Formas bilineales y cuadráticas.

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1 Tema 4 Formas bilineales y cuadráticas Introducción. Conocidas las nociones de espacio vectorial, aplicación lineal, matriz de una aplicación lineal y diagonalización, estudiaremos en este tema dos familias de funciones que tienen notable interés por sus aplicaciones en álgebra lineal y en geometría analítica. Son funciones valoradas en el espacio de escalares K y por ello se les llama formas. La primera, las formas bilineales, son funciones definidas sobre pares de vectores, es decir, son funciones de dos variables vectoriales. Salvando las distancias, las formas bilineales tienen analogías con las aplicaciones lineales: fijada una base se pueden definir mediante matrices. Si se cambia de base, cambia la matriz y la nueva se calcula a partir de la matriz de cambio de base. Las matrices de la misma forma bilineal tienen el mismo rango, etc.. La otra familia, la de las formas cuadráticas, está formada por funciones de una variable y muy emparentada con una subfamilia de las bilineales. También se definen mediante una matriz para cada base del espacio y todas las matrices de la misma forma cuadrática tienen algunos invariantes que identifican a la forma cuadrática. Como único requisito previo para el estudio de este tema pondremos el que se conozcan bien los conceptos estudiados en los temas anteriores. 1

2 4.2. Formas Bilineales. Consideremos un espacio vectorial V sobre el cuerpo K de los números reales o de los números complejos. Denotaremos V V al conjunto de pares ordenados de vectores de V. Una aplicación f que a cada par de vectores (u, v) V V asocia un escalar f(u, v) K se dice que es una forma forma bilineal si es lineal en cada una de sus dos variables; es decir si cumple: f(αu 1 + βu 2, v) = αf(u 1, v) + βf(u 2, v) y f(u, γv 1 + µv 2 ) = γf(u, v 1 ) + µf(u, v 2 ) para todo u, u 1, u 2, v, v 1, v 2 V y todo α, β, γ, µ K. Algún ejemplo. La siguiente es forma bilineal en R 3 (compruebese como ejercicio). f(x, y) = 2x 1 y 1 x 1 y 2 + 4x 1 y 3 + 3x 2 y 1 5x 2 y 3 + 7x 3 y 1 5x 3 y 2 4x 3 y 3, x = (x 1, x 2, x 3 ), y = (y 1, y 2, y 3 ). Es fácil ver que toda forma bilineal f verifica que f(0, y) = f(x, 0) = 0 y f( x, y) = f(x, y) = f(x, y). Además, la suma de dos formas bilineales en V y el producto de una forma bilineal en V por un escalares son también formas bilineales en V. El conjunto de todas las formas bilineales de V es un espacio vectorial sobre K. Hay dos tipos distinguidos de formas bilineales. Una forma bilineal f se dice que es bilineal simétrica si f(u, v) = f(v, u), u, v V. Una forma g se dice bilineal antisimétrica si g(u, v) = g(v, u), u, v V. No toda forma bilineal es simétrica o antisimétrica, por ejemplo la siguiente es una forma bilineal en R 2 y no es simétrica ni antisimétrica: f(x, y) = 3x 1 y 1 + x 1 y 2 2x 2 y 2, x = (x 1, x 2 ), y = (y 1, y 2 ). Sin embargo, como se propone en las cuestiones y problemas, toda forma bilineal es suma de una simétrica y una antisimétrica. 2

