Dominios de factorización única

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1 CAPíTULO 3 Dominios de factorización única 1. Dominios euclídeos En la sección dedicada a los números enteros hemos descrito todos los ideales de Z. En este apartado introducimos una familia de anillos donde se puede aplicar el mismo método. Esto nos permitirá describir los ideales de otros anillos. Definición 3.1. Sea R un dominio de integridad y supongamos que existe una aplicación g: R N con las siguientes propiedades: 1. Para todo a 0 y b 0 de R se cumple g(ab) g(a); 2. (La propiedad de división) Para todo a 0 y b de R existen q y r R tal que con r = 0 ó g(r) < g(a). b = qa + r, Entonces R es un dominio euclídeo. En Z la función g está definida como g(z) = z. Análogamente como en el caso de los números enteros obtenemos Teorema 3.1. Un dominio euclídeo es un dominio de ideales principales (es decir, cualquier ideal es principal). Más adelante vamos a ver que el anillo de polinomios K[x] sobre un cuerpo K también es euclídeo. Ahora vamos a demostrar esta propiedad para el anillo de enteros de Gauss. Teorema 3.2. El anillo de enteros de Gauss Z[i] es un dominio euclídeo. Demostración. Definamos la función g: (Z[i]) N, mediante g(a+bi) = a+bi 2 = a 2 +b 2. Comprobemos que esta funcción satisface las propiedades requeridas. Es claro que si x, y (Z[i]), entonces g(xy) = g(x)g(y) g(x). 23

2 24 3. DOMINIOS DE FACTORIZACIÓN ÚNICA Veamos que se cumple la propiedad de división. Sean x, y Z[i] y x 0. Queremos encontrar q y r Z[i] tales que y = qx + r y r = 0 o g(r) < g(x). Recordemos que el cuerpo de cocientes de Z[i] es Q[i]. Por eso podemos extender la función g sobre Q[i]: g: (Q[i]) Q >0. Pongamos q = yx 1 = a +b i, donde a, b Q. Existen los enteros a y b tales que a a 1/2 y b b 1/2. Definamos q = a + bi y r = (q q)x. Entonces y = qx + r y r = 0 o g(r) = g(q q)g(x) g(x)/4. Esto nos da el segundo axioma de dominio euclídeo. Dos elementos a y b de un anillo de ideales principales R generan un ideal (a, b). Este ideal que también es principal está generado, por ejemplo, por d (notemos que la elección de d no es única). Como a y b están en (d), vemos que existen g y h tales que a = gd y b = hd y, por lo tanto, d es un divisor común de a y b. Es fácil comprobar que para cualquier otro divisor común e de a y b, existe f tal que d = fe. Por eso, decimos que d es el máximo común divisor de a y b. Vamos a describir ahora como se puede usar la propiedad de división para buscar el máximo común divisor de dos elementos. Supongamos que tenemos dos elementos a 0 y a 1, y sea g(a 1 ) g(a 0 ). Usando la propiedad de división obtenemos a 0 = q 1 a 1 + a 2, donde a 2 = 0 o g(a 2 ) < g(a 1 ). Si a 2 0 seguimos dividiendo: a 1 = q 2 a 2 + a 3. De esta forma obtenemos a i y q i hasta que a s 1 = q s a s. Dejamos como un ejercicio ver que en realidad a s es el máximo común divisor de a 0 y a 1. El proceso anterior se puede invertir y calcular e y f tales que a s = ea 0 + fa 1. Este proceso se llama el algoritmo de Euclides. Lo aplicaremos en el siguiente tipo de ejercicios. Ejercicio 3.1. Calcular el máximo común divisor en Z[i] de los elementos 3 3i y 5 + 3i.

