Notaciones y Pre-requisitos

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1 Notaciones y Pre-requisitos Símbolo Significado N Conjunto de los números naturales. Z Conjunto de los números enteros. Q Conjunto de los números enteros. R Conjunto de los números enteros. C Conjunto de los números enteros. A[x] Conjunto de polinomios (en una variable) con coeficientes en el anillo A. MCD(a 1,..., ) Máximo común divisor de los números a 1,..., En este documento, se considera que 0 es un número natural, es decir: 0 N. Los conceptos polinomio y función polinomial no son sinónimos. En rigor, un polinomio es un ente que no conoce de evaluación, pero pueden ser sumados y multiplicados entre sí, es posible determinar su grado, su coeficiente dominante, etc. Una función polinomial puede ser evaluada en cualquier elemento del anillo donde están definidos sus coeficientes, o incluso en algunas extensiones de estos anillos. Un teorema técnico es que existe una única evaluación (bien definida) de polinomios. Sin embargo, existen los abusos de lenguaje, por ejemplo la confusión de estos conceptos. En la literatura, es usual escribir los polinomios como f(x), g(x), h(x), p(x), q(x), r(x), etc. cuando son estudiados como entes algebraicos (sin interés en su evaluación, como función polinomial). La letra X es mayúscula, pero su rol no es relevante (por ejemplo, es posible cambiarla por Y, Z, T, X 1, etc.). En este documento son estudiados los polinomios y funciones polinomiales en una indeterminada : dicha indeterminada es X. Sin embargo, en este texto es común comparar polinomios con funciones polinomiales, usando de preferencia la letra x (minúscula). Es común denotar la variable de las funciones polinomiales como x (o bien t) cuando los coeficientes, el dominio y la imagen están contenidos en R. Es común denotarla como z cuando los coeficientes, el dominio y la imagen están contenidos en C, pero en este documento siempre será usada la letra x (minúscula), independiente del cuerpo que contenga a los coeficientes, al dominio y a la imagen. Es conveniente saber previamente qué es un polinomio y cómo se hacen operaciones. Algunos conocimientos sobre teoría de anillos y análisis complejo son útiles, aunque no estrictamente necesarios. En particular: si (A, +, ) es un anillo, entonces (A[x], +, ) es un anillo. Si (K, +, ) es un cuero, entonces (K[x], +, ) es un dominio de integridad. Más aún, veremos que es un dominio euclidiano.

2 1. Algoritmo de la división de polinomios 1.1. Algoritmo de la división de números enteros En el conjunto de los números enteros existe la relación de divisibilidad : si a y b son números enteros, se dice que a es divisible por b si existe un número entero c tal que a = bc. Suponga que los números a y b son enteros positivos, y defina los conjuntos: I a = {0, 1,..., a} (números naturales menores o iguales que a) M b = {bc; c 0, c número entero} (números naturales divisibles por b) El conjunto I a es finito, y 0 pertenece al conjunto I a M b, entonces este conjunto es finito y no vacío. Por lo tanto, posee un mayor elemento: m. Este número es divisible por b, entonces existe un número entero q tal que m = qb. Además, qb = m a, entonces existe un número entero r 0 tal que a = qb + r. Suponga que r b. Entonces existe un número entero s 0 tal que r = b+s. Entonces el número m = qb+b cumple las siguientes propiedades: m I a (en efecto: 0 m qb + r = a), m M b (dado que m = (q + 1) b), m > m Esto contradice la definición de m como el mayor elemento de I a M b. Por lo tanto, 0 r < b. Las ideas desarrolladas hasta aquí son la demostración incompleta del siguiente resultado: Algoritmo de la división de números enteros (ADNE): Sean a y b números enteros, con b 0. Existe un único par (q, r) de números enteros tales que: a = qb + r (P1), 0 r < b (P2) De este modo, el ADNE también es válido cuando b < 0. Por ejemplo, al par (a, b) = (11, 3) corresponde el par (q, r) = (4, 1), porque 11 = 4 ( 3) + 1 y 0 1 < 3. La demostración