3 Fijada una base B V = {v 1, v 2,..., v n }, toda forma bilineal f tiene asociada una única matriz B M n, que es la definida por: f(v 1, v 1 ) f(v 1, v 2 ) f(v 1, v n ) B = f(v 2, v 1 ) f(v 2, v 2 ) f(v 2, v n ). f(v n, v 1 ) f(v n, v 2 ) f(v n, v n ) Obsérvese la analogía entre esta matriz y la de un producto escalar, que vimos en el tema dos. De hecho, todo producto escalar es una forma bilineal simétrica. La matriz define la forma bilineal en el siguiente sentido: Si X = (x 1, x 2,, x n ), Y = (y 1, y 2,, y n ) son las coordenadas de dos vectores x, y V entonces su imagen se calcula a través de la matriz por la expresión: f(x, y) = XBY t. (4.1) Si ahora B V es otra base de V y P M n la matriz de cambio de base de B V a B V entonces, denotando X = (x 1, x 2,, x n), Y = (y 1, y 2,, y n) las coordenadas, respectivamente de los vectores x, y V se tiene, como es sabido: X = X P, Y = Y P, Y t = P t Y t Así, la expresión de la imagen en función de las coordenadas X, Y será, sustituyendo en (4.1): f(x, y) = X P BP t Y t Se obtiene así que la matriz de f referida a la base B V es B = P BP t. A dos matrices de la misma forma bilineal en distintas bases se les llama matrices congruentes, y se verifica que dos matrices B, B M n son congruentes si y sólo si existe una matriz regular P M n, tal que B = P BP t. Además P es la matriz de cambio de base entre la base nueva y la antigua. Es sencillo ver que dos matrices congruentes son equivalentes, y por tanto tienen el mismo rango. Ese rango es, por definición, el de la forma bilineal. Si ese rango no es máximo (es decir, si es menor que la dimensión del espacio vectorial) entonces la forma bilineal 3

4 se dice degenerada. Es evidente que f es degenerada si y sólo si el determinante de la matriz de f es nulo. Las formas bilineales no degeneradas se dicen ordinarias. Ejemplo 4.1. Consideremos la forma bilineal f definida en R 3 R 3 por: f(x, y) = 2x 1 y 1 x 1 y 2 + 4x 1 y 3 + 3x 2 y 1 5x 2 y 3 + 7x 3 y 1 5x 3 y 2 4x 3 y 3, x = (x 1, x 2, x 3 ), y = (y 1, y 2, y 3 ). Escribe su matriz A respecto de la base canónica. También su matriz A respecto de la base B = {(1, 0, 1), (0, 1, 2), (0, 0, 1)}. y A. Si v = (2, 1, 2), v = ( 1, 0, 1), calcula f(u, v) empleando sucesivamente A Solución. Si denotamos B c = {e 1, e 2, e 3 } la base canónica, para la matriz hay que calcular f(e 1, e 1 ), f(e 1, e 2 ),, f(e 3, e 3 ). Con ellos la matriz es: A = Nota: Respecto de la base canónica, a partir de la expresión de la forma bilineal se puede escribir la matriz directamente, (sin cálculos) porque atiende a la siguiente regla nemotécnica : enumerando las filas con las componentes de x y las columnas con las de y, los elementos de la matriz son los coeficientes del producto de las componentes de x e y. Así a 11 es el coeficiente de x 1 y 1, a 12 el coeficiente de x 1 y 2, etc... pero ojo! sólo es así para la matriz respecto de la base canónica. Para calcular la matriz respecto de la base B hay dos vías: calculando directamente las imágenes de los pares de vectores a partir de la expresión de f o a través de la matriz P de cambio de base de B a B c. Optamos por esta segunda vía. Realícese como ejercicio por la primera y compruébese que se obtiene la misma matriz. La matriz de cambio de base de B a B c es P =

5 Así la matriz A de f respecto de la base B es A = P AP t y vale: A = = Para calcular f(u, v), en cada caso hay que tener las coordenadas de u y v respecto de las correspondientes bases B c y B, y emplear las respectivas matrices A y A. Respecto de B c, coordenadas y vector coinciden. Por tanto: f(u, v) = (2, 1, 2) = Respecto de B, calculando las coordenadas de u y v en la base B obtenemos: u = (2, 1, 2) B ; v = ( 1, 0, 0) B. Por tanto f(u, v) = (2, 1, 2) = Recordemos que una matriz cuadrada se dice simétrica si coincide con su traspuesta y se dice antisimétrica si coincide con la opuesta de su traspuesta. Hemos de notar que si M M n es matriz simétrica (o antisimétrica), cualquier matriz M congruente con M es también matriz simétrica (o antisimétrica). En efecto (lo hacemos para simétrica, hágase como ejercicio para antisimétrica): Si M = P MP t, con P M n matriz regular de congruencia, entonces: M t = (P MP t ) t = P t t M t P t = P MP t = M. A partir de ello se concluye que, si una forma bilineal tienen matriz simétrica respecto de una base, la tiene respecto de cualquier base (y lo mismo sucede para 5

