Capitán de fragata ingeniero AGUSTÍN E. GONZÁLEZ MORALES ÁLGEBRA PARA INGENIEROS

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1 Capitán de fragata ingeniero AGUSTÍN E. GONZÁLEZ MORALES ÁLGEBRA PARA INGENIEROS

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3 Í N D I C E CAPÍTULO MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES MATRICES. MATRIZ. DEFINICIÓN 2. ALGUNOS TIPOS DE MATRICES 3. SUMA DE MATRICES 4. PRODUCTO DE MATRICES POR UN ESCALAR 5. PRODUCTO DE DOS MATRICES 6. MATRIZ INVERSA DE UNA MATRIZ CUADRADA 7. RANGO O CARACTERÍSTICA DE UNA MATRIZ 8. CÁLCULO DEL RANGO POR EL MÉTODO DE GAUSS 9. CÁLCULO DE LA MATRIZ INVERSA POR EL MÉTODO DE GAUSS DETERMINANTES. DETERMINANTES. DEFINICIÓN. CÁLCULO DE UN DETERMINANTE POR EL MÉTODO DE GAUSS 2. CÁLCULO DE UN DETERMINANTE POR LOS ELEMENTOS DE UNA FILA O COLUMNA 3. CÁLCULO DEL RANGO DE UNA MATRIZ MEDIANTE DETERMINANTES 4. CÁLCULO DE LA MATRIZ INVERSA MEDIANTE DETERMINANTES SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 5. NOTACIÓN ORDINARIA Y MATRICIAL 6. SISTEMAS COMPATIBLES E INCOMPATIBLES, DETERMINADOS E INDETERMINADOS 7. RESOLUCIÓN POR REDUCCIÓN O MÉTODO DE GAUSS 8. RESOLUCIÓN MEDIANTE DETERMINANTES O MÉTODO DE CRAMER Ejercicios CAPÍTULO 2 ESPACIOS VECTORIALES DE DIMENSIÓN FINITA. ESTRUCTURA DE GRUPO Y CUERPO 2. ESTRUCTURA DE ESPACIO VECTORIAL 3. PROPIEDADES DE LOS ESPACIOS VECTORIALES 4. ESPACIOS VECTORIALES DE LAS FUNCIONES Y LAS MATRICES 5. SUBESPACIOS VECTORIALES 6. SUBESPACIO VECTORIAL: CONDICIÓN NECESARIA Y SUFICIENTE 7. INTERSECCIÓN, UNIÓN Y SUMA DE SUBESPACIOS 8. COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES. SUBESPACIO GENERADO POR UN CONJUNTO DE VECTORES 9. INDEPENDENCIA Y DEPENDENCIA LINEAL. SISTEMA DE GENERADORES DE UN ESPACIO O SUBESPACIO VECTORIAL 3

4 . BASE DE UN ESPACIO VECTORIAL. DIMENSIÓN 2. COORDENADAS DE UN VECTOR RESPECTO DE UNA BASE. RANGO 3. ECUACIONES PARAMÉTRICAS E IMPLÍCITAS DE UN SUBESPACIO VECTORIAL 4. CAMBIO DE BASE EN UN ESPACIO VECTORIAL 5. EJERCICIO RESUELTO DE LOS APARTADOS 8 AL 4 Ejercicios CAPÍTULO 3 FUNCIONES Y APLICACIONES LINEALES. RELACIONES FUNCIONALES O FUNCIONES 2. CLASIFICACIÓN DE LAS FUNCIONES 3. COMPOSICIÓN DE FUNCIONES 4. APLICACIÓN LINEAL 5. PROPIEDADES Y CLASIFICACIÓN DE LAS APLICACIONES LINEALES 6. NÚCLEO E IMAGEN DE UNA APLICACIÓN LINEAL 7. DIMENSIONES DEL NÚCLEO Y LA IMAGEN. RANGO DE UNA APLICACIÓN LINEAL 8. MATRIZ ASOCIADA A UNA APLICACIÓN LINEAL 9. CAMBIO DE BASES DE REFERENCIA EN DOS ESPACIOS VECTORIALES Ejercicios CAPÍTULO 4 DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES Y FORMAS CUADRÁTICAS. VECTORES EN. MÓDULO Y VECTOR UNITARIO 2. ADICIÓN Y PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES EN 3. ESPACIO VECTORIAL EUCLIDIANO. PRODUCTO INTERIOR 4. ÁNGULO DE DOS VECTORES 5. ORTOGONALIDAD 6. CONJUNTO ORTOGONAL DE VECTORES 7. BASE ORTONORMAL 8. ORTONORMALIZACIÓN DE UNA BASE 9. VALORES Y VECTORES PROPIOS DE UNA MATRIZ. POLINOMIO CARACTERÍSTICO DE UNA MATRIZ CUADRADA. DETERMINACIÓN DE LOS VALORES Y VECTORES PROPIOS. MATRICES SEMEJANTES EN UNA APLICACIÓN LINEAL 2. POLINOMIO CARACTERÍSTICO DE UNA APLICACIÓN LINEAL 3. RAÍCES DEL POLINOMIO CARACTERÍSTICO Y DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES 4. ECUACIÓN GENERAL DE LAS CÓNICAS. REDUCCIÓN 5. FORMAS CUADRÁTICAS 6. MATRIZ SIMÉTRICA ASOCIADA A UNA FORMA CUADRÁTICA 7. DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES SIMÉTRICAS Y REALES 8. DIAGONALIZACIÓN ORTOGONAL 9. UN PROBLEMA FÍSICO DE APLICACIÓN Ejercicios 4

