Matemáticas I: Hoja 3 Espacios vectoriales y subespacios vectoriales

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1 Matemáticas I: Hoa 3 Espacios vectoriales y subespacios vectoriales Eercicio 1. Demostrar que los vectores v 1, v 2, v 3, v 4 expresados en la base canónica forman una base. Dar las coordenadas del vector u en la nueva base: a) v 1 = (1, 1, 1), v 2 = (1, 1, 2), v 3 = (1, 2, 3), u = (6, 9, 14) b) v 1 = (2, 1, 3), v 2 = (3, 2, 5), v 3 = (1, 1, 1), u = (6, 2, 7) c) v 1 = (2, 1, 1), v 2 = (0, 1, 0), v 3 = (1, 3, 1), u = (14, 2, 6) d) v 1 = (1, 2, 1, 2), v 2 = (2, 3, 0, 1), v 3 = (1, 2, 1, 4), v 4 = (1, 3, 1, 0), u = (7, 14, 1, 2) En cada uno de los casos anteriores, para qué u 1,..., u n 1 {v 1,, v n } forma u 1,..., u n 1, u una base? (De otra manera: de qué subconuntos vectores de n 1 vectores de la base es u linealmente independiente? Solución 1. a) El determinante de la matriz A = es distinto de cero, luego los vectores son linealmente independientes. Como R 3 tiene dimensión 3, los vectores generan el espacio, luego son una base. Las coordenadas de u en base {v i } son (1, 2, 3). u forma base con cualquier subconunto de dos vectores distintos de {v i } b) Los tres vectores v 1, v 2, v 3 de R 3 son linealmente independientes y por dimensión, generan R 3, luego son base. Las coordenadas de u en base {v i } son (1, 1, 1). u forma base con cualquier subconunto de dos vectores distintos de {v i } 1

2 c) Los tres vectores v 1, v 2, v 3 de R 3 son linealmente independientes y por dimensión, generan R 3, luego son base. Las coordenadas de u en base {v i } son (8, 0, 2). u forma base con cualquier subconunto de dos vectores distintos de la forma {v 2, v i }, pero no con {v 1, v 3 } pues el linealmente dependiente de ellos y por dimensión no generan el espacio. De otro modo, v 2 / v 1, v 3, u d) v 1, v 2, v 3 R 4 son linealmente independientes y por dimensión, generan R 4, luego son base. Las coordenadas de u en base {v i } son (0, 2, 1, 2). u forma base con cualquier subconunto de tres vectores distintos de la forma {v 1, v, v k }, pero no con {v 2, v 3, v 4 } pues el linealmente dependiente de ellos. De otro modo: v 1 / v 2, v 3, v 4, u Eercicio 2. Calcula las matrices de cambio de base entre las bases del eercicio de antes en los casos en que sea posible. Solución 2. Llamamos V a, V b, V c a las bases dadas en los apartados a), b), c) respectivamente. Por razones de dimensión, los cambios de base posibles son V a V b, V a V c, V c V b. 1. Si llamamos M Va Vb la matriz de cambio de base de V a a V b tenemos M Va Vb = M Vb V a = M 1 V a V b = M Va Vc = M Vc V a = M 1 V a V c = M Vb V c = M Vc V B = M 1 V B V c = Eercicio 3. Da dos bases B, B de un espacio vectorial tridimensional. De qué modo cambia la matriz de cambio de base B B... 2

