1-Comportamiento de una función alrededor de un punto:

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1 Matemática II 7 Modulo Límites continuidad En esta sección desarrollaremos el concepto de límite, una de las nociones fundamentales del cálculo. A partir de este concepto se desarrollan también los conceptos de continuidad, derivabilidad e integración que se verán más adelante. Comenzaremos con una idea intuitiva del estudio del comportamiento de una función alrededor de un punto o cuando los valores de crecen indefinidamente. -Comportamiento de una función alrededor de un punto: Si la función f está definida para valores de la variable cercanos a., queremos estudiar el comportamiento de los valores de f() cuando se aproima a. Definición Si f está definida en un intervalo abierto alrededor del punto, aunque no lo esté en, diremos que f() tiene límite L, cuando tiende a, si el valor de f() se hace arbitrariamente próimo al valor de L cuando se aproima a, lo escribiremos así : f ( ) = L Ejemplos: ) Dada f ( ) = queremos saber cómo se comporta f() en un entorno del punto =: La función se define en todos los números reales ecepto en =. Podemos simplificar la fórmula, factorizando el numerador, para valores distintos de. ( )( + ) f ( ) = = +, para La gráfica de f() es la recta =+ menos un punto, el (,) En la gráfica aparece un agujero en este punto. Podemos de todos modos hacer el valor de f() tan cercano a como queramos, eligiendo suficientemente cercano a.

2 Matemática II 7 - Decimos que f() está arbitrariamente cercano a cuando se aproima a, o simplemente f() se aproima a cuando se acerca a, escribimos: f ( ) = Notar que para el valor = la función puede no estar definida o puede no tomar el valor L. En este caso f no está definida en =, sin embargo el límite cuando se acerca a es, a que el valor del límite es el valor de la función para valores próimos a no necesariamente en. ) Sea < f() = Esta es una función definida a trozos. Acá notamos que tenemos que analizar separadamente el valor de la función cuando se aproima a por valores maores a él, cuando se aproima a por valores menores a él.

3 Matemática II 7 Sin embargo vemos que en ambos casos el valor de la función se acerca a, por lo tanto decimos que : f ( ) = 3) Sea < f() = - Esta es una función definida a trozos, su gráfica presenta un salto en =. Vemos que f() puede aproimarse tanto como queramos al valor cuando se aproima a por valores maores a, pero cuando se aproima a por valores menores que la función se acerca a, luego no es cierto que cuando se acerca a, los valores de f() se acercan a un número L por lo tanto, este es un ejemplo donde diremos que no eiste lím f ( ). Sin embargo, como dijimos, f() puede aproimarse tanto como queramos al valor cuando se aproima a por valores maores a, de modo que diremos que el límite de f(), cuando tiende a por la derecha es, lo que escribiremos lím f ( ) = análogamente, el límite de f(), cuando + tiende a por la izquierda es, lo que escribiremos lím f ( ) =. A estos límites los llamaremos límites laterales. 3

4 Matemática II 7 Definición. Si f está definida a la izquierda de, aunque no lo esté en, diremos que el límite de f(), cuando tiende a por la izquierda es L, si f() se hace arbitrariamente próimo al valor de L cuando se aproima a por la izquierda, lo escribiremos así : lím f ( ) = L. Si f está definida a la derecha de, aunque no lo esté en, diremos que el límite de f(), cuando tiende a por la derecha es L, si f() se hace arbitrariamente próimo al valor de L cuando se aproima a por la izquierda, lo escribiremos así : lím f ( ) = L + Observaciones: La epresión f ( ) = L es equivalente a decir f ( ) = L f ( ) = L + Se tiene entonces que: si f ( ) = L f ( ) = L con L L si + no eiste f ( ) o no eiste f ( ) + f ( ) no eiste f ( ) no eiste Propiedades: ) Si f()=k k, constante, ) Si f()= f ( ) = k f ( ) = 3) Si f ( ) = L, g ( ) = M (L M son números reales), entonces: a) b) [ f ( ) + g( )] = f ( ) + g( ) = L + M [ f ( ). g( )] = f ( ). g( ) = L. M c) d) Si kf ( ) = k f ( ) = kl g ( ) f ( ) f ( ) L = = g ( ) g ( ) M 4

