ecuaciones se deduce que un vector es, por ejemplo,, 2,. Una base ortogonal que diagonaliza la matriz es,0,,, 2,,,,. Para normalizarla basta dividir por el módulo de cada vector: Resp.:,0, / 2,, 2,/ 6,,,/ 3 Comprobación: / 2 / 6 / 3 0 2/ 6 / 3 / 2 / 6 / / 2 / 6 / / 6 / 3 0 / 2 / 6 / 3 5. Sea,,,,, hallar una base ortonormal respecto a la cual la matriz de la aplicación lineal admita una expresión diagonal. Como,, 0,,,0,,,0 entonces: 0,, 0 0 con Por tanto, la solución es la misma que la del ejercicio Sea : la aplicación lineal cuya matriz asociada respecto a la base canónica es: 33

34 Hallar: a) los autovalores y autovectores. b) Una base de respecto a la cual admite una expresión diagonal. c) La forma cuadrática que tiene a como matriz asociada. a) Los valores propios se calculan con cuyas raíces son dichos autovalores: λ λ 3, λ 0. Resp.: autovalores λ λ 3, λ 0 Hay dos iguales λ λ 3. Calculemos los vectores propios con 0: Para λ λ 3: Como la ª y la 3ª filas son iguales y la 2ª es igual a la ª cambiada de signo, entonces 0. Es decir, cualquier vector asociado a λ λ 3 es de la forma,,,,0 0,,. Los vectores,,0 y 0,, son LI y constituyen una base del subespacio solución λ λ 3. Como la dimensión de esta base es 2 y coincide con el grado de multiplicidad de λ λ 3, es diagonalizable. Los vectores,,0 y 0,, son autovectores asociados. Para λ 0: Como det 2 0 y det 2 0 el rango es 2; es decir la tercera 2 2 ecuación es CL. Por tanto, 2 0, 2 0, o sea, el vector propio asociado a λ 0 es de la forma,,. Sea el vector,,. Resp.: Vectores propios:,, 0, 0,,,,, b) Una base respecto a la cual admite una expresión diagonal es: Resp.:,,0, 0,,,,, Comprobación: c) 2,, 2 2 Resp.:,, Consideremos la forma cuadrática de,,. Hallar: a) La matriz asociada respecto de la base canónica. b) Una base ortonormal de respecto de la cual la matriz anterior adopta una forma diagonal. 34

35 a) La matriz asociada es 0 /2 Resp.: /2 0 Comprobación: 0 / /2 0 b) Los valores propios se calculan con 0 /2 det /2 0 cuyas raíces son dichos autovalores: λ 2, λ /2, λ 3/2. Calculemos los vectores propios con 0: Para λ 2: 0 / /2 0 0 Es decir, 0 y 0 con cualquier valor de. Estas condiciones se satisfacen con el vector 0,, 0. Para λ /2: /2 0 / /2 0 0 /2 0 /2 0 O sea, 0, 0, 0. Estas ecuaciones se satisfacen con el vector, 0,. Para λ 3/2: /2 0 /2 0 0 /2 0 0 /2 0 /2 0 O sea, 0, 0. Estas ecuaciones se satisfacen con el vector, 0,. Por tanto, una base ortogonal es 0,,0,,0,,,0,. Para normalizarla, dividimos por sus módulos: Resp: 0,,0, / 2,0,, / 2,0, Comprobación: 0 / 2 / 2 0 /2 0 / 2 / / 2 / 2 /2 0 0 / 2 / / /2 8. Sea y sea : la aplicación lineal cuya matriz asociada respecto a la base canónica es. Hallar: a),,. b) Una base de respecto de la cual la matriz asociada a sea diagonal. c) La forma cuadrática asociada a la matriz de. 35

36 a) , por tanto: 2 2 Resp.:,, b) 2 Sea la matriz de la aplicación lineal. Calculemos sus valores 2 propios mediante la expresión det 0: cuyas raíces son los valores propios: λ λ 0, λ 6. Hay dos valores propios iguales λ λ 0. Calculemos los vectores propios con 0: Para λ λ 0: Como la 2ª fila es el doble de la primera y la 3ª es igual a la primera, entonces el rango es y el sistema se reduce a la ª ecuación: 2 0, o sea, cualquier vector asociado a λ λ 0 es de la forma 2,, 2,,0,0,. Los vectores 2,,0 y,0, son LI y constituyen una base del subespacio solución λ λ 0. Como la dimensión de esta base es 2 y coincide con el grado de multiplicidad de λ λ 0, es diagonalizable. Los vectores 2,,0 y,0, son autovectores asociados. Para λ 6: Como det y det el rango es 2; es decir la tercera ecuación es CL. Por tanto, 5 2 0, 0, o sea, el vector propio asociado a λ 6 es de la forma, 2,. Sea el vector,2,. Por lo tanto, una base sería: Comprobación: Resp.: 2,,0,,0,2,,2, c) 2,, Resp.:,, 2 9. Consideremos la aplicación lineal : dada por: 36

37 ,,,, ;,,,, ;,,,, Calcular: a) La matriz asociada respecto de la base canónica. b) Estudiar si es diagonalizable y, en caso afirmativo, hallar una base respecto de la cual la matriz asociada a en dicha base sea diagonal. a) Como siendo la base canónica de, entonces: ; 3 ; 3 expresiones que se pueden sintetizar en la siguiente: por lo tanto: es decir, la matriz de la aplicación lineal es: 0 3 Resp.: 0 2 b) 2 0 Calculamos det 0: cuyas raíces son los valores propios: λ, λ 2, λ 4. Como son distintos: Resp.: es diagonalizable Cálculo de los vectores propios 0: Para λ : Como det 2 0 y det 2 0 el rango es 2; es decir la tercera 2 ecuación es CL. Por tanto, 2 0, 2 0, o sea, el vector propio asociado a λ es de la forma,,. Sea el vector,,. Para λ 2: Como la 2ª y 3ª filas son iguales y det 5 0 el rango es 2. Por tanto, 2 5 0, 2 2 0, o sea, el vector propio asociado a λ 2 es de la forma 0,,. Sea el vector 0,,. Para λ 4: 37

