elemento neutro y elemento unidad: inversa aditiva (opuesto): para todo λ K 0, existe un único µ K tal que λµ = 1;

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "elemento neutro y elemento unidad: inversa aditiva (opuesto): para todo λ K 0, existe un único µ K tal que λµ = 1;"

Transcripción

1 3. Espacios Vectoriales 3.1. Definición de espacio vectorial Un cuerpo es una estructura algebraica (K, +, ) formada por un conjunto K no vacio y dos operaciones internas + y que verifican las siguientes propiedades: conmutativa: λ + µ = µ + λ y λµ = µλ para todo µ, λ K; asociativa: (λ + µ) + ν = λ + (µ + ν) y (λµ)ν = λ(µν) para todo λ, µ, ν K; elemento neutro y elemento unidad: λ + 0 = λ y λ1 = λ para todo λ K; inversa aditiva (opuesto): para todo λ K existe un único µ K tal que λ + µ = 0; inversa multiplicativa: para todo λ K con λ 0, existe un único µ K tal que λµ = 1; distributiva: λ(µ + ν) = λµ + λν para todo λ, µ, ν K. La inversa aditiva de λ se denota por λ. Restar en K se define como µ λ = µ + ( λ). La inversa multiplicativa de λ 0 se denota por 1/λ. Dividir en K se define como µ/λ = µ(1/λ). Ejemplos: (R, +, ) y (C, +, ) son cuerpos. 1

2 Dado un cuerpo (K, +, ), un espacio vectorial sobre K es una estructura algebraica (V, +, ) donde V es un conjunto no vacío, la suma es una aplicación que asigna un elemento u + v V para cualquier par u, v K, y el producto es una aplicación que asigna un elemento λv V para cualquier λ K y cualquier u V, y tiene las siguientes propiedades: conmutatividad: u+v = v+u para todo u, v V ; asociatividad: (u + v) + w = u + (v + w) y (λµ)v = λ(µv) para todo u, v, w V y para todo λ, µ K; elemento neutro: existe un elemento 0 V tal que v + 0 = v para todo v V ; inversa aditiva: para todo v V existe w V tal que v + w = 0. elemento unidad: el elemento unidad de K es elemento unidad de la multiplicación 1v = v para todo v V. propiedades distributivas: λ(u + v) = λu + λv y (λ + µ)u = λu + µu para todo u, v V y para todo λ, µ K. Los elementos de V reciben el nombre de vectores. 2

3 Propiedades: 1. En un espacio vectorial el elemento neutro es único. 2. Cada elemento de un espacio vectorial tiene un único opuesto. 3. 0v = 0 para todo v V. 4. λ0 = 0 para todo λ K. 5. ( 1)v = v para todo v V Subespacio Vectorial Un subconjunto U de V es un subespacio vectorial de V si también es un espacio vectorial (con la misma suma y la misma multiplicación por un escalar). Para comprobar que U V es un subespacio vectorial es suficiente comprobar que contiene el vector 0, que es cerrado al sumar vectores de U y que es cerrado al multiplicar cualquier escalar por un vector de U: 1. 0 U; 2. u + v U para todo u, v U; 3. λv U para todo v U y para todo λ K. 3

4 3.3. Subespacio generado por un sistema de vectores. Dependencia e independencia lineal Una combinación lineal de los vectores {v 1,..., v s } V es un vector de la forma donde λ 1,..., λ s K. v = λ 1 v λ s v s Obsérvese que 0 es combinación lineal de cualquier conjunto de vectores no vacío (basta tomar λ i = 0). Teorema Sea S = {v 1,..., v s } V. Entonces L(S) = {λ 1 v λ s v s V : λ 1,..., λ s K} es el menor subespacio vectorial de V que contiene a S. A L(S) lo llamaremos el subespacio vectorial generado por S. Un conjunto de vectores S = {v 1,..., v s } es un sistema generador de un espacio (o subespacio) vectorial V si L(S) = V. Es decir, si todo elemento de V se puede poner como combinación lineal de los vectores de S. 4

5 Un sistema de vectores S = {v 1,..., v s } es linealmente dependiente si existe λ 1,..., λ s K no todos nulos de modo que λ 1 v λ s v s = 0. S = {v 1,..., v s } es linealmente independiente si no es linealmente dependiente. Es decir, si λ 1 v λ s v s = 0 = λ 1 = = λ s = 0. Observación: si {v 1,..., v s } es un sistema de vectores linealmente dependiente, entonces uno de ellos se puede poner como combinación lineal del resto. Si λ 1 0 = v 1 = ( λ 2 λ 1 ) v ( λ ) s v s. λ 1 Tres vectores no nulos en R 2 son siempre linealmente dependientes. En general n + 1 vectores en R n son siempre linealmente dependientes Base y dimensión de un subespacio vectorial Teorema: Si S = {v 1,..., v s } es un sistema linealmente independiente que genera V, entonces todo elemento de V se puede escribir de modo único como combinación lineal de {v 1,..., v s }. 5

6 Una base de un espacio vectorial V es un sistema de vectores linealmente independiente que es sistema generador de V. Dado v V, a los únicos λ 1,..., λ s K tales que v = λ 1 v λ s v s, se les denomina coordenadas de v. Observación BASE = SIST GENERADOR + LINAL. INDEP. {(1, 0, 0), {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 1, 0), {(1, 0, 0), (0, 1, 0)} (0, 0, 1), (1, 1, 1)} (0, 0, 1)} Base R 3 Sist. gen. de R 3, pero no base Sist. lin. indep., pero no base Teorema: todas las bases de un espacio vectorial tienen el mismo número de vectores. Le dimensión de un espacio vectorial es el número de elementos que posee cualquier base suya. Ejemplos: dim(r n ) = n; dim(k t [x]) = t + 1; dim(m mn ) = mn. 6