5 Matemática II 7 4) Si f ( ) = L, g ( ) = M L g ( f ( )) = M 5) Si m n son números enteros [ f ( )] m n m n = L cuando m n L es un número real Ejemplo: Calcular Usaremos las propiedades para analizar los límites del numerador denominador. Notemos que : 3 = = usando la propiedad, la propiedad 3b = = usando la propiedad 3c, la la 3b 3 = 3 usando la propiedad Por lo tanto usando la propiedad 3a, = = Del mismo modo usando las propiedades adecuadas, analicemos el límite del denominador: + 4 = + 4 = + 4 = 5 Por lo tanto, usando la propiedad 3d, = = Es importante señalar que el límite del denominador es distinto de, que todos los límites que fuimos calculando parcialmente son números reales. Teorema del encaje: Sean f, g h tres funciones definidas en un intervalo abierto (a,b) que contiene al punto c, tales que : h( ) f ( ) g( ), ( a, b), ecepto posiblemente en c Luego si h( ) = L g( ) = L f ( ) = L c c c 5

6 Matemática II 7 g() f() c h() Funciones acotadas Definición: Se dice que una función f está acotada en un intervalo I si eisten constantes m M tales que m f ( ) M, I ( m es la cota inferior M la cota superior) Ejemplos: Las funciones 5 5 sen, cos, 3 + sen, cos, sen, 9 cos6 3 + están acotadas. Teorema. Si la función f está acotada en un intervalo abierto que contiene al punto a la función g verifica que el g ( ) =, entonces f ( ). g ( ) =. a a (Se demuestra usando el teorema del encaje. El resultado también es válido para límites laterales) Ejemplos: ). sen = 5 ) (4 ). cos + = 3) ( ) 3.cos 3+ = 3 Observación: Estos límites eisten sin embargo no pueden obtenerse por la regla del límite de un producto de funciones, se obtienen aplicando el teorema precedente. 6

7 Matemática II 7 Definición formal de límite: Sea f() definida sobre un intervalo abierto alrededor de ecepto posiblemente en. Decimos que f tiene límite L, cuando tiende a, escribimos f ( ) = L, Si para cada número ε >, eiste un número δ >, tal que para toda < <δ f ( ) L <ε Esta es la definición que formaliza el concepto de límite, nos permite demostrar que el límite de una función es un número L nos permite también demostrar algunas propiedades de límites. Veremos solamente un ejemplo para ilustrar su significado. Ejemplo: Demostrar que 5 3 = El de la definición en nuestro caso vale L vale. Para todo número real ε, debemos encontrar un número δ tal que si < <δ f ( ) <ε Hallamos δ trabajando hacia atrás, a partir de la desigualdad f ( ) <ε, Escribimos entonces 5 3 = 5 5 <ε ε Tenemos entonces 5 <ε < 5 Por lo tanto, dado cualquier ε podemos encontrar un δ, que depende de él, en este caso δ =ε /5 ε Entonces si < <δ = 5 ε 5 3 = 5 5 = 5 <5 = ε 5 Esto demuestra que 5 3 =. ε ε El valor de δ = no es el único que satisface la definición. Cualquier valor positivo menor que 5 5 también cumple las condiciones. Límites de funciones trigonométricas, eponenciales logarítmicas: Lema: senφ = φ 7

8 Matemática II 7 Demostración: π Supongamos <φ <. Vemos en el gráfico que s O bien rsenφ rφ Como r> tenemos senφ φ s Como = φ = + + φ φ El Teorema del Encaje nos permite concluir que senφ = + φ π Tomando <φ <, análogamente tenemos que senφ = φ Por lo tanto senφ = φ Hemos demostrado un caso particular del primer inciso del teorema siguiente. Teorema: Para cualquier número real a: senφ = sena φ a cosφ = cosa φ a e a a ln = lna a = e senφ = φ φ cosφ = φ φ 8

