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1 Unidad 3 espacios vectoriales Objetivos: Al inalizar la unidad, el alumno: Describirá las características de un espacio vectorial. Identiicará las propiedades de los subespacios vectoriales. Ejempliicará los conceptos de espacio y subespacio vectorial. Identiicará las características de los vectores linealmente independientes y linealmente dependientes. Construirá el wronskiano.

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3 Álgebralineal Introducción El estudio de vectores comenzó con el trabajo del gran matemático irlandés sir William Hamilton ( ). Aunque en su época se consideró que los vectores no tenían ninguna utilidad, en la actualidad se usan cada vez más frecuentemente en física clásica y moderna y aun en las ciencias biológicas y sociales 1. En la unidad 1 se manejó a los vectores como un conjunto ordenado o n ada de números reales, y como matrices de orden 1 n, ejemplos de ellos son los puntos del plano cartesiano R 2 y del espacio R 3. Para muchas aplicaciones físicas (incluyendo nociones de fuerza, velocidad, aceleración y momento) es importante pensar en el vector no como un punto sino como una entidad que tiene longitud y dirección.. Es decir, vamos a representar los vectores (x,y) de R 2 como una flecha que parte del origen y que termina en el punto (x,y). Figura 3.1. A lo largo de esta unidad definiremos espacios vectoriales cuyos elementos no sean flechas sino objetos más abstractos; sin embargo, siempre regresaremos a R 2 como ejemplo con el fin de visualizar los conceptos, propiedades o resultados Definición de espacio vectorial La notación de los vectores será con letras minúsculas en negritas y la de los escalares reales con letras minúsculas. La siguiente definición nos permite tener una generalización de espacios vectoriales donde los objetos no necesariamente son n eadas de puntos de R n. 1 Véase el libro de Morris Kline, Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, Oxford University Press,

4 Unidad 3 Definición 3.1. Sea V un conjunto de objetos, junto con dos operaciones llamadas suma y multiplicación por un escalar. Entonces V se llama espacio vectorial real si se satisfacen los siguientes axiomas: i) Si x V y y V entonces la suma x + y V. (Cerradura bajo la suma.) ii) Para todo x, y y z en V, (x + y) + z = x + (y + z). (Ley asociativa de la suma.) iii) Existe un vector 0 V tal que para todo x V, x + 0 = 0 + x = x. (El 0 se llama vector cero o idéntico aditivo.) iv) Si x V existe un vector x en V tal que x + ( x) = 0 ( x se llama inverso aditivo de x.) v) Si x y y están en V, entonces x + y = y + x. (Ley conmutativa de la suma de vectores.) vi) Si x V y α es un escalar, entonces α x V. (Cerradura bajo la multiplicación por un escalar.) vii) Si x y y están en V y α es un escalar, entonces α(x + y) = αx + αy (Primera ley distributiva.) viii) Si x V y α y β son escalares, entonces (α + β) x = αx + βx (Segunda ley distributiva.) ix) Si x V y α y β son escalares, entonces α(βx) = (α β)x (Ley asociativa de la multiplicación por escalares.) x) Para cada vector x V, 1x = x Ejemplos de espacios vectoriales Vamos a considerar en este apartado diversas clases de ejemplos de conjuntos que son espacios vectoriales y otros que no lo son: 1. Consideremos los vectores en el plano cartesiano R 2. Vamos a probar que R 2 es un espacio vectorial: Tomando los vectores a = (x 1 ) y b = (x 2, y 2 ), entonces definimos la suma de a y b como a + b = (x 1 ) + (x 2, y 2 ) = (x 1 + x 2 + y 2 ) R 2 y por lo tanto satisface i). Los puntos ii) hasta el x) se obtienen de la definición de suma de matrices, ya que los puntos de R 2 se consideran matrices de 1 2. Podemos generalizar este resultado a las n adas reales (x 1, x 2,, x n ) de R n. 2. Sea V = {0}. Es decir, V consiste sólo del número 0. Vamos a demostrar que V es un espacio vectorial que recibe el nombre de espacio vectorial trivial. 106

5 Álgebralineal i) Como = 0 V ii) (0 + 0) + 0 = 0 = 0 + (0 + 0) iii) = 0 iv) 0 + ( 0) = 0 v) = vi) α0 = 0 V vii) α(0 + 0) = 0 = α0 + α0 viii) (α + β)0 = 0 = α0 + β0 ix) α(β0) = α0 = 0 = (αβ)0 x) 1(0) = 0 Por lo tanto, V es un espacio vectorial. 3. Sea V = {1}. Tal que los elementos de V pertenecen a los naturales. Este no es un espacio vectorial ya que = 2 V, es decir no es cerrado bajo la suma. 4. El conjunto de puntos de R 2 que están en una recta que pasa por el origen. Sea V = {(x,y) R 2, tales que y = mx, donde m es un número real fijo}. Sean x = (x 1 ) y y = (x 2, y 2 ) en V. Entonces y 1 = mx 1 y y 2 = mx 2 y podemos escribir a x y y como sigue: x = (x 1, mx 1 ) y y = (x 2, mx 2 ) i) x + y = (x 1, mx 1 ) + (x 2, mx 2 ) = (x 1 + x 2, mx 1 + mx 2 ); si factorizamos el segundo término obtenemos mx 1 + mx 2 = m(x 1 + x 2 ), entonces x + y = (x 1 + x 2, m[x + x ]) que es un elemento de V. 1 2 iv) Supón que x = (x, y) está en V, entonces y = mx. Definimos x = ( x, y) de donde obtenemos que y = (mx) = m( x). Por lo tanto x está en V. De igual manera se prueban todas las demás propiedades ya que R 2 es un espacio vectorial. 5. El conjunto de puntos de R 2 que están en una recta que no pasa por el origen no es un espacio vectorial. Sea V = {(x,y) R 2, tales que y = mx + b, donde m y b son números reales fijos}. 107

