Tema 1. VECTORES (EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO)

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1 Vectores Tema. VECTORES (EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO Definición de espacio vectorial Un conjunto E es un espacio vectorial si en él se definen dos operaciones, una interna (suma y otra externa (producto por números, cumpliendo las siguientes propiedades: Suma. a b b a. ( a b c a ( b c. a a 4. a ( a El vector es el neutro de la suma; producto de números reales. A cualquier elemento de E se le llama vector. Producto por números 5. ( a b a b 6. ( a a a 7. ( a ( a 8. a a a es el opuesto de a ; es el neutro, la unidad, del El espacio vectorial R El conjunto de los puntos del plano, R, es un espacio vectorial. Sus elementos son de la forma (a, b o (a, a. Las operaciones suma y producto por números se definen así: Suma: ( a, a ( b, b ( a b, a b Producto: a, a ( a, ( a (, 4 + 5(, (, = (, 4 + (5, 5 (, 6 = (5, 7 El espacio vectorial R El conjunto de los puntos del espacio, R, es un espacio vectorial. Sus elementos son de la forma (a, b, c o ( a, a, a Las operaciones suma y producto por números se definen así: Suma: a, a, a ( b, b, b ( a b, a b, a ( b ( a, a, a ( a, a, a Producto: (, 7, + (,, (, 4, 5 = (, , = (,, 5 El opuesto de (,, es (,, Observaciones:. No es difícil demostrar que las operaciones anteriores cumplen las propiedades de espacio vectorial. En todos los casos la demostración se apoya en las propiedades de las operaciones con números reales.. Otros espacios vectoriales son: el conjunto de polinomios de grado, por ejemplo; el conjunto de matrices de dimensión ;. En general, un vector es un conjunto ordenado de números ( a, a,..., an. Los números a, a,, a n se llaman componentes o coordenadas del vector. El número de componentes es su dimensión.

2 Vectores Vectores fijos y vectores libres (en el plano y en el espacio El vector que tiene por origen el punto A y por extremo el punto B, se llama vector fijo AB. Módulo del vector AB es la longitud del segmento AB. Se denota AB Dirección de AB es la de la recta que contiene a A y a B. Sentido de AB es el que indica el traslado de A a B. Dos vectores fijos son equipolentes si tienen el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido. Si AB y CD son equipolentes, entonces el polígono de vértices A, B, D y C (en ese orden es un paralelogramo. B B D P A C Vectores equipolentes A Vector libre O AB. Es de interés p OP Se llama vector libre a un vector y a todos los que son equipolentes a él; esto es, todos los que se obtienen trasladándolo (paralelamente. Entre ellos tiene especial importancia el que tiene su origen en el origen de coordenadas, en el punto O. Correspondencia entre puntos y vectores Entre puntos de R (o de R y vectores libres del plano (o del espacio existe una bisección: A cada vector AB, equipolente a OP, se le asocia el punto P. A cada punto P se le asocia el vector p OP. Se escribe, indistintamente, P ( a, a o p ( a, a ; y A a, a, o a a, a,. ( a ( a Interpretación geométrica de las operaciones con vectores libres Para obtener las coordenadas de la suma o del producto se procede como hemos hecho antes. Esto es, si: a ( a, a, a y b ( b, b, b, entonces: a b ( a, a, a ( b, b, b ( a b, a b, ab a b ( a, a, a ( b, b, b ( a b, a b, ab Observación: El vector BA a b ( a, a, a ( b, b, b. El vector AB b a ( b, b, b ( a, a, a a a, a,. Si > tiene el mismo sentido que a ; si <, sentido contrario. ( a

