Transformación de gráfica de funciones

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Transformación de gráfica de funciones"

Transcripción

1 Transformación de gráfica de funciones La graficación de las funciones es como un retrato de la función. Nos auda a tener una idea de cómo transforma la función los valores que le vamos dando. A partir de la gráfica de la función podemos encontrar el dominio, el contradominio, describir su comportamiento: dónde crece, dónde decrece, dónde se hace cero, dónde tiene un mínimo o un máimo, etc. Para graficar una función de la manera más sencilla, basta sustituir valores de en la función calcular los valores correspondientes para, ubicar estos puntos en el sistema de coordenadas cartesianas unir los puntos por una curva suave. En el análisis que se presenta aquí no usaremos ese método. En su lugar, describiremos cómo se comporta la función haremos un estudio más bien descriptivo. El objetivo consiste en que tú logres «ver» la gráfica de la función antes de empezar a graficarla, es decir, que conozcas el comportamiento de la función, más que los puntos precisos por donde pasa. Algunas veces no se requiere precisión, sino un bosquejo es suficiente para obtener la información que requerimos. Grafica la función: =. Ejemplo La gráfica de esta función es inmediata. Esta función, estrictamente hablando, no transforma los valores de que le damos. En palabras dice: el mismo valor que me des de, se lo asignaré a la variable, sin hacerle ningún cambio. En realidad no requerimos tabular distintos valores de calcular los valores de. La gráfica de esta función forma un ángulo de 5 con ambos ejes: = 0 En la gráfica se observa claramente que a cada valor de le corresponde un valor de. En este caso =, que es como se definió la función. Encuentra el dominio el contradominio de esta función. Recuerda que esta función es polinomial. Grafica la función: = +. Ejemplo /5

2 La gráfica de esta función es hermana de la anterior. Esta función, en palabras dice: al valor que me des de le sumaré, ese valor se lo asignaré a la variable. De nuevo, no requerimos tabular distintos valores de calcular los valores de. La gráfica de esta función forma un ángulo de 5 con ambos ejes, como la anterior, pero ahora no pasa por el origen del sistema de coordenadas: = + = 0 La gráfica en palabras nos dice: A los antiguos valores de (de la función = ) les sumo ; en otras palabras, esto moviendo la gráfica de la función = una unidad hacia arriba obtengo la gráfica de la función = +. Ejemplo Grafica la función: =. La gráfica de esta función es hermana de las dos anteriores. Esta función, en palabras dice: al valor que me des de le restaré, ese valor se lo asignaré a la variable. Como la gráfica anterior, ésta no pasa por el origen del sistema de coordenadas. La gráfica de la función fue trasladada en una unidad también, pero ahora hacia abajo: /5

3 = + = = 0 La gráfica en palabras nos dice: A los antiguos valores de (de la función = ) les resto ; en otras palabras, esto moviendo la gráfica de la función = una unidad hacia abajo obtendo la gráfica de la función =. A partir de estos tres ejemplos tú fácilmente puedes graficar la función = + k, donde k es un número real. Translación vertical Si a la gráfica de la función = f () la trasladamos verticalmente k unidades, obtenemos la gráfica de la función = f () + k. Definición Ahora veremos una nueva transformación. Grafica la función: =. Ejemplo La gráfica de esta función es hermana de las anteriores. Esta función, en palabras dice: al valor que me des de lo multiplicaré por, ese valor se lo asignaré a la variable. /5

4 = = 0 Al comparar las dos gráficas, vemos que la transformación consistió en aumentar al doble las alturas de los puntos de la gráfica de la función. Ejemplo 5 Grafica la función: =. La gráfica de esta función es el reflejo de la función = respecto a la función =. Esta función, en palabras dice: «al valor que me des de lo multiplicaré por, ese valor se lo asignaré a la variable». /5

5 = = 0 = En el ejemplo anterior la altura de cada punto aumentó al doble; en este ejemplo la altura disminuó a la mitad. Dilatación Si a la gráfica de la función la transformamos de manera que la altura de cada uno de sus puntos lo multiplicamos por la constante k, entonces obtenemos la gráfica de la función = k f (). Hasta aquí hemos visto dos transformaciones: traslación vertical, cuando le sumamos una constante a la función, su gráfica se corre hacia arriba o hacia abajo, dependiendo de que el valor de la constante sea positivo o negativo; dilatación, que ocurre cuando multiplicamos la variable por un número, la gráfica se estira si el coeficiente (el número que usamos para multiplicar) es maor que, o se hace más chaparra o se aplana cuando el coeficiente es menor a maor a cero. Ahora trabajaremos con una nueva transformación. Esta transformación se llama refleión (respecto al eje ) consiste en multiplicar la variable por un número negativo. Empezamos con el caso más sencillo. Grafica la función: =. Definición Ejemplo 6 Esta función es un reflejo de la función: = respecto del eje. En palabras dice:...nada más le vo a cambiar el signo al valor que me des de, el resultado se lo vo a asignar a. 5/5