3 2. DOMINIOS DE FACTORIZACIÓN ÚNICA Dominios de factorización única En esta sección vamos a considerar solamente dominios de integridad. Nuestro primer propósito es definir qué elementos vamos a considerar simples o irreducibles. Claramente nos vamos a referir sólo a los elementos distintos de cero. Si p es un número primo en el anillo de los números enteros, entonces tenemos las siguientes descomposiciones de p: p = p 1 = ( p) ( 1). Sin embargo, en esta situación uno de los factores es una unidad de Z. Si consideramos una situación más general, donde R es un dominio de integridad y u es una unidad de R y a es un elemento arbitrario, entonces podemos descomponer a de la siguiente forma: a = a u u 1. Este tipo de descomposiciones, donde uno de los factores es una unidad se llama trivial. Definición 3.2. Un elemento p que solamente tiene descomposiciones triviales se llama simple o irreducible. A los elementos a y b = a u que solo difieren en multiplicación por una unidad u les llamaremos asociados. Ejercicio 3.2. Demostrar que a y b son asociados si y sólo si los ideales generados por a y b coinciden. Antes hemos definido la noción de un ideal maximal. En los dominios de ideales principales este término está relacionado con elementos irreducibles. Lema 3.3. Sea R un dominio de ideales principales y a R. Entonces (a) es un ideal maximal si y sólo si a es un elemento primo. Demostración. Por el Lema 2.2, si u R, (u) = R si y sólo si u U(R). Entonces si a R no es un elemento primo, a se descompone de forma no trivial en a = bc. Como c U(R), a y b no están asociados y, por lo tanto, (a) no coincide con (b). Por otro lado, b U(R), luego (b) no coincide con R. Entonces tenemos (a) (b) R y por lo tanto, (a) no es maximal. Ahora supongamos que (a) no es maximal. Entonces existe un ideal I tal que, (a) I R. Como R es un dominio de ideales principales,

4 26 3. DOMINIOS DE FACTORIZACIÓN ÚNICA existe b R tal que I = (b). Por lo tanto, existe c R tal que a = bc. Notemos que es una descomposición no trivial porque (a) (b), luego a no es irreducible. Corolario 3.4. Sea R un dominio de ideales principales y a R. Supongamos que a = bc y un elemento irreducible p divide a a. Entonces p divide a b o p divide a c. Demostración. Consideramos el anillo cociente R/(p). Pongamos ā = a + (p), b = b + (p) y c = c + (p). Como a (p), tenemos que ā = (p) = 0. Entonces b c = 0. Ahora, (p) es un ideal maximal por el teorema anterior. Entonces, por el Corolario 2.4, R/(p) es un cuerpo Supongamos primero que b = 0. Entonces b (p) y, por lo tanto, p divide a b. Por otro lado, si b 0,, como R/(p) es un cuerpo, existe b 1. Luego, 0 = b 1 0 = b 1 b c = c, que implica que p divide a c. Definición 3.3. Si c es un divisor de a, es decir existe d R tal que a = cd, pero a y c no son asociados (d no es una unidad), entonces vamos a decir que c es un divisor propio de a. Lema 3.5. Sea R un dominio euclídeo con la función g. Si c es un divisor propio de a, entonces g(c) < g(a). Demostración. Sea a = cd. Como c es un divisor propio de a, no se puede dividir c por a. Entonces, usando la propiedad de división, obtenemos que c = qa + r, g(r) < g(a). De aquí r = c aq = c(1 dq). Entonces g(c) g(r) < g(a). Teorema 3.6. Sea R un anillo euclídeo y 0 a R. Entonces, existe una única descomposicción de a como un producto de elementos primos: a = p 1 p r (Única en el siguiente sentido: si existen dos descomposiciones p 1 p n = q 1 q m, entonces m = n y existe una permutación σ de {1,, n} tal que p i y q σ(i) son asociados para todo i). Demostración. La existencia de la descomposición de a se demuestra por inducción sobre g(a). La unicidad se sigue del Corolario 3.4.

