Tema 2. Espacios Vectoriales Introducción
|
|
- Virginia Antonia Silva Romero
- hace 8 años
- Vistas:
Transcripción
1 Tema 2 Espacios Vectoriales 2.1. Introducción Estamos habituados en diferentes cursos a trabajar con el concepto de vector. Concretamente sabemos que un vector es un segmento orientado caracterizado por una dirección, un sentido y un módulo. Estas definiciones se suelen dar para vectores de R 2 y R 3. También conocemos que dos vectores en R 2 y en R 3 se pueden sumar analíticamente (es decir sumando cada coordenada) y geométricamente (mediante la regla del paralelogramo). Además también se puede multiplicar un número (escalar) por un vector, cuyo resultado es alargar o encoger el vector o cambiarle su sentido en función de si el número es negativo o no. Por tener definidas estas operaciones (y cumplir una serie de propiedades) se dice que R 2 (o R 3 ) es un espacio vectorial. Sin embargo el concepto de espacio vectorial, en definitiva de vector, es mucho más amplio y no sólo se reduce al de segmento orientado sino que a la luz del siguiente tema veremos que otros conjuntos comparten todas las propiedades de las operaciones con vectores de R 2 y R 3 con lo cual también los llamaremos vectores. Así, en este tema, veremos que el conjunto de los polinomios de grado menor o igual que dos con las operaciones de suma de polinomios y la multiplicación de un número por un polinómio, es un espacio vectorial ( con lo cual un polinomio es un vector!). También las matrices de 2 filas y 3 columnas es un espacio vectorial con la suma de matrices y multiplicación de un número por una matriz (por tanto una matriz 2 3 también es un vector!) y otros muchos conjuntos también cumplen las propiedades de ser un espacio vectorial, con lo cual sus elementos se pueden llamar vectores. Sin embargo, por su gran importancia, comenzaremos estudiando con detalle los espacios vectoriales de la forma K n (donde K = Q, R o Z p, con p primo) y veremos como otros espacios vectoriales se pueden estudiar a partir de ellos. Durante todas estas notas por K entenderemos que representa a R, Q o Z p con p un número primo. 1
2 2 TEMA 2. ESPACIOS VECTORIALES 2.2. Vectores en K n Definición Sea n 1 un número natural. Un vector sobre K de dimensión n es una lista ordenada de n números de K, es decir v = (a 1,...,a n ) con los a i K. Los a i se llaman las coordenadas del vector v. Al conjunto de los vectores de dimensión n sobre K lo denotaremos por K n. Los vectores pueden verse como un tipo especial de matrices, por lo que pueden efectuarse sobre ellos las mismas operaciones de suma y producto por un elemento de K que podíamos realizar en general. Ejemplo Dados los vectores v = (1, 3, 4, 2) y w = (1, 3, 2, 0) de Q 4, v + w = (2, 0, 6, 2), y 1/2v = (1/2, 3/2, 2, 1). Llamaremos vector 0 a 0 = (0,...,0) K n. Definición Sean v 1,...,v m vectores de K n. Una combinación lineal de v 1,...,v m es cualquier expresión del tipo t 1 v t m v m, donde los t i K. Para saber si un vector v es combinación lineal de los vectores v 1, v 2...,v m tenemos que resolver el SEL (sistema de ecuaciones lineales) que tiene a los vectores v 1,...,v m como columnas en la matriz de coeficientes y al vector v como columna de términos independientes. Si el SEL es incompatible quiere decir que el vector v no es combinación lineal de v 1,...,v m. El conjunto de todas las posibles combinaciones lineales de v 1,...,v m se denota v 1,...,v m. Es decir, v 1,...,v m = {t 1 v t m v m, t i K} Diremos que los vectores v 1,...,v m generan K n (o que forman un sistema generador de K n ) si v 1,...,v m = K n Ejemplo Consideremos el espacio vectorial Z 4 7. Los vectores u = (0, 5, 5, 6) y v = (2, 0, 5, 6) son combinaciones lineales de los vectores v 1 = (2, 3, 1, 4), v 2 = (1, 2, 1, 4) ya que u = 2v 1 + 3v 2 y v = 4v 1 + 1v 2. Ejemplo (0, 0, 0, 0) = {(0, 0, 0, 0)}.
3 2.2. VECTORES EN K N 3 2. Si v 1 = (1, 2) y v 2 = (0, 1) son vectores de R 2 entonces v 1, v 2 = {(0, 0), (1, 2), (0, 1), (1, 1), ( 3, 2 3 1),...}. Nótese que al hacer todas las combinaciones lineales posibles de v 1 y v 2 aparecen todos los vectores de R 2 3. Si v 1 = ( 1, 3, 2), v 2 ( 1, 0, 1) y v 3 = ( 2, 3, 3) son vectores de R 3 entonces es fácil observar que v 1, v 2, v 3 = v 1, v 2 Ejemplo Comprobemos que los vectores v 1 = (1, 0, 1), v 2 = (0, 0, 2), v 3 = (2, 1, 1), v 4 = ( 1, 2, 1) generan R 3. Consideremos un vector arbitrario de R 3, pongamos (a, b, c), y ver si la ecuación vectorial asociada (a, b, c) = λ 1 v 1 + λ 2 v 2 + λ 3 v 3 + λ 4 v 4 tiene siempre solución. Eso es lo mismo que decir que el SEL a = λ 1 +2λ 3 λ 4 b = λ 3 +2λ 4 c = λ 1 +2λ 2 +λ 3 +λ 4 es compatible, lo cual es fácil de comprobar resolviéndolo por Gauss. Observación A la vista del ejemplo anterior es fácil observar que si tenemos menos de n vectores de K n, éstos nunca podrán generar K n. 2. En resumen, para estudiar si un vector w = (b 1, b 2,...,b n ) es combinación lineal de v 1,...,v k tenemos que resolver el siguiente sistema A X = w t, donde A es la matriz que resulta al poner los vectores v 1, v 2,...,v k por columnas. En particular tendremos que v 1,...,v k (k n) es un sistema generador de K n si cualquier sistema A X = w t tiene solución. Otros espacios vectoriales muy importantes son precisamente aquellos espacios vectoriales que se encuentran dentro de K n. Por ejemplo, en R 3 tomemos un plano que pasa por el origen. Entonces si sumamos dos vectores de ese plano el vector resultante también está en el plano y lo mismo si multiplicamos un número por un vector. Se dice entonces que ese plano es un subespacio de R 3. Definición Un subconjunto no vacío de K n se dice que es un subespacio si cumple: a) Si se suman dos vectores v y w del subespacio entonces v + w también está en el subespacio. b) Si v es un vector del subespacio y lo multiplicamos por un número r, entonces rv está en el subespacio.