6 = 0 = Si comparamos esto con la función: = la gráfica diría:...a lo que antes era positivo ahora lo consideraré negativo, viceversa, lo que antes era negativo, ahora lo consideraré positivo... Así que lo que antes estaba arriba del eje, ahora estará por debajo, a la misma distancia del eje, viceversa, lo que antes estaba por encima del eje ahora estará por debajo, a la misma distancia. El nombre de esta transformación viene del hecho que parece que la gráfica de la función = se reflejó respecto al eje, como si el eje fuera un espejo. Debes observar que en este caso la pendiente de la recta m =, es decir, es negativa la gráfica de la función desciende conforme avanzamos en la dirección positiva del eje. Esto indica que la función siempre decrece. Por cada unidad que nos movemos hacia la derecha, la gráfica de la función desciende uno. Es decir, por cada uno que nos movemos en la dirección positiva del eje la gráfica se mueve uno hacia abajo en el sentido del eje. Ejemplo 7 Grafica la función: = +. Realizaremos la gráfica de esta función en pasos: Paso i. Graficamos la función =. Paso ii. Hacemos la refleión del la gráfica anterior para obtener la gráfica de la función =. Paso iii. Dilatamos la función = multiplicándola por, así obtenemos la gráfica de la función: =. Paso iv. Hacemos una traslación vertical: sumamos a la función anterior obtenemos la gráfica de: = + Cada uno de los pasos se muestra en la siguiente gráfica: 6/5

7 = + = (Paso ) 0 = (Paso ) = (Paso ) Ahora encuentra la pendiente de la recta tanto el dominio como el contradominio de la función. En realidad, graficar una función lineal es mu sencillo. Solamente tienes que pensar en términos de las transformaciones sucesivas que se realizaron sobre las gráficas. Para graficar una función lineal empieza siempre con la refleión, después aplica la dilatación termina con la traslación. Comentario El orden en las transformaciones geométricas sí importa porque afecta el resultado final. Así que sigue el orden que se da en el tip anterior. Ahora recordaremos cómo graficar una función polinomial de segundo grado, es decir, una parábola. Grafica la función: =. Ejemplo 8 Esta función polinomial en palabras dice: El número que tú le asignes a la variable lo multiplicaré por sí mismo (es decir, lo elevaré al cuadrado) el resultado es el valor que le asignaré a la variable. Para graficar esta función observa que los valores de siempre serán positivos (salvo cuando = 0), independientemente del signo de. 7/5

8 = 6 5 P (, ) 0 Observa que esta fución es polinomial. Además, dado que nunca toma valores negativos, la gráfica de esta función abarca todo el lado positivo del eje. Con esto, podemos afirmar que el contradominio de esta función es el conjunto de todos los números reales no negativos. Matemáticamente, el contradominio de esta función es: { 0, R}. Observa que, para la función = se cumple f ( ) = f () para toda. Definición Función par Una función es par si para toda que sea elemento de su dominio se cumple que f () = f ( ). A partir del ejemplo anterior es mu fácil realizar el siguiente: Ejemplo 9 Grafica la función: =. Esta función polinomial en palabras dice: El número que tú le asignes a la variable lo multiplicaré por sí mismo, al resultado le restaré el valor así obtenido se lo asignaré a la variable. Para graficar esta función observa que se transformó la función anterior con una traslación vertical. 8/5

9 = 6 = 5 0 Ahora encuentra el dominio el contradominio de esta función. Sugerencia: Observa la gráfica el eje. Te dice esto algo respecto al contradominio de la función? Se te queda como ejercicio verificar si esta función es par. Grafica la función: = + 5. Ejemplo 0 Graficamos esta función con los siguientes pasos: Paso i. Graficamos la función = Paso ii. Hacemos una refleión respecto al eje multiplicando por, así obtenemos la gráfica de la función: = Paso iii. Hacemos una traslación vertical sumando 5 a la función; así obtenemos la gráfica de la función: = /5

10 6 = (Paso ) 5 0 = + 5 = (Paso ) En el primer paso obtenemos la gráfica de la parábola =. En el segundo paso hemos encontrado su reflejo respecto al eje. Observa que multiplicar por el signo negativo solamente refleja la gráfica respecto al eje. En el tercer paso hacemos la traslación del al última gráfica 5 unidades hacia arriba. Ejemplo Grafica la función: =. De nuevo, realizamos la gráfica de esta función por pasos: Paso. Graficamos la función = Paso. Dilatamos la gráfica multiplicando la función por ; así obtenemos la gráfica de =. Paso. Hacemos una traslación vertical restando a la función = ; así obtenemos la gráfica de =. 0/5

11 = (Paso ) = (Paso ) = Observa que ahora no hemos usado la refleión, porque el término cuadrático no es negativo. Sin embargo, aparece multiplicado por dos, por eso usamos la dilatación. Ahora estudiaremos una última transformación: la traslación horizontal. Grafica la función: = ( ). Ejemplo Como el binomio está elevado al cuadrado, la parábola abre hacia arriba. La primer pregunta que debes hacerte cuando tengas este tipo de función es: qué valor debe darle a para que tenga el mínimo valor?... o en otras palabras: qué valor de hace que sea igual a cero? Y la respuesta es: si =, entonces = 0. Entonces, la función: = ( ), tiene su vértice en el punto (, 0). Es decir, = (que tiene su vértice en (0, 0)) se trasladó horizontalmente hacia la derecha en una unidad. En otras palabras, sufrió una traslación horizontal. /5