6 antisimétrica). Además se verifica que una forma bilineal es simétrica si y sólo si su matriz es simétrica, (lo mismo para antisimétrica). En lo que sigue trataremos sólo con formas bilineales simétricas. Formas bilineales simétricas. Conjugación. Dada una forma bilineal simétrica f sobre un espacio vectorial V, dos vectores u, v V se dicen vectores conjugados si f(u, v) = 0. Dos subespacios S, T V se dicen subespacios conjugados si f(x, y) = 0 x S, y T. Para ello es suficiente que sean conjugados los vectores de una base de uno de los subespacios con los de otra base del otro. Una base B V se dice base de vectores conjugados por f si cada vector de la base es conjugado con los demás. Es evidente que, respecto de una base de vectores conjugados, la matriz de f es diagonal, y recíprocamente, si la matriz de f es diagonal, entonces la base es de vectores conjugados. Fijado un vector x, el conjunto de los vectores conjugados con x forman un subespacio vectorial de V que denotaremos x 0. En concreto: x 0 = {y V : f(x, y) = 0}. Se llama núcleo de f, denotado N(f) al conjunto de los vectores que son conjugados con todo vector de V, es decir: N(f) = {x V : f(x, y) = 0, y V }. Si A M n es la matriz de f (respecto de cualquier base) y si X = (x 1, x 2,, x n ) son las coordenadas de un vector de N(f) entonces se cumplirá que XAY t = 0 para todo Y = (y 1, y 2,, y n ) K n. Ello sólo es posible si y sólo si XA = 0. Esto nos da una condición para obtener los vectores de N(f). Serán aquellos cuyas coordenadas X verifiquen XA = 0, es decir, las soluciones del sistema de ecuaciones lineales homogéneo cuya matriz de coeficientes es A. Por lo que sabemos de esos sistemas, sólo hay soluciones no nulas si A = 0. Se concluye entonces que una forma bilineal simétrica tiene núcleo distinto del {0} si y sólo si es degenerada. 6

7 Ejemplo 4.2. Consideremos en R 3 la forma bilineal f(x, y) = x 1 y 1 + x 1 y 2 + 2x 1 y 3 + x 2 y 1 + x 2 y 3 + 2x 3 y 1 + x 3 y 2 + 3x 3 y 3, x = (x 1, x 2, x 3 ), y = (y 1, y 2, y 3 ). Escribe su matriz respecto de la base canónica. Encuentra el subespacio conjugado de u = (1, 2, 0) y de U =< (1, 0, 3), (0, 1, 2) >. Encuentra el rango y el núcleo de f y una base de R 3 formada por vectores conjugados para f. Solución. La matriz de f en la base canónica es: Ahora el conjugado de u es: A = u 0 = {X = (x, y, z) R 3 : (1, 2, 0)AX t = 0} = {(x, y, z) R 3 : x + y = 0}. El subespacio conjugado de U estará formado por los vectores que sean conjugados simultáneamente de ambos vectores de la base de U. Así, denotando U 0 se tendrá: U 0 = {X = (x, y, z) R 3 : (1, 0, 3)AX t = 0, (0, 1, 2)AX t = 0} = = {(x, y, z) R 3 : 7x + 4y + 11z = 0, 3x + 2y + 5z = 0}. El rango de f es el rango de A que es 2. Para el núcleo: N(f) = {X = (x, y, z) R 3 : XA = 0} = = {(x, y, z) R 3 : x + y + 2z = 0, x + z = 0, 2x + y + 3z = 0} =< (1, 1, 1) >. Para buscar una base de vectores conjugados, debemos buscar un conjunto de tres vectores B = {v 1, v 2, v 3 } que sean linealmente independientes y que cada uno sea conjugado de los demás. Hay infinitas posibilidades, pero para simplificar los buscaremos de la forma v 1 = (1, 0, 0), v 2 = (α, β, 0), v 3 = (γ, δ, µ), y determinaremos los parámetros para que f(v 1, v 2 ) = 0, f(v 1, v 3 ) = 0, f(v 2, v 3 ) = 0. Empleando la matriz A, f(v 1, v 2 ) = 0 equivale a la ecuación α + β = 0. Un vector posible es v 2 = (1, 1, 0). Las otras dos igualdades f(v 1, v 3 ) = 0, f(v 2, v 3 ) = 0 proporcionan 7