6 Unidad 3 Si x = (x 1 ) y y = (x 2, y 2 ) en V, entonces y 1 = mx 1 + b y y 2 = mx 2 + b, de donde x + y = (x 1, mx 1 + b) + (x 2, mx 2 + b) = (x 1 + x 2, mx 1 + b + mx 2 + b), pero mx 1 + b + mx 2 + b = m(x 1 + x 2 ) + 2b, y por lo tanto este elemento no está en V, es decir V no es cerrado bajo la suma. 6. Sea M m n el conjunto de matrices de m n con entradas en R. Por las propiedades de las matrices de suma y producto por un escalar es claro que el conjunto M m n es un espacio vectorial. 7. El conjunto P n, formado por polinomios de coeficientes reales de grado menor o igual a n. Si p P n, entonces p = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 donde todas las a i son reales. Si p y q P n, donde q = b n xn + b n 1 x n b 1 x + b 0 entonces, p + q = (a n + b n )x n + (a n 1 + b n 1 ) x n 1 + (a 1 + b 1 ) x + (a 0 + b 0 ) P n. Las propiedades ii) y v) a x) son consecuencia de la suma y producto de polinomios. iii) Definimos el polinomio 0 = 0x n + 0x n x + 0 P n iv) Definimos el polinomio p = a n x n a n 1 x n 1 a 1 x a 0 P n Por lo que podemos concluir que P n es un espacio vectorial. 8. Sea C [0,1] el conjunto de todas las funciones continuas de valores reales definidas en el intervalo [0,1]. Si f y g C [0,1] definimos (f + g) (x) = f(x) + g(x) y (αf) (x) = α[f(x)]. Como la suma de funciones continuas es continua, el axioma i) se cumple; los otros axiomas se cumplen si definimos las funciones cero como 0(x) = 0; y ( f )(x) = [f(x)]. Por lo que C [0,1] es un espacio vectorial. 0 α 9. Sea H el conjunto de las matrices de 2 2 de la forma 0 0 donde α Consideremos las matrices A = y B = tenemos que A, B y sin embargo A+B = = 0 0. Como la matriz cero no está en H, podemos asegurar que H no es un espacio vectorial. 108

7 Álgebralineal 10. Sea F el conjunto de matrices de 2 2 definida como 0 α y sean α y β escalares. Hagamos un primer caso, en el cual tenemos una matriz 0 0 de la cual α=5 y sea β =2, tenemos que al efectuar el producto del escalar por la matriz se tiene que: ( 2) 0 0 =, esta matriz es un espacio 0 0 vectorial de F, ya que se define para cualquier matriz de Un segundo caso es que tenemos una matriz de la forma y β=6 un escalar, que al efectuar el producto del escalar por la matriz tenemos: 0 0 que es la matriz cero, que también es un espacio vectorial de F. 0 2 Un tercer caso es que se tiene la matriz y un escalar α=0, de 0 0 igual manera al efectuar el producto de este escalar por la matriz tenemos ( 0) 0 0 =, de lo que se observa que se obtiene la matriz cero, que es 0 0 un espacio vectorial de F. De los ejemplos anteriores se puede ver demostrado el siguiente teorema. Teorema 3.1. Sea V un espacio vectorial. Entonces: i) α 0 = 0 para todo escalar α ii) 0 x = 0 para todo x en V iii) Si αx = 0, entonces α = 0 o x = 0 (o ambos) iv) ( 1)x = x para todo x en V. 109

8 Unidad 3 Ejercicio 1 Menciona si los siguientes conjuntos son o no espacios vectoriales. En caso de no serlo menciona cuál de las propiedades es la que no se cumple: 1. El conjunto de puntos de R 2 de la forma {(x,y) R 2, tales que y = 3x} 2. El conjunto de puntos de R 2 de la forma {(x,y) R 2, tales que y = 3x + 2} 3. Los puntos de R 2 que se encuentran en el primer cuadrante, es decir {(x,y) R 2, tales que x 0, y 0}. 4. El conjunto de matrices de orden 2 2 que tienen la forma escalares. 0 b a 0, a, b 5. R 2 con la suma definida por (x 1 ) + (x 2, y 2 ) = (x 1 + x y 2 + 1), y la multiplicación por escalar ordinaria. 6. El conjunto de vectores (x, y, z) en R 3 donde 2x y 12z = Subespacios vectoriales En la sección anterior se vio que tanto R 2 como un subconjunto de R 2 son espacios vectoriales, como ejemplo sea V = {(x, y) tales que y = mx}; ve los ejemplos 1 y 4 sección 3.2. Es evidente que V R 2, y por lo tanto el espacio vectorial R 2 tiene un subconjunto que también es espacio vectorial. Definición 3.2. Sea H un subconjunto no vacío de un espacio vectorial V. Entonces H se llama subespacio vectorial de V si H es un espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicación por escalar definidas en V. Se puede decir que un subespacio vectorial H hereda las operaciones del espacio vectorial V. De donde se desprende el siguiente teorema: Teorema 3.2. Un subconjunto no vacío H de un espacio vectorial V es un subespacio vectorial de V si se cumplen las propiedades de cerradura: i) Si x H y y H, entonces x + y H. ii) Si x H, entonces αx H para todo escalar α. 110

