Solución a los problemas adicionales Aplicaciones lineales (Curso )

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Solución a los problemas adicionales Aplicaciones lineales (Curso 2008 2009)"

Transcripción

1 ÁLGEBRA Solución a los problemas adicionales Aplicaciones lineales (Curso ) I. Se considera el homomorfismo f : P 2 (IR) P 2 (IR) definido por las siguientes condiciones: (1) Los polinomios sin término independiente se transforman por f en sí mismos. (2) El núcleo de f es el subespacio de los polinomios de P 2 (IR) que tienen los tres coeficientes iguales. Se pide: (a) Matriz del homomorfismo f en la base canónica de P 2 (IR), B = {1, x, x 2 }. Hay que tener en cuenta que para definir un homomorfismo de espacios vectoriales basta saber como actúa sobre los vectores de una base. En este caso, por la condición 1 sabemos que f(x) = x y f(x 2 ) = x 2. Además por la condición 2, f(a + ax + ax 2 ) = 0 para cualquier a IR. Pero por linealidad de f y utilizando ambas condiciones: 0 = f(a + ax + ax 2 ) = af(1) + af(x) + af(x 2 ) = af(1) + ax + ax 2 Deducimos que f(1) = x x 2 y podemos escribir ahora la matriz del morfismo en la base canónica C: F CC = (b) Base del subespacio transformado del de ecuaciones paramétricas a 0 = λ + ρ a 1 = λ ρ a 2 = λ El espacio que queremos transformar tiene por base los vectores cuyas coordenadas en la base canónica son (1, 1, 1) y (1, 1, 0). Utilizando la expresión matricial anterior, vemos que las coordenadas de sus imágenes en la base canónica son: f(1, 1, 1) = (0, 0, 0) y f(1, 1, 0) = (0, 2, 1). Por tanto una base del subespacio transformado está formada por el vector de coordenadas en la base canónica (0, 2, 1) o equivalentemente por el vector { 2x x 2 }. (c) Dar una determinación de la restricción de f al subespacio { a0 2a 1 = 0 a 1 + a 2 = 0 Consiste en decir como está definida la apliación sobre vectores del subespacio vectorial que nos indican. Teniendo en cuenta que el subespacio está definido por dos ecuaciones cartesianas independientes en un espacio de dimensión 3, su dimensión es 1. Calculemos una base. Para ello hallamos las ecuaciones paramétricas: a 0 2a 1 = } 0 a 1 + a 2 = 0 { } a0 = 2a 1 a 2 = a 1 a 0 = 2λ a 1 = λ a 2 = λ Por tanto una base de este subespacio expresada en coordenadas en la base canńonica es {(2, 1, 1)} (es decir, el poliomio, 2 + x x 2 ). Ahora teniendo en cuenta que todo vector de este subespacio tiene por

2 coordenadas λ(2, 1, 1). Para ver como actúa f sobre él basta calcular como actúa f sobre el vector de la base. Utilizamos para ello la matriz que habíamos obtenido: f(2, 1, 1) = ( ) = ( ) Es decir, la matriz, de la restricción de f a este subespacio, con respecto a las bases {(2 + x x 2 } y a la canónica es: ( ) (d) Sea g : P 2 (IR) P 1 (IR) definido así: g(p(x)) = p(x) p(x 1). Encontrar la matriz de la aplicación g f (1) en las bases canónicas de P 2 (IR) y P 1 (IR), Podemos calcular la matriz de la aplicación g en las bases canónicas. La matriz de g f será el producto de ambas matrices. Para hallar la matriz de g calculamos las imágenes de los vectores de la base canónica: g(1) = 1 1 = 0 g(x) = x (x 1) = 1 g(x 2 ) = x 2 (x 1) 2 = 1 + 2x Ahora la matriz de la aplicación g en las bases canónicas C y C 1 de P 2 (IR) yp 1 (IR) respectivamente son: G CC1 = Para hallar la matriz de h = g f multiplicamos la matriz de f por la matriz de g: H CC1 = F CC G CC1 = = (2) en la base {1 + x + x 2, 1 + x, 1} en P 2 (IR) y la canónica en P 1 (IR), Tenemos en cuenta que para pasar de coordenadas en la base C = {1 + x + x 2, 1 + x, 1} a la base canónica C hay que multiplicar por la matriz: Por tanto la matriz que buscamos es: M C C = H C C 1 = M C CH CC1 = = (3) en la base canónica en P 2 (IR) y la C 1 = {1 + x, 1 x} en P 1 (IR), Para pasar de coordenadas en la base {1 + x, 1 x} a la canónica hay que multiplicar por la matriz: M C 1 C 1 =

3 Por tanto la matriz que buscamos es: H C C 1 = H CC1 M C1C 1 = H CC 1 M 1 C 1 C1 = ( (4) en las bases {1 + x + x 2, 1 + x, 1} en P 2 (IR) y {1 + x, 1 x} en P 1 (IR). Ahora teniendo en cuenta lo anterior, la matriz buscada es: H C C 1 = M C CH CC1 M 1 C = C ( ) 1 = 1 1 1/2 1/2 1/2 3/2 ) 1 = 0 0 1/2 3/2 1 1 II. Sean U, V y W tres espacios vectoriales sobre un mismo cuerpo K, f y g aplicaciones lineales f : U V y g : V W. Demostrar que: Ker(g f) = f 1 (Kerg Imf) Primero veamos que Ker(g f) f 1 (Kerg Imf). Sea x Ker(g f). Quiere decir que g(f(x)) = 0, pero entonces f(x) Ker g y obviamente f(x) Im f. Por tanto f(x) Ker g Im f y vemos que x f 1 (Ker g Im f). Ahora veamos que f 1 (Ker g Im f) Ker (g f). Sea x f 1 (Ker g Im f). Quiere decir que f(x) Kerg Im f. En particular f(x) Ker g y por tanto g(f(x)) = 0, es decir, (g f)(x) = 0 y x Ker (g f). (Primer parcial, enero de 2002) III. Sea E un espacio vectorial sobre el cuerpo K y f, g : E E dos endomorfismos tales que f + g = i E y g f = θ (i E denota el endomorfismo identidad; θ el endomorfismo cero). Demostrar que E = Im f Im g. METODO I: Tenemos que probar que Im f + Im g = E e Im f Im g = { 0}. En primer lugar, como f + g = i E, entonces Im f + Im g = E, ya que dado u E: u = i E (u) = (f + g)(u) = f(u) + g(u) Por otra parte como g f = θ, entonces g(f(x)) = 0 para cualquier x E y por tanto Imf Ker g. Utilizando ahora las fórmulas de la dimensión tenemos: dim(im f + Im g) + dim(im f Im g) = dim(im f) + dim(im g) dim(ker g) + dim(im g) = dim(e) Como dim(im f +Im g) = dim(e), deducimos que dim(im f Im g) 0 y por tanto Im f Im g = { 0}. METODO II: Aunque el método anterior está bien para los espacios que nosotros manejamos (de dimensión finita), no es del todo correcto para espacios de dimensión infinita. Podemos hacer otra demostración válida en cualquier caso.

4 De nuevo, probaremos que Im f + Im g = E e Im f Im g = { 0}. En primer lugar nos fijamos en que: f + g = i E g f + g g = g, y como g f = θ, queda g g = g Entonces, como antes de f + g = i E, se deduce que Im f + Im g = E. Veamos ahora que la intersección de ambas imágenes es { 0}. Supongamos y Im f Im g, es decir, y = f(x 1 ) = g(x 2 ), x 1, x 2 E. Entonces: f(x 1 ) = g(x 2 ) g(f(x 1 )) = g(g(x 2 )) 0 = (g g)(x 2 ) 0 = g(x 2 ) Luego y = g(x 2 ) = 0 y por tanto Im f Im g = { 0}. (Primer parcial, febrero 2001) IV. Sea f una aplicación lineal del espacio vectorial real S 2 de las matrices simétricas de dimensión 2, en el espacio vectorial real M 2 2 de las matrices cuadradas de dimensión 2, siendo: f =, f =, f = Se pide: (a) Matriz de f, indicando las bases en las que está definida. La forma más rapida de escribir la matriz de f es utilizar los vectores sobre los cuales está definida: { } B =,, Estos forman una base por que sus coordenadas en la base canónica de S 2 son (1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0) y estos tres vectores son independientes. Por tanto si consideramos la base B en S 2 y la base canónica C 1 en M 2 2, la matriz de f respecto a estas bases es: F BC1 = Si quisiéramos la matriz en función de las bases canónicas en ambos espacios, bastaría multiplicar por la inversa de la matriz que transforma coordenadas en bases B a coordenadas en la base canónica de S 2. Es decir, quedaría: F CC1 = M 1 BC F BC 1 = = (b) Ecuaciones {( paramétricas ) ( de) la imagen ( de ) f, ( en la base )} B 1 =,,, La imagen está generada por las matrices cuyas coordenadas en la base canónica son (2, 0, 1, 1), ( 1, 1, 2, 1), (0, 2, 3, 3). Primero veamos si estos vectores son independientes. Los colocamos matricialmente y calculamos el rango haciendo reducción por filas: H21(2) Vemos que el rango es 2 y la imagen está generada por los vectores cuyas coordenadas en la base canónica son ( 1, 1, 2, 1), (0, 2, 3, 3).

5 Por otra parte la matriz para pasar de coordenadas en la base que nos dan a la base canónica es: M B1C 1 = Por tanto las coordenadas de los vectores que generan la imagen expresadas en la base que nos dan serán: ( ) = ( 1 0 3/2 1/2 ) ( ) = ( ) Dado que la dimensión de la imagen es 2, dichos vectores forman una base de la imagen. Las ecuaciones paramétricas en la base que nos dan serán: y 1 = λ µ y 2 = µ y 3 = 3λ/2 3µ y 4 = λ/2 (c) Ecuaciones cartesianas del núcleo de f, en la base B 2 = Las ecuaciones del núcleo en la base canónica satisfacen: { 2 2, 2 2 ( x 1 x 2 x 3 ) = , 1 0 } Dado que la dimensión de la imagen es 2 y la dimensión de S 2 es 3, el núcleo tiene dimensión 1, luego está definido por dos ecuaciones independientes. Basta tomar en la matriz anterior dos columnas independientes: x 2 + 3x 3 = 0 2x 1 x 2 x 3 = 0 Ahora para expresarla en la base que nos dan tenemos en cuenta que si (x 1, x 2, x 3 ) son coordenadas en dicha base se tiene: ( x 1 x 2 x 3 ) = ( x 1 x 2 x 3 ) y por tanto las ecuaciones que definen al núcleo en la base dada son: 4x 1 x 2 x 3 = 0 x 2 + 3x 3 = 0 (d) Encontrar un subespacio de S 2 y otro de M 2 2, ambos de dimensión 2, entre los que la restricción de f a ellos sea biyectiva.

