Apuntes de Matemática Discreta 11. Teorema Fundamental de la Aritmética

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1 Apuntes de Matemática Discreta 11. Teorema Fundamental de la Aritmética Francisco José González Gutiérrez Cádiz, Octubre de 2004

2 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas ii

3 Lección 11 Teorema Fundamental de la Aritmética Contenido 11.1 Números Primos Definición Números Primos entre sí Proposición Teorema Criba de Eratóstenes Teorema Teorema Fundamental de la Aritmética Lema de Euclides Corolario Corolario Teorema Fundamental de la Aritmética Corolario Divisores de un Número Criterio General de Divisibilidad Obtención de todos los Divisores de un Número Número de Divisores de un Número Compuesto Suma de los Divisores de un Número Compuesto Método para el Cálculo del Máximo Común Divisor el Mínimo Común Múltiplo Lema Teorema Teorema El concepto de número primo se remonta a la antigüedad. Los griegos poseían dicho concepto, así como una larga lista de teoremas propiedades relacionados con él. Los cuatro ejemplos siguientes aparecen en los Elementos de Euclides: Todo entero positivo distinto de 1 es un producto de números primos. Teorema fundamental de la Aritmética: Todo entero positivo puede descomponerse de manera única como un producto de números primos. Existen infinitos números primos. 315

4 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas Podemos obtener una lista de los números primos por medio del método conocido como la Criba de Eratóstenes Números Primos Observemos que si a es cualquier número entero maor que 1, entonces a = a 1, con 1 Z, es decir, a es un divisor de a. a = 1 a, con a Z, es decir, 1 es un divisor de a. luego todo número entero a > 1 tiene, al menos, dos divisores, el 1 el propio a Definición Diremos que el número entero p > 1 es un número primo si los únicos divisores positivos que tiene son 1 p. Si un número entero no es primo, lo llamaremos compuesto. En el conjunto de los diez primeros números enteros positivos son primos 2, 3, 5 7, siendo compuestos 4, 6, 8, Nota 11.1 Obsérvese que de la definición de número primo se sigue que p es primo si, sólo si es imposible escribir p = ab con a, b Z 1 < a, b < p Números Primos entre sí Dados dos números enteros a b, diremos que son primos entre sí, cuando el máximo común divisor de ambos sea 1. La definición anterior admite generalización a una familia de números enteros a 1, a 2,..., a n. números serán primos entre sí, cuando Dichos m.c.d.(a 1, a 2,......, a n ) = 1 Ejemplo 11.1 sí. Demostrar que cualquiera que sea n Z, los números 3n n + 7 son primos entre Observemos lo siguiente: 2(3n + 11) + ( 3)(2n + 7) = 6n n 21 = 1 luego por el corolario??, se sigue que m.c.d. (3n + 11, 2n + 7) = 1 316

5 Matemática Discreta Francisco José González Gutiérrez Veamos otra forma de probar lo mismo. Si d = m.c.d.(3n + 11, 2n + 7), entonces d 3n + 11 = d 2(3n + 11) 3(2n + 7) d 2n + 7 = d 6n n 21 = d 1 Por lo tanto, ambos números son primos entre sí. d>0 = d = Proposición Todo número compuesto posee, al menos, un divisor primo. Demostración Probaremos que Si un número entero a es compuesto, entonces tiene, al menos, un divisor primo Lo haremos por contradicción, es decir supondremos que la proposición anterior es falsa o lo que es igual que su negación es verdadera, o sea, El número entero a es compuesto, sin embargo, no tiene divisores primos. Entonces, el conjunto es no vacío a que, al menos, a C. C = { n Z + : n 2, compuesto sin divisores primos } Pues bien, como C es un subconjunto no vacío de Z +, por el principio de buena ordenación tendrá un primer elemento m. Entonces, m C = = m es compuesto m no tiene divisores primos m 1 : m 1 1, m 1 m m 1 m m 1 no es primo = m 1, compuesto m 1 m 1 < m 1 < m. Ahora bien, si m 1 no tuviera divisores primos, entonces m 1 C siendo m 1 < m, lo cual es imposible a que m es el mínimo de C, por lo tanto m 1 ha de tener, al menos, un divisor primo p. Pero } p m 1 = p m m 1 m es decir m tiene un divisor primo lo cual es una contradicción a que m C, es decir no tiene divisores primos. Consecuentemente, la suposición hecha es falsa,, por lo tanto, si un número es compuesto, entonces ha de tener, al menos, un divisor primo. Euclides demostró en el libro IX de los Elementos que existían infinitos números primos. La argumentación que utilizó ha sido considerada desde siempre como un modelo de elegancia matemática. 317

6 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas Teorema Existen infinitos números primos. Demostración Supongamos lo contrario, es decir la cantidad de números primos existente es finita, pongamos, por ejemplo, que sólo ha números primos, p 1, p 2,......, p. Pues bien, sea m el producto de todos ellos más 1, es decir, Entonces, m = p 1 p 2 p + 1 m p i, i = 1, 2,..., es decir es distinto de todos los primos que existen, luego no puede ser primo, de aquí que sea compuesto, por el teorema anterior, tendrá, al menos, un divisor primo que tendrá que ser uno de los existentes, o sea, existe p j con j {1, 2,......, } tal que como entonces dividirá a la diferencia de ambos, luego, p j m p j p 1 p 2 p p j m p 1 p 2 p p j 1 de aquí que p j = 1 ó p j = 1 esto es imposible a que p j es primo. De la contradicción a la que hemos llegado, se sigue que la suposición hecha es falsa, por tanto, existen infinitos números primos. Nota 11.2 Directamente de la demostración del teorema anterior, puede deducirse que si p 1, p 2,......, p n son los n primeros números primos, entonces el siguiente, p n+1, ha de ser, a lo sumo, igual al producto de los anteriores más 1, es decir, p n+1 (p 1 p 2 p n ) + 1 En efecto, sea Si m es primo, entonces p n < m, por tanto, m = p 1 p 2 p n + 1 p n+1 m Si m no es primo, entonces es compuesto siendo sus factores primos diferentes de los p 1, p 2,..., p n, a que como hemos visto en la demostración del teorema, ninguno de los p i, 1 i n, puede dividir a m. Supongamos que m 1 es el menor factor primo de m, entonces p n < m 1. En efecto, si p n fuese maor o igual que m 1, entonces m 1 p n = j {1, 2,......, n} : m 1 = p j = p j m lo cual, hemos visto, es imposible, por tanto, p n < m 1 de aquí que p n+1 m 1 < m 318

