Definición operacional, independientemente de cualquier sistema de referencia

Transcripción

1 Carácter de las magnitudes físicas: Magnitudes escalares y vectoriales. Vectores unitarios, Operaciones con vectores. No todas las magnitudes físicas tienen las mismas características matemáticas El carácter de una magnitud física se puede definir mediante Definición operacional, independientemente de cualquier sistema de referencia Definición referencial, especificar sus características matemáticas en un sistema de referencia. Las magnitudes físicas pueden ser: Magnitudes escalares: viene especificada por un número (por ejemplo a) que es independiente de cualquier sistema de referencia. Esta definición es por tanto operacional. sólo admiten una definición operacional (masa, presión, temperatura, etc.) Podemos definir las siguientes operaciones entre escalares: Suma: c = a+b; Verifica las propiedades: Conmutativa: a+b = b+a Asociativa: a+(b+c) = (a+b)+c Elemento neutro: a+0 = a Elemento opuesto: a+a = 0 a = a La resta se define c = a b = a+( b) 25

2 producto: c = ab Verifica las propiedades: Conmutativa: ab = ba Asociativa: a(bc) = (ab)c Elemento neutro: a1 = a Elemento simétrico: aa = 1 a = a 1 La división se define c = a/b ab 1 Además cumple la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma a(b+c) = (ab)+(ac) El conjunto de los escalares así definido tiene por tanto estructura de cuerpo algebraico. Magnitudes pseudoescalares: caracterizadas por un número, que depende del sistema de referencia. Esta una definición referencial y sólo admiten este tipo de definición: Ej., las coordenadas x,y,z de un punto en el espacio. Magnitudes vectoriales: r o r, y admiten las dos definiciones: Operacional: Un vector viene caracterizado por un número (el módulo, r r) independiente del sistema de referencia, una dirección y un sentido. En este caso viene representado por un segmento orientado: 26

3 sentido B A modulo r=ab direccioń Además según esta definición tenemos: Vectores libres: todos los vectores con el mismo módulo, dirección y sentido, independientemente de su recta de acción (Se dice entonces que todos estos vectores son equipolentes y definen la clase de equipolencia vector libre). Vectores deslizantes: todos los vectores con mismo módulo, dirección y sentido y definidos en la misma recta de acción. Vectores fijos: dos vectores fijos son iguales si tienen el mismo módulo, dirección y sentido y el mismo punto de origen Cada magnitud vectorial, según su naturaleza, será representada por un tipo u otro de vector; y puede cambiar dependiendo de la circunstancia: una fuerza es un vector libre atendiendo a la aceleración que produce sobre el cuerpo y es deslizante cuando calculamos 27

4 su momento respecto de un punto. En lo sucesivo supondremos vectores libres, a menos que se especifique lo contrario. Suma geométrica de vectores: Así definida la suma de vectores, tiene las propiedades (Hacerlo como ejercicio) conmutativa: a+ b = b+ a, asociativa: ( a+ b)+ c = a+( b+ c); elemento neutro: a 0 a+ 0 = a; y elemento simétrico: a opuesto a = a a+ a = 0. Es decir, constituye un grupo abeliano. De la definición de suma geométrica de vectores se tiene además que el módulo del vector suma s = a+ b viene dado, en virtud del teorema del coseno, por s = a 2 + b 2 +2 a b cos( a, b) Notad que ES FALSO, en general, que s = a + b 28

5 Resta geométrica de vectores: De la definición de suma geométrica de vectores, se define la resta r = a b = a+( b) donde b es el opuesto de b. (Ejercicio: Representar gráficamente la resta de dos vectores y calcular, en virtud del teorema del coseno, cuánto vale su módulo). Multiplicación por un escalar: Dado un escalarλyun vector v se define la multiplicación del vector por el escalar y se denota como λ v al vector cuyo módulo es λ v = λ v, tiene la misma dirección que el vector v y sentido el mismo o el opuesto a v según el signo de λ. v w= λv Definido de esa forma el producto por un escalar verifica las propiedades: Asociativa: λ(µ v) = (λµ) v Distributiva respecto a la suma de escalares: (λ+µ) v = λ v +µ v Distributiva respecto a la suma de vectores: λ( v + w) = λ v + λ w Elemento neutro: λ v = v λ = 1 Cualquier conjunto V en el que se puedan definir operaciones anteriores de suma (es decir tenga estructura de grupo abeliano) y de multiplicación por un escalar (perteneciente a un cuerpo), si cumplen las propiedades que acabamos de estudiar para los vectores, se dice que es un espacio vectorial. Un vector que tiene módulo unidad se llama unitario, u tal que u = 1 u = λ v con 29

6 λ = 1 v, es unitario. Dadosnvectores{ a 1,..., a n }, ynescalares{λ 1,...,λ n } el vector a = λ 1 a λ n a n es una combinación lineal del conjunto de vectores { a i }. Diremos que los n vectores { a 1,..., a n } son linealmente independientes cuando λ 1 a λ n a n = 0 λ i = 0 i En caso contrario uno o más de los vectores del conjunto se puede poner como combinación lineal del resto (son linealmente dependientes). Si en un espacio vectorial no es posible encontrar más de n vectores linealmente independientes, se dice que es de dimensión n. Entonces, cualquier conjunto de n vectores linealmente independientes constituye una base del espacio vectorial V. Además si A = { a 1,..., a n } es una base del espacio vectorial, cualquier vector v V se puede expresar como combinación lineal de los vectores de la base (Ejercicio hacerlo). Producto escalar: c = a b = a b cosθ y geométricamente representa el producto del módulo de uno de los vectores por la proyección del otro sobre su recta de dirección: a 90 ο θ 90 ο Se tiene trivialmente que cosθ = a b a b b y debido a la propiedad conmutativa del cuerpo de los escalares a b = b a luego verifica la propiedad conmutativa. 30

