Formas bilineales y cuadráticas.
|
|
- Isabel Santos Montes
- hace 8 años
- Vistas:
Transcripción
1 Tema 4 Formas bilineales y cuadráticas Introducción. Conocidas las nociones de espacio vectorial, aplicación lineal, matriz de una aplicación lineal y diagonalización, estudiaremos en este tema dos familias de funciones que tienen notable interés por sus aplicaciones en álgebra lineal y en geometría analítica. Son funciones valoradas en el espacio de escalares K y por ello se les llama formas. La primera, las formas bilineales, son funciones definidas sobre pares de vectores, es decir, son funciones de dos variables vectoriales. Salvando las distancias, las formas bilineales tienen analogías con las aplicaciones lineales: fijada una base se pueden definir mediante matrices. Si se cambia de base, cambia la matriz y la nueva se calcula a partir de la matriz de cambio de base. Las matrices de la misma forma bilineal tienen el mismo rango, etc.. La otra familia, la de las formas cuadráticas, está formada por funciones de una variable y muy emparentada con una subfamilia de las bilineales. También se definen mediante una matriz para cada base del espacio y todas las matrices de la misma forma cuadrática tienen algunos invariantes que identifican a la forma cuadrática. Como único requisito previo para el estudio de este tema pondremos el que se conozcan bien los conceptos estudiados en los temas anteriores. 1
2 4.2. Formas Bilineales. Consideremos un espacio vectorial V sobre el cuerpo K de los números reales o de los números complejos. Denotaremos V V al conjunto de pares ordenados de vectores de V. Una aplicación f que a cada par de vectores (u, v) V V asocia un escalar f(u, v) K se dice que es una forma forma bilineal si es lineal en cada una de sus dos variables; es decir si cumple: f(αu 1 + βu 2, v) = αf(u 1, v) + βf(u 2, v) y f(u, γv 1 + µv 2 ) = γf(u, v 1 ) + µf(u, v 2 ) para todo u, u 1, u 2, v, v 1, v 2 V y todo α, β, γ, µ K. Algún ejemplo. La siguiente es forma bilineal en R 3 (compruebese como ejercicio). f(x, y) = 2x 1 y 1 x 1 y 2 + 4x 1 y 3 + 3x 2 y 1 5x 2 y 3 + 7x 3 y 1 5x 3 y 2 4x 3 y 3, x = (x 1, x 2, x 3 ), y = (y 1, y 2, y 3 ). Es fácil ver que toda forma bilineal f verifica que f(0, y) = f(x, 0) = 0 y f( x, y) = f(x, y) = f(x, y). Además, la suma de dos formas bilineales en V y el producto de una forma bilineal en V por un escalares son también formas bilineales en V. El conjunto de todas las formas bilineales de V es un espacio vectorial sobre K. Hay dos tipos distinguidos de formas bilineales. Una forma bilineal f se dice que es bilineal simétrica si f(u, v) = f(v, u), u, v V. Una forma g se dice bilineal antisimétrica si g(u, v) = g(v, u), u, v V. No toda forma bilineal es simétrica o antisimétrica, por ejemplo la siguiente es una forma bilineal en R 2 y no es simétrica ni antisimétrica: f(x, y) = 3x 1 y 1 + x 1 y 2 2x 2 y 2, x = (x 1, x 2 ), y = (y 1, y 2 ). Sin embargo, como se propone en las cuestiones y problemas, toda forma bilineal es suma de una simétrica y una antisimétrica. 2
3 Fijada una base B V = {v 1, v 2,..., v n }, toda forma bilineal f tiene asociada una única matriz B M n, que es la definida por: f(v 1, v 1 ) f(v 1, v 2 ) f(v 1, v n ) B = f(v 2, v 1 ) f(v 2, v 2 ) f(v 2, v n ). f(v n, v 1 ) f(v n, v 2 ) f(v n, v n ) Obsérvese la analogía entre esta matriz y la de un producto escalar, que vimos en el tema dos. De hecho, todo producto escalar es una forma bilineal simétrica. La matriz define la forma bilineal en el siguiente sentido: Si X = (x 1, x 2,, x n ), Y = (y 1, y 2,, y n ) son las coordenadas de dos vectores x, y V entonces su imagen se calcula a través de la matriz por la expresión: f(x, y) = XBY t. (4.1) Si ahora B V es otra base de V y P M n la matriz de cambio de base de B V a B V entonces, denotando X = (x 1, x 2,, x n), Y = (y 1, y 2,, y n) las coordenadas, respectivamente de los vectores x, y V se tiene, como es sabido: X = X P, Y = Y P, Y t = P t Y t Así, la expresión de la imagen en función de las coordenadas X, Y será, sustituyendo en (4.1): f(x, y) = X P BP t Y t Se obtiene así que la matriz de f referida a la base B V es B = P BP t. A dos matrices de la misma forma bilineal en distintas bases se les llama matrices congruentes, y se verifica que dos matrices B, B M n son congruentes si y sólo si existe una matriz regular P M n, tal que B = P BP t. Además P es la matriz de cambio de base entre la base nueva y la antigua. Es sencillo ver que dos matrices congruentes son equivalentes, y por tanto tienen el mismo rango. Ese rango es, por definición, el de la forma bilineal. Si ese rango no es máximo (es decir, si es menor que la dimensión del espacio vectorial) entonces la forma bilineal 3
4 se dice degenerada. Es evidente que f es degenerada si y sólo si el determinante de la matriz de f es nulo. Las formas bilineales no degeneradas se dicen ordinarias. Ejemplo 4.1. Consideremos la forma bilineal f definida en R 3 R 3 por: f(x, y) = 2x 1 y 1 x 1 y 2 + 4x 1 y 3 + 3x 2 y 1 5x 2 y 3 + 7x 3 y 1 5x 3 y 2 4x 3 y 3, x = (x 1, x 2, x 3 ), y = (y 1, y 2, y 3 ). Escribe su matriz A respecto de la base canónica. También su matriz A respecto de la base B = {(1, 0, 1), (0, 1, 2), (0, 0, 1)}. y A. Si v = (2, 1, 2), v = ( 1, 0, 1), calcula f(u, v) empleando sucesivamente A Solución. Si denotamos B c = {e 1, e 2, e 3 } la base canónica, para la matriz hay que calcular f(e 1, e 1 ), f(e 1, e 2 ),, f(e 3, e 3 ). Con ellos la matriz es: A = Nota: Respecto de la base canónica, a partir de la expresión de la forma bilineal se puede escribir la matriz directamente, (sin cálculos) porque atiende a la siguiente regla nemotécnica : enumerando las filas con las componentes de x y las columnas con las de y, los elementos de la matriz son los coeficientes del producto de las componentes de x e y. Así a 11 es el coeficiente de x 1 y 1, a 12 el coeficiente de x 1 y 2, etc... pero ojo! sólo es así para la matriz respecto de la base canónica. Para calcular la matriz respecto de la base B hay dos vías: calculando directamente las imágenes de los pares de vectores a partir de la expresión de f o a través de la matriz P de cambio de base de B a B c. Optamos por esta segunda vía. Realícese como ejercicio por la primera y compruébese que se obtiene la misma matriz. La matriz de cambio de base de B a B c es P =