7 Matemática Discreta Francisco José González Gutiérrez Ejemplo 11.2 por 10. Demostrar que si p 5 es un número primo impar, entonces p 2 1 ó p es divisible Por el teorema de existencia unicidad del cociente resto, existen q r, enteros únicos tales que p = 5q + r, con 0 r < 5 como p es primo, r no puede ser cero, luego p = 5q + r, con r = 1, 2, 3 ó 4 Además, por hipótesis p es impar. Entonces, p es impar = p + 1 es par = 2 p + 1 Antes que nada probaremos que En efecto, Pues bien, r es impar q es par r es impar r + 1 es par 2 r p 5q p+1 2 5q 2 q q es par Si r es impar, entonces q es par. Tomando q = 2q 1 con q 1 Z +, tendremos } p 2 = 25q qr + r 2 = p 2 = 100q q 1 r + r 2 q = 2q 1 habrá dos opciones, r = 1 ó r = 3. Entonces, } r = 1 = 10 p p 2 r 2 ó r = 3 10 p 2 r 2 } = p 2 r 2 = 10(10q q 1 r) = 10 p 2 r 2 = 10 p = 10 p = 10 p Si r es par, entonces q ha de ser impar. Tomando q = 2q con q 1 entero no negativo. } p 2 = 25q qr + r 2 = p 2 = 100q q q 1 r + 10r + r 2 q = 2q = p 2 r 2 25 = 10(10q q 1 + 2q 1 r + r) = 10 p 2 r

8 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas habrá dos opciones, r = 2 ó r = 4. Entonces, } r = 2 = 10 p p 2 r = 10 p = 10 p ó r = 4 10 p 2 r 2 25 } = 10 p = 10 p = 10 p 2 1 luego en cualquier caso p 2 1 ó p es divisible por 10. Ejemplo 11.3 Demostrar: (a) El cuadrado de todo número entero es de la forma 4 ó (b) Si p n es el n ésimo número primo, entonces ningún entero de la forma P n = (p 1 p 2 p n ) + 1 es un cuadrado. (a) En efecto, por el teorema de existencia unicidad de cociente resto (??), cualquier número entero n puede escribirse en la forma n = 4q + r, con 0 r < 4 de aquí que n 2 = 16q 2 + 8q + r 2 = 4(4q 2 + 2q) + r 2 = 4 + r 2, con Z ahora pueden ocurrir cuatro casos: } r = 0 = n 2 = 4 n 2 = 4 + r 2 ó r = 1 n 2 = 4 + r 2 ó r = 2 n 2 = 4 + r 2 ó r = 3 n 2 = 4 + r 2 } } } = n 2 = = n 2 = = n 2 = 4( + 1) = n 2 = 4 1, con 1 Z = n 2 = = n 2 = 4( + 2) + 1 = n 2 = , con 1 Z luego en cualquier caso n 2 puede escribirse en la forma 4 ó (b) Los p i, para 1 i n, son números primos, luego todos, excepto p 1, que es 2, son impares de aquí que el producto p 2 p 3 p n sea impar. Por el teorema de existencia unicidad de cociente resto se podrá escribir en la forma p 2 p 3 p n = 4q + r, con 0 r < 4 como ha de ser impar, r sólo puede ser 1 ó 3. Pues bien, 320

9 Matemática Discreta Francisco José González Gutiérrez Si r = 1, entonces Si r = 3, entonces p 2 p 3 p n = 4q + 1 = p 1 p 2 p 3 p n + 1 = 2(4q + 1) + 1 = P n = 8q + 3 = P n = 4(2q) + 3 p 2 p 3 p n = 4q + 3 = p 1 p 2 p 3 p n + 1 = 2(4q + 3) + 1 = P n = 8q + 7 = P n = 4(2q + 1) + 3 luego en cualquier caso, P n es de la forma 4 + 3, con entero. Por lo tanto, según el apartado (a), no es un cuadrado. Ejemplo 11.4 En Z + definimos la siguiente relación: Estudiar las propiedades de la relación. arb a b son primos entre sí 1. Reflexiva. Dado cualquier a Z +, se verifica que luego R no es reflexiva. m.c.d. (a, a) = a 2. Simétrica. Sean a b dos números enteros positivos cualesquiera, entonces luego R es simétrica. arb a b son primos entre sí m.c.d.(a, b) = 1 b a son primos entre sí m.c.d.(b, a) = 1 bra 3. Transitiva. Dados tres enteros positivos cualesquiera a, b c,si a b son primos entre sí b c también lo son, a c no tienen porque serlo. En efecto, sin embargo, 4 5 son primos entre sí. 5 8 son primos entre sí. m.c.d. (4, 8) = 4 luego 4 8 no son primos entre sí R no tiene la propiedad transitiva. Ejemplo 11.5 Estúdiese 321

