UNIDAD I: FUNCIONES Y LIMITES

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1 UNIDAD I: FUNCIONES Y LIMITES Iniciamos el estudio del cálculo haciendo un repaso de funciones y gráficas, para luego introducirnos en el estudio de los ites. Esta unidad consta en el teto base, en el capítulo I, al final del mismo eisten un resumen, trabajo de ensayo llamado Refleione a cerca de y problemas de repaso. Para profundizar el desarrollo de esta materia le sugiero realizar los ejercicios del trabajo de ensayo, que nos ayudará con los contenidos. Funciones Los objetivos fundamentales que manejaremos en el cálculo infinitesimal son FUNCIONES, así que el estudio del cálculo se inicia repasando las ideas básicas acerca de éstas, sus gráficas y las formas de combinarlas. Debo recordarle que en el tema de funciones Ud. Lo estudió ampliamente en la asignatura de Matemática que se imparte en la carrera de Economía en el primer semestre; por lo que haremos un breve repaso para afianzar lo fundamental y lo necesario para la asignatura que está empezando a estudiar. Además, los conceptos del cálculo se comprenden más fácilmente con la ayuda de gráficas, por lo que es necesario conocer, dibujar e interpretar las gráficas de las funciones más usadas con la finalidad de que economice tiempo. Definición Una función se puede entender como una relación en la cual a cada elemento del conjunto de partida se le hace corresponder un elemento del conjunto de llegada. Con este antecedente definimos a la función como un conjunto de parejas ordenadas (,y), en la cual el valor de no se puede repetir en ningún otra pareja ordenada. Por lo tanto, una función a y es una relación con la propiedad que si dos pares ordenados tienen el mismo valor de, entonces también tienen el mismo valor de y. La variable se denomina variable independiente y la variable y se denomina variable dependiente. Esta obra ha sido licenciada con Creative Commons Ecuador.0 de Reconocimiento - No comercial - Compartir igual (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/.0/ec/).

2 El conjunto se llama Dominio de f. El número y se denomina la imagen de por f y se denota por f(). El Recorrido o Rango de f se define como el subconjunto de y formado por todas las imágenes de los números de. Para recordar: Sr. Estudiante es necesario que tenga presente la siguiente la notación de funciones La variable dependiente > f() y La variable independiente > El símbolo f() se lee f de. La notación de funciones permite ahorrar palabras, en lugar de preguntar Cuál es el valor de y que corresponde a?, se puede preguntar Cuánto vale f()?. Fuente: Hoffmann, D., Bradley, L. y Rosen H. (006): Cálculo para Administración, Economía y Ciencias Sociales. En el teto base en el capitulo uno tenemos ejemplos, en donde se ilustra cómo se utiliza la notación funcional en detalle. Funciones usadas en economía Los economistas usan frecuentemente las funciones C, A, R y P definidas como a continuación se detalla. Función de demanda: D() Precio de un articulo, por unidades demandadas. Función de costo: C() Costo de producción de unidades. Función costo medio: A() C() / Costo medio de producción de una unidad. Función de Ingreso: R() Percepción por la venta de unidades. Esta obra ha sido licenciada con Creative Commons Ecuador.0 de Reconocimiento - No comercial - Compartir igual (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/.0/ec/).

3 Función de utilidad: P() R() C() Utilidad (o ganancia) por la venta de unidades. Para utilizar el cálculo, se supone que es un número real, aunque en general esta variable toma sólo valores enteros. Se supone siempre que > 0, ya que la producción de un número negativo de unidades no tiene sentido en la práctica. Vamos analizar un ejemplo. Ejemplo. Un fabricante de grabadoras portátiles tiene un costo fijo mensual de $0.000, un costo de producción $ por unidad y un precio de venta de $0 por unidad. a) Calcular C(), A(), R() y P() b) Determinar los valores de las funciones en el literal a) para.000. c) Cuántas unidades deben fabricar para no salir perdiendo. Para dar solución al ejemplo planteado verifiquemos los datos proporcinados: Costo de producción Costo fijo mensual Costo mensual total cuando se fabrican unidades C() Precio de venta 0 Entonces podemos dar solución a cada literal: a) A() C() / reemplazando tenemos Esta obra ha sido licenciada con Creative Commons Ecuador.0 de Reconocimiento - No comercial - Compartir igual (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/.0/ec/).

4 A() ( 0.000) / A() (0.000) / R() 0 P() R() - C() P() 0 ( ) P() b) Sustituyendo.000 en el literal a) tenemos C(.000).000 (costo de fabricación de.000 unidades) A(.000) (costo de fabricación por unidad) R(.000) (ingreso total por la venta de.000 unidades) P(.000) (Utilidad en la fabricación y venta de.000 unidades) Nótese que el fabricante tendría una perdida de $.000 por mes si se fabricarán y vendieran solamente.000 unidades c) Para que no haya pérdida, la ganancia mínima debe ser cero, es decir, esto da o bien 500. Por lo tanto, para el punto de equilibrio (no salir perdiendo) es necesario producir y vender 500 unidades al mes. Una vez que hemos analizado estos ejemplos, será fácil la resolución de otros ejemplos que se presentan en el teto básico, haciendo uso de las indicaciones sugeridas en esta guía. Continuemos con los contenidos! Esta obra ha sido licenciada con Creative Commons Ecuador.0 de Reconocimiento - No comercial - Compartir igual (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/.0/ec/).