4 4 TEMA 2. ESPACIOS VECTORIALES Observación Todo subespacio contiene al vector 0. La esfera de radio 1 con centro en el (0, 0, 0) no puede ser un subespacio de R 3 ( por qué??). Los únicos subespacios posibles de R 3 son: 1. el formado por el vector (0, 0, 0), 2. las rectas que pasan por (0, 0, 0), 3. los planos que pasan por (0, 0, 0), 4. y, por supuesto, el propio R 3. Proposición Dados los vectores v 1, v 2,...,v m de K n. El conjunto de todas las combinaciones lineales posibles v 1,...,v m es un subespacio. Se llama subespacio generado por v 1, v 2...,v m y se dice que los vectores v 1, v 2,...,v m son un sistema generador del subespacio. Demostración. Sean v, w v 1,...,v n. Es decir, v = t 1 v t n v n, w = s 1 v s n v n, por lo que v + w = (t 1 + s 1 )v (t n + s n )v n, y así v + w v 1,...,v n. Análogamente, r v = r (t 1 v t n v n ) = r t 1 v r t n v n v 1,...,v n. Nos pueden dar un subespacio W de K n de tres formas. Es muy importante saber pasar de una forma a otra: mediante un sistema generador de W. Ejemplo El subconjunto W = (1, 2, 1), (2, 3, 1) es un subespacio de R 3. Mediante una expresión paramétrica, es decir, las coordenadas de los vectores de un subespacio vienen dadas en función de unos ciertos parámetros. Dichas funciones deben de ser necesariamente lineales, esto es, expresiones del tipo (2t+3s, t s, 5t+ 2s) en las que cada expresión es suma de constantes por parámetros. Ejemplo El subespacio W anterior se escribe con ecuaciones paramétricas x = 1t + 2s del siguiente modo: W y = 2t + 3s donde t,s son parámetros (es decir, z = ( 1)t + s valores arbitrarios de R). Para obtener vectores de W sólo tenemos que dar valores concretos a t y a s. Mediante unas ecuaciones que deben de cumplir los vectores del subespacio. Dichas ecuaciones son siempre ecuaciones lineales homogéneas. Se dice que el subespacio está dado en ecuaciones implícitas.
5 2.3. BASES Y COORDENADAS 5 Ejemplo La ecuación implicita del subespacio W anterior es W 5x + 3y+z = 0. Para obtenerla es necesario eliminar los parámetros t y s de las ecuaciones implícitas. Para este fin consideramos la matriz (A X) = 1 2 x 2 3 y 1 1 z Para que (x, y, z) sean las coordenadas de un vector de W necesitamos que el rango de la matriz (A X) sea 2 (que es el rango de A). Esto lo conseguimos calculando una matriz escalonada de (A X) 1 2 x 0 1 2x + y 0 0 5x + 3y + z he imponiendo la condición de que dicha matriz tenga rango igual al de A, es decir imponiendo 5x + 3y + z = 0. Pregunta: Cuántas ecuaciones implícitas tiene el espacio R 3? Las dos primeras formas de presentar un subespacio son esencialmente la misma y sirven para calcular tantos vectores del subespacio como queramos, para lo que no hay más que dar valores a los parámetros. Las ecuaciones implícitas, por contra, sirven para saber si un determinado vector está o no en un subespacio. Las ecuaciones implícitas de un subespacio no son únicas, ya que puede haber distintos sistemas de ecuaciones homogéneos con las mismas soluciones. Observación Los subespacios de R 3 nos van a permitir hacer construcciones complejas en el espacio como la casa que se construye en la página 9 de los apuntes del Tema 3. Observad que, aunque los subespacios de R 3 son infinitos podemos delimitarlos para así construir los segmentos y rectángulos, sin más que acotando el rango de valores de los parámetros en las ecuaciones paramétricas, como podéis ver en las páginas 11, 12, 13, 14 y Bases y coordenadas Vamos a recordar el concepto de vectores linealmente dependientes e independientes. Intuitivamente, si consideramos el espacio R 3 y tenemos 3 vectores (todos ellos distintos del vector 0) decir que son linealmente dependientes quiere decir que están en una misma recta, o bien, que están en un mismo plano. Por contra, si son linealmente independientes quiere decir que dos de ellos están en un mismo plano y el tercero está fuera de ese plano.
6 6 TEMA 2. ESPACIOS VECTORIALES Definición Un conjunto de vectores se dice linealmente independiente si ninguno de ellos puede ponerse como combinación lineal de los demás. A la hora de hacer los problemas: 1. Para ver si v 1,...,v m K n son independientes hay que comprobar que si t 1 v t m v m = 0, entonces t 1 = t 2 =... = t m = Si v 1,...,v m K n son vectores de modo que v m es combinación de los demás, entonces v 1,...,v m = v 1,...,v m Cuando tengamos varios vectores, los representaremos mediante una matriz sin más que escribir cada vector en una fila. Es fácil comprobar lo siguiente: si un conjunto de vectores es independiente y hacemos una operación elemental por filas, entonces los vectores fila siguen siendo linealmente independientes. Además los vectores fila de la matriz transformada generan el mismo subespacio que los originales. 4. Para saber si un conjunto de vectores son linealmente independientes o no, basta colocarlos por filas en una matriz y hacer operaciones elementales por filas hasta dejarla en forma escalonada. Las filas no nulas de dicha matriz escalonada nos dan un conjunto linealmente independiente de forma que el espacio que genera es el mismo que el conjunto original. Definición Un conjunto de vectores {v 1,...,v m } es una base de K n si es sistema generador y linealmente independiente. Teorema Sean w 1,...,w m K n entonces: 1. Si w 1,...,w m forman un sistema generador de K n entonces m n 2. Si w 1,...,w m son linealmente independientes entonces m n 3. Si w 1,...,w m son base entonces m = n. Demostración. 1) Si fuese m < n entonces podemos poner los vectores w 1,...,w m en las filas de una matriz y calcular una matriz escalonada. Como el número de columnas es menor que n habrá al menos una columna compuesta por ceros en dicha matriz escalonada. Si es la columna i basta cogerse el vector con todas las componentes 0 y 1 en la componente i. Ese vector no estará generado por w 1,...,w m, con lo cual dichos vectores no pueden formar un sistema generador de K n. 2) Si w 1,...,w m son independientes y m > n, al ponerlos por filas en forma de matriz y calcular una matriz escalonada, nos aparecerán filas de ceros, dado que no puede haber más de un pivote por fila y como mucho podemos tener n pivotes diferentes de 0 en la matriz escalonada (por ser m > n). Con lo cual no pueden ser independientes. 3) Es una consecuencia inmediata de 1) y 2).
7 2.3. BASES Y COORDENADAS 7 Dado que una base de K n es, al mismo tiempo, un sistema generador de K n y linealmente independiente, tenemos, como consecuencia del resultado anterior, el siguiente corolario. Corolario Sea B = {v 1,...,v m } una base de K n. Entonces m = n. Observación El hecho de elegir diferentes bases es lo que nos va a permitir modificar el origen a la hora de situar la casa como se hace en los apuntes del Tema 3 (página 6). La importancia de que los vectores de una base sean linealmente independientes queda de manifiesto en la página 7 cuando vemos que si elegimos más de 3 direcciones en R 3 a la hora de construir los puntos, tendríamos diferentes formas de construirlos. Proposición Un conjunto de vectores B = {v 1...,v n } de K n es una base de K n todo vector v K n puede escribirse de forma única en la forma v = t 1 v t n v n. En este caso, (t 1,...,t n ) B se llaman las coordenadas de v en la base B. Demostración. Cualquier vector v está en v 1,...,v n, por lo que puede ponerse como t 1 v t n v n. Por otra parte, si tenemos v = t 1 v t n v n v = s 1 v s n v n, entonces t 1 v t n v n = s 1 v s n v n, es decir, (t 1 s 1 )v (t n s n )v n = 0. Como v 1,...,v n son independientes, esto obliga a que cada t i sea igual al correspondiente s i. Como todo vector de K n puede escribirse en la forma t 1 v t n v n, tenemos que v 1,...,v n = K n. Por otro lado, si tenemos t 1 v t n v n = 0, como también 0v v n = 0, por la unicidad t 1 = t 2 =... = t n = 0. Así pues, v 1,...,v n son independientes. Ejemplo Una base de K n está formada por los vectores e 1 = (1, 0,...,0), e 2 = (0, 1,...,0),, e n = (0, 0,...,1) Las coordenadas de un vector en esta base no son más que las componentes del vector. Dicha base se denota por C K n (o simplemente por C si se sobreentiende el espacio K n sobre el cual trabajamos) y se llama base canónica de K n. 2. Los vectores (1,1) y (-1,1) forman una base de R Desde un punto de vista práctico, determinar las coordenadas de un vector respecto de una base de K n cualquiera consiste en resolver un sistema de ecuaciones compatible (determinado). En concreto, consideremos en el Z 5 -espacio vectorial Z 3 5 el conjunto B = {(1, 2, 4), (2, 2, 1), (0, 3, 2)}.