6 Basta tomar un subespacio de S 2 de dimensión 2 que no interseque al núcleo. Dado que las dos primeras filas de la matriz de f con respecto a la base B 1 de S 2 y la base canónica de M 2 2 son independientes podemos tomar en S 2 el espacio generado por: {( ), } La imagen es el subespacio generado por las matrices: { } , (Primer parcial, enero de 2002) V. Sea V un espacio vectorial y V 1 y V 2 dos subespacios vectoriales suyos. Se define la aplicación lineal: f : V 1 V 2 V ; f( x 1, x 2 ) = x 1 + x 2 Demostrar que la condición necesaria y suficiente para que V 1 y V 2 sean suplementarios es que f sea biyectiva. Para comprobar cuando la aplicación es biyectiva, veremos cuando es inyectiva y cuando sobreyectiva. Dado que f es lineal, esto es equivalente a estudiar su núcleo y su imagen. Estudiemos primero el núcleo: Ker(f) ={( x 1, x 2 ) V 1 V 2 x 1 + x 2 = 0} = ={( x 1, x 2 ) V 1 V 2 x 1 = x 2 } = ={( x 1, x 1 ) V 1 V 2 x 1 V 1 V 2 } Por tanto vemos que una condición necesaria y suficiente para que el núcleo sea ( 0, 0) es que V 1 V 2 = { 0}. Ahora estudiamos la imagen: Im(f) = { x V existen x 1 V 1 ; x 2 V 2 con x = x 1 + x 2 } = V 1 + V 2 Por tanto ahora vemos que una condición necesaria y suficiente para que la imagen de f coincida con V es que V 1 + V 2 = V. Combinando ambas afirmaciones deducimos que una condición necesaria y suficiente para que f sea biyectiva es que V 1 y V 2 sean suplementarios. VI. Sean S 1 y S 2 dos subespacios vectoriales de un espacio vectorial V sobre un cuerpo K. Considérense las aplicaciones f g S 1 S 2 S 1 S 2 V f( x) = ( x, x) g( x 1, x 2 ) = x 1 + x 2 (a) Demostrar que f y g son homomorfismos. Sean λ, µ K y x, ȳ S 1 S 2. Hay que comprobar que f(λ x + µȳ) = λf( x) + µf(ȳ): f(λ x + µȳ) = (λ x + µȳ, (λ x + µȳ)) = λ( x, x) + µ(ȳ, ȳ) = λf( x) + µf(ȳ) Sean ahora λ, µ K y ( x 1, x 2 ), (ȳ 1, ȳ 2 ) S 1 S 2. Veamos que g(λ( x 1, x 2 ) + µ(ȳ 1, ȳ 2 )) = λg( x 1, x 2 ) + µg(ȳ 1, ȳ 2 ): g(λ( x 1, x 2 ) + µ(ȳ 1, ȳ 2 )) = g(λ x 1 + µȳ 1, λ x 2 + µȳ 2 ) = λ x 1 + µȳ 1 + λ x 2 + µȳ 2 = = λ( x 1 + x 2 ) + µ(ȳ 1 + ȳ 2 ) = λg( x 1, x 2 ) + µg(ȳ 1, ȳ 2 )

7 (b) Calcular el núcleo y la imagen de f y g. El núcleo de f son los vectores x S 1 S 2, verificando f( x) = 0, es decir, ( x, x) = (0, 0). Por tanto: Ker f = { 0} La imagen de f son los vectores de la forma f( x) = ( x, x), es decir, Im f = {( x, x) S 1 S 2 / x S 1 S 2 } El núcleo de g son los vectores ( x 1, x 2 ) S 1 S 2, verificando g( x 1, x 2 ) = { 0}, es decir, x 1 + x 2 = { 0} o equivalentemente x 2 = x 1. Además si x 1 S 1, entonces x 2 = x 1 S 1. Por tanto: Ker g = {( x, x) S 1 S 2 / x S 1 S 2 } = Im f La imagen de g son los vectores de la forma g( x 1, x 2 ) = x 1 + x 2, con x 1 S 1 y x 2 S 2, es decir, Im g = S 1 + S 2 (c) Deducir que si V es de dimensión finita, dim(s 1 + S 2 ) + dim(s 1 S 2 ) = dims 1 + dims 2. Utilizamos las fórmulas: dim(im f) + dim(ker f) = dim(s 1 S 2 ) dim(im g) + dim(ker g) = dim(s 1 S 2 ) = dim(s 1 ) + dim(s 2 ) Restando ambas ecuaciones y teniendo en cuenta que dim(ker f) = 0, Im f = Ker g y Im g = S 1 + S 2 queda: dim(s 1 + S 2 ) = dim(s 1 S 2 ) (dim(s 1 ) + dim(s 2 )) es decir, dim(s 1 + S 2 ) + dim(s 1 S 2 ) = dim(s 1 ) + dim(s 2 ) (Primer parcial, febrero 1996) VII. Sea V el espacio vectorial de los polinomios reales de grados menor o igual que 2; sean: p(x) = 1 + x + x 2 ; q(x) = 1 + 2x 2 ; r(x) = x + x 2, y sean u = (2, 0, 1); v = (3, 1, 0); w = (1, 2, 3). Considérese la aplicación lineal f : V IR 3 definida por: f(p(x)) = u; f(q(x)) = v; f(r(x)) = w. (a) Hallar la matriz de f respecto de las bases canónicas de V y IR 3. Llamamos B 1 = {p(x), q(x), r(x)} al conjunto de polinomios dado. Veamos que es una base de V. Dado que dim(v ) = 3, basta comprobar que la matriz de sus coordenadas con respecto a la base canónica tiene rango 3:

8 Entonces la matriz de F respecto a la base B 1 de V y la base canónica C 2 de IR 3, será: p(x) (2, 0, 1) q(x) (3, 1, 0) F B 1C 2 = r(x) (1, 2, 3) Tenemos que cambiar de base en el primer espacio. La matriz de paso de la base B 1 a la canónica C 1 de V es: M B1C 1 = Por tanto la matriz pedida es: F C1C 2 = M C1B 1 F B1C 2 = = /2 1/2 1/ /2 1/2 1/ Operando queda: F C1C 2 = / /2 1 (c) Hallar una base B de V y otra base C de IR 3 tales que respecto de ellas, la matriz de f sea la identidad Id 3. Tenemos en cuenta que los vectores B 2 = {ū, v, w} forman una base de IR 3, ya que dim(ir 3 ) = 3 y la matriz de sus coordenadas tiene rango 3 (su determinante es no nulo): = 1 0 Por tanto la aplicación f lleva la base B 1 en la base B 2, y así la matriz de f respecto a estas bases es la identidad. VIII. Se considera el endomorfismo f : P 2 P 2 definido por: f(1) = 1; f(x 1) = x + 1; f((x 1) 2 ) = 2x + 3. (a) Hallar la matriz de f respecto a la base canónica de P 2. La base canónica de P 2 es C = {1, x, x 2 }. Para hallar la matriz pedida tenemos que calcular las imágenes de estos polinomios. Sin embargo teniendo en cuenta los datos que nos dan, procederemos de la siguiente forma. Veamos en primer lugar que B = {1, x 1, (x 1) 2 } forman una base de P 2. Como dim(p 2 ) = 3, basta ver que estos 3 polinomios son independientes. Para ello estudiamos el rango de su matriz de coordenadas respecto a la base canónica: 1 (1, 0, 0) (x 1) ( 1, 1, 0) (x 1) 2 = x 2 2x + 1 (1, 2, 1) Tiene rango 3 y concluimos que B es una base.

9 Ahora es fácil calcular la matriz de f respecto a las bases B y C: f(1) = 1 (1, 0, 0) f((x 1)) = x + 1 (1, 1, 0) f((x 1) 2 ) = 2x + 3 (3, 2, 0) F BC = Finalmente para obtener la matriz pedida hacemos un cambio de base: F CC = M CB F BC = M 1 BC F BC donde: Operando queda: M BC = y M 1 BC = F CC = (b) Probar que los polinomios B = {1, x 1, (x 1) 2 } forman una base de P 2. Hallar la matriz de f respecto a esta base. Ya hemos visto que B es una base. La matriz pedida es: F BB = F BC M CB = F BC M 1 BC = = (c) Hallar las ecuaciones paramétricas e implícitas del núcleo Ker(f) con respecto a la base canónica y a la base B. Trabajamos primero con respecto a la base canónica. Denotamos por (a, b, c) las coordenadas de un polinomio respecto dicha base. El núcleo sera: Las ecuaciones implícitas quedan: ker(f) = {(a, b, c) P 2 (a, b, c)f CC = 0} a + 2b + 6c = 0 b + 4c = 0 Son dos ecuaciones independientes. Por tanto dim(ker(f)) = 3 2 = 1. Las paramétricas dependerán de un sólo parámetro: a = 2b 6c = 8c 6c = 2c b = 4c a = 2λ b = 4λ c = λ Hacemos lo mismo pero ahora respecto a la base B. Podríamos cambiar de base las ecuaciones anteriores. Pero también podemos volver a calcular el núcleo utilizando la matriz F BB. Denotamos por (a, b, c ) las coordenadas de un polinomio respecto dicha base. El núcleo sera: ker(f) = {(a, b, c ) P 2 (a, b, c )F BB = 0} Las ecuaciones implícitas quedan: a + 2b + 5c = 0 b + 2c = 0