3 a)...si se cambian posición dos vectores de B? b)...si se cambian de posición dos vectores de B? c)...si se invierte el orden de ambas bases? Solución 3. a) Cambian las dos filas correspondientes. b) Cambian las dos columnas correspondientes c) Ocurrirá una relfexión simétrica de la matriz con respecto a su centro. Eercicio 4. Demuestra que el conunto a 1,1 a 1,2 a 1,n a 2,1 a 2,2 a 2,n M n n (R) = a n,1 a n,2 a,.n a i, R es un R-espacio vectorial. Da una base y su dimensión. Solución 4. La comprobación de que M n n (R) es un espacio vectorial sobre R se hace verificando las propiedades de espacio vectorial para la suma de matrices y producto por escalar. La prueba es automática a partir de las propiedades de las matrices. Además, se puede ver que B = {E i, : i, = 1,, n} es una base del espacio M n n (R), donde E i, es la matriz de orden n n con un 1 en la posición (i, ) y el resto de elementos iguales a cero. Por lo tanto, el espacio tiene dimensión n 2. Eercicio 5 (*). Hallar las coordenadas del polinomio p(x) = a 0 + a 1 x + + a n x n en las bases B = {1, x, x 2,..., x n } y B = {1, x 1, (x 1) 2,..., (x 1) n }. Pista: desarrolla los polinomios de la base B usando los números del binomio de Newton para hallar la matriz de cambio de base B B Solución 5. Es fácil ver que la coordenada -ésima de (x 1) i {x k } 0 k n es ( i i ) ( 1) i si i y 0 en otro caso, ya que (x 1) i = i k=0 ( ) i ( 1) k x i k k en base 3

4 Así, tenemos que la matriz M B B viene dada por con Más explícitamente: a i = M B B = (a i ) 0,i, n { ( i i ) ( 1) i si i 0 en otro caso ( 1) n n( 1) n M B B = ( 1) n 2 n(n 1) 2 Demostramos por inducción que su inversa tiene por coeficientes el valor absoluto de los coeficientes de M B B, es decir n n(n 1) M B B = Equivalentemente, demostramos por inducción que x i = ( i ) (x 1) i : Paso 1: para i = 0 obtenemos 1 = 1, luego es cierto. Paso2: Hipótesis de inducción. Suponiéndolo cierto para k 1 (es decir x k 1 = k 1 =0 ( k 1 ) (x 1) k 1 ) lo demostramos para k, es decir x k = k =0 ( ) k (x 1) k Pero k 1 ( ) x k = x x k 1 HI k 1 = (x 1 + 1) (x 1) k 1 = =0 4

5 k 1 = (x 1) =0 ( k 1 ) (x 1) k 1 + k 1 [( ) k 1 (x 1) k + + =1 Pero ( ) k 1 + =0 k 1 ( k 1 =0 ( k 1 1 ( ) k 1 = 1 ) (x 1) k 1 = )] (x 1) k + 1 ( ) k Paso 3: Tesis de inducción. Luego hemos demostrado que para todo n n ( ) n x n = (x 1) n lo cual nos permite concluir el eercicio. Eercicio 6. Decide cuáles de los siguientes subconuntos del espacio vectorial dado son subespacios vectoriales: a) Los vectores de R n cuyos coeficientes son números enteros. b) Los vectores del plano que yacen en el ee OX. c) Los vectores del plano que yacen en el ee OX o en el ee OY. d) Los vectores del plano cuyos orígenes y extremos yacen sobre una recta. e) Los vectores de R 3 cuyos extremos no yacen en una recta. f) Los vectores del plano cuyos extremos yacen en el primer cuadrante Solución 6. El conunto en b) es un subespacio vectorial. Contraeemplos: a) (1/2) (1, 1,, 1) no tiene coeficientes enteros c) (a, 0) OY, (0, b) OY, (a, 0) + (0, b) = (a, b) / OX OY para a, b 0 d) Si la recta no es vectorial (es decir, si no pasa por el 0), el conunto dado no es un subespacio, pues al multiplicar los vectores por cero salen de la recta. Si la recta es vectorial, sí es un subespacio. e) Tómese la recta {y = ax+c, z = 0} a 0. Los vectores (1, a, 0), (0, c, 0) pertenecen al subonunto dado, pero su suma no. Para a = 0, tómese (0, c/2, 0) y súmese consigo mismo 5