9 Matemática II 7 Actividades: ) Sea f() una función polinomial de grado n. Muestre utilizando las propiedades que correspondan que : f ( ) = f ( ) ) Sea f() una función racional. Muestre utilizando las propiedades que correspondan que si: p( ) f ( ) = con q( ) f ( ) = f ( ) q( ) 3) Sea f() una función n un número natural. Muestre utilizando las propiedades que correspondan el principio de inducción que si : f ( ) = L [ f ( )] n = L n 4) Calcular los siguientes límites: 3 5 a) b) ( )( ) 3 + c) + d) e) 5) Mostrar que si f ( ) = f ( ) = 6) Teniendo en cuenta la condición que satisface la función g, calcular el límite indicado: a) b) c) ( ) ( ) 3( ) R g si g g( ) si g( ) 4 (3 4 ) 3 + R g( ) si g( ) 3 5( ) + R 7) Calcular los siguientes límites utilizando los límites laterales: a) f() = 3 + < b) f ( ) = 9

10 Matemática II 7 a) b) c) 8) Calcular los siguientes límites enunciando qué propiedad usa. ( 5). sen ( 4).cos( ) 6 ( ) sen 6 + 9) Calcular indicando las propiedades usadas a) sen( πφ) φ b) φ πφ ( ) cos( ) φ c) sen(9 φ) sen(7 φ) φ d) cos φ senφ φ e) senφ φ 3 + f) φ φ φ cos Como hemos visto en muchos casos, el límite se evalúa por sustitución directa del valor de en la función. Sin embargo en algunas funciones esto no es posible, como vimos en el ejemplo del inicio del módulo, cuando las funciones están definidas a trozos, es decir tienen una definición hasta un valor de otra definición a partir de ese valor, necesitamos del estudio de los límites laterales. Aún con esta alternativa del estudio de límites laterales ha algunos límites que tampoco pueden calcularse de este modo. Limites indeterminados: Nos referimos con esta terminología a aquellos límites en los que al primer intento de hacer una sustitución directa aparecen indeterminaciones. Por ejemplo : si h( ) =, queremos calcular h( ) = por sustitución directa, vemos que el denominador es cero, por lo tanto no podemos utilizar la propiedad 3b para resolverlo.

11 Matemática II 7 Criterio para límites indeterminados: Si f ( ) = L g ( ) g( ) = f ( ) = Demostración: f ( ) f ( ) f ( ) = g( ) =. g( ) = L. = g( ) g( ) Notemos que una epresión equivalente a este criterio es su contrarrecíproca, es decir : Si f ( ) f ( ) no eiste o g ( ) g( ) En la práctica en general estamos interesados en el cálculo de límites de la forma: f ( ) g ( ) observamos que g ( ) = Entonces usando la contrarrecíproca del criterio decimos que Si f ( ) g ( ) = f ( ) no eiste g ( ) Si f ( ) = g ( ) = no podemos asegurar la eistencia o no de f ( ) g ( ) Volvamos al ejemplo: Analicemos los límites de f de g, en nuestro caso f ( ) = g( ) = 9 f ( ) = = g( ) = 9 = Por lo tanto usando la contrarrecíproca del criterio, como f ( ) g ( f ( ) ) = no eiste g ( ) Otros ejemplos: + 6 ) Sea h( ) = + 3, calcular si es que eiste, h( ) 3 Como ( 3) ( 6) h( ) = + = puede eistir o no.

12 Matemática II 7 Es decir que el criterio no nos asegura la eistencia del límite!!! Usamos entonces la técnica de cancelación, factorizando o hallando las raíces de Escribimos entonces: ( )( + 3) h( ) = = = = Notar que esta cancelación podemos hacerla para 3, como el límite es el estudio de la función cuando el valor de se aproima a -3, no importa el valor de en -3, por lo tanto podemos no considerarlo. ) Sea + h( ) = ; calcular si es que eiste, h( ) Como = ( + ) = h( ) puede eistir o no. 3 Usamos la técnica de racionalización: + ( + )( + + ) + h( ) = = = = = ( + + ) ( + + ) + + 3) Sea f ( ) = ; calcular si es que eiste, f ( ) Como = = no eiste Límites infinitos: Sea f() una función definida en (a,b) que contiene al punto. La epresión indica que la función crece indefinidamente la epresión decrece indefinidamente. f ( ) = + f ( ) = indica que la función Significa que el límite no eiste. Es decir que la función crece o decrece sin cota cuando tiende a. Indicamos entonces el comportamiento no acotado de una función cuando se acerca a por derecha o por izquierda de la siguiente manera: Si f crece sin cota cuando tiende a por derecha, f ( ) = + +