38 Análogamente, llegamos a la conclusión de que el vector propio asociado a λ 4 es de la forma 2,,. Sea el vector 2,,. Por lo tanto, una base sería: Resp.:,,, 0,,, 2,, Comprobación: Obtener una transformación ortonormal que diagonalice la forma cuadrática,. La matriz asociada a esta forma cuadrática es: Entonces λ 6 6 λ 2 0 cuyas raíces son los valores propios: λ, λ 4. Como son distintos, es diagonalizable. Cálculo de los vectores propios 0: Para λ : Como det el rango es. Por tanto 2 6. Un vector propio sería 3 6, 2 cuyo módulo es Por tanto, un vector propio normalizado es,. Para λ 4: Como det el rango es. Por tanto 3 6. Un vector propio 6 2 sería 6, 3 cuyo módulo es Un vector propio normalizado es,. Por lo tanto, la matriz pedida es: Comprobación: Resp.: 38

39 Hallar una transformación ortogonal para reducir la forma cuadrática,, a una suma de cuadrados. La matriz asociada a la forma cuadrática es: Entonces 4 λ λ λ cuyas raíces son los valores propios: λ 0, λ 9, λ 4. Como son distintos, es diagonalizable. Cálculo de los vectores propios 0: Para λ 0: Como det y det el rango es 2; es decir la tercera ecuación es CL. Por tanto, 4 2 0, 4 4 0, o sea, el vector propio asociado a λ 0 es de la forma, 2, 2. Sea el vector,2,2. Para λ 9: Como det y det el rango es 2; es decir la tercera ecuación es CL. Por tanto, 5 2 0, 5 4 0, o sea, el vector propio asociado a λ 9 es de la forma 2, 4, 5. Sea el vector 2, 4,5. Para λ 4: Análogamente, llegamos a la conclusión de que el vector propio asociado a λ 4 es de la forma 2,, 0. Sea el vector 2,,0. Los tres vectores calculados son ortogonales porque se corresponden con valores propios distintos. Por lo tanto, la matriz pedida es: 2 2 Resp.: 2 4 Comprobación:

40

Capitán de fragata ingeniero AGUSTÍN E. GONZÁLEZ MORALES ÁLGEBRA PARA INGENIEROS

Capitán de fragata ingeniero AGUSTÍN E. GONZÁLEZ MORALES ÁLGEBRA PARA INGENIEROS Capitán de fragata ingeniero AGUSTÍN E. GONZÁLEZ MORALES ÁLGEBRA PARA INGENIEROS 2 Í N D I C E CAPÍTULO MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES MATRICES. MATRIZ. DEFINICIÓN 2. ALGUNOS

Más detalles

E. T. S. de Ingenieros Industriales Universidad Politécnica de Madrid. Grado en Ingeniería en Tecnologías Industriales. Grado en Ingeniería Química

E. T. S. de Ingenieros Industriales Universidad Politécnica de Madrid. Grado en Ingeniería en Tecnologías Industriales. Grado en Ingeniería Química E. T. S. de Ingenieros Industriales Universidad Politécnica de Madrid Grado en Ingeniería en Tecnologías Industriales Grado en Ingeniería Química Apuntes de Álgebra ( Curso 2014/15) Departamento de Matemática

Más detalles

Valores propios y vectores propios

Valores propios y vectores propios Capítulo 6 Valores propios y vectores propios En este capítulo investigaremos qué propiedades son intrínsecas a una matriz, o su aplicación lineal asociada. Como veremos, el hecho de que existen muchas

Más detalles

4 APLICACIONES LINEALES. DIAGONALIZACIÓN

4 APLICACIONES LINEALES. DIAGONALIZACIÓN 4 APLICACIONES LINEALES DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES En ocasiones, y con objeto de simplificar ciertos cálculos, es conveniente poder transformar una matriz en otra matriz lo más sencilla posible Esto nos

Más detalles

Espacios vectoriales y aplicaciones lineales

Espacios vectoriales y aplicaciones lineales Capítulo 3 Espacios vectoriales y aplicaciones lineales 3.1 Espacios vectoriales. Aplicaciones lineales Definición 3.1 Sea V un conjunto dotado de una operación interna + que llamaremos suma, y sea K un

Más detalles

ÁLGEBRA LINEAL E.T.S. DE INGENIERÍA INFORMÁTICA INGENIERÍA TÉCNICA EN INFORMÁTICA DE GESTIÓN. Apuntes de. para la titulación de

ÁLGEBRA LINEAL E.T.S. DE INGENIERÍA INFORMÁTICA INGENIERÍA TÉCNICA EN INFORMÁTICA DE GESTIÓN. Apuntes de. para la titulación de E.T.S. DE INGENIERÍA INFORMÁTICA Apuntes de ÁLGEBRA LINEAL para la titulación de INGENIERÍA TÉCNICA EN INFORMÁTICA DE GESTIÓN Fco. Javier Cobos Gavala Amparo Osuna Lucena Rafael Robles Arias Beatriz Silva

Más detalles

CURSO CERO. Departamento de Matemáticas. Profesor: Raúl Martín Martín Sesiones 18 y 19 de Septiembre

CURSO CERO. Departamento de Matemáticas. Profesor: Raúl Martín Martín Sesiones 18 y 19 de Septiembre CURSO CERO Departamento de Matemáticas Profesor: Raúl Martín Martín Sesiones 18 y 19 de Septiembre Capítulo 1 La demostración matemática Demostración por inducción El razonamiento por inducción es una

Más detalles

Solución a los problemas adicionales Aplicaciones lineales (Curso 2008 2009)

Solución a los problemas adicionales Aplicaciones lineales (Curso 2008 2009) ÁLGEBRA Solución a los problemas adicionales Aplicaciones lineales (Curso 2008 2009) I. Se considera el homomorfismo f : P 2 (IR) P 2 (IR) definido por las siguientes condiciones: (1) Los polinomios sin

Más detalles

Conceptos Básicos de Algebra Lineal y Geometría Multidimensional. Alvaro Cofré Duvan Henao

Conceptos Básicos de Algebra Lineal y Geometría Multidimensional. Alvaro Cofré Duvan Henao Conceptos Básicos de Algebra Lineal y Geometría Multidimensional Alvaro Cofré Duvan Henao ii Índice general 1 Sistemas de ecuaciones lineales 1 11 El método de eliminación de Gauss 3 12 Determinantes 8

Más detalles

ÁLGEBRA DE MATRICES. Al consejero A no le gusta ninguno de sus colegas como presidente.