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6 CAPÍTULO MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES MATRICES. MATRIZ. DEFINICIÓN 2. ALGUNOS TIPOS DE MATRICES 3. SUMA DE MATRICES 4. PRODUCTO DE MATRICES POR UN ESCALAR 5. PRODUCTO DE DOS MATRICES 6. MATRIZ INVERSA DE UNA MATRIZ CUADRADA 7. RANGO O CARACTERÍSTICA DE UNA MATRIZ 8. CÁLCULO DEL RANGO POR EL MÉTODO DE GAUSS 9. CÁLCULO DE LA MATRIZ INVERSA POR EL MÉTODO DE GAUSS DETERMINANTES. DETERMINANTES. DEFINICIÓN. CÁLCULO DE UN DETERMINANTE POR EL MÉTODO DE GAUSS 2. CÁLCULO DE UN DETERMINANTE POR LOS ELEMENTOS DE UNA FILA O COLUMNA 3. CÁLCULO DEL RANGO DE UNA MATRIZ MEDIANTE DETERMINANTES 4. CÁLCULO DE LA MATRIZ INVERSA MEDIANTE DETERMINANTES SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 5. NOTACIÓN ORDINARIA Y MATRICIAL 6. SISTEMAS COMPATIBLES E INCOMPATIBLES, DETERMINADOS E INDETERMINADOS 7. RESOLUCIÓN POR REDUCCIÓN O MÉTODO DE GAUSS 8. RESOLUCIÓN MEDIANTE DETERMINANTES O MÉTODO DE CRAMER Ejercicios 6

7 CAPÍTULO MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES MATRICES. MATRIZ. DEFINICIÓN Una matriz es un conjunto de números dispuestos en filas y columnas escrito de la siguiente forma: donde el elemento situado en la fila, columna es el. Una matriz es rectangular si, y cuadrada si. La dimensión de una matriz es el producto. 2. ALGUNOS TIPOS DE MATRICES Matriz fila. Sólo tiene una fila. Ejemplo: Matriz columna. Sólo tiene una columna. Ejemplo: 5 9 Matriz triangular. Aquella en la que todos los elementos situados por encima o por debajo de la diagonal principal son nulos. Matriz transpuesta.. Se obtiene cambiando filas por columnas. Ejemplo: Sea la matriz , entonces Algunas propiedades de las matrices transpuestas son: 7

8 Matriz simétrica. Aquella que siendo cuadrada tiene los mismos elementos por encima y por debajo de la diagonal principal. Ejemplo: Matriz antisimétrica o hemisimétrica. Aquella que siendo cuadrada tienen los mismos elementos por encima y por debajo de la diagonal principal, pero cambiados de signo. Ejemplo: Matriz diagonal. Aquella que siendo cuadrada tiene todos los elementos, no pertenecientes a la diagonal principal, nulos. Ejemplo: 2 3 Matriz escalar. Aquella matriz diagonal con todos los elementos de la diagonal principal iguales. Ejemplo: Matriz unidad, canónica o identidad:. Aquella matriz escalar con todos los elementos de la diagonal principal iguales a. Por tanto, la matriz identidad de dimensión 3 3 es: Matriz nula o cero:. Aquella matriz que tiene todos sus elementos nulos. Ejemplo: 3. SUMA DE MATRICES Para sumar dos matrices y deben tener la misma dimensión. La suma se realiza elemento a elemento. Por ejemplo:

9 Propiedades Asociativa: Conmutativa: Elemento neutro:, siendo la matriz nula 4. PRODUCTO DE MATRICES POR UN ESCALAR El producto de la matriz por el escalar se calcula multiplicando todos los elementos de la matriz por el escalar. Por ejemplo: 5. PRODUCTO DE DOS MATRICES El producto de dos matrices se realiza multiplicando filas por columnas como se muestra en el siguiente ejemplo: donde tiene dimensión 2 3 mientras que la dimensión de es 3 2, de manera que la dimensión de es 3 3. En general, si la dimensión de es, la dimensión de debe ser para poderlas multiplicar, siendo la dimensión de. Propiedades Asociativa: En general, no cumple la propiedad conmutativa: Premultiplicar es multiplicar por la izquierda y postmultiplicar es hacerlo por la derecha. Así, en, premultiplica a, o postmultiplica a. Si es cuadrada, el elemento neutro del producto es :. 9

10 Distributiva respecto de la suma: Si y tienen matriz inversa (ver punto 6), entonces: Si, no es cierto, en general, que MATRIZ INVERSA DE UNA MATRIZ CUADRADA Si existe tal que entonces es la matriz inversa de, y se dice que es invertible o regular. Pero, si no existe, entonces es singular. 7. RANGO O CARACTERÍSTICA DE UNA MATRIZ Toda matriz de dimensión, leída fila a fila, es también un conjunto de vectores de dimensión. O, leída columna a columna, un conjunto de vectores de dimensión. El rango o característica de una matriz es el número de filas o de columnas (es decir, el número de vectores) linealmente independientes (LI). Propiedad El rango considerando la matriz por filas es igual al rango evaluado por columnas. 8. CÁLCULO DEL RANGO POR EL MÉTODO DE GAUSS Las transformaciones de filas o columnas que no modifican el rango son: Permutar dos filas o dos columnas. Multiplicar o dividir una fila o columna por un número distinto de cero. Sumar (o restar) a una fila o columna otra paralela. Suprimir filas o columnas nulas o combinación lineal de otras. Método de Gauss para determinar el rango de una matriz A continuación se expone el procedimiento a seguir para determinar el rango, conocido como método de Gauss o del pivote: Se elige como pivote un elemento no nulo. Los restantes elementos de su fila (o de su columna) se hacen nulos empleando las cuatro transformaciones anteriores. Se reitera el procedimiento eligiendo como pivote otro elemento no nulo no perteneciente ni a la fila ni a la columna del pivote anterior. Se vuelve a realizar, eligiendo otro pivote no nulo que no pertenezca ni a las filas ni a las columnas de los pivotes anteriores. Así sucesivamente hasta agotar todos los pivotes no nulos.

11 El rango es el número de las filas o de las columnas (el menor de los dos) cuyos elementos no sean todos nulos. Ejemplo Determinar el rango de la matriz Operando por filas (también se podría por columnas e incluso unas veces por filas y otras por columnas), se elige como pivote, por ejemplo, el elemento. Empleando la fila del pivote como operadora, se resta la fila ª de la 2ª y dos veces la fila ª de la 3ª. La matriz que resulta es: En esta nueva matriz, se elige como pivote uno que no sea nulo y no pertenezca ni a la fila ª ni a la columna ª, por ejemplo el. Empleando la fila del pivote como operadora, se resta dos veces la fila 2ª de la ª, dos veces la fila 2ª de la 3ª y la 2ª de la 4ª. La matriz que resulta es: En esta nueva matriz se elige como pivote uno que no sea nulo y no pertenezca ni a las filas ni a las columnas de los pivotes anteriores, por ejemplo el. Empleando la fila del pivote como operadora, se suma la fila ª con la 3ª, la 2ª con la 3ª y se resta la 3ª y la 4ª. La matriz que resulta es: El proceso ha finalizado pues no es posible elegir un nuevo pivote no nulo. En la última matriz se elimina la fila 4ª pues todos sus elementos son nulos. Por lo tanto, el rango es 3 y las tres primeras filas son vectores LI. 9. CÁLCULO DE LA MATRIZ INVERSA POR EL MÉTODO DE GAUSS Para determinar la inversa de una matriz se procede de la siguiente manera: se sitúa a su lado la matriz identidad y se sigue el método del epígrafe anterior a la matriz rectangular constituida por e. Tras sucesivas transformaciones se obtiene, si existe, según el esquema siguiente:

12 transformaciones de filas y columnas transformaciones de filas y columnas Ejemplo Calcular la matriz inversa de Paso º Paso 2º Paso 3º Paso 4º Paso 5º En el paso º se elige como pivote el elemento. En el paso 2º se resta la fila ª de la 2ª y dos veces la ª de la 3ª. Se elige como pivote el elemento 2. En el paso 3º se suma la fila 2ª con dos veces la 3ª. Se elige como pivote el elemento 5. En el paso 4º se resta cinco veces la fila ª de la 3ª y se suma cinco veces la 2ª y la 3ª. En el paso 4º se divide la fila ª por 5, la 2ª por y la tercera por 5. En estas condiciones, la matriz inversa es: A

13 DETERMINANTES. DETERMINANTES. DEFINICIÓN El determinante de una matriz cuadrada (se escribe o det ) es el número obtenido al sumar todos los productos posibles de sus elementos, de modo que en cada producto haya un elemento, y sólo uno, de cada fila y cada columna. El signo de cada producto es alternativamente positivo y negativo, siguiendo un orden relacionado con la posición de los elementos. El determinante de la matriz es: det El determinante de la matriz es: det Se ha desarrollando el determinante a través de los elementos de la primera fila, pero se podría haber empleado cualquier fila o columna, teniendo en cuenta el signo asociado a cada posición, tal como se representa a continuación para un determinante de 4 4: Propiedades El procedimiento se generaliza para. det det det det El determinante de una matriz diagonal o triangular es el producto de los elementos de la diagonal principal. Suma de determinantes: Veamos un ejemplo: El ejemplo se ha escrito empleando las primeras filas, pero se podría generalizar a cualquier fila o columna, pues dos determinantes se pueden sumar si tienen todas las filas (o las columnas) iguales menos una. Para multiplicar un determinante por un escalar basta multiplicar una fila o columna., aunque 3

14 Si se permutan dos filas o dos columnas el determinante cambia de signo. Si una fila o columna tiene todos los elementos nulos, el determinante es nulo. Un determinante es nulo si tiene dos filas o columnas combinación lineal. Si a una fila o columna se le suma otra paralela multiplicada por un número, el determinante no varía. Si el determinante de orden es nulo, el rango de su matriz es menor que : det. CÁLCULO DE UN DETERMINANTE POR EL MÉTODO DE GAUSS Empleando el método de Gauss del epígrafe 9 se puede calcular un determinante teniendo en cuenta que al multiplicar por un número la fila o columna a reemplazar, hay que dividir el determinante por dicho número. Basta obtener una matriz triangular, pues su determinante es el producto de la diagonal principal. También se pueden realizar otros cálculos combinados con el método de Gauss. Ejemplo Calcular el determinante de la matriz Elegido como pivote el elemento, multiplicamos por 5 la fila ª y restamos la 2ª para reemplazar esta última; como la fila 2ª ha sido multiplicada por, debemos tener en cuenta este factor. También multiplicamos la fila ª por 2 y le restamos la 3ª para reemplazarla, y hemos de tener presente de nuevo el factor por el que hemos multiplicado la fila 3ª. Por último, sumamos las filas ª y 4ª. La matriz que resulta es: Factores introducidos:, Se elige como pivote el 5. Multiplicamos por 5 la fila 3ª y le restamos la 2ª para reemplazar la 3ª (factor introducido: 5). Multiplicamos por 3 la fila 4ª y le restamos la 2ª para reemplazar la 4º (factor introducido: 3). No hace falta modificar la fila ª porque se trata de conseguir una matriz triangular. La matriz que resulta es: Factores introducidos: 5, 3 Se elige como pivote el 37. Multiplicamos por 6 la fila 3ª y le sumamos la 4ª multiplicada por 37 para reemplazarla (factor introducido: 37). No hace falta modificar las filas superiores. La matriz que resulta es: 4

15 El proceso ha finalizado pues se ha conseguido una matriz triangular superior. El determinante es: det CÁLCULO DE UN DETERMINANTE POR LOS ELEMENTOS DE UNA FILA O COLUMNA Se llama determinante adjunto o menor complementario del elemento al que resulta de eliminar la fila y la columna. La matriz del adjunto se llama cofactor o matriz complementaria. El signo del adjunto es alternativamente positivo o negativo, siguiendo el criterio explicado en el epígrafe. Todo determinante es igual a la suma de los elementos de una fila o columna, multiplicados por sus adjuntos. Ejemplo Ejemplo En el segundo ejemplo se han realizado cálculos por el método de Gauss combinados con el desarrollo por los elementos de una línea. 3. CÁLCULO DEL RANGO DE UNA MATRIZ MEDIANTE DETERMINANTES El rango de una matriz es el correspondiente al de la mayor matriz cofactor cuyo determinante menor complementario no sea nulo. En pocas palabras: el del «mayor menor» no nulo. Sea una matriz formada por vectores de dimensión con. Basta que un determinante de orden sea distinto de cero para que los vectores sean LI. Si fuese se analizaría la matriz traspuesta de manera análoga. Ejemplo Evaluar la dependencia o independencia lineal de los vectores de :, 3,, 7,, 2, 4, 6,, 2,. 5