7 Una base de un subespacio vectorial W V es un sistema de vectores linealmente independiente que es sistema generador de W. La dimensión de W es igual al número de vectores de cualquier base de W. {v 1,..., v s } l.i. rang {v 1,..., v s } sist. gen. de W v 1 v s v 1,..., v s W, rg v 1 = s v s = dim(w ) Ampliación de un sistema de vectores lineal independiente a una base de W. En este caso rang v 1 v s = s < dim(w ). Debemos añadir vectores de W de tal forma que el rango siga siendo el número de columnas e igual a la dimensión de W. 7

8 Reducción de un sistema generador a una base. En este caso rang v 1 v s = dim(w ) < s. Debemos quitar vectores de tal forma que el rango siga siendo igual a la dimensión de W e igual al número de columnas Coordenadas y ecuaciones de un subespacio vectorial Sea B = {v 1,..., v n } una base de V. El vector v tiene coordenadas (λ 1,..., λ n ) en base B si v = λ 1 v λ n v n. Para expresar esto escribiremos: v = (λ 1,..., λ n ) B. Las coordenadas nos permiten trabajar con cualquier espacio vectorial como si fuese K n. Teorema 1. El conjunto de soluciones de un sistema lineal homogéneo es un subespacio vectorial de K n de dimensión n (rango de la matriz del sistema). 2. Fijada cualquier base B = {v 1,..., v n } de V, las coordenadas de los vectores de un subespacio vectorial de dimensión k son el conjunto de soluciones 8

9 de un sistema de ecuaciones homogéneo con n k ecuaciones y n incógnitas. Al sistema de ecuaciones que describe un subespacio vectorial fijada una base, le llamaremos ecuaciones implícitas del subespacio. A la solución de este sistema lo llamaremos ecuaciones paramétricas del sistema. Formas de describir un subespacio vectorial 5HVROYHUVLVWHPD (F,PSOtFLWDV (F 3DUDPpWULFDV (OLPLQDUSDUiPHWURV 12 6( 38('( 6HSDUDU 3DUiP &RPELQDFLyQOLQHDO 'HORVYHFWRUHVGHODEDVH %DVH 6LVWHPDJHQHUDGRU (OLPLQDUFROXPQDVGHWDOIRUPDTXH (OUDQJRQRFDPELH\VHDLJXDODO GHFROXPQDV Q~P 9

10 3.6. Operaciones con subespacios vectoriales. Cambio de coordenadas La intersección de dos subespacios es un subespacio. La única forma de calcular la intersección es a través de las ecuaciones implícitas: las ecuaciones implícitas de U 1 U 2 se obtienen al juntar las ecuaciones implícitas de U 1 con las de U 2. En general, la unión de dos subespacios no es un subep. La suma de dos subespacios se define como U 1 + U 2 = {u 1 + u 2 : u 1 U 1, u 2 U 2 } y es un subespacio. Un sistema generador de U 1 + U 2 se obtiene uniendo un sistema generador de U 1 con uno de U 2. Fórmula de la dimensión: sean U 1, U 2 dos subespacios de V, entonces dim(u 1 ) + dim(u 2 ) = dim(u 1 U 2 ) + dim(u 1 + U 2 ) V es suma directa de U 1 y U 2, y lo denotamos por V = U 1 U 2 si 1. V = V = U 1 + U 2 ; 2. U 1 U 2 = {0}. U 1, U 2 se dice que son suplementarios. 10

11 Proposición: V = U 1 U 2 todo v V se escribe de forma única como v = u 1 + u 2, donde u 1 U 1 y u 2 U 2. Sean B = {e 1,..., e n }, B = {v 1,..., v n } bases de V. La matriz cambio de coordenadas entre B y B es M B (B ) = v 1 v s, donde las coordenadas de v 1,..., v s están en base B. Sea v V un vector cualquiera con coordenadas v = (λ 1,..., λ n ) B = (µ 1,..., µ n ) B. Entonces, M B (B ) µ 1. µ n B = λ 1. λ n B. Además, M B (B) = M B (B ) 1 11

1. ESPACIOS VECTORIALES

1. ESPACIOS VECTORIALES 1 1. ESPACIOS VECTORIALES 1.1. ESPACIOS VECTORIALES. SUBESPACIOS VECTORIALES Denición 1. (Espacio vectorial) Decimos que un conjunto no vacío V es un espacio vectorial sobre un cuerpo K, o K-espacio vectorial,

Más detalles

Tema 3. Espacios vectoriales

Tema 3. Espacios vectoriales Tema 3. Espacios vectoriales Estructura del tema. Definición y propiedades. Ejemplos. Dependencia e independencia lineal. Conceptos de base y dimensión. Coordenadas Subespacios vectoriales. 0.1. Definición

Más detalles

Tema 2 ESPACIOS VECTORIALES

Tema 2 ESPACIOS VECTORIALES Tema 2 ESPACIOS VECTORIALES Prof. Rafael López Camino Universidad de Granada 1 Espacio vectorial Definición 1.1 Un espacio vectorial es una terna (V, +, ), donde V es un conjunto no vacío y +, son dos

Más detalles

1 Espacios y subespacios vectoriales.

1 Espacios y subespacios vectoriales. UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE CARTAGENA Departamento de Matemática Aplicada y Estadística Espacios vectoriales y sistemas de ecuaciones 1 Espacios y subespacios vectoriales Definición 1 Sea V un conjunto

Más detalles

MATEMÁTICAS I TEMA 1: Espacios Vectoriales. 1 Definición de espacio vectorial. Subespacios

MATEMÁTICAS I TEMA 1: Espacios Vectoriales. 1 Definición de espacio vectorial. Subespacios Sonia L. Rueda ETS Arquitectura. UPM Curso 2007-2008. 1 MATEMÁTICAS I TEMA 1: Espacios Vectoriales 1 Definición de espacio vectorial. Subespacios Dados dos conjuntos V y K se llama ley de composición externa

Más detalles

Estructuras algebraicas

Estructuras algebraicas Tema 2 Estructuras algebraicas básicas 2.1. Operación interna Definición 29. Dados tres conjuntos A, B y C, se llama ley de composición en los conjuntos A y B y resultado en el conjunto C, y se denota