5 3. ANILLOS DE POLINOMIOS Anillos de polinomios Definición 3.4. Sea R un anillo y P = a n x n +a n 1 x n 1 + +a 0 con a n 0. Diremos que P tiene grado n y escribiremos grp = n. Si P = 0 escribiremos formalmente gr P =. Lema 3.7. Si R es un dominio de integridad, R[x] también lo es. Además si P, Q R[x] 1. gr(p + Q) máx(grp, grq), 2. gr(pq) = grp + grq. Demostración. Las propiedades 1 y 2 se siguen fácilmente de la definición de grado. Por otra parte, si R[x] no fuera un dominio de integridad, entonces existirían P y Q (R[x]) tales que PQ = 0 y esto contradice a 2. Lema 3.8. Si K es un cuerpo, K[x] es un dominio euclídeo. Más concretamente, si P y Q K[x] con Q 0, entonces existen dos polinomios C y R tales que P = QC + R con grr < grq. Demostración. Los polinomios C y R, tales que P = QC + R con grr < grq, se obtienen al dividir R por Q. Entonces la función g de la definicíon de anillo euclídeo es igual a g(p) = 2 gr P. Corolario 3.9. Si K es un cuerpo, K[x] es un dominio de ideales principales. Todo polinomio de K[x] se puede descomponer como producto de polinomios irreducibles, además esta descomposición es única salvo el orden de los factores y multiplicación por elementos de K \{0}. Ejemplo 3.1. Sea a K. Entonces el polinomio x a es irreducible, el ideal (x a) es maximal en K[x] y K[x]/(x a) es un cuerpo. Ejercicio 3.3. (Teorema de Ruffini) Sean P K[x] y a K. Entonces P(a) = 0 si y sólo si P (x a) si y sólo si existe Q K[x] tal que P = (x a)q. Lema Sea K un cuerpo y a y b K. Entonces los polinomios x a y x b están asociados en K[x] si y sólo si a = b. Teorema Sea K un cuerpo y P K[x] un polinomio de grado n. Entonces P tiene como máximo n raíces.

6 28 3. DOMINIOS DE FACTORIZACIÓN ÚNICA Ahora fijémonos en los polinomios sobre Z y Q. El primer resultado es un lema de Gauss que, en realidad, puede ser generalizado fácilmente sobre dominios de factorización única. Lema (de Gauss) Sea P un polinomio sobre Z de grado positivo. Si P es irreducible en Z[x] también lo es en Q[x]. Demostración. Supongamos lo contrario, es decir, P = P 1 P 2, donde P 1, P 2 Q[x] son polinomios de grado positivo. Entonces existe un número natural n tal que (1) np = (b l x l +b l 1 x l 1 + +b 0 )(c m x m +c m 1 x m 1 + +c 0 ) con b i, c i Z. Por ejemplo, n puede ser el producto de todos los denominadores que aparecen en los coeficientes de P 1 y P 2. Entre todos los naturales n que cumplen esta propiedad podemos elegir el menor. Supongamos que n es el menor número natural tal que np se descompone en Z[x] como producto de factores de grado positivo. Si n = 1 obtenemos una contradicción y el lema está probado. Supongamos que n > 1 y sea p un divisor primo de n. Entonces considerando la imagen de la igualdad (1) en F p [x], obtenemos la igualdad 0 = P = Q 1 Q2. Como F p [x] es un dominio de integridad, tenemos que Q 1 = 0 ó Q 2 = 0. Supongamos que Q 1 = 0. Entonces para todo i, b i es divisible por p, que contradice la elección de n. Ahora vamos a ver algunos criterios de irreducibilidad. Teorema (Criterio de Eisenstein) Sea P Z[x], P = a n x n + + a 0, con a n 0. Supongamos que existe un número primo p tal que p a j para todo 0 j n 1, p a n y p 2 a 0. Entonces, P es irreducible en Q[x]. Demostración. Por el Lema de Gauss hay que demostrar que P es irreducible en Z[x]. Supongamos que P = P 1 P 2. Considerando la imagen de P en R = F p [x] vemos que P = ā n x n. Como R es un dominio de factorización única, obtenemos que P 1 = αx m y P 2 = βx k con k+m = n. Entonces, los coeficientes de grado cero de P 1 y P 2, b 0 y c 0, son divisibles por p y a 0 = b 0 c 0 es divisible por p 2 lo que contradice las condiciones del teorema.

