Variedades Diferenciables. Extremos Condicionados

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1 Capítulo 16 Variedades Diferenciables. Extremos Condicionados Vamos a completar lo visto en los capítulos anteriores sobre el teorema de las Funciones Implícitas y Funciones Inversas con un tema de iniciación al estudio de las Variedades Diferenciables. Nosotros utilizaremos este estudio para tratar, con el rigor necesario, un tipo de problema que aparece con frecuencia en la práctica, el de los extremos condicionados, y con el que daremos por terminado el Cálculo Diferencial en varias variables. Variedades Definición 16.1 (Definición explícita) Sea M un subconjunto no vacío de R k. Se dirá que M es una variedad diferenciable de dimensión 1 n < k y clase C r si M es, en algún entorno de cada punto c M, la gráfica de alguna función h de n variables y clase C r. La primera observación que es necesario hacer es que la función h, debido al carácter local de la misma, puede cambiar de un punto a otro, y asimismo las n coordenadas de las que depende. Por tanto si M es variedad, de acuerdo con la definición, para el punto c M se podrán distribuir las k coordenadas de los puntos z de R k en dos bloques x, y de n y p = k n coordenadas, de forma que si c = (a, b), existen U y V entornos abiertos de a y b y una función h de clase C r sobre U verificando que M (U V ) = {(x, h(x)): x U}. (Es obvio que el bloque de coordenadas x no es necesariamente el de las n primeras coordenadas de los puntos z R k, aunque, por comodidad, escribamos z = (x, y)) 153

2 154 Variedades y Extremos Condicionados 16.2 Teorema 16.2 (Definición implícita) El conjunto no vacío M R k es una variedad diferenciable de dimensión 1 n < k y clase C r si y sólo si para cada c M existe un entorno abierto W de c y una función f : W R k R k n de clase C r tal que 1. Rango(Df(c)) = k n. 2. M W = {z W : f(z) = 0}. Demostración. Supongamos que M es un variedad diferenciable de dimensión n y sea c un punto de M. Escribamos como antes c = (a, b) y sean U y V entornos abiertos de a y b tales que M (U V ) = {(x, h(x)): x U} para alguna función h de las n-variables x y de clase C r en U. Entonces, la función f, definida sobre el entorno de c, W = U V, f(x, y) = h(x) y, verifica lo que se quiere, pues claramente un punto (x, y) W pertenece a M si y sólo si f(x, y) = 0. Además, la matriz jacobiana de Df(c) es la siguiente f 1 f 1 (c) (c) x 1 x n f 2 f 2 (c) (c) x 1 x n, f p f p (c) (c) x 1 x n que tiene un menor de orden p = k n, luego rg(df(c)) = p. Recíprocamente, si M satisface la condición del teorema en c M, denotemos por y = (y 1,..., y p ) a uno de los grupos de coordenadas tal que el menor de Df(c) correspondiente a las derivaciones respecto a y j es diferente de 0, y por x = (x 1,..., x n ) al grupo formado con el resto de las coordenadas. Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que el bloque x es el de las n primeras coordenadas. Según esto, los puntos de M que están en el entorno W son los que verifican la ecuación f(x, y) = 0. Además, de la hipótesis se deduce que f satisface las condiciones del teorema de existencia de Funciones Implícitas en c = (a, b). Luego, existen entornos abiertos U y V de a y b, respectivamente, con U V W y una función h de clase C r de U en V, cuya gráfica es M (U V ).

3 16.4 Variedades y Extremos Condicionados 155 Variedad tangente En el capítulo 6 se definió el concepto de vector tangente en un punto c de un conjunto M R k. Geométricamente, un vector tangente a M en c no era más que un vector tangente a alguna curva trazada sobre M pasando por c (ver ejercicio 6A para una definición más general de vector tangente). Se vio entonces que, en el caso particular de que M sea la gráfica de una función h de n variables reales y diferenciable en un punto a, el conjunto T c (M) de vectores tangentes a M en el punto c = (a, h(a)) es un espacio vectorial de dimensión n, cuya expresión es T c (M) = {(u, Dh(a)u): u R n }. Proposición 16.3 Si M es una variedad diferenciable de R k de dimensión 1 n < k y clase C r y c M, entonces el conjunto T c (M) es un subespacio vectorial de R k de dimensión n Demostración. Puesto que, localmente, M es la gráfica de una función de n variables y clase C r, basta tener en cuenta lo comentado en el párrafo anterior. A T c (M) se le llamará el espacio vectorial tangente a la variedad M en c y al trasladado a c de este subespacio, i.e., c + T c (M) se le llamará pues la variedad tangente a M en c. Un punto z de R k pertenecerá a la variedad tangente a M en c si (z c) T c (M). Vamos a caracterizar ahora el espacio vectorial tangente a un variedad en un punto a partir de la definición implícita. Suponemos, pues, que M es una variedad de R k determinada, en un entorno W del punto c M, como el lugar geométrico de los puntos de W que satisfacen la ecuación f(z 1, z 2,..., z k ) = 0, donde f = (f 1, f 2,..., f p ) es una función de clase C r tal que rg(df(c)) 0. (Abreviadamente, nos referiremos a lo anterior diciendo que M está determinada en un entorno de c por la función f = (f 1,..., f p )). Se tiene entonces Proposición 16.4 Si M es la variedad determinada en un entorno del punto c M por la función f = (f 1,..., f p ), entonces T c (M) = ker Df(c) = ker Df i (c). Demostración. Sea v T c (M). Entonces v es el vector velocidad en c de alguna curva γ contenida en M y que pasa por c. Es decir γ(t) M y