Más detalles

y λu = Idea. Podemos sumar vectores y multiplicar por un escalar. El resultado vuelve a ser un vector Definición de espacio vectorial.

y λu = Idea. Podemos sumar vectores y multiplicar por un escalar. El resultado vuelve a ser un vector Definición de espacio vectorial. Espacios vectoriales Espacios y subespacios R n es el conjunto de todos los vectores columna con n componentes. Además R n es un espacio vectorial. Ejemplo Dados dos vectores de R por ejemplo u = 5 v =

Más detalles

1. SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS

1. SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS 1 1. SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS 1.1. ESPACIOS VECTORIALES 1. Analizar cuáles de los siguientes subconjuntos de R 3 son subespacios vectoriales. a) A = {(2x, x, 7x)/x R} El conjunto A es una

Más detalles

Espacios vectoriales

Espacios vectoriales Espacios vectoriales Natalia Boal María Luisa Sein-Echaluce Universidad de Zaragoza 1 Concepto de espacio vectorial y propiedades 1.1 Definición Se llama espacio vectorial sobre K (IR o C a toda terna

Más detalles

Subespacios vectoriales en R n

Subespacios vectoriales en R n Subespacios vectoriales en R n Víctor Domínguez Octubre 2011 1. Introducción Con estas notas resumimos los conceptos fundamentales del tema 3 que, en pocas palabras, se puede resumir en técnicas de manejo

Más detalles

BASES Y DIMENSIÓN. Propiedades de las bases. Ejemplos de bases.

BASES Y DIMENSIÓN. Propiedades de las bases. Ejemplos de bases. BASES Y DIMENSIÓN Definición: Base. Se llama base de un espacio (o subespacio) vectorial a un sistema generador de dicho espacio o subespacio, que sea a la vez linealmente independiente. β Propiedades

Más detalles

Espacios vectoriales y Aplicaciones lineales

Espacios vectoriales y Aplicaciones lineales Espacios vectoriales y Aplicaciones lineales Espacios vectoriales. Subespacios vectoriales Espacios vectoriales Definición Sea V un conjunto dotado de una operación interna + que llamaremos suma, y sea

Más detalles

1 El espacio vectorial R n.

1 El espacio vectorial R n. Manuel Gutiérrez Departamento de Álgebra, Geometría y Topología Universidad de Málaga February 26, 2009 1 El espacio vectorial R n. La estructura de espacio vectorial es posiblemente la estructura más

Más detalles

Tema 2: Espacios Vectoriales

Tema 2: Espacios Vectoriales Tema 2: Espacios Vectoriales José M. Salazar Octubre de 2016 Tema 2: Espacios Vectoriales Lección 2. Espacios vectoriales. Subespacios vectoriales. Bases. Lección 3. Coordenadas respecto de una base. Ecuaciones.

Más detalles

Espacios vectoriales y aplicaciones lineales

Espacios vectoriales y aplicaciones lineales Capítulo 3 Espacios vectoriales y aplicaciones lineales 3.1 Espacios vectoriales. Aplicaciones lineales Definición 3.1 Sea V un conjunto dotado de una operación interna + que llamaremos suma, y sea K un

Más detalles

Tema 2. Espacios Vectoriales. 2.1. Introducción

Tema 2. Espacios Vectoriales. 2.1. Introducción Tema 2 Espacios Vectoriales 2.1. Introducción Estamos habituados en diferentes cursos a trabajar con el concepto de vector. Concretamente sabemos que un vector es un segmento orientado caracterizado por

Más detalles

VECTORES EN EL ESPACIO. 1. Determina el valor de t para que los vectores de coordenadas sean linealmente dependientes.

VECTORES EN EL ESPACIO. 1. Determina el valor de t para que los vectores de coordenadas sean linealmente dependientes. VECTORES EN EL ESPACIO. Determina el valor de t para que los vectores de coordenadas (,, t), 0, t, t) y(, 2, t) sean linealmente dependientes. Si son linealmente dependientes, uno de ellos, se podrá expresar

Más detalles

Problemas de Álgebra Lineal Espacios Vectoriales

Problemas de Álgebra Lineal Espacios Vectoriales Problemas de Álgebra Lineal Espacios Vectoriales 1. Estudia cuáles de los siguientes subconjuntos son subespacios de R n para el n que corresponda: i) S 1 = {(x, y, z, t) R 4 x + y + z + t = b} siendo

Más detalles

Tema 2. Aplicaciones lineales y matrices.

Tema 2. Aplicaciones lineales y matrices. Tema 2 Aplicaciones lineales y matrices. 1 Índice general 2. Aplicaciones lineales y matrices. 1 2.1. Introducción....................................... 2 2.2. Espacio Vectorial.....................................

Más detalles

Álgebra Lineal. Sesión de Prácticas 3: Subespacios vectoriales de K n. Operaciones con subespacios. Primero Grado Ingeniería Informática

Álgebra Lineal. Sesión de Prácticas 3: Subespacios vectoriales de K n. Operaciones con subespacios. Primero Grado Ingeniería Informática Álgebra Lineal Sesión de Prácticas 3: Subespacios vectoriales de K n. Operaciones con subespacios Primero Grado Ingeniería Informática Departamento de Matemática Aplicada Facultad de Informática 1 / 22

Más detalles

CAPÍTULO II. 2 El espacio vectorial R n

CAPÍTULO II. 2 El espacio vectorial R n CAPÍTULO II 2 El espacio vectorial R n A una n upla (x 1, x 2,..., x n ) de números reales se le denomina vector de n coordenadas o, simplemente, vector. Por ejemplo, el par ( 3, 2) es un vector de R 2,

Más detalles

Clase 15 Espacios vectoriales Álgebra Lineal

Clase 15 Espacios vectoriales Álgebra Lineal Espacios vectoriales Clase 5 Espacios vectoriales Álgebra Lineal Código Escuela de Matemáticas - Facultad de Ciencias Universidad Nacional de Colombia En esta sección estudiaremos uno de los conceptos