10 Y las paramétricas: a = 2b 5c = c b = 2c a = λ b = 2λ c = λ (d) Calcular una base de polinomios de la imagen Im(f). Sabemos que la imagen de f tiene dimensión 2, ya que: dim(im(f)) = dim(p 2 ) dim(ker(f)) = 3 1 = 2. Basta escoger dos polinomios independientes que estén en la imagen. f((x 1)) = (x + 1): {1, x + 1}. Por ejemplo f(1) = 1 y IX. Sea S 2 (IR) el espacio vectorial de matrices reales simétricas 2 2. Sea P 2 (IR) el espacio de polinomios con coeficientes reales de grado menor o igual que 2. Definimos la aplicación: p f : P 2 (IR) S 2 (IR); f(p(x)) = (0) p (1) p (1) p ( 1) (a) Probar que f es una aplicación lineal y escribir la matriz asociada a f con respecto a las bases canónicas de P 2 (IR) y S 2 (IR). Veamos primero que es una aplicación lineal. Hay que ver que para cualesquiera p(x), q(x) P 2 (IR) y λ IR, f(p(x) + q(x)) = f(p(x)) + f(q(x)) y f(λp(x)) = λf(p(x)). Pero: (p + q) f(p(x) + q(x)) = (0) (p + q) (1) p (p + q) (1) (p + q) = (0) + q (0) p (1) + q (1) ( 1) p (1) + q (1) p ( 1) + q = ( 1) p = (0) p (1) q p (1) p + (0) q (1) ( 1) q (1) q = f(p(x)) + f(q(x)) ( 1) Y además: λp f(λp(x)) = (0) λp (1) λp (1) λp ( 1) p = λ (0) p (1) p (1) p = λf(p(x)) ( 1) La base canónica de P 2 (IR) es C = {1, x, x 2 } y la de S 2 (IR) es C 1 = { 1 0, , 1 0 } Para calcular la matriz de f con respecto a dichas bases calculamos las imágenes de la primera y las expresamos en coordenadas con respecto a la segunda: 0 0 f(1) = (0, 0, 0) f(x) = (1, 1, 1) 1 1 f(x ) = (0, 2, 2) 2 2 La matriz pedida es: F CC (b) Probar que B = {x 2, (x 1) 2, (x + 1) 2 } es base de P 2 (IR).

11 Escribimos las coordenadas de los polinomios de B expresadas en la base canónica: Tenemos: x 2 (0, 0, 1) (x 1) 2 = 1 2x + x 2 (1, 2, 1) (x + 1) 2 = 1 + 2x + x 2 (1, 2, 1) = 4 Vemos que los tres vectores son independientes porque el determinante de la matriz que forman sus coordenadas es no nulo. Pero, dado que P 2 (IR) tiene dimensión 3, tres vectores independientes forman una base. (c) Calcular las ecuaciones cartesianas del núcleo de f expresadas en coordenadas en la base B. Vemos primero como se relacionan la base canónica C y la base B. Llamamos {e 1, e 2, e 3 } a los vectores de la base canónica y (x, y, z) las coordenadas en dicha base; llamamos {u 1, u 2, u 3 } a los vectores de la base B y (x, y, z ) a las coordenadas. Se tiene: {u i } = {e i } (x, y, z) = (x, y, z ) x = y + z y = 2y + 2z z = x + y + z Es decir la matriz de cambio de base de B a C es: M BC = Método I: Calculamos primero el núcleo trabajando en la base canónica. Son los vectores cuya imagen por f es el 0: (x, y, z) y = 0 { y = = 0 y + 2z = z = 0 y 2z = 0 Estas son las ecuaciones cartesianas del núcleo en la base canónica. Ahora cambiamos cada ecuación de coordenadas en la base canónica a coordenadas en la base B utilizando la expresión anterior. Obtenemos: { } { 2y + 2z = 0 y = z x + y + z = 0 x = 2z Método II: Calculamos la matriz asociada a f respecto a la base B en P 2 IR y la canónica en S 2 (IR), bien directamente o bien haciendo el cambio de base: F BC1 = M BC F CC1 = = Ahora calculamos el núcleo pero trabajando directamente en la base B: (x, y, z ) y + 2z = = 0 2x + 4z = x 4y = 0 { y = z x = 2z

12 (d) Calcular una base de la imagen de f y escribir las ecuaciones cartesianas de un espacio suplementario. Trabajamos con coordenadas en la base canónica de S 2 (IR). Las denotaremos por (a, b, c). La imagen está generada por los vectores fila de la matriz: Por tanto una base de la imagen está formada por los vectores cuyas coordenadas ( en la) base ( canónica ) del espacio S 2 (IR) son {(1, 1, 1), (0, 2, 2)} o equivalentemente por las matrices {, } Para calcular un espacio suplementario basta completar dicha base a una base de S 2 (IR). Basta añadir el vector (1, 0, 0) ya que los vectores {(1, 1, 1), (0, 2, 2), (1, 0, 0)} son independientes. Por tanto un espacio suplementario estará generado por el vector (1, 0, 0). Sus ecuaciones paramétricas serán: a = λ; b = 0; c = 0 y las cartesianas: b = 0; c = 0 (e) Sea U = {A S 2 (IR)/traza(A) = 0}. Probar que U es un subespacio vectorial de S 2 (IR). Calcular las ecuaciones paramétricas y cartesianas de U, U Im(f) y U + Im(f). Veamos primero que U es subespacio vectorial: - Es no vacío, porque Ω U. - Si A, B U, es decir traza(a) = traza(b) = 0, entonces: y A + B U. traza(a + B) = traza(a) + traza(b) = 0 - Si A U (es decir traza(a) = 0) y λ IR, entonces: y λa U. Ahora sea traza(λa) = λtraza(a) = 0 a b A = b c una matriz simétrica de dimensión 2. Se tiene A U cuando a + c = 0. Por tanto en la base canónica, la ecuación cartesiana de U es: a + c = 0 Las paramétricas serán: a = λ; b = µ; c = λ Luego una base de U viene dada por los vectores {(1, 0, 1), (0, 1, 0)}. Calculemos U Im(f). Vimos que una base de Im(f) es {(1, 1, 1), (0, 2, 2)}. Por tanto todo vector de Im(f) es de la forma: (a, b, c) = λ(1, 1, 1) + µ(0, 2, 2) Imponemos que dicho vector esté en U, es decir, que verifique su ecuación cartesiana: λ + λ 2µ = 0 2λ = 2µ

13 Por tanto los vectores de U Im(f) son de la forma: (a, b, c) = µ(1, 1, 1) + µ(0, 2, 2) = µ(1, 3, 1) Deducimos que una base de U Im(f) está formada por el vector {(1, 3, 1)}. Sus ecuaciones paramétricas son: a = λ; b = 3λ; c = λ; Y las cartesianas: a + c = 0; 3a b = 0; Finalmente tenemos: dim(u + Im(f)) = dim(u) + dim(im(f)) dim(u Im(f)) = = 3 = dim(s 2 (IR)) Por tanto U + Im(f) es todo el espacio S 2 (IR) y una base puede ser la propia base canónica de S 2 (IR). Las ecuaciones paramétricas son: a = λ; b = λ; c = λ; Las cartesianas no tiene sentido escribirlas porque U + Im(f) es todo el espacio vectorial S 2 (IR). (Examen parcial, enero 2004) X. Sea P 3 (IR) el espacio vectorial de polinomios de grado menor o igual que 3. Definimos la siguiente aplicación: f : P 3 (IR) P 3 (IR), f(p(x)) = p(x + 1) p(x). a) Probar que f es lineal. Sean p(x), q(x) dos polinomios de grado menor o igual que 3 y a, b números reales: f((ap + bq)(x)) = (ap + bq)(x + 1) (ap + bq)(x) = ap(x + 1) + bq(x + 1) ap(x) bq(x) = Por tanto si es lineal. = a(p(x + 1) p(x)) + b(q(x + 1) q(x)) = af(p(x)) + bf(q(x)). b) Probar que los polinomios B = {q 0 (x), q 1 (x), q 2 (x), q 3 (x)} definidos como: q 0 (x) = 1; q 1 (x) = x 1; q 2 (x) = son una base de P 3 (IR). (x 1)(x 2) ; q 3 (x) = 2 (x 1)(x 2)(x 3) ; 6 Tenemos en cuenta que cada polinomio q i (x) es de grado i. En concreto su término de mayor grado es x i /i!. Por tanto la matriz de coordenadas de estos polinomios con respecto a la baser canónica es: /2 0 1/6 donde los términos con no necesitamos calcularlos. La matriz es triangular inferior con términos en la diagonal no nulos. Deducimos que tiene rango máximo. Los 4 polinomios son independientes. Y cuatro vectores independientes en un espacio vectorial de dimensión 4 forman una base. c) Calcular la matriz asociada a f con respecto a la base B. Método I:

14 Calculamos la imagen de los polinomios de B y la expresamos respecto a la base B: f(q 0 (x)) = q 0 (x + 1) q 0 (x) = 1 1 = 0 f(q 1 (x)) = q 1 (x + 1) q 1 (x) = (x + 1 1) (x 1) = 1 = q 0 (x) (x)(x 1) (x 1)(x 2) f(q 2 (x)) = q 2 (x + 1) q 2 (x) = = x 1 = q 1 (x) 2 2 (x)(x 1)(x 2) (x 1)(x 2)(x 3) (x 1)(x 2) f(q 3 (x)) = q 3 (x + 1) q 3 (x) = = Deducimos que la matriz asociada es: F BB = Método II: Calcularemos primero la matriz asociada respecto a la base canónica: f(1) = 1 1 = 0 f(x) = (x + 1) x = 1 f(x 2 ) = (x + 1) 2 x 2 = 1 + 2x f(x 3 ) = (x + 1) 3 x 3 = 1 + 3x + 3x 2 Por tanto la matriz asociada respecto a la base canónica es: F CC = Por último, hacemos el cambio de base: donde M BC = F BB = M BC F CC M 1 BC, /2 1/ /6 1 1/6. = q 2 (x) d) Calcular las ecuaciones paramétricas e implícitas de la imagen y del núcleo de f con respecto a la base B y a la base canónica. Trabajamos primero respecto a la base B. La imagen está generada por las filas de la matriz asociada: Es claro que tiene rango 3 y sus generadores son: Por tanto las ecuaciones paramétricas son: Im(f) = L{(1, 0, 0, 0) B, (0, 1, 0, 0) B, (0, 0, 1, 0) B }. x = α y = β z = γ t = 0