5 Composición de Funciones Sean f y g dos funciones, la función dada por (fog)() f(g()) se llama función compuesta de f con g. El dominio de fog es el conjunto de todos los del dominio de g tales que g() pertenece al dominio de f.. Tenga presente La función composición de f con g no suele ser igual a la de g con f, porque por lo general no se cumple la propiedad conmutativa. Debe tomar en cuenta el orden en el que se dan las funciones Fuente: Hoffmann, D., Bradley, L. y Rosen H. (006): Cálculo para Administración, Economía y Ciencias Sociales. Ejemplo. f()- g() Ejemplo. Halle la función compuesta f(g()) de f ( u) u 4 g ( ). Lo que tenemos que hacer es reemplazar en la función f la función g. f(g()) ( ) Por tanto la función compuesta es 5 Gráfica De Una Función : La grafica de una función está formada por todos puntos ((f())), donde pertenece al dominio de f. Observe que significa distancia dirigida Hoffmann, D., Bradley, L. y Rosen H. (006): Cálculo para Administración, Economía y Ciencias Sociales, Colombia, Edit. Mc Graw-Hill, Pág.0 Esta obra ha sido licenciada con Creative Commons Ecuador.0 de Reconocimiento - No comercial - Compartir igual (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/.0/ec/).

6 desde el eje y (eje vertical), y f() significa distancia dirigida desde el eje (eje horizontal). Para Recordar: Estimado estudiante, tenga presente los siguientes pasos para obtener una buena gráfica. Hallar la intersección con los ejes, es decir dar un valor de 0 a y, y reemplazar en la función. Hallar la intersección con los ejes y, es decir dar un valor de 0 a, y reemplazar en la función. Dar valores diferentes de 0 a, y reemplazarlo en función dada, obtener unos cuantos puntos, para luego trazarlos en el sistema de coordenadas. Fuente: Hoffmann, D., Bradley, L. y Rosen H. (006): Cálculo para Administración, Economía y Ciencias Sociales. Remítase al capítulo uno del teto base en donde encontrará ejemplos, se eplica claramente cómo se debe trazar la gráfica de una función y las intersecciones de la misma, le sugiero los revise, resuelva y grafique, esta actividad le permitirá profundizar aún más los contenidos. Ahora señor estudiante le propongo analizar CIERTOS TIPOS DE FUNCIONES que serán muy útiles posteriormente. Función Constante: Es una función de la forma f()b, su grafica es una recta horizontal. Función Potencia: Es una función de la forma f() n n n Función Polinomio: Es una función de la forma f ( ) an an... a a0 Función Radical: Es la función raíz cuadrada f ( ) Función Racional: La función es la función raíz cuadrada f ( ) Función Cuadrática: Es una función de la forma f() a b c, con a diferente de cero, donde a,b y c son números reales. Su grafica es una parábola. Esta obra ha sido licenciada con Creative Commons Ecuador.0 de Reconocimiento - No comercial - Compartir igual (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/.0/ec/).

7 Función Par: Una función f es una función par, si cumple la siguiente condición. Para toda en el dominio de f, f(-) f(). Se entiende que está en el dominio de f siempre que esté. Función Impar: Una función f es una función impar, si cumple la siguiente condición. Para todo en dominio de f, f(-) -f() Se entiende que está en el dominio de f siempre que esté. Funciones Lineales La función lineal es una función polinomial de grado, por ejemplo f(). La grafica de la ecuación lineal y m b, es una recta que tiene pendiente m y una intersección en y en el punto (0,b). Toda la fundamentación teórica que necesita en este tema la encontrará en el teto base capitulo uno sección tres. Lea por favor en primer lugar las definiciones y luego revise los ejercicios resueltos correspondientes; trate de resuélvalos sin ver sus respuestas en el libro. Estos temas usted ya aprendió en Matemáticas Básica solamente estamos haciendo un repaso, que permita recordar lo antes aprendido. Para Memorizar: Ecuaciones De Rectas Forma general: A By C 0 Recta Vertical: Recta horizontal: a y b Forma punto- pendiente: y y m ( - ) Forma intercepto- pendiente: y m b L y L son paralelas si y solo si m m L y L son perpendiculares si solo si m -/ m Fuente: Hoffmann, D., Bradley, L. y Rosen H. (006): Cálculo para Administración, Economía y Ciencias Sociales. Esta obra ha sido licenciada con Creative Commons Ecuador.0 de Reconocimiento - No comercial - Compartir igual (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/.0/ec/).

8 Con los contenidos de teoria de funciones que acabamos de estudiar, vamos a desarrollar algunos ejercicios de manera que se afiancen sus conocimientos. Ejemplo 4. Halle la pendiente (si es posible) de la recta que pasa por el par de puntos dados (-,) y (,5) y 5 La pendiente es ( ) Ejemplo 5. Escriba una ecuación para la recta que pasa por (-, )y su pendiente es Use la formula y y m ) con, y ) (-,)y m para obtener y ( ) o ( o lo cual se puede reescribir como 8 y ( o o Hoffmann, D., Bradley, L. y Rosen H. (006): Cálculo para Administración, Economía y Ciencias Sociales, Colombia, Edit. Mc Graw-Hill, pag.6 Hoffmann, D., Bradley, L. y Rosen H. (006): Cálculo para Administración, Economía y Ciencias Sociales, Colombia, Edit. Mc Graw-Hill, pag.7 Esta obra ha sido licenciada con Creative Commons Ecuador.0 de Reconocimiento - No comercial - Compartir igual (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/.0/ec/).