5 Así la matriz A de f respecto de la base B es A = P AP t y vale: A = = Para calcular f(u, v), en cada caso hay que tener las coordenadas de u y v respecto de las correspondientes bases B c y B, y emplear las respectivas matrices A y A. Respecto de B c, coordenadas y vector coinciden. Por tanto: f(u, v) = (2, 1, 2) = Respecto de B, calculando las coordenadas de u y v en la base B obtenemos: u = (2, 1, 2) B ; v = ( 1, 0, 0) B. Por tanto f(u, v) = (2, 1, 2) = Recordemos que una matriz cuadrada se dice simétrica si coincide con su traspuesta y se dice antisimétrica si coincide con la opuesta de su traspuesta. Hemos de notar que si M M n es matriz simétrica (o antisimétrica), cualquier matriz M congruente con M es también matriz simétrica (o antisimétrica). En efecto (lo hacemos para simétrica, hágase como ejercicio para antisimétrica): Si M = P MP t, con P M n matriz regular de congruencia, entonces: M t = (P MP t ) t = P t t M t P t = P MP t = M. A partir de ello se concluye que, si una forma bilineal tienen matriz simétrica respecto de una base, la tiene respecto de cualquier base (y lo mismo sucede para 5
6 antisimétrica). Además se verifica que una forma bilineal es simétrica si y sólo si su matriz es simétrica, (lo mismo para antisimétrica). En lo que sigue trataremos sólo con formas bilineales simétricas. Formas bilineales simétricas. Conjugación. Dada una forma bilineal simétrica f sobre un espacio vectorial V, dos vectores u, v V se dicen vectores conjugados si f(u, v) = 0. Dos subespacios S, T V se dicen subespacios conjugados si f(x, y) = 0 x S, y T. Para ello es suficiente que sean conjugados los vectores de una base de uno de los subespacios con los de otra base del otro. Una base B V se dice base de vectores conjugados por f si cada vector de la base es conjugado con los demás. Es evidente que, respecto de una base de vectores conjugados, la matriz de f es diagonal, y recíprocamente, si la matriz de f es diagonal, entonces la base es de vectores conjugados. Fijado un vector x, el conjunto de los vectores conjugados con x forman un subespacio vectorial de V que denotaremos x 0. En concreto: x 0 = {y V : f(x, y) = 0}. Se llama núcleo de f, denotado N(f) al conjunto de los vectores que son conjugados con todo vector de V, es decir: N(f) = {x V : f(x, y) = 0, y V }. Si A M n es la matriz de f (respecto de cualquier base) y si X = (x 1, x 2,, x n ) son las coordenadas de un vector de N(f) entonces se cumplirá que XAY t = 0 para todo Y = (y 1, y 2,, y n ) K n. Ello sólo es posible si y sólo si XA = 0. Esto nos da una condición para obtener los vectores de N(f). Serán aquellos cuyas coordenadas X verifiquen XA = 0, es decir, las soluciones del sistema de ecuaciones lineales homogéneo cuya matriz de coeficientes es A. Por lo que sabemos de esos sistemas, sólo hay soluciones no nulas si A = 0. Se concluye entonces que una forma bilineal simétrica tiene núcleo distinto del {0} si y sólo si es degenerada. 6
7 Ejemplo 4.2. Consideremos en R 3 la forma bilineal f(x, y) = x 1 y 1 + x 1 y 2 + 2x 1 y 3 + x 2 y 1 + x 2 y 3 + 2x 3 y 1 + x 3 y 2 + 3x 3 y 3, x = (x 1, x 2, x 3 ), y = (y 1, y 2, y 3 ). Escribe su matriz respecto de la base canónica. Encuentra el subespacio conjugado de u = (1, 2, 0) y de U =< (1, 0, 3), (0, 1, 2) >. Encuentra el rango y el núcleo de f y una base de R 3 formada por vectores conjugados para f. Solución. La matriz de f en la base canónica es: Ahora el conjugado de u es: A = u 0 = {X = (x, y, z) R 3 : (1, 2, 0)AX t = 0} = {(x, y, z) R 3 : x + y = 0}. El subespacio conjugado de U estará formado por los vectores que sean conjugados simultáneamente de ambos vectores de la base de U. Así, denotando U 0 se tendrá: U 0 = {X = (x, y, z) R 3 : (1, 0, 3)AX t = 0, (0, 1, 2)AX t = 0} = = {(x, y, z) R 3 : 7x + 4y + 11z = 0, 3x + 2y + 5z = 0}. El rango de f es el rango de A que es 2. Para el núcleo: N(f) = {X = (x, y, z) R 3 : XA = 0} = = {(x, y, z) R 3 : x + y + 2z = 0, x + z = 0, 2x + y + 3z = 0} =< (1, 1, 1) >. Para buscar una base de vectores conjugados, debemos buscar un conjunto de tres vectores B = {v 1, v 2, v 3 } que sean linealmente independientes y que cada uno sea conjugado de los demás. Hay infinitas posibilidades, pero para simplificar los buscaremos de la forma v 1 = (1, 0, 0), v 2 = (α, β, 0), v 3 = (γ, δ, µ), y determinaremos los parámetros para que f(v 1, v 2 ) = 0, f(v 1, v 3 ) = 0, f(v 2, v 3 ) = 0. Empleando la matriz A, f(v 1, v 2 ) = 0 equivale a la ecuación α + β = 0. Un vector posible es v 2 = (1, 1, 0). Las otras dos igualdades f(v 1, v 3 ) = 0, f(v 2, v 3 ) = 0 proporcionan 7
8 las ecuaciones: γ + δ + 2µ = 0 δ + µ = 0 Dos soluciones posibles son: v 2 = (1, 1, 0) y v 3 = ( 1, 1, 1). Ejercicio: Calcula la matriz de f respecto de la base de vectores conjugados obtenida y comprueba que es A = }. En el ejercicio anterior se ha proporcionado un modo, si quiera sea como sencillo ejemplo, de encontrar una matriz diagonal congruente con una matriz simétrica dada: consiste en encontrar las coordenadas de vectores que formen una base de conjugados para la matriz simétrica (que es como decir para la forma bilineal simétrica dada). La matriz asociada a la forma bilineal respecto de los vectores conjugados es diagonal y la matriz de congruencia es la matriz de cambio de base de la de conjugados a la base dada. Obtener la matriz diagonal y la matriz de cambio de base es lo que se llama diagonalizar la forma bilineal simétrica o diagonalizar por congruencias la matriz simétrica dada. Hay otro método para diagonalizar por congruencias una matriz A M n cuadrada simétrica. Consiste en emplear transformaciones elementales. El método es totalmente análogo al método de Gauss para obtener la inversa de una matriz, que es bien conocido, con la salvedad de que cada transformación que se haga por filas en la matriz, hay que hacerla también por columnas y no es necesario obtener unos en la diagonal principal (sólo ceros fuera). Las transformaciones que se hagan por filas (las de por columnas no), han de hacerse también en la matriz I n, identidad de orden n, que al iniciar el proceso se adosa a A. Al final se obtiene la matriz diagonal donde inicialmente estaba A y la matriz P donde inicialmente estaba I n. Veamos un ejemplo. 8
