Funciones de Varias Variables

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Funciones de Varias Variables"

Transcripción

1 Funciones de Varias Variables 1. Funciones de dos Variables Sea Ω un subconjunto del plano x, y, esto es Ω R 2. Una función real f de dosvariablesesunareglaqueasociaacadaparordenado (x,y) Ω unúniconúmeroreal z=f(x,y). Lasvariables x e y sonlasvariablesindependientesmientrasque z,laimágende (x,y) Ω bajo f,eslavariabledependiente. Elconjunto Ω=Domf,delospuntosquetienenimágen,eselDominiode f. EnlaprácticaelDominiovienedeterminadoporelcontextodelproblema. En general se entiende que el Dominio viene implícito en la propia fórmula que define f y queda determinado por todos aquellos valores para los cuales tiene sentido aplicarlafórmulaquedefinelafunción. EncasodequeelDominioaconsiderar sea más pequeño, hay que indicarlo. Ejemplo: Sisedefinelafunción f(x,y)= 1 2 xy sudominioeselconjuntodetodoslospares (x,y) denúmerosreales. Osea, Domf =R 2. Sinembargosisequierequeestafunciónrepresenteeláreadeuntriángulo,los valores de x e y tienen que ser positivos. Luego, esta restricción debe indicarse juntoalafórmula f(x,y)= 1 xy x>0, y>0 2 SinoseindicaningunarestricciónsedebesuponerqueelDominioeselmáximo permitido por la fórmula. El conocimiento del Dominio permite saber que valores pueden sustituírse en la fórmula y cuales no. ElRecorridoeselconjuntodelasimágenes,bajo f,deloselementosdel Domf. Esto es, Recf ={f(x,y) R/ (x,y) Ω} R eselrecorridode f. ElGráficode f eselconjunto Gr(f)= { (x,y,z) R 3 / z=f(x,y), (x,y) Ω } Comoelgráficodeunafunción f deunavariableesunacurva C conecuación y=f(x),elgráficodeunafunción f dedosvariablesesunasuperficie S con 1

2 ecuación z=f(x,y). Elgráficode f sepuedevisualizardirectamentesobreo bajo el dominio Ω en el plano xy. Entoncesparagraficarunafunción z=f(x,y) bastaríaencontrarpuntosdesu gráfico y representarlos, obteniéndose así una superficie en el espacio. Sin embargo este método de graficación no resulta muy útil en la práctica. Dos formas que puedenayudaravisualizarelgráficodeunafuncióndedosvariablessonlastrazas ylascurvasdenivel. El sistema triortogonal de ejes coordenados determina tres planos que se cortan perpendicularmente Plano xy : formadoporlospuntosdelaforma (x,y,0) estoes, z=0 Plano yz : formadoporlospuntosdelaforma (0,y,z) estoes, x=0 Plano xz : formadoporlospuntosdelaforma (x,0,z) estoes, y=0 Cuando una superficie es cortada por un plano se obtiene, en general, una curva. Por ejemplo,sicortamosunaesferaporunplanopasandoporlospolos,seobtieneunacircunferencia. Se llaman Trazas a las intersecciones de una superficie con los planos coordenados. Si z=f(x,y) eslaecuacióndeunasuperficieentonces,paraencontrarlatraza de ella en el plano xy bastará hacer z=0 en z=f(x,y) o, lo que es lo mismo,resolverelsistema z=f(x,y) z=0 2

3 Ejemplo: Paralasuperficie z=1 x 2 y 2 Si z=0,trazaenelplano xy eslacircunferencia x 2 +y 2 =1 Trazaenelplanoxy Si y=0,trazaenelplano xz eslaparábola z=1 x 2 Trazaenelplanoxz 3

4 Si z=0,trazaenelplano yz eslaparábola z=1 x 2 Trazaenelplanoyz Luego,elgráficodelasuperficiedada,enelprimeroctanteescomoenlafigura GraficodelasuperficieenelIoctante Otra forma de visualizar el gráfico de una superficie z=f(x,y) es localizando los conjuntos de puntos donde la función f tiene un mismo valor constante. Estos conjuntos son llamados Curvas de Nivel de la función. Así, la curva de nivel correspondiente al número k R eselconjunto C k = { (x,y) R 2 /f(x,y)=k } Ejemplo: Si z= x 2 +y 2 Las curvas de nivel son las curvas representadas por k 2 =x 2 +y 2 4

5 las cuales son circunferencias centradas en el orígen y radio k. Curvasdenivel x 2 +y 2 =k 2 El gráfico de z= x 2 +y 2 se puede determinar usando la información ganada de lascurvasdeniveldeestafunción. Sepuedeapreciarquenohaygráficobajoelplano xy,yaque z= x 2 +y 2 0 y queelúnicopuntoenelplano xy es (0,0). 2. Funciones de tres o más variables Unafuncióndetresvariables f,esunareglaqueasignaacadatríoordenado (x,y,z) enundominio Ω R 3 unúniconúmeroreal,denotadopor f(x,y,z). El gráfico de una función de tres variables yace en el espacio cuatro-dimensional, por lo cual no es posible visualizarlo. Sin embargo se puede ganar alguna información de f examinando sus superficies de nivel, esto es las superficies con ecuación f(x,y,z)=k, donde k R es una constante. Funciones de cualquier número de variables también pueden ser consideradas. Así, una función real de n variables o campo escalar es una regla que asigna un único número real z=f(x 1,x 2,...,x n ) aunan-tupla (x 1,x 2,...,x n ) denúmerosreales. La notación f : Ω R n R 5