está incompleta, porque en ella se supuso que a y b son números positivos, y porque no se ha demostrado la unicidad del par (q, r). El lector interesado puede completar esta demostración Motivación Si (K, +, ) es un cuerpo 1, se define K[x] como el conjunto de todos los polinomios con coeficientes en K. La adición y multiplicación en K inducen 2 una adición y multiplicación en K[x], y la estructura resultante: (K[x], +, ) es un dominio de integridad 3. El anillo (Z, +, ) también es un dominio de integridad, en el cual vale el ADNE. Es válido preguntar lo siguiente: Existe en (K[x], +, ) un teorema análogo al ADNE? Para responder esta pregunta, sean f(x) y p(x) polinomios con coeficientes en K, con p(x) 0. Existen muchos pares (q(x), r(x)) de polinomios con coeficientes en K tales que f(x) = q(x) p(x) + r(x) (propiedad análoga a (P1)). De hecho, para cada 1 Por ejemplo, K = Q, o bien K = R, o bien K = C, provistos de la adición y multiplicación usuales. Si el lector no está familiarizado con este concepto, puede considerar Q, o bien R, o bien C, en vez de K. 2 Coloquialmente, se está afirmando lo siguiente: si uno sabe hacer operaciones (adiciones y multiplicaciones) con números (con elementos de un anillo), entonces uno sabe hacer estas operaciones con polinomios. 3 Un dominio de integridad es un anillo conmutativo (D, +, ) con unidad (elemento neutro para la operación ) y sin divisores de 0, es decir: si a, b D tales que a b = 0, entonces a = 0 o bien b = 0.

3 polinomio q(x), basta definir r(x) = f(x) q(x) p(x). Mas el teorema análogo al ADNE debería establecer existencia y unicidad del par (q(x), r(x)) con una propiedad análoga a (P2). Esta propiedad análoga debe comparar r(x) con p(x), pero esto no se puede hacer directamente ni por medio del valor absoluto, porque expresiones del tipo q(x) < p(x) no tienen sentido 4. Para comparar dos polinomios: p 1 (x), p 2 (x) K[x], una posibilidad es definir una función δ : K[x] N, y comparar δ(p 1 (x)) con δ(p 2 (x)) (esta función tendrá el mismo rol que el valor absoluto del ADNE). Es posible comparar dos polinomios no nulos por su grado 5, es decir, considerar la función deg : (K[x] {0}) N, y formular la propiedad análoga a (P2) de la siguiente manera: r(x) = 0, o bien deg(r(x)) < deg(p(x)) Antes de enunciar y demostrar el algoritmo de la división de polinomios, será desarrollado un ejemplo. A partir del par (f(x), p(x)), será presentado un procedimiento para obtener el par (q(x), r(x)) (el cociente y el resto de la división f(x) : p(x)). Sean f(x) = x y p(x) = x 2 + 3x + 1. Para eliminar el monomio de grado 4 de f(x), es posible restar x 2 p(x) a f(x), obteniendo un polinomio de grado menor: f(x) x 2 p(x) = 3x 3 x 2 16 Para eliminar el monomio cúbico de este nuevo polinomio, es posible restar 3x p(x), obteniendo un polinomio de grado menor: f(x) (x 2 3x) p(x) = 8x 2 + 3x 16 Para eliminar el monomio cuadrático de este nuevo polinomio, es posible restar 8p(x), obteniendo un polinomio de grado menor: f(x) (x 2 3x + 8) p(x) = 21x 24 f(x) = (x 2 3x + 8) p(x) + ( 21x 24) Esta es una expresión del tipo f(x) = q(x) p(x) + r(x), con deg(r(x)) < deg(p(x)). Esta expresión es única, de hecho: si f(x) = q 2 (x) p(x) + (ax + b), entonces: (x 2 3x + 8) p(x) + ( 21x 24) = q 2 (x) p(x) + (ax + b) ( (x 2 3x + 8) q 2 (x) ) p(x) = (ax + b) + (21x + 24) Pero deg(p(x)) = 2, entonces (x 2 3x + 8) q 2 (x) = 0. Esto implica que q 2 (x) = x 2 3x + 8, luego ax + b = 21x 24, demostrando la unicidad del par (q(x), r(x)) 1.3. Enunciado y demostración del algoritmo de la división Algoritmo de la división de polinomios: Sean K un cuerpo, y f(x), p(x) K[x] dos polinomios, con p(x) 0. Existe un único par (q(x), r(x)) K[x] K[x] tal que: f(x) = q(x) p(x) + r(x), r(x) = 0, o bien deg(r(x)) < deg(p(x)) 4 No tiene sentido decir que un polinomio es menor que otro, ni calcular el valor absoluto de un polinomio. 5 En inglés, la palabra grado se escribe degree. Por esta razón, la función grado se ha denotado como deg.