9 Ejemplo 4.3. Diagonalizar por transformaciones elementales la matriz simétrica dada en el ejercicio anterior. Solución. En lo que sigue indicaremos las transformaciones empleadas: f 3 2f f 2 f Así se tiene que: P = y se tiene que P AP t = D c 2 c c 3 c 2 c 3 2c , D = f 3 f 2 Una observación: Una misma matriz A M n simétrica puede tener más de una forma diagonal, y la forma bilineal asociada, varias bases de vectores conjugados, pero todas las formas diagonales de A tienen la misma cantidad de elementos no nulos en la diagonal, y en el caso en que los elementos de A sean números reales (matriz real simétrica), dos formas diagonales de A tienen la misma cantidad de términos positivos en la diagonal Formas Cuadráticas. Consideremos una forma bilineal simétrica f sobre un espacio vectorial V. Se llama forma cuadrática asociada a f a la aplicación w : V K definida por: 9
10 w(x) = f(x, x). La aplicación f es conocida como forma polar de w. A la matriz asociada a f en una base B se le llama también matriz asociada a w en B. Se cumple que w(αx) = α 2 w(x), x V, α K. (4.2) Además, conocida la forma cuadrática, se puede deducir la forma polar porque se cumple entre ambas la relación: 2f(x, y) = w(x + y) w(x) w(y), x, y V. (4.3) De hecho se puede definir forma cuadrática sobre un espacio vectorial V como: toda forma sobre V que cumpla (4.2) y al definir f con la expresión (4.3) se obtiene una forma bilineal simétrica. Ejemplo 4.4. En el espacio vectorial R 3 se define la forma w(x, y, z) = 2x 2 + y 2 2xz 3z 2. Comprueba que es una forma cuadrática. Encuentra su matriz respecto de la base canónica. Solución. Se tiene que w(αx, αy, αz) = 2(αx) 2 + (αy) 2 2αxαz 3(αz) 2 = = α 2 (2x 2 + y 2 2xz 3z 2 ) = α 2 w(x, y, z). Además si definimos: f(x, y) = 1 2 (w(x + y) w(x) w(y)), con x = (x 1, x 2, x 3 ), y = (y 1, y 2, y 3 ), tras realizar los cálculos se obtiene: f(x, y) = 2x 1 y 1 + x 2 y 2 x 1 y 3 y 1 x 3 3x 3 y 3. En forma matricial es f(x, y) = (x 1, x 2, x 3 ) Claramente es una forma bilineal simétrica, por lo que w es forma cuadrática, y respecto de la base canónica esa es su matriz asociada. y 1 y 2 y 3. 10
11 Dos vectores x, y V se dicen conjugados para una forma cuadrática w si y sólo si lo son para su forma polar f. Igual se define la conjugación de subespacios o de bases: son conjugados para para w si y sólo si lo son para f. También se dice que w es forma cuadrática degenerada o forma cuadrática ordinaria si lo es f. El rango de w se define como el rango de la matriz asociada a w (en cualquier base). Diagonalizar una forma cuadrática es diagonalizar su matriz asociada respecto de una base cualquiera (encontrar la matriz diagonal y una base de vectores conjugados). Dos matrices diagonales asociadas a la misma forma cuadrática pueden tener elementos distintos en la diagonal, pero las dos tienen siempre la misma cantidad de elementos no nulos, y si el cuerpo es R entonces ambas matrices tienen la misma cantidad de términos estrictamente positivos (y por tanto la misma cantidad de términos negativos. En lo que sigue nos ocuparemos de estas formas cuadráticas, las formas sobre el cuerpo de los números reales. Formas Cuadráticas Reales. Sea V un espacio vectorial de dimensión n sobre R. La forma cuadrática q : V R se llama forma cuadrática real. Se llama signatura de q a un par de números enteros no negativos (r, s) que denotan respectivamente la cantidad de términos positivos y la cantidad de términos negativos que aparecen en cualquier matriz diagonal asociada a q. Puesto que para una matriz diagonal el rango coincide con el número de elementos no nulos, de la definición se deduce que rang(q) = r + s. La forma cuadrática real q cuyo rango sea k y su signatura (r, s) se dice que es: definida positiva si q(x) > 0, x 0. Equivalentemente, r = n. definida negativa si q(x) < 0, x 0. Equivalentemente, s = n. semidefinida positiva si q(x) 0, x V, y q(y) = 0 para algún y 0. Equivalentemente, k = r < n. semidefinida negativa si q(x) 0, x V, y q(y) = 0 para algún y 0. Equivalentemente, k = s < n. 11
12 indefinida en cualquier otro caso; es decir, existen x, y V tales que q(x) < 0, q(y) > 0 o bien q(z) = 0, z V. En la práctica, para clasificar una forma cuadrática real q se puede proceder de alguna de las siguiente formas: - Obtener una matriz diagonal asociada a q y sobre ella obtener el rango y la signatura. - Obtener los autovalores de cualquier matriz asociada a q. Es notable recordar que toda matriz real simétrica tiene todos sus autovalores en R y es diagonalizable. Además es ortogonalmente diagonalizable. El signo de los autovalores definen también el rango y la signatura de q. Además la diagonalización ortogonal, que estudiamos con detalle en el tema anterior, proporciona otro método para diagonalizar la forma cuadrática. Al aplicarlo, ha de tenerse presente que para seguir creando y empleando la matriz de la forma cuadrática por filas, los sistemas de ecuaciones que proporcionan los subespacios propios han de crearse por filas del modo X(A λi) = 0, siendo X = (x 1, x 2,, x n ) y A M n la matriz de la forma cuadrática. Los autovectores asociados al mismo autovalor se tomarán ortogonales (respecto al producto escalar usual de R n ). Se normalizarán y formarán (por filas) la matriz P. Esta matriz será ortogonal (P 1 = P t ), y verificará P AP t = D, siendo D la matriz diagonal formada por los autovalores de la matriz A. Esta matriz D será matriz de la forma cuadrática. - Estudiando el signo de los menores diagonales de cualquier matriz asociada a q (no necesariamente matriz diagonal). El menor diagonal de orden r de una matriz A M n es el menor de A cuya diagonal principal consta de los r primeros elementos de la diagonal principal de A. Si i denota el menor diagonal de orden i de A, entonces: Si i > 0 para todo i = 1, 2,, n se tiene que q es definida positiva. Si i > 0 para i par y j < 0 para j impar, se tiene que q es definida negativa. Si algún menor de orden par es menor que cero, entonces q es indefinida. En cualquier otro caso, este método no decide la clasificación salvo que V sea 12