10 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas (a) si los números 2p 4p + 3 son primos entre sí, cualquiera que sea p entero. (b) idem para los números 2p + 1 3p + 2. (a) En efecto, sea d = m.c.d.(2p, 4p + 3). Entonces, d 2p = d ( 2)2p = d 4p d 4p + 3 luego no son primos entre sí. = d 4p + 4p + 3 = d 3 = d = 3 (b) Sea d = m.c.d. (2p + 1, 3p + 2). Entonces, d 2p + 1 = d ( 3)(2p + 1) = d 6p 3 d 3p + 2 = d 2(3p + 2) = d 6p + 4 = d 6p 3 + 6p + 4 = d 1 luego, m.c.d. (2p + 1, 3p + 2) = 1 es decir, son primos entre sí. Ejemplo 11.6 Demostrar que todo número primo maor que 3 puede escribirse en la forma (a) 4q + 1 ó 4q + 3 para algún q Z +. (b) 6q + 1 ó 6q + 5 para algún q Z +. Sea p > 3 un número primo. (a) Por el teorema de existencia unicidad de cociente resto, existen q r tales que p = 4q + r : 0 r < 4 Si r = 0 ó r = 2, entonces p sería divisible por 2 no sería primo, luego r ha de ser 1 ó 3, consecuentemente, p = 4q + 1 ó p = 4q + 3 (b) Al igual que en el apartado (a), p = 6q + r : 0 r < 6 si r = 0 ó r = 2 ó r = 4, entonces p sería divisible por 2 si r = 3 sería divisible por 3, luego r ha de ser 1 ó 5, de aquí que p = 6q + 1 ó p = 6q

11 Matemática Discreta Francisco José González Gutiérrez 11.2 Criba de Eratóstenes Una vez conocida la existencia de infinitos números primos, se plantea un nuevo problema cual es la forma en que dichos números están distribuidos en el conjunto de los números naturales. Este problema es complicado se conocen sólo resultados parciales. Un primer método para resolver esta cuestión fue establecido en el siglo III a.c. por Eratóstenes 1 ; recibe el nombre de Criba de Eratóstenes en honor a su autor es consecuencia del siguiente teorema cua primera demostración rigurosa se debe a Fermat Teorema Si un número entero maor que 1 no tiene divisores primos menores o iguales que su raíz, entonces es primo. Demostración Sea p entero estrictamente maor que 1. Utilizamos el método de demostración por la contrarrecíproca, es decir veremos que si p no es primo, entonces existe, al menos, un divisor primo de p menor o igual que su raíz. En efecto, si p no es primo, entonces es compuesto por la proposición tendrá, al menos, un divisor primo a. Veamos que es menor o igual que la raíz de p. En efecto, Además, si suponemos que a q, entonces a p = p = aq, con 1 < a < p, q Z : 1 < q < p. a q = a 2 aq = a 2 p = a p. Así pues, hemos encontrado un divisor primo de p menor o igual que la raíz de p. Ejemplo 11.7 Supongamos que queremos saber si el 9 es primo. Entonces, como 9 = 3, los números primos menores o iguales que 3 son el 2 el propio 3. 2 no es divisor de 9, pero 3 si lo es, luego 9 no es primo. Obsérvese que al ser las raíces de 10, 11, 12, 13, menores que 4, los números primos menores o iguales que ellas son, también, 2 3, luego el criterio anterior puede emplearse para ver si estos números son o no primos. En efecto, El 10 no es primo a que 2 es divisor de no son divisores de 11, luego el 11 es primo. El 12 no es primo a que es múltiplo de 2. 1 Astrónomo, geógrafo, matemático filósofo griego (Cirene 284 a.c.-alejandría 192 a.c.). Vivió durante mucho tiempo en Atenas, antes de ser llamado a Alejandría (245 a.c.) por Tolomeo III, quien le confió la educación de sus hijos luego la dirección de la biblioteca. Sus aportaciones a los diversos campos de la ciencia fueron mu importantes, pero sobre todo es conocido como matemático, por su célebre criba -que conserva su nombre- para encontrar los números primos, por el mesolabio, instrumento de cálculo para resolver el problema de la media proporcional. Fue el primero en medir de un modo exacto la longitud de la circunferencia de la Tierra. Para ello determinó la amplitud del arco meridiano entre Siena Alejandría: sabiendo que en el solsticio de verano el sol en Siena se hallaba en la vertical del lugar, a que los raos penetraban en los pozos más profundos, midió, con la auda de la sombra proectada por un gnomon, el ángulo formado, en Alejandría, por los raos solares con la vertical. En razón de la propagación rectilínea de los raos solares del paralelismo existente entre ellos, el ángulo así medido correspondía al ángulo formado en el centro de la Tierra por el radio terrestre de Siena el de Alejandría, obteniendo así la amplitud del arco interceptado por estas dos ciudades sobre el meridiano. Luego midió sobre el terreno la dimensión de este arco. Obtuvo para la circunferencia entera, es decir, para el meridiano, estadios, o sea, casi 40 millones de m. Luego repitió este cálculo, basándose en la distancia de Siena a Méroe, que creó estaba también sobre el mismo meridiano, obtuvo un resultado concorde. 323

12 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas 13 no es múltiplo de 2 ni de 3 por lo tanto es primo. El 14 no es primo a que 2 es divisor de 14. El 15 no es primo a que es múltiplo de 3. Por tanto, Números primos entre Aquellos que no sean múltiplos de 2, ni de 3. Números primos entre Aquellos que no sean múltiplos de 2, ni de 3, ni de 5. Números primos entre Aquellos que no sean múltiplos de 2, ni de 3, ni de 5, ni de 7. Así sucesivamente, podríamos encontrar todos los números primos. Ejemplo 11.8 Encontrar todos los números primos que ha entre los 100 primeros números naturales. Dado que la raíz de 100 es 10 los números primos menores que 10 son 2, 3, 5 7, los números buscados son todos aquellos que no sean múltiplos de 2, ni de 3, ni de 5, ni de 7. La Criba de Eratóstenes consiste en eliminar el 1 todos los múltiplos de estos números. Los que quedan son los números primos entre En la tabla siguiente dichos números figuran con fondo blanco Ejemplo 11.9 Estúdiese si el 811 es primo utilizando la Criba de Eratóstenes. 811 = 28.5 los números primos menores o iguales que 28.5 son 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 ó 23 dado que ninguno de estos números divide a 811, concluimos que dicho número es primo. 324

