Definición operacional, independientemente de cualquier sistema de referencia

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Definición operacional, independientemente de cualquier sistema de referencia"

Transcripción

1 Carácter de las magnitudes físicas: Magnitudes escalares y vectoriales. Vectores unitarios, Operaciones con vectores. No todas las magnitudes físicas tienen las mismas características matemáticas El carácter de una magnitud física se puede definir mediante Definición operacional, independientemente de cualquier sistema de referencia Definición referencial, especificar sus características matemáticas en un sistema de referencia. Las magnitudes físicas pueden ser: Magnitudes escalares: viene especificada por un número (por ejemplo a) que es independiente de cualquier sistema de referencia. Esta definición es por tanto operacional. sólo admiten una definición operacional (masa, presión, temperatura, etc.) Podemos definir las siguientes operaciones entre escalares: Suma: c = a+b; Verifica las propiedades: Conmutativa: a+b = b+a Asociativa: a+(b+c) = (a+b)+c Elemento neutro: a+0 = a Elemento opuesto: a+a = 0 a = a La resta se define c = a b = a+( b) 25

2 producto: c = ab Verifica las propiedades: Conmutativa: ab = ba Asociativa: a(bc) = (ab)c Elemento neutro: a1 = a Elemento simétrico: aa = 1 a = a 1 La división se define c = a/b ab 1 Además cumple la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma a(b+c) = (ab)+(ac) El conjunto de los escalares así definido tiene por tanto estructura de cuerpo algebraico. Magnitudes pseudoescalares: caracterizadas por un número, que depende del sistema de referencia. Esta una definición referencial y sólo admiten este tipo de definición: Ej., las coordenadas x,y,z de un punto en el espacio. Magnitudes vectoriales: r o r, y admiten las dos definiciones: Operacional: Un vector viene caracterizado por un número (el módulo, r r) independiente del sistema de referencia, una dirección y un sentido. En este caso viene representado por un segmento orientado: 26

3 sentido B A modulo r=ab direccioń Además según esta definición tenemos: Vectores libres: todos los vectores con el mismo módulo, dirección y sentido, independientemente de su recta de acción (Se dice entonces que todos estos vectores son equipolentes y definen la clase de equipolencia vector libre). Vectores deslizantes: todos los vectores con mismo módulo, dirección y sentido y definidos en la misma recta de acción. Vectores fijos: dos vectores fijos son iguales si tienen el mismo módulo, dirección y sentido y el mismo punto de origen Cada magnitud vectorial, según su naturaleza, será representada por un tipo u otro de vector; y puede cambiar dependiendo de la circunstancia: una fuerza es un vector libre atendiendo a la aceleración que produce sobre el cuerpo y es deslizante cuando calculamos 27

4 su momento respecto de un punto. En lo sucesivo supondremos vectores libres, a menos que se especifique lo contrario. Suma geométrica de vectores: Así definida la suma de vectores, tiene las propiedades (Hacerlo como ejercicio) conmutativa: a+ b = b+ a, asociativa: ( a+ b)+ c = a+( b+ c); elemento neutro: a 0 a+ 0 = a; y elemento simétrico: a opuesto a = a a+ a = 0. Es decir, constituye un grupo abeliano. De la definición de suma geométrica de vectores se tiene además que el módulo del vector suma s = a+ b viene dado, en virtud del teorema del coseno, por s = a 2 + b 2 +2 a b cos( a, b) Notad que ES FALSO, en general, que s = a + b 28

5 Resta geométrica de vectores: De la definición de suma geométrica de vectores, se define la resta r = a b = a+( b) donde b es el opuesto de b. (Ejercicio: Representar gráficamente la resta de dos vectores y calcular, en virtud del teorema del coseno, cuánto vale su módulo). Multiplicación por un escalar: Dado un escalarλyun vector v se define la multiplicación del vector por el escalar y se denota como λ v al vector cuyo módulo es λ v = λ v, tiene la misma dirección que el vector v y sentido el mismo o el opuesto a v según el signo de λ. v w= λv Definido de esa forma el producto por un escalar verifica las propiedades: Asociativa: λ(µ v) = (λµ) v Distributiva respecto a la suma de escalares: (λ+µ) v = λ v +µ v Distributiva respecto a la suma de vectores: λ( v + w) = λ v + λ w Elemento neutro: λ v = v λ = 1 Cualquier conjunto V en el que se puedan definir operaciones anteriores de suma (es decir tenga estructura de grupo abeliano) y de multiplicación por un escalar (perteneciente a un cuerpo), si cumplen las propiedades que acabamos de estudiar para los vectores, se dice que es un espacio vectorial. Un vector que tiene módulo unidad se llama unitario, u tal que u = 1 u = λ v con 29

6 λ = 1 v, es unitario. Dadosnvectores{ a 1,..., a n }, ynescalares{λ 1,...,λ n } el vector a = λ 1 a λ n a n es una combinación lineal del conjunto de vectores { a i }. Diremos que los n vectores { a 1,..., a n } son linealmente independientes cuando λ 1 a λ n a n = 0 λ i = 0 i En caso contrario uno o más de los vectores del conjunto se puede poner como combinación lineal del resto (son linealmente dependientes). Si en un espacio vectorial no es posible encontrar más de n vectores linealmente independientes, se dice que es de dimensión n. Entonces, cualquier conjunto de n vectores linealmente independientes constituye una base del espacio vectorial V. Además si A = { a 1,..., a n } es una base del espacio vectorial, cualquier vector v V se puede expresar como combinación lineal de los vectores de la base (Ejercicio hacerlo). Producto escalar: c = a b = a b cosθ y geométricamente representa el producto del módulo de uno de los vectores por la proyección del otro sobre su recta de dirección: a 90 ο θ 90 ο Se tiene trivialmente que cosθ = a b a b b y debido a la propiedad conmutativa del cuerpo de los escalares a b = b a luego verifica la propiedad conmutativa. 30

7 Producto vectorial: Es un pseudovector con módulo c a b sen( a, b), dirección la perpendicular al plano que forman a y b y el sentido viene dado por la regla de la mano derecha o el del sacacorchos (ver dibujo): a ^b b θ h b sen θ=h S= a h= a ^b a b ^a De su definición se tiene que a b = b aluego no verifica la propiedad conmutativa. Referencial: Una magnitud vectorial viene expresada por tres números, componentes del vector r = (x 1,x 2,x 3 ) que dependen del sistema de referencia utilizado. Debemos de dar la ley de transformación de cómo cambian las componentes al cambiar el sistema de referencia. Sistema de referencia: En un espacio euclídeo de dimensión d, es d ejes cartesianos que se cortan en un punto O (origen) definidos por d versores (módulo unidad) perpendiculares entre sí y que forman la base de dicho espacio euclídeo. En d = 3 tenemos 31

