1-Comportamiento de una función alrededor de un punto:

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "1-Comportamiento de una función alrededor de un punto:"

Transcripción

1 Matemática II 7 Modulo Límites continuidad En esta sección desarrollaremos el concepto de límite, una de las nociones fundamentales del cálculo. A partir de este concepto se desarrollan también los conceptos de continuidad, derivabilidad e integración que se verán más adelante. Comenzaremos con una idea intuitiva del estudio del comportamiento de una función alrededor de un punto o cuando los valores de crecen indefinidamente. -Comportamiento de una función alrededor de un punto: Si la función f está definida para valores de la variable cercanos a., queremos estudiar el comportamiento de los valores de f() cuando se aproima a. Definición Si f está definida en un intervalo abierto alrededor del punto, aunque no lo esté en, diremos que f() tiene límite L, cuando tiende a, si el valor de f() se hace arbitrariamente próimo al valor de L cuando se aproima a, lo escribiremos así : f ( ) = L Ejemplos: ) Dada f ( ) = queremos saber cómo se comporta f() en un entorno del punto =: La función se define en todos los números reales ecepto en =. Podemos simplificar la fórmula, factorizando el numerador, para valores distintos de. ( )( + ) f ( ) = = +, para La gráfica de f() es la recta =+ menos un punto, el (,) En la gráfica aparece un agujero en este punto. Podemos de todos modos hacer el valor de f() tan cercano a como queramos, eligiendo suficientemente cercano a.

2 Matemática II 7 - Decimos que f() está arbitrariamente cercano a cuando se aproima a, o simplemente f() se aproima a cuando se acerca a, escribimos: f ( ) = Notar que para el valor = la función puede no estar definida o puede no tomar el valor L. En este caso f no está definida en =, sin embargo el límite cuando se acerca a es, a que el valor del límite es el valor de la función para valores próimos a no necesariamente en. ) Sea < f() = Esta es una función definida a trozos. Acá notamos que tenemos que analizar separadamente el valor de la función cuando se aproima a por valores maores a él, cuando se aproima a por valores menores a él.

3 Matemática II 7 Sin embargo vemos que en ambos casos el valor de la función se acerca a, por lo tanto decimos que : f ( ) = 3) Sea < f() = - Esta es una función definida a trozos, su gráfica presenta un salto en =. Vemos que f() puede aproimarse tanto como queramos al valor cuando se aproima a por valores maores a, pero cuando se aproima a por valores menores que la función se acerca a, luego no es cierto que cuando se acerca a, los valores de f() se acercan a un número L por lo tanto, este es un ejemplo donde diremos que no eiste lím f ( ). Sin embargo, como dijimos, f() puede aproimarse tanto como queramos al valor cuando se aproima a por valores maores a, de modo que diremos que el límite de f(), cuando tiende a por la derecha es, lo que escribiremos lím f ( ) = análogamente, el límite de f(), cuando + tiende a por la izquierda es, lo que escribiremos lím f ( ) =. A estos límites los llamaremos límites laterales. 3

4 Matemática II 7 Definición. Si f está definida a la izquierda de, aunque no lo esté en, diremos que el límite de f(), cuando tiende a por la izquierda es L, si f() se hace arbitrariamente próimo al valor de L cuando se aproima a por la izquierda, lo escribiremos así : lím f ( ) = L. Si f está definida a la derecha de, aunque no lo esté en, diremos que el límite de f(), cuando tiende a por la derecha es L, si f() se hace arbitrariamente próimo al valor de L cuando se aproima a por la izquierda, lo escribiremos así : lím f ( ) = L + Observaciones: La epresión f ( ) = L es equivalente a decir f ( ) = L f ( ) = L + Se tiene entonces que: si f ( ) = L f ( ) = L con L L si + no eiste f ( ) o no eiste f ( ) + f ( ) no eiste f ( ) no eiste Propiedades: ) Si f()=k k, constante, ) Si f()= f ( ) = k f ( ) = 3) Si f ( ) = L, g ( ) = M (L M son números reales), entonces: a) b) [ f ( ) + g( )] = f ( ) + g( ) = L + M [ f ( ). g( )] = f ( ). g( ) = L. M c) d) Si kf ( ) = k f ( ) = kl g ( ) f ( ) f ( ) L = = g ( ) g ( ) M 4

5 Matemática II 7 4) Si f ( ) = L, g ( ) = M L g ( f ( )) = M 5) Si m n son números enteros [ f ( )] m n m n = L cuando m n L es un número real Ejemplo: Calcular Usaremos las propiedades para analizar los límites del numerador denominador. Notemos que : 3 = = usando la propiedad, la propiedad 3b = = usando la propiedad 3c, la la 3b 3 = 3 usando la propiedad Por lo tanto usando la propiedad 3a, = = Del mismo modo usando las propiedades adecuadas, analicemos el límite del denominador: + 4 = + 4 = + 4 = 5 Por lo tanto, usando la propiedad 3d, = = Es importante señalar que el límite del denominador es distinto de, que todos los límites que fuimos calculando parcialmente son números reales. Teorema del encaje: Sean f, g h tres funciones definidas en un intervalo abierto (a,b) que contiene al punto c, tales que : h( ) f ( ) g( ), ( a, b), ecepto posiblemente en c Luego si h( ) = L g( ) = L f ( ) = L c c c 5

6 Matemática II 7 g() f() c h() Funciones acotadas Definición: Se dice que una función f está acotada en un intervalo I si eisten constantes m M tales que m f ( ) M, I ( m es la cota inferior M la cota superior) Ejemplos: Las funciones 5 5 sen, cos, 3 + sen, cos, sen, 9 cos6 3 + están acotadas. Teorema. Si la función f está acotada en un intervalo abierto que contiene al punto a la función g verifica que el g ( ) =, entonces f ( ). g ( ) =. a a (Se demuestra usando el teorema del encaje. El resultado también es válido para límites laterales) Ejemplos: ). sen = 5 ) (4 ). cos + = 3) ( ) 3.cos 3+ = 3 Observación: Estos límites eisten sin embargo no pueden obtenerse por la regla del límite de un producto de funciones, se obtienen aplicando el teorema precedente. 6

7 Matemática II 7 Definición formal de límite: Sea f() definida sobre un intervalo abierto alrededor de ecepto posiblemente en. Decimos que f tiene límite L, cuando tiende a, escribimos f ( ) = L, Si para cada número ε >, eiste un número δ >, tal que para toda < <δ f ( ) L <ε Esta es la definición que formaliza el concepto de límite, nos permite demostrar que el límite de una función es un número L nos permite también demostrar algunas propiedades de límites. Veremos solamente un ejemplo para ilustrar su significado. Ejemplo: Demostrar que 5 3 = El de la definición en nuestro caso vale L vale. Para todo número real ε, debemos encontrar un número δ tal que si < <δ f ( ) <ε Hallamos δ trabajando hacia atrás, a partir de la desigualdad f ( ) <ε, Escribimos entonces 5 3 = 5 5 <ε ε Tenemos entonces 5 <ε < 5 Por lo tanto, dado cualquier ε podemos encontrar un δ, que depende de él, en este caso δ =ε /5 ε Entonces si < <δ = 5 ε 5 3 = 5 5 = 5 <5 = ε 5 Esto demuestra que 5 3 =. ε ε El valor de δ = no es el único que satisface la definición. Cualquier valor positivo menor que 5 5 también cumple las condiciones. Límites de funciones trigonométricas, eponenciales logarítmicas: Lema: senφ = φ 7

8 Matemática II 7 Demostración: π Supongamos <φ <. Vemos en el gráfico que s O bien rsenφ rφ Como r> tenemos senφ φ s Como = φ = + + φ φ El Teorema del Encaje nos permite concluir que senφ = + φ π Tomando <φ <, análogamente tenemos que senφ = φ Por lo tanto senφ = φ Hemos demostrado un caso particular del primer inciso del teorema siguiente. Teorema: Para cualquier número real a: senφ = sena φ a cosφ = cosa φ a e a a ln = lna a = e senφ = φ φ cosφ = φ φ 8