9 Álgebralineal Notas: 1. Este teorema nos dice que basta probar que la suma de elementos de H y el producto por un escalar están en H para que H sea un subespacio vectorial. 2. Se encuentra contemplado en el resultado anterior que Todo subespacio de un espacio vectorial contiene a 0. Ejemplo 1 a) Para cualquier espacio vectorial V, el subconjunto H = {0} es un subespacio vectorial llamado subespacio trivial. i) = 0 H ii) α0 = 0 H Por lo tanto H = {0} es subespacio vectorial de V. b) Sea V cualquier espacio vectorial, entonces V es un subespacio de sí mismo. c) Sea H = {(x, y, z) R 3 tales que x = at, y = bt, z = ct }, entonces H es un subconjunto de R 3. i) Sean x = (x 1, z 1 ) y y = (x 2, y 2, z 2 ) H, entonces x 1 = at 1 = bt 1, z 1 = ct 1 y x 2 = at 2, y 2 = bt 2, z 2 = ct 2 x + y = (x 1 + x 2 + y 2, z 1 + z 2 ), de donde tenemos que: x 1 + x 2 = at 1 + at 2 = a(t 1 + t 2 ) y 1 + y 2 = bt 1 + bt 2 = b(t 1 + t 2 ) z 1 + z 2 = ct 1 + ct 2 = c(t 1 + t 2 ) y por lo tanto x + y H ii) Sea x = (x 1, z 1 ) H y α un escalar, entonces x 1 = at 1 = bt 1, z 1 = ct 1 αx = α(x 1, z 1 ) = (αx 1, αy 1, αz 1 ) de donde tenemos que: αx 1 = α(at 1 ) = a(αt 1 ); αy 1 = α(bt 1 ) = b(αt 1 ); αz 1 = α(ct 1 ) = c(αt 1 ) y por tanto, αx H 111

10 Unidad 3 iii) 0 = (0, 0, 0) H ya que 0 = 0t. Por lo tanto podemos asegurar que H es un subespacio vectorial de R 3. d) Consideremos el espacio vectorial M n n y sea H = {A M n n A es invertible}. (Recordemos que una matriz es invertible si su determinante es distinto de cero). Consideremos la matriz cero de M n n, como su determinante es cero no es invertible, por lo tanto la matriz cero no está en H y en consecuencia H no es subespacio vectorial de M n n e) Sea H = {(x, y, z) R 3 tales que z = 1} es un subconjunto de R 3. i) Sean x = (x 1, z 1 ) y y = (x 2, y 2, z 2 ) H, entonces z 1 = z 2 = 1 x + y = (x 1 + x 2 + y 2, z 1 + z 2 ) de donde tenemos que: z 1 + z 2 = = 2 y por lo tanto, x + y H y H no es subespacio vectorial. El siguiente teorema nos dice que podemos intersectar espacios vectoriales para obtener otros subespacios vectoriales. Teorema 3.3. Si H 1 y H 2 son subespacios vectoriales de V. Entonces H 1 H 2 es un subespacio vectorial de V. Ejemplo 2 Sean H 1 = {(x, y) R 2, tales que 2x y = 0} y H 2 = {(x, y) R 2, tales que x + 2y = 0} subespacios vectoriales de R 2 entonces, por el teorema anterior H 1 H 2 = {(x, y) R 2, tales que 2x y = 0 y x + 2y = 0} es un subespacio vectorial de R 2, por lo tanto H 1 H 2 = {(0,0)} es subespacio vectorial. 112

11 Álgebralineal Ejercicio 2 Determina en cada caso si el subconjunto dado H del espacio vectorial V es un subespacio vectorial de V. 1. V = R 2 : H = {(x, y) tales que x = y}. 2. V = R 2 : H = {(x, y) tales que x 2 + y 2 1}. 3. V = M n n : H = {A M n n donde A es triangular superior}. a b 4. V = M 2 2 : H = A M2 2 tal que A =. b c 3.4. Combinación lineal y vectores generadores de un espacio vectorial En esta sección veremos cuándo un conjunto de vectores puede generar un espacio vectorial. Para esto necesitaremos los conceptos de combinación lineal, conjunto que genera y espacio generado. Definición 3.3. Sean v 1,...,v n vectores en un espacio vectorial V. Entonces cualquier vector de la forma v=a 1 v 1 + a 2 v a n v n donde a 1, a 2,..., a n son escalares, se llama combinación lineal de v 1,..., v n. Ejemplo 3 a) Consideremos los siguientes vectores en R 2, (1, 0) y (0, 1), entonces cualquier vector de R 2 se puede escribir como combinación lineal de (1, 0) y (0, 1) ya que (x, y) = x (1, 0) + y (0, 1). b) En R 3, ( 7, 7, 7) es una combinación lineal de ( 1, 2, 4) y (5, 3, 1) ya que ( 7, 7, 7) = 2( 1, 2, 4) (5, 3, 1). 113