6 es usada para señalar que f es una función real cuyo dominio Ω es un subconjunto de R n. Es usual también, usar notación vectorial para escribir funciones de manera mas compacta: Si x=(x 1,x 2,...,x n ),podemosescribir f(x) enlugarde f(x 1,x 2,...,x n ). Así, desde el punto de vista de la correspondencia uno a uno que existe entre puntos (x 1,x 2,...,x n ) de R n ysusvectoresposición x=(x 1,x 2,...,x n ),setienensetienen tresmanerasdemirarunafunción f : Ω R n R : 1. Comounafunciónde n variablesreales x 1,x 2,...,x n 2. Comounafuncióndeunpunto (x 1,x 2,...,x n ) 3. Comounafuncióndeunvector x=(x 1,x 2,...,x n ) 3. Algebra de Funciones de varias variables Funciones de varias variables se pueden combinar de la misma forma que las funciones de unavariable. Porlotantosepuedensumar,restar,multiplicarydividir. Así,si A,B R n, f :A R y g:b R funciones. Entonceslasfunciones f+g, f g, f g y f g se definen como; (f+g)(x)=f(x)+g(x), x A B (f g)(x)=f(x) g(x), x A B (f g)(x)=f(x)g(x) ( ) f (x)= f(x) g g(x) x A B x A B {x A B g(x) 0} Como operar con funciones significa operar con las imágenes en un mismo punto. entonces las funciones deben tener el mismo número de variables. Ejemplo: Sepuedensumarlasfunciones f(x,y)=x y g(x,y)=x+y obteniéndose que (f+g)(x,y)=f(x,y)+g(x,y)=2x+y Sinembargonosepuedensumarlasfunciones f(x)=x y g(x,y)=x+y 4. Composición de Funciones de varias variables Dadasdosfunciones f y g lafuncióncompuesta g f (olacomposiciónde f y g )sedefinecomo, (g f)(x)=g(f(x)) x Ω R n,dominiodef lo cual tiene sentido si el recorrido de la primera función coincide con el Dominio de la segunda. 6

7 Ejemplo : Dadas las funciones f(x,y)=4 x 2 y 2 y g(z)= z sólo tiene sentido la composición (g f)(x,y)=g(f(x,y))= 4 x 2 y 2 7

8 Guía de Ejercicios 1. Considereunafunción f : Ω R n R. Señaleelvalordeverdaddelassiguientes afirmaciones, fundamentando claramente su respuesta: a) Domf =Ω={x=(x 1,x 2,...,x n ) Ω R n / z=f(x)=f(x 1,x 2,...,x n ) R} b) Recf ={z R/z=f(x 1,x 2,...,x n )} c) Gr(f)={(x 1,x 2,...,x n,z)/z=f(x 1,x 2,...,x n )} R n+1 d) Si Ω R 2, entonces para la función f : Ω R, su dominio es un subconjunto del plano, su recorrido es un subconjunto de números reales y su gráfico está contenido en el espacio. 2. Enrelaciónalgráficodeunafunción f : Ω R 2 R, quérepresentanlastrazas?, quérepresentanlascurvasdenivel?. Quéposibleutilidadpuedenprestar?. Explique claramente. 3. Determine el Dominio de las siguientes funciones esbozando su gráfico, señalando si se trata de un conjunto abierto y/o cerrado o ni abierto ni cerrado. Señale, cuando sea posible, las trazas y las respectivas curvas de nivel. Finalmente esboce elgráficodelafunciónencadacaso. a) f(x,y)= xy x 2 +y 2 b) f(x,y)= 25 x 2 y 2 c) f(x,y)= x x2 +y 2 9 d) f(x,y)= x2 +y 2 9 x e) f(x,y)=xy f) f(x,y)= 1 xy 4. Dadalafunción f(x,y)=sen(y x) Determine el dominio, el recorrido y sus curvas de nivel. 5. Parael caso dela función f : Ω R 3 R, quéson realmente las curvas denivel?, sonrealmentecurvas?. Expliqueclaramente. 6. Considerelafuncióndadapor f(x,y,z)= x 2 +y 2 4z 2x. Determinesu dominio,recorridoyla superficiedenivel para k=0. 7. Para cada uno de los casos, dibuje la superficie de nivel f(x,y,z)=k, para cadaunodelosvaloresde k,especificado; a) f(x,y,z)=x 2 +y 2 +z 2, k=4 b) f(x,y,z)=x 2 +4y 2 +2z 2, k=7 c) f(x,y,z)=x 2 +y 2 z 2, k=1 d) f(x,y,z)=x 2 y 2 +z 2, k=1 curso : calculo iii - ingenierias R.Beltran B.-UTA- II Semestre

Funciones de varias variables reales

Funciones de varias variables reales Capítulo 6 Funciones de varias variables reales 6.1. Introducción En muchas situaciones habituales aparecen funciones de dos o más variables, por ejemplo: w = F D (Trabajo realizado por una fuerza) V =

Más detalles

3.1. Concepto de función. Dominio, recorrido y gráfica. 3.1.1. Concepto de función

3.1. Concepto de función. Dominio, recorrido y gráfica. 3.1.1. Concepto de función TEMA 3 FUNCIONES 3.1. Concepto de función. Dominio, recorrido y gráfica. 3.1.1. Concepto de función Una función es una relación establecida entre dos variables que asocia a cada valor de la primera variable

Más detalles

1. Funciones de varias variables

1. Funciones de varias variables Análisis Matemático II. Curso 2008/2009. Diplomatura en Estadística/Ing. Téc. en Inf. de Gestión. Universidad de Jaén TEMA 2: CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 1. Funciones de varias variables

Más detalles

Funciones de dos variables. Gráficas y superficies.

