Clasificación de métricas.

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1 Clasificación de métricas. 1. El problema de clasificación. Como bien sabemos, el par formado por una métrica T 2 (esto es, un tensor 2-covariante simétrico) sobre un espacio vectorial E, (E, T 2 ), constituye lo que se conoce como una geometría. Si τ : E E es un isomorfismo de espacios vectoriales, entonces podemos definir otra métrica T 2 en el espacio E por la regla: T 2(e 1, e 2) = T 2 (τ 1 e 1, τ 1 e 2) esto es, T 2 no es otra cosa que la propia métrica T 2 trasladada al espacio E a través del isomorfismo τ. De esta forma, se tiene que T 2 (e 1, e 2 ) = T 2(τ(e 1 ), τ(e 2 )) y el isomorfismo τ recibe el nombre de isometría y las geometrías (E, T 2 ) y (E, T 2) se dice que son isométricas. El problema de la clasificación que se plantea consiste, entonces, en la determinación de condiciones para que dos geometrías sean isométricas. Según la definición, la primera condición necesaria que tendrán que satisfacer dos geometrías para que sean isométricas es que sean de la misma dimensión. Lema 1. La condición necesaria y suficiente para que dos geometrías de la misma dimensión (E, T 2 ), (E, T 2) sean isométricas es que existan bases de E y E en las cuales las matrices de T 2 y T 2 respectivamente sean iguales. Demostración. La idea de la demostración es muy sencilla si se supone que los dos espacios son el mismo: basta con tener en cuenta que un cambio de base es un isomorfismo. 1

2 2. Especialización y proyección de métricas. Sea (E, T 2 ) una geometría sobre un cuerpo k. Dado un subespacio E de E, se puede aplicar la métrica T 2 a vectores de dicho subespacio, de manera que el par (E, T 2 ) es, a su vez, una geometría. Definición 1. Diremos que E es un subespacio no singular de (E, T 2 ) cuando (E, T 2 ) sea una geometría no singular. En otras palabras, E es no singular cuando su radical sea nulo: Rad E (T 2 ) = 0 E (E ) = 0 El radical de la métrica en la totalidad del espacio está formado por aquellos vectores que son ortogonales a todos los demás, luego es obvio en primer lugar que el radical es un subespacio ortogonal a cualquier otro subespacio y que cualquier suplementario del radical tiene que ser irreducible: E = Rad(T 2 ) E Rad E (T 2 ) = 0 Sea ahora p: E Ē = E/E la proyección de paso al cociente por un subespacio. Definición 2. Se dice que T 2 es p-proyectable si existe una métrica T 2 en Ē tal que T 2 (e 1, e 2 ) = T 2 (p(e 1 ), p(e 2 )) e 1, e 2 E Lema 2. La condición necesaria y suficiente para que T 2 sea p-proyectable es que E Rad(T 2 ) Demostración. Supongamos que E Rad(T 2 ). Se define T 2 (ē 1, ē 2 ) = T 2 (e 1, e 2 ) donde p(e i ) = ē i y comprobemos que la definición es correcta, esto es, que no depende de los vectores e i elegidos. En efecto, si e i son otros vectores de E tales que p(e i) = ē i, entonces e i e i son vectores de E y por tanto, del radical de la métrica T 2 : luego e i = e i + v i, v i E T 2 (e 1, e 2) =T 2 (e 1 + v 1, e 2 + v 2 ) = =T 2 (e 1, e 2 ) + T 2 (v 1, e 2 ) + T 2 (e 1, v 2 ) + T 2 (v 1, v 2 ) = =T 2 (e 1, e 2 ) 2

3 y por tanto, T 2 es p-proyectable. Recíprocamente, supongamos que T 2 es p-proyectable. Para que E esté contenido en el radical de la métrica, tendrá que ocurrir que T 2 (v, e) = 0 v E, e E pero, por hipótesis, T 2 (v, e) = T 2 (p(v), p(e) = 0 pues v es un vector del núcleo de proyección. En consecuencia, el subespacio de máxima dimensión por el que podemos hacer cociente de manera que la métrica sea proyectable es el propio radical de la métrica. Teorema 1. Sea E = Rad(T 2 ) y Ē = E/E. Entonces i) La métrica proyectada T 2 es irreducible. ii) Si E es un suplementario de E, entonces la proyección p: E Ē induce una isometría (E, T 2 ) (Ē, T 2 ) Demostración. Sea v un vector de Rad( T 2 ) y v E tal que v = p(v). Para todo vector e E se tiene que T 2 (e, v) = T 2 (p(e), p(v)) = T 2 (p(e), v) = 0 luego v es un vector del radical de T 2 y por tanto v = p(v) = 0. Que la restricción de p a E es un isomorfismo lineal es inmediato; veamos que también es una isometría. En efecto, dados dos vectores e 1, e 2 de E, se tiene que T 2 (e 1, e 2) = T (p(e 1), p(e 2)) luego es una isometría. La importancia de este teorema consiste en que únicamente nos tenemos que ocupar de clasificar las geometrías irreducibles. Teorema 2. La condición necesaria y suficiente para que dos geometrías de la misma dimensión (E, T 2 ), (E, T 2) sean isométricas es que lo sean las respectivas geometrías irreducibles (E/ Rad(T 2 ), T 2, ) (E / Rad(T 2), T 2) 3

