vectoriales N(f) e Im(f) N(f) = (5,1,0),( 3,0,1) y f(1,0,0)=(2,-1,1). Se pide:

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1 .- En los siguientes casos estudiar si f es una aplicación lineal y en caso afirmativo hallar una matriz A tal que f(x) Ax, así como los subespacios vectoriales N(f) e Im(f) a) f(x,y) = (x,-y) b) f(x,y) = (x,y) c) f(x,y,z) = (x+y, x-y-z) d) f(x,y) = (x + y, xy ).- Se considera la aplicación f: 4 4 definida por: f(x, y, z, t) = (x + y + a z, -x + y + t, a x +y t, a z + t) a) Escribir su ecuación matricial de f y probar que f es lineal para a real. b) Hallar los valores de a para los que f es biyectiva. c) Para a =, hallar los subespacios Núcleo e Imagen de f y dar una base de cada uno de ellos d) Estudiar si f es una aplicación inyectiva para a =. e) (,,,) N(f)? (,-,,) Im(f)? f) Dado el subespacio S = {(x,y,z,t) 4 tales que x + y z = y + z t = }, hallar una base, la dimensión y unas ecuaciones implícitas de f(s) para a =..- a) Hallar, respecto de la base canónica, la ecuación de la transformación lineal f (endomorfismo) de que verifica que f(,, ) = (7,, ), f(-,, ) = (, 7, ), f(, 5, 7) = (5,, ). b) Es f biyectiva? c) Hallar N(f) e Im(f). d) Qué condición debe satisfacer la matriz A asociada a un endomorfismo para que las imágenes de vectores linealmente independientes sean linealmente independientes? 4.- Sean B =e,e,e y B = u,u,u dos bases de y f un endomorfismo que respecto de la base B tiene por ecuación f(x, y, z) = (x +y, y + z, x + z). Se pide hallar la ecuación de f respecto de la base B siendo u = e e e, u e e, u e. 5.- Sea f la transformación lineal de tal que: N(f) = (5,,),(,,) y f(,,)=(,-,). Se pide: U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía

2 a) La matriz A asociada a f respecto de la base canónica. b) Sin hacer cálculos razona porqué es un valor propio de A y cuál es su mínimo orden de multiplicidad. c) Hallar todos los valores propios de A y los subespacios de vectores propios asociados. d) Razonar si A es diagonalizable. En caso afirmativo, escribir una matriz diagonal D semejante a A y la matriz de paso correspondiente. e) Hallar A n. 6.- Sea f un endomorfismo de cuya matriz asociada A, respecto de la base canónica, verifica que tiene valores propios distintos, = doble y = simple, y que los subespacios de vectores propios asociados respectivamente son V = (,, ), (,,) y V = (,,). a) Razonar porqué A es diagonalizable. b) Escribir una matriz D diagonal semejante a A, así como la matriz de paso que permite dicha diagonalización. c) Hallar A. d) Dar sendas bases de N(f) e Im(f). e) Qué debe verificar A para que haya vectores no nulos de R invariantes por f? Sin hacer cálculos, argumenta si existen vectores no nulos de R invariantes por f. 7.- Sea f la transformación lineal de cuya matriz en la base canónica es: a b A= a) Estudiar para qué valores de a y b es A diagonalizable. b) Cuál es el subespacio de vectores invariantes por f para a =? c) Justificar para qué valores de a f no es biyectiva. 8.- a) Comprobar que la matriz A= 7 7 no es diagonalizable. 7 7 U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía

3 a b b) Comprobar, sin efectuar ningún cálculo que la matriz B= a diagonalizable para cualquier valor que tomen a y b. es 9.- Se considera la transformación lineal de R definida por la matriz simétrica 7 A =. Se pide: 7 a) Hallar una base de vectores propios que sean ortogonales entre sí. b) Hallar una matriz de paso ortogonal y la matriz diagonal semejante a A..- Demostrar que si Q es una matriz ortogonal que permite la diagonalización de A entonces A es simétrica:.- Se considera la aplicación f: R 4 R 4 definida por: f(x, y, z, t) = (x + y + t, x y + z + t, y z, t) a) Escribir su ecuación matricial y probar que f es lineal. b) Hallar los subespacios núcleo e imagen de f y dar una base y la dimensión de cada uno de ellos. c) Dado el subespacio S = {(x, y, z, t) R 4 tales que x + y z = y + z t = }, hallar una base, la dimensión y unas ecuaciones implícitas de f(s). d) Estudiar si los vectores (,,, ) y (4,,, ) pertenecen a Im(f). e) Clasificar..- Sea A= la matriz asociada a cierto endomorfismo f de R 4 respecto de la base canónica y sean los vectores u (,, ), u (,,), u (,,) de R. a) Comprobar que u, u, f u,f u,f u u es un sistema libre pero, es ligado. b) Qué condición debe satisfacer la matriz A asociada a un endomorfismo para que las imágenes de vectores l.i. sean l.i.? U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía

4 .- Probar que cualquier matriz simétrica real de orden es diagonalizable. 4.- Halla una matriz de paso ortogonal para diagonalizar Calcular A n siendo A = Sean B u,u,u lineal f tal que: una base del espacio vectorial R y la transformación f u u u f u 5u u. Se pide: f u 4u a) Matriz asociada a f respecto de la base B. b) Escribir su ecuación matricial. c) Hallar la expresión analítica de f respecto de la base B. d) Obtener el subespacio núcleo f. Dar una base. e) Obtener el subespacio imagen f. Dar una base. f) Son el N(f) e Im(f) suplementarios? g) Rango de f? h) Es f un epimorfismo? i) Es f un monomorfismo? j) Es f un isomorfismo? k) Es f un automorfismo? 7.- En el espacio vectorial R (R) se define la aplicación lineal: f: R R, f(x, y, z) = (y + z, x + z, x + y). Se pide:. Matriz de f respecto de la base canónica. (llamarla A). Clasificar f.. Valores propios de f. 4. Estudiar la diagonalización de f. 5. Base de vectores propios (si procede) 6. Matriz de f respecto de esta base de vectores propios. (llamarla D) 7. Relación entre la matriz A y D. 8. Hallar las ecuaciones paramétricas de todos los subespacios invariantes. 9. Hallar A Sea f: 4 4 definida por f(x,y,z,t)=(7x,7y,7z+7t,). Se pide: 4 U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía

5 a) Escribir la matriz A de la aplicación y la ecuación matricial en la base canónica b) Hallar las ecuaciones implícitas de la imagen del subespacio S={(x,y,z,t) 4 /x=y=z} Calcular una base y las ecuaciones del núcleo y de la imagen de f Hallar el polinomio característico y los subespacios de vectores propios de f Obtener la matriz P de cambio de base que diagonaliza A y la matriz D diagonal y semejante a A. 9.- Sea f una transformación lineal de R 4 tal que su matriz asociada respecto de la base canónica es: 4 A= 6 5 a) Hallar sendas bases de N(f) e Im(f). b) Hallar el polinomio característico y los vectores propios de f, así como los s.v. de vectores propios asociados Coincide N(f) con alguno de éstos últimos? c) Escribir el enunciado de un teorema de diagonalización que pruebe que A es diagonalizable y dar una base de vectores de R 4 respecto de la cual la matriz asociada a f sea una matriz D diagonal. d) Dar D y la matriz P de cambio de base que diagonaliza A. e) Escribir la definición de matrices semejantes Son A y D semejantes? En caso afirmativo hallar A 7 utilizando que A y D son semejantes..- Analizar si la matriz parámetro k. k A 6 es diagonalizable según los valores del.- Sea la matriz A. a) Calcular los autovalores de A y sus respectivas multiplicidades algebraicas. b) Hallar las ecuaciones paramétricas y cartesianas de los subespacios propios de A. c) Obtener una base unitaria de R 4 formada por vectores propios unitarios de A. U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía 5

6 d) Calcular una matriz diagonal semejante a la matriz A. e) Calcular el producto matricial A n..- Dada la transformación lineal de R definida por: f(x, y, z) = (4x + y - 4z, z - x, x + y - z) Se pide: a) La matriz A asociada a f respecto de la base canónica. b) Sendas bases de N(f) e Im(f). c) Una base del subespacio ortogonal de N(f). d) Estudiar si A es diagonalizable y, en su caso, dar la matriz diagonal. e) Hallar la matriz asociada a f respecto de la base B = { (,, ), (, -, ), (,, )}.- Sea la matriz M a a a a asociada a cierta transformación lineal f:v V. Se pide: a) Estudiar los valores de a para los cuales M es diagonalizable. b) Para a=, hallar N(f), Im(f) y el subespacio de vectores invariantes. 4.- Sea la matriz A a) Para qué valores de α y β es A diagonalizable? Y para qué valores de α y β se obtiene para A un valor propio triple? b) Para α= y β=-, hallar: i) una matriz diagonal semejante a A. ii) una matriz P que permita la diagonalización. iii) una matriz P* ortogonal que permita la diagonalización. 5.- Sea la aplicación lineal f:r 4 R 4 definida por f(x,y,z,t)=( x, x+y, 5y+5z+7t, ). Se pide: 6 U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía

7 a) Escribir la matriz A de la aplicación y la ecuación matricial en la base canónica. b) Hallar las ecuaciones implícitas de la imagen por f del subespacio S={(x,y,z,t)R 4 /x=y, x+y+z=} c) Calcular una base y las ecuaciones implícitas del núcleo y de la imagen de f. d) Hallar el polinomio característico y los subespacios de vectores propios de f. e) Obtener la matriz P de cambio de base que diagonaliza A y la matriz D diagonal y semejante a A. 6.- Sea f la transformación lineal de tal que: fi = (4,, ), fj = (, 5, ), fk k = (-, -, ) donde i, j, kes la base canónica. Se pide: a) La matriz A asociada a f respecto de la base canónica. b) Hallar los valores propios de A y los subespacios de vectores propios asociados. c) Razonar si A es diagonalizable. En caso afirmativo, escribir una matriz diagonal D semejante a A y la matriz de paso correspondiente. d) Hallar N(f), Im(f) e indicar si f es biyectiva. e) Hallar A n. 7.- Sea la transformación lineal f de R tal que: f(x,x,x )=(x,+x,x +x,-x ) Se pide: a) Hallar la matriz M asociada a f respecto de la base canónica. b) Obtener el subespacio núcleo f. Dar una base. c) Obtener el subespacio imagen f. Dar una base. d) Es f una transformación ortogonal? e) Diagonalizar, si es posible, la matriz M. f) Obtener una base ortonormal de R formada por vectores propios de M. 8.- Sea f la transformación lineal cuya matriz asociada respecto de la base canónica es: Se pide: a) Dar una base de Im(f) b) Es f un isomorfismo? c) Es f diagonalizable? d) En el caso de que sea diagonalizable, encontrar una matriz P que permita la diagonalización. U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía 7

8 9.- Sea C el subconjunto de vectores del espacio vectorial R dado por: C x,y,z / x y z y sea f la transformación lineal f:r R tal que: f x,y,z x y z,x z,y Se pide: a) Demostrar que C es un subespacio vectorial de R. b) Obtener una base y unas ecuaciones paramétricas de C. c) Obtener la ecuación matricial de f. d) Dar unas ecuaciones paramétricas y unas ecuaciones implícitas del Núcleo y de la Imagen de f. e) Comprobar si f es diagonalizable y, en su caso, obtener una base de R respecto de la cuál la matriz asociada a f sea una matriz diagonal. f) Hallar la dimensión de f(c)..- Sea f una transformación lineal de R cuyos valores propios son y, con subespacios propios respectivos: V x,y,z R / x V x,y,z R / x y z Se pide: a) Una base de cada subespacio propio. b) El subespacio vectorial V V. c) Son suplementarios los dos subespacios propios? y ortogonales? d) Una base de R formada exclusivamente por vectores propios. e) Una matriz diagonal que defina f. f) La matriz asociada a f respecto de la base canónica..- Dada la matriz A = a) Comprobar que es diagonalizable. b) Calcular una matriz D semejante a la matriz A. c) Hallar una base de vectores propios del endomorfismo definido por A. d) Hallar la matriz P, tal que, D = P - AP..- Sean B u,u,u lineal f tal que: una base del espacio vectorial R y la transformación 8 U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía

9 fu u u u fu u u. Se pide: f u u a) Escribir su ecuación matricial. b) Obtener el subespacio núcleo f. Dar una base. c) Obtener el subespacio imagen f. Dar una base. d) Es f biyectiva? e) Es f una transformación ortogonal? f) Diagonalizar, si es posible, la transformación lineal f..- Sea la aplicación lineal f: definida por: f ( x, y, z) = ( - x + y, - x + y, - x + y + z ) y sea S el subespacio vectorial de generado por los vectores: S = < (,, ), (,, ), (,, ), (,, ) >. Se pide: a) Obtener las ecuaciones implícitas del núcleo y la imagen de f. b) Demostrar que f es diagonalizable. c) Obtener una base B de en la cual la matriz asociada a f sea diagonal. d) Obtener unas ecuaciones implícitas de S en la base canónica y otras ecuaciones implícitas de S en la base B. 4.- a) Hallar el rango de la matriz A 4 b) Sea F el subespacio vectorial de R engendrado por los vectores fila de la matriz A. Hallar una base de F. c) Hallar unas ecuaciones paramétricas de F. d) Hallar unas ecuaciones implícitas de F. e) Sea C el subespacio vectorial de R engendrado por los vectores columna de la matriz A. Hallar una base de C. f) Encontrar una relación de dependencia lineal existente entre los vectores columna de la matriz A. g) Hallar unas ecuaciones paramétricas de C. h) Hallar unas ecuaciones implícitas de C. i) F y C son hiperplanos distintos? j) Calcular una base y unas ecuaciones paramétricas de F C. k) Es A diagonalizable? En caso afirmativo, hallar una matriz diagonal semejante a A. U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía 9