Funciones de dos variables. Gráficas y superficies. Univ. de Alcalá de Henares Ingeniería de Telecomunicación Cálculo. Segundo parcial. Curso 2004-2005 Funciones de dos variables. Gráficas y superficies. Puede ser conveniente la visualización en pantalla

Más detalles

Introducción a las Funciones

Introducción a las Funciones PreUnAB Clase # 12 Agosto 2014 Concepto general de función En matemática el concepto de función se refiere a una regla f que asigna a cada elemento de un primer conjunto de partida A, un único elemento

Más detalles

Análisis II - Primer Parcial Coloquio- Tema 1

Análisis II - Primer Parcial Coloquio- Tema 1 .5. Coloquio 1/08/03. Análisis II - Primer Parcial Coloquio- Tema 1 1. Hallar a de manera que sea máximo el flujo de campo F (x,y,z)= (x,y,z) a través del borde ( con tapas!) del cilindro elíptico descripto

Más detalles

1. Definición y representaciones gráficas

1. Definición y representaciones gráficas Universidad Nacional de La Plata Facultad de Ciencias Exactas ANÁLISIS MATEMÁTICO II (CiBEx - Física Médica) 2014 Segundo Semestre GUÍA Nro. 3: FUNCIONES ESCALARES DE VARIAS VARIABLES 1. Definición y representaciones

Más detalles

TEMA 5: DERIVADAS PARCIALES

TEMA 5: DERIVADAS PARCIALES Matemáticas. Curso 2011/2012 Graos en ADE e Consultoría. Universidade de Vigo. En muchos problemas comunes aparecen funciones de dos o más variables, por ejemplo: w = F D (Trabajo realizado por una fuerza)

Más detalles

SUPERFICIES. También construiremos el plano tangente, usando una parametrización o una

SUPERFICIES. También construiremos el plano tangente, usando una parametrización o una SUPERFICIES El objetivo de este tema es el estudio de superficies regulares en el espacio. Definiremos de forma rigurosa lo que es una superficie, veremos formas de expresar una superficie, esencialmente

Más detalles

CÁLCULO PARA LA INGENIERÍA 1

CÁLCULO PARA LA INGENIERÍA 1 CÁLCULO PARA LA INGENIERÍA 1 PROBLEMAS RESUELTOS Tema 3 Derivación de funciones de varias variables 3.1 Derivadas y diferenciales de funciones de varias variables! 1. Derivadas parciales de primer orden.!

Más detalles

Tema 10: Funciones de varias variables. Funciones vectoriales. Límites y continuidad

Tema 10: Funciones de varias variables. Funciones vectoriales. Límites y continuidad Tema 10: Funciones de varias variables. Funciones vectoriales. Límites y continuidad 1 Funciones de varias variables Observación 1.1 Conviene repasar,enestepunto,lodadoeneltema8paratopología en R n : bolas,

Más detalles

CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES CAPÍTULO II. CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES SECCIONES 1. Dominios y curvas de nivel. 2. Cálculo de ites. 3. Continuidad. 55 1. DOMINIOS Y CURVAS DE NIVEL. Muchos problemas geométricos y físicos

Más detalles

1. Funciones de varias variables: representaciones gráficas, límites y continuidad.

1. Funciones de varias variables: representaciones gráficas, límites y continuidad. GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 0.. Funciones de varias variables: representaciones gráficas, límites y continuidad. En el análisis de los problemas de la ciencia y de la técnica, las cantidades

Más detalles

1 Función real de dos variables reales

1 Función real de dos variables reales Cálculo Matemático. Tema 10 Hoja 1 Escuela Universitaria de Arquitectura Técnica Cálculo Matemático. Tema 10: Funciones de dos variables. Curso 008-09 1 Función real de dos variables reales Hasta el momento

Más detalles

Lic. Manuel de Jesús Campos Boc

Lic. Manuel de Jesús Campos Boc UNIVERSIDAD MARIANO GÁLVEZ DE GUATEMALA FACULTAD DE CIENCIAS DE LA ADMINISTRACIÓN DIRECCIÓN GENERAL DE CENTRO UNIVERSITARIOS CENTRO UNIVERSITARIO DE VILLA NUEVA CURSO MATEMÁTICAS APLICADA I 0 Lic. Manuel

Más detalles

1. Definición 2. Operaciones con funciones

1. Definición 2. Operaciones con funciones 1. Definición 2. Operaciones con funciones 3. Estudio de una función: Suma y diferencia Producto Cociente Composición de funciones Función reciproca (inversa) Dominio Recorrido Puntos de corte Signo de

Más detalles

Funciones de varias variables

Funciones de varias variables Tema 5 Funciones de varias variables Supongamos que tenemos una placa rectangular R y determinamos la temperatura T en cada uno de sus puntos. Fijado un sistema de referencia, T es una función que depende

Más detalles

Tema 10: Límites y continuidad de funciones de varias variables

Tema 10: Límites y continuidad de funciones de varias variables Tema 10: Límites y continuidad de funciones de varias variables 1 Funciones de varias variables Definición 1.1 Llamaremos función real de varias variables atodafunciónf : R n R. Y llamaremos función vectorial

Más detalles

MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas

MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Tema 7 Funciones reales de una variable real Elaborado por la Profesora Doctora

Más detalles

Coordinación de Matemática I (MAT021) 1 er Semestre de 2013 Semana 3: Lunes 25 - Jueves 28 de Marzo. Contenidos

Coordinación de Matemática I (MAT021) 1 er Semestre de 2013 Semana 3: Lunes 25 - Jueves 28 de Marzo. Contenidos Coordinación de Matemática I (MAT021) 1 er Semestre de 2013 Semana 3: Lunes 25 - Jueves 28 de Marzo Cálculo Contenidos Clase 1: Funciones: Dominio, recorrido, gráfico. Ejemplos. Clase 2: Igualdad de funciones.

Más detalles

En los ejercicios 1-8, dibujar la curva representada por la función vectorial e indicar su orientación.