9 Matemática II 7 Actividades: ) Sea f() una función polinomial de grado n. Muestre utilizando las propiedades que correspondan que : f ( ) = f ( ) ) Sea f() una función racional. Muestre utilizando las propiedades que correspondan que si: p( ) f ( ) = con q( ) f ( ) = f ( ) q( ) 3) Sea f() una función n un número natural. Muestre utilizando las propiedades que correspondan el principio de inducción que si : f ( ) = L [ f ( )] n = L n 4) Calcular los siguientes límites: 3 5 a) b) ( )( ) 3 + c) + d) e) 5) Mostrar que si f ( ) = f ( ) = 6) Teniendo en cuenta la condición que satisface la función g, calcular el límite indicado: a) b) c) ( ) ( ) 3( ) R g si g g( ) si g( ) 4 (3 4 ) 3 + R g( ) si g( ) 3 5( ) + R 7) Calcular los siguientes límites utilizando los límites laterales: a) f() = 3 + < b) f ( ) = 9

10 Matemática II 7 a) b) c) 8) Calcular los siguientes límites enunciando qué propiedad usa. ( 5). sen ( 4).cos( ) 6 ( ) sen 6 + 9) Calcular indicando las propiedades usadas a) sen( πφ) φ b) φ πφ ( ) cos( ) φ c) sen(9 φ) sen(7 φ) φ d) cos φ senφ φ e) senφ φ 3 + f) φ φ φ cos Como hemos visto en muchos casos, el límite se evalúa por sustitución directa del valor de en la función. Sin embargo en algunas funciones esto no es posible, como vimos en el ejemplo del inicio del módulo, cuando las funciones están definidas a trozos, es decir tienen una definición hasta un valor de otra definición a partir de ese valor, necesitamos del estudio de los límites laterales. Aún con esta alternativa del estudio de límites laterales ha algunos límites que tampoco pueden calcularse de este modo. Limites indeterminados: Nos referimos con esta terminología a aquellos límites en los que al primer intento de hacer una sustitución directa aparecen indeterminaciones. Por ejemplo : si h( ) =, queremos calcular h( ) = por sustitución directa, vemos que el denominador es cero, por lo tanto no podemos utilizar la propiedad 3b para resolverlo.

11 Matemática II 7 Criterio para límites indeterminados: Si f ( ) = L g ( ) g( ) = f ( ) = Demostración: f ( ) f ( ) f ( ) = g( ) =. g( ) = L. = g( ) g( ) Notemos que una epresión equivalente a este criterio es su contrarrecíproca, es decir : Si f ( ) f ( ) no eiste o g ( ) g( ) En la práctica en general estamos interesados en el cálculo de límites de la forma: f ( ) g ( ) observamos que g ( ) = Entonces usando la contrarrecíproca del criterio decimos que Si f ( ) g ( ) = f ( ) no eiste g ( ) Si f ( ) = g ( ) = no podemos asegurar la eistencia o no de f ( ) g ( ) Volvamos al ejemplo: Analicemos los límites de f de g, en nuestro caso f ( ) = g( ) = 9 f ( ) = = g( ) = 9 = Por lo tanto usando la contrarrecíproca del criterio, como f ( ) g ( f ( ) ) = no eiste g ( ) Otros ejemplos: + 6 ) Sea h( ) = + 3, calcular si es que eiste, h( ) 3 Como ( 3) ( 6) h( ) = + = puede eistir o no.

12 Matemática II 7 Es decir que el criterio no nos asegura la eistencia del límite!!! Usamos entonces la técnica de cancelación, factorizando o hallando las raíces de Escribimos entonces: ( )( + 3) h( ) = = = = Notar que esta cancelación podemos hacerla para 3, como el límite es el estudio de la función cuando el valor de se aproima a -3, no importa el valor de en -3, por lo tanto podemos no considerarlo. ) Sea + h( ) = ; calcular si es que eiste, h( ) Como = ( + ) = h( ) puede eistir o no. 3 Usamos la técnica de racionalización: + ( + )( + + ) + h( ) = = = = = ( + + ) ( + + ) + + 3) Sea f ( ) = ; calcular si es que eiste, f ( ) Como = = no eiste Límites infinitos: Sea f() una función definida en (a,b) que contiene al punto. La epresión indica que la función crece indefinidamente la epresión decrece indefinidamente. f ( ) = + f ( ) = indica que la función Significa que el límite no eiste. Es decir que la función crece o decrece sin cota cuando tiende a. Indicamos entonces el comportamiento no acotado de una función cuando se acerca a por derecha o por izquierda de la siguiente manera: Si f crece sin cota cuando tiende a por derecha, f ( ) = + +

13 Matemática II 7 Si f decrece sin cota cuando tiende a por derecha, Si f crece sin cota cuando tiende a por izquierda, Si f decrece sin cota cuando tiende a por izquierda, f ( ) = + f ( ) = + f ( ) = Asíntota vertical: Si f() tiende a + o a cuando tiende a por la derecha o por la izquierda, se dice que la recta de ecuación =, es una asíntota vertical de la gráfica de f. Ejemplo: Calcular Como = = no eiste Notemos en el gráfico que sigue, que la función tiene un comportamiento no acotado cuando tiende a. Analizamos los límites laterales, notando que cuando se acerca a con valores positivos la función crece sin cota cuando se acerca a con valores negativos la función decrece sin cota. Por lo tanto escribimos : =, = + + Por lo tanto la recta de ecuación = es una asíntota vertical de la gráfica de f 3

14 Matemática II 7 Definición formal de límite infinito:. Sea f() definida sobre un intervalo abierto alrededor de ecepto posiblemente en. Decimos que f tiende a, cuando tiende a, escribimos f ( ) =, Si para cualquier número B>, eiste un número δ >, tal que para toda < <δ f ( ) >B. Decimos que f tiende a -, cuando tiende a, escribimos f ( ) =, Si para cualquier número B<, eiste un número δ >, tal que para toda < <δ f ( ) <B Actividades: ) Dada la función +3 > f()= = - > Calcular si es que eisten los siguientes límites a) f ( ) b) f ( ) c) f ( ) 4 ) Dada la función f()= - + > Calcular si es que eisten los siguientes límites a) f ( ) b) f ( ) c) f ( ) 3 ) Calcular si es que eisten los siguientes límites: a) b) + c) d) e) + f) 4

15 Matemática II 7 g) h) i) j) ( + h) h h k) l) 7 49 m) n) + h h h ñ) 3 o) 5 4 p) + q) ) Decidir en cada caso si la función presenta una asíntota vertical en =- a) f ( ) = + b) f ( ) = + + c) f ( ) =

16 Matemática II 7 -Comportamiento de una función en el infinito: Una función f definida en el intervalo (a, + ), se dice que f ( ) = L, si cuando crece, sin cota, los valores de f se acercan al valor L. Es decir que f() se hace tan cercano a L como se quiera, tomando un suficientemente grande. Del mismo modo tomando una función f definida en (,a), diremos que f ( ) = L, si cuando decrece sin cota, los valores de f se acercan a L. Propiedades: ) = ) = 3) = 4) = 5) Si f ( ) = L, g( ) = M, L, M R a) [ f ( ) + g( )] = f ( ) + g( ) = L + M b) [ f ( ). g( )] = f ( ). g( ) = L. M c) kf ( ) = k f ( ) = kl d) Si g( ) f ( ) f ( ) L = = g ( ) g ( ) M Las propiedades del punto 5 son válidas cuando tiende a Asíntota horizontal: Si f ( ) = L / o f ( ) = L diremos que la recta de ecuación =L es una asíntota horizontal de la gráfica de f() 6

