1. Funciones de varias variables

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1 Análisis Matemático II. Curso 2008/2009. Diplomatura en Estadística/Ing. Téc. en Inf. de Gestión. Universidad de Jaén TEMA 2: CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 1. Funciones de varias variables 1.1. Introducción En muchos problemas comunes aparecen funciones de dos o más variables, por ejemplo: w = F D (Trabajo realizado por una fuerza) V = πr 2 h (Volumen de un cilindro circular recto) V = xyz (Volumen de un solido rectangular) z = e x + sen(y) = f(x, y) w = f(x, y, z) = x 2 + 3yz Definición 1.1 (Función de n variables con valores reales). f : D R n R (x 1, x 2,..., x n ) f(x 1, x 2,..., x n ) R D = dominio de f {f(x 1, x 2,..., x n ) : (x 1, x 2,..., x n ) R} = rango o imagen de f Observación 1.1. La manera más común de describir una función de varias variables es mediante una ecuación. A menos que se diga lo contrario el dominio es el conjunto de todos los puntos para los que la ecuación esté definida. Ejemplo 1.1. Hallar el dominio de las siguientes funciones: 1. f(x, y) = x 2 + sen(y) 2. f(x, y) = ln(xy)

2 3. f(x, y) = x 2 +y 2 4 y 4. g(x, y, z) = x 1 x 2 y 2 z 2 Las funciones de varias variables pueden combinarse de la misma forma que las funciones de una variable: (f ± g)(x, y) = f(x, y) ± g(x, y) (Suma o diferencia). (f g)(x, y) = f(x, y) g(x, y) (Producto). (f/g)(x, y) = f(x,y) g(x,y) si g(x, y) 0 (Cociente). Si f(x, y), g(z) y Rango(f) Dom(g) (g f)(x, y) = g(f(x, y)) (Función compuesta). Ejemplo 1.2. Si f(x, y) = 9 3x 2 y 2 y g(z) = z calcular la función compuesta g f y su dominio Gráficas y curvas de nivel La gráfica de una función de dos variables f(x, y) es el conjunto de todos los puntos (x, y, z) tales que z = f(x, y) para (x, y) Dom(f). La gráfica de f(x, y) es una superficie en el espacio. Ejemplo 1.3. Representar la gráfica de la función f(x, y) = 16 4x 2 y 2. Otra forma de obtener información gráfica acerca de una función son las curvas de nivel. Éstas se obtienen intersecando la gráfica de f(x, y) (cuya ecuación es z = f(x, y)) con planos horizontales (de ecuación z = c para cualquier constante c R) { z = f(x, y), Gráfica de f, z = c, Plano horizontal de altura c. Por tanto la ecuación implícita de cada curva de nivel viene dada por f(x, y) = c. Variando el valor de c obtenemos las distintas curvas de nivel. Cada curva de nivel une los puntos del plano en los que f toma el mismo valor. Observación 1.2. Si f(x, y, z) es una función de tres variables entonces la ecuación f(x, y, z) = c determina las superficies de nivel. 2

3 Ejemplo 1.4. Curvas de nivel famosas: Isobaras: curvas de nivel de la función presión atmosférica Isotermas: curvas de nivel de la función presión temperatura Líneas equipotenciales: curvas de nivel de la función potencial eléctrico. Líneas topográficas: curvas de nivel de la función altitud con respecto al mar. Ejercicio 1.1. Dibujar las curvas de nivel de la función f(x, y) = y 2 x Límite de una función de dos variables Utilizaremos la siguiente notación: d((x 1, y 1 ), (x 2, y 2 )) := (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2, B((a, b), r) := {(x, y) R 2 : d((x, y), (a, b)) < r}. Definición 2.1 (Límite de una función de dos variables). Si f : D R 2 R, (a, b) int(d) y L R entonces significa que lím f(x, y) = L ε > 0 δ = δ(ε) > 0 / 0 < d((x, y), (a, b)) < δ f(x, y) L < ε Observación 2.1. La principal diferencia con el cálculo de límites en una variable es que para determinar si una función de una variable tiene límite solo se necesita comprobar que se aproxima al límite por dos direcciones: por la derecha y por la izquierda. Sin embargo en el caso de una función de dos variables, la expresión (x, y) (a, b) significa que (x, y) puede aproximarse al punto (a, b) a través de cualquier dirección. Si el valor de lím f(x, y) depende de la dirección o trayectoria que usemos para acercarnos a (a, b) entonces el límite en dos variables no existe. 3