13 de dimensión 3 (equivalentemente, cualquier matriz asociada a q es cuadrada de orden 3). En este caso, se tiene un paso más: Si 1 > 0, 2 > 0, 3 = 0, la forma es semidefinida positiva. Si 1 < 0, 2 > 0, 3 = 0, la forma es semidefinida negativa. Ejemplo 4.5. Clasifica la forma cuadrática del ejemplo anterior, w(x, y, z) = 2x 2 + y 2 2xz 3z 2. Solución. Puesto que obtuvimos la matriz respecto de la base canónica, si estudiamos sus menores diagonales encontramos que 1 = 2, 2 = 2, 3 = 7. Así que el método de los menores diagonales no decide. Si calculamos los autovalores, obtenemos: 1, 2 11, Por tanto el rango es tres y la signatura es (2, 1). Así la forma es indefinida y no degenerada Producto escalar. Si se observa la definición de producto escalar sobre un espacio vectorial V dada en el tema 2, es fácil comprobar que todo producto escalar es una forma bilineal simétrica cuya forma cuadrática asociada es real, definida positiva. La matriz métrica de un producto escalar es pues una matriz real simétrica cuyos menores diagonales son todos estrictamente positivos. El recíproco es también cierto: toda forma bilineal simétrica cuya matriz asociada en cualquier base tenga todos los menores diagonales estrictamente positivos, es un producto escalar sobre V, es decir, toda forma bilineal simétrica cuya forma cuadrática asociada sea real, definida positiva es un producto escalar en V. De este modo, todo lo dicho para estas formas, es válido para un producto escalar. La definición de ortogonalidad es exactamente la de conjugación para estas formas. Así, se tiene que los métodos para obtener una base de vectores conjugados son aplicables para obtener una base ortogonal y dividiendo por la norma de cada vector obtenido se tiene una base ortonormal. También para el subespacio ortogonal a un vector dado o comprobar si 13
14 dos subespacios son ortogonales. Es fácil probar que, dado un conjunto de vectores P, todos ellos no nulos, si cada uno es ortogonal con los demás entonces P es un sistema libre. Se debe recordar el concepto de ángulo, norma y distancia dados a partir de un producto escalar. Ejemplo 4.6. En R 3 se considera la forma bilineal definida por x/y = 2x 1 y 1 x 1 y 2 x 1 y 3 x 2 y 1 +x 2 y 2 x 3 y 1 +2x 3 y 3, x = (x 1, x 2, x 3 ), y = (y 1, y 2, y 3 ). Comprueba que es un producto escalar y encuentra una base ortonormal. Para el subespacio S =< ( 1, 2, 1), (0, 3, 1) >, obtener el subespacio de los vectores ortogonales a S. Obtener una base ortogonal de S. Obtener el ángulo y la distancia entre los vectores dados para generar S. Solución. Respecto de la base canónica, la matriz de / es: A = Que es real y simétrica. Los menores diagonales de A valen: 2, 1, 1 Por tanto la forma cuadrática asociada es definida positiva. En consecuencia es un producto escalar. Diagonalizando la matriz por transformaciones elementales se obtienen las matrices P y D siguientes: P = , D = Así, una base ortonormal es B o = {(0, 1, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1)}. Nótese que con este método la base que se obtiene habitualmente es una base ortogonal y para la base ortonormal hay que dividir por la norma de los vectores, que es la raíz cuadrada de los elementos diagonales de la matriz diagonal. En este caso la matriz diagonal es la identidad, lo que equivale a que los vectores de la base tienen ya norma uno, es decir la base es ya ortonormal. 14.
15 Un vector es ortogonal a S si y sólo si es ortogonal a cada uno de los vectores de la base dada de S. Si S denota el subespacio ortogonal de S, entonces: S = {(x, y, z) V : (x, y, z)/( 1, 2, 1) = 0, (x, y, z)/(0, 3, 1) = 0}. Así se tiene que cumplir simultaneamente: (x, y, z) = 0 y (x, y, z) = Se obtiene: S = {(x, y, z) V : 3x + 3y z = 0, 4x + 3y + 2z = 0}. Para obtener una base ortogonal de S, debemos encontrar dos vectores de S que sean conjugados para /. Denotaremos e 1, e 2 a esos vectores Fijamos uno de ellos: e 1 = ( 1, 2, 1) y e 2 = (0, 3, 1) α( 1, 2, 1). (De ese modo aseguramos que ambos vectores están en S). Determinando α para que e 1 y e 2 sean ortogonales, serán también linealmente independientes y por tanto base. Ahora e 1 /e 2 = 0 ( 1, 2, 1)/((0, 3, 1) α( 1, 2, 1)) = 0 ( 1, 2, 1)/(0, 3, 1) α = ( 1, 2, 1)/( 1, 2, 1) = 4 5. Así una base ortogonal de S es B = { 1, 2, 1), (4/5, 7/5, 9/5)}. La distancia entre los vectores u = ( 1, 2, 1) y v = (0, 3, 1) es u v = ( ) ( ) 5 u/v 8 y el ángulo, arcos = arcos = 40,29 o u v Ejercicios y Cuestiones 1. Muestra que toda matriz cuadrada real A M n se puede poner como suma de una matriz simétrica A 1 y una matriz antisimétrica A 2, A 1, A 2 M n, y la descomposición es única. Deduce de ello que toda forma bilineal sobre R n se puede poner como suma de una forma bilineal simétrica y una forma bilineal antisimétrica y la descomposición es única. (Sugerencia: Define A 1 = 1/2(A + A t ) y A 2 = 1/2(A A t ) y comprueba que verifican lo que se pide) 15
16 2. Sea V un espacio vectorial de dimensión n sobre K y f, g aplicaciones lineales de V en K, cuyas matrices respecto de una base B denotamos por M, N M n,1 respectivamente. Comprueba que la aplicación h: V V K definida por: h(x, y) = f(x)g(y) es una forma bilineal. Encuentra la matriz de h a partir de las matrices de f y g. Indica alguna condición sobre f y g para que h sea bilineal simétrica. 3. Considera la forma cuadrática q : R 3 R definida por q(x, y, z) = x 2 y 2 3z 2 + 2xz + 4yz. Encontrar la matriz respecto de la base canónica, encontrar su núcleo y el conjugado de (1, 2, 0). Diagonalizarla y clasificarla. 4. Sea ω : R 3 R la forma cuadrática que en una cierta base B = {e 1, e 2, e 3 } tiene por matriz asociada Sea B = {u 1, u 2, u 3 } otra base relacionada con la anterior por: e 1 = u 1 u 2 + u 3, e 2 = 2u 1 + 2u 2 u 3, e 3 = 2u 1 + u 2 u 3. Hallar la matriz A de ω en la base B. Obtener otra base en la cual la matriz de ω sea diagonal. Con ella obtener rango, signatura y clasificación. 5. Sea ω : R 3 R la forma cuadrática real que tiene por ecuación (en la base canónica): ω(x, y, z) = αx 2 + (α + β)y 2 + (1 + β)z 2 + 2αxy + 2βyz, α, β R. Clasificar ω atendiendo al rango y la signatura, en función de α y β. 16
17 Índice general 4. Formas bilineales y cuadráticas Introducción Formas Bilineales Formas Cuadráticas Producto escalar Ejercicios y Cuestiones
Anexo 1: Demostraciones
75 Matemáticas I : Álgebra Lineal Anexo 1: Demostraciones Espacios vectoriales Demostración de: Propiedades 89 de la página 41 Propiedades 89- Algunas propiedades que se deducen de las anteriores son:
Más detallesTema 2. Aplicaciones lineales y matrices.
Tema 2 Aplicaciones lineales y matrices. 1 Índice general 2. Aplicaciones lineales y matrices. 1 2.1. Introducción....................................... 2 2.2. Espacio Vectorial.....................................
Más detallesBASES Y DIMENSIÓN. Propiedades de las bases. Ejemplos de bases.