12 = (Paso ) = ( ) Cuál es el dominio contradominio de esta función? Ejemplo Grafica la función: = ( + ). Como el binomio + está elevado al cuadrado, la parábola abre hacia arriba. «Qué valor de hace que + sea igual a cero?» Y la respuesta es: si =, entonces + = 0. Entonces, la función: = ( + ), tiene su vértice en el punto (, 0). Es decir, = (que tiene su vértice en (0, 0)) se trasladó horizontalmente hacia la izquierda en dos unidades. = ( + ) 6 5 = (Paso ) 5 0 /5

13 Calcula el dominio el contradominio de esta función. Traslación horizontal Si a la gráfica de la función = f () la trasladamos horizontalmente k unidades, (con k > 0 la traslación ocurre hacia la izquierda con k < 0 hacia la derecha) obtenemos la gráfica de la función = f ( + k). Definición Con esta transformación podemos graficar fácilmente cualquier función cuadrática. En caso de que encuentres una función de la forma: = a + b + c, basta completar cuadrados convertir la función a la forma: = ( α) + β. El número α causa una traslación horizontal; el número β causa una traslación vertical. El peor de los casos tendremos una función de la forma: = k ( α) + β, con k < 0, es decir un número negativo, lo que indica una dilatación junto con una refleión respecto al eje. Como ves, el álgebra elemental (productos notables factorización) se requiere para realizar el procedimiento. El siguiente ejemplo muestra uno de esos casos. Grafica la función: = +. Ejemplo Método. Completando cuadrados Primero debes observar que es una función cuadrática, que se trata de una parábola. Vamos a completar cuadrados. = + = ( + ) + ( ) = ( + ) + ( ) = ( ) En esta forma, es mucho más fácil rápido hacer la gráfica de la función. Para completar cuadrados más fácilmente, calcula la mitad del coeficiente del término lineal, en este caso, la mitad de es, usa ese valor para completar el binomio. He aquí un segundo método de llegar al mismo resultado. Método. Fórmula general Encontramos las raíces de la función, es decir, los puntos donde la gráfica corta al eje, con la auda de la fórmula general: = b ± b ac a Si no recuerdas cómo completar cuadrados, debes estudiarlo de nuevo. /5

14 En este caso: a =, b = c =. Sustituimos los valores en la fórmula general resolvemos para encontrar los valores de : Ahora ubicamos los puntos: = ± 6 ()() () = ± = ± = ± = + = en el eje a partir de estos graficamos la parábola. Sabemos que la parábola abre hacia arriba. En caso de que quieras maor precisión, podemos usar la información del método, el vértice se encuentra en el punto (, ). Método. Geométricamente Usando la interpretación geométrica de las raíces de la ecuación cuadrática, podemos fácilmente encontrar las coordenadas del vértice: v = b a = () = Y la ordenada del vértice es: () = () () + =. Entonces, el vértice es: (, ) Sabemos que la parábola abre hacia arriba porque el coeficiente del término cuadrático es positivo, a podemos hacer un bosquejo de la gráfica de la función. 5 = ( ) = + = /5

15 Ahora tú encuentra el dominio el rango de esta función. Créditos Todo debe hacerse tan simple como sea posible, pero no más. Albert Einstein Este material se etrajo del libro Matemáticas I escrito por Efraín Soto Apolinar. La idea es compartir estos trucos para que más gente se enamore de las matemáticas, de ser posible, mucho más que el autor. Autor: Efraín Soto Apolinar. Edición: Efraín Soto Apolinar. Composición tipográfica: Efraín Soto Apolinar. Diseño de figuras: Efraín Soto Apolinar. Productor general: Efraín Soto Apolinar. Año de edición: 00 Año de publicación: Pendiente. Última revisión: 07 de agosto de 00. Derechos de autor: Todos los derechos reservados a favor de Efraín Soto Apolinar. Méico. 00. Espero que estos trucos se distribuan entre profesores de matemáticas de todos los niveles sean divulgados entre otros profesores sus alumnos. Este material es de distribución gratuita. Profesor, agradezco sus comentarios sugerencias a la cuenta de correo electrónico: 5/5

Profr. Efraín Soto Apolinar. Función exponencial

Profr. Efraín Soto Apolinar. Función exponencial Función eponencial La función eponencial viene de la generalización de la función polinomial. Si consideramos la función: =, por ejemplo, cabe preguntarnos, «cómo se comportaría la función si cambiamos

Más detalles

Funciones polinomiales de grados 3 y 4

Funciones polinomiales de grados 3 y 4 Funciones polinomiales de grados 3 y 4 Ahora vamos a estudiar los casos de funciones polinomiales de grados tres y cuatro. Vamos a empezar con sus gráficas y después vamos a estudiar algunos resultados

Más detalles

Profr. Efraín Soto Apolinar. Función Inversa

Profr. Efraín Soto Apolinar. Función Inversa Función Inversa Una función es una relación entre dos variables, de manera que para cada valor de la variable independiente eiste a lo más un único valor asignado a la variable independiente por la función.