10 5.- Dado el endomorfismo de R definido por f(x,y,z)=(x+y-z,y+z,y+z) º) Hallar la matriz A que define el endomorfismo f. º) Hallar los subespacios propios y una base de cada uno de ellos. º) Hallar algún subespacio invariante y el subespacio de vectores invariantes. 4º) Es inyectivo? Es sobreyectivo? 5º) La matriz A es diagonalizable? 6º) La suma de los subespacios propios es suma directa? Son suplementarios los subespacios propios hallados en el apartado? 6.- Sea f una aplicación lineal tal que: f(,,) = (5,-,); f(,-,) = (5,,); f(,,) = (,a,b) Se pide: a) Hallar la matriz A asociada a f respecto de la base canónica y el valor de A. b) Hallar los valores de a y b para los que f es biyectiva. c) Para b = hallar sendas bases de N(f) e Imf Dada la matriz M =, se pide: b a) Su polinomio característico y los valores propios asociados. b) Estudiar la diagonalización de M en función de los valores de b. c) Hallar una matriz D diagonal semejante a M para b= y la matriz P que permite la diagonalización. 8.- Sea f una aplicación lineal tal que: f(,,) = (,a,); f(,,) = (-5,,-); f(-,) = (8,-,6) Se pide: a) Hallar la matriz A asociada a f y el valor de A. b) Hallar las dimensiones de los subespacios N(f) e Imf, en función de los valores de a. U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía

11 Dada la matriz M = a, se pide: 5 a) Su polinomio característico b) El valor de a para que = sea una valor propio de M. c) Estudiar si la matriz M es diagonalizable para a = y hallar una matriz D diagonal semejante a M y la matriz P correspondiente que permite la diagonalización. d) Escribir la igualdad matricial que relaciona D y M. 4.- Dada la transformación lineal fx Ax 5 5, donde A = 4, se pide: a) Hallar la dimensión y una base de los subespacios N(f) e Imf, respectivamente. b) Estudiar si f es diagonalizable y, en su caso, calcular una matriz D diagonal semejante a la matriz A y la matriz P que permite la diagonalización. Sea g una transformación lineal de R tal que gu 6u, g v v, g w 6w u,, v,, w,,., para los vectores, c) Cómo se denominan los vectores u, v y w? Cómo se denominan los escalares y 6? d) Hallar la matriz M asociada a g respecto de la base canónica. 4.- Dada la aplicación lineal fx a) Hallar el valor de k para el cual f no es biyectiva. Ax k donde A, se pide: k b) Para el valor de k obtenido en a) halla las dimensiones de los subespacios N(f) e Im(f). c) Justificar por qué f es diagonalizable para cualquier valor real de k. 4.- Sea la aplicación f:p(x) P(x), tal que: f(a bx cx ) (a bx cx ) (c bx ax ). U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía

12 a) Demostrar que f es una aplicación lineal. b) Hallar la matriz de la aplicación lineal al tomar B, x, x como base de P (x). c) Determinar el núcleo de esta aplicación. (P (x) es el espacio vectorial de polinomios de grado ). 4.- En caso de existir, encontrar la diagonalización ortogonal de la siguiente matriz: A 44.- Encontrar una matriz real y simétrica que cumpla siguientes condiciones:.- Sus vectores propios son,,,,,,,,.- Es semejante a la siguiente matriz æ 4 ö - B = - ç è ø 45.- Sea f la transformación lineal cuya matriz asociada respecto de la base canónica es A=. Se pide: a) Para qué valores de es f Im(f) un isomorfismo (biyectiva)? b) Para, una base de Im(f) c) Valores de para los cuales A es diagonalizable. d) Para, una base de R formada por vectores propios de la matriz A. e) Para, hallar A 5 utilizando, si es posible, la diagonalización de A Sea f la transformación lineal cuya matriz asociada respecto de la base canónica es A=. Se pide: a) Para qué valores de es f un isomorfismo (biyectiva)? b) Para, una base de Im(f) c) Valores de para los cuales A es diagonalizable. d) Para, una base de R formada por vectores propios de la matriz A. U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía

13 e) Para, hallar A 5 utilizando, si es posible, la diagonalización de A Sean B u,u,u una base del espacio vectorial R y f la transformación fu u u lineal del mismo tal que fu u u u. Se pide: fu u a) Matriz A asociada a f respecto de la base B. b) Ecuación matricial de f. c) Obtener el subespacio Núcleo de f y dar una base de dicho subespacio. d) Obtener el subespacio Imagen de f y dar una base de dicho subespacio. e) Son los dos subespacios anteriores N(f) e Im(f) suplementarios? f) Hallar los valores propios de A y los subespacios de vectores propios asociados. g) Razonar si A es diagonalizable. En caso afirmativo, escribir una matriz diagonal D semejante a A y la matriz de paso correspondiente. h) Hallar A n, para cualquier número natural n Se considera la matriz: A = a) Probar que es diagonalizable y determinar una matriz P que permita la diagonalización. b) Hallar las ecuaciones paramétricas y cartesianas de los subespacios propios de A. c) Hallar A utilizando A y la matriz diagonal D Sea V un espacio vectorial tridimensional sobre R, y f una transformación lineal de V cuya expresión matricial respecto de la base canónica es: y x y x y x B u,u,u, tal Es f diagonalizable? En caso afirmativo encontrar una base que respecto a B la matriz que define f sea. U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía

14 5.- Dado el endomorfismo f de R definido por la matriz A. º Hallar el polinomio característico y los valores propios de A. º Hallar las ecuaciones paramétricas de los subespacios de vectores propios de A. º Hallar una base de cada uno de los subespacios de vectores propios de f. 4º El endomorfismo f es diagonalizable? Por qué? En caso afirmativo 5º Hallar una matriz D diagonal semejante a la matriz A. 6º Hallar la base respecto de la cual la matriz de f es D. 7º Escribir la ecuación de semejanza D = P - A P. 8º Hallar el subespacio de los vectores invariantes por f. 9º Hallar los valores propios de A n. º Hallar el subespacio de N(f). Hallar el subespacio Im(f). º Clasificar el endomorfismo f. 5.- Se considera el endomorfismo o transformación lineal f de R definido por la matriz A= 6. Hallar: 5 a) El polinomio característico. b) Los valores propios indicando su multiplicidad algebraica. c) Se puede calcular una base de R formada por vectores propios de A? d) La matriz A es diagonalizable? por qué? e) Hallar las ecuaciones paramétricas de los subespacios invariantes por el endomorfismo. f) Hallar los subespacios núcleo e imagen de f. g) Es f biyectiva? por qué? 4 U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía

15 5 5.- Dada la matriz A calcular: 5 a) Los valores propios indicando su multiplicidad algebraica. b) Calcular una base de cada uno de los subespacios propios existentes. c) Es diagonalizable la matriz A? Por qué? d) Existe algún vector u que sea invariante? 5.- Dado el endomorfismo f definido por la matriz: A 5 a) Calcular sus valores propios y una base de cada uno de los subespacios de vectores propios. b) Determinar una base B de V respecto de la cual la matriz asociada a f sea diagonal. Respecto de la base B cuál es la matriz diagonal D? c) Hallar unas ecuaciones paramétricas del subespacio de los vectores invariantes Sea f(x, y, z) = (x -y + z, -x + z, -x y + z) una transformación lineal de R. Sea B = { u = (,,), u = (,,), u = (,,)} un sistema de vectores de R. Se pide: a) Si F = u,u, hallar una base del subespacio ortogonal F. Qué representan geométricamente F y F? no lo es. b) Demostrar que B es base de R, pero, que f (B) = {f( u ), f( u ), f( u )} c) Hallar la matriz A asociada a f respecto de la base canónica y la matriz A asociada a f respecto de la base B. d) Escribir la expresión matricial que relaciona A y A. e) Es f diagonalizable? En caso afirmativo, dar una base de R formada por vectores propios de f. f) Hallar el subespacio de los vectores invariantes por f. g) Hallar la ecuación y una base de los subespacios Im (f) y N(f). U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía 5

16 55.- Sea f la transformación lineal de R que tiene por matriz asociada: 4 A =. Se pide: a) Hallar los valores propios de A y una base de cada uno de los subespacios propios asociados. b) Es A diagonalizable? c) En caso afirmativo, hallar una matriz diagonal D semejante a A dar una matriz P que permita la diagonalización de A escribir la relación que existe entre A y D. de R formada por vectores propios de A tal d) Dar una base B = v,v,v que D = M(f, B ). e) Expresar los vectores f v, f v, f v los vectores de la base B. f) Es f biyectiva? g) Hallar N (f). h) Hallar el subespacio de vectores invariantes por f. como combinación lineal de 6 U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía

17 .- En los siguientes casos estudiar si f es una aplicación lineal y en caso afirmativo hallar una matriz A tal que f(x) Ax, así como los subespacios vectoriales N(f) e Im(f). a) f(x,y) = (x,-y) b) f(x,y) = (x,y) c) f(x,y,z) = (x+y, x-y-z) d) f(x,y) = (x + y, xy ) a) f(x,y) = (x,-y) f(x+x,y+y ) = ((x+x ),-(y+y )) = (x+x,- y-y ) = (x,-y)+ (x,- y ) = f(x, y) + f(x, y ) f((x,y))= f(x, y)= (x, -y)= (x,-y) = f(x, y). x' x Luego f es una aplicación lineal: y' y x N(f) es la solución de x N(f)={(,} y y Im(f) = <(,),(,-) > = R. b) f(x,y) = (x,y) f(x+x,y+y ) = ((x+x ),y+y ) = (x +xx +(x ), y+y ) (x, y)+ (x ), y ) = f(x,y) + f(x,y ) Luego f no es una aplicación lineal c) f(x,y,z) = (x+y,x-y-z) f(x+x,y+y,z+z ) = ((x+x )+y+y, x+x -(y+y )-(z+z ))= (x+y,x-y-z) + (x +y,x -y -z ) f((x,y,z))= f(x, y, z) = (x+y, x-y-z) = (x+y,x-y-z) =f(x,y,z). x' x Luego f es una aplicación lineal: y' y z' z x x y y x N(f) es la solución de y x y z z x y x z N(f)={(, -, ), R} d) f(x,y) = (x +y, xy ) f(x+x,y+y )=((x+x ) +(y+y ), (x x')(y y') )=(x +xx +(x ),y +yy +(y ), xy x' y' ) (x +y, xy )+ ((x ) +(y ), x' y' )= f(x,y) + f(x,y ) Luego f no es una aplicación lineal. U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía 7

18 .- Se considera la aplicación f: 4 4 definida por: f(x, y, z, t) = (x + y + a z, -x + y + t, a x +y t, a z + t) a) Escribir su ecuación matricial de f y probar que f es lineal para a real. b) Hallar los valores de a para los que f es biyectiva. c) Para a =, hallar los subespacios Núcleo e Imagen de f y dar una base de cada uno de ellos. d) Estudiar si f es una aplicación inyectiva para a =. e) (,,,) N(f)? (,-,,) Im(f)? f) Dado el subespacio S = {(x, y, z, t) 4 tales que x + y z = y + z t = }, hallar una base, la dimensión y unas ecuaciones implícitas de f(s) para a =. f(x,y,z,t) = (x+y+az,-x+y+t, ax+y-t,az+t) a) x' y' z' a t' a a x y f( x )= X = AX z t f( x x )=A(X +X )= AX +AX = f( x )+f( x ) f( x ) = AX = AX = f( x ) Luego f es lineal ar. b) f es biyectiva si A. A= 4a a = a =,, luego f es biyectiva a,. x' x y' y c) Para a = z' z t' t N(f) es la solución de AX=O N(f) = {(,,, )} y dim N(f) =. Im(f) = <(,-,,), (,,,), (,, -, )} y dimim(f) = con 4x+y-z-8t=. d) f no es inyectiva para a= pues N(f) { }. e) (,,,) N(f)? No, puesto que no es de la forma (,,,) (,-,,) Im(f)? Sí, ya que cumple la ecuación 4.+(-)- -8 =. x x y O bien, y el sistema es compatible y el vector es imagen de z t t todos los vectores de la forma (,,z,), es decir, f(,,z,)=(,-,,). Obsérvese que f - (,-,.) = (,,z,). 8 U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía

19 f) Resolviendo el sistema de ecuaciones que define S, se obtiene que S={(,, +, + ),, R} y una base es B s ={(,,,), (,,,)} Un sistema generador de f(s) es el formado por las imágenes de los vectores de B s x f(s) = < (,-,-,), (,,-,) > y dimf(s) = rg y z t = luego f(s) 8x 4x 5x y 4t U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía 9