4 156 Variedades y Extremos Condicionados 16.4 para algún t 0, γ(t 0 ) = c y γ (t 0 ) = v. Puesto que M está determinada en un entorno de c por f y γ esta contenida en M, se deduce que, para t suficientemente próximo a t 0, f(γ(t)) = 0. Luego derivando en t 0, se obtiene que Df(γ(t 0 ))γ (t 0 ) = 0, o sea Df(c)v = 0, que nos dice que v ker Df(c) = p i=1 ker Df i(c). Para demostrar que T c (M) ker Df(c) basta tener en cuenta que ambos subespacios tienen la misma dimensión. En efecto, como por hipótesis, el rango de la aplicación lineal Df(c) es igual a p, su núcleo debe ser un subespacio de dimensión igual a n = k p. Multiplicadores de Lagrange Vamos a desarrollar en esta sección una técnica clásica, basada en el uso de Multiplicadores, para la obtención de condiciones de extremo sobre una variedad. Dichas condiciones no diferirán formalmente de las ya vimos para extremos relativos. Definición 16.5 Sea ϕ: A R k R una función escalar, c o A y M una variedad diferenciable que contiene a c. Se dirá que ϕ presenta un extremo sobre M (o condicionado) en el punto c, si existe un entorno W de c tal que ϕ(z) ϕ(c) no cambia de signo cuando z W M. Proposición 16.6 En la situación anterior, una condición necesaria para que la función ϕ presente un extremo en c sobre la variedad M es que Dϕ(c)v = 0, para todo v T c (M). Se dice en ese caso que c es un punto crítico de ϕ sobre la variedad M. Demostración. Sea v T c (M) y γ una curva contenida en M que pase por c y tenga a v por vector tangente en c. Es decir, γ(t 0 ) = c, y γ (t 0 ) = v en algún punto t 0. Entonces la función de la variable t, ϕ γ, presenta un extremo relativo en el punto t 0, luego D(ϕ γ)(t 0 ) = 0. Se tiene pues 0 = D(ϕ γ)(t 0 )1 = Dϕ(γ(t 0 ))γ (t 0 ) = Dϕ(c)v.

5 16.8 Variedades y Extremos Condicionados 157 Corolario 16.7 (Multiplicadores de Lagrange) Sean M y ϕ en las condiciones de la definición 16.5 y supongamos que M está determinada, en un entorno del punto c M, por las funciones f 1, f 2,..., f p. Entonces, una condición necesaria para que la aplicación ϕ presente un extremo sobre la variedad M en el punto c, es que existan p números reales λ 1,..., λ p tales que c sea un punto crítico de la función F = ϕ + λ 1 f λ p f p. Demostración. Por la proposición anterior, si ϕ presenta un extremo condicionado en c entonces Dϕ(c)v = 0 para todo v T c (M) = ker Df i (c). Luego ker Dϕ(c) ker Df i (c), y esto implica ya lo que queríamos, en virtud del lema algebraico siguiente Lema 16.8 Si g 1, g 2,..., g p son formas lineales independientes de R k y g es otra forma lineal tal que ker g p i=1 ker g i, entonces existen p números reales λ 1,..., λ p tales que g + λ i g i = 0. Demostración. Completemos la familia de formas lineales g 1, g 2,..., g p hasta obtener una base B = {g 1,..., g p, g p+1,..., g k }. Entonces g = k µ i g i. i=1 Sea {e 1,..., e k } la base dual de B, es decir g i (e j ) = δ ij. Es evidente entonces que si i p < j, p e j ker g i ker g, luego 0 = g(e j ) = i=1 k µ i g i (e j ) = µ j g j (e j ) = µ j, i=1 lo que implica que g = p i=1 µ ig i. Tomando λ i = µ i resulta lo que queríamos. También se pueden conseguir condiciones de segundo orden, es decir expresadas en términos de las derivadas de orden 2, para la existencia de extremo condicionado en un punto de una variedad:

6 158 Variedades y Extremos Condicionados 16.9 Proposición 16.9 Con las notaciones del corolario 16.7, supongamos que existen números reales λ 1,..., λ p tales que c es un punto crítico de la función F = ϕ + λ i f i, es decir DF (c) = 0, pero que D 2 F (c) 0. Entonces una condición necesaria (suficiente) para que la función ϕ presente un mínimo sobre M en c es que la forma cuadrática D 2 F (c) sea positiva (definida positiva) sobre T c (M), el espacio tangente a M en c. Análogas condiciones para máximo. Demostración. Supongamos que en el entorno W de c M W = {z W : f i (z) = 0} = {(x, h(x)): x U}, c = (a, h(a)), donde, según vimos, h es la función definida implícitamente por el sistema f i (z) = 0. Consideremos la función definida en el abierto U de R n por Φ(x) = ϕ(x, h(x)). Es claro entonces que ϕ presenta un extremo sobre M en c si y sólo si la función Φ presenta un extremo relativo a. Vamos a probar entonces que las condiciones del enunciado son condiciones de extremo relativo para Φ en a. Para ello sólo necesitamos obtener DΦ(a) y D 2 Φ(a) en términos de las derivadas de la función F : Observemos en primer lugar que, puesto que f i (x, h(x)) = 0, Φ(x) = F (x, h(x). Entonces, aplicando la regla de la cadena, resulta DΦ(a)u = DF (a, h(a))(u, Dh(a)u). Por lo tanto la condición DF (c) = 0 implica DΦ(a) = 0. Aplicando ahora la regla de la cadena para derivadas de orden 2 (ver Ejercicio 10I) se deduce fácilmente, teniendo presente que c es un punto crítico de la función F, que D 2 Φ(a)u 2 = D 2 F (c)(u, Dh(a)u) 2. De esta igualdad se deduce ya que D 2 Φ(a) es positiva o definida positiva según que lo sea D 2 F (c) sobre los vectores de la forma (u, Dh(a)), que son justamente los del espacio vectorial tangente a M en c. Anexo: Distintas presentaciones de una variedad Para las subvariedades de R k es habitual considerar otras definiciones, además de las ya establecidas, la definición paramétrica y la definición difeomórfica [2]:

7 16.11 Variedades y Extremos Condicionados 159 Teorema (Definición paramétrica) Un subconjunto M R k es una variedad diferenciable de dimensión n y clase C r si y sólo si para cada c M existe un entorno abierto W y una aplicación j : O R k (O, abierto de R n ), tal que 1. j es un homeomorfismo entre O y W M. 2. j es de clase C r y rg(dj(u)) = n, para todo u O. Se dice entonces que (O, j) es una parametrización de W M. Demostración. Supongamos que M es una variedad diferenciable y sea, entonces, W un entorno abierto de c M tal que W M = {(x, h(x)): x U}. Puesto que h es continua, es claro que la aplicación j definida sobre U por j(x) = (x, h(x)), es un homeomorfismo entre U y W M (W M es la gráfica de h). Por otra parte, es evidentemente que rg(dj(x)) = n, para todo x U. Luego si tomamos O = U, (O, j) es una parametrización de W M. Recíprocamente, supongamos que (O, j) es una parametrización de W M. Sean j 1,..., j n n funciones coordenadas de j tales que Dj 1 (c),..., Dj n (c) sean formas lineales independientes (tales funciones existen ya que el rango de Dj(u) es n para todo u O, y en particular en u 0 = j 1 (c)). Sean x 1 = j 1 (u); x 2 = j 2 (u);... x n = j n (u). Por el teorema de la Función Inversa, la aplicación g = (j 1,..., j n ) es un difeomorfismo entre un entorno abierto O 1 de u 0 y un entorno abierto U de a = g(u 0 ). Escribiendo u = g 1 (x), se tiene que 1. existe un entorno abierto W 1 de c tal que j(o 1 ) = W 1 M (tengamos en cuenta que j es un homeomorfismo entre O y W M). 2. W 1 M = {(g(u), j n+1 (u),..., j k (u)) : u O 1 } = {(x, j n+1 (g 1 (x)),..., j k (g 1 (x))): x U}. Se deduce pues que W 1 M = {(x, h(x)): x U}, siendo h = (j n+1 g 1,..., j k g 1 ). Teorema (Definición difeomórfica) Un subconjunto M R k es una variedad diferenciable de dimensión n y clase C r si y sólo si para cada c M existe un entorno abierto W y un difeomorfismo de clase C r, ϕ: W ϕ(w ), tal que ϕ(w M) = ϕ(w ) F, siendo F un subespacio vectorial de R k de dimensión n.