Más detalles

Capitán de fragata ingeniero AGUSTÍN E. GONZÁLEZ MORALES ÁLGEBRA PARA INGENIEROS

Capitán de fragata ingeniero AGUSTÍN E. GONZÁLEZ MORALES ÁLGEBRA PARA INGENIEROS Capitán de fragata ingeniero AGUSTÍN E. GONZÁLEZ MORALES ÁLGEBRA PARA INGENIEROS 2 Í N D I C E CAPÍTULO MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES MATRICES. MATRIZ. DEFINICIÓN 2. ALGUNOS

Más detalles

4. ESPACIOS VECTORIALES Y APLICACIONES LINEALES

4. ESPACIOS VECTORIALES Y APLICACIONES LINEALES Espacios Vectoriales y Aplicaciones Lineales 4. ESPACIOS VECTORIALES Y APLICACIONES LINEALES SUMARIO: INTRODUCCIÓN OBJETIVOS INTRODUCCIÓN TEÓRICA 1.- Espacios Vectoriales..- Propiedades de un Espacio Vectorial..-

Más detalles

Ejemplo 1.2 En el capitulo anterior se demostró que el conjunto. V = IR 2 = {(x, y) : x, y IR}

Ejemplo 1.2 En el capitulo anterior se demostró que el conjunto. V = IR 2 = {(x, y) : x, y IR} Subespacios Capítulo 1 Definición 1.1 Subespacio Sea H un subconjunto no vacio de un espacio vectorial V K. Si H es un espacio vectorial sobre K bajo las operaciones de suma y multiplicación por escalar

Más detalles

Tema III. Capítulo 2. Sistemas generadores. Sistemas libres. Bases.

Tema III. Capítulo 2. Sistemas generadores. Sistemas libres. Bases. Tema III Capítulo 2 Sistemas generadores Sistemas libres Bases Álgebra Lineal I Departamento de Métodos Matemáticos y de Representación UDC 2 Sistemas generadores Sistemas libres Bases 1 Combinación lineal

Más detalles

Fascículo 2. Álgebra Lineal. Cursos de grado. Gabriela Jeronimo Juan Sabia Susana Tesauri. Universidad de Buenos Aires

Fascículo 2. Álgebra Lineal. Cursos de grado. Gabriela Jeronimo Juan Sabia Susana Tesauri. Universidad de Buenos Aires Fascículo 2 Cursos de grado ISSN 1851-1317 Gabriela Jeronimo Juan Sabia Susana Tesauri Álgebra Lineal Departamento de Matemática Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Universidad de Buenos Aires 2008

Más detalles

TEMA 1. VECTORES Y MATRICES

TEMA 1. VECTORES Y MATRICES TEMA 1. VECTORES Y MATRICES 1.1. Definición de vector. Operaciones elementales 1.2. Matrices. Operaciones elementales 1.3. Traza y Determinante 1.4. Aplicaciones 1.1. DEFINICIÓN DE VECTOR. OPERACIONES

Más detalles

ESPACIO VECTORIAL ESPACIO VECTORIAL SUBESPACIO VECTORIAL BASE Y DIMENSIÓN N DE UN

ESPACIO VECTORIAL ESPACIO VECTORIAL SUBESPACIO VECTORIAL BASE Y DIMENSIÓN N DE UN Tema 5.- ESPACIOS VECTORIALES ESPACIO VECTORIAL SUBESPACIO VECTORIAL BASE Y DIMENSIÓN N DE UN ESPACIO VECTORIAL Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería 1 Aunque históricamente el primer trabajo de Álgebra

Más detalles

Espacios vectoriales. Bases. Coordenadas

Espacios vectoriales. Bases. Coordenadas Capítulo 5 Espacios vectoriales. Bases. Coordenadas OPERACIONES ENR n Recordemos que el producto cartesiano de dos conjuntos A y B consiste en los pares ordenados (a,b) tales que a A y b B. Cuando consideramos

Más detalles

1 v 1 v 2. = u 1v 1 + u 2 v 2 +... u n v n. v n. y v = u u = u 2 1 + u2 2 + + u2 n.

1 v 1 v 2. = u 1v 1 + u 2 v 2 +... u n v n. v n. y v = u u = u 2 1 + u2 2 + + u2 n. Ortogonalidad Producto interior Longitud y ortogonalidad Definición Sean u y v vectores de R n Se define el producto escalar o producto interior) de u y v como u v = u T v = u, u,, u n ) Ejemplo Calcular

Más detalles

Cambio de representaciones para variedades lineales.

Cambio de representaciones para variedades lineales. Cambio de representaciones para variedades lineales 18 de marzo de 2015 ALN IS 5 Una variedad lineal en R n admite dos tipos de representaciones: por un sistema de ecuaciones implícitas por una familia

Más detalles

E 1 E 2 E 2 E 3 E 4 E 5 2E 4

E 1 E 2 E 2 E 3 E 4 E 5 2E 4 Problemas resueltos de Espacios Vectoriales: 1- Para cada uno de los conjuntos de vectores que se dan a continuación estudia si son linealmente independientes, sistema generador o base: a) (2, 1, 1, 1),

Más detalles

CURSO CERO. Departamento de Matemáticas. Profesor: Raúl Martín Martín Sesiones 18 y 19 de Septiembre

CURSO CERO. Departamento de Matemáticas. Profesor: Raúl Martín Martín Sesiones 18 y 19 de Septiembre CURSO CERO Departamento de Matemáticas Profesor: Raúl Martín Martín Sesiones 18 y 19 de Septiembre Capítulo 1 La demostración matemática Demostración por inducción El razonamiento por inducción es una

Más detalles

Segundo de Bachillerato Geometría en el espacio

Segundo de Bachillerato Geometría en el espacio Segundo de Bachillerato Geometría en el espacio Jesús García de Jalón de la Fuente IES Ramiro de Maeztu Madrid 204-205. Coordenadas de un vector En el conjunto de los vectores libres del espacio el concepto

Más detalles

Espacios generados, dependencia lineal y bases

Espacios generados, dependencia lineal y bases Espacios generados dependencia lineal y bases Departamento de Matemáticas CCIR/ITESM 14 de enero de 2011 Índice 14.1. Introducción............................................... 1 14.2. Espacio Generado............................................