8 r A r u 3 u 3 u 3 O u 1 u 2 u 1 u 1 u 2 u 2 { u 1, u 2, u 3 } u i = 1 u i u j = u i u j cos( u i, u j ) = δ ij producto escalar u i u j = cos( u i, u j ) a ij r = x 1 u 1 +x 2 u 2 +x 3 u 3 = x 1 u 1 +x 2 u 2 +x 3 u 3 multiplicando escalarmente por u i x i = j x j a ij (ley de transformación coordenadas) Ante un giro de ejes coordenados el módulo de un vector r = r r es invariante(ejercicio). En el espacio euclídeo tridimensional los tres versores de la base del espacio son i (eje x), j (eje y), (eje z) o también de la forma î, ĵ, ˆk, es decir r = x i+y j +z (6) 32

9 También se puede escribir r = r ˆr donde ˆr es el versor (o vector de módulo unidad) que tiene la misma dirección y sentido de r. ^ r r modulo r= r r^ Es fácil comprobar de la definición anterior y del producto escalar que, en función de sus componentes, se tiene r = r r = x 2 +y 2 +z 2 (Hacerlo como ejercicio) También se tiene de (6) y usando la notacion u i = { i, j, } que x i = r u i = r cos( r, u i ), es decir, las componentes son las proyecciones del vector r sobre cada una de las direcciones que definen los versores u i, y a cos( r, u i ) se le llaman cosenos directores, es decir son los cosenos de los ángulos que forma el vector r con cada uno de los ejes coordenados Operaciones entre vectores: Multiplicación por un escalar: Sean λ, escalar y v = v x i+v y j+v z, vector = w = λ v = w x i+w y j +w z = wi = λv i i = x,y,z 33

10 Suma de vectores: Dados a = a x i+a y j +a z = c = a+ b = c x i+c y j+c z = b = bx i+b y j +b z c i = a i +b i i = x,y,z Resta de vectores: Dados a = a x i+a y j +a z b = bx i+b y j +b z = c = a b = c x i + c y j + c z a+( 1) b = c i = a i b i i = x,y,z Producto escalar: Dados a = a x i+a y j +a z b = bx i+b y j +b z = c = a b a b cos( a, b). Se tiene trivialmente que en términos de las componentes se puede poner como (Ejercicio) c = a b = a x b x +a y b y +a z b z Producto vectorial: Dados a = a x i+a y j +a z b = bx i+b y j +b z = c = a b = a b - Es un pseudovector con módulo c a b sen( a, b), dirección la perpendicular al plano que forman a y b y el sentido viene dado por la regla de la mano derecha o el de avance de un sacacorchos. - Utilizando la regla de la mano derecha y la definción de producto vectorial se tiene: i j =, j = i, i = j, y i i = 0, j j = 0, = 0. - En términos de las componentes se tiene, utilizando las relaciones anteriores que 34

11 a b = i j a x a y a z b x b y b z de donde trivialmente se tiene la relación a b = b a Magnitudes Pseudovectoriales: Ya hemos introducido anteriormente un pseudovector, el producto vectorial de dos vectores: Desde un punto de vista operacional, un pseudovector no tiene definido un sentido. Se lo tenemos que asignar mediante un convenio como el de la mano derecha o la regla del sacacorchos. Desde un punto de vista referencial, una magnitud pseudovectorial es aquella que no covaría con el sistema en un cambio de axialidad. Es decir, las componentes del pseudovector van a cambiar de signo cuando cambiamos a otro sistema de referencia de diferente axialidad: i O k j i j=k ^ j O k i i ^j= k Vamos a verlo más claramente con la siguiente transformación reflexión en un espejo 35

12 Vector: y y v v las componentes son positivas en los dos casos 0 x Pseudovector: x 0 y w y el vector imagen no describe en este caso el movimiento las componentes cambian de signo 0 x x 0 w Las leyes de transformación para un pseudovector son exactamente las mismas que en el caso de los vectores. En este caso tendríamos x i = ± j x j a ij donde el (+) es para cuando no cambiamos de axialidad y el ( ) para cuando cambiamos la axialidad. 36

Definición de vectores

Definición de vectores Definición de vectores Un vector es todo segmento de recta dirigido en el espacio. Cada vector posee unas características que son: Origen: O también denominado Punto de aplicación. Es el punto exacto sobre

Más detalles

A.2. Notación y representación gráfica de vectores. Tipos de vectores.

A.2. Notación y representación gráfica de vectores. Tipos de vectores. Apéndice A: Vectores A.1. Magnitudes escalares y vectoriales Las magnitudes escalares son aquellas magnitudes físicas que quedan completamente definidas por un módulo (valor numérico) y la unidad de medida

Más detalles

Álgebra Vectorial. Principios de Mecánica. Licenciatura de Física. Curso 2007-2008. 1

Álgebra Vectorial. Principios de Mecánica. Licenciatura de Física. Curso 2007-2008. 1 Álgebra Vectorial Principios de Mecánica. Licenciatura de Física. Curso 2007-2008. 1 Indice. 1. Magnitudes Escalares y Vectoriales. 2. Vectores. 3. Suma de Vectores. Producto de un vector por un escalar.

Más detalles

Representación de un Vector

Representación de un Vector VECTORES Vectores Los vectores se caracterizan por tener una magnitud, expresable por un número real, una dirección y un sentido. Un ejemplo de vectores son los desplazamientos. Otro ejemplo de vectores

Más detalles

3.1 DEFINICIÓN. Figura Nº 1. Vector

3.1 DEFINICIÓN. Figura Nº 1. Vector 3.1 DEFINICIÓN Un vector (A) una magnitud física caracterizable mediante un módulo y una dirección (u orientación) en el espacio. Todo vector debe tener un origen marcado (M) con un punto y un final marcado

Más detalles

VECTORES EN EL PLANO

VECTORES EN EL PLANO VECTORES EN EL PLANO VECTOR: vectores libres Segmento orientado, con un origen y extremo. Módulo: es la longitud del segmento orientado, es un número positivo y su símbolo es a Dirección: es la recta que

Más detalles

Este documento ha sido generado para facilitar la impresión de los contenidos. Los enlaces a otras páginas no serán funcionales.