17 Matemática II 7 Ejemplo: Tomemos la función usada en el ejemplo para el cálculo de una asíntota vertical. En este caso como intentaremos ver si tiene asíntota horizontal nos interesa calcular el límite cuando tiende a ± Calcular Por la propiedad 3 = por la propiedad 4 = Notemos que la función toma valores cada vez más pequeños a medida que crece. Por lo tanto la recta de ecuación = es una asíntota horizontal de la gráfica de f Definición formal de límite cuando tiende a infinito:. Sea f() definida sobre un intervalo abierto (a, ). Decimos que f tiene límite L, cuando tiende a infinito, escribimos f ( ) = L, Si para cualquier número ε >, eiste un número M>, tal que para toda >M f ( ) L <ε. Decimos que f tiene límite L, cuando tiende a menos infinito, escribimos f ( ) = L, Si para cualquier número ε >, eiste un número M<, tal que para toda <M f ( ) L <ε 7

18 Matemática II 7 Limites en el infinito de funciones racionales: Sea f una función racional n an + a a + a + a f ( ) = = m b + b + + b + b + b m n n m m... n n an a a a ( an ) n n n n = = m m bm b b b ( bm ) m m m m n an a a a ( an ) n n n = = m bm b b b ( bm ) m m m Notamos que cuando tiende a, todos los términos del numerador, salvo a n tienden a todos los términos del denominador salvo b m tienden a. Luego tenemos que n an + a a + a + a f ( ) = = m b + b + + b + b + b m n n m m... si n>m an si n=m bn si n<m Ejemplos: ) ) 3) (5 + 8/ 3/ ) 5 + 8/ 3/ = = = = 3 + (3 + / ) 3+ / (5/ + 8/ 3/ ) (5/ + 8/ 3/ ) (3 + / ) (3 + / ) 3+ = = = = ( + 8 3/ + 7 / ) ( + 8 3/ + 7 / ) = = = + ( + / ) ( + / ) Actividades: 4) Calcular los siguientes límites: ( + ) a) b) + c) d) ( + ) + 8

19 Matemática II 7 5) El proceso realizado para calcular límites de funciones racionales, puede realizarse también para funciones que tienen potencias no naturales de. Dividimos numerador denominador por elevado al maor eponente del denominador partimos de allí. Calcular: a) b) + c) ) Obtener las asíntotas de las siguientes funciones: a) f ( ) = 4 b) c) f ( ) = f ( ) = 7) Dibuje la gráfica de una función con dominio real que cumpla con las siguientes propiedades: f(-4)= f(-)= f()=3 f()=-3 f(4)= f(5)= f ( ) = f ( ) = 4 f ( ) = f ( ) = 5 f ( ) = f ( ) = + f ( ) = f ( ) = f ( ) = 3 f ( ) = 8) Calcular: a) sen b) cos Orden de Magnitud: Estudiaremos a través del orden de magnitud el comportamiento en el infinito de un cociente de dos funciones el cálculo de límites que conducen a indeterminaciones de la forma. Mostraremos cómo comparar las razones de crecimiento de funciones cuando aumenta. Puede notarse que las funciones eponenciales, como e parecen crecer con más rapidez cuando aumenta que las funciones polinomiales racionales, observemos el siguiente gráfico: 9

20 Matemática II 7 e Esta observación nos conduciría a decir que que sigue que, en efecto es así. e = =, demostraremos en lo e Sean f() g() funciones definidas positivas para valores grandes de, El orden de magnitud de f es maor que el orden de magnitud de g (f >>g) si : f ( ) = g ( ) El orden de magnitud de f es menor que el orden de magnitud de g (f <<g) si : f ( ) = g( ) El orden de magnitud de f es igual al orden de magnitud de g si : f ( ) = L > g ( ) Teorema: Para todo α real, α >, α ln Demostración: aceptaremos que > ln + R, su demostración requiere del concepto de derivada que veremos más adelante.

21 Matemática II 7 Si > tenemos que Si > tenemos que ln < =, < ln < Dado que ln = = = gracias al Teorema del Encaje Veremos finalmente que ln = : α ln ln = α α α Definiendo u = α teniendo en cuenta que cuando, u, obtenemos: α Por lo tanto, ln ln u = = α u α u ln = entonces α >, ln α, como queríamos demostrar. α Teorema: Para todo α real, α >, e α Demostración: tomemos f ( ) = Comenzaremos estudiando el comportamiento de ln( f ( )) e α e α ln( f ( )) = ln = ln e ln = α ln α Tenemos entonces que : ln ln( f ( )) = ( α ln ) = [ ( α )] Teniendo en cuenta que : ln ln ln = ( α ) = [ ( α )] =

22 Matemática II 7 Obtenemos que : ln( f ( )) = Entonces f ( ) f ln ( ) = e, definiendo u = ln f ( ) teniendo en cuenta que cuando, u, obtenemos e f = e = e = por lo tanto ( ) ln f ( ) u u α = como queríamos demostrar. A partir de los resultados anteriores podemos establecer la siguiente relación de órdenes de magnitud: α ln e, α R, α > Actividades: 9) Calcular los siguientes límites: a) e b) ln c) ln + 3- Continuidad en un punto: Definición: una función f() se dice continua en, si se cumple que: f ( ) = f ( ) Por lo tanto deben satisfacerse las siguientes condiciones: f debe estar definida en debe eistir el f ( ) el valor de dicho límite debe coincidir con el valor de la función en el punto Intuitivamente f será continua en si no presenta saltos o agujeros, o dicho de otro modo, si podemos trazar su gráfica sin levantar el lápiz del papel.

23 Matemática II 7 Ejemplos: f() no es continua en f() no es continua en f() es continua en f() es continua en Propiedades: Sean f g funciones continuas en : (f+g) es continua en (f.g) es continua en f g es continua en todo / g( ) La composición de funciones continuas es una función continua: Si f es continua en g es continua en f ( ) g f es continua en g( f ( )) = g( f ( )) Si alguna de las condiciones que debe satisfacer f para que sea continua en no se cumple, se dice que f es discontinua en 3

24 Matemática II 7 Clasificación de las discontinuidades: f es discontinua en f es discontinua en esencial f ( ) f presenta en una discontinuidad evitable f ( ) f presenta en una discontinuidad no evitable o Las discontinuidades llamadas evitables nos dicen que es posible hacer una redefinición de f de manera que resulte continua en. Las discontinuidades denominadas inevitables o esenciales, nos dicen que esto no es posible. 4- Continuidad en un intervalo: Definición: una función f() se dice continua en (a,b), si es continua en cada punto de (a,b) una función f() se dice continua en [a,b], si es continua en de (a,b) además se verifica que: f ( ) = f ( a) f ( ) = f ( b) + a b Hemos aceptado que a, a R, sen = sena, es decir la continuidad de la función seno. a Ahora estamos en condiciones de demostrarlo: Debemos ver que sen = sena o equivalentemente que sen( + h) = sen, R, a h Lo cual es inmediato a que: sen( + h) = sen cosh+ cos senh = h h sen cosh+ cos senh = sen + cos = sen h h Del mismo modo puede probarse que la función coseno es continua en R, como también las funciones eponenciales logarítmicas. 4

25 Matemática II 7 Teorema del Valor Intermedio: Sea f() continua en [a,b] sea w un valor cualquiera entre f(a) f(b), entonces eiste c, c [a,b] tal que f(c)=w. Podemos analizar gráficamente el enunciado del teorema: f(b) w = f(c) f(a) a c b Corolario : Sea f() continua en [a,b] sea signo( f(a)) signo( f(b)), entonces eiste c, c [a,b] tal que f(c)=. Veamos gráficamente el corolario: a c b Corolario : Sea f() continua en [a,b] f() [ a, b], entonces f conserva su signo en [a,b] 5