12 Unidad 3 c) Consideremos en M = por lo que es una combinación lineal de y d) Cualquier polinomio de P n (polinomios de grado menor o igual a n) se puede escribir como combinación lineal de los polinomios: 1, x, x 2, x 3,... x n 1, x n. Definición 3.4. Un conjunto de vectores {v 1,..., v n } de V generan a V si todo vector de V se puede escribir como combinación lineal de ellos. Es decir, si para todo v en V existen a 1, a 2,..., a n, escalares de modo que v = a 1 v 1 + a 2 v a n v n. Ejemplo 4 a) En el ejemplo 3a) de la definición 3.3. vimos que cualquier vector de R 2 podía escribirse como combinación lineal de los vectores i = (1, 0) y j = (0, 1) de R 2 ; por lo tanto podemos decir que {i, j} generan a R 2. b) De igual manera podría probarse que los vectores de R 3 : i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0) y k = (0, 0, 1) generan a todo R 3. c) Consideremos a c b d en M, entonces: 2 2 a b a b c d c d = por lo que podemos decir que las matrices,, y generan a M d) Los polinomios 1, x, x 2, x 3,... x n 1, x n generan a P n (véase ejemplo 3 inciso d). e) El conjunto de vectores de R 2 H = {(1, 1), ( 3, 3)} no puede generar a R

13 Álgebralineal Considera el vector (1, 0) de R 2, si H generara a R 2, entonces existirían a y b escalares de modo que (1, 0) = a(1, 1) + b( 3, 3) de donde tenemos el siguiente sistema de ecuaciones: a 3b = 1 y a 3b = 0 pero el sistema no tiene solución, por lo tanto H no genera a R 2. f) Consideremos el conjunto H = {(2, 3), (1, 2)}. Vamos a ver si H genera a R 2. Sea (x, y) en R 2, si H generara a R 2, existirían a y b de modo que (x, y) = a(2, 3) + b(1, 2), de donde obtenemos el sistema de ecuaciones: 2a + b = x, 3a 2b = y 2x+ y 3x 2y resolviendo el sistema obtenemos que a =, b =, de donde podemos asegurar que H sí genera a R De acuerdo con los ejemplos anteriores, no podemos suponer que cualquier conjunto de vectores genera a todo el espacio vectorial. La siguiente definición nos aclara este asunto: Definición 3.5. Sean {v 1,..., v k } k vectores de un espacio vectorial V. Denotado por gen {v 1,..., v k }, el espacio generado por {v 1,..., v k } es el conjunto de todas las combinaciones lineales de v 1,..., v k, es decir, gen {v 1,..., v k } = {v V tales que v = a 1 v 1 + a 2 v a k v k } Aquí surge una pregunta: el espacio generado por un conjunto de vectores es un espacio vectorial? El siguiente teorema contesta esa pregunta. Teorema 3.4. Si v 1,..., v k son k vectores de un espacio vectorial V, entonces gen {v 1,..., v k } es un subespacio vectorial de V. Ejemplo 5 a) Sean v 1 = (2, 1, 4) y v 2 = (4, 1, 6) elementos de R 3. Sea H = gen {v 1 } = {a 1 v 1 + a 2 v 2 } se tiene que si (x, y, z) está en H, entonces 115

14 Unidad 3 (x, y, z) = a 1 v 1 + a 2 v 2 = a 1 (2, 1, 4) + a 2 (4, 1, 6) = (2a 1 + 4a 2, a 1 + a 2, 4a 1 + 6a 2 ) de donde obtenemos x = 2a 1 + 4a 2, y = a 1 + a 2, z = 4a 1 + 6a 2 para algunas a 1 y a 2. Usaremos el teorema 3.2 para probar que H es un subespacio vectorial de R 3. i) Sean x = (x 1, z 1 ) y y = (x 2, y 2, z 2 ) elementos de H, entonces existen a 1, a 2, b 1 y b 2 tales que x 1 = 2a 1 + 4a 2 = a 1 + a 2, z 1 = 4a 1 + 6a 2 y x 2 = 2b 1 + 4b 2, y 2 = b 1 + b 2, z 2 = 4b 1 + 6b 2 entonces x + y = (x 1 + x 2 + y 2, z 1 + z 2 ) de donde, x 1 + x 2 = 2(a 1 + b 1 ) + 4( a 2 + b 2 ) y 1 + y 2 = (a 1 + b 1 ) + (a 2 + b 2 ) z 1 + z 2 = 4(a 1 + b 1 ) + 6(a 2 + b 2 ) por lo cual x + y está en H. ii) Sea α un escalar, entonces αx = α(x 1, z 1 ) = (αx 1, αy 1, αz 1 ) de donde αx 1 = α(2a 1 + 4a 2 ) = 2αa 1 + 4αa 2 αy 1 = α( a 1 + a 2 ) = αa 1 + αa 2 αz 1 = α(4a 1 + 6a 2 ) = 4αa 1 + 6αa 2 por lo cual αx está en H. Por lo tanto, H es un subespacio vectorial de R 3. El siguiente teorema nos indica que si agregamos un vector a un conjunto generador, el conjunto que resulta también es generador del mismo espacio vectorial. Teorema 3.5. Sean {v 1,..., v n, v n+1 } vectores de un espacio vectorial V. Si {v 1,..., v n } genera a V, entonces {v 1,..., v n, v n+1 } también genera a V. Ejemplo 6 Sean v 1 =(1,0) y v 2 =(0,2) elementos de R

