Factorización de polinomios

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1 Factorización de polinomios Polinomios Un polinomio p en la variable x es una expresión de la forma: px a 0 a 1 x a x a n1 x n1 a n x n donde a 0, a 1, a,, a n1, a n son unos números, llamados coeficientes del polinomio. Si todos esos coeficientes son números enteros ( 0,1,,...) entonces diremos que el polinomio es un polinomio entero, si son números racionales diremos que es un polinomio racional, etc. Mientras no se diga lo contrario, en estas notas los coeficientes del polinomio serán números reales. El grado del polinomio es el número n : el mayor exponente de la variable x que aparezca en el polinomio con coeficiente no nulo. Se escribe a menudo px para referirse al grado de px. Cada uno de los sumandos de la forma a i x i que forman el polinomio se llama monomio o término (de grado i). Un polinomio es mónico si el coeficiente del monomio de grado más alto es 1. Usaremos letras como p, q o también subíndices como en p 1, p,..., p k para referirnos a diferentes polinomios. Suponemos conocidas del lector las operaciones de suma y producto de polinomios. Raíces de un polinomio Un número r es una raíz de un polinomio si al sustituir x por r en el polinomio se obtiene cero. pa a 0 a 1 ra r a n1 r n1 a n r n 0 Ejemplo: Si px x 3x, los números 1 y son raíces de p, ya que se tiene: p División de polinomios p 3 0 Dados dos polinomios, px y qx, a los que llamaremos respectivamente dividendo y divisor, existen dos polinomios únicos rx (llamado resto) y sx (llamado cociente) tales que: px qxsx rx con grado(rx)grado(qx) Método o algoritmo de la división de polinomios Es muy parecido al método aritmético de división de números enteros que se aprende en la escuela; al tiempo que lo describimos iremos desarrollando un ejemplo: (1) 1. Se ordenan los términos (monomios) que forman el dividendo y el divisor en orden descendente según el grado. 1

2 Sea px x 6 x 5 7x 4 8x 3 9x 6x 3 el dividendo y qx x x 1 el divisor. Imitando lo que se hace en la división de enteros los escribimos así: x 6 x 5 7x 4 8x 3 9x 6x 3 x x 1. Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor, y obtenemos así el primer término del cociente. Hemos indicado cuales son los términos que se dividen (x 6 entre x 4 ) y colocamos bajo el divisor el primer término del cociente: x 6 x 5 7x 4 8x 3 9x 6x 3 x x 1 3. Ese término del cociente se multiplica por todo el divisor y el resultado se resta del dividendo. Para ello es conveniente escribir el resultado debajo del dividendo con el signo cambiado y ordenado para que coincidan los términos del mismo grado. El resultado es el primer resto de la división. En nuestro ejemplo, x 4 multiplicado por x x 1 es x 6 x 5 x 4. Colocamos este resultado, cambiado de signo bajo el dividendo y sumamos: x 6 x 5 7x 4 8x 3 9x 6x 3 x x 1 x 6 x 5 x 4 x 4 6x 4 8x 3 9x 6x 3 4. Se repite ahora el proceso, empleando el resto obtenido en lugar del dividendo, hasta obtener un resto de grado menor que el divisor. Los términos del cociente se van sumando a continuación del obtenido en el primer paso. x 4 x 6 x 5 7x 4 8x 3 9x 6x 3 x x 1 x 6 x 5 x 4 x 4 6x x 1 6x 4 8x 3 9x 6x 3 6x 4 6x 3 6x x 3 3x 6x 3 x 3 x x x 4x 3 x x 1 3x El resto se ha señalado recuadrándolo doblemente en este ejemplo. Se ha obtenido entonces la expresión: x 6 x 5 7x 4 8x 3 9x 6x 3 x x 1x 4 6x x 1 3x como muestra del esquema general: que también puede escribirse así: dividendodivisorcocienteresto dividendo divisor cociente resto divisor