Este documento ha sido generado para facilitar la impresión de los contenidos. Los enlaces a otras páginas no serán funcionales. Este documento ha sido generado para facilitar la impresión de los contenidos. Los enlaces a otras páginas no serán funcionales. Introducción Por qué La Geometría? La Geometría tiene como objetivo fundamental

Más detalles

Vectores en el espacio

Vectores en el espacio Vectores en el espacio Un sistema de coordenadas tridimensional se construye trazando un eje Z, perpendicular en el origen de coordenadas a los ejes X e Y. Cada punto viene determinado por tres coordenadas

Más detalles

Apoyo para la preparación de los estudios de Ingeniería y Arquitectura Física (Preparación a la Universidad) Unidad 4: Vectores

Apoyo para la preparación de los estudios de Ingeniería y Arquitectura Física (Preparación a la Universidad) Unidad 4: Vectores Apoyo para la preparación de los estudios de Ingeniería y Arquitectura Física (Preparación a la Universidad) Unidad 4: Vectores Universidad Politécnica de Madrid 5 de marzo de 2010 2 4.1. Planificación

Más detalles

De acuerdo con sus características podemos considerar tres tipos de vectores:

De acuerdo con sus características podemos considerar tres tipos de vectores: CÁLCULO VECTORIAL 1. ESCALARES Y VECTORES 1.1.-MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES Existen magnitudes físicas cuyas cantidades pueden ser expresadas mediante un número y una unidad. Otras, en cambio, requieren

Más detalles

TEMA II ÁLGEBRA VECTORIAL; FUNDAMENTOS. 2.1.- Definicion, notacion y clasificacion de los vectores.

TEMA II ÁLGEBRA VECTORIAL; FUNDAMENTOS. 2.1.- Definicion, notacion y clasificacion de los vectores. J.A DÁVILA BAZ - J. PAJÓN PERMUY CÁLCULO VECTORIAL 29 UNIDAD DIDÁCTICA I: CÁLCULO VECTORIAL. TEMA II ÁLGEBRA VECTORIAL; FUNDAMENTOS 2.1.- Definicion, notacion y clasificacion de los vectores. Un vector

Más detalles

requerido). vectoriales, y operan según el Álgebra a continuación. 2.1.2 Vector. dirección. representados.

requerido). vectoriales, y operan según el Álgebra a continuación. 2.1.2 Vector. dirección. representados. 2.1 Vectores. 2.1.1 Introducción. Cuando queremos referirnos al tiempo que demanda un suceso determinado, nos basta con una magnitud (se demoró 3 segundos, saltó durante 1 minuto, volverá el próximo año,

Más detalles

a. Dibujar los paralelogramos completos, señalar los vértices con letras.

a. Dibujar los paralelogramos completos, señalar los vértices con letras. PRACTICO DE VECTORES 1. Dada la siguiente figura, se pide determinar vectores utilizando los vértices. Por ejemplo, el vector, el vector, etcétera. Se pide indicar a. Tres vectores que tengan la misma

Más detalles

1.1 CANTIDADES VECTORIALES Y ESCALARES. Definición de Magnitud

1.1 CANTIDADES VECTORIALES Y ESCALARES. Definición de Magnitud 1.1 CANTIDADES VECTORIALES Y ESCALARES Definición de Magnitud Atributo de un fenómeno, cuerpo o sustancia que puede ser distinguido cualitativamente y determinado cuantitativamente. También se entiende

Más detalles

Lección 2. Puntos, vectores y variedades lineales.

Lección 2. Puntos, vectores y variedades lineales. Página 1 de 11 Lección 2. Puntos, vectores y variedades lineales. Objectivos. En esta lección se repasan las nociones de punto y vector, y se identifican, via coordenadas, con los pares (ternas,...) de

Más detalles

SUMA Y RESTA DE VECTORES

SUMA Y RESTA DE VECTORES SUMA Y RESTA DE VECTORES Definición de vectores Un vector es la expresión que proporciona la medida de cualquier magnitud vectorial. Un vector es todo segmento de recta dirigido en el espacio. Cada vector

Más detalles

Vectores y álgebra vectorial

Vectores y álgebra vectorial 1. Notas Preliminares Vectores y álgebra vectorial Desde siempre, desde los primeros cursos de Física en educación media, venimos hablando de vectores como cantidades que tienen que ser representadas con

Más detalles

ESTÁTICA 2. VECTORES. Figura tomada de http://www.juntadeandalucia.es/averroes/~04001205/fisiqui/imagenes/vectores/473396841_e1de1dd225_o.

ESTÁTICA 2. VECTORES. Figura tomada de http://www.juntadeandalucia.es/averroes/~04001205/fisiqui/imagenes/vectores/473396841_e1de1dd225_o. ESTÁTICA Sesión 2 2 VECTORES 2.1. Escalares y vectores 2.2. Cómo operar con vectores 2.2.1. Suma vectorial 2.2.2. Producto de un escalar y un vector 2.2.3. Resta vectorial 2.2.4. Vectores unitarios 2.2.5.

Más detalles

1. ESCALARES Y VECTORES

1. ESCALARES Y VECTORES 1. ESCLRES Y VECTORES lgunas magnitudes físicas se especifican por completo mediante un solo número acompañado de su unidad, por ejemplo, el tiempo, la temperatura, la masa, la densidad, etc. Estas magnitudes

Más detalles

Vectores: Producto escalar y vectorial

Vectores: Producto escalar y vectorial Nivelación de Matemática MTHA UNLP 1 Vectores: Producto escalar y vectorial Versores fundamentales Dado un sistema de coordenadas ortogonales, se considera sobre cada uno de los ejes y coincidiendo con

Más detalles

Nivelación de Matemática MTHA UNLP 1. Vectores

Nivelación de Matemática MTHA UNLP 1. Vectores Nivelación de Matemática MTHA UNLP 1 1. Definiciones básicas Vectores 1.1. Magnitudes escalares y vectoriales. Hay magnitudes que quedan determinadas dando un solo número real: su medida. Por ejemplo:

Más detalles

CURSO BÁSICO DE FÍSICA MECÁNICA PROYECTO UNICOMFACAUCA TU PROYECTO DE VIDA

CURSO BÁSICO DE FÍSICA MECÁNICA PROYECTO UNICOMFACAUCA TU PROYECTO DE VIDA UNICOMFACAUCA TU DE VIDA Tabla de contenido... 2 PARTES DE UN VECTOR... 3 Notación... 5 Tipos de vectores... 5 Componentes de un vector... 6 Operaciones con vectores... 7 Suma de vectores... 7 Resta de

Más detalles

INTRODUCCIÓN ESCUELA DE INGENIERÍA CIVIL Parte de la matemática útil para físicos, matemáticos, ingenieros y técnicos. Permite presentar mediante las ecuaciones de modelo matemático diversas situaciones

Más detalles

VECTORES. Módulo, dirección y sentido de un vector fijo En un vector fijo se llama módulo del mismo a la longitud del segmento que lo define.