Más detalles

Espacios vectoriales y aplicaciones lineales.

Espacios vectoriales y aplicaciones lineales. Práctica 2 Espacios vectoriales y aplicaciones lineales. Contenido: Localizar bases de espacios vectoriales. Suma directa. Bases y dimensiones. Cambio de base. Aplicaciones lineales. Matriz asociada en

Más detalles

Espacios vectoriales

Espacios vectoriales Espacios vectoriales Problemas teóricos Muchos de estos problemas me los han enseñado mis colegas: profesores Flor de María Correa Romero, Carlos Domínguez Albino, Sergio González Govea, Myriam Rosalía

Más detalles

Nota 1. Los determinantes de orden superior a 3 se calculan aplicando las siguientes propiedades:

Nota 1. Los determinantes de orden superior a 3 se calculan aplicando las siguientes propiedades: Capítulo 1 DETERMINANTES Definición 1 (Matriz traspuesta) Llamaremos matriz traspuesta de A = (a ij ) a la matriz A t = (a ji ); es decir la matriz que consiste en poner las filas de A como columnas Definición

Más detalles

Espacios Vectoriales

Espacios Vectoriales Espacios Vectoriales Departamento de Matemáticas, CCIR/ITESM 4 de enero de 2 Índice 3.. Objetivos................................................ 3.2. Motivación...............................................

Más detalles

Problemas y Ejercicios Resueltos. Tema 2: Espacios vectoriales.

Problemas y Ejercicios Resueltos. Tema 2: Espacios vectoriales. Problemas y Ejercicios Resueltos. Tema : Espacios vectoriales. Ejercicios 1.- Determinar el valor de x para que el vector (1, x, 5) R 3 pertenezca al subespacio < (1,, 3), (1, 1, 1) >. Solución. (1, x,

Más detalles

Vectores en el espacio

Vectores en el espacio Vectores en el espacio Un sistema de coordenadas tridimensional se construye trazando un eje Z, perpendicular en el origen de coordenadas a los ejes X e Y. Cada punto viene determinado por tres coordenadas

Más detalles

21.1.2. TEOREMA DE DETERMINACIÓN DE APLICACIONES LINEALES

21.1.2. TEOREMA DE DETERMINACIÓN DE APLICACIONES LINEALES Aplicaciones lineales. Matriz de una aplicación lineal 2 2. APLICACIONES LINEALES. MATRIZ DE UNA APLICACIÓN LINEAL El efecto que produce el cambio de coordenadas sobre una imagen situada en el plano sugiere

Más detalles

8. ESPACIOS VECTORIALES Y APLICACIONES LINEALES.

8. ESPACIOS VECTORIALES Y APLICACIONES LINEALES. Prácticas de Matemáticas I y Matemáticas II con DERIVE 8. ESPACIOS VECTORIALES Y APLICACIONES LINEALES. 8.. DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL DE VECTORES. COMBINACIÓN LINEAL. EJEMPLO 8.. Estudiar si el

Más detalles

Tema 4.- El espacio vectorial R n.

Tema 4.- El espacio vectorial R n. Tema 4- El espacio vectorial R n Subespacios vectoriales de R n Bases de un subespacio Rango de una matriz 4 Bases de R n Cambios de base 5 Ejercicios En este tema estudiamos la estructura vectorial del

Más detalles

VII. Estructuras Algebraicas

VII. Estructuras Algebraicas VII. Estructuras Algebraicas Objetivo Se analizarán las operaciones binarias y sus propiedades dentro de una estructura algebraica. Definición de operación binaria Operaciones como la suma, resta, multiplicación

Más detalles

4 Aplicaciones Lineales

4 Aplicaciones Lineales Prof Susana López 41 4 Aplicaciones Lineales 41 Definición de aplicación lineal Definición 23 Sean V y W dos espacios vectoriales; una aplicación lineal f de V a W es una aplicación f : V W tal que: 1

Más detalles

Anexo 1: Demostraciones

Anexo 1: Demostraciones 75 Matemáticas I : Álgebra Lineal Anexo 1: Demostraciones Espacios vectoriales Demostración de: Propiedades 89 de la página 41 Propiedades 89- Algunas propiedades que se deducen de las anteriores son:

Más detalles

Cómo?: Resolviendo el sistema lineal homógeneo que satisfacen las componentes de cualquier vector de S. x4 = x 1 x 3 = x 2 x 1

Cómo?: Resolviendo el sistema lineal homógeneo que satisfacen las componentes de cualquier vector de S. x4 = x 1 x 3 = x 2 x 1 . ESPACIOS VECTORIALES Consideremos el siguiente subconjunto de R 4 : S = {(x, x 2, x 3, x 4 )/x x 4 = 0 x 2 x 4 = x 3 a. Comprobar que S es subespacio vectorial de R 4. Para demostrar que S es un subespacio

Más detalles

Tema 1. VECTORES (EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO)

Tema 1. VECTORES (EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO) Vectores Tema. VECTORES (EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO Definición de espacio vectorial Un conjunto E es un espacio vectorial si en él se definen dos operaciones, una interna (suma y otra externa (producto

Más detalles

(Ec.1) 2α + β = b (Ec.4) (Ec.3)

(Ec.1) 2α + β = b (Ec.4) (Ec.3) Problema 1. Hallar t R para que el vector x = (3, 8, t) pertenezca al subespacio engendrado por los vectores u = (1, 2, 3) y v = (1, 3, 1). Solución del problema 1. x L{ u, v} si, y sólo si, existen α,

Más detalles

Tema 2: Espacios vectoriales

Tema 2: Espacios vectoriales Tema 2: Espacios vectoriales La estructura de espacio vectorial juega un papel fundamental en el álgebra lineal pues es la base de todos los conceptos que ahí se desarrollan. Vamos en la siguiente sección

Más detalles

Lección 2. Puntos, vectores y variedades lineales.