ÁLGEBRA DE MATRICES. Al consejero A no le gusta ninguno de sus colegas como presidente. ÁLGEBRA DE MATRICES Página 49 REFLEXIONA Y RESUELVE Elección de presidente Ayudándote de la tabla, estudia detalladamente los resultados de la votación, analiza algunas características de los participantes

Más detalles

Cómo?: Resolviendo el sistema lineal homógeneo que satisfacen las componentes de cualquier vector de S. x4 = x 1 x 3 = x 2 x 1

Cómo?: Resolviendo el sistema lineal homógeneo que satisfacen las componentes de cualquier vector de S. x4 = x 1 x 3 = x 2 x 1 . ESPACIOS VECTORIALES Consideremos el siguiente subconjunto de R 4 : S = {(x, x 2, x 3, x 4 )/x x 4 = 0 x 2 x 4 = x 3 a. Comprobar que S es subespacio vectorial de R 4. Para demostrar que S es un subespacio

Más detalles

vectoriales N(f) e Im(f) N(f) = (5,1,0),( 3,0,1) y f(1,0,0)=(2,-1,1). Se pide:

vectoriales N(f) e Im(f) N(f) = (5,1,0),( 3,0,1) y f(1,0,0)=(2,-1,1). Se pide: .- En los siguientes casos estudiar si f es una aplicación lineal y en caso afirmativo hallar una matriz A tal que f(x) Ax, así como los subespacios vectoriales N(f) e Im(f) a) f(x,y) = (x,-y) b) f(x,y)

Más detalles

BASES Y DIMENSIÓN. Propiedades de las bases. Ejemplos de bases.

BASES Y DIMENSIÓN. Propiedades de las bases. Ejemplos de bases. BASES Y DIMENSIÓN Definición: Base. Se llama base de un espacio (o subespacio) vectorial a un sistema generador de dicho espacio o subespacio, que sea a la vez linealmente independiente. β Propiedades

Más detalles

FORMA CANONICA DE JORDAN Y ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES A COEFICIENTES CONSTANTES

FORMA CANONICA DE JORDAN Y ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES A COEFICIENTES CONSTANTES FORMA CANONICA DE JORDAN Y ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES A COEFICIENTES CONSTANTES Eleonora Catsigeras 6 de mayo de 997 Notas para el curso de Análisis Matemático II Resumen Se enuncia sin demostración

Más detalles

Fascículo 2. Álgebra Lineal. Cursos de grado. Gabriela Jeronimo Juan Sabia Susana Tesauri. Universidad de Buenos Aires

Fascículo 2. Álgebra Lineal. Cursos de grado. Gabriela Jeronimo Juan Sabia Susana Tesauri. Universidad de Buenos Aires Fascículo 2 Cursos de grado ISSN 1851-1317 Gabriela Jeronimo Juan Sabia Susana Tesauri Álgebra Lineal Departamento de Matemática Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Universidad de Buenos Aires 2008

Más detalles

Tema 3. Espacios vectoriales

Tema 3. Espacios vectoriales Tema 3. Espacios vectoriales Estructura del tema. Definición y propiedades. Ejemplos. Dependencia e independencia lineal. Conceptos de base y dimensión. Coordenadas Subespacios vectoriales. 0.1. Definición

Más detalles

Aplicaciones Lineales

Aplicaciones Lineales Aplicaciones Lineales Concepto de aplicación lineal T : V W Definición: Si V y W son espacios vectoriales con los mismos escalares (por ejemplo, ambos espacios vectoriales reales o ambos espacios vectoriales

Más detalles

Tema 2. Aplicaciones lineales y matrices.

Tema 2. Aplicaciones lineales y matrices. Tema 2 Aplicaciones lineales y matrices. 1 Índice general 2. Aplicaciones lineales y matrices. 1 2.1. Introducción....................................... 2 2.2. Espacio Vectorial.....................................

Más detalles

Objetivos: Al inalizar la unidad, el alumno:

Objetivos: Al inalizar la unidad, el alumno: Unidad 7 transformaciones lineales Objetivos: Al inalizar la unidad, el alumno: Comprenderá los conceptos de dominio e imagen de una transformación. Distinguirá cuándo una transformación es lineal. Encontrará

Más detalles

Repaso de matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales

Repaso de matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales Tema 1 Repaso de matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales Comenzamos este primer tema con un problema de motivación. Problema: El aire puro está compuesto esencialmente por un 78 por ciento

Más detalles

MATEMÁTICAS II. Departamento de Matemáticas I.E.S. A Xunqueira I (Pontevedra)

MATEMÁTICAS II. Departamento de Matemáticas I.E.S. A Xunqueira I (Pontevedra) MATEMÁTICAS II 1 José M. Ramos González Este libro es totalmente gratuito y solo vale la tinta y el papel en que se imprima. Es de libre divulgación y no está sometido a ningún copyright. Tan solo se

Más detalles

4.- Para los siguientes conjuntos de vectores, probar si son o no subespacios vectoriales de R 4 : 2d + 1 : b, d reales. d

4.- Para los siguientes conjuntos de vectores, probar si son o no subespacios vectoriales de R 4 : 2d + 1 : b, d reales. d GRADO EN I. TELEMÁTICA. HOJA : ESPACIOS VECTORIALES. ESPACIOS NULO Y COLUMNA.- Sea W el conjunto de todos los vectores de R de la forma subespacio de R. s + t s t s t t, con s, t R. Probar que W es un.-

Más detalles

VECTORES EN EL ESPACIO. 1. Determina el valor de t para que los vectores de coordenadas sean linealmente dependientes.