VECTORES. Módulo, dirección y sentido de un vector fijo En un vector fijo se llama módulo del mismo a la longitud del segmento que lo define. VECTORES El estudio de los vectores es uno de tantos conocimientos de las matemáticas que provienen de la física. En esta ciencia se distingue entre magnitudes escalares y magnitudes vectoriales. Se llaman

Más detalles

1.3 Concepto de vector fijo, ligado o localizado

1.3 Concepto de vector fijo, ligado o localizado Capítulo 1 VECTORES 1.1 Magnitud escalar Magnitud escalar es aquella cuya determinación solo requiere el conocimiento de un número real y de una unidad de medida. El número indica la cantidad de veces

Más detalles

Tema 1. VECTORES (EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO)

Tema 1. VECTORES (EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO) Vectores Tema. VECTORES (EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO Definición de espacio vectorial Un conjunto E es un espacio vectorial si en él se definen dos operaciones, una interna (suma y otra externa (producto

Más detalles

Sistemas de vectores deslizantes

Sistemas de vectores deslizantes Capítulo 1 Sistemas de vectores deslizantes 1.1. Vectores. Álgebra vectorial. En Física, se denomina magnitud fsica (o simplemente, magnitud) a todo aquello que es susceptible de ser cuantificado o medido

Más detalles

Vectores en el plano

Vectores en el plano Vectores en el plano Magnitudes escalares y vectoriales En las aplicaciones de las Matemáticas, se denominan magnitudes escalares a todas aquellas propiedades de las cosas que se pueden medir; esto es,

Más detalles

1. Vectores 1.1. Definición de un vector en R2, R3 (Interpretación geométrica), y su generalización en Rn.

1. Vectores 1.1. Definición de un vector en R2, R3 (Interpretación geométrica), y su generalización en Rn. 1. VECTORES INDICE 1.1. Definición de un vector en R 2, R 3 (Interpretación geométrica), y su generalización en R n...2 1.2. Operaciones con vectores y sus propiedades...6 1.3. Producto escalar y vectorial

Más detalles

VECTORES. Abel Moreno Lorente. February 3, 2015

VECTORES. Abel Moreno Lorente. February 3, 2015 VECTORES Abel Moreno Lorente February 3, 015 1 Aspectos grácos. 1.1 Deniciones. Un vector entre dos puntos A y B es el segmento de recta orientado que tiene su origen en A y su extremo en B. A este vector

Más detalles

TEMA 1. VECTORES Y MATRICES

TEMA 1. VECTORES Y MATRICES TEMA 1. VECTORES Y MATRICES 1.1. Definición de vector. Operaciones elementales 1.2. Matrices. Operaciones elementales 1.3. Traza y Determinante 1.4. Aplicaciones 1.1. DEFINICIÓN DE VECTOR. OPERACIONES

Más detalles

CAPITULO 2 MATEMÁTICAS PARA LA FÍSICA. extremo. origen. 2.1.2 Vector. 2.1 Vectores. 2.1.1 Introducción.

CAPITULO 2 MATEMÁTICAS PARA LA FÍSICA. extremo. origen. 2.1.2 Vector. 2.1 Vectores. 2.1.1 Introducción. CPITULO 2 MTEMÁTICS PR L FÍSIC 2.1 Vectores. 2.1.1 Introducción. Cuando queremos referirnos al tiempo que demanda un suceso determinado, nos basta con una magnitud (se demoró 3 segundos, saltó durante

Más detalles

VECTORES: VOCABULARIO 1. Abscisa de un punto. 2. Ordenada de un punto. 3. Concepto de vector. 4. Coordenadas o componentes de un vector. 5.

VECTORES: VOCABULARIO 1. Abscisa de un punto. 2. Ordenada de un punto. 3. Concepto de vector. 4. Coordenadas o componentes de un vector. 5. VECTORES: VOCABULARIO 1. Abscisa de un punto. 2. Ordenada de un punto. 3. Concepto de vector. 4. Coordenadas o componentes de un vector. 5. Elementos de un vector. 6. Concepto de origen de un vector. 7.

Más detalles

Javier Junquera. Vectores

Javier Junquera. Vectores Javier Junquera Vectores Cómo describir la posición de un punto en el espacio: Sistemas de coordenadas Un sistema de coordenadas que permita especificar posiciones consta de: Un punto de referencia fijo,

Más detalles

VECTORES MAGNITUDES ESCALARES Y MAGNITUDES VECTORIALES.

VECTORES MAGNITUDES ESCALARES Y MAGNITUDES VECTORIALES. VECTORES ING. MARTA LIDIA MERLOS ARAGÓN Resumen. Los vectores son de vital importancia para el estudio de la Estática, la Dinámica, Mecánica de los Fluidos, Electricidad magnetismo, entre otras aplicaciones

Más detalles

_ Antología de Física I. Unidad II Vectores. Elaboró: Ing. Víctor H. Alcalá-Octaviano

_ Antología de Física I. Unidad II Vectores. Elaboró: Ing. Víctor H. Alcalá-Octaviano 24 Unidad II Vectores 2.1 Magnitudes escalares y vectoriales Unidad II. VECTORES Para muchas magnitudes físicas basta con indicar su valor para que estén perfectamente definidas y estas son las denominadas

Más detalles

OPERACIONES ELEMENTALES CON VECTORES

OPERACIONES ELEMENTALES CON VECTORES VECTORES EN 3D (O EN R 3) Presentación: este apunte te servirá para repasar y asimilar que son los vectores en un espacio tridimensional, sólo hablamos de los vectores como se utilizan en Álgebra, para

Más detalles

Teoría Tema 5 Espacios vectoriales

Teoría Tema 5 Espacios vectoriales página 1/14 Teoría Tema 5 Espacios vectoriales Índice de contenido Puntos en 2 y 3 dimensiones...2 Vectores en el plano...5 Suma de vectores...7 Combinación lineal de vectores...8 Sistema generador...10