4 Demostración. Si τ : E E es una isometría, τ(rad(t 2 )) = Rad(T 2) y por tanto, τ proyecta a los cocientes: τ : E/ Rad(T 2 ) E / Rad(T 2) que es una isometría trivialmente. Recíprocamente, supongamos que se tiene una isometría entre las geometrías proyectadas τ : E/ Rad(T 2 ) E / Rad(T 2) Dados suplementarios Ē y Ē de los radicales de T 2 y T 2 respectivamente, se tienen isometrías p: Ē E/ Rad(T 2 ), p : Ē E / Rad(T 2) luego, componiendo, una isometría τ : (Ē, T 2) (Ē, T 2). Por otra parte, como Rad(T 2 ) y Rad(T 2) tienen la misma dimensión, se puede construir un isomorfismo entre ellos que automáticamente es una isometría entre ellos (pues las respectivas métricas son idénticamente nulas): ˆτ : Rad(T 2 ) Rad(T 2) Sumando ambas isometrías, se tiene la isometría buscada entre E y E τ = ˆτ + τ : E = Rad(T 2 ) Ē Rad(T 2) Ē De este teorema, además, se desprende que una condición necesaria para que dos geometrías sean isométricas es que además de tener la misma dimensión, la dimensión de las geometrías en las que se proyectan irreduciblemente también tiene que ser la misma. Esa dimensión se llama rango de la métrica. 3. Subespacios totalmente isótropos, hiperbólicos y elípticos. Índice de una métrica. En lo que sigue se supondrá que las geometrías son irreducibles a menos que se diga lo contrario y que el cuerpo base no es de característica 2. Definición 3. Se dice que un vector e E es isótropo si T 2 (e, e) = 0, y se dice que un subespacio E de E es totalmente isótropo cuando todos sus vectores son isótropos. 4

5 El hecho de ser totalmente isótropo es equivalente a que la métrica T 2 es idénticamente nula sobre el subespacio E pues si e 1 y e 2 son dos vectores de E, se tiene que 0 =T 2 (e 1 + e 2, e 1 + e 2 ) = T 2 (e 1, e 1 ) + 2T 2 (e 1, e 2 ) + T 2 (e 2, e 2 ) = =2T 2 (e 1, e 2 ) Definición 4. Se dice que un subespacio W de E es elíptico si carece de vectores isótropos no nulos. En particular, los subespacios elípticos son no singulares. Definición 5. Se dice que un subespacio H 2 de E es un plano hiperbólico si es no singular, de dimensión 2 y contiene algún vector isótropo no nulo. Se dice que un subespacio H de E es un subespacio hiperbólico si es suma ortogonal de planos hiperbólicos: H = H 1 2 H m 2 En particular, los subespacios hiperbólicos son no singulares y de dimensión par. Lema 3. Sea E un subespacio totalmente isótropo de dimensión m de la geometría (E, T 2 ). Existe un subespacio hiperbólico H 2m de dimensión 2m tal que E H 2m. Demostración. Procederemos por inducción sobre m. Para m = 1, será E =< e > y por ser la geometría no singular, existe otro vector e en E tal que T 2 (e, e ) 0. Comprobemos que los vectores e y e son linealmente independientes: Dada la combinación lineal αe + βe = 0 hagamos producto con el vector e. Se tiene que 0 = αt 2 (e, e) + βt 2 (e, e ) = αt 2 (e, e) lo que implica que α = 0 y por tanto, que también β = 0 y los vectores son linealmente independientes. La misma operación nos prueba que el subespacio < e, e > es no singular: si el vector αe + βe es del radical, entonces 0 = αt 2 (e, e) + βt 2 (e, e ) = αt 2 (e, e) α = 0 5