26 Matemática II 7 Actividades: ) Interprete geométricamente el corolario ) Mostrar que f ( ) = es continua en R ) Mostrar que la funciones polinómicas son continuas en R. 3) Mostrar que f ( ) = es continua en R 4) Hallar el o los intervalos en los que las siguientes funciones son continuas: 3 a) f ( ) = b) f ( ) = = 3 c) 5 f()= -3 > d) f()= + 5) Dada : a) f()= 4 k = Hallar el valor de k para que f resulte continua en R. Graficar b) + 3 f()= c+6 > Hallar el valor de c para que f resulte continua en R. Graficar c) + 3 <<3 f()= + b + c 6

27 Matemática II 7 Hallar los valores de b c para que f resulte continua en R. Graficar e d) f()= k = Hallar el valor de k para que f resulte continua en R. Graficar e) f()= e + >- 3+k - Hallar el valor de k para que f resulte continua en R. Graficar 6) En la figura se muestra la gráfica de una función. Estudie la continuidad de la misma e indique: a) Cuáles de las discontinuidades son evitables? Cómo definiría la función para hacerla continua en ese punto? b) Cuáles de las discontinuidades son esenciales? Por qué?. a b c 7) f()= sen = Demostrar que f es continua en = 8) Estudiar la continuidad de las siguientes funciones: a) sen < π / f()= sen (- π / ) π / π 7

28 Matemática II 7 b) cos π < f()= sen (+ π / ) < π 9) Indicar el valor de b para que sea continua en = 9 Enunciar la propiedad que usa. ( 8). sen, f ( ) = 9 b, 9 = 9 3) Indicar el valor de b para que sea continua en = 6 Enunciar la propiedad que usa. ( 36). sen, f ( ) = 6 b, 6 = 6 ( 6). sen, 3) Indicar el valor de b para que j( ) = 4 b, Enunciar la propiedad que usa. 4 = 4 sea continua en = 4 8

Tema 7. Límites y continuidad de funciones

Tema 7. Límites y continuidad de funciones Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Análisis: Límites y continuidad de funciones 55 Límite de una función en un punto Tema 7 Límites y continuidad de funciones Idea inicial Si una función f está

Más detalles

Tema 07. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES

Tema 07. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES Tema 07 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES Límite de una función en un punto Vamos a estudiar el comportamiento de las funciones f ( ) g ( ) ENT[ ] h ( ) i ( ) en el punto Para ello, damos a valores próimos

Más detalles

Teóricas de Análisis Matemático (28) - Práctica 4 - Límite de funciones. 1. Límites en el infinito - Asíntotas horizontales

Teóricas de Análisis Matemático (28) - Práctica 4 - Límite de funciones. 1. Límites en el infinito - Asíntotas horizontales Práctica 4 - Parte Límite de funciones En lo que sigue, veremos cómo la noción de límite introducida para sucesiones se etiende al caso de funciones reales. Esto nos permitirá estudiar el comportamiento

Más detalles

1 Límites de funciones

1 Límites de funciones Héctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemática UdeC. 1 1 Límites de funciones En general, en la recta real R podemos considerar la noción de distancia entre dos puntos y a dada por la fórmula d (, a) = a

Más detalles

TEMA 8: LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD

TEMA 8: LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD TEMA 8: DE FUNCIONES. CONTINUIDAD 1. EN EL INFINITO En ocasiones interesa estudiar el comportamiento de una función (la tendencia) cuando los valores de se hacen enormemente grandes ( ) o enormemente pequeños

Más detalles

MATEMÁTICAS I 1º Bachillerato Capítulo 7: Límites y continuidad

MATEMÁTICAS I 1º Bachillerato Capítulo 7: Límites y continuidad MATEMÁTICAS I º Bachillerato Capítulo 7: Límites y continuidad file:///c:/users/cuenta~/appdata/local/temp/b006%0limitesycontinuida D%0Adela. 00 Índice. CONCEPTO DE LÍMITE.. DEFINICIÓN.. LÍMITES LATERALES..

Más detalles

Juan Antonio González Mota Profesor de Matemáticas del Colegio Juan XIII Zaidín de Granada

Juan Antonio González Mota Profesor de Matemáticas del Colegio Juan XIII Zaidín de Granada FUNCIONES CONTINUAS. La mayor parte de las funciones que manejamos, a nivel elemental, presentan en sus gráficas una propiedad característica que es la continuidad. La continuidad de una función definida

Más detalles

LÍMITES DE FUNCIONES

LÍMITES DE FUNCIONES LÍMITES DE FUNCIONES. INTRODUCCIÓN A LOS LÍMITES. Definición intuitiva de límite.. DEFINICIÓN RIGUROSA DE LÍMITE. Límites reales.. Propiedades de los límites.. Estrategias para calcular límites. - Límites

Más detalles

Advierta que la definición 1 requiere implícitamente tres cosas si f es continua en a:

Advierta que la definición 1 requiere implícitamente tres cosas si f es continua en a: SECCIÓN.5 CONTINUIDAD 9.5 CONTINUIDAD En la sección.3 se le hizo notar que a menudo se puede hallar el ite de una función cuando tiende a a, con sólo calcular el valor de la función en a. Se dice que las

Más detalles

EJERCICIOS RESUELTOS DE REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES REALES

EJERCICIOS RESUELTOS DE REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES REALES EJERCICIOS RESUELTOS DE REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES REALES. Estudiar el crecimiento, el decrecimiento y los etremos relativos de las siguientes funciones: a) f( ) 7 + + b) ln f( ) c) 5 si < f(

Más detalles

UNIDAD 1: LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD

UNIDAD 1: LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD UNIDAD : LÍMITES Y CONTINUIDAD UNIDAD : LÍMITES DE FUNCIONES CONTINUIDAD ÍNDICE DE LA UNIDAD - INTRODUCCIÓN - LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO LÍMITES LATERALES - LÍMITES EN EL INFINITO 5 4- ÁLGEBRA DE

Más detalles

1. Limite de Funciones

1. Limite de Funciones 1. Limite de Funciones 1.1. Introducción. Consideremos la función f() = { 1+ 2 si > 0 1 2 si < 0 Se observa que la función no está definida en 0 = 0. Sin embargo, se observa que cuando se consideran valores

Más detalles

Límites y Continuidad de funciones

Límites y Continuidad de funciones CAPITULO Límites y Continuidad de funciones Licda. Elsie Hernández Saborío Instituto Tecnológico de Costa Rica Escuela de Matemática Revista digital Matemática, educación e internet (www.cidse.itcr.ac.cr)

Más detalles

TEMA 11 LÍMITES, CONTINUIDAD Y ASÍNTOTAS MATEMÁTICAS I 1º Bach 1

TEMA 11 LÍMITES, CONTINUIDAD Y ASÍNTOTAS MATEMÁTICAS I 1º Bach 1 TEMA 11 LÍMITES, CONTINUIDAD Y ASÍNTOTAS MATEMÁTICAS I 1º Bach 1 TEMA 11 LÍMITES, CONTINUIDAD, ASÍNTOTAS 11.1 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN 11.1.1 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Límite de una función en un

Más detalles

Tema 2 Límites de Funciones

Tema 2 Límites de Funciones Tema 2 Límites de Funciones 2.1.- Definición de Límite Idea de límite de una función en un punto: Sea la función. Si x tiende a 2, a qué valor se aproxima? Construyendo - + una tabla de valores próximos

Más detalles

UNIDAD I: FUNCIONES Y LIMITES

UNIDAD I: FUNCIONES Y LIMITES UNIDAD I: FUNCIONES Y LIMITES Iniciamos el estudio del cálculo haciendo un repaso de funciones y gráficas, para luego introducirnos en el estudio de los ites. Esta unidad consta en el teto base, en el

Más detalles

LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD

LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Página REFLEXIONA Y RESUELVE Algunos ites elementales Utiliza tu sentido común para dar el valor de los siguientes ites: a,, b,, @ c,, 5 + d,, @ @ + e,, @ f,, 0 @ 0 @

Más detalles

LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES

LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES Capítulo 9 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES 9.. Introducción El concepto de ite en Matemáticas tiene el sentido de lugar hacia el que se dirige una función en un determinado punto o en el infinito. Veamos

Más detalles

LÍMITES Y CONTINUIDAD

LÍMITES Y CONTINUIDAD UNIDAD 5 LÍMITES Y CONTINUIDAD Páginas 0 y Describe las siguientes ramas: a) f () b) f () no eiste c) f () d) f () + e) f () f) f () + g) f () h) f () no eiste; f () 0 i) f () + f () + j) f () 5 4 f ()

Más detalles

Continuidad y ramas infinitas. El aumento A producido por cierta lupa viene dado por la siguiente ecuación: A = 2. lm í

Continuidad y ramas infinitas. El aumento A producido por cierta lupa viene dado por la siguiente ecuación: A = 2. lm í Unidad. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas Resuelve Página 7 A través de una lupa AUMENTO DISTANCIA (dm) El aumento A producido por cierta lupa viene dado por la siguiente ecuación: A

Más detalles

FUNCIONES Y GRÁFICAS.