VECTORES EN EL ESPACIO. 1. Determina el valor de t para que los vectores de coordenadas sean linealmente dependientes. VECTORES EN EL ESPACIO. Determina el valor de t para que los vectores de coordenadas (,, t), 0, t, t) y(, 2, t) sean linealmente dependientes. Si son linealmente dependientes, uno de ellos, se podrá expresar

Más detalles

Tema 7: Valores y vectores propios

Tema 7: Valores y vectores propios Tema 7: es y clausura s Espacios y Permutaciones es y clausura Una permutación p = {p 1, p 2,..., p n } de los números {1, 2,..., n} es una nueva ordenación de los elementos {1, 2,..., n}, es decir, un

Más detalles

Estructuras algebraicas

Estructuras algebraicas Tema 2 Estructuras algebraicas básicas 2.1. Operación interna Definición 29. Dados tres conjuntos A, B y C, se llama ley de composición en los conjuntos A y B y resultado en el conjunto C, y se denota

Más detalles

Subespacios vectoriales en R n

Subespacios vectoriales en R n Subespacios vectoriales en R n Víctor Domínguez Octubre 2011 1. Introducción Con estas notas resumimos los conceptos fundamentales del tema 3 que, en pocas palabras, se puede resumir en técnicas de manejo

Más detalles

Anexo 1: Demostraciones

Anexo 1: Demostraciones 75 Matemáticas I : Álgebra Lineal Anexo 1: Demostraciones Espacios vectoriales Demostración de: Propiedades 89 de la página 41 Propiedades 89- Algunas propiedades que se deducen de las anteriores son:

Más detalles

Tema III. Capítulo 2. Sistemas generadores. Sistemas libres. Bases.

Tema III. Capítulo 2. Sistemas generadores. Sistemas libres. Bases. Tema III Capítulo 2 Sistemas generadores Sistemas libres Bases Álgebra Lineal I Departamento de Métodos Matemáticos y de Representación UDC 2 Sistemas generadores Sistemas libres Bases 1 Combinación lineal

Más detalles

Aplicaciones lineales

Aplicaciones lineales Capítulo 4 Aplicaciones lineales 4.1. Introduccción a las aplicaciones lineales En el capítulo anterior encontramos la aplicación de coordenadas x [x] B que asignaba, dada una base del espacio vectorial,

Más detalles

1 v 1 v 2. = u 1v 1 + u 2 v 2 +... u n v n. v n. y v = u u = u 2 1 + u2 2 + + u2 n.

1 v 1 v 2. = u 1v 1 + u 2 v 2 +... u n v n. v n. y v = u u = u 2 1 + u2 2 + + u2 n. Ortogonalidad Producto interior Longitud y ortogonalidad Definición Sean u y v vectores de R n Se define el producto escalar o producto interior) de u y v como u v = u T v = u, u,, u n ) Ejemplo Calcular

Más detalles

PROPIOS. DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES CUADRADAS

PROPIOS. DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES CUADRADAS Tema 7.- VALORES Y VECTORES PROPIOS. DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES CUADRADAS VALORES Y VECTORES PROPIOS MATRICES CUADRADAS DIAGONALIZABLES DIAGONALIZACIÓN N ORTOGONAL DE MATRICES CUADRADAS SIMÉTRICAS 1 Un

Más detalles

4. ESPACIOS VECTORIALES Y APLICACIONES LINEALES

4. ESPACIOS VECTORIALES Y APLICACIONES LINEALES Espacios Vectoriales y Aplicaciones Lineales 4. ESPACIOS VECTORIALES Y APLICACIONES LINEALES SUMARIO: INTRODUCCIÓN OBJETIVOS INTRODUCCIÓN TEÓRICA 1.- Espacios Vectoriales..- Propiedades de un Espacio Vectorial..-

Más detalles

Formas bilineales y cuadráticas.

Formas bilineales y cuadráticas. Tema 4 Formas bilineales y cuadráticas. 4.1. Introducción. Conocidas las nociones de espacio vectorial, aplicación lineal, matriz de una aplicación lineal y diagonalización, estudiaremos en este tema dos

Más detalles

Tema 4: Aplicaciones lineales

Tema 4: Aplicaciones lineales Tema 4: Aplicaciones lineales Definición, primeras propiedades y ejemplos Definición. Sean V y W dos espacios vectoriales sobre un cuerpo K. Una función f : V W se dice que es una aplicación lineal si

Más detalles

Comenzaremos recordando algunas definiciones y propiedades estudiadas en el capítulo anterior.

Comenzaremos recordando algunas definiciones y propiedades estudiadas en el capítulo anterior. Capítulo 2 Matrices En el capítulo anterior hemos utilizado matrices para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales y hemos visto que, para n, m N, el conjunto de las matrices de n filas y m columnas

Más detalles

Espacios vectoriales y Aplicaciones lineales

Espacios vectoriales y Aplicaciones lineales Espacios vectoriales y Aplicaciones lineales Espacios vectoriales. Subespacios vectoriales Espacios vectoriales Definición Sea V un conjunto dotado de una operación interna + que llamaremos suma, y sea

Más detalles

Espacios vectoriales con producto interno

Espacios vectoriales con producto interno Capítulo 8 Espacios vectoriales con producto interno En este capítulo, se generalizarán las nociones geométricas de distancia y perpendicularidad, conocidas en R y en R 3, a otros espacios vectoriales.

Más detalles

Definición 1.1.1. Dados dos números naturales m y n, una matriz de orden o dimensión m n es una tabla numérica rectangular con m filas y n columnas.