13 Matemática II 7 Si f decrece sin cota cuando tiende a por derecha, Si f crece sin cota cuando tiende a por izquierda, Si f decrece sin cota cuando tiende a por izquierda, f ( ) = + f ( ) = + f ( ) = Asíntota vertical: Si f() tiende a + o a cuando tiende a por la derecha o por la izquierda, se dice que la recta de ecuación =, es una asíntota vertical de la gráfica de f. Ejemplo: Calcular Como = = no eiste Notemos en el gráfico que sigue, que la función tiene un comportamiento no acotado cuando tiende a. Analizamos los límites laterales, notando que cuando se acerca a con valores positivos la función crece sin cota cuando se acerca a con valores negativos la función decrece sin cota. Por lo tanto escribimos : =, = + + Por lo tanto la recta de ecuación = es una asíntota vertical de la gráfica de f 3

14 Matemática II 7 Definición formal de límite infinito:. Sea f() definida sobre un intervalo abierto alrededor de ecepto posiblemente en. Decimos que f tiende a, cuando tiende a, escribimos f ( ) =, Si para cualquier número B>, eiste un número δ >, tal que para toda < <δ f ( ) >B. Decimos que f tiende a -, cuando tiende a, escribimos f ( ) =, Si para cualquier número B<, eiste un número δ >, tal que para toda < <δ f ( ) <B Actividades: ) Dada la función +3 > f()= = - > Calcular si es que eisten los siguientes límites a) f ( ) b) f ( ) c) f ( ) 4 ) Dada la función f()= - + > Calcular si es que eisten los siguientes límites a) f ( ) b) f ( ) c) f ( ) 3 ) Calcular si es que eisten los siguientes límites: a) b) + c) d) e) + f) 4

15 Matemática II 7 g) h) i) j) ( + h) h h k) l) 7 49 m) n) + h h h ñ) 3 o) 5 4 p) + q) ) Decidir en cada caso si la función presenta una asíntota vertical en =- a) f ( ) = + b) f ( ) = + + c) f ( ) =

16 Matemática II 7 -Comportamiento de una función en el infinito: Una función f definida en el intervalo (a, + ), se dice que f ( ) = L, si cuando crece, sin cota, los valores de f se acercan al valor L. Es decir que f() se hace tan cercano a L como se quiera, tomando un suficientemente grande. Del mismo modo tomando una función f definida en (,a), diremos que f ( ) = L, si cuando decrece sin cota, los valores de f se acercan a L. Propiedades: ) = ) = 3) = 4) = 5) Si f ( ) = L, g( ) = M, L, M R a) [ f ( ) + g( )] = f ( ) + g( ) = L + M b) [ f ( ). g( )] = f ( ). g( ) = L. M c) kf ( ) = k f ( ) = kl d) Si g( ) f ( ) f ( ) L = = g ( ) g ( ) M Las propiedades del punto 5 son válidas cuando tiende a Asíntota horizontal: Si f ( ) = L / o f ( ) = L diremos que la recta de ecuación =L es una asíntota horizontal de la gráfica de f() 6

17 Matemática II 7 Ejemplo: Tomemos la función usada en el ejemplo para el cálculo de una asíntota vertical. En este caso como intentaremos ver si tiene asíntota horizontal nos interesa calcular el límite cuando tiende a ± Calcular Por la propiedad 3 = por la propiedad 4 = Notemos que la función toma valores cada vez más pequeños a medida que crece. Por lo tanto la recta de ecuación = es una asíntota horizontal de la gráfica de f Definición formal de límite cuando tiende a infinito:. Sea f() definida sobre un intervalo abierto (a, ). Decimos que f tiene límite L, cuando tiende a infinito, escribimos f ( ) = L, Si para cualquier número ε >, eiste un número M>, tal que para toda >M f ( ) L <ε. Decimos que f tiene límite L, cuando tiende a menos infinito, escribimos f ( ) = L, Si para cualquier número ε >, eiste un número M<, tal que para toda <M f ( ) L <ε 7