13 Matemática Discreta Francisco José González Gutiérrez 11.3 Teorema Fundamental de la Aritmética En este apartado veremos que cualquier entero n maor que 1 es primo o puede escribirse como un producto de números primos. Este resultado, que tiene un equivalente en el libro IX de los nombre de Teorema fundamental de la aritmética. Elementos de Euclides, se conoce con el Lema de Euclides Si un número entero divide al producto de otros dos es primo con uno de ellos, entonces divide al tercero. Demostración En efecto, sean a, b c tres números enteros, tales que a divida a b c sea primo con b. m.c.d. (a, b) = 1, por el corolario??, existirán dos números enteros p q tales que Como pa + qb = 1 Por otra parte, si a divide a bc, como a divide a a, dividirá a cualquier combinación lineal con coeficientes enteros de a bc. En particular, a pac + qbc es decir, luego, a (pa + qb)c a c Corolario Sea p un número entero maor que 1. Las siguientes afirmaciones son equivalentes: (a) p es un número primo. (b) Si p divide a un producto de dos números enteros, entonces divide a uno de los dos. Demostración (a) = (b). Probaremos que para cualquier par de enteros, a b, o lo que es igual, p es primo = (p ab = p a ó p b) p es primo p ab = p a ó p b Lo haremos por contradicción. En efecto, supongamos que Pues bien, p es primo p ab p /a p /b si p no es divisor de a, como p es primo, el único divisor común de a de p es 1, luego a p son primos entre sí, es decir, p ab m.c.d.(a, p) = 1. Aplicamos el lema de Euclides p b lo cual contradice la suposición hecha. 325

14 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas Si p no divide a b se hace igual. (b) = (a). Probaremos que para cualquier par de enteros, a b, (p ab = p a ó p b) = p es primo. Utilizaremos el método de demostración por la contrarrecíproca, es decir probaremos que pueden encontrarse dos enteros a b tales que p no es primo = p ab p /a p /b. En efecto, si p no es primo, entonces es compuesto luego tendrá, además de 1 p, otro divisor a, es decir, existe a tal que a p. Pues bien, siendo 1 < a < p 1 < b < p. Además, a p = b Z : p = ab p /a. En efecto, si p a, entonces lo cual es imposible. p /b. Igual. p a a p = a = p Así pues, hemos encontrado dos enteros a b tales que p ab p /a p /b Corolario Si un número primo divide al producto de varios números enteros, entonces ha de dividir, al menos, a uno de ellos. Demostración En efecto, sea p un número primo supongamos que p a 1 a 2 a 3 a n entonces, aplicando el corolario anterior p a 1 (a 2 a 3 a n ) p a 1 ó p a 2 a 3 a n Si p a 1, el corolario está demostrado, de lo contrario p a 2 a 3 a n luego, p a 2 (a 3 a n ), nuevamente por el corolario anterior, p a 2 ó p a 3 a 4 a n 326

15 Matemática Discreta Francisco José González Gutiérrez Si p a 2, el corolario está demostrado, de lo contrario p a 3 a 4 a n luego, p a 3 (a 4 a n ) Repitiendo el proceso un número finito de veces, encontraremos, al menos, un a i, 1 i n, tal que p a i. Ejemplo Demostrar que si p, q 1, q 2,..., q r son primos p q 1 q 2 q r, entonces existe algún i = 1, 2,..., r tal que p = q i En efecto, por el corolario p divide a q i para algún i entre 1 r. Ahora bien, como q i es primo, los únicos divisores que tiene son el 1 el mismo q i, al ser p > 1, tendrá que ser necesariamente p = q i. Ejemplo Demostrar que el número 2 es irracional. Si 2 fuese racional, entonces podría expresarse como un cociente de dos enteros a b primos entre sí (fracción irreducible), es decir, a 2 = : m.c.d. (a, b) = 1 b Pues bien, elevando al cuadrado ambos miembros de esta igualdad, resulta: a a2 2 = = 2 = b b 2 = a2 = 2b 2 = 2 aa luego por el corolario , consecuentemente, existe un entero q tal que 2 a entonces, a = 2q a = 2q = a 2 = 4q 2 = 2b 2 = 4q 2 = b 2 = 2q 2 = 2 b 2 = 2 bb, nuevamente por el corolario , se sigue que 2 b Así pues, 2 es un divisor común de a b, lo cual es una contradicción a que estos dos números son primos entre sí, luego la suposición hecha es falsa 2 es irracional. Ejemplo Demostrar que la 3 5 es un número irracional. En efecto, supongamos que no lo fuese, entonces existirán dos números enteros a b primos entre sí tales que 3 5 = a b elevando al cubo ambos miembros de la igualdad, tendremos 5 = a3 b 3 = a3 = 5b 3 = 5 a 3 327

16 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas de donde se sigue, al ser 5 un número primo, que luego existe un número entero q tal que por tanto, 5 a a = 5q = a 3 = 5 3 q 3 = 5b 3 = 5 3 q 3 = b 3 = 5 2 q 3 = 5 b 3 5 b Concluimos, pues, que 5 es un divisor común de a de b, lo cual contradice el hecho de que estos dos números sean primos entre sí, luego la suposición hecha es falsa 3 5 es un número irracional. Ejemplo Probar que si n no es la -ésima potencia de ningún número entero, entonces n es irracional cualesquiera que sean n enteros positivos. Sean n naturales cumpliendo las condiciones del enunciado supongamos que n es un número racional. Entonces, podrá expresarse como un cociente de dos números enteros primos entre sí, es decir, existirán a b de Z, tales que a n =, con m.c.d. (a, b) = 1 b elevando a ambos miembros de esta igualdad, resulta a a n = = n = b b = a = n b = n a. Si n = p α1 1 pα2 2 pαt t es la descomposición de n en factores primos, ha de existir un i entre 1 t tal que α i no sea múltiplo de a que por hipótesis n no es la -ésima potencia de un número entero. Pues bien, como n a, a ha de tener todos los factores primos de n con exponentes iguales o maores, luego tendremos que a p i debe aparecer en la descomposición en factores primos de a, luego p αi i a = p s i q donde q p i son primos entre sí α i < s a que como vimos anteriormente, α i no es múltiplo de, por tanto, a = p s i q Así pues, nb = a = p α1 1 pα2 2 pαt t b = p s i q luego, como p i no divide a p α1 1 pα2 = p α1 1 pα2 p i p α 1 1 pα2 2 pαi 1 i 1 2 pαi 1 2 pαt t, entonces al ser p i un número primo, se sigue que como p i b p i b p i a pαi+1 pαt t b = p s αi i q pαi+1 pαt t b tendremos que p i 1 es un divisor común de a b lo cual contradice el hecho de que a b sean primos entre sí, por tanto la suposición hecha es falsa n es irracional. 328