Más detalles

Algebra Lineal -III: Álgebra Vectorial en R2 and R 3

Algebra Lineal -III: Álgebra Vectorial en R2 and R 3 Algebra Lineal -III: Álgebra Vectorial en R2 and R 3 José María Rico Martínez Departamento de Ingeniería Mecánica División de Ingeniería, Campus Irapuato-Salamanca Universidad de Guanajuato email: jrico@ugto.mx

Más detalles

Capítulo 9 Vectores en el espacio

Capítulo 9 Vectores en el espacio Capítulo 9 Vectores en el espacio Introducción El concepto de vector es muy amplio y su aplicación se evidencia en los diferentes campos de las ciencias. En matemáticas, un vector es un elemento de una

Más detalles

Relaciones binarias. ( a, b) = ( c, d) si y solamente si a = c y b = d

Relaciones binarias. ( a, b) = ( c, d) si y solamente si a = c y b = d Relaciones binarias En esta sección estudiaremos formalmente las parejas de objetos que comparten algunas características o propiedades en común. La estructura matemática para agrupar estas parejas en

Más detalles

Vectores. Las cantidades físicas que estudiaremos en los cursos de física son escalares o vectoriales.

Vectores. Las cantidades físicas que estudiaremos en los cursos de física son escalares o vectoriales. Cantidades vectoriales escalares Vectores Las cantidades físicas que estudiaremos en los cursos de física son escalares o vectoriales. Una cantidad escalar es la que está especificada completamente por

Más detalles

Estructuras algebraicas

Estructuras algebraicas Tema 2 Estructuras algebraicas básicas 2.1. Operación interna Definición 29. Dados tres conjuntos A, B y C, se llama ley de composición en los conjuntos A y B y resultado en el conjunto C, y se denota

Más detalles

Unidad I: Algebra de vectores

Unidad I: Algebra de vectores Unidad I: Algebra de vectores 1.1 Definición de un vector en R2, R3 y su Interpretación geométrica Ejemplo: El segmento dirigido, donde P(2,3) y Q(5,10), es equivalente al Vector, donde las componentes

Más detalles

Unidad 4: Vectores. 4.1 Introducción. 4.2 Vectores: enfoque geométrico

Unidad 4: Vectores. 4.1 Introducción. 4.2 Vectores: enfoque geométrico Unidad 4: Vectores 4.1 Introducción En este capítulo daremos el concepto de vector, el cual es una herramienta fundamental tanto para la física como para la matemática. La historia de los vectores se remonta

Más detalles

FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS, INGENIERÍA Y AGRIMENSURA. Escuela de Formación Básica - Departamento de Matemática. Álgebra y Geometría I.

FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS, INGENIERÍA Y AGRIMENSURA. Escuela de Formación Básica - Departamento de Matemática. Álgebra y Geometría I. FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS, INGENIERÍA Y AGRIMENSURA Escuela de Formación Básica - Departamento de Matemática Álgebra y Geometría I Vectores Raúl D. Katz 2010 1. Introducción Este material es una ampliación

Más detalles

1 El espacio vectorial R n.

1 El espacio vectorial R n. Manuel Gutiérrez Departamento de Álgebra, Geometría y Topología Universidad de Málaga February 26, 2009 1 El espacio vectorial R n. La estructura de espacio vectorial es posiblemente la estructura más

Más detalles

Tema 0. REPASO. Javier Rodríguez Ruiz. Curso 2013-2014

Tema 0. REPASO. Javier Rodríguez Ruiz. Curso 2013-2014 Tema 0. REPASO Javier Rodríguez Ruiz Curso 2013-2014 1. Afirmaciones científicas 1.1. Los tres tipos de afirmaciones En toda teoría científica utilizamos afirmaciones que siempre consideraremos ciertas.

Más detalles

Tema 3. Espacios vectoriales

Tema 3. Espacios vectoriales Tema 3. Espacios vectoriales Estructura del tema. Definición y propiedades. Ejemplos. Dependencia e independencia lineal. Conceptos de base y dimensión. Coordenadas Subespacios vectoriales. 0.1. Definición

Más detalles

REPASO DE VECTORES GRM Semestre 2013-1

REPASO DE VECTORES GRM Semestre 2013-1 REPASO DE VECTORES GRM Semestre 2013-1 Basado en material de Serway-Jewett, Physics, Chapters 3, 6,10; Volume 1. Bauer-Westfall, Fisica para ingeniería y ciencias, caps. 1, 5 y 10, Volumen 1 Tipler-Mosca,

Más detalles

Álgebra lineal y matricial

Álgebra lineal y matricial Capítulo Álgebra lineal y matricial.. Vectores y álgebra lineal Unconjuntodennúmerosreales(a,,a n )sepuederepresentar: como un punto en el espacio n-dimensional; como un vector con punto inicial el origen

Más detalles

Estática. Vectores de Fuerzas

Estática. Vectores de Fuerzas Estática 2 Vectores de Fuerzas Objetivos Regla del paralelogramo. Vectores en forma cartesiana. Producto escalar y ángulo entre 2 vectores. Índice 1. Escalares y vectores. 2. Operaciones con vectores.

Más detalles

APUNTES DE MATEMÁTICAS TEMA 4: VECTORES 1º BACHILLERATO

APUNTES DE MATEMÁTICAS TEMA 4: VECTORES 1º BACHILLERATO APUNTES DE MATEMÁTICAS TEMA 4: VECTORES 1º BACHILLERATO ÍNDICE VECTORES EN EL PLANO... 3 Vector Fijo... 3 VECTOR LIBRE... 3 Operaciones con Vectores... 3 Suma de vectores... 3 Producto de un número por

Más detalles

ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS

ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS Fundamentos de la Matemática 1 Operaciones Binarias Dado un conjunto A, A, decimos que es una operación binaria en A si, y sólo si, : A A A es una función. Investigar si los siguientes son ejemplos de

Más detalles

INTRODUCCIÓN A VECTORES Y MAGNITUDES

INTRODUCCIÓN A VECTORES Y MAGNITUDES C U R S O: FÍSIC Mención MTERIL: FM-01 INTRODUCCIÓN VECTORES Y MGNITUDES La Física tiene por objetivo describir los fenómenos que ocurren en la naturaleza, a través de relaciones entre magnitudes físicas.