Más detalles

Profr. Efraín Soto Apolinar. La función lineal. y = a 0 + a 1 x. y = m x + b

Profr. Efraín Soto Apolinar. La función lineal. y = a 0 + a 1 x. y = m x + b La función lineal Una función polinomial de grado uno tiene la forma: y = a 0 + a 1 x El semestre pasado estudiamos la ecuación de la recta. y = m x + b En la notación de funciones polinomiales, el coeficiente

Más detalles

Ecuación ordinaria de la circunferencia

Ecuación ordinaria de la circunferencia Ecuación ordinaria de la circunferencia En esta sección estudiatemos la ecuación de la circunferencia en la forma ordinaria. Cuando hablemos de la forma ordinaria de una cónica, generalmente nos referiremos

Más detalles

Caracterización geométrica

Caracterización geométrica Caracterización geométrica Ahora vamos a centrar nuestra atención en la elipe. Esta figura geométrica tiene la misma esencia que la circunferencia, pero ésta está dilatada en uno de sus ejes. Recuerda

Más detalles

Relaciones y funciones

Relaciones y funciones Relaciones y funciones En matemáticas, una relación es un conjunto de pares ordenados. Como si se tratara de coordenadas de puntos, un conjunto de pares ordenados, forma una relación. Relación Es un conjunto

Más detalles

Funciones. Efraín Soto Apolinar

Funciones. Efraín Soto Apolinar Funciones Efraín Soto Apolinar TÉRMINOS DE USO Derechos Reservados c 010. Todos los derechos reservados a favor de Efraín Soto Apolinar. Soto Apolinar, Efraín. Funciones Primera edición. Incluye índice.

Más detalles

Funciones más usuales 1

Funciones más usuales 1 Funciones más usuales 1 1. La función constante Funciones más usuales La función constante Consideremos la función más sencilla, por ejemplo. La imagen de cualquier número es siempre 2. Si hacemos una

Más detalles

Operaciones con polinomios

Operaciones con polinomios Operaciones con polinomios Los polinomios son una generalización de nuestro sistema de numeración. Cuando escribimos un número, por ejemplo, 2 354, queremos decir: 2 354 = 2 000 + 300 + 50 + 4 = 2)1 000)

Más detalles

Profr. Efraín Soto Apolinar. Factorización

Profr. Efraín Soto Apolinar. Factorización Factorización La factorización es la otra parte de la historia de los productos notables. Esto es, ambas cosas se refieren a las mismas fórmulas, pero en los productos notables se nos daba una operación

Más detalles

Concepto de función y funciones elementales

Concepto de función y funciones elementales Concepto de unción unciones elementales Matemáticas I - º Bachillerato Las unciones describen enómenos cotidianos, económicos, psicológicos, cientíicos Tales unciones se obtienen eperimentalmente, mediante

Más detalles

DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN I N D I C E. martilloatomico@gmail.com. Página. Titulo:

DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN I N D I C E. martilloatomico@gmail.com. Página. Titulo: Titulo: DOMINIO Y RANGO I N D I C E Página DE UNA FUNCIÓN Año escolar: 4to. Año de Bachillerato Autor: José Luis Albornoz Salazar Ocupación: Ing Civil. Docente Universitario País de residencia: Venezuela

Más detalles

Traslación de puntos

Traslación de puntos LECCIÓN CONDENSADA 9.1 Traslación de puntos En esta lección trasladarás figuras en el plano de coordenadas definirás una traslación al describir cómo afecta un punto general (, ) Una regla matemática que

Más detalles

Geometría Analítica. Efraín Soto Apolinar

Geometría Analítica. Efraín Soto Apolinar Geometría Analítica Efraín Soto Apolinar TÉRMINOS DE USO Derechos Reservados c 010. Todos los derechos reservados a favor de Efraín Soto Apolinar. Soto Apolinar, Efraín. Geometría Analítica 010 edición.

Más detalles

Profr. Efraín Soto Apolinar. Límites

Profr. Efraín Soto Apolinar. Límites Límites Cada rama de las matemáticas tiene conceptos que resultan centrales para el desarrollo de la misma. Nosotros empezamos el estudio del cálculo infinitesimal, que está compuesto del cálculo diferencial

Más detalles

2 año secundario. Función Lineal MINISTERIO DE EDUCACIÓN. Se llama función lineal porque la potencia de la x es 1. Su gráfico es una recta.

2 año secundario. Función Lineal MINISTERIO DE EDUCACIÓN. Se llama función lineal porque la potencia de la x es 1. Su gráfico es una recta. año secundario Función Lineal Se llama función lineal porque la potencia de la x es. Su gráfico es una recta. Y en general decimos que es de la forma : f(x)= a. x + b donde a y b son constantes, a recibe

Más detalles

1.4.- D E S I G U A L D A D E S

1.4.- D E S I G U A L D A D E S 1.4.- D E S I G U A L D A D E S OBJETIVO: Que el alumno conozca y maneje las reglas empleadas en la resolución de desigualdades y las use para determinar el conjunto solución de una desigualdad dada y

Más detalles

Funciones polinomiales de grados cero, uno y dos

Funciones polinomiales de grados cero, uno y dos Funciones polinomiales de grados cero, uno y dos A una función p se le llama polinomio si: p x = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 2 x 2 + a 1x + a 0 Donde un entero no negativo y los números a 0, a 1, a 2,