7 Producto vectorial: Es un pseudovector con módulo c a b sen( a, b), dirección la perpendicular al plano que forman a y b y el sentido viene dado por la regla de la mano derecha o el del sacacorchos (ver dibujo): a ^b b θ h b sen θ=h S= a h= a ^b a b ^a De su definición se tiene que a b = b aluego no verifica la propiedad conmutativa. Referencial: Una magnitud vectorial viene expresada por tres números, componentes del vector r = (x 1,x 2,x 3 ) que dependen del sistema de referencia utilizado. Debemos de dar la ley de transformación de cómo cambian las componentes al cambiar el sistema de referencia. Sistema de referencia: En un espacio euclídeo de dimensión d, es d ejes cartesianos que se cortan en un punto O (origen) definidos por d versores (módulo unidad) perpendiculares entre sí y que forman la base de dicho espacio euclídeo. En d = 3 tenemos 31

8 r A r u 3 u 3 u 3 O u 1 u 2 u 1 u 1 u 2 u 2 { u 1, u 2, u 3 } u i = 1 u i u j = u i u j cos( u i, u j ) = δ ij producto escalar u i u j = cos( u i, u j ) a ij r = x 1 u 1 +x 2 u 2 +x 3 u 3 = x 1 u 1 +x 2 u 2 +x 3 u 3 multiplicando escalarmente por u i x i = j x j a ij (ley de transformación coordenadas) Ante un giro de ejes coordenados el módulo de un vector r = r r es invariante(ejercicio). En el espacio euclídeo tridimensional los tres versores de la base del espacio son i (eje x), j (eje y), (eje z) o también de la forma î, ĵ, ˆk, es decir r = x i+y j +z (6) 32

9 También se puede escribir r = r ˆr donde ˆr es el versor (o vector de módulo unidad) que tiene la misma dirección y sentido de r. ^ r r modulo r= r r^ Es fácil comprobar de la definición anterior y del producto escalar que, en función de sus componentes, se tiene r = r r = x 2 +y 2 +z 2 (Hacerlo como ejercicio) También se tiene de (6) y usando la notacion u i = { i, j, } que x i = r u i = r cos( r, u i ), es decir, las componentes son las proyecciones del vector r sobre cada una de las direcciones que definen los versores u i, y a cos( r, u i ) se le llaman cosenos directores, es decir son los cosenos de los ángulos que forma el vector r con cada uno de los ejes coordenados Operaciones entre vectores: Multiplicación por un escalar: Sean λ, escalar y v = v x i+v y j+v z, vector = w = λ v = w x i+w y j +w z = wi = λv i i = x,y,z 33

10 Suma de vectores: Dados a = a x i+a y j +a z = c = a+ b = c x i+c y j+c z = b = bx i+b y j +b z c i = a i +b i i = x,y,z Resta de vectores: Dados a = a x i+a y j +a z b = bx i+b y j +b z = c = a b = c x i + c y j + c z a+( 1) b = c i = a i b i i = x,y,z Producto escalar: Dados a = a x i+a y j +a z b = bx i+b y j +b z = c = a b a b cos( a, b). Se tiene trivialmente que en términos de las componentes se puede poner como (Ejercicio) c = a b = a x b x +a y b y +a z b z Producto vectorial: Dados a = a x i+a y j +a z b = bx i+b y j +b z = c = a b = a b - Es un pseudovector con módulo c a b sen( a, b), dirección la perpendicular al plano que forman a y b y el sentido viene dado por la regla de la mano derecha o el de avance de un sacacorchos. - Utilizando la regla de la mano derecha y la definción de producto vectorial se tiene: i j =, j = i, i = j, y i i = 0, j j = 0, = 0. - En términos de las componentes se tiene, utilizando las relaciones anteriores que 34

11 a b = i j a x a y a z b x b y b z de donde trivialmente se tiene la relación a b = b a Magnitudes Pseudovectoriales: Ya hemos introducido anteriormente un pseudovector, el producto vectorial de dos vectores: Desde un punto de vista operacional, un pseudovector no tiene definido un sentido. Se lo tenemos que asignar mediante un convenio como el de la mano derecha o la regla del sacacorchos. Desde un punto de vista referencial, una magnitud pseudovectorial es aquella que no covaría con el sistema en un cambio de axialidad. Es decir, las componentes del pseudovector van a cambiar de signo cuando cambiamos a otro sistema de referencia de diferente axialidad: i O k j i j=k ^ j O k i i ^j= k Vamos a verlo más claramente con la siguiente transformación reflexión en un espejo 35

12 Vector: y y v v las componentes son positivas en los dos casos 0 x Pseudovector: x 0 y w y el vector imagen no describe en este caso el movimiento las componentes cambian de signo 0 x x 0 w Las leyes de transformación para un pseudovector son exactamente las mismas que en el caso de los vectores. En este caso tendríamos x i = ± j x j a ij donde el (+) es para cuando no cambiamos de axialidad y el ( ) para cuando cambiamos la axialidad. 36