Más detalles

ALGEBRA DE VECTORES Y MATRICES VECTORES

ALGEBRA DE VECTORES Y MATRICES VECTORES ALGEBRA DE VECTORES Y MATRICES VECTORES DEFINICIÓN DE ESCALAR: Cantidad física que queda representada mediante un número real acompañado de una unidad. EJEMPLOS: Volumen Área Densidad Tiempo Temperatura

Más detalles

Vectores en el plano con punto inicial fijo

Vectores en el plano con punto inicial fijo Vectores en el plano con punto inicial fijo bjetivos. Considerar el conjunto V 2 () de los vectores en el plano euclidiano (también llamados segmentos dirigidos o flechas) con un punto inicial fijo. Definir

Más detalles

Capítulo 1. Vectores en el plano. 1.1. Introducción

Capítulo 1. Vectores en el plano. 1.1. Introducción Índice general 1. Vectores en el plano 2 1.1. Introducción.................................... 2 1.2. Qué es un vector?................................ 3 1.2.1. Dirección y sentido............................

Más detalles

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE BAJA CALIFORNIA FACULTAD DE INGENIERÍA MEXICALI

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE BAJA CALIFORNIA FACULTAD DE INGENIERÍA MEXICALI PROGRAMA EDUCATIVO PLAN DE ESTUDIO CLAVE DE UNIDAD DE APRENDIZAJE NOMBRE DE LA UNIDAD DE APRENDIZAJE Tronco Común 2009-2 11211 Álgebra Lineal PRÁCTICA No. NOMBRE DE LA PRÁCTICA DURACIÓN (HORAS) 7 Producto

Más detalles

Vectores, Rectas y Planos. http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/

Vectores, Rectas y Planos. http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/ Vectores, Rectas y Planos. http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/ Walter Mora F. wmora2@yahoo.com.mx Centro de Recursos Virtuales - CRV Reista digital Matemática, Educación e Internet Escuela de Matemática

Más detalles

Geometría analítica. Impreso por Juan Carlos Vila Vilariño Centro I.E.S. PASTORIZA

Geometría analítica. Impreso por Juan Carlos Vila Vilariño Centro I.E.S. PASTORIZA Conoce los vectores, sus componentes y las operaciones que se pueden realizar con ellos. Aprende cómo se representan las rectas y sus posiciones relativas. Impreso por Juan Carlos Vila Vilariño Centro

Más detalles

Ejemplos: Sean los conjuntos: A = { aves} B = { peces } C = { anfibios }

Ejemplos: Sean los conjuntos: A = { aves} B = { peces } C = { anfibios } La Teoría de Conjuntos es una teoría matemática, que estudia básicamente a un cierto tipo de objetos llamados conjuntos y algunas veces, a otros objetos denominados no conjuntos, así como a los problemas

Más detalles

TEMA 7 GEOMETRÍA ANALÍTICA

TEMA 7 GEOMETRÍA ANALÍTICA Nueva del Carmen, 35. 470 Valladolid. Tel: 983 9 63 9 Fax: 983 89 96 TEMA 7 GEOMETRÍA ANALÍTICA. Objetivos / Criterios de evaluación O.7. Concepto y propiedades de los vectores O.7. Operaciones con vectores:

Más detalles

3 Espacios Vectoriales

3 Espacios Vectoriales Prof. Susana López 31 3 Espacios Vectoriales 3.1 Introducción Un ector fijo en el plano no es más que un segmento orientado en el que hay que distinguir tres características: -dirección: la de la recta

Más detalles

ÁLGEBRA LINEAL. Apuntes elaborados por. Juan González-Meneses López. Curso 2008/2009. Departamento de Álgebra. Universidad de Sevilla.

ÁLGEBRA LINEAL. Apuntes elaborados por. Juan González-Meneses López. Curso 2008/2009. Departamento de Álgebra. Universidad de Sevilla. ÁLGEBRA LINEAL Apuntes elaborados por Juan González-Meneses López. Curso 2008/2009 Departamento de Álgebra. Universidad de Sevilla. Índice general Tema 1. Matrices. Determinantes. Sistemas de ecuaciones

Más detalles

INTRODUCCION A LA FISICA NEWTONIANA Manuscrito de cátedra

INTRODUCCION A LA FISICA NEWTONIANA Manuscrito de cátedra INTRODUCCION A LA FISICA NEWTONIANA Manuscrito de cátedra ADVERTENCIA: manuscrito en estado de preparación muy preliminar, particularmente en lo que respecta a la secuencia temática, orden y terminación

Más detalles

Apuntes de Mecánica Newtoniana Cinemática de la Partícula

Apuntes de Mecánica Newtoniana Cinemática de la Partícula Apuntes de Mecánica Newtoniana Cinemática de la Partícula Ariel Fernández Daniel Marta Introducción. En este capítulo se introducirán los elementos necesarios para la descripción del movimiento de una

Más detalles

Elementos de álgebra vectorial

Elementos de álgebra vectorial Hier auf glatten Felsenwegen laufe ich tanzend dir entgegen, tanzend wie Du pfeifst und singst : der Du ohne Schiff und Ruder, als der Freiheit frei ster Bruder ueber wilde Meere springst. Friedrich Nietzsche

Más detalles

INTRO. VECTORES. NÚM. COMPLEJOS

INTRO. VECTORES. NÚM. COMPLEJOS INTRO. VECTORES. NÚM. COMPLEJOS El presente tema se dedicará al estudio de los conceptos de vectores y números complejos. Se comenzará con un pequeño estudio de los vectores del plano y sus propiedades

Más detalles

Operaciones con vectores y matrices ECONOMETRÍA I OPERACIONES CON VECTORES Y MATRICES. Ana Morata Gasca

Operaciones con vectores y matrices ECONOMETRÍA I OPERACIONES CON VECTORES Y MATRICES. Ana Morata Gasca ECONOMETRÍA I OPERACIONES CON VECTORES Y MATRICES Ana Morata Gasca 1 DEFINICIÓN DE VECTOR Un vector es todo segmento de recta dirigido en el espacio. CARACTERÍSTICAS DE UN VECTOR Origen o Punto de aplicación:

Más detalles

Comenzaremos recordando algunas definiciones y propiedades estudiadas en el capítulo anterior.

Comenzaremos recordando algunas definiciones y propiedades estudiadas en el capítulo anterior. Capítulo 2 Matrices En el capítulo anterior hemos utilizado matrices para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales y hemos visto que, para n, m N, el conjunto de las matrices de n filas y m columnas

Más detalles

Te damos los elementos básicos de los vectores para que puedas entender las operaciones básicas.