Definición 1.1.1. Dados dos números naturales m y n, una matriz de orden o dimensión m n es una tabla numérica rectangular con m filas y n columnas. Tema 1 Matrices Estructura del tema. Conceptos básicos y ejemplos Operaciones básicas con matrices Método de Gauss Rango de una matriz Concepto de matriz regular y propiedades Determinante asociado a una

Más detalles

La aplicación derivada sobre el espacio E de los polinomios en una variable, E D E, es

La aplicación derivada sobre el espacio E de los polinomios en una variable, E D E, es Álgebra lineal y Geometría I Gloria Serrano Sotelo Departamento de MATEMÁTICAS 1 Aplicaciones lineales Núcleo e Imagen Tipos de aplicaciones lineales Sean E y E k-espacios vectoriales Definición 11 Una

Más detalles

3.- DETERMINANTES. a 11 a 22 a 12 a 21

3.- DETERMINANTES. a 11 a 22 a 12 a 21 3.- DETERMINANTES. 3.1. -DEFINICIÓN Dada una matriz cuadrada de orden n, se llama determinante de esta matriz (y se representa por A o deta al polinomio cuyos términos son todos los productos posibles

Más detalles

Aplicaciones Lineales

Aplicaciones Lineales Tema 3 Aplicaciones Lineales 3.1 Introducción Se presentan en este tema las aplicaciones entre espacios vectoriales, particularmente las aplicaciones lineales, que de una manera informal pueden definirse

Más detalles

1. ESPACIOS VECTORIALES

1. ESPACIOS VECTORIALES 1 1. ESPACIOS VECTORIALES 1.1. ESPACIOS VECTORIALES. SUBESPACIOS VECTORIALES Denición 1. (Espacio vectorial) Decimos que un conjunto no vacío V es un espacio vectorial sobre un cuerpo K, o K-espacio vectorial,

Más detalles

Vectores. a) Para que sean linealmente dependientes, el determinante formado por los tres vectores ha de valer cero.

Vectores. a) Para que sean linealmente dependientes, el determinante formado por los tres vectores ha de valer cero. Vectores. Dados los vectores a y b del espacio. Siempre es posible encontrar otro vector c tal que multiplicado vectorialmente por a nos de el vector b?. Por que?. No siempre será posible. El vector a

Más detalles

4 Aplicaciones Lineales

4 Aplicaciones Lineales Prof Susana López 41 4 Aplicaciones Lineales 41 Definición de aplicación lineal Definición 23 Sean V y W dos espacios vectoriales; una aplicación lineal f de V a W es una aplicación f : V W tal que: 1

Más detalles

Espacio afín. Transformaciones afines y movimientos

Espacio afín. Transformaciones afines y movimientos Capítulo Espacio afín. Transformaciones afines y movimientos. Espacio afín y espacio afín métrico Definición. El espacio afín (tridimensional) está constituido por los siguientes elementos. El espacio

Más detalles

Algebra Lineal y Geometría.

Algebra Lineal y Geometría. Algebra Lineal y Geometría. Unidad nº7: Transformaciones Lineales. Algebra Lineal y Geometría Esp. Liliana Eva Mata 1 Contenidos. Transformación lineal entre dos espacios vectoriales. Teorema fundamental

Más detalles

M a t e m á t i c a s I I 1

M a t e m á t i c a s I I 1 Matemáticas II Matemáticas II ANDALUCÍA CNVCATRIA JUNI 009 SLUCIÓN DE LA PRUEBA DE ACCES AUTR: José Luis Pérez Sanz pción A Ejercicio En este límite nos encontramos ante la indeterminación. Agrupemos la

Más detalles

Polinomios: Definición: Se llama polinomio en "x" de grado "n" a una expresión del tipo

Polinomios: Definición: Se llama polinomio en x de grado n a una expresión del tipo Polinomios: Definición: Se llama polinomio en "x" de grado "n" a una expresión del tipo P (x) = a 0 x n + a 1 x n 1 +... + a n Donde n N (número natural) ; a 0, a 1, a 2,..., a n son coeficientes reales

Más detalles

1. SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS

1. SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS 1 1. SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS 1.1. ESPACIOS VECTORIALES 1. Analizar cuáles de los siguientes subconjuntos de R 3 son subespacios vectoriales. a) A = {(2x, x, 7x)/x R} El conjunto A es una

Más detalles

Tema 3: Aplicaciones de la diagonalización

Tema 3: Aplicaciones de la diagonalización TEORÍA DE ÁLGEBRA II: Tema 3. DIPLOMATURA DE ESTADÍSTICA 1 Tema 3: Aplicaciones de la diagonalización 1 Ecuaciones en diferencias Estudiando la cría de conejos, Fibonacci llegó a las siguientes conclusiones:

Más detalles

ÁLGEBRA LINEAL. Apuntes elaborados por. Juan González-Meneses López. Curso 2008/2009. Departamento de Álgebra. Universidad de Sevilla.

ÁLGEBRA LINEAL. Apuntes elaborados por. Juan González-Meneses López. Curso 2008/2009. Departamento de Álgebra. Universidad de Sevilla. ÁLGEBRA LINEAL Apuntes elaborados por Juan González-Meneses López. Curso 2008/2009 Departamento de Álgebra. Universidad de Sevilla. Índice general Tema 1. Matrices. Determinantes. Sistemas de ecuaciones

Más detalles

TEMA 1. VECTORES Y MATRICES

TEMA 1. VECTORES Y MATRICES TEMA 1. VECTORES Y MATRICES 1.1. Definición de vector. Operaciones elementales 1.2. Matrices. Operaciones elementales 1.3. Traza y Determinante 1.4. Aplicaciones 1.1. DEFINICIÓN DE VECTOR. OPERACIONES

Más detalles

Opción A Ejercicio 1 opción A, modelo 4 Septiembre 2014

Opción A Ejercicio 1 opción A, modelo 4 Septiembre 2014 IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 014 (Modelo 4) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna [ 5 puntos] Sabiendo que Sabiendo que 0 0 cos(3) - e + a sen() Opción A Ejercicio 1 opción A, modelo 4 Septiembre

Más detalles

Aplicaciones Lineales

Aplicaciones Lineales Aplicaciones Lineales Primeras definiciones Una aplicación lineal de un K-ev de salida E a un K-ev de llegada F es una aplicación f : E F tal que f(u + v) = f(u) + f(v) para todos u v E f(λ u) = λ f(u)

Más detalles

Este documento ha sido generado para facilitar la impresión de los contenidos. Los enlaces a otras páginas no serán funcionales.