Más detalles

FUNCIONES CUADRÁTICAS Y RACIONALES

FUNCIONES CUADRÁTICAS Y RACIONALES www.matesronda.net José A. Jiménez Nieto FUNCIONES CUADRÁTICAS Y RACIONALES 1. FUNCIONES CUADRÁTICAS. Representemos, en función de la longitud de la base (), el área (y) de todos los rectángulos de perímetro

Más detalles

1. Funciones y sus gráficas

1. Funciones y sus gráficas FUNCIONES 1. Funciones sus gráficas Función es una relación entre dos variables a las que, en general se les llama e. es la variable independiente. es la variable dependiente. La función asocia a cada

Más detalles

Lección 7 - Coordenadas rectangulares y gráficas

Lección 7 - Coordenadas rectangulares y gráficas Lección 7 - Coordenadas rectangulares gráficas Coordenadas rectangulares gráficas Objetivos: Al terminar esta lección podrás usar un sistema de coordenadas rectangulares para identificar puntos en un plano

Más detalles

Características de funciones que son inversas de otras

Características de funciones que son inversas de otras Características de funciones que son inversas de otras Si f es una función inyectiva, llamamos función inversa de f y se representa por f 1 al conjunto. f 1 = a, b b, a f} Es decir, f 1 (x, y) = { x =

Más detalles

FUNCIONES 1. DEFINICION DOMINIO Y RANGO

FUNCIONES 1. DEFINICION DOMINIO Y RANGO 1. DEFINICION DOMINIO Y RANGO FUNCIONES Antes de definir función, uno de los conceptos fundamentales y de mayor importancia de todas las matemáticas, plantearemos algunos ejercicios que nos eran de utilidad

Más detalles

Capítulo 3: APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

Capítulo 3: APLICACIONES DE LAS DERIVADAS Capítulo : Aplicaciones de la derivada 1 Capítulo : APLICACIONES DE LAS DERIVADAS Dentro de las aplicaciones de las derivadas quizás una de las más importantes es la de conseguir los valores máimos y mínimos

Más detalles

Se llama dominio de una función f(x) a todos los valores de x para los que f(x) existe. El dominio se denota como Dom(f)

Se llama dominio de una función f(x) a todos los valores de x para los que f(x) existe. El dominio se denota como Dom(f) MATEMÁTICAS EJERCICIOS RESUELTOS DE FUNCIONES FUNCIONES A. Introducción teórica A.1. Definición de función A.. Dominio y recorrido de una función, f() A.. Crecimiento y decrecimiento de una función en

Más detalles

2. GRAFICA DE FUNCIONES

2. GRAFICA DE FUNCIONES . GRAFICA DE FUNCIONES En vista de que el comportamiento de una función puede, en general, apreciarse mu bien en su gráfica, vamos a describir algunas técnicas con auda de las cuales podremos hacer un

Más detalles

Nombre del polinomio. uno monomio 17 x 5 dos binomio 2x 3 6x tres trinomio x 4 x 2 + 2

Nombre del polinomio. uno monomio 17 x 5 dos binomio 2x 3 6x tres trinomio x 4 x 2 + 2 SISTEMA DE ACCESO COMÚN A LAS CARRERAS DE INGENIERÍA DE LA UNaM III. UNIDAD : FUNCIONES POLINÓMICAS III..1 POLINOMIOS La expresión 5x + 7 x + 4x 1 recibe el nombre de polinomio en la variable x. Es de

Más detalles

1. Una función de X en Y es una regla de correspondencia que asocia a cada elemento de X con un único elemento de Y

1. Una función de X en Y es una regla de correspondencia que asocia a cada elemento de X con un único elemento de Y UNIDAD I. FUNCIONES POLINOMIALES Conceptos clave: Sean X y Y dos conjuntos no vacíos. 1. Una función de X en Y es una regla de correspondencia que asocia a cada elemento de X con un único elemento de Y

Más detalles

LA PARABOLA. R(-a, y) P (x, y) con el origen del sistema de coordenadas cartesianas y el eje de la parábola con el

LA PARABOLA. R(-a, y) P (x, y) con el origen del sistema de coordenadas cartesianas y el eje de la parábola con el LA PARABOLA Señor... cuando nos equivoquemos, concédenos la voluntad de rectificar; y cuando tengamos razón... no permitas que nos hagamos insufribles para el prójimo. Marshall En la presente entrega,

Más detalles

La Lección de hoy es sobre determinar el Dominio y el Rango. El cuál es la expectativa para el aprendizaje del estudiante LF.3.A1.

La Lección de hoy es sobre determinar el Dominio y el Rango. El cuál es la expectativa para el aprendizaje del estudiante LF.3.A1. LF.3.A1.2-Steve Cole-Determining Domain and Ranges- La Lección de hoy es sobre determinar el Dominio y el Rango. El cuál es la expectativa para el aprendizaje del estudiante LF.3.A1.2 Qué es Dominio? Es

Más detalles

Cálculo Diferencial. Efraín Soto Apolinar

Cálculo Diferencial. Efraín Soto Apolinar Cálculo Diferencial Efraín Soto Apolinar TÉRMINOS DE USO Derechos Reservados c 2010. Todos los derechos reservados a favor de Efraín Soto Apolinar. Soto Apolinar, Efraín. Cálculo Diferencial Primera edición.