9 A fin de que su estudio se productivo y obtenga aprendizajes significativos le planteo el desarrollo del siguiente tema: Modelos Funcionales Modelamiento en Economía. Un modelo económico es simplemente un esquema teórico y no eiste ninguna razón inherente por la que deba ser matemático. Sin embargo, el modelo es matemático, normalmente consistirá en un conjunto de ecuaciones diseñadas para describir la estructura del modelo. Relacionando unas con otras, un determinado número de variables, estas ecuaciones (que no son más que funciones) dan forma matemática al conjunto de hipotesis analiticas adoptadas. Entonces, aplicando a esas ecuaciones las operaciones matematicas pertinentes, podemos intentar deducir un conjunto de cnclusiones como consecuencia lógica de aquellas hipótesis. En las aplicaciones del cálculo se tratará con funciones y se necesitarà epresar una situaciòn práctica en tèrminos de una relación funcional. La funciòn obtenida produce un MODELO MATEMÁTICO de la situación. En economía, en lugar de f() o g(), la notación funcional C() se utliliza para representar la noción costo, R() para representar la función ingreso, S (p) para representar la oferta, D(P) para representar la demanda, ect., como vimos anteriormente. Vamos a ver un ejemplo que muestra el procedimiento que se sigue para obtener algunos modelos matemáticos. Esta obra ha sido licenciada con Creative Commons Ecuador.0 de Reconocimiento - No comercial - Compartir igual (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/.0/ec/).

10 Ejemplo 6. Un fabricante de relojes puede producir un cierto reloj a un costo unitario de $5. Se estima que se el precio de venta unitario de reloj es, entonces el número de relojes vendidos por semana es 5 a) Epresar el monto de las utilidades semanales del fabricante como función de. b) Utilizar el resultado de la parte (a) para determinar las utilidadeds semanales si el precio de venta unitario es $45. a) La utilidades pueden obtenerse restando el costo total de ingreso total. Sea R, el ingreso semanal, como el ingreso es el producto del costo de cada reloj () y el número de relojes vendidos, (5-), entonces R(5-). Sea C el costo total de los relojes vendidos cada semana. Ya que el costo total es el producto del costo de cada reloj (5) y el numero de relojes vendidos, entonces C5(5-) Si P() son las utilidades semanales, entonces P() R-C, sustituyendo en esta ecuación las dos anteriores se obtiene: P()(5-)-5(5-) P()(5-)(-5) b) Si el precio de venta es $45 el monto de las utlidades de la semana es P(45), reemplazando en la última ecuación tenemos: P(45)(5-45)(45-5) P(45) 80*0 400 Por lo tanto las utilidades de la semana son $ 400 cuando los relojes se venden en $45 cada uno.capitulo uno, tema modelos funcionales donde se ilustra los modelos economicos. Esta obra ha sido licenciada con Creative Commons Ecuador.0 de Reconocimiento - No comercial - Compartir igual (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/.0/ec/).

11 Para conocer sobre modelos economicos, le sugiero revise los ejemplos resueltos en el teto base en el capitulo uno seccion cuatro. Siguiendo con el entusiasmo de aprender, es importante revisar el tema Equilibrio De Mercado que consta en el teto básico, en el capítulo uno. Recuerde que el equilibrio de mercado no es más que el punto de equlibrio que resulta del cruce de la curva de la oferta y la demanda,la coordenada p de este punto (el precio de equilibrio) es el precio de mercado en el cual la oferta es igual a la demanda, es decir, el precio de mercado al cual no habrá ecedente ni escacez del articulo. El equilibrio de mercado ocurre cuando se compra todo lo que ofrece al precio en cuestión. Cuando sucede el equilibrio de mercado la cantidad del producto fabricado se llama cantidad de equilibrio. La cantidad y el precio de equlibrio se determinan resolviendo simultaneamente las ecuaciones de oferta y demanda del mercado. Vamos a ilustrar con un ejemplo. Ejemplo 7. Las ecuaciones de la oferta y demanda de mercado son: p 5 0 y p 0 Para determinar el punto de equilibrio se resuelven las ecuaciones simultáneamente despejando p en la segunda ecuación y sustituyendo en la primera. p. Se tiene entonces. Esta obra ha sido licenciada con Creative Commons Ecuador.0 de Reconocimiento - No comercial - Compartir igual (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/.0/ec/).