Te damos los elementos básicos de los vectores para que puedas entender las operaciones básicas. 4 año secundario Vectores, refrescando conceptos adquiridos Te damos los elementos básicos de los vectores para que puedas entender las operaciones básicas. El término vector puede referirse al: concepto

Más detalles

VECTORES: DERIVADAS E INTEGRALES

VECTORES: DERIVADAS E INTEGRALES VECTOES: DEIVADAS E INTEGALES ( ), calcular: Siendo el vector de componentes 1, sen( t), cos t Solución: I.T.I. 93, I.T.T. 05 Derivando componente a componente: ( 0, cos( t), sen t (1) ) Derivando de nuevo:

Más detalles

ESTATICA: TIPOS DE MAGNITUDES: CARACTERÍSTICAS DE UN VECTOR. Rama de la física que estudia el equilibrio de los cuerpos.

ESTATICA: TIPOS DE MAGNITUDES: CARACTERÍSTICAS DE UN VECTOR. Rama de la física que estudia el equilibrio de los cuerpos. ESTATICA: Rama de la física que estudia el equilibrio de los cuerpos. TIPOS DE MAGNITUDES: MAGNITUD ESCALAR: Es una cantidad física que se especifica por un número y una unidad. Ejemplos: La temperatura

Más detalles

VECTORES vector Vector posición par ordenado A(a, b) representa geométricamente segmento de recta dirigido componentes del vector

VECTORES vector Vector posición par ordenado A(a, b) representa geométricamente segmento de recta dirigido componentes del vector VECTORES Un vector (Vector posición) en el plano es un par ordenado de números reales A(a, b). Se representa geométricamente por un segmento de recta dirigido, cuyo punto inicial es el origen del sistema

Más detalles

Vectores. a) Para que sean linealmente dependientes, el determinante formado por los tres vectores ha de valer cero.

Vectores. a) Para que sean linealmente dependientes, el determinante formado por los tres vectores ha de valer cero. Vectores. Dados los vectores a y b del espacio. Siempre es posible encontrar otro vector c tal que multiplicado vectorialmente por a nos de el vector b?. Por que?. No siempre será posible. El vector a

Más detalles

TEMA 7 VECTORES MATEMÁTICAS I 1º Bach. 1

TEMA 7 VECTORES MATEMÁTICAS I 1º Bach. 1 TEMA 7 VECTORES MATEMÁTICAS I º Bach. TEMA 7 VECTORES 7. LOS VECTORES Y SUS OPERACIONES DEFINICIÓN Un ector es un segmento orientado. Un ector AB queda determinado por dos puntos, origen A y extremo B.

Más detalles

MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES

MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES CPITULO II MGNITUDES ESCLRES Y VECTORILES 1 CONTENIDO 1. VECTORES Y ESCLRES 2. ELEMENTOS DE UN VECTOR, CONCEPTO DE DIRECCION Y SENTIDO 3. LGEBR DE VECTORES 4. METODOS GRFICOS Y NLITICOS 5. COMPOSICION

Más detalles

Operaciones lineales en R 3 y sus propiedades

Operaciones lineales en R 3 y sus propiedades Operaciones lineales en R 3 y sus propiedades Ejercicios Objetivos. Aprender a demostrar propiedades de las operaciones lineales en R 3. Requisitos. Conjunto de los números reales R, propiedades de las

Más detalles

TEST SOLUCIONADOS DE FÍSICA, DESDE LA ENSEÑANZA SECUNDARIA HASTA LA UNIVERSIDAD

TEST SOLUCIONADOS DE FÍSICA, DESDE LA ENSEÑANZA SECUNDARIA HASTA LA UNIVERSIDAD TEST SOLUCIONADOS DE FÍSICA, DESDE LA ENSEÑANZA SECUNDARIA HASTA LA UNIVERSIDAD 1. CÁLCULO VECTORIAL Y CINEMÁTICA 1.1. Nociones de cálculo vectorial 1.2. Vector de posición, velocidad y aceleración 1.3.

Más detalles

Estructuras Algebraicas Una estructura algebraica es un objeto matemático consistente en un conjunto no vacío, con por lo menos una operación binaria.

Estructuras Algebraicas Una estructura algebraica es un objeto matemático consistente en un conjunto no vacío, con por lo menos una operación binaria. Estructuras Algebraicas Una estructura algebraica es un objeto matemático consistente en un conjunto no vacío, con por lo menos una operación binaria. Operación Binaria Se conoce una operación binaria

Más detalles

Capitán de fragata ingeniero AGUSTÍN E. GONZÁLEZ MORALES. ÁLGEBRA PARA INGENIEROS (Solucionario)

Capitán de fragata ingeniero AGUSTÍN E. GONZÁLEZ MORALES. ÁLGEBRA PARA INGENIEROS (Solucionario) Capitán de fragata ingeniero AGUSTÍN E. GONZÁLEZ MORALES ÁLGEBRA PARA INGENIEROS (Solucionario) 2 Í N D I C E CAPÍTULO : MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CAPÍTULO 2: ESPACIOS VECTORIALES

Más detalles

1. SISTEMAS DE FUERZAS

1. SISTEMAS DE FUERZAS 1. SISTEMS DE UERZS 1.1 MGNITUDES VECTRILES 1.1.1 Unidades Toda magnitud, sea escalar o vectorial, posee unidades, que constituen una información fundamental siempre deben indicarse (cuánto de qué). Sin

Más detalles

CAPÍTULO II. 2 El espacio vectorial R n

CAPÍTULO II. 2 El espacio vectorial R n CAPÍTULO II 2 El espacio vectorial R n A una n upla (x 1, x 2,..., x n ) de números reales se le denomina vector de n coordenadas o, simplemente, vector. Por ejemplo, el par ( 3, 2) es un vector de R 2,

Más detalles

Ejercicios resueltos de vectores

Ejercicios resueltos de vectores Ejercicios resueltos de vectores 1) Sean a(2,-1,3), b(3,0,-2) y c(-2,-2,1), realiza las siguientes operaciones con vectores: a) 3a + b - c b) a -2b c) a c 2) Utilizando los vectores del ejercicio 1, comprueba

Más detalles

TEMA 1. MAGNITUDES Y UNIDADES

TEMA 1. MAGNITUDES Y UNIDADES TEMA 1. MAGNITUDES Y UNIDADES 1.1 Unidades Toda magnitud física debe llevar asociadas sus unidades. Es fundamental para el método científico que las medidas sean reproducibles y, para que esto sea posible,

Más detalles

Vectores. Observación: 1. Cantidades vectoriales.