15 y la implícita: t = 0. El núcleo sabemos que tendrá dimensión 4 3 = 1. Sus ecuaciones implícitas son: (x, y, z, t ) B F BB = (0, 0, 0, 0) y = 0, z = 0, t = 0. y sus paramétricas: x = α y = 0 z = 0 t = 0 Ahora cambiaremos los generadores de estos subespacios de la base B a la base canónica. Podemos usar la matriz de cambio de base, o tener en cuenta que: (1, 0, 0, 0) B = q 0 (x) = 1 = (1, 0, 0, 0) C (0, 1, 0, 0) B = q 1 (x) = x 1 = ( 1, 1, 0, 0) C (0, 0, 1, 0) B = q 2 (x) = 1 2 x2 3 2 x + 1 = (1, 3/2, 1/2, 0) C Entonces la imagen está generada por los vectores: Im(f) = L{(1, 0, 0, 0) C, ( 1, 1, 0, 0) C, (1, 3/2, 1/2, 0) C }. Por tanto las ecuaciones paramétricas son: x = α β + γ y = β 3γ/2 z = γ/2 t = 0 y la implícita: t = 0. El núcleo está generado por el vecor (1, 0, 0, 0) B = (1, 0, 0, 0) C. Por tanto sus paramétricas son: x = α y = 0 z = 0 t = 0 y las implícitas: y = 0, z = 0, t = 0. XI. En IR 4 consideramos los subespacios vectoriales: U = L{(b, b, 1, 1), (1, 0, 1, 1), (1, 1, 1, 1)} V = L{(0, 0, 1, 1), (0, a, 1, 1), (0, 0, 0, 1)} (b) Para los valores de a, b para los cuales tenga sentido, calcular la matriz asociada respecto de la base canónica de la aplicación p : IR 4 IR 4 proyección sobre U paralelamente a V. Para que tenga sentido U y V han de ser suplementarios, es decir, verficar dim(u + V ) = 4 y dim(u V ) = 0. De lo discutido en el apartado anterior vemos que esto sólo se cumple para a = 0 y b = 1.

16 Para calcular la matriz de la proyecciǿn pedida comenzamos escogiendo una base formada uniendo las dos de los espacios involucrados: B = {(1, 0, 1, 1), (1, 1, 1, 1), (0, 0, 1, 1), (0, 0, 0, 1) }. } {{ } } {{ } U V Respecto de esta base la matriz de la proyección es: P BB = Únicamente resta cambiarla a la base canónica: P CC = M CB P BB M BC = M 1 BC P BBM BC, donde Obtenemos: M BC = P CC = XII. Sean f : IR 5 IR 4 y g : IR 4 IR 5 aplicaciones lineales no nulas tales que g f es idénticamente cero y dim Img = 3. Calcular dim Kerf. Como g f es la aplicación nula, Imf Kerg (ésta es simplemente otra forma de escribir el hecho de que g(f( x)) = 0 para todo x). g : IR 4 IR 5 es una aplicación lineal y por tanto, dim Kerg+dim Img =dimir 4 = 4. Dado que dim Img = 3, deducimos dim Kerg=1. El subespacio Imf está contenido en el subespacio unidimensional Kerg, luego Imf tiene dimensión 0 ó 1. No puede tener dimensión 0 porque en ese caso f sería la aplicación nula, cosa que se excluye en el enunciado. Por lo tanto dim Imf = 1. f : IR 5 IR 4 es una aplicación lineal y por tanto, dim Kerf+dim Imf =dimir 5 = 5. Dado que dim Imf = 1, deducimos dim Kerf = 4. (Examen final, septiembre 2007) XIII. Sea P 2 (IR) el espacio vectorial real de los polinomios con coeficientes reales y grado menor o igual que 2. Sean α, β, γ tres números reales. Definimos la aplicación f : P 2 IR 3, f(p(x)) = (p(α), p(β), p(γ)) (a) Demostrar que f es una aplicación lineal. Sean λ, µ IR y p(x), q(x) P 2 (IR). Tenemos que ver que f(λp(x) + µq(x)) = λf(p(x)) + µf(q(x)). Pero: f(λp(x) + µq(x)) = (λp(α) + µq(α), λp(β) + µq(β), λp(γ) + µq(γ)) = = λ(p(α), p(β), p(γ)) + µ(q(α), q(β), q(γ)) = λf(p(x)) + µf(q(x))

17 (b) Demostrar que f es un isomorfismo si, y sólo si, los números α, β, γ son todos distintos. Podemos ver cual es la matriz de f en las bases canónicas C y C 1 de P 2 y IR 3 respectivamente. La aplicación f es un isomorifsmo cuando esta matriz es no singular. Para calcular la matriz de f calculamos la imagen de los vectores de la base canónica de P 2 : La matriz buscada es: f(1) = (1, 1, 1) f(x) = (α, β, γ) f(x 2 ) = (α 2, β 2, γ 2 ) F CC1 = α β γ α 2 β 2 γ 2 Ahora hay que calcular el determinante de esta matriz para ver cuando es no singular (se trata de la matriz de Van der Monde). Multiplicando la primera y segunda fila por α y restaándoselas a la segunda y tercera respectivamente queda: α β γ α 2 β 2 γ 2 = β α γ α 0 β(β α) γ(γ α) = (β α)(γ α)(β γ) Vemos que el determinante es distinto de 0 precisamentes si los números α, β, γ son todos diferentes. (c) Para α = 1, β = 1, γ = 1, encontrar bases de Ker f e Im f. Ahora la matriz anterior de la aplicación f queda: F CC1 = Por tanto vemos que una base de la imagen está formada por los vectores (1, 1, 1), ( 1, 1, 1). calcular el núcleo resolvemos el sistema: ( y 1 y 2 y 3 ) = ( ) Recordemos que por tener la imagen dimensión 2 y el espacio origen dimensión 3 el núcleo tiene dimensión 1 y por tanto está generado por un vector. Así como base del núcleo podemos tomar el vector cuyas componente en la base canónica de P 2 son (1, 0, 1), es decir, el polinomio 1 x 2. (d) Sean α = 0, β = 2, γ = 1. Encontrar, si es que existen, una base en P 2 (IR) y otra en IR 3 con respecto a las cuales la matriz de f sea la identidad. Si no existen tales bases, justificarlo. Como los tres números son distintos hemos visto que f es un isomorfismo y por tanto siempre podemos encontrar bases respecto a las cuales f es la identidad. La matriz respecto a las bases canónicas es ahora: F CC1 = Por tanto para que la matriz sea la identidad podemos tomar por ejemplo la base canónica en P 2 (IR) y la base B = {(1, 1, 1), (0, 2, 1), (0, 4, 1)} en IR 3. Entonces: M BC1 = y (Examen final, julio 2002) F CB = F CC1 M C1B = F CC1 M 1 BC 1 = Id Para

18 XIV. Encontrar la (única) respuesta correcta, de entre las indicadas, a las siguientes cuestiones: (a) En el espacio vectorial real de las funciones derivables f : IR IR, se considera el subespacio V generado por las funciones senx y cosx. La aplicación t : V V que lleva cada función de V a su derivada no está bien definida porque su imagen no está contenida en V. FALSO. Si que está bien definida, porque: (sen x) = cos x (cos x) = sin x y por tanto la imagen está contenida en el subespacio V que generan las funciones senx y cosx. es inyectiva pero no sobreyectiva. FALSO. Si que es sobreyectiva. Dado cualquier vector de V, asen x + bcos x con a, b IR, es imagen por t del vector de V, acos x + bsinx. es sobreyectiva pero no inyectiva. FALSO. Si es inyectiva, porque la dimensión de V es 2 y la dimensión de la imagen (que vimos coincide con V ) es también 2. Por tanto la dimensión del núcleo es 2 2 = 0. es un automorfismo. VERDADERO. Es un automorfismo por ser una aplicación lineal del espacio V sobre él mismo, inyectiva y sobreyectiva. (Examen final, junio 2000) (b) Sean dos espacios vectoriales reales U y V y dos homomorfismos f : U V y g : V U, que cumplen g f = θ Imf Kerg VERDADERO. Veámoslo: y Im(f) y = f(x), x U g(y) = g(f(x)) = (g f)(x) = 0 y Ker(g) Img Kerf FALSO. Por ejemplo: U = IR, V = IR 2, f(x) = (x, 0) y g(x, y) = y. Entonces Im(g) = IR y Ker(f) = {0}. Kerf Img FALSO. Por ejemplo: U = IR, V = IR, f = θ y g = θ. Entonces Im(g) = {0} y Ker(f) = IR. Kerg Imf FALSO. Por ejemplo: U = IR, V = IR, f = θ y g = θ. Entonces Im(f) = {0} y Ker(g) = IR. (Primer parcial, enero 2004) (c) Si U es un espacio vectorial y f, g endomorfismos de U entonces. Ker(f) + Ker(g) Ker(f + g). FALSO. Por ejemplo si tomamos: f : IR 2 IR 2 g : IR 2 IR 2 f(x, y) = (x, x). g(x, y) = (y, y). Entonces: (f + g)(x, y) = (x + y, x + y)