8 las ecuaciones: γ + δ + 2µ = 0 δ + µ = 0 Dos soluciones posibles son: v 2 = (1, 1, 0) y v 3 = ( 1, 1, 1). Ejercicio: Calcula la matriz de f respecto de la base de vectores conjugados obtenida y comprueba que es A = }. En el ejercicio anterior se ha proporcionado un modo, si quiera sea como sencillo ejemplo, de encontrar una matriz diagonal congruente con una matriz simétrica dada: consiste en encontrar las coordenadas de vectores que formen una base de conjugados para la matriz simétrica (que es como decir para la forma bilineal simétrica dada). La matriz asociada a la forma bilineal respecto de los vectores conjugados es diagonal y la matriz de congruencia es la matriz de cambio de base de la de conjugados a la base dada. Obtener la matriz diagonal y la matriz de cambio de base es lo que se llama diagonalizar la forma bilineal simétrica o diagonalizar por congruencias la matriz simétrica dada. Hay otro método para diagonalizar por congruencias una matriz A M n cuadrada simétrica. Consiste en emplear transformaciones elementales. El método es totalmente análogo al método de Gauss para obtener la inversa de una matriz, que es bien conocido, con la salvedad de que cada transformación que se haga por filas en la matriz, hay que hacerla también por columnas y no es necesario obtener unos en la diagonal principal (sólo ceros fuera). Las transformaciones que se hagan por filas (las de por columnas no), han de hacerse también en la matriz I n, identidad de orden n, que al iniciar el proceso se adosa a A. Al final se obtiene la matriz diagonal donde inicialmente estaba A y la matriz P donde inicialmente estaba I n. Veamos un ejemplo. 8

9 Ejemplo 4.3. Diagonalizar por transformaciones elementales la matriz simétrica dada en el ejercicio anterior. Solución. En lo que sigue indicaremos las transformaciones empleadas: f 3 2f f 2 f Así se tiene que: P = y se tiene que P AP t = D c 2 c c 3 c 2 c 3 2c , D = f 3 f 2 Una observación: Una misma matriz A M n simétrica puede tener más de una forma diagonal, y la forma bilineal asociada, varias bases de vectores conjugados, pero todas las formas diagonales de A tienen la misma cantidad de elementos no nulos en la diagonal, y en el caso en que los elementos de A sean números reales (matriz real simétrica), dos formas diagonales de A tienen la misma cantidad de términos positivos en la diagonal Formas Cuadráticas. Consideremos una forma bilineal simétrica f sobre un espacio vectorial V. Se llama forma cuadrática asociada a f a la aplicación w : V K definida por: 9

10 w(x) = f(x, x). La aplicación f es conocida como forma polar de w. A la matriz asociada a f en una base B se le llama también matriz asociada a w en B. Se cumple que w(αx) = α 2 w(x), x V, α K. (4.2) Además, conocida la forma cuadrática, se puede deducir la forma polar porque se cumple entre ambas la relación: 2f(x, y) = w(x + y) w(x) w(y), x, y V. (4.3) De hecho se puede definir forma cuadrática sobre un espacio vectorial V como: toda forma sobre V que cumpla (4.2) y al definir f con la expresión (4.3) se obtiene una forma bilineal simétrica. Ejemplo 4.4. En el espacio vectorial R 3 se define la forma w(x, y, z) = 2x 2 + y 2 2xz 3z 2. Comprueba que es una forma cuadrática. Encuentra su matriz respecto de la base canónica. Solución. Se tiene que w(αx, αy, αz) = 2(αx) 2 + (αy) 2 2αxαz 3(αz) 2 = = α 2 (2x 2 + y 2 2xz 3z 2 ) = α 2 w(x, y, z). Además si definimos: f(x, y) = 1 2 (w(x + y) w(x) w(y)), con x = (x 1, x 2, x 3 ), y = (y 1, y 2, y 3 ), tras realizar los cálculos se obtiene: f(x, y) = 2x 1 y 1 + x 2 y 2 x 1 y 3 y 1 x 3 3x 3 y 3. En forma matricial es f(x, y) = (x 1, x 2, x 3 ) Claramente es una forma bilineal simétrica, por lo que w es forma cuadrática, y respecto de la base canónica esa es su matriz asociada. y 1 y 2 y 3. 10