4 Demostración de existencia Si f(x) = 0, entonces q(x) = r(x) = 0. En adelante, suponga que f(x) 0. Defina m = deg(f(x)) 0 y n = deg(p(x)) 0. Fijado p(x), sean a 0, a 1,..., K los coeficientes de p(x), es decir: p(x) = n a j x j = x n + j=0 0 j<n a j x j } {{ } p 0(x) con 0. La existencia del par (q(x), r(x)) será demostrada por inducción completa sobre m. Como casos base son considerados todos los polinomios con m n 1, para los cuales (q(x), r(x)) = (0, f(x)). Suponga que el algoritmo de la división es válido para el polinomio nulo y todo polinomio con grado menor o igual que k (es posible suponer que k n 1). Sea ahora f(x) un polinomio de grado k +1, cuyos coeficientes son b 0,..., b k+1 K, es decir: k+1 f(x) = b j x j = b k+1 x k+1 + j=0 0 j k b j x j } {{ } f 0(x) con b k+1 0. Recordando que 0, es posible definir el siguiente polinomio: g(x) = f(x) b k+1 p(x) x k+1 n ( ) g(x) = (b k+1 x k+1 + f 0 (x)) b k+1 ( x n + p 0 (x)) x k+1 n a ( n g(x) = b k+1 x k+1 b ) ( k+1 x n x k+1 n + f 0 (x) b ) k+1 p 0 (x) x k+1 n g(x) = f 0 (x) b k+1 p 0 (x) x k+1 n } {{ } f 1(x) Con respecto a f 0 (x) y f 1 (x) se puede decir lo siguiente: f 0 (x) = 0, o bien deg(f 0 (x)) k, f 1 (x) = 0, o bien deg(f 1 (x)) (n 1) + (k + 1 n) = k, entonces g(x) = 0 o bien deg(g(x)) k. Por hipótesis de inducción, existen polinomios q(x), r(x) con coeficientes en K, tales que: g(x) = q(x) p(x) + r(x), r(x) = 0, o bien deg(r(x)) < deg(p(x)) Reemplazando en la igualdad ( ), se tiene lo siguiente: f(x) = g(x) + b k+1 p(x) x k+1 n f(x) = ( q(x) p(x) + r(x) ) + b k+1 p(x) x k+1 n a ( n f(x) = q(x) + b ) k+1 x k+1 n p(x) + r(x) Además: r(x) = 0, o bien deg(r(x)) < deg(p(x)). Esto termina la demostración por inducción.

