Álgebra lineal y matricial

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1 Capítulo Álgebra lineal y matricial.. Vectores y álgebra lineal Unconjuntodennúmerosreales(a,,a n )sepuederepresentar: como un punto en el espacio n-dimensional; como un vector con punto inicial el origen de coordenadas (,,), y punto final (a,,a n ). Punto de IR n : Vector de IR n : A = (a,,a n ), O = (,,) a = a. a n, o = Los a i se denominan componentes del vector.. Suma de vectores: a. + a n b. b n =.

2 2 Producto de un vector por un escalar: a k. =. a n Vector traspuesto: a = a. a n, a = Combinación lineal (CL) de vectores: Sean a,,a m IR n vectoresyk,,k m IR escalares.elvectorsiguienteesuna combinación lineal de a,,a m : a = k a + +k m a m Vectores linealmente dependientes e independientes: Sea m IN. Se dice que un conjunto de vectores {a,,a m } de IR n es linealmente dependiente, si existen escalares k,,k m IR no todos nulos, tales que k a + +k m a m = o, (.) Un conjunto de vectores se dice que es linealmente independiente si no es linealmente dependiente, es decir, si la única solución del sistema de ecuaciones (.) es k = = k m =. Ejemplo. Razonar si los siguientes grupos de vectores son linealmente dependientes o independientes. ( ) ( ) 2 4 a =, a 3 2 = 6

3 a 3 = ( 2 3 ), a 4 = ( 5 5/2 ) 3 a = 2 3, a 2 = 3 4, a 3 = 4 3 a = 2 a 2 = a 3 = 3

4 4 e =., e 2 =.,,e n =. Producto escalar de dos vectores: El producto escalar de a = (a,,a n ) por b = (b,,b n ) es el número real n a b = a i b i. i= Ejemplo.2 Contesta a las siguientes cuestiones: (a) Para un vector a o, puede ser a a =? (b) Crees que el producto escalar verifica la propiedad conmutativa? (c) Sea k IR. Crees que se cumple (ka) b = ka b? (d) Sean a = (a,,a n ), b = (b,,b n ) y c = (c,,c n ). Crees que se verifica (a+b) c = a c+b c?

5 5 Módulo o norma de un vector: El módulo de un vector a = (a,,a n ) es el número real a = a a = n a 2 i. i= El módulo de un vector mide su longitud. Teorema. Sean a,b IR n y k IR. Entonces (a) a = a =, (b) a > a, (c) ka = k a, (d) a+b a + b. Vectores unitarios: Un vector a IR n con módulo a = se llama vector unitario. Normalización de una vector: Si un vector a o no es unitario, se puede construir el vector Es a unitario? a = a a. Ángulo entre dos vectores:seana,b IR n {o}.elángulo entre a y b es el número real contenido entre y π definido por ang(a,b) = arccos a b a b. Si a = o ó b = o, entonces el ángulo no está definido. Ejemplo.3 Sean los vectores de IR 2, ( ) ( 3 2 a = y b = 4 ).

6 6 Calculamos el ángulo entre ellos: a a =, b b =, a =, b =, a b =, ang(a,b) =. Vectores ortogonales: Dos vectores a y b son ortogonales si a b =. Según esta definición, a qué vectores es ortogonal el vector nulo? Vector proyección: Sean a y c dos vectores, donde c o. El vector proyección de a sobre c es c a = (a c )c. El módulo del vector proyección es c a = a c c = a c. Ejemplo.4 Calculamos la proyección de los vectores a y b sobre c, siendo a =, b = 2, c =. 2 2

7 7 Calcular asimismo la proyección de a + b sobre c. Es igual a la suma de las proyecciones anteriores? Vector que une dos puntos: Sean A,B dos puntos de IR n. El vector con punto inicial A y punto final B es v = B A. Existe una correspondencia biunívoca entre los puntos de IR n y los vectores con punto inicial O = (,,): A cualquier punto A le correspondeunvectorsituadoenelorigen,a = A O,yviceversa. Eje de coordenadas: Sea A un punto y c un vector. El eje de coordenadas con punto origen A y vector director c es la recta que pasa por A, con vector director c. Fijadounpuntoorigen;porejemplo,O = (,,),cadavector c determina un eje de coordenadas. Vamos a considerar ejes de coordenadas con origen en O = (,,) y determinados por vectores unitarios; es decir, con c =. Coordenada de un punto en un eje de coordenadas: Sea A un punto de IR n y a = A O su vector asociado. Sea c un vector de IR n cuyo vector normalizado es c. La coordenada del puntoaenelejedecoordenadasdeterminadoporceselproducto escalar F(A,c) = a c.