15 Álgebralineal Propongamos que sea F el espacio vectorial generado por v 1 y v 2 de tal manera que: F= gen {v 1 } = {α v 1 + β v 2 } y sean α y β dos escalares, de tal manera que: ( x, x )= α( 10, )+ β( 02, )=( α + 00, + 2β)= ( α, 2β) 1 2 por lo que x 1 =α y x 2 =2β que pertenecen a R 2, entoces v 1 y v 2 generan a F. Sea v 3 = (3,4) tendremos que ( x, x)= α( 10, )+ β( 02, )+ γ( 34, )=( α γ, 0+ 2β + 4γ)= ( α + 3γ, 2β + 4γ ) 1 2 de donde x 1 =α+3γ y x 2 =2β+4γ que son elementos de R 2 por lo que v 1 y v 3 son vectores que generan a F. Ejercicio 3 1. Responde si son falsas o verdaderas las siguientes afirmaciones: a) (3, 5) está en el espacio generado por {(1, 1), (2, 4)}. b) (1, 2, 3) está en el espacio generado por {(2, 0, 4), ( 1, 0, 3)}. c) Si {(1, 2), (2, 3)} genera a R 2, entonces {(1, 2), (2, 3), ( 2, 3)} también genera a R Determina si los siguientes conjuntos de vectores generan el espacio vectorial dado: a) En R 2 : H = {(1, 2), (3, 4)}. b) En R 2 : K = {(1, 1), (2, 2), (5, 5)}. c) En R 3 : M = {(1, 1, 2), (1, 1, 2), (0, 0, 1)} d) En M 2 2 :,,,

16 Unidad Vectores linealmente dependientes e independientes En la sección anterior vimos cómo un conjunto de vectores podía o no generar a todo un espacio vectorial. En esta sección veremos qué condiciones debe cumplir un conjunto de vectores para asegurar que genere un espacio vectorial; para ello necesitaremos introducir los conceptos de conjunto linealmente independiente y dependiente. Definición 3.6. Sean {v 1,..., v n } n vectores de un espacio vectorial V. Entonces se dice que los vectores son linealmente independientes si la única combinación lineal de ellos igual a cero, es aquella cuyos escalares son cero. Es decir, si a 1 v 1 + a 2 v a n v n = 0 entonces a 1 = a 2 = a 3 =... = a n = 0. Definición 3.7. Sean {v 1,..., v n } n vectores de un espacio vectorial V. Entonces se dice que los vectores son linealmente dependientes si existe una combinación lineal de ellos igual a cero, cuyos escalares no son todos cero. Es decir existen a 1, a 2, a 3,...,a n no todas cero tales que a 1 v 1 + a 2 v a n v n = 0. Ejemplo 7 a) Consideremos los siguientes vectores en R 4. v 1 = (2, 1, 0, 3) y v 2 = ( 6, 3, 0, 9). Vamos a tomar una combinación lineal de ellos igual a cero a 1 v 1 + a 2 v 2 = 0. Entonces a 1 (2, 1, 0, 3) + a 2 ( 6, 3, 0, 9) = (0, 0, 0, 0), por lo tanto tenemos 2a 6a = el sistema a + 3a = 0 que si a 1 = 3 y a 2 = 1 se cumple la igualdad, por lo 1 2 3a 9a = tanto v 1 y v 2 son linealmente dependientes. b) Consideremos los vectores en R 3. v 1 = (1, 2, 4) y v 2 = (2, 5, 3). Al tomar una combinación lineal igual a cero b 1 v 1 + b 2 v 2 = 0 tenemos que b 1 (1, 2, 4) + b 2 (2, 5, 3) = (0, 0, 0) de donde obtenemos el sistema 118 b + 2b = b + 5b = 0 cuya solución es b 1 = b 2 = 0, 1 2 4b 3b = 0 1 2