BASES Y DIMENSIÓN Definición: Base. Se llama base de un espacio (o subespacio) vectorial a un sistema generador de dicho espacio o subespacio, que sea a la vez linealmente independiente. β Propiedades
Más detallesTema 2. Espacios Vectoriales. 2.1. Introducción
Tema 2 Espacios Vectoriales 2.1. Introducción Estamos habituados en diferentes cursos a trabajar con el concepto de vector. Concretamente sabemos que un vector es un segmento orientado caracterizado por
Más detalles4 APLICACIONES LINEALES. DIAGONALIZACIÓN
4 APLICACIONES LINEALES DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES En ocasiones, y con objeto de simplificar ciertos cálculos, es conveniente poder transformar una matriz en otra matriz lo más sencilla posible Esto nos
Más detallesMatemáticas I: Hoja 3 Espacios vectoriales y subespacios vectoriales
Matemáticas I: Hoa 3 Espacios vectoriales y subespacios vectoriales Eercicio 1. Demostrar que los vectores v 1, v 2, v 3, v 4 expresados en la base canónica forman una base. Dar las coordenadas del vector
Más detallesCapitán de fragata ingeniero AGUSTÍN E. GONZÁLEZ MORALES. ÁLGEBRA PARA INGENIEROS (Solucionario)
Capitán de fragata ingeniero AGUSTÍN E. GONZÁLEZ MORALES ÁLGEBRA PARA INGENIEROS (Solucionario) 2 Í N D I C E CAPÍTULO : MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CAPÍTULO 2: ESPACIOS VECTORIALES
Más detallesEspacios vectoriales y aplicaciones lineales.
Práctica 2 Espacios vectoriales y aplicaciones lineales. Contenido: Localizar bases de espacios vectoriales. Suma directa. Bases y dimensiones. Cambio de base. Aplicaciones lineales. Matriz asociada en
Más detallesDiagonalización de matrices
diagonalizacion.nb Diagonalización de matrices Práctica de Álgebra Lineal, E.U.A.T., Grupos ºA y ºB, 2005 Algo de teoría Qué es diagonalizar una matriz? Para estudiar una matriz suele ser conveniente expresarla
Más detallesDefinición 1.1.1. Dados dos números naturales m y n, una matriz de orden o dimensión m n es una tabla numérica rectangular con m filas y n columnas.
Tema 1 Matrices Estructura del tema. Conceptos básicos y ejemplos Operaciones básicas con matrices Método de Gauss Rango de una matriz Concepto de matriz regular y propiedades Determinante asociado a una
Más detallesE 1 E 2 E 2 E 3 E 4 E 5 2E 4
Problemas resueltos de Espacios Vectoriales: 1- Para cada uno de los conjuntos de vectores que se dan a continuación estudia si son linealmente independientes, sistema generador o base: a) (2, 1, 1, 1),
Más detallesSubespacios vectoriales en R n
Subespacios vectoriales en R n Víctor Domínguez Octubre 2011 1. Introducción Con estas notas resumimos los conceptos fundamentales del tema 3 que, en pocas palabras, se puede resumir en técnicas de manejo
Más detallesAplicaciones Lineales
Aplicaciones Lineales Concepto de aplicación lineal T : V W Definición: Si V y W son espacios vectoriales con los mismos escalares (por ejemplo, ambos espacios vectoriales reales o ambos espacios vectoriales
Más detallesEstructuras algebraicas
Tema 2 Estructuras algebraicas básicas 2.1. Operación interna Definición 29. Dados tres conjuntos A, B y C, se llama ley de composición en los conjuntos A y B y resultado en el conjunto C, y se denota
Más detallesTema 3. Aplicaciones lineales. 3.1. Introducción
Tema 3 Aplicaciones lineales 3.1. Introducción Una vez que sabemos lo que es un espacio vectorial y un subespacio, vamos a estudiar en este tema un tipo especial de funciones (a las que llamaremos aplicaciones
Más detalles1 v 1 v 2. = u 1v 1 + u 2 v 2 +... u n v n. v n. y v = u u = u 2 1 + u2 2 + + u2 n.
Ortogonalidad Producto interior Longitud y ortogonalidad Definición Sean u y v vectores de R n Se define el producto escalar o producto interior) de u y v como u v = u T v = u, u,, u n ) Ejemplo Calcular
Más detallesPROBLEMA 1. 1. [1.5 puntos] Obtener la ecuación de la recta tangente en el punto ( 2, 1) a la curva dada implícitamente por y 3 +3y 2 = x 4 3x 2.
PROBLEMA. ESCUELA UNIVERSITARIA POLITÉCNICA DE SEVILLA Ingeniería Técnica en Diseño Industrial Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería Soluciones correspondientes a los problemas del Primer Parcial 7/8.
Más detalles1 Espacios y subespacios vectoriales.
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE CARTAGENA Departamento de Matemática Aplicada y Estadística Espacios vectoriales y sistemas de ecuaciones 1 Espacios y subespacios vectoriales Definición 1 Sea V un conjunto
Más detallesTema 1. VECTORES (EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO)
Vectores Tema. VECTORES (EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO Definición de espacio vectorial Un conjunto E es un espacio vectorial si en él se definen dos operaciones, una interna (suma y otra externa (producto
Más detallesMatrices equivalentes. El método de Gauss
Matrices equivalentes. El método de Gauss Dada una matriz A cualquiera decimos que B es equivalente a A si podemos transformar A en B mediante una combinación de las siguientes operaciones: Multiplicar
Más detallesClasificación de métricas.
Clasificación de métricas. 1. El problema de clasificación. Como bien sabemos, el par formado por una métrica T 2 (esto es, un tensor 2-covariante simétrico) sobre un espacio vectorial E, (E, T 2 ), constituye
Más detallesEspacios vectoriales y aplicaciones lineales
Capítulo 3 Espacios vectoriales y aplicaciones lineales 3.1 Espacios vectoriales. Aplicaciones lineales Definición 3.1 Sea V un conjunto dotado de una operación interna + que llamaremos suma, y sea K un
Más detallesPráctica de Aplicaciones Lineales
practica5.nb 1 Práctica de Aplicaciones Lineales Aplicaciones lineales y matrices Las matrices también desempeñan un papel muy destacado en el estudio de las aplicaciones lineales entre espacios vectoriales
Más detallesTema 3. Espacios vectoriales
Tema 3. Espacios vectoriales Estructura del tema. Definición y propiedades. Ejemplos. Dependencia e independencia lineal. Conceptos de base y dimensión. Coordenadas Subespacios vectoriales. 0.1. Definición
Más detallesVectores en el espacio
Vectores en el espacio Un sistema de coordenadas tridimensional se construye trazando un eje Z, perpendicular en el origen de coordenadas a los ejes X e Y. Cada punto viene determinado por tres coordenadas
Más detallesEspacios vectoriales. Bases. Coordenadas
Capítulo 5 Espacios vectoriales. Bases. Coordenadas OPERACIONES ENR n Recordemos que el producto cartesiano de dos conjuntos A y B consiste en los pares ordenados (a,b) tales que a A y b B. Cuando consideramos
Más detalles1. ESPACIOS VECTORIALES
1 1. ESPACIOS VECTORIALES 1.1. ESPACIOS VECTORIALES. SUBESPACIOS VECTORIALES Denición 1. (Espacio vectorial) Decimos que un conjunto no vacío V es un espacio vectorial sobre un cuerpo K, o K-espacio vectorial,
Más detallesÁLGEBRA DE MATRICES. Al consejero A no le gusta ninguno de sus colegas como presidente.