6 f) Los vectores del primer cuadrante tienen coordenadas estrictamente positivas. Si los multiplicamos por un número negativo pasan a pertenecer al tercer cuadrante. Eercicio 7. Demuestra que los siguientes subconuntos del espacio vectorial dado son subespacios vectoriales, y da su dimensión. a) Los vectores de R n cuyas coordenadas primera y última son iguales. b) Los vectores de R n cuyas coordenadas impares son 0. c) Los vectores de R n cuyas coordenadas impares son iguales. d) Las matrices simétricas con coeficientes reales dentro de M n n (R). e) Las matrices antisimétricas con coeficientes reales dentro de M n n (R) Pista: para los dos últimos eercicios da una base y a continuación prueba que genera el subespacio en cuestión. Solución 7. a) Es un espacio vectorial ya que al multiplicar dos coordenadas que son iguales por un escalar, siguen siendo iguales. Asimismo (a, a 2,..., a n 1, a) + (b, b 2,..., b n 1, b) = (a + b, c 2,..., c n 1, a + b) que sigue perteneciendo al mismo espacio vectorial. Su dimensión es n 1 b) Es un subespacio vectorial pues λ 0 = 0 = La dimensión del espacio es k si n = 2k, 2k + 1 porque sus generadores son: (0, 1, 0, 0,..., }{{} 0, 0 2k }{{} 2k+1 ), (0, 0, 0, 1,..., 0 }{{} 2k, 0 }{{} 2k+1 ),, (0, 1, 0, 0,..., 1 c) Es un espacio vectorial porque la suma de números iguales es igual y la multiplicación de números iguales por un escalar es igual.su dimensión es k + 1 para n = 2k, 2k + 1. d) Es subespacio vectorial porque (λ M) t + (µ N) t = λm t + µn t = λm + µn Este subespacio tiene dimensión (n + 1)(n 2) }{{} 2k, 0)

7 e) Es subespacio vectorial porque (λ M) t + (µ N) t = λm t + µn t = (λm + µn) Este subespacio tiene dimensión (n + 1)(n 2) 2 Eercicio 8. Demostrar que el conunto de soluciones de cualquier sistema de ecuaciones lineales homogéneas de rango r forman un espacio vectorial de dimensión n r. Solución 8. Visto en clase de teoría. Eercicio 9. Sean u = (1, 2, 0), v = (0, 1, 1), x = (1, 0, 2), y = (1, 1, 1) vectores en R 3. a) Probar que L(u, v) = L(x, y). b) Completar el conunto {u, v} hasta obtener una base de R 3. Solución 9. Para hacer el apartado a) tenemos que probar L(u, v) L(x, y) y L(x, y) L(u, v). De hecho, como ambos son espacios vectoriales, es suficiente probar u, v L(x, y) y x, y L(u, v). Veamos primero que u L(x, y). Eso siginifica que existen escalares α y β tales que u = αx + βy. Esto se puede expresar como un sistema de ecuaciones (con incógnitas α y β) de forma que la matriz de coeficientes del sistema y la matriz ampliada son, respectivamente, A = y (A b) = Sabemos por el teorema de Rouché- Frobenius que este sistema tiene solución (es decir, existen tales α y β) si y sólo si el rango de A y el rango de (A b) coinciden. Como sabemos que rg(a) = 2 ya que sus columnas son las coordenadas de dos vectores que forman una base (luego son l.i.) tenemos que ver querg(a b) = 2. Se comprueba que (A b) es equivalente por filas a la matriz y por tanto tiene rango 2. Luego, u L(x, y)

8 Otra forma de razonar, sabiendo que {x, y} son linealmente independientes, es que u L(x, y) si y sólo si el conunto {x, y, u} es linealmente dependiente. O lo que es lo mismo, rg < 3. De la misma forma, vemos que v L(x, y) probando que rg = 2. Para ver x, y L(u, v) razonamos igual y probamos que rg = 2. y rg = 2. Para resolver el apartado b), solo tenemos que encontrar un vector w tal que {w, u, v} sea un conunto linealmente independiente. Podemos probar con los vectores de la base canónica (por su sencillez) y vemos que si tomamos w = (1, 0, 0) el conunto anterior es linealmente independiente. De cualquier forma, si el primer vector de la base canónica no nos valiese, sabemos que el segundo vector o el tercer vector de la base canónica sí deben funcionar. Otra forma de hacer este último apartado es poner un vector genérico w = (a, b, c), calcular el determinante de la matriz cuyas columnas son las coordenadas de los vectores u, v, w e imponer que dicho determinante sea distinto de cero. Si lo hacemos así, obtenemos un determinante (en función de a, b y c) igual a 2a b + c. Cualquier elección que haga este valor distinto de cero nos valdrá. Eercicio 10. Sean u = (1, 2, 1), v = (1, 3, 2), x = (1, 1, 0), y = (3, 8, 5) vectores en R 3. a) Probar que L(u, v) = L(x, y). b) Sea U = L(u, v). Es B = {x, y} una base de U?, y B = {u, v}?. c) Se pueden encontrar dos vectores z, w R 3 tal que {u, v, z, w} sea un conunto linealmente independiente? 8