17 Álgebralineal por lo tanto v 1 y v 2 son linealmente independientes. c) Determinar si los vectores de R 3 v 1 = (1, 3, 0) = (3, 0, 4) y v 3 = (11, 6, 12) son linealmente independientes o dependientes. Consideremos una combinación lineal de ellos igual a cero, c 1 (1, 3, 0) + c 2 (3, 0, 4) + c 3 (11, 6, 12) = (0, 0, 0), entonces tenemos el sistema de ecuaciones c + 3c + 11c = c 6c = c + 12c = de donde obtenemos que c c + 2 c = c = haciendo c 3 = 1 obtenemos c 2 = 3 y c 1 = 2, por lo tanto v 1 y v 3 son linealmente dependientes. Cuántos vectores deberá tener un conjunto para ser linealmente dependiente? Teorema 3.6. Un conjunto de m vectores en R n siempre es linealmente dependiente si m > n. Ejemplo 8 Consideremos el conjunto H = {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1), (1,2,3)} de 4 vectores de R 3 y una combinación lineal de ellos igual a cero. a (1,0,0) + b(0,1,0) + c(0,0,1) + d(1,2,3) = (0,0,0) entonces tenemos que: a+ d = 0 c+ 3d = 0 a= d b+ 2d = 0 de donde obtenemos b= 2d el sistema tiene una infinidad de c= 3d soluciones y por lo tanto el conjunto H es linealmente dependiente. Corolario 3.1. Un conjunto de vectores linealmente independientes en R n contiene a lo más n vectores. Consideremos ahora un sistema homogéneo (definición 2.2.) de m ecuaciones con n incógnitas. 119

18 Unidad 3 y sea la matriz asociada a c + a c a c = n n a c + a c a c = n n a c m1 1 + a m2c2+ + amncn = 0 A= a11 a12... a1 a21 a22... a2 a 1 a 2... a m m mn n n entonces tenemos el siguiente resultado. Teorema 3.7. Las columnas de A, consideradas como vectores, son linealmente dependientes si y sólo si el sistema homogéneo asociado tiene soluciones diferentes de cero. Ejemplo 9 x1 + 2x2 x3 + 2x4 = 0 Considera el sistema homogéneo y su matriz 3x1 + 7x2 + x3 + 4x4 = asociada A = sus columnas son linealmente dependientes (4 vectores en R 2, teorema 3.6) por lo tanto, el sistema homogéneo tiene más de una solución no trivial. Vamos a encontrarla: Reduciendo por renglones obtenemos de donde el sistema asociado es x 9x + 6x = 0 x = 9x 6x x = 4x + 2x x + 4x 2x = despejamos x 1 y x 2 Se ve que este sistema tiene un número infinito de soluciones que se pueden escribir como combinación lineal de los vectores columna: 120

19 Álgebralineal 121 x x x x x x x x x x x = + = x. Comprobaremos que y son soluciones linealmente independientes del sistema original. Vamos a sustituir cada una de ellas en el sistema original: 9 + 2( 4) 1 + 2(0) = = (2) 0 + 2(1) = = 0 3(9) + 7( 4) (0) = = 0 3( 6) + 7(2) (1) = = 0 por lo tanto (9, 4, 1, 0) y ( 6, 2, 0, 1) son soluciones del sistema original. Probaremos ahora que son linealmente independientes: Tomemos una combinación lineal de ellos igual a cero: a(9, 4, 1, 0) + b( 6, 2, 0, 1) = 0 entonces a b a b a b = + = = = de donde a b = = 0 0 por lo que (9, 4, 1, 0) y ( 6, 2, 0, 1) son linealmente independientes. De aquí se desprende el siguiente teorema que agrupa varios resultados.

20 Unidad 3 Teorema 3.8. Sea A una matriz de n n. Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes: i) A es invertible. ii) La única solución al sistema homogéneo Ax = 0 es la solución trivial. iii) El sistema Ax = b tiene una solución única. iv) A es equivalente a la matriz identidad. v) det A 0. vi) Las columnas de A (y sus renglones) son linealmente independientes. Como consecuencia de los teoremas 3.5 y 3.6 tenemos el siguiente resultado que nos será muy útil en la siguiente unidad. Teorema 3.9. Cualquier conjunto de n vectores linealmente independientes en R n genera a R n. Como consecuencia de los teoremas 3.8 y 3.9 tres vectores en R 3 generan a R 3, si y sólo si, su determinante es diferente de cero. 122 Ejemplo 10 a) Los vectores (2, 1, 4), (1, 0, 2) y (3, 1, 5) generan a R 3 ya que su determinante = 2(2) 1( 5+4) +3( 2) = 1 y por lo tanto son linealmente independientes b) En M 2 3 sean A 1 = 3 1 1, A = y A = Determinar si A 1, A 2 y A 3 son linealmente independientes o dependientes. Suponga que c 1 A 1 + c 2 A 2 + c 3 A 3 = 0, entonces c c c =

21 Álgebralineal c c c c 2c + 4c + c de donde 3c1 + 2c2 + c3 c1 + 3c2 + 2c3 c1 + c = por lo tanto, la única solución es c 1 = c 2 = c 3 = 0 y las matrices son linealmente independientes. Ejercicio 4 1. Determina si el conjunto de vectores dado es linealmente dependiente o independiente: a) {(1, 2), ( 1, 3)} b) {(2, 1, 4), (4, 2, 7)} c) {(1, 0, 1), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} d) {( 3, 4, 2), (7, 1, 3), (1, 2, 8)} e) En P 2 : 1 x, x 2 1 f) En M 2 2 : 0 3, , El wronskiano En esta sección estudiaremos un caso especial de espacio vectorial que es C [0,1], el conjunto de funciones con primeras derivadas continuas definidas 1 en el intervalo [0, 1]. Definición 3.8. Sean dos funciones f( x) yg( x) en C[, ], entonces el wronskiano W de f y g es el determinante f( x) gx ( ) W(f, g) = det = f' ( x) g' ( x) f( x) g' ( x) gx ( ) f '( x) donde f '( x) y g' ( x) son las primeras derivadas de f y g, respectivamente. El siguiente teorema nos permite caracterizar las funciones de C 1 [0, 1] que son linealmente dependientes e independientes. Teorema Sean f(x) y g(x) en C 1 [0, 1], entonces f y g son linealmente dependientes, si y sólo si, W(f, g)(x) = 0 para toda x en [0, 1]. 123