Lección 2. Puntos, vectores y variedades lineales. Página 1 de 11 Lección 2. Puntos, vectores y variedades lineales. Objectivos. En esta lección se repasan las nociones de punto y vector, y se identifican, via coordenadas, con los pares (ternas,...) de

Más detalles

520142: ALGEBRA y ALGEBRA LINEAL

520142: ALGEBRA y ALGEBRA LINEAL 520142: ALGEBRA y ALGEBRA LINEAL Segundo Semestre 2008, Universidad de Concepción CAPITULO 10: Espacios Vectoriales DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MATEMATICA Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas 1 Definición

Más detalles

Aplicaciones Lineales

Aplicaciones Lineales Aplicaciones Lineales Concepto de aplicación lineal T : V W Definición: Si V y W son espacios vectoriales con los mismos escalares (por ejemplo, ambos espacios vectoriales reales o ambos espacios vectoriales

Más detalles

Capitán de fragata ingeniero AGUSTÍN E. GONZÁLEZ MORALES. ÁLGEBRA PARA INGENIEROS (Solucionario)

Capitán de fragata ingeniero AGUSTÍN E. GONZÁLEZ MORALES. ÁLGEBRA PARA INGENIEROS (Solucionario) Capitán de fragata ingeniero AGUSTÍN E. GONZÁLEZ MORALES ÁLGEBRA PARA INGENIEROS (Solucionario) 2 Í N D I C E CAPÍTULO : MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CAPÍTULO 2: ESPACIOS VECTORIALES

Más detalles

Tema 7: ESPACIOS VECTORIALES AFINES

Tema 7: ESPACIOS VECTORIALES AFINES Tema 7: ESPACIOS VECTORIALES AFINES Prof. Rafael López Camino Departamento de Geometría y Topología Universidad de Granada Material docente para el alumno Asignatura: Geometría I. Curso 2003/04 Licenciatura:

Más detalles

1. APLICACIONES LINEALES

1. APLICACIONES LINEALES 1 1. APLICACIONES LINEALES 1. Estudiar si las siguientes aplicaciones son lineales: a) f : R 2 R 3, f(x, y) = (x + y, y, x 2y). Sí es lineal. b) f : R 2 R, f(x, y) = xy. No es lineal. Basta observar que

Más detalles

Matrices. Definiciones básicas de matrices. www.math.com.mx. José de Jesús Angel Angel. jjaa@math.com.mx

Matrices. Definiciones básicas de matrices. www.math.com.mx. José de Jesús Angel Angel. jjaa@math.com.mx Matrices Definiciones básicas de matrices wwwmathcommx José de Jesús Angel Angel jjaa@mathcommx MathCon c 2007-2008 Contenido 1 Matrices 2 11 Matrices cuadradas 3 12 Matriz transpuesta 4 13 Matriz identidad

Más detalles

Aplicaciones Lineales

Aplicaciones Lineales Tema 3 Aplicaciones Lineales 3.1 Introducción Se presentan en este tema las aplicaciones entre espacios vectoriales, particularmente las aplicaciones lineales, que de una manera informal pueden definirse

Más detalles

ESPACIOS VECTORIALES

ESPACIOS VECTORIALES ESPACIOS VECTORIALES Ejercicio 1 En un espacio vectorial {V,k}, el vector v4 tiene por coordenadas (1,2,1) respecto a los vectores { v1, v2, v3 } a) Dése las coordenadas del vector v3 respecto a { v1,

Más detalles

ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS

ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS 1.1. LEY DE COMPOSICIÓN INTERNA Definición 1.1.1. Sea E un conjunto, se llama ley de composición interna en E si y sólo si a b = c E, a, b E. Observación 1.1.1. 1. también se llama

Más detalles

Variedades Diferenciables. Extremos Condicionados

Variedades Diferenciables. Extremos Condicionados Capítulo 16 Variedades Diferenciables. Extremos Condicionados Vamos a completar lo visto en los capítulos anteriores sobre el teorema de las Funciones Implícitas y Funciones Inversas con un tema de iniciación

Más detalles

Tema 4: Aplicaciones lineales

Tema 4: Aplicaciones lineales Tema 4: Aplicaciones lineales Definición, primeras propiedades y ejemplos Definición. Sean V y W dos espacios vectoriales sobre un cuerpo K. Una función f : V W se dice que es una aplicación lineal si

Más detalles

EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS I HOJA 4. Ejercicio 1. Se consideran los vectores

EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS I HOJA 4. Ejercicio 1. Se consideran los vectores EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS I HOJA 4 Ejercicio 1. Se consideran los vectores u 1 = (1, 1, 0, 1), u 2 = (0, 2, 1, 0), u 3 = ( 1, 1, 1, 1), u 4 = (2, 2, 1, 0) de R 4. Expresa, si es posible, los vectores u

Más detalles

Capítulo 9 Vectores en el espacio

Capítulo 9 Vectores en el espacio Capítulo 9 Vectores en el espacio Introducción El concepto de vector es muy amplio y su aplicación se evidencia en los diferentes campos de las ciencias. En matemáticas, un vector es un elemento de una

Más detalles

Álgebra lineal y matricial

Álgebra lineal y matricial Capítulo Álgebra lineal y matricial.. Vectores y álgebra lineal Unconjuntodennúmerosreales(a,,a n )sepuederepresentar: como un punto en el espacio n-dimensional; como un vector con punto inicial el origen

Más detalles

VECTORES. Módulo, dirección y sentido de un vector fijo En un vector fijo se llama módulo del mismo a la longitud del segmento que lo define.