Este documento ha sido generado para facilitar la impresión de los contenidos. Los enlaces a otras páginas no serán funcionales. Este documento ha sido generado para facilitar la impresión de los contenidos. Los enlaces a otras páginas no serán funcionales. Introducción Por qué La Geometría? La Geometría tiene como objetivo fundamental

Más detalles

3 Espacios Vectoriales

3 Espacios Vectoriales Prof. Susana López 31 3 Espacios Vectoriales 3.1 Introducción Un ector fijo en el plano no es más que un segmento orientado en el que hay que distinguir tres características: -dirección: la de la recta

Más detalles

Espacios vectoriales. Bases. Coordenadas

Espacios vectoriales. Bases. Coordenadas Capítulo 5 Espacios vectoriales. Bases. Coordenadas OPERACIONES ENR n Recordemos que el producto cartesiano de dos conjuntos A y B consiste en los pares ordenados (a,b) tales que a A y b B. Cuando consideramos

Más detalles

Objetivos: Al inalizar la unidad, el alumno:

Objetivos: Al inalizar la unidad, el alumno: Unidad 3 espacios vectoriales Objetivos: Al inalizar la unidad, el alumno: Describirá las características de un espacio vectorial. Identiicará las propiedades de los subespacios vectoriales. Ejempliicará

Más detalles

Tema 2. Espacios Vectoriales. 2.1. Introducción

Tema 2. Espacios Vectoriales. 2.1. Introducción Tema 2 Espacios Vectoriales 2.1. Introducción Estamos habituados en diferentes cursos a trabajar con el concepto de vector. Concretamente sabemos que un vector es un segmento orientado caracterizado por

Más detalles

PROBLEMA 1. 1. [1.5 puntos] Obtener la ecuación de la recta tangente en el punto ( 2, 1) a la curva dada implícitamente por y 3 +3y 2 = x 4 3x 2.

PROBLEMA 1. 1. [1.5 puntos] Obtener la ecuación de la recta tangente en el punto ( 2, 1) a la curva dada implícitamente por y 3 +3y 2 = x 4 3x 2. PROBLEMA. ESCUELA UNIVERSITARIA POLITÉCNICA DE SEVILLA Ingeniería Técnica en Diseño Industrial Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería Soluciones correspondientes a los problemas del Primer Parcial 7/8.

Más detalles

Matemáticas I: Hoja 2 Cálculo matricial y sistemas de ecuaciones lineales

Matemáticas I: Hoja 2 Cálculo matricial y sistemas de ecuaciones lineales Matemáticas I: Hoja 2 Cálculo matricial y sistemas de ecuaciones lineales Ejercicio 1 Escribe las siguientes matrices en forma normal de Hermite: 2 4 3 1 2 3 2 4 3 1 2 3 1. 1 2 3 2. 2 1 1 3. 1 2 3 4. 2

Más detalles

Calcular la dimensión, una base y unas ecuaciones implícitas linealmente independientes del núcleo e imagen de

Calcular la dimensión, una base y unas ecuaciones implícitas linealmente independientes del núcleo e imagen de Calcular la dimensión, una base y unas ecuaciones implícitas linealmente independientes del núcleo e imagen de 1 (a) f(x 1, x 2, x 3 ) = (x 1 + x 3, x 2 + x 3, x 1 + x 3, x 2 + x 3 ) (b) f(x 1, x 2, x

Más detalles

ESPACIO VECTORIAL ESPACIO VECTORIAL SUBESPACIO VECTORIAL BASE Y DIMENSIÓN N DE UN

ESPACIO VECTORIAL ESPACIO VECTORIAL SUBESPACIO VECTORIAL BASE Y DIMENSIÓN N DE UN Tema 5.- ESPACIOS VECTORIALES ESPACIO VECTORIAL SUBESPACIO VECTORIAL BASE Y DIMENSIÓN N DE UN ESPACIO VECTORIAL Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería 1 Aunque históricamente el primer trabajo de Álgebra

Más detalles

Sección 4.5: Transformaciones del plano y del espacio. Sección 4.6: Problema de mínimos cuadrados y aplicaciones.

Sección 4.5: Transformaciones del plano y del espacio. Sección 4.6: Problema de mínimos cuadrados y aplicaciones. Tema 4 Producto escalar En bachiller habéis visto los conceptos de producto escalar, longitud, distancia y perpendicularidad en R y R 3 En este tema del curso se generalizan estos conceptos a R n, junto

Más detalles

E 1 E 2 E 2 E 3 E 4 E 5 2E 4

E 1 E 2 E 2 E 3 E 4 E 5 2E 4 Problemas resueltos de Espacios Vectoriales: 1- Para cada uno de los conjuntos de vectores que se dan a continuación estudia si son linealmente independientes, sistema generador o base: a) (2, 1, 1, 1),

Más detalles

3. Equivalencia y congruencia de matrices.

3. Equivalencia y congruencia de matrices. 3. Equivalencia y congruencia de matrices. 1 Transformaciones elementales. 1.1 Operaciones elementales de fila. Las operaciones elementales de fila son: 1. H ij : Permuta la fila i con la fila j. 2. H

Más detalles

1 Espacios y subespacios vectoriales.

1 Espacios y subespacios vectoriales. UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE CARTAGENA Departamento de Matemática Aplicada y Estadística Espacios vectoriales y sistemas de ecuaciones 1 Espacios y subespacios vectoriales Definición 1 Sea V un conjunto

Más detalles

Iniciación a las Matemáticas para la ingenieria

Iniciación a las Matemáticas para la ingenieria Iniciación a las Matemáticas para la ingenieria Los números naturales 8 Qué es un número natural? 11 Cuáles son las operaciones básicas entre números naturales? 11 Qué son y para qué sirven los paréntesis?