ÁLGEBRA DE MATRICES Página 49 REFLEXIONA Y RESUELVE Elección de presidente Ayudándote de la tabla, estudia detalladamente los resultados de la votación, analiza algunas características de los participantes
Más detalles4 Aplicaciones Lineales
Prof Susana López 41 4 Aplicaciones Lineales 41 Definición de aplicación lineal Definición 23 Sean V y W dos espacios vectoriales; una aplicación lineal f de V a W es una aplicación f : V W tal que: 1
Más detallesAplicaciones Lineales
Tema 3 Aplicaciones Lineales 3.1 Introducción Se presentan en este tema las aplicaciones entre espacios vectoriales, particularmente las aplicaciones lineales, que de una manera informal pueden definirse
Más detallesEcuaciones de primer grado con dos incógnitas
Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas Si decimos: "las edades de mis padres suman 120 años", podemos expresar esta frase algebraicamente de la siguiente forma: Entonces, Denominamos x a la edad
Más detalles1. SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS
1 1. SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS 1.1. ESPACIOS VECTORIALES 1. Analizar cuáles de los siguientes subconjuntos de R 3 son subespacios vectoriales. a) A = {(2x, x, 7x)/x R} El conjunto A es una
Más detallesTema III. Capítulo 2. Sistemas generadores. Sistemas libres. Bases.
Tema III Capítulo 2 Sistemas generadores Sistemas libres Bases Álgebra Lineal I Departamento de Métodos Matemáticos y de Representación UDC 2 Sistemas generadores Sistemas libres Bases 1 Combinación lineal
Más detallesAplicaciones Lineales
Aplicaciones Lineales Primeras definiciones Una aplicación lineal de un K-ev de salida E a un K-ev de llegada F es una aplicación f : E F tal que f(u + v) = f(u) + f(v) para todos u v E f(λ u) = λ f(u)
Más detalles21.1.2. TEOREMA DE DETERMINACIÓN DE APLICACIONES LINEALES
Aplicaciones lineales. Matriz de una aplicación lineal 2 2. APLICACIONES LINEALES. MATRIZ DE UNA APLICACIÓN LINEAL El efecto que produce el cambio de coordenadas sobre una imagen situada en el plano sugiere
Más detallesTema 4: Aplicaciones lineales
Tema 4: Aplicaciones lineales Definición, primeras propiedades y ejemplos Definición. Sean V y W dos espacios vectoriales sobre un cuerpo K. Una función f : V W se dice que es una aplicación lineal si
Más detallesTema 3: Producto escalar
Tema 3: Producto escalar 1 Definición de producto escalar Un producto escalar en un R-espacio vectorial V es una operación en la que se operan vectores y el resultado es un número real, y que verifica
Más detallesSegundo de Bachillerato Geometría en el espacio
Segundo de Bachillerato Geometría en el espacio Jesús García de Jalón de la Fuente IES Ramiro de Maeztu Madrid 204-205. Coordenadas de un vector En el conjunto de los vectores libres del espacio el concepto
Más detalles1. Producto escalar, métrica y norma asociada
1. asociada Consideramos el espacio vectorial R n sobre el cuerpo R; escribimos los vectores o puntos de R n, indistintamente, como x = (x 1,..., x n ) = n x i e i i=1 donde e i son los vectores de la
Más detallesVECTORES EN EL ESPACIO. 1. Determina el valor de t para que los vectores de coordenadas sean linealmente dependientes.
VECTORES EN EL ESPACIO. Determina el valor de t para que los vectores de coordenadas (,, t), 0, t, t) y(, 2, t) sean linealmente dependientes. Si son linealmente dependientes, uno de ellos, se podrá expresar
Más detallesProblemas y Ejercicios Resueltos. Tema 3: Aplicaciones Lineales.
Problemas y Ejercicios Resueltos. Tema : Aplicaciones Lineales. Ejercicios 1.- Determinar cuáles de las siguientes aplicaciones son lineales: (i) f : R R 2 definida por f((x, y, z)) = (x y, y + 2z). (ii)
Más detalles1. Cambios de base en R n.
er Curso de Ingeniero de Telecomunicación. Álgebra. Curso 8-9. Departamento de Matemática Aplicada II. Universidad de Sevilla. Tema 5. Cambios de Base. Aplicaciones Lineales. Teoría y Ejercicios Resueltos..
Más detallesNota 1. Los determinantes de orden superior a 3 se calculan aplicando las siguientes propiedades:
Capítulo 1 DETERMINANTES Definición 1 (Matriz traspuesta) Llamaremos matriz traspuesta de A = (a ij ) a la matriz A t = (a ji ); es decir la matriz que consiste en poner las filas de A como columnas Definición
Más detallesEspacios vectoriales y Aplicaciones lineales
Espacios vectoriales y Aplicaciones lineales Espacios vectoriales. Subespacios vectoriales Espacios vectoriales Definición Sea V un conjunto dotado de una operación interna + que llamaremos suma, y sea
Más detallesVECTORES. Módulo, dirección y sentido de un vector fijo En un vector fijo se llama módulo del mismo a la longitud del segmento que lo define.
VECTORES El estudio de los vectores es uno de tantos conocimientos de las matemáticas que provienen de la física. En esta ciencia se distingue entre magnitudes escalares y magnitudes vectoriales. Se llaman
Más detallesDivisibilidad y números primos
Divisibilidad y números primos Divisibilidad En muchos problemas es necesario saber si el reparto de varios elementos en diferentes grupos se puede hacer equitativamente, es decir, si el número de elementos
Más detallesAPUNTES DE MATEMÁTICAS TEMA 4: VECTORES 1º BACHILLERATO
APUNTES DE MATEMÁTICAS TEMA 4: VECTORES 1º BACHILLERATO ÍNDICE VECTORES EN EL PLANO... 3 Vector Fijo... 3 VECTOR LIBRE... 3 Operaciones con Vectores... 3 Suma de vectores... 3 Producto de un número por
Más detallesEjemplo 1.2 En el capitulo anterior se demostró que el conjunto. V = IR 2 = {(x, y) : x, y IR}
Subespacios Capítulo 1 Definición 1.1 Subespacio Sea H un subconjunto no vacio de un espacio vectorial V K. Si H es un espacio vectorial sobre K bajo las operaciones de suma y multiplicación por escalar
Más detallesVII. Estructuras Algebraicas
VII. Estructuras Algebraicas Objetivo Se analizarán las operaciones binarias y sus propiedades dentro de una estructura algebraica. Definición de operación binaria Operaciones como la suma, resta, multiplicación
Más detallesDefinición de vectores
Definición de vectores Un vector es todo segmento de recta dirigido en el espacio. Cada vector posee unas características que son: Origen: O también denominado Punto de aplicación. Es el punto exacto sobre
Más detallesCURSO CERO. Departamento de Matemáticas. Profesor: Raúl Martín Martín Sesiones 18 y 19 de Septiembre
CURSO CERO Departamento de Matemáticas Profesor: Raúl Martín Martín Sesiones 18 y 19 de Septiembre Capítulo 1 La demostración matemática Demostración por inducción El razonamiento por inducción es una
Más detallesCapitán de fragata ingeniero AGUSTÍN E. GONZÁLEZ MORALES ÁLGEBRA PARA INGENIEROS
Capitán de fragata ingeniero AGUSTÍN E. GONZÁLEZ MORALES ÁLGEBRA PARA INGENIEROS 2 Í N D I C E CAPÍTULO MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES MATRICES. MATRIZ. DEFINICIÓN 2. ALGUNOS
Más detallesGEOMETRÍA ANALÍTICA 2º Curso de Bachillerato 22 de mayo de 2008
1. Sean los puntos A (1, 0,-1) y B (,-1, 3). Calcular la distancia del origen de coordenadas a la recta que pasa por A y B. Calculemos la recta que pasa por A y B. El vector AB es (1,-1,4) y por tanto
Más detallesFORMA CANONICA DE JORDAN Y ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES A COEFICIENTES CONSTANTES
FORMA CANONICA DE JORDAN Y ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES A COEFICIENTES CONSTANTES Eleonora Catsigeras 6 de mayo de 997 Notas para el curso de Análisis Matemático II Resumen Se enuncia sin demostración
Más detallesSISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Capítulo 7 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 7.1. Introducción Se denomina ecuación lineal a aquella que tiene la forma de un polinomio de primer grado, es decir, las incógnitas no están elevadas a potencias,
Más detallesAplicaciones Lineales
Aplicaciones Lineales Ejercicio Dada la matriz A = 0 2 0 a) Escribir explícitamente la aplicación lineal f : 2 cuya matriz asociada con respecto a las bases canónicas es A. En primer lugar definimos las
Más detallesCómo?: Resolviendo el sistema lineal homógeneo que satisfacen las componentes de cualquier vector de S. x4 = x 1 x 3 = x 2 x 1
. ESPACIOS VECTORIALES Consideremos el siguiente subconjunto de R 4 : S = {(x, x 2, x 3, x 4 )/x x 4 = 0 x 2 x 4 = x 3 a. Comprobar que S es subespacio vectorial de R 4. Para demostrar que S es un subespacio
Más detallesValores propios y vectores propios
Capítulo 6 Valores propios y vectores propios En este capítulo investigaremos qué propiedades son intrínsecas a una matriz, o su aplicación lineal asociada. Como veremos, el hecho de que existen muchas
Más detallesy λu = Idea. Podemos sumar vectores y multiplicar por un escalar. El resultado vuelve a ser un vector Definición de espacio vectorial.