6 y multiplicando por e, 0 = βt 2 (e, e) β = 0 luego H 2 =< e, e > es un plano hiperbólico. Supongamos ahora que m > 1 y que {e 1,..., e m} es una base de E. Como < e 1,..., e m 1 > < e 1,..., e m > y T 2 es no singular, es < e 1,..., e m > < e 1,..., e m 1 > y por tanto, existe un vector e m que es ortogonal a e 1,..., e m 1 pero no a e m. Al igual que antes, el subespacio H 2 =< e m, e m > es un plano hiperbólico. Por ser no singular, H2 es no singular y contiene a < e 1,..., e m 1 > pues los vectores e m y e m son ortogonales a los vectores e 1,..., e m 1. Por inducción, existe un subespacio hiperbólico H 2(m 1) en H2 que contiene a < e 1,..., e m 1 >; y el subespacio H 2m = H 2(m 1) H 2 es el subespacio hiperbólico que se buscaba. Definición 6. Se llama índice de una geometría no singular de dimensión finita (E, T 2 ) al máximo de las dimensiones de sus subespacios totalmente isótropos. En general, se llama índice de una geometría al índice de la geometría no singular en la cual proyecta de modo irreducible. Teorema 3. Sea (E, T 2 ) una geometría no singular de dimensión n e índice i. Entonces E descompone en suma ortogonal E = H 2i W de un subespacio hiperbólico H 2i de dimensión 2i y un subespacio elíptico W. Demostración. Sea E i un subespacio totalmente isótropo de E de dimensión i. Por el lema que acabamos de ver, existe un subespacio hiperbólico de dimensión 2i que lo contiene, H 2i. Llamemos W = H 2i, de manera que E = H 2i W. Veamos que W es elíptico: Si no lo fuera, existiría un vector isótropo e 0 en W, de manera que E i < e > es un subespacio totalmente isótropo lo cual no es posible pues contradice la definición de índice. Mediante este teorema, la clasificación de geometrías no singulares se reduce a la clasificación de los espacios hiperbólicos y a la de los elípticos. La clasificación de los espacios hiperbólicos es especialmente sencilla: Lema 4. Todos los planos hiperbólicos son isométricos. 6

7 Demostración. Sea H 2 un plano hiperbólico, e un vector isótropo de H 2 y e otro vector tal que T 2 (e, e ) 0 (en particular, {e, e } es una base de H 2 ). Veamos que es posible encontrar un vector isótropo ē que verifica T 2 (e, ē) = 0 de manera que en la base {e, ē} de H 2 la matriz de T 2 es ( ) El vector ē se podrá escribir en la forma ē = αe + βe y las condiciones que se tienen que satisfacer son 0 =T 2 (ē, ē) = 2αβT 2 (e, e ) + β 2 T 2 (e, e ) 1 =T 2 (e, ē) = βt 2 (e, e ) De la segunda ecuación se sigue que β = 1 T 2 (e, e ) y sustituyendo en la primera, tiene que ser 1 α = 2T 2 (e, e ) T 2(e, e ). 2 De este teorema se sigue inmediatamente la clasificación de los espacios hiperbólicos: Teorema 4. Dos espacios hiperbólicos son isométricos si y sólo si tienen la misma dimensión. Para concluir la clasificación de las métricas, únicamente nos queda por clasificar los espacios elípticos. Esta clasificación es más complicada y depende en gran medida de la aritmética del cuerpo base. En las siguientes secciones efectuaremos esta clasificación en el caso en que el cuerpo es algebraicamente cerrado y en el caso del cuerpo de los números reales. 7

8 4. Clasificación sobre cuerpo algebraicamente cerrado. Como hemos dicho, la clave está en la clasificación de los espacios elípticos (no nulos). Teorema 5. Todos los espacios elípticos tienen dimensión 1 y son isométricos. Demostración. Veamos que la dimensión de los espacios elípticos es 1. Si hubiera dos vectores linealmente independientes, e y e, entonces podríamos encontrar un vector isótropo en el plano < e, e >. Sea ē = αe + e y planteemos la ecuación 0 = T 2 (ē, ē) = α 2 T 2 (e, e) + 2αT 2 (e, e ) + T 2 (e, e ) que es una ecuación de segundo orden en α. Como el cuerpo base es algebraicamente cerrado, dicha ecuación tiene solución y en consecuencia, ē es isótropo lo cual no es posible en un espacio elíptico. Sea ahora e 0 un vector del espacio elíptico, veamos que podemos encontrar otro vector e tal que T 2 (e, e) = 1. Sea α un escalar solución de la ecuación α 2 T 2 (e, e ) = 1. El vector e = 1 α e es el vector que se buscaba. El teorema de clasificación es ahora inmediato: Teorema 6. Dos geometrías sobre un cuerpo algebraicamente cerrado son isométricas si y sólo si tienen la misma dimensión, el mismo rango y el mismo índice. 5. Clasificación sobre el cuerpo de los números reales. Lema 5. Sea (W, T 2 ) un espacio elíptico sobre el cuerpo de los números reales. Si T 2 (e, e) > 0 para algún vector e W, entonces T 2 (e, e ) > 0 para todo vector e W. Demostración. Al igual que en el caso de cuerpo algebraicamente cerrado, la demostración consiste en probar que si no fuera así, se podría encontrar un vector isótropo. Supongamos que T 2 (e, e ) < 0 e impongamos la condición de que el vector ē = αe + e sea isótropo: 0 = T 2 (ē, ē) = α 2 T 2 (e, e) + 2αT 2 (e, e ) + T 2 (e, e ) 8