8 8 TEMA 2. ESPACIOS VECTORIALES Entonces es fácil comprobar que B es una base de Z 3 5 ( compruébese!!). Vamos a calcular las coordenadas del vector (3, 1, 1) Z 3 5 respecto de dicha base. Se trata de encontrar tres elementos de Z 5, a, b y c, tales que a(1, 2, 4) + b(2, 2, 1) + c(0, 3, 2) = (3, 1, 1). Esta ecuación vectorial se puede expresar como un sistema de ecuaciones lineales en las incógnitas a, b, c : a + 2b = 3 2a + 2b + 3c = 1. 4a + b + 2c = 1 Resolviendo el sistema por el método de Gauss obtenemos que a = 0, b = 4 y c = 1. Por tanto las coordenadas de (3, 3, 1) respecto de la base B son (0, 4, 1). Comprobemos esto último: 0(1, 2, 4) + 4(2, 2, 1) + 1(0, 3, 2) = (8, 8, 4) + (0, 3, 2) = (8, 11, 6) = (3, 1, 1). Si tenemos una base B, podemos identificar los vectores con sus coordenadas respecto a B. En particular, un conjunto de vectores es generador o independiente si y sólo si sus coordenadas lo son como vectores de K n. Definición Sea W un subespacio de K n. Un conjunto de vectores {v 1,...,v k } se dice conjunto generador de W si W = v 1,...,v k. Si, además, el conjunto {v 1,...,v k } es linealmente independiente, diremos que es una base de W. Si W tiene una base B, llamaremos dimensión de W al número de elementos de B y lo denotaremos como dim K W. Habíamos definido el rango de una matriz como el número de filas no nulas en una matriz escalonada. Una interpretación en términos de subespacios es que el rango es la dimensión del subespacio generado por las filas de la matriz. Puede comprobarse que el rango coincide también con la dimensión del subespacio generado por las columnas de la matriz. De lo anterior se deduce que si W = v 1, v 2,...,v k, para calcular una base de W nos quedamos con los linealmente independientes. Eso lo haremos poniendo los vectores v 1, v 2,...,v k por filas en una matriz y calculando la matriz escalonada. Los vectores fila no nulos de dicha matriz escalonada nos dan una base de W. Por otro lado si W es un subespacio de K n de dimensión r, para calcular una base de K n nos inventamos n k vectores, con la precaución de que al juntarlos con los de la base de W sean linealmente independientes (es decir su matriz escalonada no nos de filas nulas).
9 2.3. BASES Y COORDENADAS 9 De todo lo anterior deducimos la siguiente consecuencia: Corolario Sea S = {v 1, v 2,...,v n } un conjunto de n vectores de K n. Entonces son equivalentes: 1. S es base de K n. 2. S es linealmente independiente. 3. S es un conjunto generador de K n. Por tanto, a la vista de éste resultado, si nos dan un conjunto con tantos vectores como la dimensión de K n para que sea base de K n bastará probar que son linealmente independientes. 1. Consideremos el subespacio W de R 3 dado por las ecuaciones im- Ejemplo plícitas: x y + z = 0 x z = 0 Para calcular una base de W, resolvemos dicho sistema, teniendo en cuenta que, para ello, debemos introducir 1 variable libre (n o variables libres = n o componentes - n o ecuaciones implícitas linealmente independientes). Obtenemos la solución }. W = {(a, 2a, a) a R}. El subespacio W de R 3 está generado por el conjunto {(1, 2, 1)}, así W = (1, 2, 1). Como es claramente independiente se tiene que B W = {(1, 2, 1)} con lo que dim W = La solución de la ecuación lineal x y z t = 0 en R 4 es W = {(a + b + c, a, b, c) a, b, c R}. Cualquier vector solución (a + b + c, a, b, c) W se expresa de la forma Por tanto (a + b + c, a, b, c) = (a, a, 0, 0) + (b, 0, b, 0) + (c, 0, 0, c) = = a(1, 1, 0, 0) + b(1, 0, 1, 0) + c(1, 0, 0, 1). W = (1, 1, 0, 0), (1, 0, 1, 0), (1, 0, 0, 1). Además esos tres vectores son linealmente independientes como se puede comprobar al hacer la matriz escalonada. Con lo cual B W = {(1, 1, 0, 0), (1, 0, 1, 0), (1, 0, 0, 1)} y así dim W = 3. Si queremos ampliar dicha base hasta una base de R 4 bastará añadir un cuarto vector que sea linealmente independiente con los de la base de W, podemos tomar (1, 0, 0, 0) ( compruébese!!).