En los ejercicios 1-8, dibujar la curva representada por la función vectorial e indicar su orientación. Universidad de Costa Rica Práctica Miscelánea para el Primer Parcial Facultad de Ciencias Funciones Vectoriales, Regla de la Cadena y Funciones Implícitas Escuela de Matemática MA 1003 Cálculo 3 Departamento

Más detalles

Variedades Diferenciables. Extremos Condicionados

Variedades Diferenciables. Extremos Condicionados Capítulo 16 Variedades Diferenciables. Extremos Condicionados Vamos a completar lo visto en los capítulos anteriores sobre el teorema de las Funciones Implícitas y Funciones Inversas con un tema de iniciación

Más detalles

Capítulo 3 Soluciones de ejercicios seleccionados

Capítulo 3 Soluciones de ejercicios seleccionados Capítulo 3 Soluciones de ejercicios seleccionados Sección 3.1.4 1. Dom a = [ 1, 1]. Dom b = R. Dom c = (, 4). Dom d = ( 1, ). Dom e = R ( 1, 3] y Dom f = R {, }. 5x 4 x < 1, (x 1)(3x ) x < 1,. (f + g)(x)

Más detalles

ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES CUASILINEALES PRIMER ORDEN, NOCIONES BÁSICAS

ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES CUASILINEALES PRIMER ORDEN, NOCIONES BÁSICAS ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES CUASILINEALES PRIMER ORDEN, NOCIONES BÁSICAS E. SÁEZ Una Ecuación Diferencial Partial (E.D.P.) de Primer Orden, en dos variables, es simplemente una expresión de la forma

Más detalles

Universidad de Costa Rica Escuela de Matemática CONARE-PROYECTO RAMA. Funciones

Universidad de Costa Rica Escuela de Matemática CONARE-PROYECTO RAMA. Funciones Universidad de Costa Rica Escuela de Matemática CONARE-PROYECTO RAMA Funciones José R. Jiménez F. Temas de pre-cálculo I ciclo 007 Funciones 1 Índice 1. Funciones 3 1.1. Introducción...................................

Más detalles

March 25, 2010 CAPÍTULO 2: LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES EN EL ESPACIO EUCLÍDEO

March 25, 2010 CAPÍTULO 2: LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES EN EL ESPACIO EUCLÍDEO March 25, 2010 CAPÍTULO 2: LÍMITE Y CONTINUIDAD DE FUNCIONE EN EL EPACIO EUCLÍDEO 1. Producto Escalar en R n Definición 1.1. Dado x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) R n, su producto escalar está

Más detalles

Dominio, Recorrido y Álgebra de Funciones Semana del Lunes 05 al Jueves 08 de Mayo

Dominio, Recorrido y Álgebra de Funciones Semana del Lunes 05 al Jueves 08 de Mayo UNIVERSIDAD DE CHILE Facultad de Ciencias Departamento de Matemáticas MC-140 Matemáticas I Ayudantías 07 A y 07 B Dominio, Recorrido y Álgebra de Funciones Semana del Lunes 05 al Jueves 08 de Mayo 1. Para

Más detalles

Universidad de Sevilla. GIOI y GIERM. Matemáticas III. Departamento de Matemática Aplicada II. Guión del Tema 5: Integrales de Línea.

Universidad de Sevilla. GIOI y GIERM. Matemáticas III. Departamento de Matemática Aplicada II. Guión del Tema 5: Integrales de Línea. Universidad de Sevilla. GO y GERM. Matemáticas. Departamento de Matemática Aplicada. Guión del Tema 5: ntegrales de Línea. 1. ntegrales de línea. ntegral de línea de un campo escalar. Sea una curva parametrizada

Más detalles

1. El teorema de la función implícita para dos y tres variables.

1. El teorema de la función implícita para dos y tres variables. GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO. Lección. Aplicaciones de la derivación parcial.. El teorema de la función implícita para dos tres variables. Una ecuación con dos incógnitas. Sea f :( x, ) U f(

Más detalles

4. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

4. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 4. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES INDICE 4 4.1. Definición de una función de dos variables...2 4.2. Gráfica de una función de dos variables..2 4.3. Curvas y superficies de nivel....3 4.4. Límites y continuidad....6

Más detalles

1. Trace la curva definida por las ecuaciones paramétricas y elimine el parámetro para deducir la ecuación cartesiana de la curva:

1. Trace la curva definida por las ecuaciones paramétricas y elimine el parámetro para deducir la ecuación cartesiana de la curva: 1. Trace la curva definida por las ecuaciones paramétricas y elimine el parámetro para deducir la ecuación cartesiana de la curva: a) x = senθ, y = cosθ, 0 θ π t b), t x = e y = e + 1 c) x = senθ, y =

Más detalles

Cuatro maneras de representar una función

Cuatro maneras de representar una función Cuatro maneras de representar una función Una función f es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto A exactamente un elemento, llamado f(x), de un conjunto B. Una función f es una regla que

Más detalles

MATE1207 Primer parcial - Tema A MATE-1207

MATE1207 Primer parcial - Tema A MATE-1207 MATE7 Primer parcial - Tema A MATE7. Si su respuesta y justificación son correctas obtendrá el máximo puntaje. Si su respuesta es incorrecta podrá obtener créditos parciales de acuerdo a su justificación.

Más detalles

SOLUCIONES CIRCUNFERENCIA. 1. Ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto (1, 2) y que pasa por el punto (2,3).

SOLUCIONES CIRCUNFERENCIA. 1. Ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto (1, 2) y que pasa por el punto (2,3). SOLUCIONES CIRCUNFERENCIA 1. Ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto (1,) y que pasa por el punto (,). Para determinar la ecuación de la circunferencia es necesario conocer el centro y el

Más detalles

3. OPERACIONES CON FUNCIONES.

3. OPERACIONES CON FUNCIONES. 3. OPERACIONES CON FUNCIONES. Las operaciones de suma, resta, multiplicación y división entre funciones son posibles y semejantes a las correspondientes efectuadas con los números. En esta sección definiremos

Más detalles

Capítulo VI DESIGUALDADES E INECUACIONES

Capítulo VI DESIGUALDADES E INECUACIONES Capítulo VI DESIGUALDADES E INECUACIONES 6.1 DEFINICIONES: a. Desigualdad: Se denomina desigualdad a toda expresión que describe la relación entre al menos elementos escritos en términos matemáticos, y