4 Ejemplo 2.1. Probar que lím x 2 = 0 usando la definición de límite. (x,y) (0,0) Los límites de funciones de varias variables tienen las mismas propiedades respecto a la suma, diferencia, producto y cociente que los límites de una variable. Ejercicio 2.1. Calcular los siguientes límites: 5x 2 y 1. lím (x,y) (1,2) x 2 + y 2 x 2 y 2 2. lím (x,y) (0,0) x 2 + y Límites según un subconjunto Sean f : D R 2 R, (a, b) int(d) y C un conjunto de puntos en R 2 que se aproxime al punto (a, b) (generalmente C será una curva contenida en D que pase por (a, b)). Entonces podemos calcular lím f(x, y).,(x,y) C En caso de que dicho límite exista lo llamaremos límite de la función f en el punto (a, b) según el conjunto C. Teorema 2.1. Si existe lím f(x, y) = L, entonces para cualquier conjunto C que se aproxime al punto (a, b) se cumple que lím f(x, y) = L.,(x,y) C Los límites según un subconjunto más habituales son: Límites direccionales: nos acercamos a través de rectas que pasan por el punto (a, b), y = b + m(x a). Límites parabólicos: nos acercamos a través de parábolas que pasan por el punto (a, b), y = b + m(x a) 2. Ejercicio 2.2. Calcular los límites direccionales en los siguientes ejemplos. Qué podemos concluir acerca de la existencia del límite en dos variables? 4

5 x 2 y 2 1. lím (x,y) (0,0) x 2 + y 2 x 2 2. lím (x,y) (0,0) x 2 + y 2 Observación 2.2. Estudiar los límites direccionales resulta cómodo porque se reduce a estudiar un límite en una variable (y pueden usarse todas las herramientas disponibles para ello como por ejemplo la regla de L Hôpital). Sin embargo este estudio sólo es concluyente si encontramos dos direcciones distintas a lo largo de las cuales la función tenga límites distintos, en cuyo caso el límite no existe Límites iterados Sean f : D R 2 R y (a, b) int(d). Los límites iterados de f en (a, b) se definen como [ ] [ ] lím lím f(x, y), lím lím f(x, y) x a x b x b x a en el caso de que los límites existan. Teorema 2.2. Si en un punto (a, b) existen el límite en dos variables de la función y los dos límites iterados, entonces los tres coinciden. Ejemplo 2.2. Calcular x 2 + y 3 lím (x,y) (0,0) x 2 + y. 2 Observación 2.3. De nuevo el cálculo de los límites iterados solo sirve para indicarnos cuándo no existe el límite de una función en un punto. Un método que si nos permitirá en muchas ocasiones demostrar que el límite existe es el paso a coordenadas polares Coordenadas polares El cambio a coordenadas polares en el punto (a, b) viene dado por x = a + ρ cos(θ), ρ > 0, θ [0, 2π], y = b + ρ sen(θ), donde ρ es la distancia del punto (x, y) al punto (a, b) y θ es el ángulo que forma el vector que une (a, b) y (x, y) con la horizontal. Mediante este cambio de variables podemos escribir: lím f(x, y) = lím f(a + ρ cos(θ), b + ρ sen(θ)) = lím F (ρ, θ). ρ 0 ρ 0 5

6 Teorema 2.3. Supongamos que se satisfacen las siguientes condiciones: (i) Existe lím ρ 0 F (ρ, θ) = L, independiente del valor de θ. (ii) Es posible determinar una función ϕ(ρ) tal que (iii) lím ρ 0 ϕ(ρ) = 0. F (ρ, θ) L ϕ(ρ) θ [0, 2π]. Entonces lím f(x, y) = L. Observación Si no existe el límite lím F (ρ, θ) o bien existe pero ρ 0 toma valores distintos según el ángulo θ entonces podemos asegurar que lím f(x, y). 2. La condición (i) es equivalente a pedir que existan todos los límites direccionales y que su valor coincide. Ejercicio 2.3. Estudiar la existencia de los siguientes límites: 1. lím (x,y) (0,0) x 2 y 2. (x 2 + y 2 ) 3 2 x 2 + y 3 2. lím (x,y) (0,0) x 2 + y. 2 x 2 y 3. lím (x,y) (0,0) x 4 + y Continuidad de funciones de dos variables Definición 3.1. Sean f : D R 2 R, D un conjunto abierto y (a, b) int(d). Entonces f es continua en el punto (a, b) si y solo si ε > 0 δ = δ(ε) > 0 / d((x, y), (a, b)) < δ f(x, y) f(a, b) < ε 6