8 160 Variedades y Extremos Condicionados Demostración. Supongamos que M satisface las condiciones de la definición difeomórfica y sea c M. Se puede suponer que el subespacio F es justamente R n {0}... {0}. En efecto, bastaría considerar un isomorfismo vectorial T de R k que llevase F en este otro subespacio y tomar el difeomorfismo T ϕ. Llamando entonces f i = ϕ n+i, se tiene que M W = {z W : f i (z) = 0}. Además las formas lineales Df i (z) independientes en cada punto de W, ya que ϕ es un difeomorfismo. Luego M es una variedad determinada implícitamente en un entorno de c por las funciones f 1,..., f p. Recíprocamente, supongamos que M está determinada implícitamente en un entorno abierto W de c por las funciones f 1,..., f p. Escribamos z = (x, y), siendo y uno de los bloques de p coordenadas verificando que det( f i / y j (c)) 0, y consideremos la función ϕ: z = (x, y) (x, f 1 (z),..., f p (z)). Esta función es de clase C r y es fácil ver que su matriz jacobiana tiene determinante no nulo en c. Del Teorema de la Función Inversa se deduce que ϕ es un difeomorfismo sobre algún entorno abierto de c, W 0 W. Puesto que M W = {z W : f i (z) = 0}, se tiene que ϕ(m W 0 ) = ϕ(w 0 ) R n {0} {0}. Ejercicios 16A Estudiar si el conjunto M de los puntos que satisfacen las ecuaciones siguientes son variedades diferenciables y en tal caso de qué dimensión. 1. x 2 + y 2 + z 2 + xy + yz xz = 0 2. x 2 + y 2 + z 2 + xy + yz xz = 1 16B Hallar la distancia (a) entre la recta x + y = 1 y la hipérbola xy = 2. (b) entre las curvas x 1 = y 2 = z 4 ; { x 2 xy + y 2 z 2 = 1 x 2 + y 2 = 1 16C Hallar la distancia al origen de la curva intersección de las superficies xyz = a; y = bx, a > 0, b > 0.

9 16J Variedades y Extremos Condicionados D Estudiar los extremos de la funciones 1. f(x, y) = (x y) n sujetos a la condición x 2 + y 2 = f(x, y) = x + y sobre la variedad x 2 y 2 + xy = f(x 1,..., x n ) = (x 1 x n ) 2 con la condición x x 2 n = f(x, y) = cos 2 x + cos 2 y con x + y = π/4. 16E Sea M el conjunto de puntos de R 3 que satisfacen el sistema { x 2 + y 2 z = 1 x y + z 2 = 1 (a) Probar que M es una variedad diferenciable. (b) Hallar la ecuación de la recta tangente a M en (1, 0, 0). (c) Estudiar si la función g(x, y, z) = xyz x y + z presenta un extremo sobre M en el punto (1, 0, 0). 16F (a) Obtener el paralelepípedo recto de menor área entre los que tienen igual volumen. (b) Obtener el paralelepípedo de mayor volumen entre los que tienen igual área. 16G Calcular la norma del funcional lineal de R 3, T (x, y, z) = 2x y + z respecto de la norma (x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2. 16H Probar que las relaciones x = 2u v y = u + v z = u.v definen (paramétricamente) una variedad diferenciable de R 3 de dimensión 2. 16I Sea f(x, y, z) = xy z 2. Probar que f es lipschitziana sobre el conjunto M = {(x, y, z): x 2 + y 2 + z 2 1} y hallar su menor constante de Lipschitz respecto a la norma euclídea. 16J Sea M = {(x, y, z) (0, 0, 0): x 3 + y 3 + z 3 = 2(x + y + z) 2 }. (a) Probar que M es una variedad diferenciable. (b) Determinar los posibles puntos de M en los que el plano x + y = 0 sea tangente a M. (c) Determinar la recta tangente a la curva intersección de M con el plano x+y = 0 en el punto (1, 1, 2).

10 162 Variedades y Extremos Condicionados 16K 16K Sea K = {(x, y, z) R 3 : z = x 2 + y 2 ; z x + 1}. Probar que K es un compacto y hallar el máximo y el mínimo absoluto de la función ϕ(x, y, z) = y 2 2x + z sobre K. 16L Calcular el máximo y el mínimo absoluto de la función ϕ(x, y, z) = x + y z sobre el compacto K = {(x, y, z): x 2 + y 2 1, x 2 + y 2 + z 2 4}. 16M Estudiar si la función ϕ(x, y, z) = 1/2x + y presenta un extremo relativo sobre la variedad M = {(x, y, z): x 3 + y 3 xz + yz = 1 2 }. 16N Sea M el lugar geométrico de los puntos de R 3 que satisfacen el sistema xy + z = 1; x 2 + y 2 z 2 = 2. Probar que M es una variedad y estudiar si la función ϕ(x, y, z) = z presenta algún extremo sobre M. 16O Calcular la distancia al eje Y de la curva M de R 3 dada por las ecuaciones y xz = 1; x + y + z = 4.

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