Vectores. Observación: 1. Cantidades vectoriales. Vectores. 1. Cantidades vectoriales. Los vectores se definen como expresiones matemáticas que poseen magnitud y dirección, y que se suman de acuerdo con la ley del paralelogramo. Los vectores se representan,

Más detalles

Segundo de Bachillerato Geometría en el espacio

Segundo de Bachillerato Geometría en el espacio Segundo de Bachillerato Geometría en el espacio Jesús García de Jalón de la Fuente IES Ramiro de Maeztu Madrid 204-205. Coordenadas de un vector En el conjunto de los vectores libres del espacio el concepto

Más detalles

GEOMETRÍA. Septiembre 94. Determinar la ecuación del plano que pasa por el punto M (1,0, la recta x 1 y z

GEOMETRÍA. Septiembre 94. Determinar la ecuación del plano que pasa por el punto M (1,0, la recta x 1 y z GEOMETRÍA Junio 94. 1. Sin resolver el sistema, determina si la recta x 3y + 1 = 0 es exterior, secante ó tangente a la circunferencia (x 1) (y ) 1. Razónalo. [1,5 puntos]. Dadas las ecuaciones de los

Más detalles

MATEMÁTICAS II. Departamento de Matemáticas I.E.S. A Xunqueira I (Pontevedra)

MATEMÁTICAS II. Departamento de Matemáticas I.E.S. A Xunqueira I (Pontevedra) MATEMÁTICAS II 1 José M. Ramos González Este libro es totalmente gratuito y solo vale la tinta y el papel en que se imprima. Es de libre divulgación y no está sometido a ningún copyright. Tan solo se

Más detalles

El espacio tridimensional. Tema 01: Álgebra lineal y geometría en R 3. Vectores. El producto punto o producto escalar. Teorema

El espacio tridimensional. Tema 01: Álgebra lineal y geometría en R 3. Vectores. El producto punto o producto escalar. Teorema El espacio tridimensional Tema 01: Álgebra lineal y geometría en R 3 Juan Ignacio Del Valle Gamboa Sede de Guanacaste Universidad de Costa Rica Ciclo I - 2014 Partimos de los conceptos de punto y vector.

Más detalles

1 Espacios y subespacios vectoriales.

1 Espacios y subespacios vectoriales. UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE CARTAGENA Departamento de Matemática Aplicada y Estadística Espacios vectoriales y sistemas de ecuaciones 1 Espacios y subespacios vectoriales Definición 1 Sea V un conjunto

Más detalles

GUÍA N 1 CUARTO AÑO MEDIO

GUÍA N 1 CUARTO AÑO MEDIO Colegio Antil Mawida Departamento de Matemática Profesor: Nathalie Sepúlveda Delgado GUÍA N 1 CUARTO AÑO MEDIO Nombre del alumno/a: Fecha: Unidades de aprendizaje: Objetivo Contenidos: Nivel: Vectores

Más detalles

1. VECTORES. Iván Vargas Blanco Físico Profesor, Instituto Tecnológico de Costa Rica

1. VECTORES. Iván Vargas Blanco Físico Profesor, Instituto Tecnológico de Costa Rica 1 VECTORES. Iván Vargas Blanco, Físico 1. VECTORES Iván Vargas Blanco Físico Profesor, Instituto Tecnológico de Costa Rica 1.1 CNTIDDES VECTORILES Y ESCLRES Definición de Magnitud tributo de un fenómeno,

Más detalles

1. Producto escalar, métrica y norma asociada

1. Producto escalar, métrica y norma asociada 1. asociada Consideramos el espacio vectorial R n sobre el cuerpo R; escribimos los vectores o puntos de R n, indistintamente, como x = (x 1,..., x n ) = n x i e i i=1 donde e i son los vectores de la

Más detalles

Funciones vectoriales de variable vectorial. Son aplicaciones entre espacios eucĺıdeos, IR n, f : X IR n Y IR m

Funciones vectoriales de variable vectorial. Son aplicaciones entre espacios eucĺıdeos, IR n, f : X IR n Y IR m Funciones vectoriales de variable vectorial Son aplicaciones entre espacios eucĺıdeos, IR n, f : X IR n Y IR m x y x = (x 1, x 2,, x n ), y = (y 1, y 2,, y m ) e y j = f j (x 1, x 2,, x n ), 1 j n n =

Más detalles

Contenido. Capítulo 1. R 2 5 1. Geometría de R 2 5 2. Maxima 7 3. Interpretación geométrica del producto por escalares 12 4. Ángulo entre vectores 15

Contenido. Capítulo 1. R 2 5 1. Geometría de R 2 5 2. Maxima 7 3. Interpretación geométrica del producto por escalares 12 4. Ángulo entre vectores 15 Contenido Capítulo 1 R 2 5 1 Geometría de R 2 5 2 7 3 Interpretación geométrica del producto por escalares 12 4 Ángulo entre vectores 15 Capítulo 2 R n 21 1 Generalizaciones a R 3 21 2 Generalizaciones

Más detalles

E. T. S. de Ingenieros Industriales Universidad Politécnica de Madrid. Grado en Ingeniería en Tecnologías Industriales. Grado en Ingeniería Química

E. T. S. de Ingenieros Industriales Universidad Politécnica de Madrid. Grado en Ingeniería en Tecnologías Industriales. Grado en Ingeniería Química E. T. S. de Ingenieros Industriales Universidad Politécnica de Madrid Grado en Ingeniería en Tecnologías Industriales Grado en Ingeniería Química Apuntes de Álgebra ( Curso 2014/15) Departamento de Matemática

Más detalles

Apuntes de Álgebra Lineal

Apuntes de Álgebra Lineal Apuntes de Álgebra Lineal 9 de noviembre de 2009 Deseo agradecer la cuidadosa lectura, las correcciones y las sugerencias para mejorar este documento realizadas por el M.C. César Rincón Orta. Deseo agradecer

Más detalles

Tema 2 ESPACIOS VECTORIALES

Tema 2 ESPACIOS VECTORIALES Tema 2 ESPACIOS VECTORIALES Prof. Rafael López Camino Universidad de Granada 1 Espacio vectorial Definición 1.1 Un espacio vectorial es una terna (V, +, ), donde V es un conjunto no vacío y +, son dos

Más detalles