12 ( ) ( 5 7)( ) 0 entonces.4 ( ) 0entonces - Como 0, se desprecia el valor negativo y se obtiene.4. De la sustitución en la segunda ecuación se obtiene p4.8, de aquí el precio de equilibrio es $4.80 y la cantidad de equilibrio 40 unidades (recuerde que la cantidad es 00 unidades). Ejemplo 8. Un fabricante vende lámparas a $0 la unidad, y a este precio los consumidores compran.000 lámparas al mes. El fabricante desea aumentar el precio y estima que por cada $ de aumento en el precio, se venderán.000 lámparas menos cada mes. El fabricante puede producir las lámparas a $8 por unidad. Eprese la utilidad mensual del fabricante como una función del precio al que se vende las lámparas. Número de lámparas vendidas p 5 0 Al epresar la primera ecuación en la forma p 5se observa que se gráfica es una circunferencia con centro en el origen y radio igual a 5. Ya que 0y p 0, la curva de la demanda es la porción de la circunferencia en el primer cuadrante. Resolviendo la ecuación de la oferta para determinar p se obtiene p. Así, la curva de l oferta es la porción en el primer cuadrante de la recta que tiene una pendiente de y corta al eje p en. Continuemos con los contenidos! Esta obra ha sido licenciada con Creative Commons Ecuador.0 de Reconocimiento - No comercial - Compartir igual (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/.0/ec/).

13 Análisis de equilibrio. El análisis de equilibrio en los negocios se lo determina mediante las intersecciones de gráficas, como puede observar en la figura del teto base, en donde se señala un punto P, que es el PUNTO DE EQUILIBRIO. Limites Otro de los temas a estudiar dentro de este capítulo es el concepto de límite, se considera fundamental para la teoría del cálculo. En el teto guía, capítulo uno sección cinco se hace un enfoque informal de la definición de límite, la cual usted debe analizar detenidamente, tratando de entender lo que intuitivamente se define como límite. Si f() se acerca arbitrariamente a un número L cuando tiende a c por cualquiera de los dos lados, entonces el límite de f(), cuando tiende a c, es L. Para Recordar: La notación de límites se describe. f ( c) L c Fuente: Hoffmann, D., Bradley, L. y Rosen H. (006): Cálculo para Administración, Economía y Ciencias Sociales. Decir el límite de f() cuando tiende a es 5 se escribe así: f ( ) 5 Geométricamente, el límite de f() cuando tiende a c es L, significa que la altura de la gráfica y f() tiende a L a medida que tiende a c. Estimado estudiante es importante tomar en cuenta que para resolver algunos límites es necesario tener en cuenta las siguientes propiedades, a continuación iniciaremos con las Esta obra ha sido licenciada con Creative Commons Ecuador.0 de Reconocimiento - No comercial - Compartir igual (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/.0/ec/).

14 más sencillas e irán aumentando de dificultad, algunas de ellas toman en cuenta las anteriores Para memorizar: Es fundamental Sr. Estudiante que se memorice estas propiedades para poder resolver analíticamente un límite. (Si ya las domina puede pasar al siguiente punto). Siempre que aplique el teorema de un cociente (función racional), se debe verificar que el límite del denominador sea diferente de O Fuente: Hoffmann, D., Bradley, L. y Rosen H. (006): Cálculo para Administración, Economía y Ciencias Sociales. Propiedades de los límites Si f ( ) y g( ) eisten, entonces c c Limite de una Suma [ f ( ) g( ) ] f ( ) g( ) c Limite de una Resta [ f ( ) g( ) ] f ( ) g( ) c c c Limite de una Constante [ kf ( ) ] k f ( ) c k c c c para cualquier constante, Limite de una Multiplicación [ f ( ) g( ) ] [ f ( ) ][ g( ) ] c c c Limite de un cociente f ( ) c g( ) f ( ) c si g( ) 0 g( ) c c Limite de una Potencia p [ f ( ) ] [ f ( ) ] p si [ f ( ) ] p c c c eiste Limite de un Radical c n f ( ) n f ( ) c Fuente: Hoffmann, D., Bradley, L. y Rosen H. (006): Cálculo para Administración, Economía y Ciencias Sociales Pág.(6-6). Elaborado: Abad A, (009), Guía Didactica Esta obra ha sido licenciada con Creative Commons Ecuador.0 de Reconocimiento - No comercial - Compartir igual (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/.0/ec/).

15 Con los siguientes ejemplos trataremos de reforzar y ampliar un poco más los contenidos que constan en el teto básico Ejemplo 9 Encuentre el ( ) 4 ( ) ( 4) (4) ( ) Ejemplo 0 Encuentre el ( 9) A continuación le presentamos algunas estrategias para el cálculo de límites que no se pueden evaluar por sustitución directa. Esta obra ha sido licenciada con Creative Commons Ecuador.0 de Reconocimiento - No comercial - Compartir igual (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/.0/ec/).

16 . Aprenda a reconocer qué límites pueden evaluarse directamente por sustitución (Estos límites son los que se enumeran en las propiedades y con estos lineamientos están resueltos los ejemplos que acabamos de realizar).. Si el límite de f() cuando tiende a c, NO PUEDE evaluarse por sustitución directa, intente encontrar una función g que coincida con f para todo distinto de c. Elija g tal que el límite de g() pueda evaluarse por sustitución directa.. Aplique el teorema siguiente: FUNCIONES QUE COINCIDEN SALVO EN UN PUNTO: Sea c un número real y sea f()g() para todo en un intervalo abierto que contiene a c. Si eiste el límite de g() cuando tiende a c, entonces también eiste el de f(), y, se puede concluir analíticamente que: f ( ) g( ) g( c). c c 4. Use una tabla o un gráfico para reforzar su conclusión. Las técnicas que nos permiten trabajar con estos límites son las Técnicas de cancelación y de Racionalización. Técnica de Cancelación: Esta técnica supone la cancelación de factores comunes, como ilustramos a continuación con ejemplos. Esta obra ha sido licenciada con Creative Commons Ecuador.0 de Reconocimiento - No comercial - Compartir igual (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/.0/ec/).