11 Dos vectores x, y V se dicen conjugados para una forma cuadrática w si y sólo si lo son para su forma polar f. Igual se define la conjugación de subespacios o de bases: son conjugados para para w si y sólo si lo son para f. También se dice que w es forma cuadrática degenerada o forma cuadrática ordinaria si lo es f. El rango de w se define como el rango de la matriz asociada a w (en cualquier base). Diagonalizar una forma cuadrática es diagonalizar su matriz asociada respecto de una base cualquiera (encontrar la matriz diagonal y una base de vectores conjugados). Dos matrices diagonales asociadas a la misma forma cuadrática pueden tener elementos distintos en la diagonal, pero las dos tienen siempre la misma cantidad de elementos no nulos, y si el cuerpo es R entonces ambas matrices tienen la misma cantidad de términos estrictamente positivos (y por tanto la misma cantidad de términos negativos. En lo que sigue nos ocuparemos de estas formas cuadráticas, las formas sobre el cuerpo de los números reales. Formas Cuadráticas Reales. Sea V un espacio vectorial de dimensión n sobre R. La forma cuadrática q : V R se llama forma cuadrática real. Se llama signatura de q a un par de números enteros no negativos (r, s) que denotan respectivamente la cantidad de términos positivos y la cantidad de términos negativos que aparecen en cualquier matriz diagonal asociada a q. Puesto que para una matriz diagonal el rango coincide con el número de elementos no nulos, de la definición se deduce que rang(q) = r + s. La forma cuadrática real q cuyo rango sea k y su signatura (r, s) se dice que es: definida positiva si q(x) > 0, x 0. Equivalentemente, r = n. definida negativa si q(x) < 0, x 0. Equivalentemente, s = n. semidefinida positiva si q(x) 0, x V, y q(y) = 0 para algún y 0. Equivalentemente, k = r < n. semidefinida negativa si q(x) 0, x V, y q(y) = 0 para algún y 0. Equivalentemente, k = s < n. 11

12 indefinida en cualquier otro caso; es decir, existen x, y V tales que q(x) < 0, q(y) > 0 o bien q(z) = 0, z V. En la práctica, para clasificar una forma cuadrática real q se puede proceder de alguna de las siguiente formas: - Obtener una matriz diagonal asociada a q y sobre ella obtener el rango y la signatura. - Obtener los autovalores de cualquier matriz asociada a q. Es notable recordar que toda matriz real simétrica tiene todos sus autovalores en R y es diagonalizable. Además es ortogonalmente diagonalizable. El signo de los autovalores definen también el rango y la signatura de q. Además la diagonalización ortogonal, que estudiamos con detalle en el tema anterior, proporciona otro método para diagonalizar la forma cuadrática. Al aplicarlo, ha de tenerse presente que para seguir creando y empleando la matriz de la forma cuadrática por filas, los sistemas de ecuaciones que proporcionan los subespacios propios han de crearse por filas del modo X(A λi) = 0, siendo X = (x 1, x 2,, x n ) y A M n la matriz de la forma cuadrática. Los autovectores asociados al mismo autovalor se tomarán ortogonales (respecto al producto escalar usual de R n ). Se normalizarán y formarán (por filas) la matriz P. Esta matriz será ortogonal (P 1 = P t ), y verificará P AP t = D, siendo D la matriz diagonal formada por los autovalores de la matriz A. Esta matriz D será matriz de la forma cuadrática. - Estudiando el signo de los menores diagonales de cualquier matriz asociada a q (no necesariamente matriz diagonal). El menor diagonal de orden r de una matriz A M n es el menor de A cuya diagonal principal consta de los r primeros elementos de la diagonal principal de A. Si i denota el menor diagonal de orden i de A, entonces: Si i > 0 para todo i = 1, 2,, n se tiene que q es definida positiva. Si i > 0 para i par y j < 0 para j impar, se tiene que q es definida negativa. Si algún menor de orden par es menor que cero, entonces q es indefinida. En cualquier otro caso, este método no decide la clasificación salvo que V sea 12