16 Calculamos un determinante de tercer orden: 3 det como es distinto de cero, se puede asegurar que los tres vectores son LI. 4. CÁLCULO DE LA MATRIZ INVERSA MEDIANTE DETERMINANTES Se llama matriz adjunta de, y se escribe, a la obtenida al sustituir cada elemento por su determinante adjunto. Así, por ejemplo, sea se puede comprobar que Se demuestra que: det De esta expresión se deduce que es invertible si y sólo si. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 5. NOTACIÓN ORDINARIA Y MATRICIAL La notación ordinaria de un sistema de ecuaciones con incógnitas es: Si los términos independientes,, son todos nulos, se dice que el sistema es homogéneo. El mismo sistema se puede escribir con notación matricial. Sea la matriz de coeficientes: 6

17 Sea la matriz ampliada con los términos independientes: Sea la matriz columna de incógnitas: Y sea la matriz columna de términos independientes: por tanto Ejemplo La expresión matricial del sistema de ecuaciones es: 7 Premultiplicando esta igualdad por, si existe: Resolver el sistema de ecuaciones La matriz es: cuyo determinante es: lo que asegura que es invertible, de manera que:

18 por lo tanto de donde: es decir,, 2, SISTEMAS COMPATIBLES E INCOMPATIBLES, DETERMINADOS E INDETERMINADOS El criterio de Rouché-Frobenius establece que un sistema es compatible, es decir, tiene solución, si el rango de la matriz de coeficientes es igual al rango de la matriz ampliada. Caso contrario, es incompatible, y no tiene solución. Además, un sistema compatible es determinado si el rango de (o de ) es igual al número de incógnitas, y su solución es única; y es indeterminado si el rango es menor que, y tiene infinitas soluciones. 7. RESOLUCIÓN POR REDUCCIÓN O MÉTODO DE GAUSS Con el método de reducción o de Gauss lo que se convierte la matriz en una triangular, para así obtener un sistema de ecuaciones escalonado y equivalente (con las mismas soluciones que el dado). Ejemplo Resolver por el método de Gauss el sistema de ecuaciones, con: La matriz es: Siguiendo el método del epígrafe 9, se llega a la matriz triangular superior equivalente: 8

19 Se trata del siguiente sistema de ecuaciones escalonado: En la 4ª ecuación se calcula 2, cuyo valor se sustituye en la 3ª, obteniéndose 5. Se procede de manara análoga con la 2ª y ª ecuación, de manera que y. 8. RESOLUCIÓN MEDIANTE DETERMINANTES O MÉTODO DE CRAMER Se demuestra que la solución de un sistema determinado mediante determinantes (denominado método de Cramer) consiste en calcular cada incógnita siguiendo el esquema que se emplea en el siguiente ejemplo, generalizable para incógnitas: Ejemplo Resolver el sistema de ecuaciones por el método de Cramer Se trata del mismo sistema ya resuelto a través de la inversa de la matriz. El determinante de es: det 4 Las incógnitas se calculan como se expresa a continuación: det 8 5 det 2 5 ; det 2 8 det 2 5 2; det det 2 5 Se puede emplear el método de Cramer en sistemas indeterminados, teniendo ciertas precauciones. Veámoslo con un ejemplo. Ejemplo Resolver el sistema de ecuaciones por el método de Cramer 7 9

20 Pasando al segundo miembro: 7 la matriz de los coeficientes de y es: cuyo determinante es: 7 det M 2 Se le da a cualquier valor. Sea. Empleando el método de Cramer: 7 ; 7 Obsérvese que no sería válido resolver el sistema del enunciado pasando al segundo miembro: pues en ese caso la matriz sería: cuyo determinante es nulo. 7 2

21 Ejercicios. Se dice que una matriz es ortogonal si su inversa es igual a su transpuesta. Sean y dos matrices de orden n invertibles. es simétrica y ortogonal. Simplificar: 2. Sean y dos matrices tales que (matriz nula). Si es invertible, demostrar que tiene que ser la matriz nula. 3. Hallar la inversa de Hallar la matriz que verifica la identidad siendo 3, y Calcular el determinante de Vandermonde det Y generalizar el resultado hasta el exponente natural Resolver la ecuación det siendo 2 e identidad. 7. Hallar el rango de la siguiente matriz en función de los valores de sus parámetros: En el dominio de las matrices cuadradas de orden 5, demostrar: det 32 det 9. Si en el dominio de las matrices cuadradas de orden se satisface que, demostrar que es invertible y que ha de ser par Calcular el rango de

