Funciones de Varias Variables

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1 Funciones de Varias Variables 1. Funciones de dos Variables Sea Ω un subconjunto del plano x, y, esto es Ω R 2. Una función real f de dosvariablesesunareglaqueasociaacadaparordenado (x,y) Ω unúniconúmeroreal z=f(x,y). Lasvariables x e y sonlasvariablesindependientesmientrasque z,laimágende (x,y) Ω bajo f,eslavariabledependiente. Elconjunto Ω=Domf,delospuntosquetienenimágen,eselDominiode f. EnlaprácticaelDominiovienedeterminadoporelcontextodelproblema. En general se entiende que el Dominio viene implícito en la propia fórmula que define f y queda determinado por todos aquellos valores para los cuales tiene sentido aplicarlafórmulaquedefinelafunción. EncasodequeelDominioaconsiderar sea más pequeño, hay que indicarlo. Ejemplo: Sisedefinelafunción f(x,y)= 1 2 xy sudominioeselconjuntodetodoslospares (x,y) denúmerosreales. Osea, Domf =R 2. Sinembargosisequierequeestafunciónrepresenteeláreadeuntriángulo,los valores de x e y tienen que ser positivos. Luego, esta restricción debe indicarse juntoalafórmula f(x,y)= 1 xy x>0, y>0 2 SinoseindicaningunarestricciónsedebesuponerqueelDominioeselmáximo permitido por la fórmula. El conocimiento del Dominio permite saber que valores pueden sustituírse en la fórmula y cuales no. ElRecorridoeselconjuntodelasimágenes,bajo f,deloselementosdel Domf. Esto es, Recf ={f(x,y) R/ (x,y) Ω} R eselrecorridode f. ElGráficode f eselconjunto Gr(f)= { (x,y,z) R 3 / z=f(x,y), (x,y) Ω } Comoelgráficodeunafunción f deunavariableesunacurva C conecuación y=f(x),elgráficodeunafunción f dedosvariablesesunasuperficie S con 1

2 ecuación z=f(x,y). Elgráficode f sepuedevisualizardirectamentesobreo bajo el dominio Ω en el plano xy. Entoncesparagraficarunafunción z=f(x,y) bastaríaencontrarpuntosdesu gráfico y representarlos, obteniéndose así una superficie en el espacio. Sin embargo este método de graficación no resulta muy útil en la práctica. Dos formas que puedenayudaravisualizarelgráficodeunafuncióndedosvariablessonlastrazas ylascurvasdenivel. El sistema triortogonal de ejes coordenados determina tres planos que se cortan perpendicularmente Plano xy : formadoporlospuntosdelaforma (x,y,0) estoes, z=0 Plano yz : formadoporlospuntosdelaforma (0,y,z) estoes, x=0 Plano xz : formadoporlospuntosdelaforma (x,0,z) estoes, y=0 Cuando una superficie es cortada por un plano se obtiene, en general, una curva. Por ejemplo,sicortamosunaesferaporunplanopasandoporlospolos,seobtieneunacircunferencia. Se llaman Trazas a las intersecciones de una superficie con los planos coordenados. Si z=f(x,y) eslaecuacióndeunasuperficieentonces,paraencontrarlatraza de ella en el plano xy bastará hacer z=0 en z=f(x,y) o, lo que es lo mismo,resolverelsistema z=f(x,y) z=0 2

3 Ejemplo: Paralasuperficie z=1 x 2 y 2 Si z=0,trazaenelplano xy eslacircunferencia x 2 +y 2 =1 Trazaenelplanoxy Si y=0,trazaenelplano xz eslaparábola z=1 x 2 Trazaenelplanoxz 3

4 Si z=0,trazaenelplano yz eslaparábola z=1 x 2 Trazaenelplanoyz Luego,elgráficodelasuperficiedada,enelprimeroctanteescomoenlafigura GraficodelasuperficieenelIoctante Otra forma de visualizar el gráfico de una superficie z=f(x,y) es localizando los conjuntos de puntos donde la función f tiene un mismo valor constante. Estos conjuntos son llamados Curvas de Nivel de la función. Así, la curva de nivel correspondiente al número k R eselconjunto C k = { (x,y) R 2 /f(x,y)=k } Ejemplo: Si z= x 2 +y 2 Las curvas de nivel son las curvas representadas por k 2 =x 2 +y 2 4

5 las cuales son circunferencias centradas en el orígen y radio k. Curvasdenivel x 2 +y 2 =k 2 El gráfico de z= x 2 +y 2 se puede determinar usando la información ganada de lascurvasdeniveldeestafunción. Sepuedeapreciarquenohaygráficobajoelplano xy,yaque z= x 2 +y 2 0 y queelúnicopuntoenelplano xy es (0,0). 2. Funciones de tres o más variables Unafuncióndetresvariables f,esunareglaqueasignaacadatríoordenado (x,y,z) enundominio Ω R 3 unúniconúmeroreal,denotadopor f(x,y,z). El gráfico de una función de tres variables yace en el espacio cuatro-dimensional, por lo cual no es posible visualizarlo. Sin embargo se puede ganar alguna información de f examinando sus superficies de nivel, esto es las superficies con ecuación f(x,y,z)=k, donde k R es una constante. Funciones de cualquier número de variables también pueden ser consideradas. Así, una función real de n variables o campo escalar es una regla que asigna un único número real z=f(x 1,x 2,...,x n ) aunan-tupla (x 1,x 2,...,x n ) denúmerosreales. La notación f : Ω R n R 5