18 Matemática II 7 Limites en el infinito de funciones racionales: Sea f una función racional n an + a a + a + a f ( ) = = m b + b + + b + b + b m n n m m... n n an a a a ( an ) n n n n = = m m bm b b b ( bm ) m m m m n an a a a ( an ) n n n = = m bm b b b ( bm ) m m m Notamos que cuando tiende a, todos los términos del numerador, salvo a n tienden a todos los términos del denominador salvo b m tienden a. Luego tenemos que n an + a a + a + a f ( ) = = m b + b + + b + b + b m n n m m... si n>m an si n=m bn si n<m Ejemplos: ) ) 3) (5 + 8/ 3/ ) 5 + 8/ 3/ = = = = 3 + (3 + / ) 3+ / (5/ + 8/ 3/ ) (5/ + 8/ 3/ ) (3 + / ) (3 + / ) 3+ = = = = ( + 8 3/ + 7 / ) ( + 8 3/ + 7 / ) = = = + ( + / ) ( + / ) Actividades: 4) Calcular los siguientes límites: ( + ) a) b) + c) d) ( + ) + 8

19 Matemática II 7 5) El proceso realizado para calcular límites de funciones racionales, puede realizarse también para funciones que tienen potencias no naturales de. Dividimos numerador denominador por elevado al maor eponente del denominador partimos de allí. Calcular: a) b) + c) ) Obtener las asíntotas de las siguientes funciones: a) f ( ) = 4 b) c) f ( ) = f ( ) = 7) Dibuje la gráfica de una función con dominio real que cumpla con las siguientes propiedades: f(-4)= f(-)= f()=3 f()=-3 f(4)= f(5)= f ( ) = f ( ) = 4 f ( ) = f ( ) = 5 f ( ) = f ( ) = + f ( ) = f ( ) = f ( ) = 3 f ( ) = 8) Calcular: a) sen b) cos Orden de Magnitud: Estudiaremos a través del orden de magnitud el comportamiento en el infinito de un cociente de dos funciones el cálculo de límites que conducen a indeterminaciones de la forma. Mostraremos cómo comparar las razones de crecimiento de funciones cuando aumenta. Puede notarse que las funciones eponenciales, como e parecen crecer con más rapidez cuando aumenta que las funciones polinomiales racionales, observemos el siguiente gráfico: 9

20 Matemática II 7 e Esta observación nos conduciría a decir que que sigue que, en efecto es así. e = =, demostraremos en lo e Sean f() g() funciones definidas positivas para valores grandes de, El orden de magnitud de f es maor que el orden de magnitud de g (f >>g) si : f ( ) = g ( ) El orden de magnitud de f es menor que el orden de magnitud de g (f <<g) si : f ( ) = g( ) El orden de magnitud de f es igual al orden de magnitud de g si : f ( ) = L > g ( ) Teorema: Para todo α real, α >, α ln Demostración: aceptaremos que > ln + R, su demostración requiere del concepto de derivada que veremos más adelante.

21 Matemática II 7 Si > tenemos que Si > tenemos que ln < =, < ln < Dado que ln = = = gracias al Teorema del Encaje Veremos finalmente que ln = : α ln ln = α α α Definiendo u = α teniendo en cuenta que cuando, u, obtenemos: α Por lo tanto, ln ln u = = α u α u ln = entonces α >, ln α, como queríamos demostrar. α Teorema: Para todo α real, α >, e α Demostración: tomemos f ( ) = Comenzaremos estudiando el comportamiento de ln( f ( )) e α e α ln( f ( )) = ln = ln e ln = α ln α Tenemos entonces que : ln ln( f ( )) = ( α ln ) = [ ( α )] Teniendo en cuenta que : ln ln ln = ( α ) = [ ( α )] =

22 Matemática II 7 Obtenemos que : ln( f ( )) = Entonces f ( ) f ln ( ) = e, definiendo u = ln f ( ) teniendo en cuenta que cuando, u, obtenemos e f = e = e = por lo tanto ( ) ln f ( ) u u α = como queríamos demostrar. A partir de los resultados anteriores podemos establecer la siguiente relación de órdenes de magnitud: α ln e, α R, α > Actividades: 9) Calcular los siguientes límites: a) e b) ln c) ln + 3- Continuidad en un punto: Definición: una función f() se dice continua en, si se cumple que: f ( ) = f ( ) Por lo tanto deben satisfacerse las siguientes condiciones: f debe estar definida en debe eistir el f ( ) el valor de dicho límite debe coincidir con el valor de la función en el punto Intuitivamente f será continua en si no presenta saltos o agujeros, o dicho de otro modo, si podemos trazar su gráfica sin levantar el lápiz del papel.

