1 v 1 v 2. = u 1v 1 + u 2 v u n v n. v n. y v = u u = u u u2 n.

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1 Ortogonalidad Producto interior Longitud y ortogonalidad Definición Sean u y v vectores de R n Se define el producto escalar o producto interior) de u y v como u v = u T v = u, u,, u n ) Ejemplo Calcular el producto escalar de u = 5 v v v n y v = = u v + u v + u n v n Dados u, v y w vectores de R n y λ un escalar, el producto escalar verifica las siguientes propiedades: 3 3 u v = v u u + v) w = u w + v w 3 λu) v = λu v) = u λv) 4 u u y u u = si y sólo si u = Definición Dado un vector u R n Definimos su norma o longitud) como el escalar no negativo u = u T u = u u = u + u + + u n Ejercicio Demostrar que para cualquier escalar c se tiene cu = c u Un vector cuya longitud es se llama vector unitario Para obtener un vector unitario u a partir de otro dado, v, basta dividir el vector v por su norma Ambos vectores tienen la misma dirección, pero distinta longitud Al proceso mediante el cual se obtiene u a partir de v se le conoce con el nombre de normalización Ejercicio 3 Sea v = Encontrar un vector unitario u en la misma dirección que v Ejercicio 4 Sea W el subespacio generado por x = 3, )T Encontrar un vector unitario z que sea una base de W Definición 3 Sean u, v R n Se define la distancia entre los vectores u y v como la norma del vector u v, distu, v) = u v = v u = distv, u) Ejercicio 5 Calcular la distancia entre u = 7 ) y v = 3 ) Definición 4 Sean u, v R n Diremos que u y v son ortogonales si u v =

2 Obsérvese que el vector es ortogonal a cualquier vector u, porque u =, siempre Definición 5 Dado un vector v y un subespacio W diremos que v es ortogonal a W si v w = para todo vector w W Dos subespacios vectoriales V y W de un espacio vectorial se dicen ortogonales si v w = para todo vector v V y w W En este caso, diremos que V es el complemento ortogonal de W y lo denotamos por V = W y W es también el complemento ortogonal de V ) Dicho de otra forma: el complemento ortogonal de W es el conjunto de todos los vectores v que son perpendiculares a W, W = {v R n : v w =, para todo w W } Observación Obsérvese que para comprobar si un vector v pertenece al complemento ortogonal de un espacio dado W, basta con comprobar si v es ortogonal a un conjunto que genere W Ejemplo 6 Hay cuatro subespacios importantes NA), CA), F A), NA T ) Cuáles son ortogonales? El espacio F A) es por definición el generado por las filas de A, F A) = Gen{f, f,, f n } visto como vectores columna) Para demostrar que los subespacios son ortogonales, basta con ver que dado x NA), entonces x es ortogonal a cada una de las filas Pero como x NA), por definición f T f T Ax = x =, f n T Cuidado con la notación! y por tanto f T x =,, f n T x = Análogamente, para demostrar que CA) = Gen{a, a,, a m} es el complemento ortogonal de NA T ) comprobamos que un vector y NA T ) arbitrario es ortogonal a todas las columnas de A: Si y NA T ), entonces a T a T A T y = y =, a m T Cuidado con la notación! y por tanto a T y =,, a m T y = Importante Sea A una matriz m n El complemento ortogonal del espacio fila de A es el espacio nulo de A y el complemento ortogonal del espacio columna de A es el espacio nulo de A T : F A)) = NA), CA)) = NA T ) Proyecciones ortogonales Cuál es la sombra que proyecta el vector b =, 3, 4) T sobre el plano xy? Y sobre el eje z? Cómo podemos calcular la proyección de un vector sobre un subespacio arbitrario? Idea Dado v R n y W un subespacio de R n, queremos descomponer v como suma de dos vectores v = p W + e, tal que p W W y e W

3 Ejemplo 7 Proyectar un vector v sobre un subespacio vectorial de dimensión una recta): Sea a el vector director de la recta Buscamos λ y p W tal que Sabemos que si v = p W + e, entonces a e = e = v p W = v λa Juntando estas dos expresiones se obtiene: y por tanto λ = at v a T a y p W = at v a T a a p W = λa = a e = a v λa) = a v λa a Ejercicio 8 Calcular la proyección del vector v =,, ) T sobre la recta cuyo vector director es a =,, ) T Si W es un subespacio vectorial generado por los vectores {a,, a p } linealmente independientes para proyectar v sobre W usamos la misma idea que en dimensión Buscamos p W = [a a p ] p n x = Ax Utilizando que A T e = concluimos x tiene que ser solución del sistema A T v = A T Ax y entonces la proyección es p W = AA T A) A T v Ejercicio 9 Dados el vector v = 6,, ) T y el subespacio W = {,, ) T,,, ) T } Calcular la proyección de v sobre W Importante Teorema de la descomposición ortogonal Sea W un subespacio de R n Todo vector v R n se escribe de manera única como suma de dos vectores v = p W + e, tales que p W W y e W Distancia mínima p W es el elemento de W que más cerca está de v: para todo b W p W v p W b, Ejercicio Encontrar la distancia del vector v =, 5, ) T al subespacio W generado por 5,, ) T,,, ) T 3 Problemas de mínimos cuadrados Idea En muchos problemas prácticos Ax = b no tiene solución Hay demasiadas ecuaciones Sin embargo necesitamos encontrar una solución, de forma que Ax se parezca lo más posible a b Sea e = b Ax; como el sistema no tiene solución e, y buscamos x tal que e sea lo más pequeño posible Definición 6 Dada A una matriz m n y b R n Una solución de mínimos cuadrados de Ax = b es y R n tal que b Ay b Ax, para todo x R n 3