Más detalles

Primer Parcial MATE1207 Cálculo Vectorial (Tema B) 1

Primer Parcial MATE1207 Cálculo Vectorial (Tema B) 1 Universidad de los Andes Departamento de Matemáticas Primer Parcial MATE1207 Cálculo Vectorial (Tema B) 1 Instrucciones: Lea cuidadosamente y conteste cada pregunta en la hoja asignada. Escriba con bolígrafo

Más detalles

Funciones y gráficas (1)

Funciones y gráficas (1) Funciones y gráficas (1) Introducción Uno de los conceptos más importantes en matemática es el de función. El término función fue usado por primera vez en 1637 por el matemático francés René Descartes

Más detalles

FUNCIONES 1. DEFINICION DOMINIO Y RANGO

FUNCIONES 1. DEFINICION DOMINIO Y RANGO 1. DEFINICION DOMINIO Y RANGO FUNCIONES Antes de definir función, uno de los conceptos fundamentales y de mayor importancia de todas las matemáticas, plantearemos algunos ejercicios que nos eran de utilidad

Más detalles

Cálculo para la ingeniería. Salvador Vera

Cálculo para la ingeniería. Salvador Vera Cálculo para la ingeniería Salvador Vera 9 de enero de 005 ii Copyright c by Salvador Vera Ballesteros, 998-004. Índice general. Conceptos básicos.. La recta real...... Orden, desigualdades e intervalos......

Más detalles

Conceptos básicos de Matemática. Recopilación de materiales

Conceptos básicos de Matemática. Recopilación de materiales Conceptos básicos de Matemática de materiales 23 de abril de 202 Índice general. Conceptos elementales del lenguaje algebraico 7.. Conjuntos, elementos y pertenencia........................ 7... Operaciones

Más detalles

Práctica 3. Derivadas parciales

Práctica 3. Derivadas parciales Práctica 3. Derivadas parciales Análisis Matemático II. Departamento de Matemáticas. Diplomatura en Estadística / Ingeniería Técnica de Informática de Gestión 1.- DERIVADAS PARCIALES Dada f@x, yd una función

Más detalles

Tema 14: Cálculo diferencial de funciones de varias variables II

Tema 14: Cálculo diferencial de funciones de varias variables II Tema 14: Cálculo diferencial de funciones de varias variables II 1 Desarrollos de Taylor en varias variables Vamos ahora a generalizar los desarrollos de Taylor que vimos para funciones de una variable.

Más detalles

FUNCIONES Y SUPERFICIES

FUNCIONES Y SUPERFICIES FUNCIONES Y SUPERFICIES Sergio Stive Solano Sabié 1 Octubre de 2012 1 Visita http://sergiosolanosabie.wikispaces.com FUNCIONES Y SUPERFICIES Sergio Stive Solano Sabié 1 Octubre de 2012 1 Visita http://sergiosolanosabie.wikispaces.com

Más detalles

COORDENADAS CURVILINEAS

COORDENADAS CURVILINEAS CAPITULO V CALCULO II COORDENADAS CURVILINEAS Un sistema de coordenadas es un conjunto de valores que permiten definir unívocamente la posición de cualquier punto de un espacio geométrico respecto de un

Más detalles

Unidad V: Integración

Unidad V: Integración Unidad V: Integración 5.1 Introducción La integración es un concepto fundamental de las matemáticas avanzadas, especialmente en los campos del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una integral

Más detalles

Parcial 2 Precálculo

Parcial 2 Precálculo Parcial 2 Precálculo Marzo 4 de 2008. (.5 puntos) Encuentre la ecuación de la recta que pasa por los puntos (-2,-2) y (-9,-3) Encuentre los interceptos en x y en y. Encuentre la ecuación de la recta que

Más detalles

Relaciones binarias. ( a, b) = ( c, d) si y solamente si a = c y b = d

Relaciones binarias. ( a, b) = ( c, d) si y solamente si a = c y b = d Relaciones binarias En esta sección estudiaremos formalmente las parejas de objetos que comparten algunas características o propiedades en común. La estructura matemática para agrupar estas parejas en

Más detalles

2.1.5 Teoremas sobre derivadas

2.1.5 Teoremas sobre derivadas si x < 0. f(x) = x si x 0 x o = 0 Teoremas sobre derivadas 9 2. f(x) = x 3, x o = 3 a. Determine si f es continua en x o. b. Halle f +(x o ) y f (x o ). c. Determine si f es derivable en x o. d. Haga la

Más detalles

c) ( 1 punto ). Hallar el dominio de definición de la función ( ). Hallar el conjunto de puntos en los que la función tiene derivada.

c) ( 1 punto ). Hallar el dominio de definición de la función ( ). Hallar el conjunto de puntos en los que la función tiene derivada. Materiales producidos en el curso: Curso realizado por Escuelas Católicas del 7 de noviembre al 19 de diciembre de 2011 Título: Wiris para Matemáticas de ESO y Bachilleratos. Uso de Pizarra Digital y Proyector

Más detalles

ANALISIS MATEMATICO II Grupo Ciencias 2015

ANALISIS MATEMATICO II Grupo Ciencias 2015 ANALISIS MATEMATICO II Grupo Ciencias 05 Práctica : Geometría Analítica: Vectores, Rectas y Planos A. Vectores Hasta el 9 de marzo. Sean v = (0,, ) y w = (,, 4) dos vectores de IR 3. (a) Obtener el coseno

Más detalles

Operaciones con Funciones

Operaciones con Funciones Carlos A. Rivera-Morales Precálculo I Tabla de Contenido Contenido : Contenido Discutiremos: suma, resta, multiplicación y división de funciones : Contenido Discutiremos: suma, resta, multiplicación y

Más detalles

FUNCIONES EN R. Agosto 2007

FUNCIONES EN R. Agosto 2007 FUNCIONES EN R Alexis Vera Pérez Instituto de Estadística & Sistemas Computarizados de Información Universidad de Puerto Rico, Recinto de Río Piedras Agosto 2007 1 Definición y notación Definición 1 Una

Más detalles

1. Derivadas parciales

1. Derivadas parciales Análisis Matemático II. Curso 2009/2010. Diplomatura en Estadística/Ing. Téc. en Inf. de Gestión. Universidad de Jaén TEMA 3. ABLES DIFERENCIACIÓN DE FUNCIONES DE VARIAS VARI- 1. Derivadas parciales Para

Más detalles

ELIJA CUATRO DE LOS SEIS BLOQUES PROPUESTOS.