22 . Discutir y resolver según los valores de, el sistema: 2. Hallar la potencia n-sima de la matriz Sea 5 4, descomponer en una suma de una matriz simétrica y una 2 5 antisimétrica Demostrar que: det 2 det 2 2 det 2 det det 22

23 23

24 CAPÍTULO 2 ESPACIOS VECTORIALES DE DIMENSIÓN FINITA. ESTRUCTURA DE GRUPO Y CUERPO 2. ESTRUCTURA DE ESPACIO VECTORIAL 3. PROPIEDADES DE LOS ESPACIOS VECTORIALES 4. ESPACIOS VECTORIALES DE LAS FUNCIONES Y LAS MATRICES 5. SUBESPACIOS VECTORIALES 6. SUBESPACIO VECTORIAL: CONDICIÓN NECESARIA Y SUFICIENTE 7. INTERSECCIÓN, UNIÓN Y SUMA DE SUBESPACIOS 8. COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES. SUBESPACIO GENERADO POR UN CONJUNTO DE VECTORES 9. INDEPENDENCIA Y DEPENDENCIA LINEAL. SISTEMA DE GENERADORES DE UN ESPACIO O SUBESPACIO VECTORIAL. BASE DE UN ESPACIO VECTORIAL. DIMENSIÓN 2. COORDENADAS DE UN VECTOR RESPECTO DE UNA BASE. RANGO 3. ECUACIONES PARAMÉTRICAS E IMPLÍCITAS DE UN SUBESPACIO VECTORIAL 4. CAMBIO DE BASE EN UN ESPACIO VECTORIAL 5. EJERCICIO RESUELTO DE LOS APARTADOS 8 AL 4 Ejercicios 24

25 CAPÍTULO 2 ESPACIOS VECTORIALES DE DIMENSIÓN FINITA. ESTRUCTURA DE GRUPO Y CUERPO Estructura de grupo Sea un conjunto y una operación que se efectúa con sus elementos; en adelante:,; se dice que, tiene estructura de grupo si: a) La operación es una ley de composición interna b) Se cumple la propiedad asociativa c) Existe el elemento neutro d) Existe el elemento inverso, Si los elementos de, además, cumplen la propiedad conmutativa: entonces, es un grupo abeliano. Estructura de cuerpo Sean y dos operaciones que se efectúan con los elementos de un conjunto ; en adelante,,; se dice que,, tiene estructura de cuerpo si: a), es un grupo abeliano b), es un grupo abeliano, donde es el elemento neutro de,, de manera que es el conjunto de los elementos de, excepto el. c) La operación es distributiva respecto a la operación +: Ejercicios,, E.. En el conjunto de los números enteros se define de la siguiente manera: 3. Comprobar si, tiene estructura de grupo abeliano. 25

26 E.2. En el conjunto de los números naturales se define de la siguiente manera: 3. Comprobar si, tiene estructura de grupo abeliano. E.3. Es,, cuerpo? ( y son la suma y el producto conocidos). E.4 Es,, cuerpo? ( el conjunto de los números racionales con y la suma y el producto conocidos). 2. ESTRUCTURA DE ESPACIO VECTORIAL Sea un conjunto no vacío (los elementos de se llaman vectores). Sea un cuerpo (los elementos de se llaman escalares). Sean y dos operaciones que en adelante llamaremos suma y producto. El objeto,,, es un espacio vectorial si: a), es un grupo abeliano. b) es una ley de composición externa en con escalares u operadores en c) Propiedad asociativa mixta ;, ; d) Propiedad distributiva del producto respecto de la suma en, ; e) Propiedad distributiva del producto respecto de la suma en ;, f) La unidad del cuerpo es el elemento neutro para el producto Nota: En adelante se entenderá que Ejercicios E.5. Sean y. Sea la adición definida en por,,,. Sea el producto de números reales por elementos de definido mediante la expresión,,. Demostrar que (,,, es un espacio vectorial. E.6. El mismo enunciado anterior, pero modificando la definición del producto:,,. Es (,,, un espacio vectorial? 26