17 Ejemplo Encuentre el Analizando la función dada, nos damos cuenta que no está definida en, por lo que no podemos aplicar el teorema de un cociente (función racional) para calcular el límite porque al hacer la sustitución directa el límite del denominador es cero. Observemos que factorizando el numerador tenemos: ( )( ) f ( ) Se sobrentiende que porque si no habría una indeterminación O/O, luego si simplificamos (-) tenemos una nueva función g(). Tome en cuenta que f() g() porque sus dominios son diferentes. Pero en cambio, para todo valor diferente de - se cumple que f() g(). Una vez realizada la cancelación del factor que se repite, podemos ( )( ) calcular el valor del límite buscado, de la siguiente manera: ( ) Al analizar el límite no se toman valores de, sino próimos a, por esta razón podemos simplificar el factor (-) por cuanto éste siempre será diferente de cero. Muchas veces al tratar de hallar el límite de una fracción puede suceder que ésta tienda a la forma O/O, que se denomina FORMA INDETERMINADA (como la analizada en el ejemplo anterior). En estos casos es necesario realizar un análisis más detallado del comportamiento de las funciones para determinar si el límite planteado eiste o no. Para desarrollar estos ejercicios se utiliza el teorema que acabamos de ver "Funciones que coinciden salvo en un punto". Esta obra ha sido licenciada con Creative Commons Ecuador.0 de Reconocimiento - No comercial - Compartir igual (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/.0/ec/).

18 Debe tomar en cuenta que cuando no es evidente cuál es dicho factor, se procede a descomponer en factores numerador y denominador para de ser posible cancelar alguno de ellos. Una vez determinada la función g() encontramos el valor del límite buscado haciendo uso de teoremas, es decir, g( ) L c (Este procedimiento se aplicó en el ejercicio anterior). Ejemplo Encontrar Si evaluamos al límite por sustitución directa obtenemos una indeterminación O/O, por lo tanto ANTES DE APLICAR LOS TEOREMAS SE DEBE LEVANTAR LA INDETERMINACIÓN. Luego procedemos a descomponer en factores tanto el numerador como el denominador para poder aplicar la técnica de cancelación y einar la indeterminación. g ( ) ( 64) ( ) 5 ( 64) ( ) Como ya hemos levantado la indeterminación y aplicando los teoremas de límites, tenemos: ( 64) ( 64) ( ) ( ) 0 64 Para el análisis del siguiente tema, debería dirigirse al capítulo uno, sección cinco del teto básico. Técnica de Racionalización: Sr. Estudiante esta técnica supone la racionalización del numerador, denominador o de ambos, de una fracción. Cuando no es posible descomponer en factores se procede a racionalizar, es decir encontrar un valor para multiplicar y dividir a la función para que no Esta obra ha sido licenciada con Creative Commons Ecuador.0 de Reconocimiento - No comercial - Compartir igual (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/.0/ec/).

19 altere, generalmente es la conjugada del denominador, del numerador o de ambos a la vez, para de esta manera einar la indeterminación. Una vez determinada la función g() se procede como en el caso anterior. Para recordar: La CONJUGADA de una epresión algebraíca es la misma epresión con signo contrario, por ejemplo de ( ) la conjugada es. ( ) Fuente: Hoffmann, D., Bradley, L. y Rosen H. (006): Cálculo para Administración, Economía y Ciencias Sociales. Veamos ahora unos ejemplos de aplicación Ejemplo 5 5 Encontrar 0 Por sustitución directa se obtiene una indeterminación 0/0 y como no podemos descomponer en factores porque la epresión no es factorizable, entonces procedemos a aplicar la técnica de racionalización que consiste en este caso en multiplicar la epresión por la conjugada del denominador y luego como no se eina la indeterminación por la conjugada del numerador. Esta obra ha sido licenciada con Creative Commons Ecuador.0 de Reconocimiento - No comercial - Compartir igual (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/.0/ec/).

20 g( ) ( ( 5 5)( ) )( ) ( 5 5)( ) ( g ( ) 5 5)( ( )( 5 5) 5 5) (5 5)( ) ( 5 5) g ( ) ( ) ( ) ( 5 5) ( 5 5) Como usted puede darse cuenta, si sustituimos directamente el valor de cero en la función g() obtenemos un valor diferente de 0/0, por lo que se ha einado la indeterminación, así que procedemos a calcular el ite haciendo uso de los teoremas o propiedades, de la siguiente manera: ( ) ( ) ( ( ) ) ( 5 5) ( 5 5) ( (5 ) 5) Ejemplo 4 (caso especial) Calcular el ( 7 ) Al sustituir directamente el valor de en el límite, nos damos cuenta que tenemos una indeterminación, por lo que antes de evaluarlo debemos proceder a einarla. Si multiplicamos por la conjugada como el ejemplo anterior no llegamos a einar la indeterminación por tener una raíz cúbica, así que en este tipo de ejercicios se aconseja buscar "nuestra propia conjugada", para lo cual hacemos uso de nuestros conocimientos de productos notables y factoreo, de la siguiente manera: Esta obra ha sido licenciada con Creative Commons Ecuador.0 de Reconocimiento - No comercial - Compartir igual (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/.0/ec/).