8 8 Ejemplo.5 ElejeX tienepuntoorigeno = (,,)yvector director e = (,), y el eje Y tiene el mismo punto origen, pero el vector director es e 2 = (,). Sean los puntos A = (2,3) y B = ( 2,). Calcular: Coordenada de A sobre el eje X: Coordenada de A sobre el eje Y: Considera ahora el eje de coordenadas con origen O = (,,) y vector director u = (,). Calcular: Coordenada de A sobre este eje: Coordenada de B sobre este eje:.2. Álgebra matricial Matriz: Sean n,p IN. Una matriz de orden n p sobre IR es un conjunto rectangular de np elementos de IR, representados en n filas y p columnas a a 2 a p a A = (a ij ) = 2 a 22 a 2p... a n a n2 a np El conjunto de todas las matrices reales de orden n p se designa por IR (n,p). Vectores fila: Las filas de A se pueden considerar como matrices de orden p o como vectores de tamaño p: a i = (a i,a i2,,a ip ), i =,,n.

9 9 Vectores columna: Las columnas de A se pueden considerar como matrices de orden n o como vectores de tamaño n: a j a j a = 2j., j =,,p. a nj Así, la matriz A puede escribirse como a a A = 2. = (a a 2 a p ). a n Operaciones con matrices: Operación Restricciones Definición Suma A,B del mismo orden A+B = (a ij +b ij ) Producto escalar c IR, A IR (n,p) ca = (ca ij ) Multiplicación A IR (n,p),b IR (p,m) AB = (a i bj ) Traspuesta A = (a ji ) Traza n = p tr(a) = n i= a ii Determinante n = p A Inversa n = p, A AA = A A = I Ejemplo.6 Se cumple la propiedad conmutativa para el producto de matrices? Y la propiedad asociativa? Y la propiedad distributiva?

10 Propiedades de la traspuesta: (A ) =, (A+B) =, (AB) =, Propiedades de la traza: A simétrica A =. Sea α K, y sean las matrices A n, B n, C n p y D p n. La función traza cumple tr(α) =, tr(αa) =, tr(a+b) =, tr(cd) =. Determinantes: Fórmula de cálculo (a) Matriz 2 2: ( a a A = 2 a 2 a 22 ) A = a a 22 a 2 a 2. (b) Matriz p p: a a j a p... a A = i a ij a ip a p a pj a pp El menor de a ij es el determinante de la matriz resultante al eliminar la fila i-ésima y la columna j-ésima. El adjunto de a ij es ( ) i+j veces el menor de a ij, y se denota por A ij.

11 Tomamos una fila cualquiera, a i = (a i,,a ip ). El determinante de A es A = a i A i + +a ip A ip. Igualmente,tomamosunacolumnacualquiera,a j = (a j,,a pj ). El determinante de A es A = a j A j + +a pj A pj. Ejemplo.7 Para la matriz A siguiente a a 2 a 3 A = a 2 a 22 a 23 a 3 a 32 a 33 escribir los adjuntos de los elementos a y a 2 : A =, A 2 = Propiedades: (i) A = A. (ii) Si A es triangular o diagonal, A = p i= a ii. (iii) ca = c p A, para c K. (iv) AB = A B. Ejemplo.8 Calcular el determinante de la matriz /4 3/4 /4 A = 3/4 /4 /4 Ejemplo.9 Comprobar (iv) para las matrices ( ) ( ) 3 2 A = y B =. 2 5 A =, B =, AB =..