3 Es decir, px qx sx rx qx con grado(rx)grado(qx) Polinomios de grado Un polinomio de grado dos es de la forma: px ax bx c Sus raíces r se obtienen mediante la conocida fórmula: r b b 4ac a Se pueden presentar tres casos: 1. b 4ac 0 En este caso, el polinomio tiene dos raíces reales distintas, a las que llamaremos r 1 y r.además se tiene en este caso: ax bx c ax r 1x r. b 4ac 0 En este caso, el polinomio una única raíz real r b, de la que diremos que es una a raíz doble.además se tiene en este caso: ax bx c a x a b (que es la misma expresión del caso anterior si r 1 r b ) a 3. b 4ac 0.En este caso existen dos raíces complejas, a las que llamaremos r 1 i y r i.sería: Además se cumple que: i b a b 4ac a ax bx c a x Obsérvese que si conocemos y junto con el coeficiente a, entonces con la última expresión podemos reconstruir ax bx c. En particular, si conocemos i, existe un único polinomio (mónico, con a 1) de la forma x bx c cuyas raíces son esos números complejos i. i Factorización de polinomios. Polinomios irreducibles. Al igual que los números naturales se descomponen de forma esencialmente única en un producto de factores primos, los polinomios también se descomponen de forma única en un producto de factores irreducibles (que vienen a ser como los polinomios primos.) Los polinomios irreducibles (reales) son de dos clases: 1. polinomios de grado uno, de la forma ax b. polinomios de grado dos, con ambas raíces complejas. Es decir ax bx c con b 4ac 0 3

4 Los siguientes resultados son los que se emplean para tratar de descomponer un polinomio en un producto de factores irreducibles. Raíces reales: Teorema: Si r es una raíz real del polinomio px, entonces se tiene: px x r k qx () siendo qx un polinomio de grado menor en k unidades al de px, y que cumple qr 0. En este caso se dice que r es una raíz de multiplicidad k del polinomio px. Notas: (1) Este resultado es cierto para raíces reales y complejas, pero nosotros lo usaremos sobre todo cuando r sea una raíz real. () Una raíz de multiplicidad uno es una raíz simple, una de multiplicidad dos es una raíz doble, etc. Raíces complejas: Teorema: Si el número complejo ies una raíz de px, entonces su conjugado i también es raíz de px. Además en ese caso se tiene: px x bx c k qx (3) siendo: 1. x bx c el único polinomio de orden dos cuyas raíces son i. qx un polinomio de gradogrado(px)k con q i 0. Se dice entonces que i son raíces (complejas) de multiplicidad k del polinomio px. Descomposición en el caso general: El resultado que se presenta a continuación describe la forma en la que se descompone cualquier polinomio: Teorema fundamental del álgebra Un polinomio de grado n tiene siempre n raíces, repartidas entre raíces reales y raíces complejas (que en este caso vienen siempre en parejas como hemos visto.) En esta cuenta, cada raíz se cuenta un número de veces igual a su multiplicidad (una raíz doble cuenta como dos raíces, una raíz triple como tres raíces, etc.) Supongamos entonces que px a 0 a 1 x a x a n1 x n1 a n x n tiene: 1. raíces reales r 1 de multiplicidad m 1, r de multiplicidad m,..., r k de multiplicidad m k.. Y raíces complejas 1 1 i de multiplicidad p 1, i de multiplicidad p,..., q q i de multiplicidad p q.supongamos que x b j x c j p j es el polinomio de orden dos cuyas raíces son j j ipara cada j 1,..., q. Entonces px a n x r 1 m 1 x r m x rk m k x b 1 x c 1 p 1 x b q x c q pq Ecuaciones de orden superior: cálculo de raíces A pesar de que el teorema anterior dice que cualquier polinomio se descompone en 4