VECTORES. Módulo, dirección y sentido de un vector fijo En un vector fijo se llama módulo del mismo a la longitud del segmento que lo define. VECTORES El estudio de los vectores es uno de tantos conocimientos de las matemáticas que provienen de la física. En esta ciencia se distingue entre magnitudes escalares y magnitudes vectoriales. Se llaman

Más detalles

Matemáticas I: Hoja 3 Espacios vectoriales y subespacios vectoriales

Matemáticas I: Hoja 3 Espacios vectoriales y subespacios vectoriales Matemáticas I: Hoa 3 Espacios vectoriales y subespacios vectoriales Eercicio 1. Demostrar que los vectores v 1, v 2, v 3, v 4 expresados en la base canónica forman una base. Dar las coordenadas del vector

Más detalles

Bibliografía recomendada

Bibliografía recomendada Álgebra II Guía del Examen a Título de Suficiencia Escuela Superior de Física y Matemáticas del Instituto Politécnico Nacional Licenciatura en Física y Matemáticas Esta guía está elaborada por el colectivo

Más detalles

ÁLGEBRA LINEAL I Soluciones a la Práctica 6

ÁLGEBRA LINEAL I Soluciones a la Práctica 6 ÁLGEBRA LINEAL I Soluciones a la Práctica 6 Aplicaciones lineales (Curso 2009 2010) 1. De las siguientes aplicaciones definidas entre espacios vectoriales reales, determinar cuáles son homomorfismos, monomorfismos,

Más detalles

Tema 7: Valores y vectores propios

Tema 7: Valores y vectores propios Tema 7: es y clausura s Espacios y Permutaciones es y clausura Una permutación p = {p 1, p 2,..., p n } de los números {1, 2,..., n} es una nueva ordenación de los elementos {1, 2,..., n}, es decir, un

Más detalles

(x + y) + z = x + (y + z), x, y, z R N.

(x + y) + z = x + (y + z), x, y, z R N. TEMA 1: EL ESPACIO R N ÍNDICE 1. El espacio vectorial R N 1 2. El producto escalar euclídeo 2 3. Norma y distancia en R N 4 4. Ángulo y ortogonalidad en R N 6 5. Topología en R N 7 6. Nociones topológicas

Más detalles

Vector Spaces 4.1 ESPACIOS VECTORIALES Y SUBESPACIOS. 2012 Pearson Education, Inc.

Vector Spaces 4.1 ESPACIOS VECTORIALES Y SUBESPACIOS. 2012 Pearson Education, Inc. 4 Vector Spaces 4. ESPACIOS VECTORIALES Y SUBESPACIOS 0 Pearson Education, Inc. ESPACIOS VECTORIALES Y SUBESPACIOS Definición: Un espacio vectorial es un conjunto no vacío V de objetos, sobre el cual se

Más detalles

3 Espacios Vectoriales

3 Espacios Vectoriales Prof. Susana López 31 3 Espacios Vectoriales 3.1 Introducción Un ector fijo en el plano no es más que un segmento orientado en el que hay que distinguir tres características: -dirección: la de la recta

Más detalles

Definición 1.1.1. Dados dos números naturales m y n, una matriz de orden o dimensión m n es una tabla numérica rectangular con m filas y n columnas.

Definición 1.1.1. Dados dos números naturales m y n, una matriz de orden o dimensión m n es una tabla numérica rectangular con m filas y n columnas. Tema 1 Matrices Estructura del tema. Conceptos básicos y ejemplos Operaciones básicas con matrices Método de Gauss Rango de una matriz Concepto de matriz regular y propiedades Determinante asociado a una

Más detalles

4 APLICACIONES LINEALES. DIAGONALIZACIÓN

4 APLICACIONES LINEALES. DIAGONALIZACIÓN 4 APLICACIONES LINEALES DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES En ocasiones, y con objeto de simplificar ciertos cálculos, es conveniente poder transformar una matriz en otra matriz lo más sencilla posible Esto nos

Más detalles

Aplicaciones Lineales y Multilineales Continuas

Aplicaciones Lineales y Multilineales Continuas Capítulo 4 Aplicaciones Lineales y Multilineales Continuas La conexión entre las estructuras vectorial y topológica de los espacios normados, se pone claramente de manifiesto en el estudio de las aplicaciones

Más detalles

VECTORES EN EL PLANO

VECTORES EN EL PLANO VECTORES EN EL PLANO VECTOR: vectores libres Segmento orientado, con un origen y extremo. Módulo: es la longitud del segmento orientado, es un número positivo y su símbolo es a Dirección: es la recta que

Más detalles

E. T. S. de Ingenieros Industriales Universidad Politécnica de Madrid. Grado en Ingeniería en Tecnologías Industriales. Grado en Ingeniería Química

E. T. S. de Ingenieros Industriales Universidad Politécnica de Madrid. Grado en Ingeniería en Tecnologías Industriales. Grado en Ingeniería Química E. T. S. de Ingenieros Industriales Universidad Politécnica de Madrid Grado en Ingeniería en Tecnologías Industriales Grado en Ingeniería Química Apuntes de Álgebra ( Curso 2014/15) Departamento de Matemática

Más detalles

Tema 1. Espacios Vectoriales Definición de Espacio Vectorial

Tema 1. Espacios Vectoriales Definición de Espacio Vectorial Tema 1 Espacios Vectoriales. 1.1. Definición de Espacio Vectorial Notas 1.1.1. Denotaremos por N, Z, Q, R, C, a los conjuntos de los números Naturales, Enteros, Racionales, Reales y Complejos, respectivamente.