6 es usada para señalar que f es una función real cuyo dominio Ω es un subconjunto de R n. Es usual también, usar notación vectorial para escribir funciones de manera mas compacta: Si x=(x 1,x 2,...,x n ),podemosescribir f(x) enlugarde f(x 1,x 2,...,x n ). Así, desde el punto de vista de la correspondencia uno a uno que existe entre puntos (x 1,x 2,...,x n ) de R n ysusvectoresposición x=(x 1,x 2,...,x n ),setienensetienen tresmanerasdemirarunafunción f : Ω R n R : 1. Comounafunciónde n variablesreales x 1,x 2,...,x n 2. Comounafuncióndeunpunto (x 1,x 2,...,x n ) 3. Comounafuncióndeunvector x=(x 1,x 2,...,x n ) 3. Algebra de Funciones de varias variables Funciones de varias variables se pueden combinar de la misma forma que las funciones de unavariable. Porlotantosepuedensumar,restar,multiplicarydividir. Así,si A,B R n, f :A R y g:b R funciones. Entonceslasfunciones f+g, f g, f g y f g se definen como; (f+g)(x)=f(x)+g(x), x A B (f g)(x)=f(x) g(x), x A B (f g)(x)=f(x)g(x) ( ) f (x)= f(x) g g(x) x A B x A B {x A B g(x) 0} Como operar con funciones significa operar con las imágenes en un mismo punto. entonces las funciones deben tener el mismo número de variables. Ejemplo: Sepuedensumarlasfunciones f(x,y)=x y g(x,y)=x+y obteniéndose que (f+g)(x,y)=f(x,y)+g(x,y)=2x+y Sinembargonosepuedensumarlasfunciones f(x)=x y g(x,y)=x+y 4. Composición de Funciones de varias variables Dadasdosfunciones f y g lafuncióncompuesta g f (olacomposiciónde f y g )sedefinecomo, (g f)(x)=g(f(x)) x Ω R n,dominiodef lo cual tiene sentido si el recorrido de la primera función coincide con el Dominio de la segunda. 6

7 Ejemplo : Dadas las funciones f(x,y)=4 x 2 y 2 y g(z)= z sólo tiene sentido la composición (g f)(x,y)=g(f(x,y))= 4 x 2 y 2 7

8 Guía de Ejercicios 1. Considereunafunción f : Ω R n R. Señaleelvalordeverdaddelassiguientes afirmaciones, fundamentando claramente su respuesta: a) Domf =Ω={x=(x 1,x 2,...,x n ) Ω R n / z=f(x)=f(x 1,x 2,...,x n ) R} b) Recf ={z R/z=f(x 1,x 2,...,x n )} c) Gr(f)={(x 1,x 2,...,x n,z)/z=f(x 1,x 2,...,x n )} R n+1 d) Si Ω R 2, entonces para la función f : Ω R, su dominio es un subconjunto del plano, su recorrido es un subconjunto de números reales y su gráfico está contenido en el espacio. 2. Enrelaciónalgráficodeunafunción f : Ω R 2 R, quérepresentanlastrazas?, quérepresentanlascurvasdenivel?. Quéposibleutilidadpuedenprestar?. Explique claramente. 3. Determine el Dominio de las siguientes funciones esbozando su gráfico, señalando si se trata de un conjunto abierto y/o cerrado o ni abierto ni cerrado. Señale, cuando sea posible, las trazas y las respectivas curvas de nivel. Finalmente esboce elgráficodelafunciónencadacaso. a) f(x,y)= xy x 2 +y 2 b) f(x,y)= 25 x 2 y 2 c) f(x,y)= x x2 +y 2 9 d) f(x,y)= x2 +y 2 9 x e) f(x,y)=xy f) f(x,y)= 1 xy 4. Dadalafunción f(x,y)=sen(y x) Determine el dominio, el recorrido y sus curvas de nivel. 5. Parael caso dela función f : Ω R 3 R, quéson realmente las curvas denivel?, sonrealmentecurvas?. Expliqueclaramente. 6. Considerelafuncióndadapor f(x,y,z)= x 2 +y 2 4z 2x. Determinesu dominio,recorridoyla superficiedenivel para k=0. 7. Para cada uno de los casos, dibuje la superficie de nivel f(x,y,z)=k, para cadaunodelosvaloresde k,especificado; a) f(x,y,z)=x 2 +y 2 +z 2, k=4 b) f(x,y,z)=x 2 +4y 2 +2z 2, k=7 c) f(x,y,z)=x 2 +y 2 z 2, k=1 d) f(x,y,z)=x 2 y 2 +z 2, k=1 curso : calculo iii - ingenierias R.Beltran B.-UTA- II Semestre

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