5 Demostración de unicidad Suponga que existen polinomios q 1 (x), q 2 (x), r 1 (x), r 2 (x) K[x] con las siguientes propiedades: f(x) = q 1 (x) p(x) + r 1 (x) = q 2 (x) p(x) + r 2 (x) r 1 (x) = 0, o bien deg(r 1 (x)) < deg(p(x)) r 2 (x) = 0, o bien deg(r 2 (x)) < deg(p(x)) A partir de la primera propiedad, se puede concluir lo siguiente: r 1 (x) r 2 (x) = (q 2 (x) q 1 (x)) p(x) Por la segunda y tercera propiedades: r 1 (x) r 2 (x) = 0, o bien deg(r 1 (x) r 2 (x)) < deg(p(x)). Pero p(x) divide a r 1 (x) r 2 (x), entonces r 1 (x) r 2 (x) = 0, por lo tanto r 1 (x) = r 2 (x) y q 1 (x) = q 2 (x) Consecuencias Conservando lotación usada en el algoritmo de la división, suponga que p(x) tiene la forma x a, para algún número a C. Como deg(p(x)) = 1, entonces r(x) = 0, o bien deg(r(x)) = 0. Equivalentemente: r(x) es un polinomio constante. Aprovechando este hecho, es posible determinar r(x) evaluando la igualdad f(x) = q(x) (x a) + r(x) en x = a. Este resultado es el teorema del resto. El teorema del factor (corolario del teorema del resto) relaciona las raíces 6 con los factores lineales de f(x), por lo tanto, es importante para expresar un polinomio como producto de factores lineales (esto será explicado en el próximo capítulo) Teorema del residuo o del resto El resto obtenido al dividir el polinomio f(x) por x a, es r(x) = f(a) Demostración: Por el algoritmo de la división, existen polinomios q(x), r(x) tales que r(x) es constante y f(x) = q(x) (x a) + r(x). Evaluando en x = a se tiene lo siguiente: f(a) = q(a) (a a) +r(a) = r(a) } {{ } 0 Pero r(x) es un polinomio constante, entonces r(x) = r(a) = f(a) Teorema del factor El polinomio x a divide al polinomio f(x), si y sólo si f(a) = 0 Demostración: El polinomio x a divide al polinomio f(x), si y sólo si el resto obtenido al dividir el polinomio f(x) por x a es r(x) = 0 (el polinomio nulo). Por el teorema del resto: r(x) = f(a). 6 Dado un polinomio f(x) K[x], una raíz (o cero) de f(x) es un número a (en el cuerpo K o en una extensión de K) tal que f(a) = 0, es decir: es una solución de la ecuación polinomial f(x) = 0.

6 Ceros racionales de polinomios con coeficientes enteros Sea f(x) un polinomio con coeficientes complejos, y suponga que existe una constante c 1 C {0} tal que c 1 f(x) es un polinomio con coeficientes racionales. Entonces existe una constante C C {0} tal que C f(x) es un polinomio primitivo 7. El procedimiento para encontrar C f(x) es el siguiente: Paso 1: Multiplicar f(x) por c 1. Por ejemplo, si: f(x) = i 15 x i 10 entonces c 1 f(x) = 7 15 x x x i 1, c 1 =, i Paso 2: Multiplicar c 1 f(x) por c 2, un número entero divisible por el denominador de todos los coeficientes del polinomio c 1 f(x). Por ejemplo, c 2 puede ser el producto de todos los denominadores, pero generalmente el mínimo común múltiplo es menor, simplificando las cuentas. Por ejemplo, si: entonces c 2 c 1 f(x) = 14x 3 21x c 1 f(x) = 7 15 x x , c 2 = 30, Paso 3: Dividir c 2 c 1 f(x) por d, igual al contenido 8 de c 2 c 1 f(x). Por ejemplo, si: entonces C f(x) = c 2c 1 d c 2 c 1 f(x) = 14x 3 21x + 315, d = 7, f(x) = 2x3 3x + 45 es un polinomio primitivo. En el caso general, las ecuaciones f(x) = 0 y c f(x) = 0 son equivalentes, es decir, tienen el mismo conjunto de soluciones (considere f : C C como una función polinomial, y c C como una constante, c 0). Además, los siguientes problemas son equivalentes 9 : Factorar 10 el polinomio f(x). Factorar el polinomio c f(x). Por lo tanto, es posible suponer (sin perder generalidad) que f(x) es un polinomio