ELIJA CUATRO DE LOS SEIS BLOQUES PROPUESTOS. PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD Curso 008-009 MATEMÁTICAS II ELIJA CUATRO DE LOS SEIS BLOQUES PROPUESTOS. Bloque 1. Dado el número real a, se considera el sistema a) Discuta el sistema según los valores

Más detalles

1 Aplicaciones de Máximos y Mínimos

1 Aplicaciones de Máximos y Mínimos Universidad de Santiago de Chile Autores: Miguel Martínez Concha Facultad de Ciencia Carlos Silva Cornejo Departamento de Matemática y CC Emilio Villalobos Marín 1 Aplicaciones de Máximos y Mínimos 1.0.1

Más detalles

CAPITULO 3. Aplicaciones de la Derivada. Licda. Elsie Hernández Saborío. Instituto Tecnológico de Costa Rica. Escuela de Matemática

CAPITULO 3. Aplicaciones de la Derivada. Licda. Elsie Hernández Saborío. Instituto Tecnológico de Costa Rica. Escuela de Matemática CAPITULO Aplicaciones de la Derivada Licda. Elsie Hernández Saborío Instituto Tecnológico de Costa Rica Escuela de Matemática Créditos Primera edición impresa: Rosario Álvarez, 1988. Edición Latex: Marieth

Más detalles

Análisis III. Joaquín M. Ortega Aramburu

Análisis III. Joaquín M. Ortega Aramburu Análisis III Joaquín M. Ortega Aramburu Septiembre de 1999 Actualizado en julio de 2001 2 Índice General 1 Continuidad en el espacio euclídeo 5 1.1 El espacio euclídeo R n...............................

Más detalles

Funciones de varias variables

Funciones de varias variables Funciones de varias variables Derivadas parciales. El concepto de función derivable no se puede extender de una forma sencilla para funciones de varias variables. Aquí se emplea el concepto de diferencial

Más detalles

Funciones definidas a trozos

Funciones definidas a trozos Concepto de función Dominio de una función Características de las funciones Intersecciones con los ejes Crecimiento y decrecimiento Máximos y mínimos Continuidad y discontinuidad Simetrías Periodicidad

Más detalles

Relaciones y Funciones

Relaciones y Funciones Capítulo Relaciones Funciones.1. Producto Cartesiano Definición El producto cartesiano de A B, se define por A B = (a, b)/a A b B} A B conjuntos dados, A B se lee A cruz B (a, b) es un par ordenado, recuerde

Más detalles

Un Apunte de Funciones "Introducción al Cálculo Dif. e Int."

Un Apunte de Funciones Introducción al Cálculo Dif. e Int. Un Apunte de Funciones "Introducción al Cálculo Dif. e Int." Las funciones son relaciones, las cuales, lo que hacen es tomar un elemento de un conjunto de partida (dominio) y transformarlo en otra cosa,

Más detalles

CINEMATICA DE MAQUINAS

CINEMATICA DE MAQUINAS CINEMATICA DE MAQUINAS 4.1.- CAMPO DE VELOCIDADES EN EL MOVIMIENTO GENERAL DE UN SISTEMA INDEFORMABLE 4.2.- ACELERACION DE UN PUNTO EN EL MOVIMIENTO GENERAL DE UN SISTEMA INDEFORMABLE 4.3.- EJE INSTANTANEO

Más detalles

(A) Primer parcial. si 1 x 1; x 3 si x>1. (B) Segundo parcial

(A) Primer parcial. si 1 x 1; x 3 si x>1. (B) Segundo parcial CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I EVALUACIÓN GLOBAL E700 1) x 5 > 1. A) Primer parcial ) Sean las funciones ft) t +,gy) y 4&hw) w. Encontrar f/h, g f, f g y sus dominios. ) Graficar la función x + six

Más detalles

Se llama dominio de una función f(x) a todos los valores de x para los que f(x) existe. El dominio se denota como Dom(f)

Se llama dominio de una función f(x) a todos los valores de x para los que f(x) existe. El dominio se denota como Dom(f) MATEMÁTICAS EJERCICIOS RESUELTOS DE FUNCIONES FUNCIONES A. Introducción teórica A.1. Definición de función A.. Dominio y recorrido de una función, f() A.. Crecimiento y decrecimiento de una función en

Más detalles

Matemáticas 1204, 2013 Semestre II Tarea 5 Soluciones

Matemáticas 1204, 2013 Semestre II Tarea 5 Soluciones Matemáticas 104, 01 Semestre II Tarea 5 Soluciones Problema 1: Una definición errónea de línea tangente a una curva es: La línea L es tangente a la curva C en el punto P si y sólamente si L pasa por C

Más detalles

RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO

RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO UNIDAD 6 RECTA Y PLANO EN EL EPACIO Página 1 1. Puntos alineados en el plano Comprueba que los puntos A (, ), B (8, ) y C (1, ) no están alineados. A (, ) B (8, ) C (1, ) AB = (, 1); BC = (, ) No tienen

Más detalles

RELACIÓN DE FUNCIONES. 1. Obtener, de forma razonada, el dominio de definición de las siguientes funciones:

RELACIÓN DE FUNCIONES. 1. Obtener, de forma razonada, el dominio de definición de las siguientes funciones: RELACIÓN DE FUNCIONES 1. Obtener, de forma razonada, el dominio de definición de las siguientes funciones: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). Dibuja las siguientes funciones a trozos: ( ) { ( ) { ( )