27 E.7. El mismo enunciado, pero modificando la definición de la suma:,, 2,. Es(,,, un espacio vectorial? 3. PROPIEDADES DE LOS ESPACIOS VECTORIALES a) El producto del escalar por cualquier vector es el vector nulo b) El producto de cualquier escalar por el vector es el vector c) Si el producto de un escalar por un vector es el vector, entonces el escalar es o el vector es nulo. d) El opuesto de cualquier escalar por un vector es igual al opuesto de su producto 4. ESPACIOS VECTORIALES DE LAS FUNCIONES Y LAS MATRICES Se deja como ejercicio demostrar que las funciones sobre el cuerpo de los números reales constituyen un espacio vectorial; es decir, se cumple:, Se deja como ejercicio demostrar que las matrices reales de dimensión constituyen un espacio vectorial: : La función queda caracterizada por el conjunto: de manera que se cumple: 5. SUBESPACIOS VECTORIALES,,,,, Dados el espacio vectorial,,, y el conjunto,, si es un espacio vectorial sobre el mismo cuerpo y con las mismas leyes de composición que en, decimos que es un subespacio de. 27

28 Propiedades es subespacio de El subconjunto que contiene exclusivamente al vector nulo es también subespacio de. Se denomina subespacio nulo. Los demás subespacios de, distintos de y, se llaman subespacios propios. 6. SUBESPACIO VECTORIAL: CONDICIÓN NECESARIA Y SUFICIENTE Sea,, la condición necesaria y suficiente para que sea subespacio de es: Propiedad, ;, ; El vector nulo debe pertenecer a para afirmar que es un subespacio de. Ejercicios E.8. Demostrar que debe pertenecer a para afirmar que es subespacio de. E.9. En el espacio vectorial,,, con las operaciones conocidas y, determinar si los subconjuntos y son subespacios:, 2, E.. En el espacio vectorial,,, con las operaciones conocidas y, determinar si los subconjuntos siguientes,, y son subespacios:,,,,,,,, 2 7. INTERSECCIÓN, UNIÓN Y SUMA DE SUBESPACIOS La intersección de toda familia de subespacios de es un subespacio de. La unión de subespacios de no, en general, un subespacio de. Sean y dos subespacios de, el conjunto es la suma de y si:,, La suma de subespacios de es un subespacio de. Además, el subespacio es el menor de todos los subespacios que contienen a y a. Sean y dos subespacios de, el subconjunto es la suma directa de y, lo que denota escribiendo, si se verifica que y. Si, los dos subespacios y se denominan subespacios complementarios. 28

29 8. COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES. SUBESPACIO GENERADO POR UN CONJUNTO DE VECTORES. COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES Sea,,, un espacio vectorial. Se llama combinación lineal de los vectores,,, a todo vector de la forma: Si la combinación lineal se llama trivial. SUBESPACIO VECTORIAL GENERADO POR UN CONJUNTO DE VECTORES Sea,,, un espacio vectorial y sea,,,, el subconjunto se denomina variedad lineal generada por el conjunto. El conjunto es un subespacio de que recibe el nombre de subespacio vectorial generado (o engendrado) por,,,. Propiedades Ejercicios E.. Comprobar si los vectores,, 3 y, 2, 2 son combinación lineal de los vectores,, 2 y, 2, 4. E.2. En el espacio vectorial,,, se consideran las matrices, y. Determinar todas las combinaciones lineales de,, que permiten obtener la matriz nula. 9. INDEPENDENCIA Y DEPENDENCIA LINEAL Sea,,, un espacio vectorial y sea,,,, se dice que es un sistema linealmente independiente (LI) o sistema libre si la única combinación lineal (CL) de ellos que vale es aquella en la que todos los escalares son nulos, es decir, es la trivial: Se dice que es un sistema linealmente dependiente (LD) o sistema ligado si no es un sistema libre, esto es, si existen algunos escalares no todos nulos tales que: 29

30 algún Propiedades Todo vector no nulo es un conjunto LI. El vector nulo es LD. Todo conjunto al que pertenezca el vector nulo es LD. Un vector es CL de toda familia que lo contenga. Un conjunto de vectores es LD si algún vector es CL de los demás. Un conjunto de vectores es LI si ningún vector es CL de los demás. Si un sistema de vectores es LD, entonces también lo es cualquier sistema que resulte de añadir algún vector a. Si un sistema de vectores es LI, entonces también lo es cualquier sistema que resulte de prescindir de alguno de los vectores de. Para averiguar si un conjunto de vectores es LI o LD basta aplicar el método de Gauss o del pivote. Si empleando las transformaciones del método es posible conseguir el vector nulo, entonces el conjunto es LD; en caso contrario es LI. Propiedades En el espacio -dimensional, vectores son LD. (Ej. Cuatro vectores de tres dimensiones son LD). Un conjunto de vectores -dimensionales es LD si su determinante es nulo. Ejercicios E. 3. En el espacio vectorial,,,, determinar si los siguientes vectores son LI: a),,,,,,,, ; b),,,,, 2,,,. E.4. Demostrar que las matrices,, son vectores LI. E.5. Demostrar que el espacio vectorial de los polinomios reales sobre el cuerpo definido por ; 2 son LI. E.6. Estudiar la dependencia o independencia lineal de los vectores 2 y 3 en el espacio vectorial,,, y en el espacio vectorial,,,. E.7. Determinar para que sean LD los vectores, 4, 6,, 4, 4 y, 4,.. SISTEMA DE GENERADORES DE UN ESPACIO O SUBESPACIO VECTORIAL Sea,,, un espacio vectorial y,,, un subespacio vectorial, se dice que los vectores de son un sistema de generadores (SG) de si todo vector de es CL de,,,. Un SG puede ser LI ó LD. 3