20 .- a) Hallar, respecto de la base canónica, la ecuación de la transformación lineal f (endomorfismo) de que verifica que f(,, ) = (7,, ), f(-,, ) = (, 7, ), f(, 5, 7) = (5,, ). b) Es f biyectiva? c) Hallar N(f) e Im(f). d) Qué condición debe satisfacer la matriz A asociada a un endomorfismo para que las imágenes de vectores linealmente independientes sean linealmente independientes? Sea A la matriz A tal que f( x )= X = AX, entonces a) A ; A 7 ; A 5 A 5 7 y como det 5 = 9 A = En resumen, si H 5, entonces f(h) 7 AHA 7 H 7 x x' =. La ecuación será: y y' z z' b) f es biyectiva si A pero A = (tiene una fila nula) luego f no es biyectiva. c) N(f) es la solución de AX=O Ecuaciones cartesianas del subespacio N(f): x x y y z Luego N(f) = (,,) > dimn(f) =, en consecuencia dimim(f)= x Ecuaciones paramétricas del subespacio Im(f): y z Im(f) = <(,-,), (,,) > d) Es necesario que f sea biyectiva, es decir que A. U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía

21 4.- Sean B = Aplicaciones lineales. Diagonalización e,e,e y B =u,u,u dos bases de y f un endomorfismo que respecto de la base B tiene por ecuación f(x, y, z) = (x +y, y + z, x + z). Se pide hallar la ecuación de f respecto de la base B siendo u = e e e, u e e, u e. Buscamos las imágenes de los vectores de la base canónica: f(,,)=(,,); f(,,)=(,,); f(,,)=(,,) y escribimos la matriz que define f respecto de la base canónica: A. Por otra parte, la matriz del cambio de base de B a la base B es: P. Si designamos f( x )= Y = A X la ecuación de f respecto de la base B las matrices A y A son semejantes y se verifica que A = P - A P, luego: Entonces la matriz que define f respecto de la base B se obtiene mediante el producto x' y' P AP, resultando la ecuación matricial x' y' x' y' U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía

22 5.- Sea f la transformación lineal de tal que: N(f) = (5,,),(,,) y f(,,)=(,-,). Se pide: a) La matriz A asociada a f respecto de la base canónica. b) Sin hacer cálculos razona porqué es un valor propio de A y cuál es su mínimo orden de multiplicidad. c) Hallar todos los valores propios de A y los subespacios de vectores propios asociados. d) Razonar si A es diagonalizable. En caso afirmativo, escribir una matriz diagonal D semejante a A y la matriz de paso correspondiente. e) Hallar A n. a) Nos dan las coordenadas de las imágenes de vectores que constituyen base pues: 5 DET Si designamos por A a la matriz asociada a f respecto de la base canónica, se verifica que: 5 5 A ; A y A A En consecuencia, y al ser 5, podemos obtener A A = b) Para cualquier vector u del núcleo f(u )= Au = = u, luego es un valor propio de A, y u es un vector propio asociado al valor propio. Como en este caso la dimensión de N(f) es, éste es el orden de multiplicidad mínimo del valor propio. c) El polinomio característico de A es Luego A tiene dos valores propios que son = doble y = simple. U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía

23 El s.v. de vectores propios asociados son: Es decir, V = N(f) y V (,, d) A es diagonalizable porque dim V = = orden de multiplicidad de = y dim V = = orden de multiplicidad de = Una matriz diagonal semejante a A es D = y la matriz que permite esta diagonalización 5 es P =, que es la matriz del cambio de una base formada por vectores propios y se verifica que D = (P BBc ) - A P BBc. e) Despejando en la expresión anterior A = P BBc D P BBc A n = P BBc D n P BBc U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía

24 6.- Sea f un endomorfismo de cuya matriz asociada A, respecto de la base canónica, verifica que tiene valores propios distintos, = doble y = simple, y que los subespacios de vectores propios asociados respectivamente son V = (,, ), (,,) y V = (,,). a) Razonar porqué A es diagonalizable. b) Escribir una matriz D diagonal semejante a A, así como la matriz de paso que permite dicha diagonalización. c) Hallar A. d) Dar sendas bases de N(f) e Im(f). e) Qué debe verificar A para que haya vectores no nulos de R invariantes por f? Sin hacer cálculos, argumenta si existen vectores no nulos de R invariantes por f. a) Los valores propios de A son = simple y = doble y los s.v. de vectores propios asociados son V = < (,, ) > y V = < (,, ),(,, ) >. A es diagonalizable porque dim V = y dim V =, es decir coinciden la multiplicidad algebraica de los valores propios con la multiplicidad geométrica de los vectores propios asociados. tenemos una base de R formada por vectores propios {(,, ), (,,), (,,)} de f. b) Por ser A diagonalizable DP APA PDP : D = y PB Bc, donde B es una base de vectores propios. c) A y D son semejantes y D = P BBc - A P BBc A = P BBc D P BBc luego: O bien, sabemos que si v es un vector propio de f se cumple: f v Av v En nuestro caso tenemos que: para el valor propio los vectores propios (,, ) y (,,); para el valor propio el vector propio (,,). Luego: A ; A ; A 4 Y en un sistema matricial, resulta: A A U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía

25 d) Núcleo de f: es el subespacio propio correspondiente al valor propio nulo, por tanto, una base puede ser {(,,)}. N(f) = V = < (,, ) > dimn(f) =, en consecuencia dimim(f)= Imagen de f: de las ecuaciones paramétricas x y x y,,,(,, ) ; Im(f) = <(,-, -), (-,,-) > x y e) Un vector no nulo x es invariante si f( x ) = x, luego todo vector invariante no nulo está asociado al valor propio =, por tanto para que haya vectores invariantes no nulos = ha de ser un valor propio de A. En consecuencia, la matriz A del ejercicio solo deja invariante al vector, luego el subespacio de vectores invariantes por f es. V es un subespacio invariante por f pues para cualquier x V es f( x ) = x V. Un s.v. F es invariante por f si para cualquier x F es f( x ) F. Si hubiera algún vector v f v v entonces sería un vector propio asociado al tal que: valor propio y como no es valor propio de A no puede existir vectores invariantes por f, salvo el vector nulo. U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía 5

26 7.- Sea f la transformación lineal de cuya matriz en la base canónica es: a b A= a) Estudiar para qué valores de a y b es A diagonalizable. b) Cuál es el subespacio de vectores invariantes por f para a =? c) Justificar para qué valores de a f no es biyectiva. a) Cálculo de los valores propios: a b a AI (a )( )( ) Podemos considerar tres casos: º caso: Si a,a, A tiene tres valores propios reales y distintos entre sí, por tanto es diagonalizable. doble º caso: Si a=-,. Estudiemos la dimensión del subespacio propio asociado al simple valor propio : ( ) b x b x by A ( )Iv ( ) y y z ( ) z z b dim V A es diagonalizable si. Puesto que la dimensión de cada subespacio b dim V A no es diagonalizable propio debe coincidir con el orden de multiplicidad del correspondiente valor propio. doble º caso: Si a=,. Estudiemos la dimensión del subespacio propio asociado al simple valor propio : b x b x AIv y y y z z dim V A es diagonalizable. Puesto que la dimensión de cada subespacio propio es igual al orden de multiplicidad del correspondiente valor propio. EN RESUMEN: A es diagonalizable si b= o bien a distinto de -. Con DERIVE Si b=, entonces A es diagonal directamente y si b, entonces 6 U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía

27 Luego los valores propios de A son = -, =, = a. Tenemos que considerar tres subcasos: i) Si a, -, A tiene valores propios reales y distintos, luego A es diagonalizable. ii) Si a = -, entonces A tiene como valores propios = - doble, = simple Luego V - = < (-,, ) > y dim V - = < = orden de multiplicidad de = -, luego A no es diagonalizable. b dim V A es diagonalizable b dim V A no es diagonalizable iii) Si a, entonces A tiene como valores propios = - simple, = doble y Luego V = < (-,, ), (,,-) > y dim V = = orden de multiplicidad de =, luego A si es diagonalizable. Resumiendo A es diagonal si b = y si b es diagonalizable a - b) El subespacio de vectores invariantes por f es el correspondiente al valor propio : b x b x AIv y y y z z El subespacio de vectores invariantes por f es V = < (-,, ), (,,-) >. c) f no es biyectiva si y sólo si A a a U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía 7

28 a) Comprobar que la matriz A= no es diagonalizable. 7 7 a b b) Comprobar, sin efectuar ningún cálculo que la matriz B= a diagonalizable para cualquier valor que tomen a y b. es a) Por ser A una matriz triangular superior CHARPOLY(A) = (7 - ) 4, luego A solo tiene un valor propio = 7 (el escalar repetido en la diagonal principal) cuyo orden de multiplicidad es 4. luego V 7 = < (-,,,) > dim V 7 = < 4 =orden de multiplicidad del valor propio 7 (Se puede comprobar con Derive que esto sucede sustituyendo 7 por cualquier nº real) b) Como en el apartado a) por ser B una matriz triangular superior sus valores propios coinciden con los elementos de la diagonal principal y por ser éstos distintos entre sí, la matriz es diagonalizable con independencia de los valores que tomen a y b. 8 U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía

29 9.- Se considera la transformación lineal de R definida por la matriz simétrica 7 A =. Se pide: 7 a) Hallar una base de vectores propios que sean ortogonales entre sí. b) Hallar una matriz de paso ortogonal y la matriz diagonal semejante a A. a) Por ser simétrica la matriz es diagonalizable Los valores propios son = simple y, = 6 doble. Los vectores propios asociados a estos valores propios son: V = < (-,, -) > y V 6 = < (-, -, ),(,, -) >. Como nos piden una base de vectores propios que sean ortogonales entre sí tomamos de V el vector (-,,-) y de V 6 los vectores (,, -) y (-,-,-); (-,, -) (,, -) = ; (-,, -) (-,-,-) = ; (,, -). (-,-,-) =, luego B = {(-,, -), (,, -), (-,-,-)} es una base de vectores propios ortogonales entre sí. b) Si consideramos los vectores unitarios correspondientes a los vectores de B, obtenemos una base ortonormal B también de vectores propios y la matriz / 6 / / P B B = / 6 / es ortogonal / 6 / / y la matriz diagonal semejante a A es: U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía 9

30 .- Demostrar que si Q es una matriz ortogonal que permite la diagonalización de A entonces A es simétrica: Si la matriz de paso Q es ortogonal Q - = Q t y A = Q D Q - = Q D Q t, en consecuencia: A t = (Q D Q t ) t = Q D t Q t = Q D Q t = A. U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía

31 .- Se considera la aplicación f: R 4 R 4 definida por: f(x, y, z, t) = (x + y + t, x y + z + t, y z, t) a) Escribir su ecuación matricial y probar que f es lineal. b) Hallar los subespacios núcleo e imagen de f y dar una base y la dimensión de cada uno de ellos. c) Dado el subespacio S = {(x, y, z, t) R 4 tales que x + y z = y + z t = }, hallar una base, la dimensión y unas ecuaciones implícitas de f(s). d) Estudiar si los vectores (,,, ) y (4,,, ) pertenecen a Im(f). e) Clasificar. a) Buscamos las imágenes de los vectores de la base canónica: f(,,,)=(,,,); f(,,,)=(,-,,); f(,,,)=(,,-,); f(,,,)=(,,,), luego y x A y por tanto, la ecuación matricial es: x Y y x y 4 x 4 4 Caracterización de las aplicaciones lineales:, R, x, y R f( x+ y)= f(x)+ f(y) En efecto: f( x+ y)=a( x+ y)= Ax+ Ay= f(x)+ f(y). y x y x b) Ecuaciones paramétricas del subespacio Im(f):, siendo los y x y 4 x 4 vectores columna de la matriz A un sistema generador de Im(f). Calculamos dimim(f)=r(a)=, luego sobra un parámetro; una base vendrá indicada por el menor que caracteriza el rango de A: B Im(f) ={(,-,,); (,,-,), (,,,)}; x y y la ecuación cartesiana xyz. z t x x x y Ecuaciones cartesianas del subespacio N(f): z y x x t 4 N(f) (,,,)/ R, dimn(f)= y una base del núcleo: B N(f) ={(-,,,)}. 4 c) S (x, y,z, t) / x y z y z t genérico de S: S (,,, ) 4 /, R resolviendo el sistema obtenemos un vector y aplicando f: AX U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía

32 f(s) AS B f(s) ={(,-,,); (,,-,)}; dimf(s)= Unas ecuaciones implícitas se obtienen de las paramétricas x' x' x' y' - x' + y' + z' = y' y' r z' z' z' x' t' t' y' - x' + y' + 5 t' = t' d) (,,,) pertenece al subespacio Im(f) si y sólo si cumple la ecuación cartesiana xyz (,,,) Im(f ). (4,,,) pertenece al subespacio Im(f) si y sólo si cumple la ecuación cartesiana xyz4 (4,,,) Im(f). e) No es biyectiva, puesto que A. U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía

33 .- Sea A= la matriz asociada a cierto endomorfismo f de R 4 respecto de la base canónica y sean los vectores u (,, ), u (,,), u (,,) de R. a) Comprobar que u, u, u es un sistema libre pero, fu,fu,fu es ligado. b) Qué condición debe satisfacer la matriz A asociada a un endomorfismo para que las imágenes de vectores l.i. sean l.i.? a) Los tres vectores forman luego son linealmente independientes. Sin embargo, sus imágenes f (u) Au no lo son; y para cada vector tenemos: f(u ) Au, f(u ) Au, f(u ) Au, siendo, por consiguiente, vectores linealmente independientes. b) La condición necesaria y suficiente es que A sea una matriz regular. Puesto que si consideramos la matriz H formada por los tres vectores columna, la matriz formada por las imágenes es el producto de A por H cuyo determinante es el producto de los determinantes siendo nulo cuando uno de ellos sea nulo: f(h)=ah f(h) A H A y H. U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía

34 .- Probar que cualquier matriz simétrica real de orden es diagonalizable. a b Sea una matriz cuadrada de orden y simétrica: A y calculemos sus valores propios b c a b AI (ac) acb. El número de soluciones reales depende del b c signo del discriminante de la ecuación de segundo grado anterior: (a c) 4(ac b ) (a c) 4b. º caso: (a c) 4b valores propios reales y distintos, A es diagonalizable. º caso: a c a (a c) 4b A b a es diagonal. º caso: (a c) 4b IMPOSIBLE! Ambos sumandos son no negativos. 4 U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía

35 4.- Halla una matriz de paso ortogonal para diagonalizar 5. Seguimos el método general: Cálculo de los valores propios: 6 AI 5 66 ( )( )(6 ) tres valores propios reales y distintos, la matriz es diagonalizable (ya que es simétrica). x Cálculo de los vectores propios: AIv 5 y. z 6 x x z Para 6 : 56 y, podemos escoger v (,,) y z 6z v vector propio unitario u / 6, / 6,/ 6. v y un x Para : 5 y x y z, podemos escoger v (,,) z v propio unitario u /,/,/. v y un vector x x z Para : 5 y, podemos escoger v (,, ) y z v vector propio unitario u /,, /. v y un Obteniendo una matriz de paso ortogonal 6 P ya que P t =P U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía 5

36 5.- Calcular A n siendo A = 5 4 Si la matriz A es diagonalizable significa que es semejante a una matriz diagonal D=P - AP y en cuyo caso A=PDP -. Siendo n n) n) n n A PDP PDP...PDP PD P P D P...P D P P DP PD...DP PD P Cálculo de los valores propios: y A es diagonalizable. I I I 5 4 AI ( )( ) son distintos 5 4 x Cálculo de los vectores propios: AIv. y Para Para 5 4 x x y v (,) y 5 4 x x y v (,) y Sustituyendo la matriz D y la matriz P en la expresión: A=PDn P - queda: n n A n n.. n n 6 U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía

37 6.- Sean B u,u,u fu u u lineal f tal que: fu 5u u. Se pide: f u 4u una base del espacio vectorial R y la transformación a) Matriz asociada a f respecto de la base B. b) Escribir su ecuación matricial. c) Hallar la expresión analítica de f respecto de la base B. d) Obtener el subespacio núcleo f. Dar una base. e) Obtener el subespacio imagen f. Dar una base. f) Son el N(f) e Im(f) suplementarios? g) Rango de f? h) Es f un epimorfismo? i) Es f un monomorfismo? j) Es f un isomorfismo? k) Es f un automorfismo? a) La matriz asociada o que define f se obtiene mediante las imágenes de los vectores de la base B u,u, : f f f u u u u u u 5u u 4u (,,) ( 5,,) (,4,) B B B AM f,b 5 4 f(u ) f(u ) f(u ) b) La ecuación matricial o ecuaciones de la transformación lineal es: y 5 x Y=AX y 4 x y x c) La expresión analítica de f resulta de escribir la ecuación de f en forma vectorial: d) El núcleo es: N(f ) x R / f (x) y las ecuaciones cartesianas son: f x,x,x x 5x,x x 4x,, luego: 5x,x x, x, x x x 4x,,, f x5x xx 4x núcleo de y una base,, B N(f ). x x x x siendo la dimensión del U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía 7

38 e) La imagen es: Im(f ) y R / x R con f (x) y, luego y 5 x 5 5 y y 4 x x x 4 x 4 y que son las y x y ecuaciones paramétricas del subespacio imagen, siendo dim(im(f))=r(a)= y una base 5,,,(,4,) B Im( f ) f) Sí, por ser N(f) Im(f) R, ya que Im(f ) N(f ) g) Rango de f? Es la dimensión de la Im(f), en nuestro caso,. h) Es f un epimorfismo? No, por no ser Im(f)=R. i) Es f un monomorfismo? No, por no ser dimn(f)=. Im(f ) N(f ) 5 r B B r 4 dimr j) Es f un isomorfismo? No, por no ser epimorfismo ni monomorfismo. k) Es f un automorfismo? No, por no ser isomorfismo.. 8 U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía

39 7.- En el espacio vectorial R (R)se define la aplicación lineal: f: R R, f(x, y, z) = (y + z, x + z, x + y). Se pide:. Matriz de f respecto de la base canónica. (llamarla A). Clasificar f.. Valores propios de f. 4. Estudiar la diagonalización de f. 5. Base de vectores propios (si procede) 6. Matriz de f respecto de esta base de vectores propios. (llamarla D) 7. Relación entre la matriz A y D. 8. Hallar las ecuaciones paramétricas de todos los subespacios invariantes. 9. Hallar A 5.. Las imágenes de los vectores de la base canónica forman la matriz A. f(,,)=(,,); f(,,)=(,,); f(,,)=(,,); A.. A f es biyectiva. simple. doble A I ( ) ( ) 4. Es diagonalizable en R por ser A simétrica. x 5. Vectores propios: AIv y. z x x Para y y v (,,) z z x x Para y y v (,, );v (,, ) z z B v,v,v. Base de vectores propios 6. D. U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía 9

40 7. D=P - AP, siendo P. 8. Subespacios invariantes: x. y z x R : y. z V V x : y z x : y z n n) n) n n 9. A PDP PDP...PDP PD P P D P...P D P P DP PD...DP PD P I I I A PD P A U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía

41 8.- Sea f: 4 4 definida por f(x,y,z,t)=(7x,7y,7z+7t,). Se pide: a) Escribir la matriz A de la aplicación y la ecuación matricial en la base canónica b) Hallar las ecuaciones implícitas de la imagen del subespacio S={(x,y,z,t) 4 /x=y=z} c) Calcular una base y las ecuaciones del núcleo y de la imagen de f d) Hallar el polinomio característico y los subespacios de vectores propios de f e) Obtener la matriz P de cambio de base que diagonaliza A y la matriz D diagonal y semejante a A a) f(,,,)=(7,,,) 7 x ' 7 x f(,,,)=(,7,,) 7 A ; y la ecuación y ' 7 y f(,,,)=(,,7,) 7 7 z' 7 7z f(,,,)=(,,7,) t' t b) x y Ecuaciones paramétricas de S: y una base de S es B S ={(,,,),(,,,)} z t x' 7 7 x' 7 y' 7 7 y' 7 ; z' z' t' t' x 7 x Im(S)=<(7,7,7,),(,,,7)>; y y x y z 7 7 z 7 7 t t t c) Ecuaciones del núcleo de f; AX= 7 x x 7 y 4 7 7z y N(f)= (x,y,z,t) / x y, zt t z t x y B N( f ) (,,, ) z t Ecuaciones de la imagen de f Tomando los transformados de los vectores de la base canónica (por filas), con Derive U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía 4