21 Recordará usted que ( a b)( a ab b ), ahora hagamos que: a 7 y b 7 )(( 7) ( 7) ) 7 ( ) reemplazando tenemos: ( ) ( por lo tanto a nuestra epresión tenemos que multiplicarla por el segundo factor de la siguiente manera: ( 7 )(( 7) ( 79) ) ( )(( 7) ( 7) ) ( 7 ) () 7 8 ( )( )(( 7) ( 7) ) ( )( )(( 7) ( 7) ) ( )( )(( 7) ( 7) ) ( )( )(( 7) ( 7) ( )(( 7) ( 7) ) Verificamos en esta epresión que se haya einado la indeterminación, para luego proceder a evaluar el límite. (() () )(( () 7) ( 7) ) ( )(4 4 4) 6 ) Me permito recomendar a usted la resolución de otros ejercicios para calcular el ite de funciones, la realización de estos ejercicios reforzará los conocimientos y brindará seguridad al momento de su aplicación en el eamen. Ejemplo 5 Calcular el ( ) ( ) Ejemplo 6 Calcular el ( )( ) () 4 6 Esta obra ha sido licenciada con Creative Commons Ecuador.0 de Reconocimiento - No comercial - Compartir igual (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/.0/ec/).

22 ( )( ) ( )* ( ) (( ) ) *( ) (( ) )(( ) ) 5* 5 Ejemplo 7 Calcular el ( 4) ( 4) (( ) () 4) () () 4 5 Ejemplo 8 Calcular el Para calcular el límite de esta función, en primer lugar lo vamos a factorizar, para poder einar la discontinuidad. ( )( ) ( ) 5 Por favor señor estudiante confróntese con el teto básico en el capitulo uno sección cinco, para iniciar el estudio del siguiente tema: Limites al Infinito Definición: Sea L un número real. f ( ) L Significa que el valor de f() tiende hacia L cuando crece por la derecha sin cota, es decir el límite eiste y es igual a L.. f ( ) LSignifica que el valor de f() tiende hacia L cuando decrece por la izquierda sin cota, es decir el límite eiste y es igual a L. Esta obra ha sido licenciada con Creative Commons Ecuador.0 de Reconocimiento - No comercial - Compartir igual (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/.0/ec/).

23 Para Memorizar: Asíntotas horizontales: la recta y L se llama asíntota horizontal de la curva y f() si se cumple cualquiera de las dos condiciones siguientes: f ( ) L ó f ( ) L Fuente: Hoffmann, D., Bradley, L. y Rosen H. (006): Cálculo para Administración, Economía y Ciencias Sociales. Para recordar: Teorema de límites en el infinito. c Si r es un número racional positivo y c es cualquier número real, entonces: 0 r c Además, si r está definida para < O, entonces 0 r Fuente: Hoffmann, D., Bradley, L. y Rosen H. (006): Cálculo para Administración, Economía y Ciencias Sociales. Vamos a ilustrar este teorema con algunos ejemplos Ejemplo 9 Calcular el 5 Esta obra ha sido licenciada con Creative Commons Ecuador.0 de Reconocimiento - No comercial - Compartir igual (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/.0/ec/).

24 Debe tomar en cuenta que cuando se resuelven ejercicios de cálculo de límites en el infinito de funciones racionales se debe dividir al numerador y al denominador para el máimo eponente del denominador. La principal aplicación de límites infinitos y en el infinito son las graficas de las funciones. Ejemplo 0 Obtenga las asíntotas horizontal y trace la gráfica de la función f ( ) 6 0 Para desarrollar este ejemplo, vamos a utilizar la definición de asíntota horizontal que acabamos de introducir. Asíntota Horizontal: y (Observe que es la mayor potencia que se da en el denominador. Dividimos para porque es una función racional en el infinito). 6 0 (0) (0) 0(0) 6 Por lo consiguiente y de acuerdo con la definición, la recta y0 es una Asíntota horizontal. Esta obra ha sido licenciada con Creative Commons Ecuador.0 de Reconocimiento - No comercial - Compartir igual (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/.0/ec/).

25 Para Reforzar Como tarea adicional realice la gráfica de la función, necesitará unos dos puntos adicionales. Debe recordar que primeramente debe trazar las asíntotas tanto horizontal como vertical, para que luego le de forma a la gráfica. Señor estudiante es importante tomar en cuenta que aun con mucha práctica y eperiencia, no siempre se resuelven acertadamente los ejercicios en un primer intento, por ello le recomiendo dedique un poco mas de tiempo y desarrolle todas las actividades propuestas. Revise el teto básico en los capítulos sugeridos. A continuación seguiremos nuestro estudio con: Limites Infinitos Para Memorizar: Todo límite en el que f() crece o decrece sin cota cuando tiende a c se llama Límite infinito. Fuente: Hoffmann, D., Bradley, L. y Rosen H. (006): Cálculo para Administración, Economía y Ciencias Sociales. Definición: Sea f una función que está definida para todo número en algún intervalo abierto que contiene a c, ecepto posiblemente al número c mismo. Cuando tiende a c, f() crece sin límite, lo cual se escribe como: f ( ) c Esta ecuación puede leerse como " el límite de f() cuando tiende a c es infinito positivo". En tal caso el límite no eiste, pero el símbolo " " indica el comportamiento de los valores de la función f() cuando se aproima cada vez más al número c. Es preciso recalcar en esta definición, que no es un número real. Esta obra ha sido licenciada con Creative Commons Ecuador.0 de Reconocimiento - No comercial - Compartir igual (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/.0/ec/).