17 Matemática Discreta Francisco José González Gutiérrez Teorema Fundamental de la Aritmética Cualquier número entero n maor que 1 puede escribirse de manera única, salvo el orden, como un producto de números primos. Demostración Sea a un número entero maor que 1. Probaremos, primero, que a puede escribirse como un producto de números primos, posteriormente, veremos que esa descomposición es, salvo en el orden de los factores, única. Descomposición. Si a es primo, consideramos el número como un producto de un sólo factor el teorema está demostrado. Si a no es primo, entonces es compuesto, la proposición asegura que tendrá, al menos, un divisor primo. Sea p 1 el menor divisor primo de a. Entonces existirá un entero a 1 tal que a = p 1 a 1 Si a 1 es primo, entonces el teorema está demostrado. Si a 1 no es primo, será compuesto aplicando de nuevo la proposición tendrá, al menos, un divisor primo. Sea p 2 el menor divisor primo de a 1, entonces existirá un entero a 2 tal que a 1 = p 2 a 2, con a 1 > a 2 sustituendo esta igualdad en la anterior, tendremos que a = p 1 p 2 a 2 Repitiendo el proceso un número finito de veces, obtendremos con a 1 > a 2 > a 3 > > a 1 a = p 1 p 2 p 3 p 1 a 1 donde a 1 es primo o es la unidad, entonces tomando a 1 = p, si es primo o a 1 = 1, se sigue que a = p 1 p 2 p 3 p 1 ó a = p 1 p 2 p 3 p 1 p a está escrito como un producto de factores primos. Unicidad. Supongamos lo contrario, es decir a puede descomponerse en producto de factores primos de dos formas distintas: a = p 1 p 2 p 3 p, siendo los p i primos para 1 i a = q 1 q 2 q 3 q r, siendo los q j primos para 1 j r. Supondremos, también, que el número de factores es distinto, o sea, r. Tomaremos, sin perder generalidad por ello, < r. Pues bien, a = p 1 (p 2 p 3 p ) = p 1 a = p 1 q 1 q 2 q 3 q r = p 1 q j para algún j entre 1 r. {Corolario } = p 1 = q j, a que q j es primo p

18 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas Podemos suponer que j = 1. Si no lo fuese bastaría con cambiar el orden de los factores. Tendremos, pues, que p 1 = q 1 p 1 p 2 p 3 p = p 1 q 2 q 3 q r de donde, al ser p 1 0, se sigue que p 2 p 3 p = q 2 q 3 q r Sea ahora a 1 = p 2 p 3 p Entonces a 1 < a, a 1 = q 2 q 3 q r. a 1 = p 2 (p 3 p 4 p ) = p 2 a 1 = p 2 q 2 q 3 q 4 q r = p 2 q j para algún j entre 2 r. {Corolario } = p 2 = q j, a que q j es primo p 2 1. Y, ahora, podemos suponer que j = 2. Bastaría cambiar el orden de los factores si no fuese así. Tendríamos que p 2 = q 2, por lo tanto,, al ser p 2 0, tendremos que p 2 p 3 p = p 2 q 3 q r llamando p 3 p 4 p = q 3 q 4 q r a 2 = p 3 p 4 p a 2 = q 3 q 4 q r. se tiene que a 2 < a 1 < a. Como < r, si repetimos el proceso 1 veces, tendremos que a 1 = p a 1 = q q +1 q r. siendo a 1 < a 2 < < a 2 < a 1 < a. Entonces, a 1 = p = p a 1 = p q q +1 q +2 q r = p q j para algún j entre r. {Corolario } = p = q j, a que q j es primo p 1, razonando igual que en los pasos anteriores, podemos suponer que j =, o sea, p = q, p = q q +1 q r al ser p 0, tendremos 1 = q +1 q +2 q r de donde se sigue que q +1 = q +2 = = q r = 1 lo cual es imposible a que estos números son primos, por tanto, = r a = p 1 p 2 p 3 p siendo, pues, la descomposición única. 330

19 Matemática Discreta Francisco José González Gutiérrez Corolario Sea a un número entero tal que a > 1, entonces a tiene una factorización única de la forma: a = ±p α1 1 pα2 2 pα siendo 1, los p primos distintos con p 1 < p 2 < < p α i 1 para 1 i. Demostración Si a > 1, por el Teorema fundamental de la aritmética, a puede descomponerse en factores primos. Agrupamos todos los primos iguales a p 1 en el factor p α1 1, hacemos igual con p 2, p 3, así sucesivamente hasta p, obteniendo así la descomposición pedida. Si a es negativo, entonces a es positivo con lo cual bastaría aplicar el razonamiento anterior a a. Ejemplo Descomponer en factores primos el número 720. Obtendremos una descomposición del tipo anterior. Empezamos buscando el divisor más pequeño de 720. Como 720 = dicho divisor es, obviamente, el 2. Hacemos lo mismo con el 360. Dado que 360 = el divisor más pequeño de 360 es 2. Repetimos el proceso sucesivamente, 180 = = = = = 1 5 Ahora bastaría sustituir cada igualdad en la igualdad anterior, resultaría 720 = = En la práctica suelen disponerse los cálculos en la forma siguiente: 331