3 Vectores Si A = (,, y B = (,, 4, se tendrá: a = (,, ; b = (,, 4; BA a b = (,, (,, 4 = (,, 4 AB b a = (,, 4 (,, = (,, 4 a = (,, = (, 4, Dependencia e independencia lineal de vectores Combinación lineal de vectores Un vector a es combinación lineal de un conjunto v, v,... v n cuando se puede escribir en función de ellos; esto es, cuando a a v a v a n v... n, donde a i son números reales. También se dice que a depende linealmente de los vectores v, v,... v n. Los vectores a y ka son dependientes uno del otro: tienen la misma dirección; son paralelos; sus coordenadas son proporcionales. Al conjunto de vectores que dependen linealmente de los vectores v, v,... v n se le llama variedad lineal engendrada por ellos. Toda variedad lineal tiene estructura de espacio lineal. Más en concreto, toda variedad lineal es un susbespacio vectorial del espacio vectorial de referencia. Si a = (,, y b = (,, 4, todos los vectores de la forma c a b son combinación lineal (o dependen linealmente de a y b. Entre ellos: c a 4b = (,, 4(,, 4 = (,, 6. El conjunto de vectores de la forma c a b es un susbespacio de R. Estos vectores también se pueden escribir como c (,, (,, 4,, 4. Dando valores a y se obtienen los vectores de ese subespacio. El vector d = (5,, no depende linealmente de a = (,, y b = (,,, pues la primera coordenada, 5, no puede obtenerse a partir de dos ceros, que son la primera coordenada de cada uno de los vectores a y b. Por tanto, los vectores a, b y d son linealmente independientes. Podemos preguntarnos: qué valor debe tomar para que los vectores a = (,, y b = (4,, tengan la misma dirección? Como debe cumplirse que (,, = k (4,, k ; luego (. Si un vector no puede ponerse como combinación lineal de otros, se dice que es linealmente independiente de ellos. En general, un conjunto de vectores v, v,... v n es linealmente independiente si la igualdad v v... se cumple sólo cuando = =... = n =. n v n Si la igualdad anterior se puede cumplir con algún i, los vectores son linealmente dependientes. El vector de R es = (,,

4 Vectores 4 El conjunto de vectores {(,,, (,,, (,, } es linealmente independiente, pues la igualdad (,, + (,, + (,, = (,, solo se cumple si = ; = ; =. En efecto: (,, + (,, + (,, = (,, (,, + + = (,, = ; = ; = Los vectores a = (, y b = (, 4 son linealmente dependientes, pues b = a y, por tanto: a + b =. El conjunto de vectores {(,,, (,,, (,, } es linealmente dependiente, pues la relación (,, + (,, + (,, = (,, se cumple sin necesidad de que = ; = ; =. En efecto: (,, + (,, + (,, = (,, ( +,, + = (,,, que es un sistema con infinitas soluciones; por ejemplo: = ; = ; =. Puede verse también que (,, = (,, + (,,. Criterio para determinar la dependencia o independencia lineal de tres vectores del espacio. Aparte del método aplicado más arriba, el planteamiento y resolución de un sistema lineal, para comprobar si tres vectores del espacio son linealmente independientes, basta con resolver el determinante formado por los tres vectores. Si ese determinante vale cero, los vectores son linealmente dependientes; en caso contrario, serán linealmente independientes. Los vectores (,,, (,, y (,, son linealmente independientes, pues Los vectores (,,, (,, y (,, son linealmente dependientes, pues Observación: Este mismo método puede aplicarse para vectores de dimensión dos, de dimensión 4, o de cualquier dimensión. Interpretación geométrica de la dependencia lineal de vectores. En el plano: dos vectores son linealmente dependientes cuando son paralelos; en caso contrario, serán linealmente independientes. (Dados tres vectores del plano, siempre habrá uno que dependa de los otros dos. En el espacio: dos vectores son linealmente dependientes cuando son paralelos; tres vectores son linealmente dependientes cuando están en el mismo plano (si son coplanarios. Tres vectores son linealmente independientes si están en planos distintos. (Dados cuatro vectores del espacio, siempre habrá uno que dependa de los otros tres.