9 Se trata de una ecuación de segundo grado en α cuyo discriminante es luego tiene soluciones reales. 4T 2 (e, e ) 2 4T 2 (e, e)t 2 (e, e ) > 0 Según este lema, o bien T 2 es definido positiva o definido negativa. En el primer caso, se dice que (W, T 2 ) tiene signo +1 o positivo y 1 o negativo en caso contrario. Teorema 7. Dos espacios elípticos sobre el cuerpo de los números reales son isométricos si y sólo si tienen la misma dimensión y el mismo signo. Demostración. Consiste en aplicar el método de ortonormalización de Gram- Schmidt. Para concluir la clasificación, tenemos que cerciorarnos de que coinciden los signos de los subespacios elípticos en dos descomposiciones diferentes de la misma geometría. Para ello utilizaremos la siguiente forma del teorema de Witt: Teorema 8. Sea (E, T 2 ) una geometría no singular y σ : E E una isometría entre dos subespacios no singulares de E. Entonces σ se prolonga a una isometría σ : E E. Demostración. Se procede por inducción sobre la dimensión, k, de E (y por tanto, de E ). Si k = 1, E =< e >, E =< e > con σ(e ) = e entonces T 2 (e, e ) = T 2 (e, e ). Al ser T 2 (e + e, e + e ) =T 2 (e, e ) + 2T 2 (e, e ) + T 2 (e, e ) T 2 (e e, e e ) =T 2 (e, e ) 2T 2 (e, e ) + T 2 (e, e ) uno de los vectores e + e, e e es no isótropo pues si fueran los dos isótropos, también lo sería e y por tanto E sería singular. Supongamos que e = e + e es el no isótropo (si fuera e e el no isótropo, se procedería análogamente). Dada la descomposición E =< e > < e >, se construye la isometría σ(λe + ē) = λe ē. Veamos que prolonga a σ: En primer lugar, T 2 (e, e e ) = T 2 (e, e ) T 2 (e, e ) = 0 luego σ(e e ) = e + e y σ(e + e ) = e + e. Se tiene entonces que σ(e ) σ(e ) = σ(e e ) = e + e σ(e ) + σ(e ) = σ(e + e ) = e + e 9

10 y, sumando, σ(e ) = e. Supongamos ahora que k > 1 y que tenemos la descomposición E = F F. Al ser la dimensión de F menor que k, la isometría σ : F σ(f ) prolonga, por inducción, a una isometría τ : E E y sólo la tendremos que ajustar para que coincida con σ sobre F. τ( F ) y σ( F ) son dos subespacios de σ(f ) luego, por inducción, se puede extender la isometría σ τ 1 : τ( F ) σ( F ) a una isometría ρ: σ(f ) σ(f ) y ésta a una isometría ρ: σ(f ) σ(f ) σ(f ) σ(f ) por la identidad en el primer sumando. Para concluir la demostración, veamos que la isometría σ = ρ τ es la extensión buscada, y para ello, que coincide con σ sobre F y sobre F. Sea e un vector de F ; σ(e ) = ρ(τ(e )) = ρ(σ(e )) pues τ es prolongación de σ sobre F. Por la definición de ρ, es la identidad sobre σ(f ) y por tanto, ρ(σ(e )) = σ(e ), de donde σ(e ) = σ(e ) Sea ē un vector de F ; σ(ē) = ρ(τ(ē)) = ρ(τ(ē)) pues ρ es una prolongación de ρ. Por definición de ρ, es una prolongación de σ τ 1, luego ρ(τ 1 (ē)) = (σ τ 1 )(τ(ē)) = σ(ē). Definición 7. Se llama signo de una geometría no singular (E, T 2 ) de dimensión finita sobre el cuerpo de los números reales al signo del subespacio elíptico W de una descomposición E = H 2i W Esta definición no depende de la descomposición elegida, pues si se tuviera otra E = H 2i W, por el teorema de Witt la isometría entre H 2i y H 2i se prolonga a una isometría de E que induce una isometría entre W y W luego ambos tienen el mismo signo. 10