5 producto de factores irreducibles, en la práctica esa descomposición tropieza con una dificultad formidable: para descomponer el polinomio tenemos que conocer todas sus raíces. En el caso de polinomios de grado dos la situación es sencilla, como hemos visto. Las fórmulas para la resolución de ecuaciones de grado dos eran bien conocidas en el siglo noveno de nuestra era. Para polinomios de grado 3 y 4 existen también fórmulas, que fueron obtenidas por los matemáticos italianos Tartaglia, del Ferro, Cardano y Ferrari en el siglo XVI. Son similares a las que hemos visto para le ecuación de orden dos, aunque más complicadas. Nadie consiguió encontrar una fórmula semejante para las ecuaciones de orden cinco, hasta que en 186 Abel demostró que no podía existir ninguna fórmula semejante para resolver todas las ecuaciones de orden cinco (y lo mismo ocurre con todos los grados superiores). Así pues, en general no podremos descomponer polinomios de grado superior a cuatro. A continuación vamos a ver métodos que nos permiten descomponer algunos polinomios. Lo habitual de estos métodos es que funcionen cuando las raíces de los polinomios son especialmente sencillas (es el caso del método de Ruffini), o cuando los polinomios son de alguna forma especial. Raíz cero Cuando el número cero es una raíz del polinomio, como hemos visto el polinomio se factoriza en la forma: px x k qx x k b 1 b x b 3 x 3 b m x m y el número k es la multiplicidad del cero como raíz. Obsérvese que en este caso el término independiente a 0 del polinomio original ha de ser cero. Así pues, antes de empezar a factorizar el polinomio debemos sacar factor común la potencia de x más alta posible. Si es posible, el cero es una raíz del polinomio (y esa potencia nos indica la multiplicidad), mientras que si no es posible, el cero no es raíz del polinomio. Método de Ruffini El método de Ruffini sirve para buscar raíces enteras 1,,... de un polinomio. Para ello, se buscan todos los divisores del término independiente a 0 del polinomio. Una vez hecho esto se realiza la división del polinomio entre x a. Se puede llevar a cabo por el método visto antes, pero es más rápido emplear el método abreviado, conocido como método de Ruffini. En este método se escriben los coeficientes del polinomio, en orden decreciente de grado: a a n a n1 a n a a 1 a 0 A continuación se escribe en la siguiente línea a a la izquierda y se traza una línea horizontal. Bajo esta línea se escribe el primer coeficiente a n, para a continuación multiplicarlo por a y colocar el resultado bajo el segundo coeficiente a n1 y sumar ambos números. El resultado b 1 se coloca bajo la línea horizontal. Y se repite el proceso como indica este esquema. En cada paso el resultado obtenido se multiplica por a y se coloca bajo el siguiente a i, sumando ambos números para obtener el siguiente b. 5

6 a n a n1 a n a a 1 a 0 a a a n a b 1 a b n3 a b n a b n1 a n b 1 a n1 a a n b a n a b 1 b n b n1 q La clave es el número q. Si ese número es cero, entonces a es una raíz del polinomio y podemos además afirmar que: px x aa n x n1 b 1 x n b x n3 b n x b n1 Obsérvese que los números b i obtenidos debajo de la línea horizontal sirven para escribir el cociente de esta división. Eso permite, en caso de que el método funcione, reiterarlo, aplicándolo ahora al polinomio a n x n1 b 1 x n b x n3 b n x b n1 para continuar con la factorización del polinomio px. La repetición del método se ve facilitada por la colocación de los coeficientes, ya que basta con dibujar una nueva raya horizontal bajo los términos recién obtenidos y repetir el esquema, como veremos en los ejemplos. En esas repeticiones del método se deben considerar de nuevo como posibles raíces todos los divisores de a 0, salvo aquellos que ya se han ensayado y no han funcionado; es decir, que si ya hemos encontrado una raíz a del polinomio, debemos volver a comprobar si a es una raíz del nuevo polinomio. Ejemplos: 1. Factorizar el polinomio px x 5x 6 Formamos para ello el esquema: a en el que como número a debemos tomar uno de los divisores de 6, que son, por orden: 1,, 3, 6. Probando con a 1 se obtiene: El valor que hemos obtenido al final indica que a 1 no es una raíz del polinomio px. Probamos a continuación con a polinomio. Probamos con a El valor 1 indica que a 1 no es raíz del Ese cero significa que a es una raíz de px. Es 6

7 decir, que px x qxpara un polinomio qx de grado uno Además los resultados parciales 1 y 3permiten obtener qx:. Factorizar el polinomio px x x 3 px 6x 3 x 4x 48 Formamos para ello el esquema: a en el que, como número a debemos tomar uno de los divisores de 48, que son: a 1,,3,6,8,1,16,4,48 Probando con a 1se obtiene: Probando con a 1se obtiene: Probando con a se obtiene: En conclusión,a 1 no es raíz. En conclusión,a 1 no es raíz. Luego a es raíz. Los coeficientes que han quedado por debajo de la raya horizontal nos permiten asegurar que: 6x 3 x 4x 48 x 6x 10x 4 Obsérvese que esos coeficientes corresponden a un polinomio de grado dos, menor en una unidad al grado de px.para continuar con la factorización, probamos de nuevo el valor a con esos coeficientes: Así que, como no ha funcionado, seguimos probando con a. (Ya no es necesario probar con los valores a 1,1 que se comprobó previamente que no eran raíces.) Probamos con a 3 : 6 0 No funciona. a no es raíz. 7

