Aplicaciones lineales continuas

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1 Lección 13 Aplicaciones lineales continuas Como preparación para el cálculo diferencial, estudiamos la continuidad de las aplicaciones lineales entre espacios normados. En primer lugar probamos que todas las normas en R N son equivalentes, un teorema debido a F. Hausdorff que anteriormente hemos anunciado alguna vez. Seguidamente damos diversas caracterizaciones de la continuidad de una aplicación lineal entre espacios normados. Este resultado permite definir la norma de una aplicación lineal continua, con lo que el conjunto de todas las aplicaciones de este tipo entre dos espacios normados, se convierte a su vez en un espacio normado Teorema de Hausdorff Hemos venido estudiando, siempre en el ambiente general de los espacios métricos, diversas propiedades de los subconjuntos de un espacio normado, así como de las funciones definidas en un subconjunto de un espacio normado y con valores en otro. Algunas de estas propiedades, como la compacidad, la conexión o la continuidad, sólo involucran la topología de los espacios considerados, con lo que está claro de antemano que se conservan al sustituir las normas de dichos espacios por otras equivalentes. Para otras propiedades que no son topológicas, como la complitud, la acotación o la continuidad uniforme, hemos ido comprobando que también se conservan al cambiar las normas por otras equivalentes. El siguiente teorema deja claro que, para estudiar todas estas propiedades en R N, podemos usar cualquier norma, no sólo la euclídea, la de la suma o la del máximo, sino cualquier otra. Teorema (Hausdorff, 1932). Todas las normas en R N son equivalentes. Demostración. Bastará ver que toda norma en R N es equivalente a la norma de la suma 1. Sea {e k : k I N } la base usual de R N y tomemos ρ = máx { } e k : k I N. Por ser una norma, para todo x R N tenemos x = N k=1 x(k)e k N N x(k) e k ρ x(k) = ρ x 1 k=1 k=1 73

2 13. Aplicaciones lineales continuas 74 Hemos conseguido, así de fácilmente, una de las dos desigualdades que buscamos: ρ R + : x ρ x 1 x R N (1) Debemos ahora encontrar λ R + que verifique λ x 1 x, también para todo x R N. En particular, si x 1 = 1 se deberá tener x λ, lo que nos indica cómo encontrar λ. Consideramos por tanto el conjunto S = {x R N : x 1 = 1}, que es cerrado y acotado, luego compacto, para la topología usual de R N. Ahora veremos que la función : R N R es continua, pues de hecho, usando en R N la norma 1, dicha función es lipschitziana: x y x y ρ x y 1 x,y R N Deducimos que la función tiene mínimo en el conjunto compacto S, y tomamos λ = mín{ x : x S} Como λ = x 0 para algún x 0 S, será λ R +. Además, para x R N \ {0} tenemos: x S, luego λ x x 1 x 1 = x es decir, λ x 1 x x 1 Esta desigualdad es obvia para x = 0 y hemos probado que λ R + : λ x 1 x x R N (2) En vista de (1) y (2) las normas y 1 son equivalentes, como queríamos. Para resaltar mejor el contenido del teorema anterior, es conveniente hacer un enunciado que, formalmente, es más general: Teorema. Todas las normas en un espacio vectorial de dimensión finita son equivalentes. Demostración. Sea X un espacio vectorial de dimensión finita, y sea N N su dimensión, con lo que existe una biyección lineal Φ : R N X. Dos normas cualesquiera en X, 1 y 2, se trasladan a R N mediante Φ. Concretamente, basta definir, para todo y R N, y 1 = Φ(y) 1 y y 2 = Φ(y) 2 Es completamente evidente que de esta forma se obtienen dos normas en R N que, por el teorema anterior, son equivalentes, es decir, existen constantes λ,ρ R N tales que λ y 1 y 2 ρ y 1 y R N Entonces, para cada x X podemos tomar y = Φ 1 (x) para obtener λ x 1 = λ y 1 y 2 = x 2 = y 2 ρ y 1 = ρ x 1 luego las normas de partida en X también son equivalentes, como queríamos.