Espacios vectoriales Espacios y subespacios R n es el conjunto de todos los vectores columna con n componentes. Además R n es un espacio vectorial. Ejemplo Dados dos vectores de R por ejemplo u = 5 v =
Más detallesEjercicios resueltos de vectores
Ejercicios resueltos de vectores 1) Sean a(2,-1,3), b(3,0,-2) y c(-2,-2,1), realiza las siguientes operaciones con vectores: a) 3a + b - c b) a -2b c) a c 2) Utilizando los vectores del ejercicio 1, comprueba
Más detallesAplicaciones Lineales y Multilineales Continuas
Capítulo 4 Aplicaciones Lineales y Multilineales Continuas La conexión entre las estructuras vectorial y topológica de los espacios normados, se pone claramente de manifiesto en el estudio de las aplicaciones
Más detalles3. Equivalencia y congruencia de matrices.
3. Equivalencia y congruencia de matrices. 1 Transformaciones elementales. 1.1 Operaciones elementales de fila. Las operaciones elementales de fila son: 1. H ij : Permuta la fila i con la fila j. 2. H
Más detallesApuntes de Matemática Discreta 9. Funciones
Apuntes de Matemática Discreta 9. Funciones Francisco José González Gutiérrez Cádiz, Octubre de 004 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas ii Lección 9 Funciones Contenido 9.1 Definiciones y
Más detallesCriterio de Sylvester
Criterio de Sylvester Objetivos. Aprender a aplicar el criterio de Sylvester para analizar cuándo una forma cuadrática es positiva definida, usando los menores principales de su matriz asociada. También
Más detallesEJERCICIOS DE MATEMÁTICAS I HOJA 4. Ejercicio 1. Se consideran los vectores
EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS I HOJA 4 Ejercicio 1. Se consideran los vectores u 1 = (1, 1, 0, 1), u 2 = (0, 2, 1, 0), u 3 = ( 1, 1, 1, 1), u 4 = (2, 2, 1, 0) de R 4. Expresa, si es posible, los vectores u
Más detallesvectoriales N(f) e Im(f) N(f) = (5,1,0),( 3,0,1) y f(1,0,0)=(2,-1,1). Se pide:
.- En los siguientes casos estudiar si f es una aplicación lineal y en caso afirmativo hallar una matriz A tal que f(x) Ax, así como los subespacios vectoriales N(f) e Im(f) a) f(x,y) = (x,-y) b) f(x,y)
Más detalles342 SOBRE FORMAS TERNARIAS DE SEGUNDO GRADO.
342 SOBRE FORMAS TERNARIAS DE SEGUNDO GRADO. ALGUNAS APLICACIONES A LA TEORIA DE LAS FORMAS BINARIAS. Encontrar una forma cuya duplicación produce una forma dada del género principal. Puesto que los elementos
Más detallesVariedades Diferenciables. Extremos Condicionados
Capítulo 16 Variedades Diferenciables. Extremos Condicionados Vamos a completar lo visto en los capítulos anteriores sobre el teorema de las Funciones Implícitas y Funciones Inversas con un tema de iniciación
Más detallesLECCIÓN 3.- FORMAS CUADRÁTICAS PROBLEMA 1. a) La matriz simétrica asociada. b) Cuál es su signo? Justifique su respuesta.
LECCIÓN.- FORMAS CUARÁTICAS PROBLEMA Sea la forma cuadrática. Calcule: ) ( φ a) La matri simétrica asociada. b) Cuál es su signo? Justifique su respuesta. a) La matri simétrica A que determina la forma
Más detallesFunciones más usuales 1
Funciones más usuales 1 1. La función constante Funciones más usuales La función constante Consideremos la función más sencilla, por ejemplo. La imagen de cualquier número es siempre 2. Si hacemos una
Más detallesRepaso de matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales
Tema 1 Repaso de matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales Comenzamos este primer tema con un problema de motivación. Problema: El aire puro está compuesto esencialmente por un 78 por ciento
Más detallesMatrices. Definiciones básicas de matrices. www.math.com.mx. José de Jesús Angel Angel. jjaa@math.com.mx
Matrices Definiciones básicas de matrices wwwmathcommx José de Jesús Angel Angel jjaa@mathcommx MathCon c 2007-2008 Contenido 1 Matrices 2 11 Matrices cuadradas 3 12 Matriz transpuesta 4 13 Matriz identidad
Más detallesLÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES
Capítulo 9 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES 9.. Introducción El concepto de ite en Matemáticas tiene el sentido de lugar hacia el que se dirige una función en un determinado punto o en el infinito. Veamos
Más detallesEste documento ha sido generado para facilitar la impresión de los contenidos. Los enlaces a otras páginas no serán funcionales.