9 Solución 10. El apartado a) es exáctamente igual que el eercicio anterior. Se trata de probar que las matrices , , y tienen todas rango 2. Para responder el apartado b), por un lado sabemos que {u, v} es un sistema de generadores de U (por definición de U). Más aún, como son vectores linealmente independientes, forman una base. Así pues, B es base de U. Esto también nos dice que dim(u) = 2. Por lo tanto, siempre que tengamos dos vectores de U que sean linealmente independientes, estos formarán una base de U. Por el apartado a) sabemos que x, y L(u, v). Además, x e y son linealmente independientes. Por tanto, B también es una base de U. La respuesta al apartado c) es negativa. Como R 3 tiene dimensión 3, nunca podremos tener 4 vectores linealmente independientes. Eercicio 11. En R 4 se consideran los siguiente subespacios vectoriales: 1. V 1 := {(x, y, z, t) : x + y + z + t = 0}. 2. V 2 := L((1, 1, 1, 1), (1, 2, 1, 0)). 3. V 3 := {(λ + γ, µ, λ, µ + γ) : λ, µ, γ R}. Se pide: a) Ecuaciones paramétricas y cartesianas, dimensión y una base de cada uno de los tres subespacios. b) Decir si el vector x = (1, 1, 1, 1) pertenece a cada uno de los subespacios. c) Para los casos en que la respuesta del apartado b) sea afirmativa, dar las coordenadas del vector x respecto de la base obtenida en el apartado a). Solución 11. a) V 1 : 1. Ecuaciones cartesianas (o implícitas):{(x, y, z, t) : x+y+z+t = 0} 9

10 2. Ecuaciones paramétricas: x = λ µ γ y = λ z = µ t = γ λ, µ, γ R 3. Dimensión: 3 4. Base: B V1 : {( 1, 1, 0, 0), ( 1, 0, 1, 0), ( 1, 0, 0, 1)}. V 2 : { 1. Ecuaciones cartesianas (o implícitas): (x, y, z, t) : 2. Ecuaciones paramétricas: x = λ + µ y = λ + 2µ, λ, µ R z = λ + µ t = λ V 3 : 3. Dimensión: 2 4. Base: B V2 : {(1, 1, 1, 1), (1, 2, 1, 0)}. { } x z = 0 2x y t = 0 1. Ecuaciones cartesianas (o implícitas):{(x, y, z, t) : x+y z t = 0} 2. Ecuaciones paramétricas: x = λ + γ y = µ, λ, µ, γ R z = λ t = µ + γ 3. Dimensión: 3 4. Base: B V3 : {(1, 0, 1, 0), (0, 1, 0, 1), (1, 0, 0, 1)}. b) Para ver si x = (1, 1, 1, 1) pertenece a cada uno de los subespacios usamos las ecuaciones cartesianas de cada uno de los subespacios y vemos que x sólo pertence a V 1. c) Las coordenadas de x respecto de la base B V1 son x = (1, 1, 1) BV1. 10

11 Eercicio 12. En R 4 se consideran los siguientes subespacios vectoriales: 1. V 1 := {(x, y, z, t) : x + y + z = 0}. 2. V 2 := L((1, 1, 1, 1), (1, 2, 3, 4)). 3. V 3 := {(λ + µ, λ + γ, γ + δ, λ + δ) : λ, µ, γ, δ R}. Decidir si el vector x = (1, 0, 1, 2) pertenece a dichos subespacios. En caso afirmativo, dar las coordenadas de este vector respecto de alguna base de dichos subespacios (la elección de la base es libre). Solución 12. Se puede ver que x V 3 sólamente. De hecho, se puede ver que V 3 = R 4. Como podemos elegir la base, tomamos la base canónica y por lo tanto las coordenadas de x en esa base serán (1, 0, 1, 2). 11

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