19 y por tanto: ker(f) = L{(0, 1)}, ker(g) = L{(1, 0)}, ker(f + g) = L{(1, 1)} y Pero: ker(f) + ker(g) = L{(0, 1), (1, 0)} = IR 2. Ker(f) + Ker(g) = IR 2 L{(1, 1)} = Ker(f + g). Ker(f) Ker(g) Ker(f + g). FALSO. En el ejemplo anterior: Ker(f) Ker(g) = L{(0, 1)} L{(1, 0)} L{(1, 1)} = Ker(f + g). Ker(f) Ker(g) Ker(f + g). VERDADERO. Probémoslo en general. Sean f, g : U U endomorfismos de U. Veamos que todo elemento de Ker(f) Ker(g) está también en ker(f + g): ū Ker(f) Ker(g) ū ker(f) y ū ker(g) f(ū) = 0 y g(ū) = 0 (f + g)(ū) = f(ū) + g(ū) = 0 ū ker(f + g). Ninguna de las anteriores afirmaciones es correcta. FALSO. (Primer parcial, enero 2006) (d) Entre dos espacios vectoriales reales de dimensión finita V f : V W. Si V = W entonces Ker(f) Im(f). FALSO. Por ejemplo V = IR y f la aplicación nula. Si Ker(f) = V entonces W = { 0}. FALSO. El mismo ejemplo anterior no cumple esta afirmación. Si W = { 0} entonces Ker(f) = V. y W se define una aplicación lineal VERDADERO. Si W = { 0} todo elemento de V necesariamente tiena a 0 por imagen por f. Si V = W e Im(f) Ker(f) entonces f = θ. FALSO. Por ejemplo V = IR 2 y f la aplicación lineal que tiene por matriz respecto de la base canónica: A = Se verifica que Im(f) = L{(1, 0)} = Ker(f) y sin embargo f θ. (Primer parcial, enero 2005)

ÁLGEBRA LINEAL I Soluciones a la Práctica 6

ÁLGEBRA LINEAL I Soluciones a la Práctica 6 ÁLGEBRA LINEAL I Soluciones a la Práctica 6 Aplicaciones lineales (Curso 2009 2010) 1. De las siguientes aplicaciones definidas entre espacios vectoriales reales, determinar cuáles son homomorfismos, monomorfismos,

Más detalles

La aplicación derivada sobre el espacio E de los polinomios en una variable, E D E, es

La aplicación derivada sobre el espacio E de los polinomios en una variable, E D E, es Álgebra lineal y Geometría I Gloria Serrano Sotelo Departamento de MATEMÁTICAS 1 Aplicaciones lineales Núcleo e Imagen Tipos de aplicaciones lineales Sean E y E k-espacios vectoriales Definición 11 Una

Más detalles

4 Aplicaciones Lineales

4 Aplicaciones Lineales Prof Susana López 41 4 Aplicaciones Lineales 41 Definición de aplicación lineal Definición 23 Sean V y W dos espacios vectoriales; una aplicación lineal f de V a W es una aplicación f : V W tal que: 1

Más detalles

Problemas y Ejercicios Resueltos. Tema 3: Aplicaciones Lineales.

Problemas y Ejercicios Resueltos. Tema 3: Aplicaciones Lineales. Problemas y Ejercicios Resueltos. Tema : Aplicaciones Lineales. Ejercicios 1.- Determinar cuáles de las siguientes aplicaciones son lineales: (i) f : R R 2 definida por f((x, y, z)) = (x y, y + 2z). (ii)

Más detalles

4 APLICACIONES LINEALES. DIAGONALIZACIÓN

4 APLICACIONES LINEALES. DIAGONALIZACIÓN 4 APLICACIONES LINEALES DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES En ocasiones, y con objeto de simplificar ciertos cálculos, es conveniente poder transformar una matriz en otra matriz lo más sencilla posible Esto nos

Más detalles

Capitán de fragata ingeniero AGUSTÍN E. GONZÁLEZ MORALES. ÁLGEBRA PARA INGENIEROS (Solucionario)

Capitán de fragata ingeniero AGUSTÍN E. GONZÁLEZ MORALES. ÁLGEBRA PARA INGENIEROS (Solucionario) Capitán de fragata ingeniero AGUSTÍN E. GONZÁLEZ MORALES ÁLGEBRA PARA INGENIEROS (Solucionario) 2 Í N D I C E CAPÍTULO : MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CAPÍTULO 2: ESPACIOS VECTORIALES

Más detalles

Espacios vectoriales y aplicaciones lineales

Espacios vectoriales y aplicaciones lineales Capítulo 3 Espacios vectoriales y aplicaciones lineales 3.1 Espacios vectoriales. Aplicaciones lineales Definición 3.1 Sea V un conjunto dotado de una operación interna + que llamaremos suma, y sea K un

Más detalles

Calcular la dimensión, una base y unas ecuaciones implícitas linealmente independientes del núcleo e imagen de

Calcular la dimensión, una base y unas ecuaciones implícitas linealmente independientes del núcleo e imagen de Calcular la dimensión, una base y unas ecuaciones implícitas linealmente independientes del núcleo e imagen de 1 (a) f(x 1, x 2, x 3 ) = (x 1 + x 3, x 2 + x 3, x 1 + x 3, x 2 + x 3 ) (b) f(x 1, x 2, x

Más detalles

Tema III. Capítulo 2. Sistemas generadores. Sistemas libres. Bases.

Tema III. Capítulo 2. Sistemas generadores. Sistemas libres. Bases. Tema III Capítulo 2 Sistemas generadores Sistemas libres Bases Álgebra Lineal I Departamento de Métodos Matemáticos y de Representación UDC 2 Sistemas generadores Sistemas libres Bases 1 Combinación lineal

Más detalles

4 Aplicaciones lineales

4 Aplicaciones lineales Águeda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matemática Aplicada, FI-UPM 4 Aplicaciones lineales 4. Aplicación lineal Sean V y W dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo K (en general, R o C. Una aplicación

Más detalles

Aplicaciones Lineales

Aplicaciones Lineales Tema 3 Aplicaciones Lineales 3.1 Introducción Se presentan en este tema las aplicaciones entre espacios vectoriales, particularmente las aplicaciones lineales, que de una manera informal pueden definirse

Más detalles

Valores propios y vectores propios

Valores propios y vectores propios Capítulo 6 Valores propios y vectores propios En este capítulo investigaremos qué propiedades son intrínsecas a una matriz, o su aplicación lineal asociada. Como veremos, el hecho de que existen muchas

Más detalles

1. APLICACIONES LINEALES

1. APLICACIONES LINEALES 1 1. APLICACIONES LINEALES 1. Estudiar si las siguientes aplicaciones son lineales: a) f : R 2 R 3, f(x, y) = (x + y, y, x 2y). Sí es lineal. b) f : R 2 R, f(x, y) = xy. No es lineal. Basta observar que

Más detalles

Aplicaciones Lineales

Aplicaciones Lineales Aplicaciones Lineales Ejercicio Dada la matriz A = 0 2 0 a) Escribir explícitamente la aplicación lineal f : 2 cuya matriz asociada con respecto a las bases canónicas es A. En primer lugar definimos las

Más detalles

1. APLICACIONES LINEALES

1. APLICACIONES LINEALES 1 1 APLICACIONES LINEALES El objetivo de este capítulo es el estudio de las aplicaciones lineales u homomorfismos entre espacios vectoriales Este tipo de aplicaciones respeta la estructura de espacio vectorial

Más detalles

Aplicaciones Lineales

Aplicaciones Lineales Aplicaciones Lineales Primeras definiciones Una aplicación lineal de un K-ev de salida E a un K-ev de llegada F es una aplicación f : E F tal que f(u + v) = f(u) + f(v) para todos u v E f(λ u) = λ f(u)

Más detalles

E. T. S. de Ingenieros Industriales Universidad Politécnica de Madrid. Grado en Ingeniería en Tecnologías Industriales. Grado en Ingeniería Química

E. T. S. de Ingenieros Industriales Universidad Politécnica de Madrid. Grado en Ingeniería en Tecnologías Industriales. Grado en Ingeniería Química E. T. S. de Ingenieros Industriales Universidad Politécnica de Madrid Grado en Ingeniería en Tecnologías Industriales Grado en Ingeniería Química Apuntes de Álgebra ( Curso 2014/15) Departamento de Matemática

Más detalles

1. SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS

1. SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS 1 1. SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS 1.1. ESPACIOS VECTORIALES 1. Analizar cuáles de los siguientes subconjuntos de R 3 son subespacios vectoriales. a) A = {(2x, x, 7x)/x R} El conjunto A es una

Más detalles

Tema 4: Aplicaciones lineales

Tema 4: Aplicaciones lineales Tema 4: Aplicaciones lineales Definición, primeras propiedades y ejemplos Definición. Sean V y W dos espacios vectoriales sobre un cuerpo K. Una función f : V W se dice que es una aplicación lineal si

Más detalles

Comenzaremos recordando algunas definiciones y propiedades estudiadas en el capítulo anterior.

Comenzaremos recordando algunas definiciones y propiedades estudiadas en el capítulo anterior. Capítulo 2 Matrices En el capítulo anterior hemos utilizado matrices para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales y hemos visto que, para n, m N, el conjunto de las matrices de n filas y m columnas

Más detalles

Tema 3. Aplicaciones lineales. 3.1. Introducción

Tema 3. Aplicaciones lineales. 3.1. Introducción Tema 3 Aplicaciones lineales 3.1. Introducción Una vez que sabemos lo que es un espacio vectorial y un subespacio, vamos a estudiar en este tema un tipo especial de funciones (a las que llamaremos aplicaciones

Más detalles

vectoriales N(f) e Im(f) N(f) = (5,1,0),( 3,0,1) y f(1,0,0)=(2,-1,1). Se pide:

vectoriales N(f) e Im(f) N(f) = (5,1,0),( 3,0,1) y f(1,0,0)=(2,-1,1). Se pide: .- En los siguientes casos estudiar si f es una aplicación lineal y en caso afirmativo hallar una matriz A tal que f(x) Ax, así como los subespacios vectoriales N(f) e Im(f) a) f(x,y) = (x,-y) b) f(x,y)

Más detalles

Objetivos: Al inalizar la unidad, el alumno:

Objetivos: Al inalizar la unidad, el alumno: Unidad 3 espacios vectoriales Objetivos: Al inalizar la unidad, el alumno: Describirá las características de un espacio vectorial. Identiicará las propiedades de los subespacios vectoriales. Ejempliicará

Más detalles

Ejemplo 1.2 En el capitulo anterior se demostró que el conjunto. V = IR 2 = {(x, y) : x, y IR}

Ejemplo 1.2 En el capitulo anterior se demostró que el conjunto. V = IR 2 = {(x, y) : x, y IR} Subespacios Capítulo 1 Definición 1.1 Subespacio Sea H un subconjunto no vacio de un espacio vectorial V K. Si H es un espacio vectorial sobre K bajo las operaciones de suma y multiplicación por escalar

Más detalles

4.- Para los siguientes conjuntos de vectores, probar si son o no subespacios vectoriales de R 4 : 2d + 1 : b, d reales. d

4.- Para los siguientes conjuntos de vectores, probar si son o no subespacios vectoriales de R 4 : 2d + 1 : b, d reales. d GRADO EN I. TELEMÁTICA. HOJA : ESPACIOS VECTORIALES. ESPACIOS NULO Y COLUMNA.- Sea W el conjunto de todos los vectores de R de la forma subespacio de R. s + t s t s t t, con s, t R. Probar que W es un.-

Más detalles

Espacios vectoriales y Aplicaciones lineales

Espacios vectoriales y Aplicaciones lineales Espacios vectoriales y Aplicaciones lineales Espacios vectoriales. Subespacios vectoriales Espacios vectoriales Definición Sea V un conjunto dotado de una operación interna + que llamaremos suma, y sea

Más detalles

Problemas y Ejercicios Resueltos. Tema 2: Espacios vectoriales.