4 Cómo calculamos la solución de mínimos cuadrados? Idea A es rectangular y Ax = b no tiene solución Multiplicar ambos lados de la ecuación por A T, A T Ax = A T b Es un nuevo sistema, que sí tiene solución La solución de este sistema, es la solución de mínimos cuadrados del problema original Ejemplo Dados los puntos, 6),, ) y, ) encontrar la recta que esté más cerca de los tres puntos Buscamos y = mx + n con incógnitas m y n El sistema que tenemos que resolver se escribe en forma matricial como 6 Es fácil ver que este sistema es incompatible Buscamos una solución de mínimos cuadrados Para ello calculamos ) ) A T 3 3 A = =, A T b = 3 5 ) 6 = 6 ) y resolvemos el sistema ) ) ) 3 3 n m La solución de mínimos cuadrados es m = 3 y n = 5, luego la recta que mejor aproxima a los tres puntos es y = 3x El proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt Un problema de mínimos cuadrados es más fácil de resolver si A T A es diagonal Definición 7 Los vectores {q, q n } son ortogonales si q i q j =, para i j ortonormales si son ortogonales y q i q i = para todo i Definición 8 Una matriz Q con columnas ortonormales entre sí se llama ortogonal Propiedad Si Q es cuadrada y ortogonal Q T = Q Dada una base {a,, a n } de un subespacio, queremos encontrar otra {q,, q n } base de ese mismo espacio cuyos elementos sean ortogonales o incluso ortonormales) La ventaja que tiene el trabajar con bases ortonormales es que, si bien el espacio generado por ambas bases el mismo, las cuentas se simplifican si utilizamos Q = [q q n ] Recordar que Q T Q = I) Proceso de Gram-Schmidt Dados n vectores linealmente independientes {a,, a n } de un subespacio vectorial, construimos una base ortogonal de vectores {w,, w n } a partir de la base original La base ortonormal {q,, q n } se obtiene dividiendo cada w i por su norma Paso i: Elegimos w = a 4

5 Paso ii: El vector w tiene que ser ortogonal a w Por el teorema de de descomposición ortogonal sabemos que a = p W + e, donde p W es la proyección de a sobre el subespacio W y e W Sea en este caso W = Gen{w } Entonces e y w son ortogonales Por tanto tomamos e = w y así w = a p W = a w T a w T w w Paso iii: Usamos la misma idea que en el paso anterior El vector w 3 tiene que ser ortogonal a w y w De nuevo, por el teorema de de descomposición ortogonal sabemos que a 3 = p W + e, donde p W es la proyección de a sobre el subespacio W y e W Definamos W = Gen{w, w } Entonces e es ortogonal a w y w, que a su vez son ortogonales entre sí) Tomamos e = w 3 y así, como estamos proyectando sobre un espacio generado por un conjunto ortogonal {w, w } tenemos w 3 = a 3 p W = a 3 w T a 3 w w T a 3 w w T w w T w Paso n: Para calcular w n proyectamos a n sobre el espacio generado por {w, w n }, que por la construcción que hemos hecho, son ortogonales entre sí Entonces w n = a n p W = a n w T a n w w T a n w w n T a n w n w T w w T w w n T w n De esta forma obtenemos una base ortogonal {w,, w n } y tal que Gen{a,, a n } = Gen{w,, w n } Para conseguir una base ortonormal basta con dividir cada uno de los vectores de la base ortogonal por su norma; es decir {q,, q n } = { w w,, w } n w n 5 Diagonalización de matrices simétricas Recordatorio A es simétrica si A T = A A es diagonalizable si existen matrices D diagonal y P invertible tal que A = P DP Si Q es cuadrada y ortogonal Q = Q T Ejemplo La matriz A = tiene por valores propios λ = 8, 6, 3 y por vectores propios v =, v = , v 3 =

6 que son ortogonales entre sí Si v, v, v 3 son vectores propios w = también lo son y A se puede diagonalizar como v v, w = v v, w 3 = v3 v 3, A = [w w w 3 ]D[w w w 3 ] = [w w w 3 ]D[w w w 3 ] T Cuándo se puede hacer este tipo de diagonalización diagonalización ortogonal)? Importante Dada A simétrica Entonces Es más: A es siempre diagonalizable Vectores propios de espacios propios diferentes son siempre ortogonales Los vectores propios se pueden escoger todos ortogonales entre sí con el proceso de Gram- Schmidt, cuando sea necesario) A es diagonalizable ortogonalmente A es simétrica Ejercicio 3 Diagonalizar ortogonalmente la siguiente matriz 5 4 A = 4 5 6

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