Más detalles

Funciones polinomiales de grados cero, uno y dos

Funciones polinomiales de grados cero, uno y dos Funciones polinomiales de grados cero, uno y dos A una función p se le llama polinomio si: p x = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 2 x 2 + a 1x + a 0 Donde un entero no negativo y los números a 0, a 1, a 2,

Más detalles

Caracterización de los campos conservativos

Caracterización de los campos conservativos Lección 5 Caracterización de los campos conservativos 5.1. Motivación y enunciado del teorema Recordemos el cálculo de la integral de línea de un gradiente, hecho en la lección anterior. Si f : Ω R es

Más detalles

Teoremas de la función implícita y de la función inversa

Teoremas de la función implícita y de la función inversa Univ. de Alcalá de Henares Ingeniería de Telecomunicación Cálculo. Segundo parcial. Curso 2004-2005 Teoremas de la función implícita y de la función inversa 1. El teorema de la función implícita 1.1. Ejemplos

Más detalles

Diferenciabilidad, Regla de la Cadena y Aplicaciones

Diferenciabilidad, Regla de la Cadena y Aplicaciones Universidad Técnica Federico Santa María Departamento de Matemática Matemática III Guía Nº3 Primer Semestre 015 Diferenciabilidad, Regla de la Cadena y Aplicaciones Problemas Propuestos 1. Sea f : R R

Más detalles

Texto de Cálculo I Intervalos de la recta real R Versión preliminar. L. F. Reséndis O.

Texto de Cálculo I Intervalos de la recta real R Versión preliminar. L. F. Reséndis O. Texto de Cálculo I Intervalos de la recta real R Versión preliminar L. F. Reséndis O. 2 Contents 1 Números reales L.F. Reséndis O. 5 1.1 Números racionales e irracionales.l.f. Reséndis O............ 5

Más detalles

Los circuitos lógicos combinacionales

Los circuitos lógicos combinacionales Los circuitos lógicos combinacionales Montse Peiron Guàrdia Fermín Sánchez Carracedo PID_63599 CC-BY-SA PID_63599 Los circuitos lógicos combinacionales Índice Introducción... 5 Objetivos... 6. Fundamentos

Más detalles

TEMA 8: FUNCIONES. Primer Curso de Educación Secundaria Obligatoria. I.e.s. Fuentesaúco.

TEMA 8: FUNCIONES. Primer Curso de Educación Secundaria Obligatoria. I.e.s. Fuentesaúco. 009 TEMA 8: FUNCIONES. Primer Curso de Educación Secundaria Obligatoria. I.e.s. Fuentesaúco. Manuel González de León. mgdl 01/01/009 TEMA 08: FUNCIONES. 1. Correspondencia.. Funciones. 3. Representación

Más detalles

EJERCICIOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL EN VARIAS VARIABLES

EJERCICIOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL EN VARIAS VARIABLES UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA FACULTAD DE CIENCIAS ESCUELA DE MATEMÁTICA LABORATORIO DE FORMAS EN GRUPOS EJERCICIOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL EN VARIAS VARIABLES Ramón Bruzual Marisela Domínguez Caracas,

Más detalles

ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS

ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS Se ha trabajado con números complejos, polinomio y matrices y hemos efectuado con ellos ciertas operaciones: sin embargo no todas las operaciones se comportan de la misma manera,

Más detalles

Teoremas de Stokes y Gauss

Teoremas de Stokes y Gauss Lección 9 Teoremas de Stokes y Gauss Presentamos a continuación los dos resultados principales del Cálculo Vectorial. Por una parte, el Teorema de Stokes generaliza la fórmula de Green, estableciendo la

Más detalles

Hoja de Prácticas tema 3: Máximos y Mínimos

Hoja de Prácticas tema 3: Máximos y Mínimos Cálculo II EPS (Grado TICS) Curso 2012-2013 Hoja de Prácticas tema 3: Máximos y Mínimos 1. Hallar los puntos críticos de las funciones dadas y determinar cuáles son máximos locales, mínimos locales o puntos

Más detalles

1. Ejercicios propuestos

1. Ejercicios propuestos Coordinación de Matemática I (MAT0) Semestre de 05 er Semana 3: Guía de Ejercicios de Cálculo, lunes 3 viernes 7 de Marzo Contenidos Clase : Funciones: Dominio, recorrido, gráco. Ejemplos. Clase : Igualdad

Más detalles

Límite y continuidad de funciones de varias variables

Límite y continuidad de funciones de varias variables Límite y continuidad de funciones de varias variables 20 de marzo de 2009 1 Subconjuntos de R n y sus propiedades De nición 1. Dado x 2 R n y r > 0; la bola de centro x y radio r es B(x; r) = fy 2 R n

Más detalles

MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas

MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Tema Representación gráfica de funciones reales de una variable real Elaborado

Más detalles

GEOMETRÍA DEL ESPACIO EUCLÍDEO

GEOMETRÍA DEL ESPACIO EUCLÍDEO CAPÍTULO I. GEOMETRÍA DEL ESPACIO EUCLÍDEO SECCIONES 1. Vectores. Operaciones con vectores. 2. Rectas y planos en R 3. 3. Curvas y superficies en R 3. 4. Nociones de topología métrica. 1 1. VECTORES. OPERACIONES

Más detalles

Funciones Reales de Variable Real

Funciones Reales de Variable Real 1 Capítulo 6 Funciones Reales de Variable Real M.Sc. Alcides Astorga M., Lic. Julio Rodríguez S. Instituto Tecnológico de Costa Rica Escuela de Matemática Revista digital Matemática, educación e internet

Más detalles

SOLUCIONES. Variables: Función objetivo: F(x,y) = 500x + 2000y. Resumen de datos. A B Jazmín 15% 30% 60 Alcohol 20% 15% 50 500 pts 2000 pts