10 10 TEMA 2. ESPACIOS VECTORIALES Observación Siempre que nos den un subespacio W de K n en forma de sistema generador, para calcular una base de W tenemos que comprobar que dichos vectores son linealmente independientes calculando una matriz escalonada de esos vectores puestos por filas. Una vez que nos hemos quedado con los l.i. el número de parámetros para calcular las ecuaciones paramétricas y el número de ecuaciones implícitas están relacionadas mediante la siguiente relación: n o de ecuaciones implícitas l.i. = n - n o de parámetros Otra forma de expresar lo anterior es: rg(a) = dim K n dim W, siendo A la matriz de coeficientes de las ecuaciones implícitas Operaciones con Subespacios Definición Sean W 1, W 2 K n. Se llama 1. Intersección de W 1 y W 2, W 1 W 2 = {v K n /v W 1 y v W 2 } 2. Suma de W 1 y W 2, W 1 + W 2 = {v 1 + v 2 /v 1 W 1 y v 2 W 2 } Proposición W 1 W 2 y W 1 + W 2 son subespacios de K n. Demostración. 1) Sean u, v W 1 W 2, r, s K. Como u, v W 1 y W 1 es un subespacio, r u + s v W 1. Análogamente, como W 2 es un subespacio, r u + s v W 2. Así pues, r u + s v W 1 W 2. 2) Sean v, w W 1 + W 2, r, s K. Por tanto, v = v 1 + v 2, con v 1 W 1, v 2 W 2 w = w 1 + w 2, con w 1 W 1, w 2 W 2 Ahora r v + s w = r(v 1 + v 2 ) + s(w 1 + w 2 ) = (rv 1 + sw 1 ) + (rv 2 + sw 2 ). Pero rv 1 + sw 1 W 1, por ser W 1 un subespacio, y rv 2 + sw 2 W 2, por ser W 2 un subespacio; por tanto r v + s w W 1 + W 2. Notación Si W 1 W 2 = {0}, se dice que la suma W 1 +W 2 es directa, y suele denotarse por W 1 W 2. Observación Respecto a bases y subespacios, un resultado interesante es el siguiente. Si W 1, W 2 son subespacios de K n entonces: dim K (W 1 + W 2 ) = dim K (W 1 ) + dim K (W 2 ) dim K (W 1 W 2 )
11 2.5. OTROS ESPACIOS VECTORIALES Otros espacios vectoriales Definición Un espacio vectorial sobre K es un conjunto V con dos operaciones, llamadas suma y producto por un número de K, cumpliendo: 1. u + (v + w) = (u + v) + w, u, v, w V 2. u + v = v + u, u, v V 3. Existe un vector 0 V tal que v + 0 = v, v V 4. Para cada v V existe otro vector, llamado -v, tal que v + (-v) = 0 5. r (u + v) = r u + r v, u, v V, r K 6. (r s) v = r (s v), v V, r, s K 7. (r+s) v = r v + s v, v V, r, s K 8. 1 v = v, v V En este caso, a los elementos de V los llamaremos vectores y a los de K, escalares. Ejemplo Los vectores de K n que hemos estudiado hasta ahora forman un espacio vectorial. 2. K n [X], los polinomios con coeficientes en K de grado n, con la suma y producto por un número habituales son también un espacio vectorial. 3. M 3 3 (R) con la suma y producto por un escalar definidos en el tema anterior, son un espacio vectorial. 4. El espacio de señales. Sea S el espacio de todas las sucesiones de números infinitas hacia la derecha y hacia la izquierda y k = (...,y 2, y 1, y 0, y 1, y 2,...) La suma de dos de tales sucesiones o su producto por un número se realizan componente a componente, por lo que trivialmente se cumplen las propiedades de espacio vectoial. Los elementos de S aparecen en cualquier ingeniería cuando, por ejemplo, se discretiza o muestrea en tiempos discretos cualquier señal, ya sea eléctrica, mecánica, óptica, etc. Por conveniencia, llamaremos a S espacio de señales en tiempo discreto. Definición Sean v 1,...,v n V. Llamaremos una combinación lineal de v 1,...,v n a cualquier expresión del tipo t 1 v t n v n, donde los t i K.
12 12 TEMA 2. ESPACIOS VECTORIALES Llamaremos v 1,...,v n al conjunto de todas las posibles combinaciones lineales de v 1,...,v n. Un conjunto de vectores v 1,...,v n V se dice un sistema generador de V si v 1,...,v n = V Definición Un subconjunto W V, se dice un subespacio si cumple: a) Si u, v W entonces u + v W. b) Si u W, r K, entonces r v W Equivalentemente, un conjunto de vectores forman un subespacio si u, v W, r, s K r u + s v W. Si W es un subespacio de V, lo escribiremos como W V. Definición Un conjunto de vectores se dice linealmente independiente si ninguno de ellos puede ponerse como combinación lineal de los demás. Para ver si v 1,...,v n V son independientes hay que comprobar que si t 1 v t n v n = 0, entonces t 1 = t 2 =...= t n = 0 Definición Un conjunto de vectores v 1,...,v n V se dice base si es sistema generador y linealmente independiente. Proposición B = {v 1,...,v n } V es una base de V todo vector v V puede escribirse de forma única en la forma v = t 1 v t n v n. En este caso,(t 1,...,t n ) B se llaman las coordenadas de v en la base B. Demostración. Igual que en K n. Proposición Si B es una base y tenemos dos vectores u y v de coordenadas (t 1,...,t n ), (s 1,...,s n ) entonces a) Las coordenadas de u + v son (t 1 +s 1,...,t n +s n ) b) Las coordenadas de r v son (r t 1,...,r t n ) Una vez tengamos una base de un espacio vectorial, identificaremos los vectores con vectores en K n, donde n es el número de elementos de la base y trabajaremos con ellos como hemos hecho en las secciones anteriores. Por tanto todo lo que hemos hecho en K n lo podremos hacer en un espacio vectorial en general siempre y cuando conozcamos una base. Ejemplo Una base de K n [X], los polinomios con coeficientes en K de grado n, es la formada por {1, x, x 2,...,x n }. Respecto a esta base, a la que llamaremos base canónica de K n [X], un polinomio se escribe mediante su vector de coeficientes. Así, por ejemplo, en R 2 [x], una base es {1, x, x 2 } y un polinomio como 3 + x 2x 2 se escribe (3,1,-2).
13 2.5. OTROS ESPACIOS VECTORIALES Las matrices M n m (K) tienen dimensión n m. Una base está formada por las matrices que tienen exactamente una entrada igual a 1 y las demás iguales a 0. Para escribir una matriz en esa base basta ir escribiendo las filas de la matriz una a continuación de otra. Así, por ejemplo, una base de M n m (K) es {( en dicha base la matriz ) ( 0 1, 0 0 ( ) ( 0 0, 1 0 ) ( 0 0, 0 1 ) se escribe (2,1,3,-1). 3. En términos generales, si trabajamos con otros espacios vectoriales, daremos la base y la forma en que se escribe un vector en dicha base. Definición Un espacio vectorial se dice finitamente generado si existe un conjunto generador finito Teorema Todo espacio vectorial finitamente generado tiene base. Demostración. Sean v 1,...,v n V un sistema generador. Si son linealmente independientes, ya son base. En otro caso, uno de ellos es combinación lineal de los demás. Supongamos que es el último. Como ya comentamos, ahora v 1,...,v n = v 1,...,v n 1, por lo que v 1,...,v n 1 es también un sistema generador. Basta ir repitiendo el procedimiento anterior e ir quitando vectores del sistema generador hasta llegar a uno que sea linealmente independiente. En el caso de que lleguemos a un único vector {v i } con v i 0, este conjunto es claramente linealmente independiente. Proposición Sea V un espacio vectorial de dimensión n y v 1,...,v n V un conjunto de vectores. Entonces: a) Si son un sistema generador, son base b) Si son linealmente independientes, son base Demostración. a) Si no fueran linealmente independientes, hemos visto que puedo llegar a una base de V a base de eliminar algunos de estos vectores. Tendría así una base de V con menos de n vectores, lo que es imposible porque todas las bases deben tener el mismo número de vectores. b) Si no fuesen un sistema generador, es posible encontrar un vector v / v 1,...,v n. Es fácil comprobar ahora que {v 1,...,v n, v} son linealmente independientes, lo que es imposible porque sabemos que no puede haber más de n vectores independientes. )}
14 14 TEMA 2. ESPACIOS VECTORIALES Como ocurría en K n, dados vectores v 1,...,v m que sean un sistema generador, siempre podemos reducirlos a una base sin más que quitar de esa colección aquellos que puedan ponerse como combinación lineal de los demás. Esto se hace escribiéndolos por filas en una matriz. Al pasar dicha matriz a forma escalonada, los vectores no nulos que nos queden son la base buscada. Por otra parte, si los vectores son linealmente independientes, el conjunto puede ampliarse a una base añadiendo aquellos vectores de un sistema generador que sean independientes con ellos. En particular, si tenemos un subespacio W V, cualquier base de W puede ampliarse a una base de V.
E 1 E 2 E 2 E 3 E 4 E 5 2E 4
Problemas resueltos de Espacios Vectoriales: 1- Para cada uno de los conjuntos de vectores que se dan a continuación estudia si son linealmente independientes, sistema generador o base: a) (2, 1, 1, 1),
Más detallesTema 3. Espacios vectoriales
Tema 3. Espacios vectoriales Estructura del tema. Definición y propiedades. Ejemplos. Dependencia e independencia lineal. Conceptos de base y dimensión. Coordenadas Subespacios vectoriales. 0.1. Definición
Más detallesBASES Y DIMENSIÓN. Propiedades de las bases. Ejemplos de bases.