13 de dimensión 3 (equivalentemente, cualquier matriz asociada a q es cuadrada de orden 3). En este caso, se tiene un paso más: Si 1 > 0, 2 > 0, 3 = 0, la forma es semidefinida positiva. Si 1 < 0, 2 > 0, 3 = 0, la forma es semidefinida negativa. Ejemplo 4.5. Clasifica la forma cuadrática del ejemplo anterior, w(x, y, z) = 2x 2 + y 2 2xz 3z 2. Solución. Puesto que obtuvimos la matriz respecto de la base canónica, si estudiamos sus menores diagonales encontramos que 1 = 2, 2 = 2, 3 = 7. Así que el método de los menores diagonales no decide. Si calculamos los autovalores, obtenemos: 1, 2 11, Por tanto el rango es tres y la signatura es (2, 1). Así la forma es indefinida y no degenerada Producto escalar. Si se observa la definición de producto escalar sobre un espacio vectorial V dada en el tema 2, es fácil comprobar que todo producto escalar es una forma bilineal simétrica cuya forma cuadrática asociada es real, definida positiva. La matriz métrica de un producto escalar es pues una matriz real simétrica cuyos menores diagonales son todos estrictamente positivos. El recíproco es también cierto: toda forma bilineal simétrica cuya matriz asociada en cualquier base tenga todos los menores diagonales estrictamente positivos, es un producto escalar sobre V, es decir, toda forma bilineal simétrica cuya forma cuadrática asociada sea real, definida positiva es un producto escalar en V. De este modo, todo lo dicho para estas formas, es válido para un producto escalar. La definición de ortogonalidad es exactamente la de conjugación para estas formas. Así, se tiene que los métodos para obtener una base de vectores conjugados son aplicables para obtener una base ortogonal y dividiendo por la norma de cada vector obtenido se tiene una base ortonormal. También para el subespacio ortogonal a un vector dado o comprobar si 13

14 dos subespacios son ortogonales. Es fácil probar que, dado un conjunto de vectores P, todos ellos no nulos, si cada uno es ortogonal con los demás entonces P es un sistema libre. Se debe recordar el concepto de ángulo, norma y distancia dados a partir de un producto escalar. Ejemplo 4.6. En R 3 se considera la forma bilineal definida por x/y = 2x 1 y 1 x 1 y 2 x 1 y 3 x 2 y 1 +x 2 y 2 x 3 y 1 +2x 3 y 3, x = (x 1, x 2, x 3 ), y = (y 1, y 2, y 3 ). Comprueba que es un producto escalar y encuentra una base ortonormal. Para el subespacio S =< ( 1, 2, 1), (0, 3, 1) >, obtener el subespacio de los vectores ortogonales a S. Obtener una base ortogonal de S. Obtener el ángulo y la distancia entre los vectores dados para generar S. Solución. Respecto de la base canónica, la matriz de / es: A = Que es real y simétrica. Los menores diagonales de A valen: 2, 1, 1 Por tanto la forma cuadrática asociada es definida positiva. En consecuencia es un producto escalar. Diagonalizando la matriz por transformaciones elementales se obtienen las matrices P y D siguientes: P = , D = Así, una base ortonormal es B o = {(0, 1, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1)}. Nótese que con este método la base que se obtiene habitualmente es una base ortogonal y para la base ortonormal hay que dividir por la norma de los vectores, que es la raíz cuadrada de los elementos diagonales de la matriz diagonal. En este caso la matriz diagonal es la identidad, lo que equivale a que los vectores de la base tienen ya norma uno, es decir la base es ya ortonormal. 14.

