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1 1. Nociones fundamentales de cálculo vectorial Un vector es un segmento orientado que está caracterizado por tres parámetros: Módulo: indica la longitud del vector Dirección: indica la recta de soporte del vector Sentido: viene indicado por el sentido de la flecha Las operaciones que se pueden hacer con vectores son las mismas que se pueden hacer con los números ordinarios, a las que se le engaden dos operaciones especiales, el producto escalar y el producto vectorial. Antes de proceder a explicar las operaciones con vectores, vamos a ver como se puede representar un vector analíticamente. Por un lado podemos representar el vector, dando tres cantidades que denominaremos componentes cartesianas del vector y que gráficamente son las que se muestran en la figura: Así pues, quedan definidas tres cantidades que denominaremos con los cosenos directores de un vector y que representan los ángulos que forma el vector con los ejes x y y z respectivamente. Alternativamente, los vectores también se pueden poner en función de los vectores unitarios: Por otra banda, otro concepto útil a la hora de trabajar con vectores es el módulo de un vector, definido como la longitud del vector, este módulo, en función de las coordenadas cartesianas viene dado por la siguiente expresión: r = x + y + z

2 A continuación, hablaremos de las operaciones que podemos realizar con los vectores: Suma de vectores. La suma de vectores, analíticamente, viene dada por la suma de sus componentes cartesianas, componentela componente, es decir, la componente x del primer más la componente x del según y así con las otras dos: r + r = x + x, y + y, z + z Resta de dos vectores: la resta de de los vectores es la suma del primero más el según cambiado de signo Producto por un escalar: el producto de un vector por un escalar es el producto de ese escalar por cada una de las componentes del vector. Descomposición de un vector en componentes: Conocido el módulo de un vector y uno de los ángulos que forma con los ejes coordenados podemos obtener las componentes cartesianas del vector, usando trigonometría básica: Vectores unitarios: Un vector unitario en una dirección dada se obtiene dividiendo ese vector por su módulo: r rɵ = r Producto escalar de dos vectores: El producto escalar de dos vectores representa la proyección de uno sobre el otro, tenemos dos posibles definiciones para el producto escalar: r1 r2 = ( x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 ) r r = r r cos r, r

3 De aquí podemos sacar una de las principales aplicaciones del producto escalar, que es la de calcular el ángulo que forman de los vectores, que se calculará como: r1 r2 cos ( r1, r2 ) = r r Producto vectorial: el producto vectorial de de los vectores es un nuevo vector: 1 2

4 2. Momento de un vector respeto de un punto: El momento de un vector respeto de un punto es un nuevo vector: Aquí tiene especial importancia el teorema de Varignon, según el cual 3,. Momento de un vector respeto de un eje. El momento de un vector respeto de un eje es un escalar que sale de multiplicar escalarmente el momento de un vector respeto de un punto cualquier del eje por lo vector unitario en la dirección del eje. Problema 1.- Un vector situado en el plano XY tiene una magnitud de 25 unidades y forma un ángulo de 37º con la abscisa. Determine sus componentes rectangulares. Se que el vector pertenece al plano XY, su componente z es nula, por lo que el vector tendrá la forma (v x,v y,0), lo único que tendremos que hacer, será determinar las dos componentes restantes, por lo que, sabiendo el ángulo que forma el vector con el eje X, la unica operación que tendremos que hacer será la descomposición del vector, teniendo en cuenta que la componente que va con el coseno es aquella con la que toca el ángulo, como el vector forma un ángulo de 37º co eje X, las componentes cartesianas del vector serán:

5 v x v y = v cos 37 = 25 cos 37 = 20 = v sin 37 = 25 sin 37 = 15 Por lo que el vector pedido será el vector: v = 20,15, 0 Problema 2.- La componente x de un vector que está en un plano XY es de 12 unidades, y la componente y es de 16 unidades. Cual es la magnitud y dirección del vector? Sabemos que la componente x del vector vale 12 y que la componente y vale 16, además, sabemos que el vector está en el plano XY, por lo que su componente z será nula, es decir, que el vector será de la forma: (v x,v y,0), donde las componentes son cantidades conocidas, por lo que podemos decir que el vector que estamos buscando es el vector: v = 12,16, 0 El problema nos pide la magnitud del vector, esto está haciendo referencia al módulo del mismo, es decir: v = v + v + v Sustituyendo los valores que en los da el enunciado del problema obtenemos un valor para el módulo de: v = v + v + v = = 400 = 20 Por otro lado nos pide la dirección del vector, para eso usaremos la definición del ángulo que forma un vector con el eje x, según la cual, si le llamamos α al ángulo que forma el vector con el eje x tendremos: vy tanα = tanα = 1,33 α = 53,13º vx Con lo que, ya tenemos el ángulo que forma el vector con el eje x, siendo este ángulo 53,13º, quedando así, determinada la dirección del vector. Problema 3.- Dados los vectores y c = 2ɵ i + 2ɵj 7kɵ, encontrar las componentes de otro vector unitario b, para que los tres vectores sean mutuamente perpendiculares. Para que los tres vectores sean mutuamente perpendiculares, se tiene que verificar simultáneamente que a b, además b c y, por último, que a c, es decir que sean perpendiculares 2 a 2, la condición de que de los vectores sean perpendiculares es que el producto escalar de ambos sea nulo. El producto vectorial de los dos vectores del enunciado es nulo, como se puede comprobar fácilmente: a c = = 0 Planteando que los vectores del enunciado tienen que ser perpendiculares al vector b, obtenemos las seguientes ecuaciones: c b = 2 b + 2 b 7b = 0 La otra ecuación la sacamos del hecho de que el vector que nos piden es unitario, por lo tanto: b + b + b = 1 Lo cual nos proporciona un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas: 4 b + 3 b 2 b = 0 2 b + 2 b 7b = 0 b + b + b =

6 Operando y resolviendo queda: b b y z z = 0,1 = 0,5 b = 0,86

7 4. Nociones fundamentales de derivación e integración Recta tangente a una curva en un punto Reglas fundamentales de derivación e integración. Integrales y derivadas inmediatas Función Derivada Integral y = c y' = 0 c.x y = c.x y' = c y = x n y' = n.x n-1 y = x -n y = x ½ y = ya /b y = 1/x log x y = sin x y' = con los x -con los x y = con los x y' = -sin x sin x

8 y = tan x y = cotan x -log con los x log sin x y = sec x y = con losec x y = arcsin x y = arccon los x y = arctan x y = arccotan x y = arcsec x y = arccon losec x y = sh x y' = ch x ch x y = ch x y' = sh x sh x y = th x y' = sech 2 x log ch x y = coth x y' = -con losech 2 x log sh x y = sech x y' = -sech x.th x y = con losech x y' = -con losech x.coth x y = log x x.(log x - 1) y = log a x y = e x y' = e x e x y = a x y' = a x.log la y = x x y' = x x.(log x + 1) y = e u y = e u.u y = u.v y' = u'.v + v'.u u.dv + v.du y = u v y = log u v

9 5.- Circulación de un campo vectorial a lo largo de una trayectoria. La circulación de un campo vectorial F a lo largo de una trayectoria se define de la siguiente manera: f Γ = F dr i Se la trayectoria es cerrada, la circulación, la podemos poner, usando el teorema de Stockes como: Fd r = ( F) d S Si el campo vectorial que estamos usando es un campo de fuerzas, decimos que la circulación es el trabajo necesario para llevar la partícula desde un punto inicial hasta un punto final. 6. Flujo de un campo vectorial a través de una superficie El flujo de un campo vectorial a través de una superfície representa el número de líneas de campo que atraviesa esa superficie y se calcula analíticamente como: Fd S Φ = S Si la superficie que estamos tratando, es una superficie cerrada, y que, por lo tanto encierra un volume en su interior, tendremos, usando el llamado Teorema de Gauss la siguiente expresión: Fd S = F dv S V

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