Este documento ha sido generado para facilitar la impresión de los contenidos. Los enlaces a otras páginas no serán funcionales. Introducción Por qué La Geometría? La Geometría tiene como objetivo fundamental
Más detallesMATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas
Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Tema 4 La recta en el plano Elaborado por la Profesora Doctora María Teresa
Más detallesFunciones, x, y, gráficos
Funciones, x, y, gráficos Vamos a ver los siguientes temas: funciones, definición, dominio, codominio, imágenes, gráficos, y algo más. Recordemos el concepto de función: Una función es una relación entre
Más detallesCURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES
INECUACIONES NOTA IMPORTANTE: El signo de desigualdad de una inecuación puede ser,, < o >. Para las cuestiones teóricas que se desarrollan en esta unidad únicamente se utilizará la desigualdad >, siendo
Más detallesPolinomios: Definición: Se llama polinomio en "x" de grado "n" a una expresión del tipo
Polinomios: Definición: Se llama polinomio en "x" de grado "n" a una expresión del tipo P (x) = a 0 x n + a 1 x n 1 +... + a n Donde n N (número natural) ; a 0, a 1, a 2,..., a n son coeficientes reales
Más detallesSistemas de vectores deslizantes
Capítulo 1 Sistemas de vectores deslizantes 1.1. Vectores. Álgebra vectorial. En Física, se denomina magnitud fsica (o simplemente, magnitud) a todo aquello que es susceptible de ser cuantificado o medido
Más detalles1.4.- D E S I G U A L D A D E S
1.4.- D E S I G U A L D A D E S OBJETIVO: Que el alumno conozca y maneje las reglas empleadas en la resolución de desigualdades y las use para determinar el conjunto solución de una desigualdad dada y
Más detallesFunciones de varias variables
Funciones de varias variables Derivadas parciales. El concepto de función derivable no se puede extender de una forma sencilla para funciones de varias variables. Aquí se emplea el concepto de diferencial
Más detallesQué son los monomios?
Qué son los monomios? Recordemos qué es una expresión algebraica. Definición Una expresión algebraica es aquella en la que se utilizan letras, números y signos de operaciones. Si se observan las siguientes
Más detalles1. APLICACIONES LINEALES
1 1. APLICACIONES LINEALES 1. Estudiar si las siguientes aplicaciones son lineales: a) f : R 2 R 3, f(x, y) = (x + y, y, x 2y). Sí es lineal. b) f : R 2 R, f(x, y) = xy. No es lineal. Basta observar que
Más detallesEspacios vectoriales con producto interno
Capítulo 8 Espacios vectoriales con producto interno En este capítulo, se generalizarán las nociones geométricas de distancia y perpendicularidad, conocidas en R y en R 3, a otros espacios vectoriales.
Más detalles4.1 El espacio dual de un espacio vectorial
Capítulo 4 Espacio dual Una de las situaciones en donde se aplica la teoría de espacios vectoriales es cuando se trabaja con espacios de funciones, como vimos al final del capítulo anterior. En este capítulo
Más detallesTema 7: Valores y vectores propios
Tema 7: es y clausura s Espacios y Permutaciones es y clausura Una permutación p = {p 1, p 2,..., p n } de los números {1, 2,..., n} es una nueva ordenación de los elementos {1, 2,..., n}, es decir, un
Más detalles8. ESPACIOS VECTORIALES Y APLICACIONES LINEALES.
Prácticas de Matemáticas I y Matemáticas II con DERIVE 8. ESPACIOS VECTORIALES Y APLICACIONES LINEALES. 8.. DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL DE VECTORES. COMBINACIÓN LINEAL. EJEMPLO 8.. Estudiar si el
Más detalles4º ESO 1. ECUAC. 2º GRADO Y UNA INCÓGNITA
4º ESO 1. ECUAC. 2º GRADO Y UNA INCÓGNITA Una ecuación con una incógnita es de segundo grado si el exponente de la incógnita es dos. Ecuaciones de segundo grado con una incógnita son: Esta última ecuación
Más detallesAl consejero A no le gusta ninguno de sus colegas como presidente. Dos consejeros (C y E) están de acuerdo en los mismos candidatos (B, C y D).
ÁLGEBRA DE MATRICE Página 48 Ayudándote de la tabla... De la tabla podemos deducir muchas cosas: Al consejero A no le gusta ninguno de sus colegas como presidente. B solo tiene un candidato el C. Dos consejeros
Más detallesClase 15 Espacios vectoriales Álgebra Lineal
Espacios vectoriales Clase 5 Espacios vectoriales Álgebra Lineal Código Escuela de Matemáticas - Facultad de Ciencias Universidad Nacional de Colombia En esta sección estudiaremos uno de los conceptos
Más detalles4 Aplicaciones lineales
Águeda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matemática Aplicada, FI-UPM 4 Aplicaciones lineales 4. Aplicación lineal Sean V y W dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo K (en general, R o C. Una aplicación
Más detallesCaracterísticas de funciones que son inversas de otras
Características de funciones que son inversas de otras Si f es una función inyectiva, llamamos función inversa de f y se representa por f 1 al conjunto. f 1 = a, b b, a f} Es decir, f 1 (x, y) = { x =
Más detallesProfr. Efraín Soto Apolinar. Factorización
Factorización La factorización es la otra parte de la historia de los productos notables. Esto es, ambas cosas se refieren a las mismas fórmulas, pero en los productos notables se nos daba una operación
Más detallesLos polinomios. Un polinomio es una expresión algebraica con una única letra, llamada variable. Ejemplo: 9x 6 3x 4 + x 6 polinomio de variable x
Los polinomios Los polinomios Un polinomio es una expresión algebraica con una única letra, llamada variable. Ejemplo: 9x 6 3x 4 + x 6 polinomio de variable x Elementos de un polinomio Los términos: cada
Más detallesPolinomios y Fracciones Algebraicas
Tema 4 Polinomios y Fracciones Algebraicas En general, a lo largo de este tema trabajaremos con el conjunto de los números reales y, en casos concretos nos referiremos al conjunto de los números complejos.
Más detallesAXIOMAS DE CUERPO (CAMPO) DE LOS NÚMEROS REALES
AXIOMASDECUERPO(CAMPO) DELOSNÚMEROSREALES Ejemplo: 6 INECUACIONES 15 VA11) x y x y. VA12) x y x y. Las demostraciones de muchas de estas propiedades son evidentes de la definición. Otras se demostrarán
Más detallesEspacio afín. Transformaciones afines y movimientos
Capítulo Espacio afín. Transformaciones afines y movimientos. Espacio afín y espacio afín métrico Definición. El espacio afín (tridimensional) está constituido por los siguientes elementos. El espacio
Más detallesUniversidad de Costa Rica Escuela de Matemática ALGEBRA LINEAL. x x1 n. θ y. 1 n x1 n ȳ1 n. Carlos Arce S. William Castillo E. Jorge González V.
Universidad de Costa Rica Escuela de Matemática ALGEBRA LINEAL x x x1 n θ y y ȳ1 n 1 n x1 n ȳ1 n Carlos Arce S. William Castillo E. Jorge González V. 2003 Algebra Lineal Carlos Arce S., William Castillo
Más detallesCambio de representaciones para variedades lineales.
Cambio de representaciones para variedades lineales 18 de marzo de 2015 ALN IS 5 Una variedad lineal en R n admite dos tipos de representaciones: por un sistema de ecuaciones implícitas por una familia
Más detallesProblemas y Ejercicios Resueltos. Tema 2: Espacios vectoriales.
Problemas y Ejercicios Resueltos. Tema : Espacios vectoriales. Ejercicios 1.- Determinar el valor de x para que el vector (1, x, 5) R 3 pertenezca al subespacio < (1,, 3), (1, 1, 1) >. Solución. (1, x,
Más detalles