22 Unidad 3 Vamos a demostrar el teorema Consideremos dos funciones f(x) y g(x) en C 1 [0, 1] linealmente dependientes, entonces existen c 1 y c 2 distintos de cero tales que c 1 f(x) + c 2 g(x) = 0, de donde f ( c x ) c gx f x c = 2 ( ) ( ) 2 y ' = c g ' ( x). Por lo tanto 1 W( f, g)(x) = f(x) g '( x ) c gx ( ) f '( x ) = c gx ( ) g' ( x) gx ( ) c c g' ( x) 2 2 = Ejemplo 11 Verifica que f(x) = x 3 x y g(x) = x 2 1 son linealmente independientes. 2 Entonces f '( x)= 3x 1 1 y g'( x)= 2 x, son las derivadas correspondientes. El wronskiano W( f, g) = = 2x 4 2x 2 3x 4 + x 2 + 3x 2 1 = x 4 + 2x 2 1 x x x x 1 2x = 2x(x 3 x) (x 2 1)(3x 2 1) Si x = 0, entonces W = 1, y por lo tanto f(x) y g(x) son linealmente independientes. (Teorema 3.10) Ejercicio 5 Para los siguientes ejercicios recordemos que la derivada de senx es cosx y la derivada de cosx es senx. 1. Encuentra el wronskiano de las siguientes parejas de funciones: a) y 1 = x ; y 2 = x 2 b) y 1 = senx; y 2 = cosx c) y 1 = e x ; y 2 = e 2x 124

23 Álgebralineal 2. Menciona si las siguientes parejas de funciones son linealmente independientes o dependientes: a) y 1 = x ; y 2 = 3x b) y 1 = x 3 ; y 2 = x 2 1 c) y 1 = senx ; y 2 = cosx Ejercicios resueltos 1. Determina si los conjuntos son espacios vectoriales. a) V={x en R 3 tales que x = (x, x, x)} junto con las operaciones de suma y producto por escalar definidas para R 3. Sean u, v y z elementos de V, entonces u = (u, u, u), v = (v, v, v) y z = (z, z, z). i) u + v = (u + v, u + v, u + v) está en V. ii) u + (v + z) = (u + v) + z. u + (v + z) = (u, u, u) + [(v, v, v) + (z, z, z)] = (u, u, u) + (v + z, v + z, v + z) = (u + [v + z], u + [v + z], u + [v + z]) =* ([u + v] + z, [u + v] + z, [u + v] + z) = (u + v, u + v, u + v) + (z, z, z) = [(u, u, u) + (v, v, v)] + (z, z, z) = (u + v) + z. * Esta igualdad es verdadera ya que R 3 es un espacio vectorial; se dice que R 3 le hereda esta propiedad a V. iii) 0 = (0, 0, 0) está en V. iv) u = ( u, u, u) está en V. v) u + v = v + u (la hereda de R 3 ). vi) αu = (αu, αu, αu) está en V. vii) α(u + v) = αu + αv (la hereda de R 3 ). viii) (α + β)u = αu + βu (la hereda de R 3 ). ix) α(βu) = (αβ)u (la hereda de R 3 ). x) 1u = (1u, 1u, 1u) = (u, u, u) = u. Por lo tanto, V es un espacio vectorial. b) V = {(x, y) en R 2 tales que y 0}, la propiedad iv) no se cumple ya que si u = (0, 1), entonces u = (0, 1) no está en V, por lo tanto V no es un espacio vectorial. 125

24 Unidad 3 2. Menciona si los conjuntos son subespacios vectoriales o no: a) H = {(x, y, 0) en R 3 } Sean u, v en H, entonces u = (x 1, 0) y v = (x 2, y 2, 0). i) u + v = (x 1 + x 2 + y 2, 0) está en H. ii) αu = (αx 1, αy 1, α0) = (αx 1, αy 1, 0) está en H. iii) 0 = (0, 0, 0) está en H. Por lo tanto H es un subespacio vectorial de R 3. b) H = {p en P n tal que p(0) = 1} El polinomio 0 no está en H ya que 0(0) = 0. Por lo tanto, H no es un subespacio vectorial. 3. Menciona si el conjunto H = {1 x, 3 x 2 } genera al espacio vectorial P 2. No, por que el polinomio x no puede escribirse como combinación lineal de 1 x, y 3 x 2 ya que si x = a(1 x) + b(3 x 2 ) = (a+3b) + ( a)x + ( b)x 2, entonces a + 3b = 0; a = 1; b = 0 de donde b = 0 ; a = 0 y a = 1, lo cual no puede ser. 4. Determina si el conjunto H = {(2, 1, 4), (4, 2, 8)} es linealmente independiente o dependiente. a(2, 1, 4) + b(4, 2, 8) = (0, 0, 0) entonces, 2a + 4b = 0; a 2b = 0; 4a + 8b = 0 de aquí tenemos que a = 2b tiene infinitas soluciones no triviales, por lo tanto H es un conjunto linealmente dependiente. 5. Encuentra el wronskiano de las funciones y 1 = 3x y 2 = 1 x y menciona si son linealmente dependientes o independientes. y1' = 3, y2' = 1, entonces W = 3 x 1 x = 3x 3(1 x) = 3 por lo 3 1 tanto, son linealmente independientes. 126