BASES Y DIMENSIÓN Definición: Base. Se llama base de un espacio (o subespacio) vectorial a un sistema generador de dicho espacio o subespacio, que sea a la vez linealmente independiente. β Propiedades
Más detallesSubespacios vectoriales en R n
Subespacios vectoriales en R n Víctor Domínguez Octubre 2011 1. Introducción Con estas notas resumimos los conceptos fundamentales del tema 3 que, en pocas palabras, se puede resumir en técnicas de manejo
Más detallesEspacios vectoriales. Bases. Coordenadas
Capítulo 5 Espacios vectoriales. Bases. Coordenadas OPERACIONES ENR n Recordemos que el producto cartesiano de dos conjuntos A y B consiste en los pares ordenados (a,b) tales que a A y b B. Cuando consideramos
Más detallesCómo?: Resolviendo el sistema lineal homógeneo que satisfacen las componentes de cualquier vector de S. x4 = x 1 x 3 = x 2 x 1
. ESPACIOS VECTORIALES Consideremos el siguiente subconjunto de R 4 : S = {(x, x 2, x 3, x 4 )/x x 4 = 0 x 2 x 4 = x 3 a. Comprobar que S es subespacio vectorial de R 4. Para demostrar que S es un subespacio
Más detallesMatrices equivalentes. El método de Gauss
Matrices equivalentes. El método de Gauss Dada una matriz A cualquiera decimos que B es equivalente a A si podemos transformar A en B mediante una combinación de las siguientes operaciones: Multiplicar
Más detalles1 Espacios y subespacios vectoriales.
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE CARTAGENA Departamento de Matemática Aplicada y Estadística Espacios vectoriales y sistemas de ecuaciones 1 Espacios y subespacios vectoriales Definición 1 Sea V un conjunto
Más detallesEJERCICIOS DE MATEMÁTICAS I HOJA 4. Ejercicio 1. Se consideran los vectores
EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS I HOJA 4 Ejercicio 1. Se consideran los vectores u 1 = (1, 1, 0, 1), u 2 = (0, 2, 1, 0), u 3 = ( 1, 1, 1, 1), u 4 = (2, 2, 1, 0) de R 4. Expresa, si es posible, los vectores u
Más detalles1. ESPACIOS VECTORIALES
1 1. ESPACIOS VECTORIALES 1.1. ESPACIOS VECTORIALES. SUBESPACIOS VECTORIALES Denición 1. (Espacio vectorial) Decimos que un conjunto no vacío V es un espacio vectorial sobre un cuerpo K, o K-espacio vectorial,
Más detallesDefinición 1.1.1. Dados dos números naturales m y n, una matriz de orden o dimensión m n es una tabla numérica rectangular con m filas y n columnas.
Tema 1 Matrices Estructura del tema. Conceptos básicos y ejemplos Operaciones básicas con matrices Método de Gauss Rango de una matriz Concepto de matriz regular y propiedades Determinante asociado a una
Más detallesy λu = Idea. Podemos sumar vectores y multiplicar por un escalar. El resultado vuelve a ser un vector Definición de espacio vectorial.
Espacios vectoriales Espacios y subespacios R n es el conjunto de todos los vectores columna con n componentes. Además R n es un espacio vectorial. Ejemplo Dados dos vectores de R por ejemplo u = 5 v =
Más detallesEjemplo 1.2 En el capitulo anterior se demostró que el conjunto. V = IR 2 = {(x, y) : x, y IR}
Subespacios Capítulo 1 Definición 1.1 Subespacio Sea H un subconjunto no vacio de un espacio vectorial V K. Si H es un espacio vectorial sobre K bajo las operaciones de suma y multiplicación por escalar
Más detallesAnexo 1: Demostraciones
75 Matemáticas I : Álgebra Lineal Anexo 1: Demostraciones Espacios vectoriales Demostración de: Propiedades 89 de la página 41 Propiedades 89- Algunas propiedades que se deducen de las anteriores son:
Más detalles1. SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS
1 1. SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS 1.1. ESPACIOS VECTORIALES 1. Analizar cuáles de los siguientes subconjuntos de R 3 son subespacios vectoriales. a) A = {(2x, x, 7x)/x R} El conjunto A es una
Más detallesCambio de representaciones para variedades lineales.
Cambio de representaciones para variedades lineales 18 de marzo de 2015 ALN IS 5 Una variedad lineal en R n admite dos tipos de representaciones: por un sistema de ecuaciones implícitas por una familia
Más detallesTema III. Capítulo 2. Sistemas generadores. Sistemas libres. Bases.
Tema III Capítulo 2 Sistemas generadores Sistemas libres Bases Álgebra Lineal I Departamento de Métodos Matemáticos y de Representación UDC 2 Sistemas generadores Sistemas libres Bases 1 Combinación lineal
Más detallesAplicaciones Lineales
Aplicaciones Lineales Concepto de aplicación lineal T : V W Definición: Si V y W son espacios vectoriales con los mismos escalares (por ejemplo, ambos espacios vectoriales reales o ambos espacios vectoriales
Más detallesNota 1. Los determinantes de orden superior a 3 se calculan aplicando las siguientes propiedades:
Capítulo 1 DETERMINANTES Definición 1 (Matriz traspuesta) Llamaremos matriz traspuesta de A = (a ij ) a la matriz A t = (a ji ); es decir la matriz que consiste en poner las filas de A como columnas Definición
Más detallesMatemáticas I: Hoja 3 Espacios vectoriales y subespacios vectoriales
Matemáticas I: Hoa 3 Espacios vectoriales y subespacios vectoriales Eercicio 1. Demostrar que los vectores v 1, v 2, v 3, v 4 expresados en la base canónica forman una base. Dar las coordenadas del vector
Más detallesTema 1. VECTORES (EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO)
Vectores Tema. VECTORES (EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO Definición de espacio vectorial Un conjunto E es un espacio vectorial si en él se definen dos operaciones, una interna (suma y otra externa (producto
Más detallesTema 4: Aplicaciones lineales
Tema 4: Aplicaciones lineales Definición, primeras propiedades y ejemplos Definición. Sean V y W dos espacios vectoriales sobre un cuerpo K. Una función f : V W se dice que es una aplicación lineal si
Más detallesTema 3: Producto escalar
Tema 3: Producto escalar 1 Definición de producto escalar Un producto escalar en un R-espacio vectorial V es una operación en la que se operan vectores y el resultado es un número real, y que verifica
Más detallesESPACIO VECTORIAL ESPACIO VECTORIAL SUBESPACIO VECTORIAL BASE Y DIMENSIÓN N DE UN
Tema 5.- ESPACIOS VECTORIALES ESPACIO VECTORIAL SUBESPACIO VECTORIAL BASE Y DIMENSIÓN N DE UN ESPACIO VECTORIAL Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería 1 Aunque históricamente el primer trabajo de Álgebra
Más detallesEspacios generados, dependencia lineal y bases
Espacios generados dependencia lineal y bases Departamento de Matemáticas CCIR/ITESM 14 de enero de 2011 Índice 14.1. Introducción............................................... 1 14.2. Espacio Generado............................................