15 Un vector es ortogonal a S si y sólo si es ortogonal a cada uno de los vectores de la base dada de S. Si S denota el subespacio ortogonal de S, entonces: S = {(x, y, z) V : (x, y, z)/( 1, 2, 1) = 0, (x, y, z)/(0, 3, 1) = 0}. Así se tiene que cumplir simultaneamente: (x, y, z) = 0 y (x, y, z) = Se obtiene: S = {(x, y, z) V : 3x + 3y z = 0, 4x + 3y + 2z = 0}. Para obtener una base ortogonal de S, debemos encontrar dos vectores de S que sean conjugados para /. Denotaremos e 1, e 2 a esos vectores Fijamos uno de ellos: e 1 = ( 1, 2, 1) y e 2 = (0, 3, 1) α( 1, 2, 1). (De ese modo aseguramos que ambos vectores están en S). Determinando α para que e 1 y e 2 sean ortogonales, serán también linealmente independientes y por tanto base. Ahora e 1 /e 2 = 0 ( 1, 2, 1)/((0, 3, 1) α( 1, 2, 1)) = 0 ( 1, 2, 1)/(0, 3, 1) α = ( 1, 2, 1)/( 1, 2, 1) = 4 5. Así una base ortogonal de S es B = { 1, 2, 1), (4/5, 7/5, 9/5)}. La distancia entre los vectores u = ( 1, 2, 1) y v = (0, 3, 1) es u v = ( ) ( ) 5 u/v 8 y el ángulo, arcos = arcos = 40,29 o u v Ejercicios y Cuestiones 1. Muestra que toda matriz cuadrada real A M n se puede poner como suma de una matriz simétrica A 1 y una matriz antisimétrica A 2, A 1, A 2 M n, y la descomposición es única. Deduce de ello que toda forma bilineal sobre R n se puede poner como suma de una forma bilineal simétrica y una forma bilineal antisimétrica y la descomposición es única. (Sugerencia: Define A 1 = 1/2(A + A t ) y A 2 = 1/2(A A t ) y comprueba que verifican lo que se pide) 15

16 2. Sea V un espacio vectorial de dimensión n sobre K y f, g aplicaciones lineales de V en K, cuyas matrices respecto de una base B denotamos por M, N M n,1 respectivamente. Comprueba que la aplicación h: V V K definida por: h(x, y) = f(x)g(y) es una forma bilineal. Encuentra la matriz de h a partir de las matrices de f y g. Indica alguna condición sobre f y g para que h sea bilineal simétrica. 3. Considera la forma cuadrática q : R 3 R definida por q(x, y, z) = x 2 y 2 3z 2 + 2xz + 4yz. Encontrar la matriz respecto de la base canónica, encontrar su núcleo y el conjugado de (1, 2, 0). Diagonalizarla y clasificarla. 4. Sea ω : R 3 R la forma cuadrática que en una cierta base B = {e 1, e 2, e 3 } tiene por matriz asociada Sea B = {u 1, u 2, u 3 } otra base relacionada con la anterior por: e 1 = u 1 u 2 + u 3, e 2 = 2u 1 + 2u 2 u 3, e 3 = 2u 1 + u 2 u 3. Hallar la matriz A de ω en la base B. Obtener otra base en la cual la matriz de ω sea diagonal. Con ella obtener rango, signatura y clasificación. 5. Sea ω : R 3 R la forma cuadrática real que tiene por ecuación (en la base canónica): ω(x, y, z) = αx 2 + (α + β)y 2 + (1 + β)z 2 + 2αxy + 2βyz, α, β R. Clasificar ω atendiendo al rango y la signatura, en función de α y β. 16

17 Índice general 4. Formas bilineales y cuadráticas Introducción Formas Bilineales Formas Cuadráticas Producto escalar Ejercicios y Cuestiones

Anexo 1: Demostraciones

Anexo 1: Demostraciones 75 Matemáticas I : Álgebra Lineal Anexo 1: Demostraciones Espacios vectoriales Demostración de: Propiedades 89 de la página 41 Propiedades 89- Algunas propiedades que se deducen de las anteriores son:

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