7 Intuitivamente la anterior definición nos dice que podemos hacer que f(x, y) esté tan cerca de f(a, b) como nosotros queramos con tal de tomar (x, y) suficientemente próximo a (a, b). Diremos que la función f es continua en la región D si es continua en todo punto (a, b) de D. Teorema 3.1 (Caracterización de la continuidad usando límites). f es continua en (a, b) f(x, y) = f(a, b). lím Teorema 3.2. Si k R y f, g son continuas en (a, b) entonces las siguientes funciones son continuas en (a, b): 1. k f (Múltiplo escalar). 2. f ± g (Suma y diferencia). 3. f g (Producto). 4. f/g si g(a, b) 0 (Cociente). 5. Si f(x, y) es continua en (a, b) y h(z) es continua en z 0 = f(a, b) entonces es continua en (a, b). (h f)(x, y) = h(f(x, y)) (Función compuesta) El teorema anterior establece la continuidad de las funciones polinómicas (suma de funciones de la forma cx m y n, c R,n, m N) y racionales (cociente de dos funciones polinómicas) en todo punto de su dominio. También nos permite probar fácilmente que las siguientes funciones son continuas en todo punto f(x, y) = 1 2 sen(x2 + y 2 ), Dom(f) = R 2, f es continua en R 2. f(x, y) = cos(y 2 )e x 2 +y 2, Dom(f) = R 2, f es continua en R 2. Ejercicio 3.1. Analizar la continuidad de las siguientes funciones: 1. { x 2y, (x, y) (0, 0), f(x, y) = x 2 +y 2 0, (x, y) = (0, 0). 2. { xy, (x, y) (0, 0), f(x, y) = x 2 +y2 0, (x, y) = (0, 0). 7

8 3. f(x, y) = 4. f(x, y) = 4. Apéndice { x 2 y x 2, 2 y 2 +(x y) 2 (x, y) (0, 0), 1, (x, y) = (0, 0). { sen(xy), (x, y) (0, 0), xy 1, (x, y) = (0, 0). En esta sección recordaremos algunas técnicas para calcular límites de una variable así como algunas de las principales propiedades de las funciones continuas de una variable Cálculo de límites de una variable Teorema 4.1 (Teorema del encaje). Sean I R un intervalo abierto, c I y supongamos que g(x) f(x) h(x) para todo x I \ c. Si lím g(x) = L = lím h(x), x c x c entonces existe el lím f(x) y es igual a L. x c Teorema 4.2 (Regla de L Hôpital). Sean f y g funciones derivables en un intervalo abierto conteniendo al punto c, excepto posiblemente en el propio c. Supongamos que g (x) 0 para todo x (a, b), excepto posiblemente en el f(x) punto c. Si lím produce la forma indeterminada 0/0, entonces, x c g(x) f(x) lím x c g(x) = lím f (x) x c g (x), suponiendo que el límite de la derecha existe (o es infinito). Este resultado f(x) también se aplica si lím produce cualquiera de las formas indeterminadas /, ( )/, /( ) o x c g(x) ( )/( ) Principales propiedades las funciones continuas de una variable Teorema 4.3 (Teorema de Bolzano). Supongamos que f : [a, b] R es continua y además f(a)f(b) < 0. Entonces existe al menos un número c (a, b) tal que f(c) = 0. 8

9 Teorema 4.4 (Teorema del valor intermedio). Supongamos que f : [a, b] R es continua y sea k cualquier número comprendido entre f(a) y f(b). Entonces existe al menos un número c [a, b] tal que f(c) = k. Teorema 4.5 (Teorema de Weierstrass de los valores extremos). Si f : [a, b] R es continua entonces f alcanza su máximo y su mínimo en el intervalo [a, b], es decir existen x 0, y 0 [a, b] tales que f(x 0 ) = m = mín f(x) y f(y 0 ) = M = máx f(x). x [a,b] x [a,b] 9