5 Vectores 5 Base de un espacio vectorial Una base de un espacio vectorial, E, es un conjunto de vectores, B =v, v,... v n todos de E, que cumple dos condiciones:. v, v,... v n son linealmente independientes; esto es, ninguno de ellos puede ponerse en función de los demás. v, v,.... Cualquier vector de E depende linealmente del conjunto v n. Bases de R Dos vectores que sean linealmente independientes (no nulos y no alineados o paralelos forman una base de R. Pueden darse infinitas bases para R. Si B =v,v es una base de R, y a av a v, a los números a y a se les llaman coordenadas de a respecto de v.,v Los vectores {(,, (, } forman una base de R, pues ni son nulos ni paralelos. El vector v = (, + (, tiene coordenadas (, respecto de esa base. Esta base no es operativa, no es clara, pues el vector que tiene, respecto de ella, por ejemplo las coordenadas ( 4, 5 es v = 4(, + 5(, = (6, 4; pero decir que las coordenadas del vector (6, 4 son ( 4, 5 es poco comprensible. La base canónica, usual, de R es B = u,u = {(,, (, }. Esta base tiene la ventaja de que las coordenadas de un vector se obtienen directamente Así, las coordenadas del vector v = ( 4, 5 son 4 y 5, pues: v = 4(, + 5(,. Esto permite representar fácilmente un vector mediante el sistema cartesiano. Bases de R Tres vectores que sean linealmente independientes (no nulos y no coplanarios forman una base de R. Pueden darse infinitas bases. Si B =v, v, v es una base de R, y a av a v av, a los números a, a y a se les llaman coordenadas de a respecto de v, v v., Los vectores {(,,, (,,, (,, }, estudiados antes, forman una base de R. El vector v = (,, + (,, + (,, tiene coordenadas (,, respecto de esa base. Esta base no es operativa, pues el vector que tiene, respecto de ella, las coordenadas (,, 5 es v = (,, (,, + 5(,, = (, 5, 6; pero decir que las coordenadas del vector (, 5, 6 son (,, 5 no es fácil de entender. La base canónica, usual, de R es B = u, u u, = {(,,, (,,, (,, }. Esta base tiene la ventaja de que las coordenadas de un vector se obtienen directamente. Así, las coordenadas del vector v = (,, 5 son, y 5, pues: v = (,, (,, + 5(,,. Nota: Si no se indica lo contrario, siempre se empleará la base canónica.

6 Vectores 6 La referencia usual en R Es O, u, u, u, siendo O el origen de coordenadas y u, u u los vectores de la base canónica. Así, al, punto A = ( a, a, a se le asocia el vector a au au au ; o bien : a ( a, a, a. Su representación gráfica se indica en la figura adjunta. Los ejes de coordenadas suelen denotarse con las letras x, y, z; también suele hablarse de eje OX, eje OY y eje OZ. Para el punto A dado, se tiene: x a, y a y z a. Aplicaciones (Optativo Ecuación vectorial de una recta Una recta queda definida dando uno de sus puntos y su vector de dirección. Si el punto es A a, a,, que lleva asociado el vector a a, a, ; y su vector de ( a ( a dirección es v = ( v, v, v, cualquier otro punto X r cumple: OX OA AX. Como el vector AX v, la ecuación vectorial de la recta es: x a v Designado X = (x, y, z, sustituyendo y operando se obtienen las ecuaciones paramétricas de la recta, que son: x a v r : y a v, z a v es un parámetro, que puede ser designado por cualquier otra letra: t, h Ecuación vectorial de la recta que para por dos puntos Si los puntos son A ( a, a, a y B ( b, b, b. Uno de los puntos determina la posición. El vector b a (o a b determina la dirección. Su ecuación será: x a ( b a. Las ecuaciones de la recta que pasa por el punto A = (,, y sigue la dirección del vector v x t = (,, 4, son: r y t z 4t La recta que pasa por los puntos A = (,, y B = (,,, es la que pasa por el punto A y lleva la dirección del vector AB = (,, (,, = (,,. Por tanto, sus x t ecuaciones paramétricas son: y. z t