Más detalles

EJERCICIOS DE ÁLGEBRA LINEAL TEMA 1 ESPACIOS VECTORIALES

EJERCICIOS DE ÁLGEBRA LINEAL TEMA 1 ESPACIOS VECTORIALES EJERCICIOS DE ÁLGEBRA LINEAL TEMA ESPACIOS VECTORIALES Formas reducidas y escalonada de una matriz SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES ) Encuentre una sucesión de matrices elementales E, E,..., E k tal que

Más detalles

5.1Definición transformación lineal de núcleo ó kernel, e imagen de una transformación lineal y sus propiedades

5.1Definición transformación lineal de núcleo ó kernel, e imagen de una transformación lineal y sus propiedades 5- ransformaciones Lineales 5Definición transformación lineal de núcleo ó kernel, e imagen de una transformación lineal sus propiedades Se denomina transformación lineal a toda función,, cuo dominio codominio

Más detalles

Espacios Vectoriales

Espacios Vectoriales Espacios Vectoriales Espacios Vectoriales Verónica Briceño V. noviembre 2013 Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 1 / 47 En esta Presentación... En esta Presentación veremos: Espacios

Más detalles

Ortogonalidad y Series de Fourier

Ortogonalidad y Series de Fourier Capítulo 4 Ortogonalidad y Series de Fourier El adjetivo ortogonal proviene del griego orthos (recto) y gonia (ángulo). Este denota entonces la perpendicularidad entre dos elementos: dos calles que se

Más detalles

CUADERNO IV ESPACIOS VECTORIALES Y APLICACIONES LINEALES

CUADERNO IV ESPACIOS VECTORIALES Y APLICACIONES LINEALES 1 CUADERNO IV ESPACIOS VECTORIALES Y APLICACIONES LINEALES Miguel A. Sainz, Joan Serarols, Anna M. Pérez Dep. de Informática y Matemática Aplicada Universidad de Girona RESUMEN: Se va a desarrollar la

Más detalles

Notas de Espacios Vectoriales

Notas de Espacios Vectoriales Notas de Espacios Vectoriales José Luis Mancilla Aguilar Depto. de Matemática, Fac. de Ingeniería, Univ. de Buenos Aires jmancil@fi.uba.ar 1 Propósito El objeto de estas notas es repasar las principales

Más detalles

Matrices y sus operaciones

Matrices y sus operaciones Capítulo 1 Matrices y sus operaciones 1.1. Definiciones Dados dos enteros m, n 1 y un cuerpo conmutativo IK, llamamos matriz de m filas y n columnas con coeficientes en IK a un conjunto ordenado de n vectores

Más detalles

APUNTES DE MATEMÁTICAS TEMA 4: VECTORES 1º BACHILLERATO

APUNTES DE MATEMÁTICAS TEMA 4: VECTORES 1º BACHILLERATO APUNTES DE MATEMÁTICAS TEMA 4: VECTORES 1º BACHILLERATO ÍNDICE VECTORES EN EL PLANO... 3 Vector Fijo... 3 VECTOR LIBRE... 3 Operaciones con Vectores... 3 Suma de vectores... 3 Producto de un número por

Más detalles

Espacio afín. Transformaciones afines y movimientos

Espacio afín. Transformaciones afines y movimientos Capítulo Espacio afín. Transformaciones afines y movimientos. Espacio afín y espacio afín métrico Definición. El espacio afín (tridimensional) está constituido por los siguientes elementos. El espacio

Más detalles

Valores y vectores propios de una matriz. Juan-Miguel Gracia

Valores y vectores propios de una matriz. Juan-Miguel Gracia Juan-Miguel Gracia Índice 1 Valores propios 2 Polinomio característico 3 Independencia lineal 4 Valores propios simples 5 Diagonalización de matrices 2 / 28 B. Valores y vectores propios Definiciones.-

Más detalles

Tema 3: Producto escalar

Tema 3: Producto escalar Tema 3: Producto escalar 1 Definición de producto escalar Un producto escalar en un R-espacio vectorial V es una operación en la que se operan vectores y el resultado es un número real, y que verifica

Más detalles

4.1 El espacio dual de un espacio vectorial

4.1 El espacio dual de un espacio vectorial Capítulo 4 Espacio dual Una de las situaciones en donde se aplica la teoría de espacios vectoriales es cuando se trabaja con espacios de funciones, como vimos al final del capítulo anterior. En este capítulo

Más detalles

Objetivos: Al inalizar la unidad, el alumno:

Objetivos: Al inalizar la unidad, el alumno: Unidad 3 espacios vectoriales Objetivos: Al inalizar la unidad, el alumno: Describirá las características de un espacio vectorial. Identiicará las propiedades de los subespacios vectoriales. Ejempliicará

Más detalles

1. El teorema de la función implícita para dos y tres variables.

1. El teorema de la función implícita para dos y tres variables. GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO. Lección. Aplicaciones de la derivación parcial.. El teorema de la función implícita para dos tres variables. Una ecuación con dos incógnitas. Sea f :( x, ) U f(

Más detalles

ESPACIO VECTORIAL. Fundamentos Matemáticos II Electrónicos 01,16 Curso 2006-07 1

ESPACIO VECTORIAL. Fundamentos Matemáticos II Electrónicos 01,16 Curso 2006-07 1 Tema 1.- ESPACIOS VECTORIALES!ESPACIO VECTORIAL!SUBESPACIO VECTORIAL!BASE Y DIMENSIÓN N DE UN ESPACIO VECTORIAL Fundamentos Matemáticos II Electrónicos 01,16 Curso 2006-07 1 Aunque históricamente el primer

Más detalles

Comenzaremos recordando algunas definiciones y propiedades estudiadas en el capítulo anterior.

Comenzaremos recordando algunas definiciones y propiedades estudiadas en el capítulo anterior. Capítulo 2 Matrices En el capítulo anterior hemos utilizado matrices para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales y hemos visto que, para n, m N, el conjunto de las matrices de n filas y m columnas

Más detalles

Algebra Lineal y Geometría.

Algebra Lineal y Geometría. Algebra Lineal y Geometría. Unidad nº7: Transformaciones Lineales. Algebra Lineal y Geometría Esp. Liliana Eva Mata 1 Contenidos. Transformación lineal entre dos espacios vectoriales. Teorema fundamental

Más detalles

Matrices equivalentes. El método de Gauss

Matrices equivalentes. El método de Gauss Matrices equivalentes. El método de Gauss Dada una matriz A cualquiera decimos que B es equivalente a A si podemos transformar A en B mediante una combinación de las siguientes operaciones: Multiplicar

Más detalles

Espacios vectoriales

Espacios vectoriales Espacios vectoriales [Versión preliminar] Prof. Isabel Arratia Z. Algebra Lineal 1 En el estudio de las matrices y, en particular, de los sistemas de ecuaciones lineales realizamos sumas y multiplicación

Más detalles