3 13. Aplicaciones lineales continuas 75 Expliquemos el interés de este enunciado que, como hemos visto, es equivalente al teorema de Hausdorff. La clave está en que, al hablar de R N, inevitablemente tenemos en mente su base usual, la que permite identificar cada vector de R N con una N-upla de números reales. Sin embargo, al hablar de un espacio vectorial de dimensión N, digamos X, está claro que no estamos pensando en ninguna base concreta de X. El primer enunciado nos dice que, una vez que fijamos una base de X e identificamos X con R N, todas las normas en X tienen la misma topología, pero esa topología podría aparentemente depender de la forma en que hemos identificado X con R N, es decir de la base que hayamos fijado en X. El segundo enunciado deja claro que no hay tal dependencia, en el espacio X hay una topología común a todas las normas, que no depende de ninguna base que podamos fijar en X para identificarlo con R N. La situación cambia drásticamente cuando consideramos espacios vectoriales de dimensión infinita. Aunque no vamos a demostrarlo, porque tampoco vamos a tener ocasión de usarlo, conviene conocer el siguiente resultado: si X es un espacio vectorial de dimensión infinita, existen dos normas en X que no son equivalentes. En muchos resultados que hemos ido estudiando anteriormente, se hablaba de una norma en R N cuya topología sea la usual de R N. Está claro ahora que la última hipótesis era redundante, la misma afirmación es cierta para cualquier norma en R N, y de hecho, para cualquier espacio normado de dimensión finita. Por ejemplo: los subconjuntos acotados de un espacio vectorial de dimensión finita son los mismos para todas las normas en dicho espacio. El teorema de complitud de R N también toma ahora su forma definitiva: Todo espacio normado de dimensión finita es un espacio de Banach. A menudo, un espacio vectorial de dimensión finita nos aparece como subespacio de otro, que puede ser de dimensión infinita. Por ejemplo, fijado k N {0}, en el espacio vectorial C [0,1] de todas las funciones continuas de [0,1] en R, podemos considerar el subespacio formado por las funciones polinómicas de grado menos o igual que k, que tiene dimensión k + 1. Para esta situación, el resultado anterior tiene una consecuencia importante: Si X es un espacio normado arbitrario, todo subespacio de dimensión finita de X es un subconjunto cerrado de X. En efecto, si Y es un subespacio de X que tenga dimensión finita, viendo Y como subespacio normado de X, tenemos que Y es completo, luego es cerrado Continuidad de aplicaciones lineales Para una aplicación lineal entre espacios normados, vamos a caracterizar de varias formas su continuidad. La propiedad más débil que podemos considerar, que nuestra aplicación lineal sea continua en un punto, es equivalente a la propiedad más fuerte que se nos puede ocurrir, que dicha aplicación sea lipschitziana. Su constante de Lipschitz servirá después para definir la norma de una aplicación lineal continua. Por otra parte, vemos también que la continuidad de una aplicación lineal equivale a que conserve los conjuntos acotados. Resumimos en un solo enunciado toda esta información.

4 13. Aplicaciones lineales continuas 76 Teorema. Sean X,Y espacios normados y T : X Y una aplicación lineal. Las siguientes afirmaciones son equivalentes: (i) Existe x 0 X tal que T es continua en x 0. (ii) T es continua en 0. (iii) T es continua. (iv) T es uniformemente continua. (v) T es lipschitziana. (vi) Existe una constante M R + 0 tal que T (x) x para todo x X. (vii) T está acotada en cada subconjunto acotado de X, es decir: si A es un subconjunto acotado de X, entonces T (A) es un subconjunto acotado de Y. (viii) T está acotada en la bola cerrada unidad de X, es decir, T (B) es un subconjunto acotado de Y, donde B = {x X : x 1}. (ix) T está acotada en la esfera unidad de X, es decir, T (S) es un subconjunto acotado de Y, donde S = {x X : x = 1}. Demostración. Empezamos observando que (i) (ii). Si T es continua en un punto x 0 X y {x n } es una sucesión de vectores de X tal que {x n } 0, tenemos {x n + x 0 } x 0, luego {T (x n + x 0 )} T (x 0 ), de donde {T (x n )} = {T (x n + x 0 ) T (x 0 )} 0, y esto prueba que T es continua en 0. Recíprocamente, de (ii) se deduce (i) con x 0 = 0. Con las afirmaciones (ii) a (ix) haremos dos ciclos, de forma que todas ellas resultarán ser equivalentes a (vi). (ii) (vi). De la continuidad de T en 0 deducimos claramente que δ > 0 : z X, z δ T (z) 1 Dado x X \ {0}, tomando z = δx/ x tenemos claramente z = δ, luego T (x) = x δ x T (z) δ Como esta desigualdad es obvia cuando x = 0, hemos probado (vi) con M = 1/δ. (vi) (v). De (vi) deducimos que T (x) T (z) = T (x z) x z, para x,z X. (v) (iv) (iii) (ii). Las tres implicaciones son evidentes. Hemos cerrado un ciclo, mostrando que las seis primeras afirmaciones del enunciado son equivalentes. Con otro ciclo completaremos la demostración. (vi) (vii). Si A es un subconjunto acotado de X y ρ R + verifica que x ρ para todo x A, tenemos claramente y M ρ para todo y T (A). (vii) (viii) (ix). Basta pensar que B es un subconjunto acotado de X y que S B. (ix) (vi). Por hipótesis, existe M R + 0 tal que z M para todo z S. Dado x X, podemos escribir x = x z con z S, para obtener T (x) = T (z) x M x.