23 Matemática II 7 Ejemplos: f() no es continua en f() no es continua en f() es continua en f() es continua en Propiedades: Sean f g funciones continuas en : (f+g) es continua en (f.g) es continua en f g es continua en todo / g( ) La composición de funciones continuas es una función continua: Si f es continua en g es continua en f ( ) g f es continua en g( f ( )) = g( f ( )) Si alguna de las condiciones que debe satisfacer f para que sea continua en no se cumple, se dice que f es discontinua en 3

24 Matemática II 7 Clasificación de las discontinuidades: f es discontinua en f es discontinua en esencial f ( ) f presenta en una discontinuidad evitable f ( ) f presenta en una discontinuidad no evitable o Las discontinuidades llamadas evitables nos dicen que es posible hacer una redefinición de f de manera que resulte continua en. Las discontinuidades denominadas inevitables o esenciales, nos dicen que esto no es posible. 4- Continuidad en un intervalo: Definición: una función f() se dice continua en (a,b), si es continua en cada punto de (a,b) una función f() se dice continua en [a,b], si es continua en de (a,b) además se verifica que: f ( ) = f ( a) f ( ) = f ( b) + a b Hemos aceptado que a, a R, sen = sena, es decir la continuidad de la función seno. a Ahora estamos en condiciones de demostrarlo: Debemos ver que sen = sena o equivalentemente que sen( + h) = sen, R, a h Lo cual es inmediato a que: sen( + h) = sen cosh+ cos senh = h h sen cosh+ cos senh = sen + cos = sen h h Del mismo modo puede probarse que la función coseno es continua en R, como también las funciones eponenciales logarítmicas. 4

25 Matemática II 7 Teorema del Valor Intermedio: Sea f() continua en [a,b] sea w un valor cualquiera entre f(a) f(b), entonces eiste c, c [a,b] tal que f(c)=w. Podemos analizar gráficamente el enunciado del teorema: f(b) w = f(c) f(a) a c b Corolario : Sea f() continua en [a,b] sea signo( f(a)) signo( f(b)), entonces eiste c, c [a,b] tal que f(c)=. Veamos gráficamente el corolario: a c b Corolario : Sea f() continua en [a,b] f() [ a, b], entonces f conserva su signo en [a,b] 5

26 Matemática II 7 Actividades: ) Interprete geométricamente el corolario ) Mostrar que f ( ) = es continua en R ) Mostrar que la funciones polinómicas son continuas en R. 3) Mostrar que f ( ) = es continua en R 4) Hallar el o los intervalos en los que las siguientes funciones son continuas: 3 a) f ( ) = b) f ( ) = = 3 c) 5 f()= -3 > d) f()= + 5) Dada : a) f()= 4 k = Hallar el valor de k para que f resulte continua en R. Graficar b) + 3 f()= c+6 > Hallar el valor de c para que f resulte continua en R. Graficar c) + 3 <<3 f()= + b + c 6

27 Matemática II 7 Hallar los valores de b c para que f resulte continua en R. Graficar e d) f()= k = Hallar el valor de k para que f resulte continua en R. Graficar e) f()= e + >- 3+k - Hallar el valor de k para que f resulte continua en R. Graficar 6) En la figura se muestra la gráfica de una función. Estudie la continuidad de la misma e indique: a) Cuáles de las discontinuidades son evitables? Cómo definiría la función para hacerla continua en ese punto? b) Cuáles de las discontinuidades son esenciales? Por qué?. a b c 7) f()= sen = Demostrar que f es continua en = 8) Estudiar la continuidad de las siguientes funciones: a) sen < π / f()= sen (- π / ) π / π 7

28 Matemática II 7 b) cos π < f()= sen (+ π / ) < π 9) Indicar el valor de b para que sea continua en = 9 Enunciar la propiedad que usa. ( 8). sen, f ( ) = 9 b, 9 = 9 3) Indicar el valor de b para que sea continua en = 6 Enunciar la propiedad que usa. ( 36). sen, f ( ) = 6 b, 6 = 6 ( 6). sen, 3) Indicar el valor de b para que j( ) = 4 b, Enunciar la propiedad que usa. 4 = 4 sea continua en = 4 8