26 Análogamente, se pueden indicar el comportamiento de una función cuyos valores decrecen sin límite. Sea f una función que está definida en todo número en algún intervalo abierto que contiene a c, ecepto posiblemente al número c mismo. Cuando tiende a c, f() decrece sin límite, lo cual se escribe como: f ( ) c Esta ecuación puede leerse como "el límite de f() cuando tiende a c es infinito negativo". Observando de nuevo que el límite no eiste, pero el símbolo"- " indica sólo el comportamiento de los valores de la función f() cuando se aproima cada vez más al número c. Asíntota Vertical: Definición: Se dice que la recta c es una asíntota vertical de la gráfica de la función f si por lo menos uno de los enunciados siguientes es verdadero: a) f ( ) c b) f ( ) c c) f ( ) c d) f ( ) c Para recordar: Para encontrar las asíntotas verticales, primeramente igualamos el denominador a cero para encontrar los valores de. Fuente: Hoffmann, D., Bradley, L. y Rosen H. (006): Cálculo para Administración, Economía y Ciencias Sociales. Ejemplo Obtenga las asíntotas verticales de: f ) 6 ( 0 Esta obra ha sido licenciada con Creative Commons Ecuador.0 de Reconocimiento - No comercial - Compartir igual (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/.0/ec/).

27 Para encontrar las asíntotas verticales, primeramente igualamos el denominador a cero para encontrar los valores de, como sigue: (6 ) (6 5)(6 4) ( 5)( ) 0 Ahora utilizamos la definición con cada uno de los valores de encontrados ± Por lo tanto, de acuerdo a la definición -5/ es una asíntota vertical Por lo tanto, de acuerdo a la definición / es una asíntota vertical. 4 ± Para una mayor comprensión vamos a hacer unos ejercicios de aplicación, por separado, primero la utilización de límites en el infinito, y, luego límites infinitos. Ejemplo Esta obra ha sido licenciada con Creative Commons Ecuador.0 de Reconocimiento - No comercial - Compartir igual (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/.0/ec/).

28 f ) 4 ( Ejemplo f ( ) 0 0 Ejemplo 4 f ( ) Ejemplo 5 f ( ) Ejemplo 6 Esta obra ha sido licenciada con Creative Commons Ecuador.0 de Reconocimiento - No comercial - Compartir igual (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/.0/ec/).

29 f ) 4 ( Cómo le fue con los ejercicios? Seguramente bien, ahora continuemos con los contenidos Limites Laterales y Continuidad Limites laterales Los límites unilaterales o laterales como también se los conoce son útiles al tomar límites de función de funciones que contienen raíces y funciones que estén definidas por partes. El límite por la derecha significa que tiende a c por valores superiores a c. Este límite se denota por: f ( ) L y se lee el ite de f() cuando tiende a c c por la derecha es igual a L. El límite por la izquierda significa que tiende a c por valores inferiores a c. Este ite se denota por: f ( ) L y se lee el ite de f() cuando tiende a c c por la izquierda es igual a L Para recordar: El límite de una función eiste si y solo si el ite por la izquierda sea igual al límite por la derecha Fuente: Hoffmann, D., Bradley, L. y Rosen H. (006): Cálculo para Administración, Economía y Ciencias Sociales. Continuidad Esta obra ha sido licenciada con Creative Commons Ecuador.0 de Reconocimiento - No comercial - Compartir igual (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/.0/ec/).

30 Estimado estudiante dirigiéndonos al teto base capitulo uno sección seis, podemos observar la definición de continuidad, la misma que podemos resumir en lo siguiente: para que una función sea continua debe cumplir tres condiciones. Si una de las tres condiciones no se cumple, concluimos que la función f() no es continua en el punto c o que es discontinua en el punto c. Para recordar: Una función f es continua en c si se satisface las tres condiciones siguientes:. f(c) está definida. f ( ) c eiste. f ( ) f ( c) c Si f()no es continua en c, se dice que tiene ahí una discontinuidad Fuente: Hoffmann, D., Bradley, L. y Rosen H. (006): Cálculo para Administración, Economía y Ciencias Sociales. Las tres condiciones que deben satisfacer para que una función sea continua pueden ser infringidas en varias formas, obteniéndose diferentes tipos de discontinuidades. Vamos a estudiar dos tipos de discontinuidades: La discontinuidad ESENCIAL quiere decir que la función f() no tiene límite, por lo tanto, no se la puede einar y redefinir la función, (Redefinir una función quiere decir definirla nuevamente poniéndole condiciones adicionales para hacerla que sea continua en ese punto). Esta obra ha sido licenciada con Creative Commons Ecuador.0 de Reconocimiento - No comercial - Compartir igual (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/.0/ec/).