Más detalles

Tema 1. VECTORES (EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO)

Tema 1. VECTORES (EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO) Vectores Tema. VECTORES (EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO Definición de espacio vectorial Un conjunto E es un espacio vectorial si en él se definen dos operaciones, una interna (suma y otra externa (producto

Más detalles

TEST DE ÁLGEBRA. 6.- Sea el subespacio de R 3 S = { (x,,y,z) / x +y+z = 0} a) es de dimensión 1 b) es de dimensión 2 c) es R 3 d) NDLA

TEST DE ÁLGEBRA. 6.- Sea el subespacio de R 3 S = { (x,,y,z) / x +y+z = 0} a) es de dimensión 1 b) es de dimensión 2 c) es R 3 d) NDLA TEST DE ÁLGEBRA 1.- Sea f:r 4 -----> R 5 una apli. lineal a) Dim ker(f) tiene que ser 3 b) Dim ker(f) será 4 c) Dim ker(f) es 5 2.- El sistema homogéneo 3 x % 8 y % ð z 0 y & z 0 a) tiene soluciones no

Más detalles

Fundamentos matemáticos de la ingeniería

Fundamentos matemáticos de la ingeniería Fundamentos matemáticos de la ingeniería Pura Vindel Departament de Matemàtiques Codi assignatura 8 Pura Vindel - ISBN: 978-84-69-98-4 Edita: Publicacions de la Universitat Jaume I. Servei de Comunicació

Más detalles

1 El espacio vectorial R n.

1 El espacio vectorial R n. Manuel Gutiérrez Departamento de Álgebra, Geometría y Topología Universidad de Málaga February 26, 2009 1 El espacio vectorial R n. La estructura de espacio vectorial es posiblemente la estructura más

Más detalles

ÁLGEBRA LINEAL I Soluciones a la Práctica 6

ÁLGEBRA LINEAL I Soluciones a la Práctica 6 ÁLGEBRA LINEAL I Soluciones a la Práctica 6 Aplicaciones lineales (Curso 2009 2010) 1. De las siguientes aplicaciones definidas entre espacios vectoriales reales, determinar cuáles son homomorfismos, monomorfismos,

Más detalles

VECTORES. Módulo, dirección y sentido de un vector fijo En un vector fijo se llama módulo del mismo a la longitud del segmento que lo define.

VECTORES. Módulo, dirección y sentido de un vector fijo En un vector fijo se llama módulo del mismo a la longitud del segmento que lo define. VECTORES El estudio de los vectores es uno de tantos conocimientos de las matemáticas que provienen de la física. En esta ciencia se distingue entre magnitudes escalares y magnitudes vectoriales. Se llaman

Más detalles

1. INVERSA DE UNA MATRIZ REGULAR

1. INVERSA DE UNA MATRIZ REGULAR . INVERSA DE UNA MATRIZ REGULAR Calcular la inversa de una matriz regular es un trabajo bastante tedioso. A través de ejemplos se expondrán diferentes técnicas para calcular la matriz inversa de una matriz

Más detalles

APLICACIONES LINEALES. DIAGONALIZACIÓN

APLICACIONES LINEALES. DIAGONALIZACIÓN I.- Sea f una transformación lineal de un espacio vectorial V de dimensión n. Sea B una base de V. Sea A la matriz asociada a f respecto de la base B. Señala, sin demostrar, cuáles de las siguientes afirmaciones

Más detalles

MÉTODOS DIRECTOS PARA LA RESOLUCIÓN DE ECUACIONES ALGEBRAICAS LINEALES

MÉTODOS DIRECTOS PARA LA RESOLUCIÓN DE ECUACIONES ALGEBRAICAS LINEALES CAPÍTULO 4 EJERCICIOS RESUELTOS: MÉTODOS DIRECTOS PARA LA RESOLUCIÓN DE ECUACIONES ALGEBRAICAS LINEALES Ejercicios resueltos 1 1. Determine el número de operaciones aritméticas necesarias para calcular

Más detalles

Clasificación de métricas.

Clasificación de métricas. Clasificación de métricas. 1. El problema de clasificación. Como bien sabemos, el par formado por una métrica T 2 (esto es, un tensor 2-covariante simétrico) sobre un espacio vectorial E, (E, T 2 ), constituye

Más detalles

Material elaborado por la Profesora Ana Aída Sforzini - Año 2009 1

Material elaborado por la Profesora Ana Aída Sforzini - Año 2009 1 UNIVERSIDAD NACIONAL DE RIO CUARTO FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Cátedra: ÁLGEBRA LINEAL UNIDAD V ESPACIOS VECTORIALES 1.V Definición de vector VECTOR EN R n y PUNTO EN EL ESPACIO N-DIMENSIONAL SON,

Más detalles

21.1.2. TEOREMA DE DETERMINACIÓN DE APLICACIONES LINEALES

21.1.2. TEOREMA DE DETERMINACIÓN DE APLICACIONES LINEALES Aplicaciones lineales. Matriz de una aplicación lineal 2 2. APLICACIONES LINEALES. MATRIZ DE UNA APLICACIÓN LINEAL El efecto que produce el cambio de coordenadas sobre una imagen situada en el plano sugiere

Más detalles

Clase 15 Espacios vectoriales Álgebra Lineal

Clase 15 Espacios vectoriales Álgebra Lineal Espacios vectoriales Clase 5 Espacios vectoriales Álgebra Lineal Código Escuela de Matemáticas - Facultad de Ciencias Universidad Nacional de Colombia En esta sección estudiaremos uno de los conceptos

Más detalles

Segundo de Bachillerato Geometría en el espacio

Segundo de Bachillerato Geometría en el espacio Segundo de Bachillerato Geometría en el espacio Jesús García de Jalón de la Fuente IES Ramiro de Maeztu Madrid 204-205. Coordenadas de un vector En el conjunto de los vectores libres del espacio el concepto

Más detalles

Álgebra y Matemática Discreta Sesión de Prácticas 10

Álgebra y Matemática Discreta Sesión de Prácticas 10 Álgebra y Matemática Discreta Sesión de Prácticas 10 (c) 2013 Leandro Marín, Francisco J. Vera, Gema M. Díaz 18 Nov 2013-24 Nov 2013 Núcleos e Imágenes Definición Sea f : V W una aplicación lineal. Se

Más detalles

Espacios Vectoriales

Espacios Vectoriales Espacios Vectoriales Departamento de Matemáticas, CCIR/ITESM 4 de enero de 2 Índice 3.. Objetivos................................................ 3.2. Motivación...............................................