primitivo. En estas condiciones, es verdadero el siguiente teorema: Teorema: Considere la siguiente ecuación polinomial: f(x) = x n a 1 x + a 0 = 0, donde f(x) es un polinomio primitivo. Si un número racional r = p (expresado como fracción irreducible, q es decir: MCD(p, q) = 1) es una solución de esta ecuación, es decir: f(r) = 0, entonces a 0 es divisible por p y es divisible por q. 7 Sea f(x) un polinomio con coeficientes enteros. El contenido de f(x) es el máximo común divisor (MCD) de sus coeficientes. Se dice que f(x) es primitivo si su contenido es igual a 1. 8 Este concepto fue definido al pie de la página anterior. 9 Coloquialmente: si uno sabe resolver el primer problema, entonces sabe resolver el segundo, y viceversa. 10 Factorar es expresar como producto de dos o más factores. No es necesario que la factoración sea completa. Por ejemplo, x (x 2 1) es una factoración del polinomio x 3 x, pero no es completa, porque x 2 1 = (x 1)(x + 1)

7 Demostración: Considerando que f(r) = 0, se tiene lo siguiente: ( ) n p + 1 q ( ) n 1 p a 1 p q q + a 0 = 0 p n + 1 p n 1 q a 1 pq n 1 + a 0 q n = 0, entonces a 0 q n es divisible por p y p n es divisible por q. Recordando que MCD(p, q) = 1, se concluye que a 0 es divisible por p y es divisible por q. Este teorema es verdadero para cualquier polinomio f(x) con coeficientes enteros, no necesariamente primitivo (si el lector no ha entendido, puede revisar la demostración, cambiando la hipótesis f(x) es un polinomio primitivo por f(x) es un polinomio con coeficientes enteros ). Se ha incluído la hipótesis de que f(x) sea un polinomio primitivo, para que el conjunto de posibles raíces racionales no sea más grande de lo necesario. Por ejemplo, las siguientes ecuaciones son equivalentes: 360x x 720 = 0, x 3 3x 2 = 0, El teorema aplicado al primer polinomio sólo permite reducir las posibles raíces racionales a 105 candidatos (un número muy grande). Sin embargo, el teorema aplicado al segundo polinomio establece que el conjunto de posibles raíces racionales es { 2, 1, 1, 2}. Evaluando los polinomios en estos números, se tiene que: ( 1) 3 3 ( 1) 2 = 0, = 0, entonces x+1 y x 2 son factores de x 3 3x 2. Ahora es posible concluir que x 3 3x 2 = (x+1) 2 (x 2)

8 2.1. Motivación 2. Teorema Fundamental del Álgebra (TFA) Sea f(x) un polinomio. El teorema del factor establece una relación entre los ceros y los factores lineales de f(x). Por lo tanto, el conocimiento de algunos ceros de f(x) (eventualmente, todos los ceros) entrega información sobre la factorización (eventualmente, en factores lineales) de f(x). Si f(x) es un polinomio con coeficientes complejos y grado n 1, es posible plantear la siguiente pregunta: Existe una raíz compleja para este polinomio? En caso afirmativo, sea a C dicha raíz, entonces existe un polinomio q(x) con coeficientes complejos y grado n 1, tal que f(x) = (x a) q(x). Si n 2, entonces es posible plantear la misma pregunta para q(x). Como n es un número finito, la repetición de este procedimiento permite obtener factores lineales de f(x), hasta llegar a una de las siguientes situaciones: Expresar f(x) como producto de n factores lineales. Obtener un factor de f(x), cuyo grado es mayor o igual que 2 y que no posee factores lineales. Es posible llegar a la segunda situación, si sólo son admitidos polinomios con coeficientes reales (por ejemplo, considere f(x) = x 2 + 1). Sin embargo, esto no es posible para polinomios con coeficientes complejos, de acuerdo con el siguiente teorema: 2.2. Enunciado del TFA Teorema Fundamental