Más detalles

Por ejemplo si a = 1 y c = 2 obtenemos y x 2 2. 2 1, su gráfico es el mismo que el de. En general, a partir del gráfico de

Por ejemplo si a = 1 y c = 2 obtenemos y x 2 2. 2 1, su gráfico es el mismo que el de. En general, a partir del gráfico de Caso 3: En la ecuación general a b c, a 0 b 0, obtenemos a c, a 0. 10 = + = 8 6 4 = -1 3 - -1 1 3-1 Por ejemplo si a = 1 c = obtenemos. El gráfico de, es el mismo que el de desplazado unidades hacia arriba.

Más detalles

http://www.cepamarm.es ACFGS - Matemáticas ESG - 05/2013 Pág. 1 de 17

http://www.cepamarm.es ACFGS - Matemáticas ESG - 05/2013 Pág. 1 de 17 http://www.cepamarm.es ACFGS - Matemáticas ESG - 05/2013 Pág. 1 de 17 1 CONCEPTOS BÁSICOS 1.1 DEFINICIONES Una función liga dos variables numéricas a las que, habitualmente, se les llama x e y. x es la

Más detalles

Funciones. 2.6 Tipos de funciones CAPÍTULO. 2.6.1 Funciones monótonas

Funciones. 2.6 Tipos de funciones CAPÍTULO. 2.6.1 Funciones monótonas CAPÍTULO Funciones.6 Tipos de funciones Definimos ahora algunos tipos de funciones que tienen comportamientos mu particulares que son importantes en el estudio del cálculo..6. Funciones monótonas Una función

Más detalles

Parábolas con vértice fuera del origen

Parábolas con vértice fuera del origen Parábolas con vértice fuera del origen En este apartado vamos a etender lo que estudiamos en la sección anterior. Ahora vamos a considerar parábolas con vértices fuera del origen. En estos casos, tendremos

Más detalles

+ 7 es una ecuación de segundo grado. es una ecuación de tercer grado.

+ 7 es una ecuación de segundo grado. es una ecuación de tercer grado. ECUACIONES Y DESIGUALDADES UNIDAD VII VII. CONCEPTO DE ECUACIÓN Una igualdad es una relación de equivalencia entre dos epresiones, numéricas o literales, que se cumple para algún, algunos o todos los valores

Más detalles

Colegio Las Tablas Tarea de verano Matemáticas 3º ESO

Colegio Las Tablas Tarea de verano Matemáticas 3º ESO Colegio Las Tablas Tarea de verano Matemáticas º ESO Nombre: C o l e g i o L a s T a b l a s Tarea de verano Matemáticas º ESO Resolver la siguiente ecuación: 5 5 6 Multiplicando por el mcm(,,6) = 6 y

Más detalles

Unidad 6 Cálculo de máximos y mínimos

Unidad 6 Cálculo de máximos y mínimos Unidad 6 Cálculo de máimos y mínimos Objetivos Al terminar la unidad, el alumno: Utilizará la derivada para decidir cuándo una función es creciente o decreciente. Usará la derivada para calcular los etremos

Más detalles

3. Una pelota se lanza desde el suelo hacia arriba. En un segundo llega hasta una altura de 25 m. Cuál será la máxima altura alcanzada?

3. Una pelota se lanza desde el suelo hacia arriba. En un segundo llega hasta una altura de 25 m. Cuál será la máxima altura alcanzada? Problemas de Cinemática 1 o Bachillerato Caída libre y tiro horizontal 1. Desde un puente se tira hacia arriba una piedra con una velocidad inicial de 6 m/s. Calcula: a) Hasta qué altura se eleva la piedra;

Más detalles

Ecuaciones ordinarias de la parábola

Ecuaciones ordinarias de la parábola Ecuaciones ordinarias de la parábola En la sección anterior dedujimos la ecuación de la parábola en su forma ordinaria. Ahora vamos a utilizar la ecuación. Empezaremos estudiando las parábolas con vértice

Más detalles

I. RELACIONES Y FUNCIONES 1.1. PRODUCTO CARTESIANO { }

I. RELACIONES Y FUNCIONES 1.1. PRODUCTO CARTESIANO { } I. RELACIONES Y FUNCIONES PAREJAS ORDENADAS Una pareja ordenada se compone de dos elementos x y y, escribiéndose ( x, y ) donde x es el primer elemento y y el segundo elemento. Teniéndose que dos parejas

Más detalles

Juan Antonio González Mota Profesor de Matemáticas del Colegio Juan XIII Zaidín de Granada

Juan Antonio González Mota Profesor de Matemáticas del Colegio Juan XIII Zaidín de Granada FUNCIONES CONOCIDAS. FUNCIONES LINEALES. Se llaman funciones lineales a aquellas que se representan mediante rectas. Su epresión en forma eplícita es y f ( ) a b. En sentido más estricto, se llaman funciones

Más detalles

Álgebra y Trigonometría CNM-108

Álgebra y Trigonometría CNM-108 Álgebra y Trigonometría CNM-108 Clase 2 Ecuaciones, desigualdades y funciones Departamento de Matemáticas Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Universidad de Antioquia Copyleft c 2008. Reproducción