Problemas y Ejercicios Resueltos. Tema 2: Espacios vectoriales. Problemas y Ejercicios Resueltos. Tema : Espacios vectoriales. Ejercicios 1.- Determinar el valor de x para que el vector (1, x, 5) R 3 pertenezca al subespacio < (1,, 3), (1, 1, 1) >. Solución. (1, x,

Más detalles

Aplicaciones Lineales

Aplicaciones Lineales Aplicaciones Lineales Concepto de aplicación lineal T : V W Definición: Si V y W son espacios vectoriales con los mismos escalares (por ejemplo, ambos espacios vectoriales reales o ambos espacios vectoriales

Más detalles

Objetivos: Al inalizar la unidad, el alumno:

Objetivos: Al inalizar la unidad, el alumno: Unidad 7 transformaciones lineales Objetivos: Al inalizar la unidad, el alumno: Comprenderá los conceptos de dominio e imagen de una transformación. Distinguirá cuándo una transformación es lineal. Encontrará

Más detalles

Congruencias de Grado Superior

Congruencias de Grado Superior Congruencias de Grado Superior Capítulo 3 3.1 Introdución En el capítulo anterior vimos cómo resolver congruencias del tipo ax b mod m donde a, b y m son enteros m > 1, y (a, b) = 1. En este capítulo discutiremos

Más detalles

MATRICES SELECTIVIDAD

MATRICES SELECTIVIDAD MATRICES SELECTIVIDAD 1.- Sea K un número natural y sean las matrices a) Calcular A k. b) Hallar la matriz X que verifica que A K X = B C. Solución: 1 K K 0 0 0 ; X 1 1 0 0 1 1 1 K A 0 1 0 1 1 1 A 0 1

Más detalles

Tema 2. Aplicaciones lineales y matrices.

Tema 2. Aplicaciones lineales y matrices. Tema 2 Aplicaciones lineales y matrices. 1 Índice general 2. Aplicaciones lineales y matrices. 1 2.1. Introducción....................................... 2 2.2. Espacio Vectorial.....................................

Más detalles

Tema 7: Valores y vectores propios

Tema 7: Valores y vectores propios Tema 7: es y clausura s Espacios y Permutaciones es y clausura Una permutación p = {p 1, p 2,..., p n } de los números {1, 2,..., n} es una nueva ordenación de los elementos {1, 2,..., n}, es decir, un

Más detalles

3. Equivalencia y congruencia de matrices.

3. Equivalencia y congruencia de matrices. 3. Equivalencia y congruencia de matrices. 1 Transformaciones elementales. 1.1 Operaciones elementales de fila. Las operaciones elementales de fila son: 1. H ij : Permuta la fila i con la fila j. 2. H

Más detalles

1. Cambios de base en R n.

1. Cambios de base en R n. er Curso de Ingeniero de Telecomunicación. Álgebra. Curso 8-9. Departamento de Matemática Aplicada II. Universidad de Sevilla. Tema 5. Cambios de Base. Aplicaciones Lineales. Teoría y Ejercicios Resueltos..

Más detalles

BASES Y DIMENSIÓN. Propiedades de las bases. Ejemplos de bases.

BASES Y DIMENSIÓN. Propiedades de las bases. Ejemplos de bases. BASES Y DIMENSIÓN Definición: Base. Se llama base de un espacio (o subespacio) vectorial a un sistema generador de dicho espacio o subespacio, que sea a la vez linealmente independiente. β Propiedades

Más detalles

4.1 El espacio dual de un espacio vectorial

4.1 El espacio dual de un espacio vectorial Capítulo 4 Espacio dual Una de las situaciones en donde se aplica la teoría de espacios vectoriales es cuando se trabaja con espacios de funciones, como vimos al final del capítulo anterior. En este capítulo

Más detalles

Álgebra y Matemática Discreta Sesión de Prácticas 10

Álgebra y Matemática Discreta Sesión de Prácticas 10 Álgebra y Matemática Discreta Sesión de Prácticas 10 (c) 2013 Leandro Marín, Francisco J. Vera, Gema M. Díaz 18 Nov 2013-24 Nov 2013 Núcleos e Imágenes Definición Sea f : V W una aplicación lineal. Se

Más detalles

MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas

MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Tema 7 Funciones reales de una variable real Elaborado por la Profesora Doctora

Más detalles

Tema 2. Espacios Vectoriales. 2.1. Introducción

Tema 2. Espacios Vectoriales. 2.1. Introducción Tema 2 Espacios Vectoriales 2.1. Introducción Estamos habituados en diferentes cursos a trabajar con el concepto de vector. Concretamente sabemos que un vector es un segmento orientado caracterizado por

Más detalles

(Ec.1) 2α + β = b (Ec.4) (Ec.3)

(Ec.1) 2α + β = b (Ec.4) (Ec.3) Problema 1. Hallar t R para que el vector x = (3, 8, t) pertenezca al subespacio engendrado por los vectores u = (1, 2, 3) y v = (1, 3, 1). Solución del problema 1. x L{ u, v} si, y sólo si, existen α,

Más detalles

Espacios vectoriales y aplicaciones lineales.

Espacios vectoriales y aplicaciones lineales. Práctica 2 Espacios vectoriales y aplicaciones lineales. Contenido: Localizar bases de espacios vectoriales. Suma directa. Bases y dimensiones. Cambio de base. Aplicaciones lineales. Matriz asociada en

Más detalles

Subespacios vectoriales en R n

Subespacios vectoriales en R n Subespacios vectoriales en R n Víctor Domínguez Octubre 2011 1. Introducción Con estas notas resumimos los conceptos fundamentales del tema 3 que, en pocas palabras, se puede resumir en técnicas de manejo

Más detalles

4. ESPACIOS VECTORIALES Y APLICACIONES LINEALES

4. ESPACIOS VECTORIALES Y APLICACIONES LINEALES Espacios Vectoriales y Aplicaciones Lineales 4. ESPACIOS VECTORIALES Y APLICACIONES LINEALES SUMARIO: INTRODUCCIÓN OBJETIVOS INTRODUCCIÓN TEÓRICA 1.- Espacios Vectoriales..- Propiedades de un Espacio Vectorial..-

Más detalles

E 1 E 2 E 2 E 3 E 4 E 5 2E 4

E 1 E 2 E 2 E 3 E 4 E 5 2E 4 Problemas resueltos de Espacios Vectoriales: 1- Para cada uno de los conjuntos de vectores que se dan a continuación estudia si son linealmente independientes, sistema generador o base: a) (2, 1, 1, 1),

Más detalles

3 Espacios Vectoriales

3 Espacios Vectoriales Prof. Susana López 31 3 Espacios Vectoriales 3.1 Introducción Un ector fijo en el plano no es más que un segmento orientado en el que hay que distinguir tres características: -dirección: la de la recta

Más detalles

Transformaciones lineales invertibles (no singulares)

Transformaciones lineales invertibles (no singulares) Transformaciones lineales invertibles (no singulares) Objetivos. Estudiar la definición y los criterios de invertibilidad de una transformación lineal. Requisitos. Funciones inyectivas, suprayectivas e

Más detalles

Tema 3. Espacios vectoriales

Tema 3. Espacios vectoriales Tema 3. Espacios vectoriales Estructura del tema. Definición y propiedades. Ejemplos. Dependencia e independencia lineal. Conceptos de base y dimensión. Coordenadas Subespacios vectoriales. 0.1. Definición

Más detalles

VECTORES EN EL ESPACIO. 1. Determina el valor de t para que los vectores de coordenadas sean linealmente dependientes.

VECTORES EN EL ESPACIO. 1. Determina el valor de t para que los vectores de coordenadas sean linealmente dependientes. VECTORES EN EL ESPACIO. Determina el valor de t para que los vectores de coordenadas (,, t), 0, t, t) y(, 2, t) sean linealmente dependientes. Si son linealmente dependientes, uno de ellos, se podrá expresar

Más detalles

Prácticas de Algebra con Mathematica II (Ingeniería Industrial). Jose Salvador Cánovas Peña. Departamento de Matemática Aplicada y Estadística.

Prácticas de Algebra con Mathematica II (Ingeniería Industrial). Jose Salvador Cánovas Peña. Departamento de Matemática Aplicada y Estadística. Prácticas de Algebra con Mathematica II (Ingeniería Industrial). Jose Salvador Cánovas Peña. Departamento de Matemática Aplicada y Estadística. Índice General 1 PRACTICAS CON MATHEMATICA 2 1.1 Introducción...

Más detalles

Este documento ha sido generado para facilitar la impresión de los contenidos. Los enlaces a otras páginas no serán funcionales.