25 Álgebralineal Ejercicios propuestos 1 α 1. Di si el conjunto de matrices de 2 2 de la forma, con las β 1 operaciones de matrices usuales es un espacio vectorial; si no, menciona por qué. 2. Di si el conjunto H = {(x, y) en R 2 tales que x = 1} es un subespacio vectorial de R 2, si no lo es menciona cuál es la condición que falla. 3. Prueba que el conjunto H = {(2, 3), (1, 0)} genera a R Menciona si el conjunto es linealmente dependiente o independiente: a) H = {(2, 3), (1, 0)} b) H = {(3, 2, 1), (6, 4, 2)} 5. Encuentra el wronskiano y di si las siguientes parejas de funciones son linealmente independientes o dependientes: a) f(x) = 4x + 5; g(x) = x 2 b) f(x) = 3x 2 ; g(x) = 2x 2 c) f(x) = sen 3x; g(x) = cos 3x 127

26 Unidad 3 Autoevaluación 1. Menciona si las siguientes afirmaciones son falsas o verdaderas: a) El conjunto de vectores {(x, 3x) en R 2 } es un espacio vectorial. b) El conjunto de vectores {(x, 3x + 1) en R 2 } es un espacio vectorial. c) El conjunto de vectores {(x, y, 1) en R 3 } es un subespacio de R 3. d) El conjunto de polinomios de grado 2 es un subespacio de P 3. e) (3, 5) está en el espacio generado por {(1,1), (2,4)}. f) gen{(1, 2, 1, 3), (7, 1, 0, 4), ( 8, 0, 8, 2)} es un subespacio de R 3. g) Si {(1, 2), (2, 3)} genera a R 2, entonces {(1, 2), (2, 3), ( 2, 3)} también genera a R 2. h) Si {v 1,..., v n } son linealmente independientes, entonces {v 1,..., v n, v n+1 } también son linealmente independientes. i) Si {v 1,..., v n } son linealmente dependientes, entonces {v 1,..., v n, v n+1 } también son linealmente dependientes. j) Si el wronskiano de f y g es cero para una x en [0, 1], f y g son linealmente dependientes. 2. Cuál de los siguientes conjuntos de vectores genera P 2? a) 1, x 2 b) 3, 2x, x 2 c) 1+x, 2+2x, x 2 d) 1, 1+x, 1+x 2 3. Cuál de los siguientes pares de vectores son linealmente independientes? a) {(1, 1), ( 1, 1)} b) {(2, 3), (3, 2)} c) {(11, 0), (0, 4)} d) {(6, 10), ( 3, 5)} e) {( 2, 4), (4, 8)} 128

27 Álgebralineal Respuestas a los ejercicios Ejercicio 1 1. Sí es, ya que se trata de una recta que pasa por el origen. 2. No es, ya que no es cerrado bajo la suma. 3. No es, ya que el inverso aditivo no está. 4. Sí es espacio vectorial. 5. No es, pues no satisface la propiedad vii). 6. Sí es espacio vectorial. Ejercicio 2 1. Sí es subespacio vectorial. 2. No es subespacio vectorial, ya que no es cerrado bajo la suma. 3. Sí es subespacio vectorial. 4. Sí es subespacio vectorial. Ejercicio 3 1. a) V b) F c) V 2. a) Sí genera. b) No genera. c) Sí genera. d) No genera. Ejercicio 4 a) Son linealmente independientes. b) Son linealmente independientes. c) Son linealmente independientes. d) Son linealmente independientes. e) Son linealmente independientes. f) Son linealmente dependientes. 129

28 Unidad 3 Ejercicio 5 1. a) W = x 2 b) W = 1 c) W = e 3x 2. a) Son linealmente dependientes. b) Son linealmente independientes. c) Son linealmente independientes. Respuestas a los ejercicios propuestos 1. No es un espacio vectorial porque la matriz conjunto. 0 0 no está en el H no es un subespacio vectorial, ya que (1, y) + (1, z) = (1 + 1, y + z) = (2, y + z) no está en H. 3. Sí genera a R a) Es linealmente independiente. b) Es linealmente dependiente. 5. a) W( f, g) = 4x x Son linealmente independientes. b) W( f, g) = 0 Son linealmente dependientes. c) W( f, g) = 3 Son linealmente independientes. 130

29 Álgebralineal Respuestas a la autoevaluación 1. a) V b) F c) F d) F e) V f) F g) V h) F i) V j) V 2. b), c) y d) 3. b) y c) 131

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