20 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas Ahora sólo habrá que contar los números que ha de cada factor, 720 = Divisores de un Número Criterio General de Divisibilidad Sean a b dos números enteros tales que a, b > 1. Se verifica que a es divisible por b si, sólo si a tiene, al menos, todos los factores primos de b con exponentes iguales o maores. Demostración Sólo si. En efecto, si a es divisible por b, entonces existirá un número entero, q, tal que a = bq por tanto, a tendrá, al menos, todos los factores primos de b sus exponentes serán maores o iguales que los de a dependiendo de que los factores primos de q coincidan o no con los de b. Si. Si a tiene, al menos, todos los factores primos de b con exponentes iguales o maores, entonces luego a es divisible por b. a b Z Nota 11.3 Obsérvese que, según este criterio, los divisores de un número tendrán los mismos factores primos que éste con exponentes iguales o menores Obtención de todos los Divisores de un Número Sea a es un número entero tal que a > 1 sea a = p α1 1 pα2 2 pα su descomposición en factores primos. Se verifica que b es divisor de a si, sólo si b es uno de los términos del producto Demostración (1 + p 1 + p p α1 1 )(1 + p 2 + p p α2 2 ) (1 + p + p p α ) 332

21 Matemática Discreta Francisco José González Gutiérrez Sólo si. En efecto, sea b un divisor de a. Entonces, según la nota anterior, b será de la forma b = p i 1p j 2 ps, con 0 i α 1, 0 j α 2 0 s α luego b es uno de los términos del producto (1 + p 1 + p p α1 1 )(1 + p 2 + p p α2 2 ) (1 + p + p p α ) Si. Recíprocamente, cada término del producto (1 + p 1 + p p α1 1 )(1 + p 2 + p p α2 2 ) (1 + p + p p α ) es de la forma: p i 1p j 2 ps con 0 i α 1, 0 j α 2 luego, de nuevo por la nota anterior, es un divisor de a. 0 s α Ejemplo Veamos una forma práctica sencilla de calcular todos los divisores de un número. Calcularemos los de 720. Según un ejemplo anterior 720 = entonces los divisores de 720 serán los términos del producto ( )( )(1 + 5) = ( )( )(1 + 5) una forma práctica de calcularlos todos es la siguiente tabla: donde en la primera fila hemos escrito todas las potencias de 2, desde 2 0 hasta 2 4. En las filas siguientes hemos colocado ordenadamente todos los productos de la fila anterior por cada una de las potencias de 3, desde 3 hasta 3 2, así sucesivamente Número de Divisores de un Número Compuesto Si a un número entero tal que a > 1 a = p α1 1 pα2 2 pα entonces el número de divisores de a es Demostración N a = (α 1 + 1)(α 2 + 1) (α + 1) es su descomposición en factores primos, En efecto, según el teorema anterior los divisores de a son los sumandos del producto (1 + p 1 + p p α1 1 )(1 + p 2 + p p α2 2 ) (1 + p + p p α ) 333

22 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas que tienen a su vez α 1 +1, α 2 +1,..., α +1 factores, respectivamente, luego el número total de sumandos posibles, por tanto, el número de divisores de a es N a = (α 1 + 1)(α 2 + 1) (α + 1) Ejemplo En un ejemplo anterior, 720 = luego el número de divisores de 720 es N 720 = (4 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 30 Ejemplo Determinar dos enteros positivos cuo máximo común divisor es 18, sabiendo que uno de ellos tiene 21 divisores el otro tiene 10. Sean a b los números que buscamos. Por el corolario , existirán p 1, p 2,..., p q 1, q 2,..., q m, primos distintos α i 1, 1 i, β j 1, 1 j m, enteros, con p 1 < p 2 < < p q 1 < q 2 < < q m tales que a = p α1 1 pα2 2 pα b = q β1 1 qβ2 2 qβm m Supongamos que a es el que tiene 21 divisores b el que tiene 10. Entonces, por , luego, N a = 21 = (α 1 + 1)(α 2 + 1) (α + 1) = 21 N b = 10 = (β 1 + 1)(β 2 + 1) (β m + 1) = 10 los α i + 1, 1 i son divisores de 21 su producto es 21. Como los divisores de 21 son 1, 3, 7 21, las opciones posibles son 1 21, 21 1, , es decir el producto anterior tiene, únicamente, dos factores. Si tenemos en cuenta que los α i no pueden ser cero, las opciones válidas serían (α 1 + 1)(α 2 + 1) = 3 7 = α 1 = 2 α 2 = 6 ó (α 1 + 1)(α 2 + 1) = 7 3 = α 1 = 6 α 2 = 2. Razonando de la misma forma con los β j + 1 teniendo en cuenta que los divisores de 10 son 1, 2, 5 10, las opciones válidas son (β 1 + 1)(β 2 + 1) = 2 5 = β 1 = 1 β 2 = 4 Por lo tanto tenemos dos opciones posibles para a b, ó (β 1 + 1)(β 2 + 1) = 5 2 = β 1 = 4 β 2 = 1. a = p 2 1p 6 2 ó a = p 6 1p 2 2 b = q 1 q 4 2 ó b = q 4 1q 2 334

23 Matemática Discreta Francisco José González Gutiérrez Por otra parte, el máximo común divisor de a b es 18, luego a b son divisibles por 18 por a b han de tener, al menos, todos los factores primos de 18 con exponentes iguales o maores, dado que la descomposición en factores primos de 18 es 2 3 2, tendremos que p 1 = q 1 = 2, p 2 = q 2 = 3, por tanto, a = ó a = b = Pues bien, sean D a D b son los conjuntos de divisores de a b, respectivamente: Si a = b = 2 3 4, entonces D a = { 2 α 3 β : 0 α 2 0 β 6 } D b = { 2 α 3 β : 0 α 1 0 β 4 } de aquí que m.c.d.(a, b) = max {D a D b } = max { 2 α 3 β : 0 α 1 0 β 4 } = luego esta opción no es válida. Si a = b = 2 3 4, entonces D a = { 2 α 3 β : 0 α 6 0 β 2 } D b = { 2 α 3 β : 0 α 1 0 β 4 } de aquí que m.c.d.(a, b) = max {D a D b } = max { 2 α 3 β : 0 α 1 0 β 2 } = 2 3 2, consecuentemente, esta opción es la solución. Así pues, los números buscados son: a = = 576 b = = Suma de los Divisores de un Número Compuesto Si a un número entero de valor absoluto es maor que 1 a = p α1 1 pα2 2 pα en factores primos, entonces la suma de todos sus divisores es Demostración S = pα p 1 1 pα p 2 1 pα +1 1 p 1 Según vimos en , los divisores de a son los sumandos del producto, (1 + p 1 + p p α1 1 )(1 + p 2 + p p α2 2 ) (1 + p + p p α ) 335 es su descomposición