7 4. EJERCICIOS III 29 Ejemplo 3.2. El polinomio ciclotómico P = x p , p primo, es irreducible. Basta aplicar el criterio de Eisenstein para el polinomio Q = P(x + 1) Teorema Sea P Z[x] un polinomio mónico y P F p [x] el polinomio que resulta al reducir los coeficientes módulo p. Si P es irreducible en F p [x], entonces P es irreducible en Q[x]. Demostración. Si P = Q 1 Q 2 sobre Z, entonces P = Q 1 Q2. Por lo tanto, si P es irreducible en F p [x] entonces P es irreducible en Z[x]. Aplicando ahora el Lema de Gauss, obtenemos que P es irreducible en Q[x]. 4. Ejercicios III Ejercicio 3.4. Encontrar el inverso de Z en Z/81Z. Ejercicio 3.5. Encontrar elementos irreducibles de Z[i]. Ejercicio 3.6. Hallar el inverso multiplicativo de 5 en Z/21Z usando el algoritmo de Euclides. Ejercicio 3.7. Decidir si Z[ 2] es un dominio de factorización única. Ejercicio 3.8. Decidir si Z[ 6] es un dominio de factorización única. Ejercicio 3.9. Descomponer 10 en producto de irreducibles dentro de Z[ 2]. Ejercicio Sea R un subanillo de Q con 1 R. Demostrar que R es dominio de ideales principales. Ejercicio (*) Decidir si Z[ 6] es un dominio de factorización única. Ejercicio (*) 1. Sean R un dominio de ideales principales e {I i i N} una familia de ideales de R. Suponemos que I i I i+1 para todo i N. Demostrar que existe n N tal que I k = I n para todo k n. (Ayuda: considerar el ideal I = i N I i y ver que existe n N tal que I n = I.) 2. Usando el resultado anterior demostrar que cualquier dominio de ideales principales es un dominio de factorización única.

8 30 3. DOMINIOS DE FACTORIZACIÓN ÚNICA Ejercicio Decidir si los siguientes polinomios son reducibles en Q: x 4 + 3x + 6, x 4 + 1, x x , x 4 x 3 x 1. Ejercicio Encontrar todos los ideales de los siguientes anillos: Q[x]/(x 3 1), R[x]/(x 3 1), C[x]/(x 3 1), F 3 [x]/(x 3 1), F 5 [x]/(x 3 1). Ejercicio Hallar el máximo común divisor de P = x 4 +6x x x + 3 y Q = x 4 + 5x 3 + 9x 2 + 8x + 2 y escribirlo en la forma AP + BQ. Ejercicio Sea I un ideal de F 2 [x] generado por x 3 + x + 1. Demostrar que F = F 2 [x]/i es un cuerpo finito y enumerar sus elementos. Hallar el inverso en F del elemento x 2 +x+1+i. Comprobar que el grupo multiplicativo de F es cíclico. Ejercicio Consideramos el anillo R = Q[x]/(p(x)) con p(x) = (x 2 + 1)(x 4 + 2x + 2). 1. Describir los ideales en R. 2. Decidir justificablemente si x y x + 1 son divisores de cero en R. 3. Decidir si x y x + 1 son elementos invertibles en R y, en caso afirmativo, encontrar sus inversos. 4. Construir un isomorfismo entre los cuerpos Q[x]/(x 4 2) y Q(i 4 2). Ejercicio Consideramos los anillos F 1 = Q[x]/(p(x)) y F 2 = Q(i)[x]/(p(x)), siendo p(x) = x a. Decidir justificablemente si F 1 y F 2 son cuerpos o no. b. Decidir si x 3 5 es un elemento invertible en F 2 y, en caso afirmativo, encontrar su inverso. Ejercicio Hallar un generador del ideal I = (x 3 + 1, x 2 + 1) en F 2 [x]. Ejercicio Hallar un generador del grupo multiplicativo del cuerpo F = F 3 [x]/(x 2 + 1) y expresar todo elemento de F como potencia de dicho generador. Ejercicio Construir cuerpos finitos con 16, 25 y 27 elementos.

9 4. EJERCICIOS III 31 Ejercicio Sea K C un subcuerpo de C y σ: K C un homomorfismo de cuerpos. Demostrar que si u K es raíz de un polinomio P Q[x], entonces σ(u) es raíz del mismo polinomio. Teniendo en cuenta este resultado, hallar todos los automorfismos de Q[i] y Q[ 3 2].