FUNCIONES Y GRÁFICAS. FUNCIONES Y GRÁFICAS. CONTENIDOS: Concepto de función. Gráfica de una función. Estudio cualitativo de funciones dadas por sus gráficas Idea intuitiva de continuidad de una función. Repaso de funciones

Más detalles

Apuntes de cálculo diferencial en una y varias variables reales. Eduardo Liz Marzán

Apuntes de cálculo diferencial en una y varias variables reales. Eduardo Liz Marzán Apuntes de cálculo diferencial en una y varias variables reales Eduardo Liz Marzán Diciembre de 2013 Índice general 1 Preliminares 1 11 Introducción 1 12 La relación de orden en el conjunto de los números

Más detalles

EL MÉTODO DE LA BISECCIÓN

EL MÉTODO DE LA BISECCIÓN EL MÉTODO DE LA BISECCIÓN Teorema de Bolzano Sea f : [a, b] IR IR una función continua en [a, b] tal que f(a) f(b) < 0, es decir, que tiene distinto signo en a y en b. Entonces, existe c (a, b) tal que

Más detalles

ANÁLISIS DESCRIPTIVO DE FUNCIONES Y GRÁFICAS

ANÁLISIS DESCRIPTIVO DE FUNCIONES Y GRÁFICAS ANÁLISIS DESCRIPTIVO DE FUNCIONES Y GRÁFICAS INTRODUCCIÓN La noción actual de función comienza a gestarse en el siglo XIV, cuando empiezan a preocuparse de medir y representar las variaciones de ciertas

Más detalles

Límites y Continuidad

Límites y Continuidad Universidad de Sonora División de Ciencias Eactas y Naturales Departamento de Matemáticas. Límites y Continuidad Problemas Resueltos Dr. José Luis Díaz Gómez Versión. Abril de 005 Dr. José Luis Díaz Gómez.

Más detalles

Límites de funciones y continuidad

Límites de funciones y continuidad Capítulo 4 Límites de funciones y continuidad 4.. Definición Sea f definida en un entorno reducido de 0 0 < 0 < δ), pero no necesariamente en el mismo punto 0. Diremos que f tiene el ite L en 0 cuando

Más detalles

ANÁLISIS DE FUNCIONES, LÍMITES Y CONTINUIDAD. RESUMEN

ANÁLISIS DE FUNCIONES, LÍMITES Y CONTINUIDAD. RESUMEN ANÁLISIS DE FUNCIONES, LÍMITES Y CONTINUIDAD. RESUMEN Problema Datos Procedimiento Ejemplo Dominio de una La ecuación de Casos en los que en dominio no es IR: función la función Irracionales (ecluir valores

Más detalles

Análisis de una variable real I. Tijani Pakhrou

Análisis de una variable real I. Tijani Pakhrou Análisis de una variable real I Tijani Pakhrou Índice general 1. Introducción axiomática de los números 1 1.1. Números naturales............................ 1 1.1.1. Axiomas de Peano........................

Más detalles

9. Límites que involucran funciones exponenciales y logarítmicas

9. Límites que involucran funciones exponenciales y logarítmicas Métodos para evaluación de ites Yoel Monsalve 77 9 Límites que involucran funciones eponenciales y logarítmicas 9 El número e como un ite El ite: + n) n 9) se conoce como el número e Su valor aproimado,

Más detalles

Título: Límites de funciones y continuidad. Autor: c Juan José Isach Mayo

Título: Límites de funciones y continuidad. Autor: c Juan José Isach Mayo Título: Límites de funciones continuidad Autor: c Juan José Isach Mao Fecha:04 Septiembre del 007 Contents Límites 5. Conceptos previos.......................... 5. Límites de una función en un punto................

Más detalles

MATEMÁTICAS. TEMA 5 Límites y Continuidad

MATEMÁTICAS. TEMA 5 Límites y Continuidad MATEMÁTICAS TEMA 5 Límites y Continuidad MATEMÁTICAS º BACHILLERATO CCSS. TEMA 5: LÍMITES Y CONTINUIDAD ÍNDICE. Introducción. Concepto de función. 3. Dominio e imagen de una función. 4. Gráfica de algunas

Más detalles

Límites. 1. Calcula los límites de las siguientes funciones en los puntos que se indican: 2 2 2 a) lim b) lim c) lim d) lim

Límites. 1. Calcula los límites de las siguientes funciones en los puntos que se indican: 2 2 2 a) lim b) lim c) lim d) lim Límites CIT_H. Calcula los límites de las siguientes funciones en los puntos que se indican: ( ) + + + a) lim b) lim c) lim d) lim + + + + + e) lim f) lim g) lim h) lim + 0 + + 9 + j) lim k) lim l) lim

Más detalles

(Apuntes en revisión para orientar el aprendizaje)

(Apuntes en revisión para orientar el aprendizaje) (Apuntes en revisión para orientar el aprendizaje) LÍMITES DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Para resolver límites que involucran funciones circulares directas, resulta conveniente conocer los límites de las

Más detalles

Funciones reales de variable real: límites y continuidad

Funciones reales de variable real: límites y continuidad Capítulo 3 Funciones reales de variable real: límites y continuidad 3.. Funciones reales de variable real 3... ntroducción Una función f : A B consiste en dos conjuntos, el dominio A = Dom(f) y el rango

Más detalles

Propiedades de los límites

Propiedades de los límites SECCIÓN 3 Cálculo analítico de ites 59 3 Cálculo analítico de ites Evaluar un ite mediante el uso de las propiedades de los ites Desarrollar usar una estrategia para el cálculo de ites Evaluar un ite mediante

Más detalles

CÁLCULO I I FUNCIONES DE UNA VARIABLE, LÍMITES Y CONTINUIDAD. Noción intuitiva de límite

CÁLCULO I I FUNCIONES DE UNA VARIABLE, LÍMITES Y CONTINUIDAD. Noción intuitiva de límite CÁLCULO I I FUNCIONES DE UNA VARIABLE, LÍMITES Y CONTINUIDAD Noción intuitiva de límite Leer con cuidado [S1, ] o bien [S, 6] L1- Para la función que aparece abajo determinar los valores que se solicitan

Más detalles

Anexo 2: Demostraciones

Anexo 2: Demostraciones 0 Matemáticas I : Cálculo diferencial en IR Aneo : Demostraciones Funciones reales de variable real Demostración de: Propiedades del valor absoluto 79 de la página 85 Propiedades del valor absoluto 79.-

Más detalles

1 Sucesiones de números reales

1 Sucesiones de números reales 1 Sucesiones de números reales 1.1 Números reales En el conjunto de los números reales tenemos definidas dos operaciones binarias, suma y producto, y una relación de orden (a, b) a + b (a, b) ab a b. Ellos

Más detalles

Estudio Gráfico de Funciones. Departamento de Matemáticas. IES Rosario de Acuña. Gijón 2009

Estudio Gráfico de Funciones. Departamento de Matemáticas. IES Rosario de Acuña. Gijón 2009 Estudio Gráfico de Funciones Departamento de Matemáticas. IES Rosario de Acuña. Gijón 2009 Índice 1. Función 2 1.1. Definición............................. 2 1.2. Clasificación............................