5 13. Aplicaciones lineales continuas 77 Comentemos brevemente la utilidad de las distintas caracterizaciones que hemos obtenido para la continuidad de una aplicación lineal. La equivalencia entre las afirmaciones (i), (ii) y (iii) nos dice lo que ocurre cuando un aplicación lineal no es continua: no puede ser continua en ningún punto de X. Nunca nos encontraremos aquí en situación tan desagradable, pues veremos enseguida que toda aplicación lineal, de R N en cualquier espacio normado, es continua. La equivalencia entre las afirmaciones (iii), (iv) y (v) sí es importante, tres propiedades que en general, para una función entre espacios métricos, o incluso entre espacios normados, están muy lejos de ser equivalentes, resultan serlo cuando trabajamos con aplicaciones lineales. La afirmación (vi) es la que suele usarse para probar la continuidad de una aplicación lineal, pues se trata de una desigualdad que en la práctica suele ser fácil de comprobar. Su equivalencia con (v) es bastante obvia, pues como T es lineal, para M R + 0 se tiene: T (x) M x x X T (x) T (z) M x z x,z X En efecto, para la implicación hacia la derecha se usa x z en vez de x como hemos hecho en la demostración, y la otra es obvia tomando z = 0. Por tanto, la constante de Lipschitz M 0, que es la mínima constante que verifica la desigualdad de la derecha, también es la mínima constante que verifica la de la izquierda, es decir, M 0 = mín { M R + } 0 : T (x) M x x X = sup { T (x) / x : x X \ {0} } (3) Las caracterización de la continuidad dada por (vii), tiene también un significado útil: una aplicación lineal T : X Y es continua si, y sólo si, conserva la acotación. Además, en vista de (viii) y (ix), para comprobar en la práctica que T conserva la acotación, no es necesario manejar todos los subconjuntos acotados de X, basta usar su bola cerrada unidad B, o si se prefiere, sólo la esfera unidad S. De hecho, cuando comprobamos que T está acotada en S, podemos obtener directamente su constante de Lipschitz. Basta observar que la expresión de M 0 obtenida en (3) sólo involucra los valores de T en los vectores de la forma x/ x con x X \ {0}, es decir, todos los vectores de S. Se tiene por tanto: M 0 = sup { T (u) : u S } (4) También podemos usar B en lugar de S, pues de (4) y (3) deducimos que M 0 sup { T (v) : v B } sup { M 0 v : v B } = M 0 (5) Probamos ahora una importante consecuencia del teorema de Hausdorff, que ya hemos anunciado: Si X es un espacio normado de dimensión finita, toda aplicación lineal de X en cualquier otro espacio normado, es continua. Sea Y otro espacio normado y T : X Y una aplicación lineal. Definimos una nueva norma T en X, de la siguiente forma x T = x + T (x) x X

6 13. Aplicaciones lineales continuas 78 La comprobación de que T es efectivamente una norma en X, no tiene dificultad, es pura rutina. Como X tiene dimensión finita, el teorema de Hausdorff nos dice que T es equivalente a la norma de partida en X, luego existe una constante ρ R + tal que x T x para todo x X. Pero entonces está bien claro que y esto prueba que T es continua. T (x) x T ρ x x X Norma de una aplicación lineal continua Si X e Y son espacios normados arbitrarios, denotaremos siempre por L(X,Y ) al espacio vectorial de todas las aplicaciones lineales y continuas de X en Y, cuya suma y producto por escalares vienen definidos, para T 1,T 2 L(X,Y ) y λ R, por ( ) ( ) T1 + T 2 (x) = T1 (x) + T 2 (x) x X y λt1 (x) = λt1 (x) La norma de una aplicación lineal continua T L(X,Y ), que se denota por T, es por definición la constante de Lipschitz de T. Según hemos visto en la igualdades (3), (4) y (5), disponemos de varias expresiones de esta constante: T = mín { M R + } 0 : T (x) M x x X = sup { T (x) : x X, x = 1 } = sup { T (x) : x X, x 1 } Antes de comprobar que efectivamente hemos definido una norma en el espacio vectorial L(X,Y ), explicamos la forma en que dicha norma se utiliza habitualmente. Como ya se ha dicho, se suele probar que una aplicación lineal T : X Y es continua, hallando M R + 0 tal que T (x) M x para todo x X. Entonces, T M y se tendrá la igualdad cuando la constante M sea la mínima posible, es decir, cuando la desigualdad conseguida sea inmejorable. Si por el contrario ya sabemos que T L(X,Y ), podemos escribir T (x) T x x X (6) y estaremos usando la mejor desigualdad posible. Esta situación es la que tendremos siempre en lo que sigue, pues X será un espacio normado de dimensión finita. En general, comprobar que efectivamente tenemos una norma en L(X,Y ) es bien fácil. Para T 1,T 2 L(X,Y ), usando (6) se tiene: ( ) T 1 + T 2 (x) T1 (x) + T 2 (x) ( T 1 + T 2 ) x x X Esta desigualdad prueba que T 1 + T 2 es continua como ya sabíamos, pero también nos dice que T 1 + T 2 T 1 + T 2. Para la homogeneidad por homotecias se puede razonar de forma análoga, pero es más directo pensar que, para T L(X,Y ) y λ R se tiene: λt = sup { λt (x) : x X, x = 1 } = sup { λ T (x) : : x X, x = 1 } = λ T Finalmente es obvio que de T = 0 se deduce T = 0.

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