8 Luego a 3 es raíz Además tenemos la descomposición: 6x 10x 4 x 36x 8 que combinada con la anterior produce 6x 3 x 4x 48 x x 36x 8 x x 33x 4 que es la descomposición final de px. Las raíces son por tanto, 3 y Descomponer en factores el polinomio px x 5 18x 4 60x 3 9x 66x 18 Los divisores del término independiente 18 son 1,, 3, 6, 9, 18. Escribiremos consecutivamente los cálculos realizados, omitiendo las pruebas con valores que no son raíces: El valor a 1 es una raíz El valor a 1 funciona otra vez El valor a 1 funciona otra vez El valor a 3 funciona una vez ( y no) El valor a 3 funciona otra vez Así pues, hemos obtenido la descomposición: x 5 18x 4 60x 3 9x 66x 18 x 3 x 1 3 que nos dice que 3 es una raíz doble, y 1 una raíz simple del polinomio. 4. Descomponer en factores el polinomio Se obtiene: px x 4 5x 6 Atención a los coeficientes nulos! El valor a 1 funciona otra vez. A continuación, al probar con los divisores de 6, se comprueba que ninguno de ellos funciona. Por lo tanto, del método de Ruffini obtenemos: px x 4 5x 6 x 1x 1x 6 8

9 El último factor es un polinomio de grado dos irreducible, con raíces complejas 6 i. Así que la anterior expresión es la descomposición de px usando coeficientes reales. Si se desea su descomposición usando coeficientes complejos, sería Ecuaciones bicuadradas Una ecuación de la forma px x 4 5x 6 x 1x 1x 6 ix 6 i ax 4 bx c 0 se conoce como ecuación bicuadrada. Estas ecuaciones se pueden resolver introduciendo un cambio de variable z x, que las reduce a ecuaciones de segundo grado: az 4 bz c 0 de las que sabemos encontrar las raíces. Una vez localizadas sus raíces z 1 y z, podemos encontrar las (cuatro) raíces de la ecuación original usando que ha de ser z 1 x (de aquí se obtienen dos raíces) y también z x (que produce las dos restantes raíces.) Esta observación permite descomponer un polinomio de la forma px ax 4 bx c en factores, ya que sabemos calcular sus raíces. Ejemplo: Descomponer en factores el polinomio px x 4 8x 9 Haciendo el cambio z x se obtiene x 4 8x 9 z 8z9. Las raíces de la ecuación se obtienen de z 8z9 0 z Luego z 1 9 z 1 De donde se deduce que x 9 y x 1 producen las cuatro raíces del polinomio px. Esas raíces son x 1 3, x 3, x 3 i, x 4 i. Por tanto: px x 4 8x 9 x 1x 1x ix i x 1x 1x 1 Hemos indicado también en este caso las descomposiciones real y compleja. Fracciones racionales Una fracción racional es un cociente: fx px qx en el que px y qx son polinomios. Supondremos además en lo que sigue que px es de grado menor al de qx. Si no fuera así se puede emplear el algoritmo de la división que hemos visto para obtener una descomposición. 9

10 px qx sx rx qx con grado(rx)grado(qx) Así que supondremos que el polinomio del numerador es de grado menor que el denominador. Fracciones simples Cualquier fracción racional se puede descomponer en la suma de unos cuantos términos, siendo esos términos de una de estas dos clases: Clase 1 : A x k Clase : Bx C x x p Estas fracciones se conocen como fracciones simples. Es decir que tendremos una descomposición como: px qx A 1 A r B 1 x C 1 x 1 k 1 x r kr x 1 x 1 p 1 B s x C s x s x s ps Estas descomposiciones son esenciales para el cálculo de primitivas de las fracciones racionales. Ejemplos: Dejamos que el lector compruebe que: 1. 5x x 5x 6 x 10 x 15 3 Como puede verse, los dos términos obtenidos son de la forma A. En el k x primero A 10,, k 1. En el segundo A 15, 3, k 1. 7x 3 30x 40x 3 x 4 5x 3 5x 3x 18 x 3 3 x 3 1 5x x x 3. x 4 x 3 x 4x x x 6 3x 4 3x 1 x 1 x 1 3 x x 1. 3 En este ejemplo, todos los términos son de clase. Cómo se obtiene esa descomposición? 1. En primer lugar, debemos factorizar el polinomio del denominador qx.sea pues: qx a n x 1 k 1 x k x r kr x 1 x 1 p 1 x q x s ps Esta descomposición se obtiene por los métodos que hemos expuesto en los párrafos precedentes.. Para saber cuales son las fracciones simples que componen la descomposición de px debemos considerar la descomposición del primer paso, como se indica a qx continuación: a. Cada factor de qx de la forma x k produce k fracciones simples, con potencias crecientes de x en el denominador: A 1 x A x A 3 x A k 3 x k Los coeficientes A k en este paso se dejan indeterminados, y se calcularán en el próximo paso. b. Cada factor de qx de la forma x x p produce p fracciones simples, con potencias crecientes de x x en el denominador: 10