Más detalles

LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD

LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Página 7 REFLEXIONA Y RESUELVE Visión gráfica de los ites Describe análogamente las siguientes ramas: a) f() b) f() no eiste c) f() d) f() +@ e) f() @ f) f() +@ g) f()

Más detalles

Matemática I Extremos de una Función. Definiciones-Teoremas

Matemática I Extremos de una Función. Definiciones-Teoremas Universidad Centroccidental Lisandro Alvarado Decanato de Agronomía Programa Ingeniería Agroindustrial Departamento de Gerencia Estudios Generales Matemática I Etremos de una Función. Definiciones-Teoremas

Más detalles

TEMA 1: Cálculo Diferencial de una variable

TEMA 1: Cálculo Diferencial de una variable TEMA 1: Cálculo Diferencial de una variable Cálculo para los Grados en Ingeniería EPIG - UNIOVI Curso 2010-2011 Los números Naturales I Los números Naturales N = f1, 2, 3, g I Principio de inducción Supongamos

Más detalles

TEMA 3: CONTINUIDAD DE FUNCIONES

TEMA 3: CONTINUIDAD DE FUNCIONES TEMA 3: CONTINUIDAD DE FUNCIONES. Valor Absoluto Trabajaremos en el campo de los números reales, R. Para el estudio de las propiedades de las funciones necesitamos el concepto de valor absoluto de un número

Más detalles

8LÍMITES Y DERIVADAS. Problema 1. Problema 2. Problema 3

8LÍMITES Y DERIVADAS. Problema 1. Problema 2. Problema 3 CONTENIDOS Límite y asíntotas Cálculo de límites Continuidad Derivadas Estudio de funciones Problemas de optimización Varias de las características de diferentes tipos de funciones ya han sido estudiadas

Más detalles

Tema 2 Límites de Funciones

Tema 2 Límites de Funciones Tema 2 Límites de Funciones 2.1.- Definición de Límite Idea de límite de una función en un punto: Sea la función. Si x tiende a 2, a qué valor se aproxima? Construyendo - + una tabla de valores próximos

Más detalles

5 Funciones. Límites y continuidad

5 Funciones. Límites y continuidad Solucionario 5 Funciones. Límites y continuidad ACTIVIDADES INICIALES 5.I. Representa la función: < si f ( ) si < 4 5 si 4 f 5.II. Factoriza estos polinomios: P() 4 5 P() 4 c) P() 4 7 8 P() 4 5 ( )( 5)

Más detalles

TEMA 2: FUNCIONES CONTINUAS DE VARIAS VARIABLES

TEMA 2: FUNCIONES CONTINUAS DE VARIAS VARIABLES TEMA 2: FUNCIONES CONTINUAS DE VARIAS VARIABLES ÍNDICE 1. Funciones de varias variables 1 2. Continuidad 2 3. Continuidad y composición de funciones 4 4. Continuidad y operaciones algebraicas 4 5. Carácter

Más detalles

Teoría de Conjuntos y Funciones

Teoría de Conjuntos y Funciones Elaborado por: Lic. Eleazar J. García República Bolivariana de Venezuela. Tinaco.- Estado Cojedes Teoría de Conjuntos Funciones Este capítulo comienza con el estudio de las nociones de la teoría de conjuntos

Más detalles

GUÍA DE APRENDIZAJE DE CÁLCULO DIFERENCIAL

GUÍA DE APRENDIZAJE DE CÁLCULO DIFERENCIAL I N S T I T U T O P O L I T É C N I C O N A C I O N A L C E N T R O D E E S T U D I O S C I E N T Í F I C O S Y T E C N O L Ó G I C O S N o.11 W I L F R I D O M A S S I E U A C A D E M I A D E M A T E

Más detalles

REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES

REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES Tema 4: Representación de funciones Índice:. Información obtenida de la función... Dominio de la función.. Simetrías..3. Periodicidad.4. Puntos de corte con los ejes..5. Ramas

Más detalles

Una desigualdad se obtiene al escribir dos expresiones numéricas o algebraicas relacionadas con alguno de los símbolos

Una desigualdad se obtiene al escribir dos expresiones numéricas o algebraicas relacionadas con alguno de los símbolos MATEMÁTICAS BÁSICAS DESIGUALDADES DESIGUALDADES DE PRIMER GRADO EN UNA VARIABLE La epresión a b significa que "a" no es igual a "b ". Según los valores particulares de a de b, puede tenerse a > b, que

Más detalles

Congruencias de Grado Superior

Congruencias de Grado Superior Congruencias de Grado Superior Capítulo 3 3.1 Introdución En el capítulo anterior vimos cómo resolver congruencias del tipo ax b mod m donde a, b y m son enteros m > 1, y (a, b) = 1. En este capítulo discutiremos

Más detalles

Operaciones con funciones. Funciones trascendentes: exponencial, logarítmica y trigonométrica

Operaciones con funciones. Funciones trascendentes: exponencial, logarítmica y trigonométrica UNIDAD Operaciones con funciones Funciones trascendentes: eponencial, logarítmica y trigonométrica l álgebra de funciones indica qué operaciones pueden realizarse con funciones E y cómo hacerlo Operación

Más detalles

10 Cálculo. de derivadas. 1. La derivada. Piensa y calcula. Aplica la teoría

10 Cálculo. de derivadas. 1. La derivada. Piensa y calcula. Aplica la teoría 0 Cálculo de derivadas. La derivada Piensa y calcula Calcula mentalmente sobre la primera gráfica del margen: a) la pendiente de la recta secante, r, que pasa por A y B b) la pendiente de la recta tangente,

Más detalles

1. Definición y representaciones gráficas

1. Definición y representaciones gráficas Universidad Nacional de La Plata Facultad de Ciencias Exactas ANÁLISIS MATEMÁTICO II (CiBEx - Física Médica) 2014 Segundo Semestre GUÍA Nro. 3: FUNCIONES ESCALARES DE VARIAS VARIABLES 1. Definición y representaciones

Más detalles

Gráfica de una función

Gráfica de una función CAPÍTULO 9 Gráfica de una función 9. Bosquejo de la gráfica de una función Para gráficar una función es necesario:. Hallar su dominio sus raíces.. Decidir si es par o impar, o bien ninguna de las dos cosas..