Más detallesConstrucción de bases en el núcleo e imagen de una transformación lineal
Construcción de bases en el núcleo e imagen de una transformación lineal Objetivos. Estudiar el algoritmo para construir una base del núcleo y una base de la imagen de una transformación lineal. Requisitos.
Más detallesAplicaciones Lineales
Aplicaciones Lineales Ejercicio Dada la matriz A = 0 2 0 a) Escribir explícitamente la aplicación lineal f : 2 cuya matriz asociada con respecto a las bases canónicas es A. En primer lugar definimos las
Más detallesEstructuras algebraicas
Tema 2 Estructuras algebraicas básicas 2.1. Operación interna Definición 29. Dados tres conjuntos A, B y C, se llama ley de composición en los conjuntos A y B y resultado en el conjunto C, y se denota
Más detallesSISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Capítulo 7 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 7.1. Introducción Se denomina ecuación lineal a aquella que tiene la forma de un polinomio de primer grado, es decir, las incógnitas no están elevadas a potencias,
Más detalles4 APLICACIONES LINEALES. DIAGONALIZACIÓN
4 APLICACIONES LINEALES DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES En ocasiones, y con objeto de simplificar ciertos cálculos, es conveniente poder transformar una matriz en otra matriz lo más sencilla posible Esto nos
Más detalles1. Producto escalar, métrica y norma asociada
1. asociada Consideramos el espacio vectorial R n sobre el cuerpo R; escribimos los vectores o puntos de R n, indistintamente, como x = (x 1,..., x n ) = n x i e i i=1 donde e i son los vectores de la
Más detallesDefinición de vectores
Definición de vectores Un vector es todo segmento de recta dirigido en el espacio. Cada vector posee unas características que son: Origen: O también denominado Punto de aplicación. Es el punto exacto sobre
Más detallesRepaso de matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales
Tema 1 Repaso de matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales Comenzamos este primer tema con un problema de motivación. Problema: El aire puro está compuesto esencialmente por un 78 por ciento
Más detalles1. INVERSA DE UNA MATRIZ REGULAR
. INVERSA DE UNA MATRIZ REGULAR Calcular la inversa de una matriz regular es un trabajo bastante tedioso. A través de ejemplos se expondrán diferentes técnicas para calcular la matriz inversa de una matriz
Más detallesTema 3. Aplicaciones lineales. 3.1. Introducción
Tema 3 Aplicaciones lineales 3.1. Introducción Una vez que sabemos lo que es un espacio vectorial y un subespacio, vamos a estudiar en este tema un tipo especial de funciones (a las que llamaremos aplicaciones
Más detallesAplicaciones Lineales
Aplicaciones Lineales Primeras definiciones Una aplicación lineal de un K-ev de salida E a un K-ev de llegada F es una aplicación f : E F tal que f(u + v) = f(u) + f(v) para todos u v E f(λ u) = λ f(u)
Más detallesAplicaciones lineales continuas
Lección 13 Aplicaciones lineales continuas Como preparación para el cálculo diferencial, estudiamos la continuidad de las aplicaciones lineales entre espacios normados. En primer lugar probamos que todas
Más detallesCapitán de fragata ingeniero AGUSTÍN E. GONZÁLEZ MORALES. ÁLGEBRA PARA INGENIEROS (Solucionario)
Capitán de fragata ingeniero AGUSTÍN E. GONZÁLEZ MORALES ÁLGEBRA PARA INGENIEROS (Solucionario) 2 Í N D I C E CAPÍTULO : MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CAPÍTULO 2: ESPACIOS VECTORIALES
Más detallesVectores en el espacio
Vectores en el espacio Un sistema de coordenadas tridimensional se construye trazando un eje Z, perpendicular en el origen de coordenadas a los ejes X e Y. Cada punto viene determinado por tres coordenadas
Más detalles1 v 1 v 2. = u 1v 1 + u 2 v 2 +... u n v n. v n. y v = u u = u 2 1 + u2 2 + + u2 n.
Ortogonalidad Producto interior Longitud y ortogonalidad Definición Sean u y v vectores de R n Se define el producto escalar o producto interior) de u y v como u v = u T v = u, u,, u n ) Ejemplo Calcular
Más detallesLÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES
Capítulo 9 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES 9.. Introducción El concepto de ite en Matemáticas tiene el sentido de lugar hacia el que se dirige una función en un determinado punto o en el infinito. Veamos
Más detallesCURSO CERO. Departamento de Matemáticas. Profesor: Raúl Martín Martín Sesiones 18 y 19 de Septiembre
CURSO CERO Departamento de Matemáticas Profesor: Raúl Martín Martín Sesiones 18 y 19 de Septiembre Capítulo 1 La demostración matemática Demostración por inducción El razonamiento por inducción es una
Más detallesEspacios vectoriales y aplicaciones lineales
Capítulo 3 Espacios vectoriales y aplicaciones lineales 3.1 Espacios vectoriales. Aplicaciones lineales Definición 3.1 Sea V un conjunto dotado de una operación interna + que llamaremos suma, y sea K un
Más detallesListas de vectores y conjuntos de vectores
Listas de vectores y conjuntos de vectores La explicación de los temas Dependencia lineal y Bases en el curso de Álgebra Lineal se puede basar en uno de los siguientes dos conceptos (o en ambos): ) listas
Más detallesa < b y se lee "a es menor que b" (desigualdad estricta) a > b y se lee "a es mayor que b" (desigualdad estricta)
Desigualdades Dadas dos rectas que se cortan, llamadas ejes (rectangulares si son perpendiculares, y oblicuos en caso contrario), un punto puede situarse conociendo las distancias del mismo a los ejes,
Más detallesEspacios vectoriales y Aplicaciones lineales
Espacios vectoriales y Aplicaciones lineales Espacios vectoriales. Subespacios vectoriales Espacios vectoriales Definición Sea V un conjunto dotado de una operación interna + que llamaremos suma, y sea
Más detallesAplicaciones Lineales
Tema 3 Aplicaciones Lineales 3.1 Introducción Se presentan en este tema las aplicaciones entre espacios vectoriales, particularmente las aplicaciones lineales, que de una manera informal pueden definirse
Más detallesAproximación local. Plano tangente. Derivadas parciales.