31 Ejemplo El conjunto,,,,, es un SG de. En efecto, sea, cualquier vector de ; deben existir escalares,, tales que:,,,,. Es decir,,. Para,,,. Por tanto, es un SG de y cualquier vector puede expresarse de infinitas maneras como CL de los vectores de. Obsérvese, sin embargo, que los vectores de son LD. Ejercicio E. 8. Determinar si los vectores,,,,,,,, son un SG de.. BASE DE UN ESPACIO VECTORIAL. DIMENSIÓN BASE Sea,,, un conjunto de vectores del espacio,,,. El conjunto es una base de,,, si es un conjunto LI y SG de. Se llama base canónica de a la formada por los vectores: Ejemplo,,,,,,,,..,,,, Determinar una base del subespacio de,,, definido de la siguiente manera:,,. Si,, es un vector genérico de, entonces,,,,,,,,,,,,. De donde se deduce que los vectores,, y,, son una base de pues son SG y LI. Ejercicio E. 9. Proponer una base en cada caso: a),,, b),,, c),,, d),,,. es el conjunto de los números complejos. DIMENSIÓN Sea un subespacio de. Todas las bases de tienen el mismo número de vectores. Este número se denomina dimensión de y se representa dim. Propiedades La dimensión de un espacio vectorial es la dimensión de cualquiera de sus bases. 3

32 dim, por definición. Un conjunto de vectores LI de un espacio vectorial -dimensional es una base. Todo SG de vectores de un espacio vectorial -dimensional es una base. Si es una base de dimensión del espacio vectorial, entonces vectores de forman un conjunto LD. Si es un subespacio de y dim dim entonces. La dimensión de un subespacio vectorial es el número máximo de vectores de que son LI. Además, dim es el número mínimo de vectores de un SG de. Fórmula de Grassmann. Si y son dos subespacios vectoriales, se verifica: Ejemplo dim dim dim dim Determinar la dimensión de la suma de y :,, ;,,. Si,, es un vector genérico de, entonces,,,,,,,,,,,,. Por tanto, dim 2. Si,, es un vector genérico de, entonces,,,,,,,,,,,,. Por tanto, dim 2. Como el vector común a las bases de y es,,, entonces dim. De donde se deduce que: dim dim dim dim Teorema de Steinitz (también llamado teorema de la base incompleta o teorema de extensión a una base). Sea,,, un espacio vectorial de dimensión,,,, una base de y el conjunto,,, un sistema libre de vectores de, con. Entonces existe algún sistema de vectores de tal que es una base de. Además, los vectores de se pueden tomar de entre los de un base cualquiera,,, de. 2. COORDENADAS DE UN VECTOR RESPECTO DE UNA BASE. RANGO COORDENADAS DE UN VECTOR Todo vector queda identificado mediante una única CL de los vectores de una base dada. Estos coeficientes son las coordenadas del vector en la citada base. Se trata, pues, de expresar un vector como CL de los vectores de una cierta base,,,, de manera que:. Es decir, Ejemplo,,, Sea el conjunto, 2,,, 3,,,,. Comprobar que es una base de y determinar las coordenadas del vector, 2, 3 respecto a dicha base. 32

Capitán de fragata ingeniero AGUSTÍN E. GONZÁLEZ MORALES. ÁLGEBRA PARA INGENIEROS (Solucionario)

Capitán de fragata ingeniero AGUSTÍN E. GONZÁLEZ MORALES. ÁLGEBRA PARA INGENIEROS (Solucionario) Capitán de fragata ingeniero AGUSTÍN E. GONZÁLEZ MORALES ÁLGEBRA PARA INGENIEROS (Solucionario) 2 Í N D I C E CAPÍTULO : MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CAPÍTULO 2: ESPACIOS VECTORIALES

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