12 2 Matrices singulares o no singulares: Una matriz cuadrada es singular cuando A = ; y es no singular si A. En una matriz singular, tanto las filas como las columnas son linealmente dependientes. Ejemplo. Razonar si las siguientes matrices son singulares a A = 2 3 7, B = b 2 4 7, C =, a,b,c,d. c d Matriz inversa: La matriz inversa de una matrix cuadrada A es la única matriz que verifica AA = A A = I. A existe si, y sólo si A es no singular. Propiedades: (i) A = (A ij ) / A, (ii) (ca) =, (iii) (AB) =, (iv) (A ) =, (v) (A ) =.

13 3 Ejemplo. Calcular la inversa de las matrices del Ejemplo.. A = B no tiene inversa, ya que es singular. C = Matrices ortogonales: Una matriz cuadrada A es ortogonal si cumple AA = I. Las propiedades más importantes son las siguientes: (i) A = A (ii) A A = I (iii) Tanto las filas como las columnas de A son vectores ortogonales dos a dos. (iv) Si A y B son ortogonales, entonces C = AB es ortogonal. Ejemplo.2 Es A ortogonal? ( ) 2/2 2/2 A = 2/2 2/2 Multiplícala por el vector (,) y dibuja el resultado. Qué transformación produce esta matriz? ( )( ) ( ) 2/2 2/2 =. 2/2 2/2 Rango de una matriz: El rango de una matriz A n p es el número máximo de filas (o columnas) linealmente independientes.

14 4 Ejemplo.3 Calcular el rango de las matrices del Ejemplo.. rang(a) =, rang(b) =, rang(c) =. Valores propios: Se denominan valores propios de una matriz cuadrada A p a las soluciones de la ecuación (con incógnita λ): A λi =. El término A λi es un polinomio de grado p. Todo polinomio de grado p tiene p raíces, contando sus multiplicidades. Pero estas raíces pueden ser reales o complejas. Por tanto, hay p valores propios λ,,λ p, donde algunos pueden ser iguales, y también pueden ser complejos. El rango de una matrix es igual al número de valores propios no nulos. Vectores propios: Sea λ i un valor propio de A. Un vector propiodeaasociadoaλ i esunvectorv i = (v i,,v ip )quesatisface (A λ i I)v i =, o equivalentemente, Av i = λ i v i. Ejemplo.4 Sea la matriz ( ) 3 2 A =. 2 4 (a) Calcular su determinante y su traza. (b) Calcular sus valores y vectores propios. (c) Multiplica los valores propios. Con qué coincide el resultado?

15 5 (d) Suma los valores propios. con qué coincide el resultado? (e) Haz el producto escalar de dos de los vectores propios asociados a los dos valores propios. Qué ocurre? Solución:

16 6 Ejemplo.5 Sea u un vector propio de A asociado al valor propio λ. (a) Sea c un escalar. Es el vector cu vector propio de A? Asociado a qué valor propio? (b) Sea v otro vector propio de A asociado al mismo valor propio λ. Es u+v otro vector propio de A? Asociado a qué valor propio? (c) Es u un vector propio de A 2? Asociado a qué valor propio? (d) Sea c un escalar. Es u un vector propio de la matriz ca? Asociado a qué valor propio? Proposición. Si A es simétrica, entonces: todos sus valores propios son reales; los vectores propios asociados a distintos valores propios son ortogonales. Es decir, si v i y v j son dos vectores propios asociados a los valores propios λ i λ j, entonces v i v j =. Descomposición espectral: Sea A una matriz simétrica, con valores propios λ,,λ p y vectores propios asociados (normalizados) v,,v p, es decir, Av i = λ i v i, i =,,p. Escribimos estas igualdades en forma matricial. Para ello, definimos P = (v,,v p ) y Λ = diag{λ,,λ p }. La matriz P es ortogonal, y se verifica AP = PΛ A = PΛP.

17 7 Teorema.2 (Teorema de descomposición espectral) Cualquier matriz simétrica A puede expresarse como A = PΛP = λ v v + +λ p v p v p, donde Λ = diag{λ,,λ p },dondeλ,,λ p sonlosvalorespropios de A; P = (v,,v p ), donde v,,v p son los vectores propios normalizados asociados a los valores propios de A, y P es ortogonal. Además, rang(a) = número de valores propios no nulos. Ejemplo.6 Hacer la descomposición espectral de la matriz ( ).

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