Univ. de Alcalá de Henares Ingeniería de Telecomunicación Cálculo. Segundo parcial. Curso 004-005 Aproximación local. Plano tangente. Derivadas parciales. 1. Plano tangente 1.1. El problema de la aproximación
Más detallesEcuaciones de primer grado con dos incógnitas
Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas Si decimos: "las edades de mis padres suman 120 años", podemos expresar esta frase algebraicamente de la siguiente forma: Entonces, Denominamos x a la edad
Más detallesSegundo de Bachillerato Geometría en el espacio
Segundo de Bachillerato Geometría en el espacio Jesús García de Jalón de la Fuente IES Ramiro de Maeztu Madrid 204-205. Coordenadas de un vector En el conjunto de los vectores libres del espacio el concepto
Más detallesLa nueva criba de Eratóstenes Efraín Soto Apolinar 1 F.I.M.E. U.A.N.L. San Nicolás, N.L. México. efrain@yalma.fime.uanl.mx
La nueva criba de Eratóstenes Efraín Soto Apolinar 1 F.I.M.E. U.A.N.L. San Nicolás, N.L. México. efrain@yalma.fime.uanl.mx Resumen Se dan algunas definiciones básicas relacionadas con la divisibilidad
Más detallesMATEMÁTICAS I TEMA 1: Espacios Vectoriales. 1 Definición de espacio vectorial. Subespacios
Sonia L. Rueda ETS Arquitectura. UPM Curso 2007-2008. 1 MATEMÁTICAS I TEMA 1: Espacios Vectoriales 1 Definición de espacio vectorial. Subespacios Dados dos conjuntos V y K se llama ley de composición externa
Más detalles4 Aplicaciones Lineales
Prof Susana López 41 4 Aplicaciones Lineales 41 Definición de aplicación lineal Definición 23 Sean V y W dos espacios vectoriales; una aplicación lineal f de V a W es una aplicación f : V W tal que: 1
Más detallesValores y vectores propios de una matriz. Juan-Miguel Gracia
Juan-Miguel Gracia Índice 1 Valores propios 2 Polinomio característico 3 Independencia lineal 4 Valores propios simples 5 Diagonalización de matrices 2 / 28 B. Valores y vectores propios Definiciones.-
Más detalles1. APLICACIONES LINEALES
1 1. APLICACIONES LINEALES 1. Estudiar si las siguientes aplicaciones son lineales: a) f : R 2 R 3, f(x, y) = (x + y, y, x 2y). Sí es lineal. b) f : R 2 R, f(x, y) = xy. No es lineal. Basta observar que
Más detallesEspacios vectoriales y aplicaciones lineales.
Práctica 2 Espacios vectoriales y aplicaciones lineales. Contenido: Localizar bases de espacios vectoriales. Suma directa. Bases y dimensiones. Cambio de base. Aplicaciones lineales. Matriz asociada en
Más detallesEspacios Vectoriales
Espacios Vectoriales Departamento de Matemáticas, CCIR/ITESM 4 de enero de 2 Índice 3.. Objetivos................................................ 3.2. Motivación...............................................
Más detallesOPERACIONES ELEMENTALES CON VECTORES
VECTORES EN 3D (O EN R 3) Presentación: este apunte te servirá para repasar y asimilar que son los vectores en un espacio tridimensional, sólo hablamos de los vectores como se utilizan en Álgebra, para
Más detallesDependencia lineal de vectores y sus aplicaciones a la resolución de sistemas de ecuaciones lineales y de problemas geométricos.
Dependencia lineal de vectores y sus aplicaciones a la resolución de sistemas de ecuaciones lineales y de problemas geométricos. Prof. D. Miguel Ángel García Hoyo. Septiembre de 2011 Dependencia lineal
Más detalles(Ec.1) 2α + β = b (Ec.4) (Ec.3)
Problema 1. Hallar t R para que el vector x = (3, 8, t) pertenezca al subespacio engendrado por los vectores u = (1, 2, 3) y v = (1, 3, 1). Solución del problema 1. x L{ u, v} si, y sólo si, existen α,
Más detallesObjetivos: Al inalizar la unidad, el alumno:
Unidad 7 transformaciones lineales Objetivos: Al inalizar la unidad, el alumno: Comprenderá los conceptos de dominio e imagen de una transformación. Distinguirá cuándo una transformación es lineal. Encontrará
Más detalles21.1.2. TEOREMA DE DETERMINACIÓN DE APLICACIONES LINEALES
Aplicaciones lineales. Matriz de una aplicación lineal 2 2. APLICACIONES LINEALES. MATRIZ DE UNA APLICACIÓN LINEAL El efecto que produce el cambio de coordenadas sobre una imagen situada en el plano sugiere
Más detalles1. El teorema de la función implícita para dos y tres variables.
GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO. Lección. Aplicaciones de la derivación parcial.. El teorema de la función implícita para dos tres variables. Una ecuación con dos incógnitas. Sea f :( x, ) U f(
Más detallesPráctica de Aplicaciones Lineales
practica5.nb 1 Práctica de Aplicaciones Lineales Aplicaciones lineales y matrices Las matrices también desempeñan un papel muy destacado en el estudio de las aplicaciones lineales entre espacios vectoriales
Más detalleselemento neutro y elemento unidad: inversa aditiva (opuesto): para todo λ K 0, existe un único µ K tal que λµ = 1;
3. Espacios Vectoriales 3.1. Definición de espacio vectorial Un cuerpo es una estructura algebraica (K, +, ) formada por un conjunto K no vacio y dos operaciones internas + y que verifican las siguientes
Más detallesAplicaciones Lineales y Multilineales Continuas
Capítulo 4 Aplicaciones Lineales y Multilineales Continuas La conexión entre las estructuras vectorial y topológica de los espacios normados, se pone claramente de manifiesto en el estudio de las aplicaciones
Más detallesSubconjuntos destacados en la
2 Subconjuntos destacados en la topología métrica En este capítulo, introducimos una serie de conceptos ligados a los puntos y a conjuntos que por el importante papel que juegan en la topología métrica,
Más detallesVectores: Producto escalar y vectorial
Nivelación de Matemática MTHA UNLP 1 Vectores: Producto escalar y vectorial Versores fundamentales Dado un sistema de coordenadas ortogonales, se considera sobre cada uno de los ejes y coincidiendo con
Más detallesVECTORES EN EL ESPACIO. 1. Determina el valor de t para que los vectores de coordenadas sean linealmente dependientes.
VECTORES EN EL ESPACIO. Determina el valor de t para que los vectores de coordenadas (,, t), 0, t, t) y(, 2, t) sean linealmente dependientes. Si son linealmente dependientes, uno de ellos, se podrá expresar
Más detallesVECTORES. Módulo, dirección y sentido de un vector fijo En un vector fijo se llama módulo del mismo a la longitud del segmento que lo define.
VECTORES El estudio de los vectores es uno de tantos conocimientos de las matemáticas que provienen de la física. En esta ciencia se distingue entre magnitudes escalares y magnitudes vectoriales. Se llaman
Más detallesCurso de Procesamiento Digital de Imágenes
Curso de Procesamiento Digital de Imágenes Impartido por: Elena Martínez Departamento de Ciencias de la Computación IIMAS, UNAM, cubículo 408 http://turing.iimas.unam.mx/~elena/teaching/pdi-lic.html elena.martinez@iimas.unam.mx
Más detallesProblema 1. (4 puntos) Sea f la aplicación lineal de R³ en R³ definida por f(1,3,4)=(2,6,8), f(1,1,1)=(2,6,8) y f(0,1,1)=(0,0,0).