24 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas luego, la suma buscada viene dada por: S = S 1 S 2 S donde, S i = (1 + p i + p 2 i + + p αi i ), 1 i que es la suma de los términos de una progresión geométrica de razón p j. Entonces, S i = 1 + p i + p 2 i + + p αi i = pαi i p i 1 p i 1 = pαi+1 i 1 p i 1 lo mismo puede hacerse con todos los demás factores. Ejemplo Calcular la suma de todos los divisores de 720. Como 720 = , la suma de todos sus divisores será: S = = = 2418 Ejemplo Hallar un número entero a que no tiene más factores primos que 2, 5 7, sabiendo que 5a tiene 8 divisores más que a que 8a tiene 18 divisores más que a. Calcular también la suma de todos los divisores de a. Sean α 1, α 2 α 3 las veces que se repiten, respectivamente, los factores primos 2, 5 7 en la factorización de a. Tendremos que luego, a = 2 α1 5 α2 7 α3 5a = 2 α1 5 α2+1 7 α3 8a = 2 α1+3 5 α2 7 α3 de aquí se sigue que el número de divisores de a, 5a 8a es, respectivamente, N a = (α 1 + 1)(α 2 + 1)(α 3 + 1) N 5a = (α 1 + 1)(α 2 + 2)(α 3 + 1) N 8a = (α 1 + 4)(α 2 + 1)(α 3 + 1) por los datos del enunciado, N 5a = N a + 8 N 8a = N a + 18 } es decir, (α 1 + 1)(α 2 + 2)(α 3 + 1) = (α 1 + 1)(α 2 + 1)(α 3 + 1) + 8 (α 1 + 4)(α 2 + 1)(α 3 + 1) = (α 1 + 1)(α 2 + 1)(α 3 + 1)

25 Matemática Discreta Francisco José González Gutiérrez Entonces, (α 1 + 1)(α 3 + 1)(α α 2 1) = 8 (α 2 + 1)(α 3 + 1)(α α 1 1) = 18 } = { (α1 + 1)(α 3 + 1) = 8 (α 2 + 1)(α 3 + 1) = 6 = { α1 + 1 α = 4 3 = = { α1 + 1 = 4 α = 3 { α1 = 3 α 2 = 2 sustituendo, α 3 = 1. Consecuentemente, el número pedido es: a = = = 1400 Veamos ahora la suma de todos sus divisores. Por , S = = 3720 Ejemplo Un número entero positivo tiene 2 factores primos 8 divisores. La suma de los divisores es 320. Hallar el número. Sea a el número buscado, sean p 1 p 2 sus factores primos α 1, α 2 el número de veces que se repiten. Entonces, a = p α1 1 pα2 2 (α 1 + 1)(α 2 + 1) = 8 De la segunda ecuación se sigue que α α son dos divisores de 8 tales que su producto es 8. Como los divisores de 8 son 1, 2, 4 8, las posibles parejas son 1 8, 2 4, Teniendo en cuenta que α 1 0 α 2 0, podemos eliminar la primera la última. Las posibles opciones son, por tanto, (α 1 + 1)(α 2 + 1) = 2 4 ó (α 1 + 1)(α 2 + 1) = 4 2 = α 1 = 1 α 2 = 3 ó α 1 = 3 α 2 = 1 α 1 = 1 α 2 = 3. En este caso, a = p 1 p 3 2 al ser 320 la suma de sus divisores, tendríamos (1 + p 1 )(1 + p 2 + p p 3 2) = 320 luego 1 + p p 2 + p p 3 2 son divisores de 320 cuo producto es 320. Como los divisores de 320 son las opciones posibles, emparejándolos para que su producto sea 320, serían 337

26 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas 1 + p p 2 + p p Ahora bien, p 1 es primo = p 1 2 = 1 + p 1 3 luego las dos primeras columnas no pueden ser solución del problema. También, p 2 es primo = p 2 2 = 1 + p 2 + p p , por tanto, las dos últimas columnas tampoco son válidas. Por otra parte p = 16 = p 1 = 15 lo cual es imposible a que p 1 es primo, luego podemos eliminar, también, la quinta columna. Además, 1 + p 2 + p p 3 2 = 80 = p 2 (1 + p 2 + p 2 2) = 79 luego p 2 sería un divisor de 79 que es primo. Así pues, también podemos prescindir de la tercera columna, consecuentemente, nos quedaría como única opción posible 1 + p 1 = p 2 + p p 3 2 = 40 es decir, p 1 = 7 p 2 = 3, en tal caso, la solución sería a = = 189 α 1 = 3 α 2 = 1. En este caso, a = p 3 1p 2 al ser 320 la suma de sus divisores, tendríamos (1 + p 1 + p p 3 1)(1 + p 2 ) = 320 luego 1+p 1 1+p 2 +p 2 2 +p 3 2 son divisores de 320 cuo producto es 320. Procediendo de forma análoga al caso anterior: 1 + p p 1 + p p , consecuentemente, p 1 = 3 p 2 = 7, en tal caso, la solución sería a = = 189 Ejemplo Un número tiene 24 divisores, su mitad 18 divisores su triple 28 divisores. Hallar el número sus divisores. Sea a el número buscado supongamos que su descomposición en factores primos es a = p α1 1 pα2 2 pα3 3 pα. Como su mitad tiene 18 divisores, a ha de ser divisible por 2, luego uno de los factores primos, pongamos p 1, ha de ser 2, es decir, a = 2 α1 p α2 2 pα3 3 pα a 2 = 2α1 1 p α2 2 pα3 3 pα. 338