Este documento ha sido generado para facilitar la impresión de los contenidos. Los enlaces a otras páginas no serán funcionales. Este documento ha sido generado para facilitar la impresión de los contenidos. Los enlaces a otras páginas no serán funcionales. Introducción Por qué La Geometría? La Geometría tiene como objetivo fundamental

Más detalles

TEMA 2: FUNCIONES CONTINUAS DE VARIAS VARIABLES

TEMA 2: FUNCIONES CONTINUAS DE VARIAS VARIABLES TEMA 2: FUNCIONES CONTINUAS DE VARIAS VARIABLES ÍNDICE 1. Funciones de varias variables 1 2. Continuidad 2 3. Continuidad y composición de funciones 4 4. Continuidad y operaciones algebraicas 4 5. Carácter

Más detalles

Matemáticas I: Hoja 4 Aplicaciones lineales y diagonalización

Matemáticas I: Hoja 4 Aplicaciones lineales y diagonalización Matemáticas I: Hoja 4 Aplicaciones lineales y diagonalización Ejercicio. Decidir cuáles de las siguientes aplicaciones son lineales. Cuál es la dimensión del espacio imagen? a f(x, x 2, x 3 = (x 2 + x

Más detalles

TEST DE ÁLGEBRA. 6.- Sea el subespacio de R 3 S = { (x,,y,z) / x +y+z = 0} a) es de dimensión 1 b) es de dimensión 2 c) es R 3 d) NDLA

TEST DE ÁLGEBRA. 6.- Sea el subespacio de R 3 S = { (x,,y,z) / x +y+z = 0} a) es de dimensión 1 b) es de dimensión 2 c) es R 3 d) NDLA TEST DE ÁLGEBRA 1.- Sea f:r 4 -----> R 5 una apli. lineal a) Dim ker(f) tiene que ser 3 b) Dim ker(f) será 4 c) Dim ker(f) es 5 2.- El sistema homogéneo 3 x % 8 y % ð z 0 y & z 0 a) tiene soluciones no

Más detalles

Problema 1. (4 puntos) Sea f la aplicación lineal de R³ en R³ definida por f(1,3,4)=(2,6,8), f(1,1,1)=(2,6,8) y f(0,1,1)=(0,0,0).

Problema 1. (4 puntos) Sea f la aplicación lineal de R³ en R³ definida por f(1,3,4)=(2,6,8), f(1,1,1)=(2,6,8) y f(0,1,1)=(0,0,0). Problema 1. (4 puntos) Sea f la aplicación lineal de R³ en R³ definida por f(1,3,4)=(2,6,8), f(1,1,1)=(2,6,8) y f(0,1,1)=(0,0,0). a) Demostrad que (1,3,4), (1,1,1) i (0,1,1) son una base de R³. b) Decid

Más detalles

Diferenciabilidad de funciones de R n en R m

Diferenciabilidad de funciones de R n en R m Diferenciabilidad de funciones de R n en R m Cálculo II (2003) En este capítulo generalizamos la noción de diferenciabilidad para funciones vectoriales de variable vectorial, que también llamamos aplicaciones.

Más detalles

Apuntes de Matemática Discreta 9. Funciones

Apuntes de Matemática Discreta 9. Funciones Apuntes de Matemática Discreta 9. Funciones Francisco José González Gutiérrez Cádiz, Octubre de 004 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas ii Lección 9 Funciones Contenido 9.1 Definiciones y

Más detalles

Formas bilineales y cuadráticas.

Formas bilineales y cuadráticas. Tema 4 Formas bilineales y cuadráticas. 4.1. Introducción. Conocidas las nociones de espacio vectorial, aplicación lineal, matriz de una aplicación lineal y diagonalización, estudiaremos en este tema dos

Más detalles

MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas

MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Tema 4 La recta en el plano Elaborado por la Profesora Doctora María Teresa

Más detalles

FORMA CANONICA DE JORDAN Y ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES A COEFICIENTES CONSTANTES

FORMA CANONICA DE JORDAN Y ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES A COEFICIENTES CONSTANTES FORMA CANONICA DE JORDAN Y ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES A COEFICIENTES CONSTANTES Eleonora Catsigeras 6 de mayo de 997 Notas para el curso de Análisis Matemático II Resumen Se enuncia sin demostración

Más detalles

Funciones de varias variables

Funciones de varias variables Capítulo 2 Funciones de varias variables 1. Definiciones básicas En este texto consideraremos funciones f : A R m, A R n. Dichas funciones son comúnmente denominadas como funciones de varias variables,

Más detalles

Aplicaciones lineales

Aplicaciones lineales Capítulo 4 Aplicaciones lineales 4.1. Introduccción a las aplicaciones lineales En el capítulo anterior encontramos la aplicación de coordenadas x [x] B que asignaba, dada una base del espacio vectorial,

Más detalles

y λu = Idea. Podemos sumar vectores y multiplicar por un escalar. El resultado vuelve a ser un vector Definición de espacio vectorial.

y λu = Idea. Podemos sumar vectores y multiplicar por un escalar. El resultado vuelve a ser un vector Definición de espacio vectorial. Espacios vectoriales Espacios y subespacios R n es el conjunto de todos los vectores columna con n componentes. Además R n es un espacio vectorial. Ejemplo Dados dos vectores de R por ejemplo u = 5 v =

Más detalles

Anexo 1: Demostraciones

Anexo 1: Demostraciones 75 Matemáticas I : Álgebra Lineal Anexo 1: Demostraciones Espacios vectoriales Demostración de: Propiedades 89 de la página 41 Propiedades 89- Algunas propiedades que se deducen de las anteriores son:

Más detalles

MATEMÁTICAS II. Departamento de Matemáticas I.E.S. A Xunqueira I (Pontevedra)

MATEMÁTICAS II. Departamento de Matemáticas I.E.S. A Xunqueira I (Pontevedra) MATEMÁTICAS II 1 José M. Ramos González Este libro es totalmente gratuito y solo vale la tinta y el papel en que se imprima. Es de libre divulgación y no está sometido a ningún copyright. Tan solo se

Más detalles

Espacios vectoriales con producto interno

Espacios vectoriales con producto interno Capítulo 8 Espacios vectoriales con producto interno En este capítulo, se generalizarán las nociones geométricas de distancia y perpendicularidad, conocidas en R y en R 3, a otros espacios vectoriales.

Más detalles

CAPÍTULO II. 4 El grupo afín

CAPÍTULO II. 4 El grupo afín CAPÍTULO II 4 El grupo afín En geometría clásica, antes de la aparición de los espacios vectoriales, se hablaba de puntos en lugar de vectores. Para nosotros serán términos sinónimos salvo que, cuando

Más detalles

Matemáticas I: Hoja 3 Espacios vectoriales y subespacios vectoriales

Matemáticas I: Hoja 3 Espacios vectoriales y subespacios vectoriales Matemáticas I: Hoa 3 Espacios vectoriales y subespacios vectoriales Eercicio 1. Demostrar que los vectores v 1, v 2, v 3, v 4 expresados en la base canónica forman una base. Dar las coordenadas del vector

Más detalles

1 Espacios y subespacios vectoriales.

1 Espacios y subespacios vectoriales. UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE CARTAGENA Departamento de Matemática Aplicada y Estadística Espacios vectoriales y sistemas de ecuaciones 1 Espacios y subespacios vectoriales Definición 1 Sea V un conjunto

Más detalles

Aplicaciones lineales

Aplicaciones lineales aplicaciones_lineales.nb Aplicaciones lineales Práctica de Álgebra Lineal, E.U.A.T, Grupos ºA y ºB, 005 Aplicaciones lineales y matrices Hay una relación muy estrecha entre aplicaciones lineales y matrices:

Más detalles

Espacios Vectoriales

Espacios Vectoriales Espacios Vectoriales Departamento de Matemáticas, CCIR/ITESM 4 de enero de 2 Índice 3.. Objetivos................................................ 3.2. Motivación...............................................

Más detalles

ÁLGEBRA DE MATRICES. Al consejero A no le gusta ninguno de sus colegas como presidente.

ÁLGEBRA DE MATRICES. Al consejero A no le gusta ninguno de sus colegas como presidente. ÁLGEBRA DE MATRICES Página 49 REFLEXIONA Y RESUELVE Elección de presidente Ayudándote de la tabla, estudia detalladamente los resultados de la votación, analiza algunas características de los participantes

Más detalles

Espacios vectoriales. Bases. Coordenadas

Espacios vectoriales. Bases. Coordenadas Capítulo 5 Espacios vectoriales. Bases. Coordenadas OPERACIONES ENR n Recordemos que el producto cartesiano de dos conjuntos A y B consiste en los pares ordenados (a,b) tales que a A y b B. Cuando consideramos

Más detalles

ÁLGEBRA LINEAL. Apuntes elaborados por. Juan González-Meneses López. Curso 2008/2009. Departamento de Álgebra. Universidad de Sevilla.

ÁLGEBRA LINEAL. Apuntes elaborados por. Juan González-Meneses López. Curso 2008/2009. Departamento de Álgebra. Universidad de Sevilla. ÁLGEBRA LINEAL Apuntes elaborados por Juan González-Meneses López. Curso 2008/2009 Departamento de Álgebra. Universidad de Sevilla. Índice general Tema 1. Matrices. Determinantes. Sistemas de ecuaciones

Más detalles

Espacio afín. Transformaciones afines y movimientos

Espacio afín. Transformaciones afines y movimientos Capítulo Espacio afín. Transformaciones afines y movimientos. Espacio afín y espacio afín métrico Definición. El espacio afín (tridimensional) está constituido por los siguientes elementos. El espacio

Más detalles

Capitán de fragata ingeniero AGUSTÍN E. GONZÁLEZ MORALES ÁLGEBRA PARA INGENIEROS

Capitán de fragata ingeniero AGUSTÍN E. GONZÁLEZ MORALES ÁLGEBRA PARA INGENIEROS Capitán de fragata ingeniero AGUSTÍN E. GONZÁLEZ MORALES ÁLGEBRA PARA INGENIEROS 2 Í N D I C E CAPÍTULO MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES MATRICES. MATRIZ. DEFINICIÓN 2. ALGUNOS

Más detalles

13.TRANSFORMACIONES LINEALES 273 13.1. DEFINICIÓN DE TRANSFORMACIÓN LINEAL... 273 13.2. DETERMINACIÓN DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL... 275 13.3.