Problema 1. (4 puntos) Sea f la aplicación lineal de R³ en R³ definida por f(1,3,4)=(2,6,8), f(1,1,1)=(2,6,8) y f(0,1,1)=(0,0,0). a) Demostrad que (1,3,4), (1,1,1) i (0,1,1) son una base de R³. b) Decid
Más detalles3 Espacios Vectoriales
Prof. Susana López 31 3 Espacios Vectoriales 3.1 Introducción Un ector fijo en el plano no es más que un segmento orientado en el que hay que distinguir tres características: -dirección: la de la recta
Más detallesTeoría Tema 5 Espacios vectoriales
página 1/14 Teoría Tema 5 Espacios vectoriales Índice de contenido Puntos en 2 y 3 dimensiones...2 Vectores en el plano...5 Suma de vectores...7 Combinación lineal de vectores...8 Sistema generador...10
Más detallesAPUNTES DE MATEMÁTICAS TEMA 4: VECTORES 1º BACHILLERATO
APUNTES DE MATEMÁTICAS TEMA 4: VECTORES 1º BACHILLERATO ÍNDICE VECTORES EN EL PLANO... 3 Vector Fijo... 3 VECTOR LIBRE... 3 Operaciones con Vectores... 3 Suma de vectores... 3 Producto de un número por
Más detallesANÁLISIS DE DATOS NO NUMERICOS
ANÁLISIS DE DATOS NO NUMERICOS ESCALAS DE MEDIDA CATEGORICAS Jorge Galbiati Riesco Los datos categóricos son datos que provienen de resultados de experimentos en que sus resultados se miden en escalas
Más detallesMatrices Invertibles y Elementos de Álgebra Matricial
Matrices Invertibles y Elementos de Álgebra Matricial Departamento de Matemáticas, CCIR/ITESM 12 de enero de 2011 Índice 91 Introducción 1 92 Transpuesta 1 93 Propiedades de la transpuesta 2 94 Matrices
Más detallesMATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas
Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Tema 4 La recta en el plano Elaborado por la Profesora Doctora María Teresa
Más detallesDivisibilidad y números primos
Divisibilidad y números primos Divisibilidad En muchos problemas es necesario saber si el reparto de varios elementos en diferentes grupos se puede hacer equitativamente, es decir, si el número de elementos
Más detallesAlgebra Matricial y Optimización Segundo Examen Parcial Maestro Eduardo Uresti, Semestre Enero-Mayo 2012
Grupo: Matrícula: Nombre: Algebra Matricial y Optimización Segundo Examen Parcial Maestro Eduardo Uresti, Semestre Enero-Mayo 22. (pts) Sea A una matriz cuadrada. Indique validez a cada una de las siguientes
Más detallesJuan Antonio González Mota Profesor de Matemáticas del Colegio Juan XIII Zaidín de Granada
FUNCIONES CONTINUAS. La mayor parte de las funciones que manejamos, a nivel elemental, presentan en sus gráficas una propiedad característica que es la continuidad. La continuidad de una función definida
Más detallesÁlgebra Lineal. Sesión de Prácticas 3: Subespacios vectoriales de K n. Operaciones con subespacios. Primero Grado Ingeniería Informática
Álgebra Lineal Sesión de Prácticas 3: Subespacios vectoriales de K n. Operaciones con subespacios Primero Grado Ingeniería Informática Departamento de Matemática Aplicada Facultad de Informática 1 / 22
Más detallesDiagonalización de matrices
diagonalizacion.nb Diagonalización de matrices Práctica de Álgebra Lineal, E.U.A.T., Grupos ºA y ºB, 2005 Algo de teoría Qué es diagonalizar una matriz? Para estudiar una matriz suele ser conveniente expresarla
Más detallesCAPÍTULO II. 4 El grupo afín
CAPÍTULO II 4 El grupo afín En geometría clásica, antes de la aparición de los espacios vectoriales, se hablaba de puntos en lugar de vectores. Para nosotros serán términos sinónimos salvo que, cuando
Más detallesTransformaciones canónicas
apítulo 29 Transformaciones canónicas 29.1 Introducción onsideremos una transformación arbitraria de las coordenadas en el espacio de las fases de dimensión 2(3N k) (con el tiempo como un parámetro) Q
Más detallesCAPÍTULO II. 2 El espacio vectorial R n
CAPÍTULO II 2 El espacio vectorial R n A una n upla (x 1, x 2,..., x n ) de números reales se le denomina vector de n coordenadas o, simplemente, vector. Por ejemplo, el par ( 3, 2) es un vector de R 2,
Más detallesApuntes de Matemática Discreta 9. Funciones
Apuntes de Matemática Discreta 9. Funciones Francisco José González Gutiérrez Cádiz, Octubre de 004 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas ii Lección 9 Funciones Contenido 9.1 Definiciones y
Más detallesGEOMETRÍA ANALÍTICA 2º Curso de Bachillerato 22 de mayo de 2008
1. Sean los puntos A (1, 0,-1) y B (,-1, 3). Calcular la distancia del origen de coordenadas a la recta que pasa por A y B. Calculemos la recta que pasa por A y B. El vector AB es (1,-1,4) y por tanto
Más detallesALGEBRA LINEAL. Héctor Jairo Martínez R. Ana María Sanabria R.
ALGEBRA LINEAL Héctor Jairo Martínez R. Ana María Sanabria R. SEGUNDO SEMESTRE 8 Índice general. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.. Introducción................................................ Conceptos
Más detallesApoyo para la preparación de los estudios de Ingeniería y Arquitectura Física (Preparación a la Universidad) Unidad 4: Vectores
Apoyo para la preparación de los estudios de Ingeniería y Arquitectura Física (Preparación a la Universidad) Unidad 4: Vectores Universidad Politécnica de Madrid 5 de marzo de 2010 2 4.1. Planificación
Más detallesClasificación de métricas.
Clasificación de métricas. 1. El problema de clasificación. Como bien sabemos, el par formado por una métrica T 2 (esto es, un tensor 2-covariante simétrico) sobre un espacio vectorial E, (E, T 2 ), constituye
Más detallesÁLGEBRA DE MATRICES. Al consejero A no le gusta ninguno de sus colegas como presidente.
ÁLGEBRA DE MATRICES Página 49 REFLEXIONA Y RESUELVE Elección de presidente Ayudándote de la tabla, estudia detalladamente los resultados de la votación, analiza algunas características de los participantes
Más detalles3.1 DEFINICIÓN. Figura Nº 1. Vector
3.1 DEFINICIÓN Un vector (A) una magnitud física caracterizable mediante un módulo y una dirección (u orientación) en el espacio. Todo vector debe tener un origen marcado (M) con un punto y un final marcado
Más detalles1. Funciones de varias variables: representaciones gráficas, límites y continuidad.
GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 0.. Funciones de varias variables: representaciones gráficas, límites y continuidad. En el análisis de los problemas de la ciencia y de la técnica, las cantidades
Más detallesValores propios y vectores propios
Capítulo 6 Valores propios y vectores propios En este capítulo investigaremos qué propiedades son intrínsecas a una matriz, o su aplicación lineal asociada. Como veremos, el hecho de que existen muchas
Más detallesDibujamos estos puntos en el espacio, y no cerramos la figura
PRÁCTICA SÉPTIMA: PROYECCIÓN ORTOGONAL. INVERSA DE MOORE-PENROSE 1. Proyección de un vector sobre un subespacio En este apartado vamos a recordar como se proyecta un vector v R m sobre un subespacio vectorial
Más detallesUNIDAD 1. LOS NÚMEROS ENTEROS.
UNIDAD 1. LOS NÚMEROS ENTEROS. Al final deberás haber aprendido... Interpretar y expresar números enteros. Representar números enteros en la recta numérica. Comparar y ordenar números enteros. Realizar
Más detallesProblemas y Ejercicios Resueltos. Tema 2: Espacios vectoriales.
Problemas y Ejercicios Resueltos. Tema : Espacios vectoriales. Ejercicios 1.- Determinar el valor de x para que el vector (1, x, 5) R 3 pertenezca al subespacio < (1,, 3), (1, 1, 1) >. Solución. (1, x,
Más detallesTema 2 ESPACIOS VECTORIALES
Tema 2 ESPACIOS VECTORIALES Prof. Rafael López Camino Universidad de Granada 1 Espacio vectorial Definición 1.1 Un espacio vectorial es una terna (V, +, ), donde V es un conjunto no vacío y +, son dos
Más detalles