27 Matemática Discreta Francisco José González Gutiérrez Entonces, Dividiendo miembro a miembro, Así pues, N a = 24 = (α 1 + 1)(α 2 + 1)(α 3 + 1) (α + 1) = 24 N a/2 = 18 = (α )(α 2 + 1)(α 3 + 1) (α + 1) = 18. α α 1 = = α α 1 = 4 3 = α 1 = 3. a = 2 3 p α2 2 pα3 3 pα si ninguno de los restantes factores primos es 3, entonces, luego, a = 2 3 p α2 2 pα3 3 pα 3 N 3a = 28 = (3 + 1)(α 2 + 1) (α + 1)(1 + 1) = 28 = 2(α 2 + 1) (α + 1)(1 + 1) = 7 esto es imposible a que 7 es primo. Por lo tanto uno de los factores primos de la descomposición de a, digamos p 2, ha de ser 3. Entonces, a = α2 p α3 3 pα luego, 3a = α2+1 p α3 3 pα N 3a = 28 = (3 + 1)(α 2 + 2)(α 3 + 1) (α + 1) = 28 = (α 2 + 2)(α 3 + 1) (α + 1) = 7 como 7 es primo, el producto anterior tiene un sólo factor resultando, en consecuencia, α = 7 = α 2 = 5 es decir el número pedido es a = = = Veamos cuales son los divisores de este número Los divisores de 1944 son todos los números que aparecen en la tabla Método para el Cálculo del Máximo Común Divisor el Mínimo Común Múltiplo En este apartado estableceremos un método alternativo al algoritmo de Euclides para el cálculo del máximo común divisor de dos números. Está basado en el Teorema fundamental de la aritmética. 339

28 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas Lema Dados dos números enteros a b, pueden encontrarse números primos p 1, p 2,..., p enteros α i 0 β i 0, 1 i tales que a = ±p α1 1 pα2 2 pα b = ±p β1 1 pβ2 2 pβ siendo p 1 < p 2 < < p. Demostración La descomposición de a b se sigue directamente del corolario Si ha algún factor primo de a que no lo sea de b se introduce en la factorización de éste con exponente cero análogamente se hace con los factores de b que no lo sean de a. Ejemplo Descomponer a = 270 b = 368 en factores primos según el lema anterior = 270 = = 368 = Ahora bastaría escribir, 270 = = para tener los números en la forma descrita en el lema Teorema Sean a b dos enteros positivos. d es el máximo común divisor de a b si, sólo si d es igual al producto de los factores primos de ambos elevados a los menores exponentes con que aparezcan en la descomposición. Demostración Por el lema anterior, pueden encontrarse números primos p i enteros α i 0, β i 0, 1 i tales 340

29 Matemática Discreta Francisco José González Gutiérrez que a = p α1 1 pα2 2 pα b = p β1 1 pβ2 2 pβ Sólo si. En efecto, supongamos que d es el máximo común de a b. Entonces, d tendrá que ser un divisor de a b luego por el criterio general de divisibilidad (11.4.1) tendrá todos los factores primos de a de b con exponentes iguales o menores, es decir, será de la forma: d = p γ1 1 pγ2 2 pγ siendo γ i α i γ i β i, para 1 i, es decir, γ i min {α i, β i }, 1 i como d ha de ser el máximo de los divisores comunes de a de b, Si. Supongamos ahora que con γ i = min {α i, β i }, 1 i. Entonces, γ i = min {α i, β i }, 1 i d = p γ1 1 pγ2 2 pγ 1. d a d b. En efecto, bastaría observar que a b tienen todos los factores primos de d con exponentes iguales o maores aplicar el criterio general de divisibilidad (11.4.1). 2. d es el máximo. En efecto, si c es otro divisor de a b, entonces por , tendrá todos los factores primos de a b con exponentes iguales o menores, es decir c tendrá la forma: c = p δ1 1 pδ2 2 pδ con δ i α i δ i β i, 1 i, luego δ i min {α i, β i }, o sea δ i γ i. Por lo tanto, c d, consecuentemente, d es el máximo Teorema Sean a b dos enteros positivos. m es el mínimo común múltiplo de a b si, sólo si m es igual al producto de los factores primos de ambos elevados a los maores exponentes con que aparezcan en la descomposición. Demostración De acuerdo con el lema , podremos encontrar números primos p i enteros α i 0, β i 0, 1 i tales que a = p α1 1 pα2 2 pα b = p β1 1 pβ2 2 pβ Sólo si. En efecto, si m es el mínimo común múltiplo de a b, entonces será múltiplo de a múltiplo de b luego por el criterio general de divisibilidad (11.4.1) tendrá todos los factores primos de a de b con exponentes iguales o maores, es decir, será de la forma: m = p γ1 1 pγ2 2 pγ 341

30 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas siendo γ i α i γ i β i para 1 i, o sea, γ i max {α i, β i }, 1 i como m ha de ser el mínimo de los múltiplos comunes de a de b, Si. Recíprocamente, sea con γ i = max {α i, β i }, 1 i. Entonces, γ i = max {α i, β i }, 1 i m = p γ1 1 pγ2 2 pγ 1. a m b m. En efecto, bastaría observar que a b tienen todos los factores primos de m con exponentes iguales o menores aplicar el criterio general de divisibilidad (11.4.1). 2. m es el mínimo. En efecto, si c es otro múltiplo de a b, entonces por , tendrá todos los factores primos de a b con exponentes iguales o maores, es decir c tendrá la forma: c = p δ1 1 pδ2 2 pδ con δ i α i δ i β i, 1 i, luego δ i max {α i, β i }, o sea δ i γ i. Por lo tanto, m c, consecuentemente, m es el mínimo. Ejemplo Calcular el máximo común divisor de Descomponemos ambos números en factores primos = 8428 = = 2340 = o lo que es igual por el teorema anterior, 2340 = = m.c.d. (8428, 2340) = = 4 342

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