Más detalles

Ejemplo: Resolvemos Sin solución. O siempre es positiva o siempre es negativa. Damos un valor cualquiera Siempre + D(f) =

Ejemplo: Resolvemos Sin solución. O siempre es positiva o siempre es negativa. Damos un valor cualquiera Siempre + D(f) = T1 Dominios, Límites, Asíntotas, Derivadas y Representación Gráfica. 1.1 Dominios de funciones: Polinómicas: D( = La X puede tomar cualquier valor entre Ejemplos: D( = Función racional: es el cociente

Más detalles

PARÁBOLA. 1) para la parte positiva: 2) para la parte negativa: 3) para la parte positiva: 4) para la parte negativa:

PARÁBOLA. 1) para la parte positiva: 2) para la parte negativa: 3) para la parte positiva: 4) para la parte negativa: Página 90 5 LA PARÁBOLA 5.1 DEFINICIONES La parábola es el lugar geométrico 4 de todos los puntos cuyas distancias a una recta fija, llamada, y a un punto fijo, llamado foco, son iguales entre sí. Hay

Más detalles

UNIDAD 4: PLANO CARTESIANO, RELACIONES Y FUNCIONES. OBJETIVO DE APRENDIZAJE: Representar gráficamente relaciones y funciones en el plano cartesiano.

UNIDAD 4: PLANO CARTESIANO, RELACIONES Y FUNCIONES. OBJETIVO DE APRENDIZAJE: Representar gráficamente relaciones y funciones en el plano cartesiano. UNIDAD 4: PLANO CARTESIANO, RELACIONES Y FUNCIONES OBJETIVO DE APRENDIZAJE: Representar gráficamente relaciones y funciones en el plano cartesiano. EL PLANO CARTESIANO. El plano cartesiano está formado

Más detalles

Unidad 6 Estudio gráfico de funciones

Unidad 6 Estudio gráfico de funciones Unidad 6 Estudio gráfico de funciones PÁGINA 96 SOLUCIONES Representar puntos en un eje de coordenadas. 178 Evaluar un polinomio. a) b) c) d) e) Escribir intervalos. a) b) c) 179 PÁGINA 98 SOLUCIONES 1.a)

Más detalles

AXIOMAS DE CUERPO (CAMPO) DE LOS NÚMEROS REALES

AXIOMAS DE CUERPO (CAMPO) DE LOS NÚMEROS REALES AXIOMASDECUERPO(CAMPO) DELOSNÚMEROSREALES Ejemplo: 6 INECUACIONES 15 VA11) x y x y. VA12) x y x y. Las demostraciones de muchas de estas propiedades son evidentes de la definición. Otras se demostrarán

Más detalles

f( x) = ( x)2 + 11 x + 5 = 0 = x2 + 11 = 0 = No hay solución y = 0 + 11 0 + 5 = 11

f( x) = ( x)2 + 11 x + 5 = 0 = x2 + 11 = 0 = No hay solución y = 0 + 11 0 + 5 = 11 1. y = x + 11 x + 5 a) ESTUDIO DE f: 1) Dominio: Como es un cociente del dominio habrá que excluir los valores que anulen el denominador. Por tanto: x + 5 = 0 x = 5 ) Simetría: A simple vista, como el

Más detalles

MODULO PRECALCULO TERCERA UNIDAD

MODULO PRECALCULO TERCERA UNIDAD MODULO PRECALCULO TERCERA UNIDAD Función Eponencial y Función Logarítmica 9 Alicia rió. "No sirve de nada intentarlo - dijo -; uno no puede creer cosas imposibles." - "Me atrevería a decir que no tienes

Más detalles

2FUNCIONES CUADRÁTICAS

2FUNCIONES CUADRÁTICAS CONTENIDOS El modelo cuadrático La función cuadrática Desplazamientos de la gráfica Máximos, mínimos, ceros, crecimiento y decrecimiento Ecuaciones cuadráticas Sistemas mixtos En este capítulo se analizan

Más detalles

Funciones y gráficas (1)

Funciones y gráficas (1) Funciones y gráficas (1) Introducción Uno de los conceptos más importantes en matemática es el de función. El término función fue usado por primera vez en 1637 por el matemático francés René Descartes

Más detalles

4. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

4. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 4. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES INDICE 4 4.1. Definición de una función de dos variables...2 4.2. Gráfica de una función de dos variables..2 4.3. Curvas y superficies de nivel....3 4.4. Límites y continuidad....6

Más detalles

Función Cuadrática *

Función Cuadrática * Función Cuadrática * Edward Parra Salazar Colegio Madre del Divino Pastor 10-1 Una función f : A B, f(x) = ax 2 + bx + c, donde A y B son subconjuntos de R, a, b, c R, a 0, se llama una función cuadrática.

Más detalles

Funciones lineales. Objetivos. Antes de empezar. 1.Función de proporcionalidad directa pág. 170 Definición Representación gráfica

Funciones lineales. Objetivos. Antes de empezar. 1.Función de proporcionalidad directa pág. 170 Definición Representación gráfica 10 Funciones lineales Objetivos En esta quincena aprenderás a: Identificar problemas en los que intervienen magnitudes directamente proporcionales. Calcular la función que relaciona a esas magnitudes a

Más detalles

Solución Actividades Tema 4 MOVIMIENTOS RECTILÍNEOS Y CIRCULARES. INTRODUCCIÓN A LA CINEMÁTICA.