Más detalles

Departamento de Matemáticas

Departamento de Matemáticas MA5 Clase 9: Campos Direccionales, Curvas Integrales. Eistencia y Unicidad Elaborado por los profesores Edgar Cabello y Marcos González La ecuación y = f(, y) determina el coeficiente angular de la tangente

Más detalles

3 El Teorema del Valor Medio

3 El Teorema del Valor Medio 3 El Teorema del Valor Medio Este capítulo eplora una serie de conceptos teoremas desarrollados en los albores del siglo XIX, cuando algunos matemáticos comenzaron a insistir acerca de la necesidad de

Más detalles

FUNCIONES. Funciones. Qué es una función? Indicadores. Contenido

FUNCIONES. Funciones. Qué es una función? Indicadores. Contenido Indicadores FUNCIONES Calcula el valor de incógnitas usando la definición de función. Determina valores de la variable dependiente a partir de valores dados a la variable independiente. Determina los puntos

Más detalles

Tema 5. Aproximación funcional local: Polinomio de Taylor. 5.1 Polinomio de Taylor

Tema 5. Aproximación funcional local: Polinomio de Taylor. 5.1 Polinomio de Taylor Tema 5 Aproximación funcional local: Polinomio de Taylor Teoría Los polinomios son las funciones reales más fáciles de evaluar; por esta razón, cuando una función resulta difícil de evaluar con exactitud,

Más detalles

Capítulo 3: APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

Capítulo 3: APLICACIONES DE LAS DERIVADAS Capítulo : Aplicaciones de la derivada 1 Capítulo : APLICACIONES DE LAS DERIVADAS Dentro de las aplicaciones de las derivadas quizás una de las más importantes es la de conseguir los valores máimos y mínimos

Más detalles

LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Y RAMAS INFINITAS

LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Y RAMAS INFINITAS LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD RAMAS INFINITAS Página 7 REFLEIONA RESUELVE Aproimaciones sucesivas Comprueba que: f () =,5; f (,9) =,95; f (,99) =,995 Calcula f (,999); f (,9999); f (,99999); A la vista

Más detalles

Funciones de varias variables

Funciones de varias variables Capítulo 2 Funciones de varias variables 1. Definiciones básicas En este texto consideraremos funciones f : A R m, A R n. Dichas funciones son comúnmente denominadas como funciones de varias variables,

Más detalles

GUIA I (Limites Por Definición E Indeterminaciones)

GUIA I (Limites Por Definición E Indeterminaciones) REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DEL PODER POPULAR DE LA DEFENSA UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL DE LA FUERZA ARMADA NACIONAL NUCLEO- GUANARE GUIA I (ites Por Definición E Indeterminaciones)

Más detalles

CAPITULO 3. Aplicaciones de la Derivada. Licda. Elsie Hernández Saborío. Instituto Tecnológico de Costa Rica. Escuela de Matemática

CAPITULO 3. Aplicaciones de la Derivada. Licda. Elsie Hernández Saborío. Instituto Tecnológico de Costa Rica. Escuela de Matemática CAPITULO Aplicaciones de la Derivada Licda. Elsie Hernández Saborío Instituto Tecnológico de Costa Rica Escuela de Matemática Créditos Primera edición impresa: Rosario Álvarez, 1988. Edición Latex: Marieth

Más detalles

LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Y RAMAS INFINITAS

LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Y RAMAS INFINITAS LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD RAMAS INFINITAS Página 7 REFLEIONA RESUELVE Aproimaciones sucesivas Comprueba que: f () = 6,5; f (,9) = 6,95; f (,99) = 6,995 Calcula f (,999); f (,9999); f (,99999);

Más detalles

9 Funciones elementales

9 Funciones elementales Solucionario 9 Funciones elementales ACTIVIDADES INICIALES 9.I. Halla las raíces y factoriza los siguientes polinomios. a) P() 4 b) Q() 3 6 a) Se resuelve la ecuación 4 0. Las raíces son 6 y, y P() ( 6)(

Más detalles

x : N Q 1 x(1) = x 1 2 x(2) = x 2 3 x(3) = x 3

x : N Q 1 x(1) = x 1 2 x(2) = x 2 3 x(3) = x 3 3 Sucesiones - Fernando Sánchez - - Cálculo I de números racionales 03 10 2015 Los números reales son aproximaciones que se van haciendo con números racionales. Estas aproximaciones se llaman sucesiones

Más detalles

b) Para encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, hay que derivar la función. Como que se trata de un cociente, aplicamos la fórmula:

b) Para encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, hay que derivar la función. Como que se trata de un cociente, aplicamos la fórmula: 1. Dada la función f(x) = : a) Encontrar el dominio, las AH y las AV. b) Intervalos de crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos relativos. c) Primitiva que cumpla que F(0) = 0. a) Para encontrar el

Más detalles

Variables aleatorias continuas

Variables aleatorias continuas Variables aleatorias continuas Hemos definido que una variable aleatoria X es discreta si I X es un conjunto finito o infinito numerable. En la práctica las variables aleatorias discretas sirven como modelos

Más detalles

La velocidad en caída libre de un paracaidista que pesa 64 kilogramos viene dada aproximadamente por v - pies 4

La velocidad en caída libre de un paracaidista que pesa 64 kilogramos viene dada aproximadamente por v - pies 4 1 Capítulo 1 Límite de funciones de variable real Contenido breve Módulo 1 Noción intuitiva del límite Módulo Definición de Cauchy (rigurosa) del límite de una función 64 1 La velocidad en caída libre

Más detalles

CALCULO CAPITULO 1 1.6 ASINTOTAS VERTICALES Y HORIZONTALES

CALCULO CAPITULO 1 1.6 ASINTOTAS VERTICALES Y HORIZONTALES 1.6 ASINTOTAS VERTICALES Y HORIZONTALES 1.6.1.- Definición. Una asíntota es una recta que se encuentra asociada a la gráfica de algunas curvas y que se comporta como un límite gráfico hacia la cual la

Más detalles

Representación gráfica de funciones

Representación gráfica de funciones Gráfica de una fución Representación gráfica de funciones La gráfica de una función está formada por el conjunto de puntos (x, y) para todos los valores de x pertenecientes al Dominio de la función gráfica

Más detalles

EJERCICIOS DE FUNCIONES REALES

EJERCICIOS DE FUNCIONES REALES EJERCICIOS DE FUNCIONES REALES.- La ley que relaciona el valor del área de un cuadrado con la longitud de su lado es una función. Sabemos que la epresión que nos relacionas ambas variables es. Observa

Más detalles

UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID MATEMÁTICAS PARA LA ECONOMÍA II PROBLEMAS (SOLUCIONES )

UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID MATEMÁTICAS PARA LA ECONOMÍA II PROBLEMAS (SOLUCIONES ) UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID MATEMÁTICAS PARA LA ECONOMÍA II PROBLEMAS (SOLUCIONES ) HOJA : Límites continuidad de funciones en R n. -. Dibuja cada uno de los subconjuntos de R siguientes. Dibuja su

Más detalles

). (Nota: también lo es en cada uno de los demás intervalos de definición de la función tangente, pero no de manera global en toda la recta real).

). (Nota: también lo es en cada uno de los demás intervalos de definición de la función tangente, pero no de manera global en toda la recta real). Tema 5 Integral Indefinida 5.1 Introducción Dedicaremos este tema a estudiar el concepto de Integral Indefinida y los métodos más habituales para calcular las integrales indefinidas. De una manera intuitiva

Más detalles

TEMA 8 LÍMITES DE FUNCIONES, CONTINUIDAD Y ASÍNTOTAS

TEMA 8 LÍMITES DE FUNCIONES, CONTINUIDAD Y ASÍNTOTAS Tema 8 Límites de funciones, continuidad y asíntotas Matemáticas II º Bach 1 TEMA 8 LÍMITES DE FUNCIONES, CONTINUIDAD Y ASÍNTOTAS 8.1 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN 8.1.1 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Límite

Más detalles

Límite de una función

Límite de una función Límite de una función Idea intuitiva de límite El límite de la función f(x) en el punto x 0, es el valor al que se acercan las imágenes (las y) cuando los originales (las x) se acercan al valor x 0. Es

Más detalles

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I EVALUACIÓN DE RECUPERACIÓN E0100

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I EVALUACIÓN DE RECUPERACIÓN E0100 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I EVALUACIÓN DE RECUPERACIÓN E0100 1) Cierto artículo de lujo se vende en 1 000 pesos. La cantidad de ventas es de 0 000 artículos al año. Se considera imponer un impuesto

Más detalles

Funciones de varias variables

Funciones de varias variables Tema 5 Funciones de varias variables Supongamos que tenemos una placa rectangular R y determinamos la temperatura T en cada uno de sus puntos. Fijado un sistema de referencia, T es una función que depende