31 La discontinuidad ELIMINABLE o EVITABLE, como sus nombres mismo lo indican la podemos einar o evitar redefiniendo la función en el punto donde hay la discontinuidad, el único requerimiento es que la función tenga límite, es decir, que la función tenga ite, c f ( ) eiste A continuación vamos a desarrollar algunos ejemplos de aplicación de estas definiciones. Sea Ejemplo 7 si f ( ) determinar si f es continua en c si Como tenemos la función valor absoluto, primeramente definimos la función antes de proceder a analizarla. f ( ) ( ) si si si > 0 > < 0 > Para que la función sea continua debe cumplirse que:. f ( c) eista f ( ). f ( ) eiste c ( ) () 0 ( ) () 0 Como: Esta obra ha sido licenciada con Creative Commons Ecuador.0 de Reconocimiento - No comercial - Compartir igual (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/.0/ec/).

32 f ( ) f ( ) entonces f ( ) 0por lo tanto EXISTE. f ( ) f ( c) c 0 Por lo tanto, la función es discontinua en c. Pero, observamos que la función f() tiene límite, por lo que podemos redefinirla haciendo que f() sea igual cero y de esta manera hemos logrado que la función sea continua en c. La función redefinida, una vez que hemos einado la discontinuidad quedaría así: f ( ) 0 si si Observese que para que la función sea continua estamos cambiando la segunda condición de la función original, lo que permite que sea discontinua. Usted se preguntará por qué se operó el límite de esa forma, es debido a la función con la que estamos trabajando (función valor absoluto, que se necesita definirla previamente). Para recordar: El límite de una función es único, por lo tanto tenemos que comprobar que el límite por la izquierda sea igual al límite por la derecha, para que el límite eista, caso contrario no hay límite. Fuente: Hoffmann, D., Bradley, L. y Rosen H. (006): Cálculo para Administración, Economía y Ciencias Sociales. El símbolo significa que nos acercamos al punto c por la derecha, es decir, tomamos valores de mayores que, pero muy cercanos a él. De la misma manera, el símbolo significa que nos acercamos al punto c por la izquierda, es decir, tomamos valores de menores que, pero muy cercanos a él. Continuidad de polinomios y funciones racionales. Esta obra ha sido licenciada con Creative Commons Ecuador.0 de Reconocimiento - No comercial - Compartir igual (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/.0/ec/).

33 Tenga en cuenta que una función racional es continua en todos los puntos donde está definida la función, siempre que el denominador no sea igual a cero, en el caso que así lo fuera eiste una discontinuidad en ese punto. Usted se puede fijar en los ejercicios planteados y para una mejor compresión analice la figura.56 en donde podemos ver funciones continuas ecepto en ciertos valores de. Continuidad en un intervalo. Es importante recalcar este punto ya que se lo usa en muchas aplicaciones del cálculo. A continuación desarrollaremos algunos ejercicios para que se aclaren sus dudas. Ejemplo 8 < f ( ). f ( c) eista f ( ). f ( ) eiste c f ( ) eista ( ) ( ) ( ) () f ( ) eista Esta obra ha sido licenciada con Creative Commons Ecuador.0 de Reconocimiento - No comercial - Compartir igual (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/.0/ec/).

34 . f ( ) f ( c) c la función f() es continua en Ejemplo 9 f ( ) 4 <. f ( c) eista f ( ) f ( ) () 4 f ( ) 4. f ( ) eiste c f ( ) eista ( ) ( 4 ) ( ) 4 () f ( ) 4() la función f() es discontinua en En los siguientes ejemplos tenemos que definir en que puntos vamos a estudiar la continuidad. Con los contenidos previamente adquiridos es momento de revisar algunos ejemplos. Ejemplo 0 f ( ) 4 0 ( )( ) 0 ;. f ( c) eista Esta obra ha sido licenciada con Creative Commons Ecuador.0 de Reconocimiento - No comercial - Compartir igual (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/.0/ec/).

35 4( ) f ( ) no eiste ( ) ( ) 4() f ( ) no eiste () () La función no está definida para - y. f ( ) eiste c f ( ) eista y f ( ) eista ( ) ( ) ( ) () 4() () 4 No eiste límite La función f() no es continua en los puntos - y Ejemplo f ( ) ( 5)( ) 0 5;. f ( c) eista f ( ) no eiste ( ) f ( 5) no eiste (5) 5 0 La función no está definida para - y 5. f ( ) eiste c f ( ) eista y 5 f ( ) eista Esta obra ha sido licenciada con Creative Commons Ecuador.0 de Reconocimiento - No comercial - Compartir igual (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/.0/ec/).

36 0 0 ( 5)( ) ( 5)( ) ( 5) ( 5) () 5( ) (5) 5 > 7 no eiste La función f() no es continua en los puntos - hay un salto. La función no es continua en los puntos 5 eiste una asuntota vertical. Felicitaciones, al momento ha desarrollado y asimilado los contenidos, ejercitándose con las herramientas proporcionadas. Esta obra ha sido licenciada con Creative Commons Ecuador.0 de Reconocimiento - No comercial - Compartir igual (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/.0/ec/).

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