de la Aritmética (TFA): Toda polinomio no constante con coeficientes complejos admite una raíz compleja. El TFA puede ser enunciado en lenguaje algebraico como sigue: El cuerpo de los números complejos es algebraicamente cerrado. El lector interesado en una demostración puede revisar un libro de análisis complejo (es posible demostrar el TFA por contradicción y usando el teorema de Liouville) o los libros Espaços Métricos (en portugués, escrito por Elon Lima) e Introducción al Álgebra (A. I. Kostrikin, quien presenta una demostración totalmente algebraica, excepto por un par de lemas no algebraicos). La primera demostración rigurosa se debe a Gauss (1799). En cualquier caso, estas demostraciones son demasiado técnicas, y por esta razón no son presentadas aquí. Como fue comentado antes, es posible usar el TFA para cada factor de f(x) con grado mayor que 1. Si a es el coeficiente dominante 11 de f(x), entonces este polinomio es el producto entre a y n factores lineales mónicos 12, como es indicado en el siguiente corolario: Corolario: Sea f(x) C[x] un polinomio con grado n 1, y sea a C {0} su coeficiente dominante. Entonces existen números x 1, x 2..., x n C (no necesariamente distintos) tales que: f(x) = a(x x 1 )(x x 2 )...(x x n ) Esta descomposición en factores es única, salvo por el orden de los factores (usualmente, después de obtener esta descomposición son agrupados los factores lineales repetidos) Demostración (por inducción sobre n): Par = 1, se tiene lo siguiente: ( f(x) = ax + b = a x b ) a 11 Si f(x) es un polinomio no nulo, se define el coeficiente dominante de f(x) como el coeficiente del monomio de grado deg(f(x)) presente en f(x) 12 Se dice que un polinomio es mónico si su coeficiente dominante es 1.

9 Suponga que el corolario es verdadero para todos los polinomios con coeficientes complejos y grado n, y sea f(x) C[x] un polinomio con grado n + 1. Por el TFA, existe una raíz x n+1 C de f(x). Por el teorema del factor, existe un polinomio p(x) C[x] con grado n, tal que f(x) = (x a) p(x). El coeficiente dominante de f(x) es igual al coeficiente de p(x); por hipótesis de inducción: p(x) = a(x x 1 )(x x 2 )...(x x n ) f(x) = a(x x 1 )(x x 2 )...(x x n )(x x n+1 ) Este teorema es muy similar al Teorema Fundamental de la Aritmética, que puede ser enunciado como sigue: si n es un número entero, con n 2, entonces existen u { 1, 1} y números primos p 1,..., p r tales que n = u p 1... p r. La elección de u es única y la elección de p 1,..., p r es única, excepto por el orden de los factores. La demostración puede ser reducida al conjunto de números n 2 y se puede usar la misma idea: cada vez que se obtenga un factor compuesto de n, éste debe ser descompuesto como producto de dos números mayores que Consecuencias Fórmulas de Vieta Ceros complejos de polinomios con coeficientes reales, teorema recíproco 2.4. Teorema del valor intermedio

10 2.5. Ecuaciones polinomiales especiales Ecuación lineal Una ecuación lineal tiene la siguiente forma, donde a, b C y a 0: ax + b = 0 Actualmente, la resolución de este tipo de ecuaciones es contenido mínimo obligatorio de 7 y 8 año de enseñanza básica. La única solución de esta ecuación es x = b a Raíces de índice n Ecuación cuadrática Una ecuación cuadrática tiene la siguiente forma, donde a, b, c C y a 0: ax 2 + bx + c = 0 Actualmente, la resolución de este tipo de ecuaciones (cuando a, b, c R) es contenido mínimo obligatorio de 3 año de enseñanza media. Cuando a, b, c C, es posible usar la técnica de completación de cuadrados : ax 