Más detalles

SOLUCIONES HOJA 5: APLICACIONES DE LA DERIVADA 1

SOLUCIONES HOJA 5: APLICACIONES DE LA DERIVADA 1 MATEMÁTICAS:º BACHILLERATO SOLUCIONES HOJA 5: APLICACIONES DE LA DERIVADA.- Calcular los etremos relativos de las siguientes funciones: a) f ( ) D(f) (Por ser polinómica) ; Posibles máimos o mínimos 6

Más detalles

Las anteriores fórmulas suelen expresarse matricialmente como

Las anteriores fórmulas suelen expresarse matricialmente como Capítulo III Teoría de las curvas 1. Clasificación de curvas en R 3 En esta sección veremos que, esencialmente, la curvatura y la torsión determinan las curvas de R 3. Para ello necesitaremos las conocidas

Más detalles

Interpolación polinómica

Interpolación polinómica 9 9. 5 9. Interpolación de Lagrange 54 9. Polinomio de Talor 57 9. Dados dos puntos del plano (, ), (, ), sabemos que ha una recta que pasa por ellos. Dicha recta es la gráfica de un polinomio de grado,

Más detalles

MATEMÁTICAS BÁSICAS UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELLÍN CLASES # 13 y #14

MATEMÁTICAS BÁSICAS UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELLÍN CLASES # 13 y #14 MATEMÁTICAS BÁSICAS UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELLÍN CLASES # 3 y #4 Desigualdades Al inicio del Capítulo 3, estudiamos las relaciones de orden en los número reales y el signi cado de expresiones

Más detalles

Ejemplo: Resolvemos Sin solución. O siempre es positiva o siempre es negativa. Damos un valor cualquiera Siempre + D(f) =

Ejemplo: Resolvemos Sin solución. O siempre es positiva o siempre es negativa. Damos un valor cualquiera Siempre + D(f) = T1 Dominios, Límites, Asíntotas, Derivadas y Representación Gráfica. 1.1 Dominios de funciones: Polinómicas: D( = La X puede tomar cualquier valor entre Ejemplos: D( = Función racional: es el cociente

Más detalles

Soluciones de los ejercicios de Selectividad sobre Funciones de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II

Soluciones de los ejercicios de Selectividad sobre Funciones de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Soluciones de los ejercicios de Selectividad sobre Funciones de Antonio Francisco Roldán López de Hierro * Convocatoria de 200 Las siguientes páginas contienen las soluciones de los ejercicios propuestos

Más detalles

Límites infinitos y trigonométricos.

Límites infinitos y trigonométricos. Universidad Tecnológica del Sureste de Veracruz Química Industrial CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL Límites infinitos y trigonométricos. NOMBRE DEL ALUMNO Morales Aguilar Itzel Garrido Navarro Arantxa Itchel

Más detalles

Polinomios y Ecuaciones

Polinomios y Ecuaciones Ejercicios de Cálculo 0 Prof. María D. Ferrer G. Polinomios y Ecuaciones.. Polinomios: Un polinomio o función polinómica es una epresión de la forma: n n n P a a a a a a = n + n + n + + + + 0 () Los números

Más detalles

Polinomios y fracciones algebraicas

Polinomios y fracciones algebraicas 0 Polinomios y fracciones algebraicas En esta Unidad aprenderás a: d Trabajar con epresiones polinómicas. d Factorizar polinomios. d Operar con fracciones algebraicas. d Descomponer una fracción algebraica

Más detalles

LÍMITES DE FUNCIONES Y DE SUCESIONES

LÍMITES DE FUNCIONES Y DE SUCESIONES LÍMITES DE FUNCIONES Y DE SUCESIONES Índice: 1.Funciones reales de variable real-------------------------------------------------------------- 1 2. Límite finito de una función en un punto.---------------------------------------------------

Más detalles

3. Operaciones con funciones.

3. Operaciones con funciones. GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 00. Lección. Funciones derivada. 3. Operaciones con funciones. En esta sección veremos cómo podemos combinar funciones para construir otras nuevas. Especialmente

Más detalles

Diferenciabilidad de funciones de R n en R m

Diferenciabilidad de funciones de R n en R m Diferenciabilidad de funciones de R n en R m Cálculo II (2003) En este capítulo generalizamos la noción de diferenciabilidad para funciones vectoriales de variable vectorial, que también llamamos aplicaciones.

Más detalles

1. Funciones de varias variables

1. Funciones de varias variables Análisis Matemático II. Curso 2008/2009. Diplomatura en Estadística/Ing. Téc. en Inf. de Gestión. Universidad de Jaén TEMA 2: CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 1. Funciones de varias variables

Más detalles

LÍMITES DE FUNCIONES, INDETERMINACIONES, CONTINUIDAD, RELACIÓN CON LA APLICACIÓN EN LA INTERPRETACIÓN DE SITUACIONES Y SU REPRESENTACIÓN.

LÍMITES DE FUNCIONES, INDETERMINACIONES, CONTINUIDAD, RELACIÓN CON LA APLICACIÓN EN LA INTERPRETACIÓN DE SITUACIONES Y SU REPRESENTACIÓN. LÍMITES DE FUNCIONES, INDETERMINACIONES, CONTINUIDAD, RELACIÓN CON LA APLICACIÓN EN LA INTERPRETACIÓN DE SITUACIONES Y SU REPRESENTACIÓN. Abel Martín. Profesor de Matemáticas del IES Pérez de Ayala (Oviedo

Más detalles

Aplicaciones de las derivadas

Aplicaciones de las derivadas I. E. S. Siete Colinas (Ceuta) Departamento de Matemáticas Matemáticas de º de Bachillerato Aplicaciones de las derivadas (estudio de funciones) Por Javier Carroquino CaZas Catedrático de matemáticas del

Más detalles

4.1 MONOTONÍA 4.2 MÁXIMOS Y MÍNIMOS 4.3 CONCAVIDAD 4.4 ELABORACIÓN DE GRÁFICAS SOFISTICADAS 4.5 TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA

4.1 MONOTONÍA 4.2 MÁXIMOS Y MÍNIMOS 4.3 CONCAVIDAD 4.4 ELABORACIÓN DE GRÁFICAS SOFISTICADAS 4.5 TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA Cáp. Temas Adicionales de la derivada. MONOTONÍA. MÁXIMOS Y MÍNIMOS. CONCAVIDAD. ELABORACIÓN DE GRÁFICAS SOFISTICADAS.5 TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA DERIVADAS.6 TEOREMA DE ROLLE.7 TEOREMA DE CAUCHY.8 TEOREMA

Más detalles

Tema 1: Preliminares

Tema 1: Preliminares Métodos Numéricos: Resumen y ejemplos Tema 1: Preliminares Francisco Palacios Escuela Politécnica Superior de Ingeniería de Manresa Universidad Politécnica de Cataluña Febrero 2008, versión 1.7 1. Desigualdades

Más detalles

ANÁLISIS DE FUNCIONES RACIONALES

ANÁLISIS DE FUNCIONES RACIONALES ANÁLISIS DE FUNCIONES RACIONALES ( x 9) Dada la función f( x) = x 4 DETERMINE: Dominio, asíntotas, intervalos de crecimiento, intervalos de concavidad, extremos relativos y puntos de inflexión, representar

Más detalles

3FUNCIONES LOGARÍTMICAS

3FUNCIONES LOGARÍTMICAS 3FUNCIONES LOGARÍTMICAS Problema 1 Si un cierto día, la temperatura es de 28, y hay mucha humedad, es frecuente escuchar que la sensación térmica es de, por ejemplo, 32. La sensación térmica depende de

Más detalles

-12-10 -8-6 -4-2 0 2 4 6 8 10 12. x [ 64, ] se tiene:

-12-10 -8-6 -4-2 0 2 4 6 8 10 12. x [ 64, ] se tiene: Concepto de valor absoluto: El Valor Absoluto se define como la distancia entre dos números reales en la recta numérica. Con el objeto de afianzar el concepto de valor absoluto, es necesario ligarlo a

Más detalles