SOLUCIONES. Variables: Función objetivo: F(x,y) = 500x + 2000y. Resumen de datos. A B Jazmín 15% 30% 60 Alcohol 20% 15% 50 500 pts 2000 pts SOLUCIONES 27. (Puntuación máxima: 3 Puntos) Una empresa fabrica dos tipos de colonia: A y B. La 1ª contiene un 15% de extracto de jazmín, un 20% de alcohol y el resto es agua, y la 2ª lleva un 30% de

Más detalles

CALCULO I: Práctica 4 con la calculadora ClassPad 330

CALCULO I: Práctica 4 con la calculadora ClassPad 330 CALCULO I: Práctica 4 con la calculadora ClassPad 330 Objetivos: Requisitos: En esta práctica aprenderemos a utilizar la Aplicación Principal y la Aplicación Gráficos & Tablas del Menú de Aplicaciones

Más detalles

Espacios vectoriales y aplicaciones lineales

Espacios vectoriales y aplicaciones lineales Capítulo 3 Espacios vectoriales y aplicaciones lineales 3.1 Espacios vectoriales. Aplicaciones lineales Definición 3.1 Sea V un conjunto dotado de una operación interna + que llamaremos suma, y sea K un

Más detalles

Este documento ha sido generado para facilitar la impresión de los contenidos. Los enlaces a otras páginas no serán funcionales.

Este documento ha sido generado para facilitar la impresión de los contenidos. Los enlaces a otras páginas no serán funcionales. Este documento ha sido generado para facilitar la impresión de los contenidos. Los enlaces a otras páginas no serán funcionales. Introducción Por qué La Geometría? La Geometría tiene como objetivo fundamental

Más detalles

Práctica de Aplicaciones Lineales

Práctica de Aplicaciones Lineales practica5.nb 1 Práctica de Aplicaciones Lineales Aplicaciones lineales y matrices Las matrices también desempeñan un papel muy destacado en el estudio de las aplicaciones lineales entre espacios vectoriales

Más detalles

MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas

MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Universidad de ádiz Departamento de Matemáticas MATEMÁTIAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Tema 5 La circunferencia Elaborado por la Profesora Doctora María Teresa González

Más detalles

Extremos de varias variables

Extremos de varias variables Capítulo 1 Extremos de varias variables Problema 1 Encontrar los extremos absolutos de la función fx, y) = xy en el conjunto A = x, y) IR : x + y 4, x 5/}. Solución: En primer lugar representamos el conjunto

Más detalles

Introducción al cálculo con funciones de varias variables

Introducción al cálculo con funciones de varias variables Capítulo Introducción al cálculo con funciones de varias variables. Los conjuntos R, R,..., R n Ya hemos visto la definición del conjunto R de los números reales y hemos comprobado que su representación

Más detalles

I. RELACIONES Y FUNCIONES 1.1. PRODUCTO CARTESIANO { }

I. RELACIONES Y FUNCIONES 1.1. PRODUCTO CARTESIANO { } I. RELACIONES Y FUNCIONES PAREJAS ORDENADAS Una pareja ordenada se compone de dos elementos x y y, escribiéndose ( x, y ) donde x es el primer elemento y y el segundo elemento. Teniéndose que dos parejas

Más detalles

Apuntes de cálculo diferencial en una y varias variables reales. Eduardo Liz Marzán

Apuntes de cálculo diferencial en una y varias variables reales. Eduardo Liz Marzán Apuntes de cálculo diferencial en una y varias variables reales Eduardo Liz Marzán Diciembre de 2013 Índice general 1 Preliminares 1 11 Introducción 1 12 La relación de orden en el conjunto de los números

Más detalles

1 FUNCIONES DE R N EN R.

1 FUNCIONES DE R N EN R. 1 FUNCIONES DE R N EN R. 1. Idea de función. Si A R N, una función f : A R es una regla que asigna a cada punto x A un número f( x ) R. Ejemplos: Si x R 2 podemos considerar la función f( x )=(distancia

Más detalles

www.abaco.com.ve www.abrakadabra.com.ve www.miprofe.com.ve

www.abaco.com.ve www.abrakadabra.com.ve www.miprofe.com.ve Autor: José Arturo Barreto M.A. Páginas web: www.abaco.com.ve www.abrakadabra.com.ve www.miprofe.com.ve Correo electrónico: josearturobarreto@yahoo.com Capítulo I El Problema 1.1 Planteamiento del problema

Más detalles

Integral definida. 4. La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales (Propiedad de linealidad)

Integral definida. 4. La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales (Propiedad de linealidad) Integral definida Dada una función f(x) de variable real y un intervalo [a,b] R, la integral definida es igual al área limitada entre la gráfica de f(x), el eje de abscisas, y rectas x = a y x = b. bb

Más detalles

Aproximación local. Plano tangente. Derivadas parciales.

Aproximación local. Plano tangente. Derivadas parciales. Univ. de Alcalá de Henares Ingeniería de Telecomunicación Cálculo. Segundo parcial. Curso 004-005 Aproximación local. Plano tangente. Derivadas parciales. 1. Plano tangente 1.1. El problema de la aproximación

Más detalles

Apuntes de Matemática Discreta 9. Funciones

Apuntes de Matemática Discreta 9. Funciones Apuntes de Matemática Discreta 9. Funciones Francisco José González Gutiérrez Cádiz, Octubre de 004 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas ii Lección 9 Funciones Contenido 9.1 Definiciones y

Más detalles

CALCULO AVANZADO. Campos escalares. Límite y continuidad UCA FACULTAD DE CIENCIAS FISICOMATEMATICAS E INGENIERIA

CALCULO AVANZADO. Campos escalares. Límite y continuidad UCA FACULTAD DE CIENCIAS FISICOMATEMATICAS E INGENIERIA UCA FACULTAD DE CIENCIAS FISICOMATEMATICAS E INGENIERIA CALCULO AVANZADO SEGUNDO CUATRIMESTRE 8 TRABAJO PRÁCTICO 4 Campos escalares Límite continuidad Página de Cálculo Avanzado http://www.uca.edu.ar Ingeniería

Más detalles