7 Vectores 7 Ecuaciones de un plano. Un plano queda definido por tres de sus puntos (no alineados. Si las coordenadas de esos puntos son A ( a, a, a, B ( b, b, b y C ( c, c, c, la ecuación vectorial del plano es: : x a ( b a ( c a, que se obtiene observando que si X = (x, y, z, entonces: OX Sus ecuaciones paramétricas son: x a ( b a ( c a y a ( b a ( c a z a ( b a ( c a x a u v : y a u v z a u v OA AX = OA AB AC Si se eliminan los parámetros se obtiene la ecuación general del plano. x a u v y a z a u u v v : ax+ by + cz + d =. Sean los puntos A(,,, B(,,, C(, 5, y D(, 4,. a Prueba que los cuatro puntos están en el mismo plano. b Halla la ecuación de dicho plano. a Los cuatro puntos pertenecerán al mismo plano si los vectores AB, AC y AD son linealmente dependientes. Estos vectores son: AB = (,, (,, = (,, AC = (, 5, (,, = (,, AD = (, 4, (,, = (,, Como, los vectores, efectivamente, son linealmente dependientes. b El plano que determinan viene dado, por ejemplo, por los puntos A, B, C (por el punto A y por los vectores AB y AC. Su ecuación es: x t h x y t h y x y z z h z Observación: Puede verse que los cuatro puntos dados cumplen la ecuación del plano.

8 Vectores 8 Producto escalar de vectores Dados dos vectores v ( a, b, c y w ( a, b, c se define: Producto escalar ordinario v w v w cos( v, w Producto escalar canónico v w aa bb cc Ambas definiciones son equivalentes, pero la segunda es más operativa, siempre que los vectores vengan dados en función de la base canónica. Conviene observar que el producto escalar de dos vectores es un número real. Si v = (,, y w = (4, 5,, su producto escalar vale: v w = (,, (4, 5, = =. Algunas propiedades:. Conmutativa: v w w v. Distributiva: u ( v w u v u w. Para todo v : v v 4. Si v w v y w son perpendiculares. El módulo de un vector v ( a, b, c, se define como: v v v a b c El módulo de los vectores v = (,, y w = (4, 5, es: v ( 4 ; w Distancia entre dos puntos La distancia entre dos puntos A y B, d(a, B, es igual al módulo del vector AB. Si las coordenadas de esos puntos fuesen A = a, b, y B = a, b,, entonces AB = a a, b b, c ( c d(a, B = AB ( c a ( b b ( c ( a c Si A = (,, y B = (,, 4, la distancia, ( c d(a, B = ( ( ( (4 Observa que coincide con el módulo del vector AB b a = (,, 4 (,, = (,, 4 4 AB Observa también que: d(a, B = d(b, A = BA = ( ( ( ( 4.

9 Vectores 9 Coseno del ángulo que forman dos vectores De la primera definición del producto escalar, se deduce que: cos( v, w v w v w El coseno del ángulo que forman los vectores v = (,, y w = (4, 5, será: v w cos( v, w = ángulo ( v, w = arccos = 8,8º. v w Vectores ortogonales y vectores ortonormales. Dos vectores son ortogonales, perpendiculares, si su producto escalar vale cero. Si dos vectores ortogonales tienen módulo, se llaman ortonormales. Los vectores de módulo se llaman unitarios. Para cualquier vector a, el vector a a es unitario. Los vectores a = (,, 5 y b = (,, son ortogonales, pues a b = (,, 5 (,, = + 5 = La base canónica, B = u, u, u = {(,,, (,,, (,, }, es una base ortonormal, pues está formada por vectores unitarios, perpendiculares dos a dos. Dados los vectores a = (,, y b = (,,, los vectores a b = (,, (,, y (,, (,, a b son unitarios y ortogonales; por tanto, son ortonormales.

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