2 + bx + c = 0 4a 2 x 2 + 4abx + 4ac = 0 4a 2 x 2 + 4abx = 4ac (2ax) (2ax) b = 4ac ( ) La fórmula del cuadrado del binomio es: (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2. Reemplazando A = 2ax, B = b, se tiene la siguiente igualdad: (2ax + b) 2 = (2ax) (2ax) b + b 2 Considerando esta igualdad, sumando b 2 a ambos lados de la igualdad ( ) se obtiene un cuadrado de binomio (en el lado izquierdo de la igualdad ( )): (2ax) (2ax) b = 4ac (2ax) (2ax) b + b 2 = b 2 4ac (2ax + b) 2 = b 2 4ac La ecuación puede ser resuelta aplicando los resultados anteriores. A continuación será estudiado el caso en que a, b, c R, y para esto será definido el discriminante de la ecuación cuadrática como = b 2 4ac. Existen tres casos: Caso 1: < 0: La ecuación tiene dos soluciones distintas, complejas conjugadas (no reales): x 1 = b i, x 2 = b + i 2a 2a Caso 2: = 0: La ecuación tiene una solución real, que es b 2a Caso 3: > 0: La ecuación tiene dos soluciones reales distintas: y tiene multiplicidad 2. x 1 = b, x 2 = b + 2a 2a

11 Ecuaciones de grado 3 (cúbica) y 4 Una ecuación de grado 3 (ecuación cúbica) tiene la siguiente forma, donde a, b, c, d C y a 0: ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 Una ecuación de grado 4 tiene la siguiente forma, donde a, b, c, d, e C y a 0: a x 4 + b x 3 + c x 2 + d x + e = 0 En general, estas ecuaciones no son fáciles de resolver. Sin embargo, este problema es resuelto por las fórmulas de Cardano 13. Para usar esta fórmula, se debe dividir por a y luego hacer los siguients cambios de variables: Ecuación cúbica: t = x + b, obteniendo la siguiente ecuación, donde los coeficientes p, q C dependen 3a de los coeficientes a, b, c, d de la ecuación original: t 3 + pt + q = 0 Ecuación de grado 4: t = x + b 4a, obteniendo la siguiente ecuación, donde los coeficientes p, q, r C dependen de los coeficientes a, b, c, d de la ecuación original: t 4 + p t 2 + q t + r = 0 Las fórmulas de Cardano son aplicadas para resolver estas ecuaciones. Para cada solución obtenida, es posible obtener una solución de la ecuación (cúbica o de grado 4) original Ecuación de grado mayor o igual que 5 Las fórmulas de Cardano motivaron a algunas personas (durante muchos años) para estudiar ecuaciones polinomiales con grado mayor o igual que 5, es decir, ecuaciones de la siguiente forma: x n a 1 x + a 0 = 0, n 5, a 0, a 1,..., C, 0 En particular, querían resolver esta ecuación por radicales 14. Sin embargo, sólo en algunos casos conseguían este tipo de resolución. N. H. Abel, un matemático noruego ( ), demostró en 1827 que no siempre es posible resolver una ecuación polinomial por radicales. E. Galois ( ) formuló en 1831 un criterio universal para decidir cuándo era posible hacerlo. Para esto, tuvo que establecer una relación entre subextensiones de cuerpos y subgrupos (la formulación exacta del teorema fundamental de la teoría de Galois y del criterio universal antes citado no están entre los objetivo de este artículo) Algunas palabras sobre el caso general 13 A pesar de llevar el nombre de Cardano, se cree que el método para resolver ecuaciones de grado 3 y 4 fue descubierto por Tartaglia, quien quiso conservarlo en secreto. Cardano descubrió este secreto de Tartaglia y lo difundió como propio. 14 Esto significa encontrar una fórmula para las soluciones de la ecuación, en función de los coeficientes, usando las operaciones de cuerpo (adición, substracción, multiplicación y división) y extracción de raíces de cualquier índice.

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