11 B 1 x C 1 x x B x C x x B 3 x C 3 x x B p x C p 3 x x p Como en el caso anterior, los coeficientes B k, C k quedan indeterminados, y se calcularán en el próximo paso. Obsérvese que la diferencia fundamental entre este caso y el anterior es que los polinomios indeterminados del numerador son de grado uno. Ejemplo. Vamos a empezar la descomposición en fracciones simples de la fracción racional: 7x 3 30x 40x 3 x 4 5x 3 5x 3x 18 Empezamos por descomponer el denominador. Dejamos como ejercicio que el lector compruebe (usar Ruffini mientras sea posible) que: x 4 5x 3 5x 3x 18 x 3 x x El factor x 3 produce dos fracciones simples: A 1 x 3 A x 3 mientras que el factor x x produce una fracción simple: B 1 x C 1 x x Combinando ambos resultados se tiene, como descomposición: 7x 3 30x 40x 3 x 4 5x 3 5x 3x 18 A 1 x 3 A x 3 B 1x C 1 x x Los coeficientes A 1, A, B 1 y C 1 se determinarán en el siguiente paso. 3. Ahora se deben buscar los valores de los coeficientes que han quedado indeterminados en el paso anterior. Para ello se agrupan los fracciones simples del miembro derecho, escribiéndolas con un denominador común que, por supuesto, será el mismo que le del miembro izquierdo. Entonces se comparan los numeradores de las dos fracciones y se identifican los coeficientes de las potencias de x. Se obtiene así un sistema de ecuaciones, que permite calcular los valores de esos coeficientes. Ejemplo. Retomamos el ejemplo anterior. Teníamos: 7x 3 30x 40x 3 x 4 5x 3 5x 3x 18 A 1 x 3 A x 3 B 1x C 1 x x Agrupando los términos del miembro izquierdo: 7x 3 30x 40x 3 x 4 5x 3 5x 3x 18 A 1 x 3 A x 3 B 1x C 1 x x A 1 x 3x x A x x B 1 x C 1x 3 x 3 x x B 1 A 1x 3 A 6B 1 A 1 C 1x A 9B 1 A 1 6C 1x 9C 1 A 6A 1 x 3 x x Como se ve, hemos agrupado los términos del numerador según las potencias de x. De aquí, comparando los numeradores del principio y final se deduce que: 7x 3 30x 40x 3 B 1 A 1x 3 A 6B 1 A 1 C 1x A 9B 1 A 1 6C 1x 9C 1 A 6A 1 Y por lo tanto se tiene el sistema: 11

12 7 B 1 A 1 (términos en x 3 ) 30 A 6B 1 A 1 C 1 (términos en x ) 40 A 9B 1 A 1 6C 1 (términos en x) 3 9C 1 A 6A 1 (términos independientes) Que una vez resuelto produce A 1, A 3, B 1 5, C 1 1. Esto permite escribir finalmente 7x 3 30x 40x 3 x 4 5x 3 5x 3x 18 x 3 3 x 3 5x 1 x x que es la descomposición en fracciones simples deseada. Completando cuadrados Un trinomio cuadrático de la forma ax bx c puede escribirse siempre en la forma: x si a es positivo o en la forma x si a es negativo. A esta operación, que es necesaria muchas veces, se la describe diciendo que se ha completado el cuadrado. Para llevarla a cabo empezamos por suponer que aes positivo, de manera que podemos escribir a para algún número. Entonces: ax bx c x bx c x b x c x b x b b c x b c b que haciendo b y c b, conduce al resultado deseado. En el caso en que a es negativo se escribe a y se repite el esquema anterior. Dejamos los detalles para el lector. Ejemplos. 1. x 6x 1 x 3 x 1 x 3 x x x 3 8 que es el cuadrado completado.. x x 1 x 1 x 1 x 1 x x x x 3x x 3 x x 3 x 3 3 x x x 6x 5 x 6x 5 x x 3 5 x x

13 x x x x 5x x x 5 x x x x 13

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