13.TRANSFORMACIONES LINEALES 273 13.1. DEFINICIÓN DE TRANSFORMACIÓN LINEAL... 273 13.2. DETERMINACIÓN DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL... 275 13.3. ÍNDICE 13.TRANSFORMACIONES LINEALES 273 13.1. DEFINICIÓN DE TRANSFORMACIÓN LINEAL............. 273 13.2. DETERMINACIÓN DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL...... 275 13.3. REPRESENTACIÓN MATRICIAL DE UNA TRANSFORMACIÓN

Más detalles

Tema 1: Fundamentos de lógica, teoría de conjuntos y estructuras algebraicas: Apéndice

Tema 1: Fundamentos de lógica, teoría de conjuntos y estructuras algebraicas: Apéndice Tema 1: Fundamentos de lógica, teoría de conjuntos y estructuras algebraicas: Apéndice 1 Polinomios Dedicaremos este apartado al repaso de los polinomios. Se define R[x] ={a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +... +

Más detalles

Definición 1.1.1. Dados dos números naturales m y n, una matriz de orden o dimensión m n es una tabla numérica rectangular con m filas y n columnas.

Definición 1.1.1. Dados dos números naturales m y n, una matriz de orden o dimensión m n es una tabla numérica rectangular con m filas y n columnas. Tema 1 Matrices Estructura del tema. Conceptos básicos y ejemplos Operaciones básicas con matrices Método de Gauss Rango de una matriz Concepto de matriz regular y propiedades Determinante asociado a una

Más detalles

Tema 5. Aproximación funcional local: Polinomio de Taylor. 5.1 Polinomio de Taylor

Tema 5. Aproximación funcional local: Polinomio de Taylor. 5.1 Polinomio de Taylor Tema 5 Aproximación funcional local: Polinomio de Taylor Teoría Los polinomios son las funciones reales más fáciles de evaluar; por esta razón, cuando una función resulta difícil de evaluar con exactitud,

Más detalles

8. ESPACIOS VECTORIALES Y APLICACIONES LINEALES.

8. ESPACIOS VECTORIALES Y APLICACIONES LINEALES. Prácticas de Matemáticas I y Matemáticas II con DERIVE 8. ESPACIOS VECTORIALES Y APLICACIONES LINEALES. 8.. DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL DE VECTORES. COMBINACIÓN LINEAL. EJEMPLO 8.. Estudiar si el

Más detalles

Problemas de Variable Compleja. Soluciones. Hoja 4

Problemas de Variable Compleja. Soluciones. Hoja 4 Problemas de Variable Compleja. Soluciones. Hoja 4 Ejercicio.- Sobre la circunferencia C(0, /r) se verifica que Sea N N tal que para todo n N max{ e ( +! min{ e : = /r} = e /r. +... + n n! } : = r }

Más detalles

Usamos que f( p) = q y que, por tanto, g( q) = g(f( p)) = h( p) para simplificar esta expresión:

Usamos que f( p) = q y que, por tanto, g( q) = g(f( p)) = h( p) para simplificar esta expresión: Univ. de Alcalá de Henares Ingeniería de Telecomunicación Cálculo. Segundo parcial. Curso 2004-2005 Propiedades de las funciones diferenciables. 1. Regla de la cadena Después de la generalización que hemos

Más detalles

Cómo?: Resolviendo el sistema lineal homógeneo que satisfacen las componentes de cualquier vector de S. x4 = x 1 x 3 = x 2 x 1

Cómo?: Resolviendo el sistema lineal homógeneo que satisfacen las componentes de cualquier vector de S. x4 = x 1 x 3 = x 2 x 1 . ESPACIOS VECTORIALES Consideremos el siguiente subconjunto de R 4 : S = {(x, x 2, x 3, x 4 )/x x 4 = 0 x 2 x 4 = x 3 a. Comprobar que S es subespacio vectorial de R 4. Para demostrar que S es un subespacio

Más detalles

APLICACIONES LINEALES. DIAGONALIZACIÓN

APLICACIONES LINEALES. DIAGONALIZACIÓN I.- Sea f una transformación lineal de un espacio vectorial V de dimensión n. Sea B una base de V. Sea A la matriz asociada a f respecto de la base B. Señala, sin demostrar, cuáles de las siguientes afirmaciones

Más detalles

9. MATRICES 189 9.1. DEFINICIÓN Y NOTACIONES... 189 9.2. OPERACIONES CON MATRICES... 190 9.3. MATRICES CUADRADAS... 192 9.3.1.

9. MATRICES 189 9.1. DEFINICIÓN Y NOTACIONES... 189 9.2. OPERACIONES CON MATRICES... 190 9.3. MATRICES CUADRADAS... 192 9.3.1. ÍNDICE 9. MATRICES 189 9.1. DEFINICIÓN Y NOTACIONES....................... 189 9.2. OPERACIONES CON MATRICES..................... 190 9.3. MATRICES CUADRADAS.......................... 192 9.3.1. Matrices

Más detalles

Tutorial MT-b15. Matemática 2006. Tutorial Nivel Básico. Relaciones y Funciones

Tutorial MT-b15. Matemática 2006. Tutorial Nivel Básico. Relaciones y Funciones 134567890134567890 M ate m ática Tutorial MT-b15 Matemática 006 Tutorial Nivel Básico Relaciones y Funciones Matemática 006 Tutorial Relaciones y Funciones Marco teórico: 1. Producto cartesiano: El producto

Más detalles

Álgebra Vectorial. Principios de Mecánica. Licenciatura de Física. Curso 2007-2008. 1

Álgebra Vectorial. Principios de Mecánica. Licenciatura de Física. Curso 2007-2008. 1 Álgebra Vectorial Principios de Mecánica. Licenciatura de Física. Curso 2007-2008. 1 Indice. 1. Magnitudes Escalares y Vectoriales. 2. Vectores. 3. Suma de Vectores. Producto de un vector por un escalar.

Más detalles

CAPÍTULO II. 5 El grupo ortogonal

CAPÍTULO II. 5 El grupo ortogonal CAPÍTULO II 5 El grupo ortogonal Desde el punto de vista afín, no existen discriminaciones entre el sistema de referencia canónico y otro sistema de referencia arbitrario. Ello se debe a que uno puede

Más detalles

1. ESPACIOS VECTORIALES

1. ESPACIOS VECTORIALES 1 1. ESPACIOS VECTORIALES 1.1. ESPACIOS VECTORIALES. SUBESPACIOS VECTORIALES Denición 1. (Espacio vectorial) Decimos que un conjunto no vacío V es un espacio vectorial sobre un cuerpo K, o K-espacio vectorial,

Más detalles

Problemas Resueltos de Ecuaciones en Derivadas Parciales

Problemas Resueltos de Ecuaciones en Derivadas Parciales Problemas Resueltos de Ecuaciones en Derivadas Parciales Alberto Cabada Fernández 4 de diciembre de. Índice general Introducción I. Ecuaciones de primer orden.. Método de las bandas características...................

Más detalles

Matemáticas I: Hoja 2 Cálculo matricial y sistemas de ecuaciones lineales

Matemáticas I: Hoja 2 Cálculo matricial y sistemas de ecuaciones lineales Matemáticas I: Hoja 2 Cálculo matricial y sistemas de ecuaciones lineales Ejercicio 1 Escribe las siguientes matrices en forma normal de Hermite: 2 4 3 1 2 3 2 4 3 1 2 3 1. 1 2 3 2. 2 1 1 3. 1 2 3 4. 2

Más detalles

Aplicaciones Lineales y Multilineales Continuas

Aplicaciones Lineales y Multilineales Continuas Capítulo 4 Aplicaciones Lineales y Multilineales Continuas La conexión entre las estructuras vectorial y topológica de los espacios normados, se pone claramente de manifiesto en el estudio de las aplicaciones

Más detalles

Apuntes de Matemática Discreta 11. Teorema Fundamental de la Aritmética

Apuntes de Matemática Discreta 11. Teorema Fundamental de la Aritmética Apuntes de Matemática Discreta 11. Teorema Fundamental de la Aritmética Francisco José González Gutiérrez Cádiz, Octubre de 2004 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas ii Lección 11 Teorema Fundamental

Más detalles

Nota 1. Los determinantes de orden superior a 3 se calculan aplicando las siguientes propiedades:

Nota 1. Los determinantes de orden superior a 3 se calculan aplicando las siguientes propiedades: Capítulo 1 DETERMINANTES Definición 1 (Matriz traspuesta) Llamaremos matriz traspuesta de A = (a ij ) a la matriz A t = (a ji ); es decir la matriz que consiste en poner las filas de A como columnas Definición

Más detalles

1. El teorema de la función implícita para dos y tres variables.

1. El teorema de la función implícita para dos y tres variables. GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO. Lección. Aplicaciones de la derivación parcial.. El teorema de la función implícita para dos tres variables. Una ecuación con dos incógnitas. Sea f :( x, ) U f(

Más detalles

1. INVERSA DE UNA MATRIZ REGULAR

1. INVERSA DE UNA MATRIZ REGULAR . INVERSA DE UNA MATRIZ REGULAR Calcular la inversa de una matriz regular es un trabajo bastante tedioso. A través de ejemplos se expondrán diferentes técnicas para calcular la matriz inversa de una matriz

Más detalles

Clasificación de métricas.

Clasificación de métricas. Clasificación de métricas. 1. El problema de clasificación. Como bien sabemos, el par formado por una métrica T 2 (esto es, un tensor 2-covariante simétrico) sobre un espacio vectorial E, (E, T 2 ), constituye

Más detalles

Polinomios y Fracciones Algebraicas

Polinomios y Fracciones Algebraicas Tema 4 Polinomios y Fracciones Algebraicas En general, a lo largo de este tema trabajaremos con el conjunto de los números reales y, en casos concretos nos referiremos al conjunto de los números complejos.

Más detalles

Bienvenidos a los concertos para violin entre el álgebra y la Geometría.

Bienvenidos a los concertos para violin entre el álgebra y la Geometría. Bienvenidos a los concertos para violin entre el álgebra y la Geometría. Capitulo 17 Atención Esta guía no pretender ser una sustituta del libro de texto del curso. Lo que busca es presentar las herramientas

Más detalles