11 Teorema 9. La condición necesaria y suficiente para que dos geometrías sobre el cuerpo de los numeros reales sean isométricas es que tengan la misma dimensión, el mismo rango, el mismo índice y el mismo signo. Para finalizar, veremos cómo se puede calcular el rango, índice y signo de una geometría sobre el cuerpo de los números reales. Para ello, además de la métrica simétrica T 2 que pretendemos clasificar, necesitaremos una métrica euclídea auxiliar T 2. Llamemos φ y φ a las polaridades asociadas a T 2 y T 2. Se define el endomorfismo asociado al par de métricas a T = φ 1 φ. Por definición de T, se tiene que T 2 (T (e), e ) = T 2 (e, e ) = T 2 (e, T (e )) luego también se verifica que para todo polinomio p(x) es T 2 (p(t )(e), e ) = T 2 (e, e ) = T 2 (e, p(t )(e )) Lema 6. T es diagonalizable y diagonaliza en una base ortonormal para T 2. Demostración. Para probar que T es diagonalizable, basta con probar que su polinomio anulador descompone en producto de factores lineales diferentes. Sea p(x) un factor primo del anulador. Si apareciera en el anulador con multiplicidad n > 1, se tendría que, para todo vector e Ker(p n (T )) T 2 (p n 1 (T )(e), p n 1 (T )(e)) = T 2 (p n (T )(e), p n 2 (T )(e)) = 0 luego p n 1 (T )(e) = 0 por ser T 2 euclídea y por tanto, p n 1 (x) anularía a Ker(p n (T )) lo cual no es posible. Veamos ahora que los factores primos son todos lineales. Si un factor primo es cuadrático, se puede escribir en la forma p(x) = (x a) 2 + b 2. Sea e un vector anulado por p(x), es decir luego 0 = p(t )(e) = (T a) 2 (e) + b 2 e T 2 ((T a)(e), (T a)(e)) = T 2 (e, (T a) 2 (e)) = b 2 T2 (e, e) < 0 lo cual es absurdo. Para concluir la demostración, veamos que los diferentes subespacios de vectores propios son ortogonales entre sí: Sean e y e dos vectores propios de valores propios diferentes, T (e) = ae, T (e ) = be. Se tiene que a T 2 (e, e ) = T 2 (T (e), e ) = T 2 (e, T (e )) = b T 2 (e, e ) y como a b, es T 2 (e, e ) = 0. 11

12 Teorema 10. Sea r + el número de raíces positivas, r el número de raíces negativas y r 0 el número de raíces nulas del polinomio característico de T. Entonces: 2i + r + r =r = n r 0 Sig T 2 = Sig(r + r ) donde r, i son el rango y el índice de la métrica T 2. Demostración. En una base de diagonalización de T ortonormal para T 2, la matriz de T y det 2 coinciden. Además, permutando los vectores propios si fuera preciso, se puede suponer que esta matriz es a 1 b 1... a s b s c 1... c m siendo a i raíces positivas, b i raíces negativas y c i raíces todas del mismo signo, r + r. Obviamente, es s = mín(r +, r ) y m = r + r. Si la base de diagonalización es {e 1,..., e n }, el subespacio es hiperbólico, el subespacio es elíptico y H 2s =< e 1,..., e 2s > W =< e 2s+1,..., e 2s+m > Rad(T 2 ) =< e 2s+m+1,..., e n > de manera que el índice de la métrica es i = s y se concluye. Como es natural, la clasificación de la métrica T 2 no depende de la elección de la métrica euclídea auxiliar T 2, de manera que, dada la matriz de la métrica T 2 en una base se suele elegir la métrica euclídea que tiene a esa base como base ortonormal, de manera que coincidan la matriz del endomorfismo asociado T y la matriz de T 2 en dicha base. 12

13 Para finalizar, al ser todas las raíces del polinomio característico de T reales, no es necesario calcularlas para conocer sus signos: basta con utilizar el teorema de Descartes. Teorema 11. Sea p(x) un polinomio con coeficientes reales tal que todas sus raíces son reales. El número de raíces positivas es igual al número de variaciones de signo entre los coeficientes no nulos de p(x). 13

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