Más detalles

Matrices. Definiciones básicas de matrices. www.math.com.mx. José de Jesús Angel Angel. jjaa@math.com.mx

Matrices. Definiciones básicas de matrices. www.math.com.mx. José de Jesús Angel Angel. jjaa@math.com.mx Matrices Definiciones básicas de matrices wwwmathcommx José de Jesús Angel Angel jjaa@mathcommx MathCon c 2007-2008 Contenido 1 Matrices 2 11 Matrices cuadradas 3 12 Matriz transpuesta 4 13 Matriz identidad

Más detalles

Vectores en el espacio

Vectores en el espacio Vectores en el espacio Un sistema de coordenadas tridimensional se construye trazando un eje Z, perpendicular en el origen de coordenadas a los ejes X e Y. Cada punto viene determinado por tres coordenadas

Más detalles

Valores y vectores propios de una matriz. Juan-Miguel Gracia

Valores y vectores propios de una matriz. Juan-Miguel Gracia Juan-Miguel Gracia Índice 1 Valores propios 2 Polinomio característico 3 Independencia lineal 4 Valores propios simples 5 Diagonalización de matrices 2 / 28 B. Valores y vectores propios Definiciones.-

Más detalles

Sistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices

Sistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices Sistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices Oscar G Ibarra-Manzano, DSc Departamento de Area Básica - Tronco Común DES de Ingenierías Facultad de Ingeniería, Mecánica, Eléctrica y Electrónica Trimestre

Más detalles

GUIA DE EJERCICIOS MATEMATICAS 3

GUIA DE EJERCICIOS MATEMATICAS 3 GUIA DE EJERCICIOS MATEMATICAS 3 La presente guía representa una herramienta para el estudiante para que practique los temas dictados en matemáticas 3. Tenga presente que algunos ejercicios se escapan

Más detalles

1. Cambios de base en R n.

1. Cambios de base en R n. er Curso de Ingeniero de Telecomunicación. Álgebra. Curso 8-9. Departamento de Matemática Aplicada II. Universidad de Sevilla. Tema 5. Cambios de Base. Aplicaciones Lineales. Teoría y Ejercicios Resueltos..

Más detalles

Al consejero A no le gusta ninguno de sus colegas como presidente. Dos consejeros (C y E) están de acuerdo en los mismos candidatos (B, C y D).

Al consejero A no le gusta ninguno de sus colegas como presidente. Dos consejeros (C y E) están de acuerdo en los mismos candidatos (B, C y D). ÁLGEBRA DE MATRICE Página 48 Ayudándote de la tabla... De la tabla podemos deducir muchas cosas: Al consejero A no le gusta ninguno de sus colegas como presidente. B solo tiene un candidato el C. Dos consejeros

Más detalles

Congruencias de Grado Superior

Congruencias de Grado Superior Congruencias de Grado Superior Capítulo 3 3.1 Introdución En el capítulo anterior vimos cómo resolver congruencias del tipo ax b mod m donde a, b y m son enteros m > 1, y (a, b) = 1. En este capítulo discutiremos

Más detalles

2 Matrices. 1. Tipos de matrices. Piensa y calcula. Aplica la teoría

2 Matrices. 1. Tipos de matrices. Piensa y calcula. Aplica la teoría 2 Matrices 1. Tipos de matrices Piensa y calcula Escribe en forma de tabla el siguiente enunciado: «Una familia gasta en enero 400 en comida y 150 en vestir; en febrero, 500 en comida y 100 en vestir;

Más detalles

Dependencia lineal de vectores y sus aplicaciones a la resolución de sistemas de ecuaciones lineales y de problemas geométricos.

Dependencia lineal de vectores y sus aplicaciones a la resolución de sistemas de ecuaciones lineales y de problemas geométricos. Dependencia lineal de vectores y sus aplicaciones a la resolución de sistemas de ecuaciones lineales y de problemas geométricos. Prof. D. Miguel Ángel García Hoyo. Septiembre de 2011 Dependencia lineal

Más detalles

Espacios vectoriales y aplicaciones lineales.

Espacios vectoriales y aplicaciones lineales. Práctica 2 Espacios vectoriales y aplicaciones lineales. Contenido: Localizar bases de espacios vectoriales. Suma directa. Bases y dimensiones. Cambio de base. Aplicaciones lineales. Matriz asociada en

Más detalles

Espacios generados, dependencia lineal y bases

Espacios generados, dependencia lineal y bases Espacios generados dependencia lineal y bases Departamento de Matemáticas CCIR/ITESM 14 de enero de 2011 Índice 14.1. Introducción............................................... 1 14.2. Espacio Generado............................................

Más detalles

Polinomios y Ecuaciones

Polinomios y Ecuaciones Ejercicios de Cálculo 0 Prof. María D. Ferrer G. Polinomios y Ecuaciones.. Polinomios: Un polinomio o función polinómica es una epresión de la forma: n n n P a a a a a a = n + n + n + + + + 0 () Los números

Más detalles

Diagonalización de matrices

Diagonalización de matrices diagonalizacion.nb Diagonalización de matrices Práctica de Álgebra Lineal, E.U.A.T., Grupos ºA y ºB, 2005 Algo de teoría Qué es diagonalizar una matriz? Para estudiar una matriz suele ser conveniente expresarla

Más detalles

Sistemas de ecuaciones lineales

Sistemas de ecuaciones lineales Sistemas de ecuaciones lineales Problemas teóricos Sistemas de ecuaciones lineales con parámetros En los siguientes problemas hay que resolver el sistema de ecuaciones lineales para todo valor del parámetro

Más detalles

Problema 1. (4 puntos) Sea f la aplicación lineal de R³ en R³ definida por f(1,3,4)=(2,6,8), f(1,1,1)=(2,6,8) y f(0,1,1)=(0,0,0).

Problema 1. (4 puntos) Sea f la aplicación lineal de R³ en R³ definida por f(1,3,4)=(2,6,8), f(1,1,1)=(2,6,8) y f(0,1,1)=(0,0,0). Problema 1. (4 puntos) Sea f la aplicación lineal de R³ en R³ definida por f(1,3,4)=(2,6,8), f(1,1,1)=(2,6,8) y f(0,1,1)=(0,0,0). a) Demostrad que (1,3,4), (1,1,1) i (0,1,1) son una base de R³. b) Decid

Más detalles