42 7 7 _ B Im( f ) (,,,),(,,,),(,,,) 7 7 x x y y Las ecuaciones paramétricas son, por tanto; z z t t y la ecuación implícita t = row reduce d) Polinomio característico A-I = 7 7 DET 7 7 ( 7) Los valores propios son y =7 El subespacio de vectores propios asociados a es N(f) cuya dimensión es dimn(f)= El subespacio de vectores propios asociados a 7 viene dado por la ecuación AX=7X (A-7I) X = 7 7 x x 7 7 y y t z 7 z 7t 7t Éste es precisamente la imagen de f cuya dimensión es dimim(f) = y una base se había calculado anteriormente: BIm( f ) (,,,),(,,,),(,,,) e) La matriz P de cambio de base que diagonaliza A es la matriz de cambio de base de una base de vectores propios a la base canónica. P D=P - AP D U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía

43 9.- Sea f una transformación lineal de R 4 tal que su matriz asociada respecto de la base canónica es: 4 A= 6 5 a) Hallar sendas bases de N(f) e Im(f). b) Hallar el polinomio característico y los vectores propios de f, así como los s.v. de vectores propios asociados Coincide N(f) con alguno de éstos últimos? c) Escribir el enunciado de un teorema de diagonalización que pruebe que A es diagonalizable y dar una base de vectores de R 4 respecto de la cual la matriz asociada a f sea una matriz D diagonal. d) Dar D y la matriz P de cambio de base que diagonaliza A. e) Escribir la definición de matrices semejantes Son A y D semejantes? En caso afirmativo hallar A 7 utilizando que A y D son semejantes. -4 #: A -6 5 a) Ecuaciones del núcleo de f; AX= x y #: SOLUTIONS A =, [x, y, z, t], Real z t #: ]] Una base del N(F)={(,,-,)} #4: ROW_REDUCE(A`) = Una base de Im(f)={(,,,), (,,,), (,,,)} Obsérvese que dimn(f)+dim(im(f))=dimr 4 =4 b) Polinomio característico #5: CHARPOLY(A) = w (w - ) (w - w - ) Valores propios #6: SOLVE(w (w - ) (w - w - ), w, Real) U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía 4

44 #7: w = w = - w = Subespacio propio asociado al valor propio doble: - - #8: EXACT_EIGENVECTOR(A, ) = - - V=<{(-/,,-,), (-/,,,-)}> Subespacio propio asociado al valor propio - simple: - #9: EXACT_EIGENVECTOR(A, -) = - V-=<{(-,,,-)}> Subespacio propio asociado al valor propio simple: #: EXACT_EIGENVECTOR(A, ) = - V=<{(,,-,)}> es precisamente el núcleo de f. c) A es diagonalizable si todos los valores propios son números reales y cada valor propio cumple que su orden de multiplicidad coincide con la dimensión del correspondiente subespacio propio. La base formada por los vectores propios es: {(-/,,-,), (-/,,,-), (-,,,-), (,,-,)} d) #: D - La matriz del cambio de base: #: P U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía

45 En efecto: -4 - #: P D P = -6 5 e) A y D son semejantes si y sólo si A = P - D P siendo P una matriz regular. A = P - D P, luego D = P A P #4: 7 A = 7 - P D P = U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía 45

46 k.- Analizar si la matriz A es diagonalizable según los valores del 6 parámetro k. Primeramente calculamos los valores propios: 6 k 4k AI (6 )( k). Consideramos los 6 4k siguientes casos: Si +4k<, es decir, k</4, entonces hay raíces complejas y por tanto A no es diagonalizable. Si k=/4, entonces λ =λ =/ raíz doble. Es necesario calcular la dimensión del subespacio propio asociado a dicho valor propio. k /4 x AIv y. Para λ=/, se obtiene: 6z k /4 x y x y. Cuya dimensión es y no coincide con el grado de z z 6 multiplicidad del valor propio λ=/ que es doble. Luego A no es diagonalizable. Si +4k>, es decir, k>/4, entonces hay dos raíces reales y distintas; pero puede ser λ = 4k λ =6 k /4 y como λ=6 es doble calculamos la dimensión del 6 k x 5x y z subespacio propio asociado 6 y. Cuya x6yz 6 6z dimensión es y no coincide con el grado de multiplicidad del valor propio 6 que es dos y por tanto A no es diagonalizable. Por último, Si k>/4 y k no es 6 resultan tres valores propios reales y distintos entre sí, luego A es DIAGONALIZABLE. 46 U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía

47 .- Sea la matriz A Aplicaciones lineales. Diagonalización. a) Calcular los autovalores de A y sus respectivas multiplicidades algebraicas. b) Hallar las ecuaciones paramétricas y cartesianas de los subespacios propios de A. c) Obtener una base unitaria de R 4 formada por vectores propios unitarios de A. d) Calcular una matriz diagonal semejante a la matriz A. e) Calcular el producto matricial A n. doble a) AI doble b) AIv Para λ= resulta y=t= unas ecuaciones cartesianas; x=α,z=β unas ecuaciones paramétricas. x xyt y Para λ= resulta unas ecuaciones cartesianas; unas ecuaciones yzt z t paramétricas. c) De cada subespacio propio, por ser de dimensión dos, se obtienen dos vectores linealmente independientes: U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía 47

48 ,,, los dos primeros unitarios y los dos siguientes de módulo / y respectivamente, luego,,, es una base unitaria del espacio R 4. d) D e) Por ser A diagonalizable D=P - AP y despejando A=PDP -, de donde, n n n A PD P n n n n n. Lo que nos permite calcular A n n n n n 48 U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía

49 .- Dada la transformación lineal de R definida por: f(x, y, z) = (4x + y - 4z, z - x, x + y - z) Se pide: a) La matriz A asociada a f respecto de la base canónica. b) Sendas bases de N(f) e Im(f). c) Una base del subespacio ortogonal de N(f). d) Estudiar si A es diagonalizable y, en su caso, dar la matriz diagonal. e) Hallar la matriz asociada a f respecto de la base B = { (,, ), (, -, ), (,, )} 4 4 a) A b) N(f) es la solución de A X = O 4 4 x 4x y 4z x z y x z y z x y z (f ),,,, R B,, N(f 4,,,,,, 4,, N ) Im( f ) 4 4 rg BIm( f ) c),,,,, N (f ) es el plano vectorial ortogonal a la recta,,, luego, la ecuación implícita es:,,,,, x + z =, y una base es B N(f ). d) Valores propios de A: doble A I simple Vectores propios asociados a : V = N(f) =,, Luego, dim V= orden de multiplicidad del valor propio. Por tanto, A no es diagonalizable. 4 e) A B' P AP siendo P la matriz de paso de B a B. 4 = U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía 49

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