Solución Actividades Tema 4 MOVIMIENTOS RECTILÍNEOS Y CIRCULARES. INTRODUCCIÓN A LA CINEMÁTICA. Solución Actividades Tema 4 MOVIMIENTOS RECTILÍNEOS Y CIRCULARES. INTRODUCCIÓN A LA CINEMÁTICA. Actividades Unidad 4. Nos encontramos en el interior de un tren esperando a que comience el viaje. Por la

Más detalles

Profr. Efraín Soto Apolinar. Números reales

Profr. Efraín Soto Apolinar. Números reales úmeros reales En esta sección vamos a estudiar primero los distintos conjuntos de números que se definen en matemáticas. Después, al conocerlos mejor, podremos resolver distintos problemas aritméticos.

Más detalles

DESIGUALDADES E INECUACIONES

DESIGUALDADES E INECUACIONES DESIGUALDAD DESIGUALDADES E INECUACIONES Para hablar de la NO IGUALDAD podemos utilizar varios términos o palabras. Como son: distinto y desigual. El término "DISTINTO" (signo ), no tiene apenas importancia

Más detalles

FUNCIÓN CUADRÁTICA. Los gráficos de as funciones cuadráticas tienen siempre un eje de simetría vertical. En este caso coincide con el eje y.

FUNCIÓN CUADRÁTICA. Los gráficos de as funciones cuadráticas tienen siempre un eje de simetría vertical. En este caso coincide con el eje y. FUNCIÓN CUADRÁTICA 5º AÑO 013 PROF. RUHL, CLAUDIA FUNCIÓN CUADRÁTICA BATÁN, ROMINA FORMA CANÓNICA FORMA POLINÓMICA FORMA FACTORIZADA Y = a. ( x h ) + k Y = a. x + b. x + c y = a. ( x x1 ). ( x x FORMA

Más detalles

MATEMÁTICAS. TEMA 5 Límites y Continuidad

MATEMÁTICAS. TEMA 5 Límites y Continuidad MATEMÁTICAS TEMA 5 Límites y Continuidad MATEMÁTICAS º BACHILLERATO CCSS. TEMA 5: LÍMITES Y CONTINUIDAD ÍNDICE. Introducción. Concepto de función. 3. Dominio e imagen de una función. 4. Gráfica de algunas

Más detalles

La Lección de Hoy es Distancia entre dos puntos. El cuál es la expectativa para el aprendizaje del estudiante CGT.5.G.1

La Lección de Hoy es Distancia entre dos puntos. El cuál es la expectativa para el aprendizaje del estudiante CGT.5.G.1 La Lección de Hoy es Distancia entre dos puntos El cuál es la expectativa para el aprendizaje del estudiante CGT.5.G.1 La formula de la distancia dada a dos pares es: d= (x 2 -x 1 ) 2 + (y 2 -y 1 ) 2 De

Más detalles

1. Dominio, simetría, puntos de corte y periodicidad

1. Dominio, simetría, puntos de corte y periodicidad Estudio y representación de funciones 1. Dominio, simetría, puntos de corte y periodicidad 1.1. Dominio Al conjunto de valores de x para los cuales está definida la función se le denomina dominio. Se suele

Más detalles

UNIDAD 1. LOS NÚMEROS ENTEROS.

UNIDAD 1. LOS NÚMEROS ENTEROS. UNIDAD 1. LOS NÚMEROS ENTEROS. Al final deberás haber aprendido... Interpretar y expresar números enteros. Representar números enteros en la recta numérica. Comparar y ordenar números enteros. Realizar

Más detalles

Muchas veces hemos visto un juego de billar y no nos percatamos de los movimientos de las bolas (ver gráfico 8). Gráfico 8

Muchas veces hemos visto un juego de billar y no nos percatamos de los movimientos de las bolas (ver gráfico 8). Gráfico 8 Esta semana estudiaremos la definición de vectores y su aplicabilidad a muchas situaciones, particularmente a las relacionadas con el movimiento. Por otro lado, se podrán establecer las características

Más detalles

Universidad de la Frontera. Geometría Anaĺıtica: Departamento de Matemática y Estadística. Cĺınica de Matemática. J. Labrin - G.

Universidad de la Frontera. Geometría Anaĺıtica: Departamento de Matemática y Estadística. Cĺınica de Matemática. J. Labrin - G. Universidad de la Frontera Departamento de Matemática y Estadística Cĺınica de Matemática 1 Geometría Anaĺıtica: J. Labrin - G.Riquelme 1. Los puntos extremos de un segmento son P 1 (2,4) y P 2 (8, 4).

Más detalles

ECUACION DE DEMANDA. El siguiente ejemplo ilustra como se puede estimar la ecuación de demanda cuando se supone que es lineal.

ECUACION DE DEMANDA. El siguiente ejemplo ilustra como se puede estimar la ecuación de demanda cuando se supone que es lineal. ECUACION DE DEMANDA La ecuación de demanda es una ecuación que expresa la relación que existe entre q y p, donde q es la cantidad de artículos que los consumidores están dispuestos a comprar a un precio

Más detalles

Funciones Reales de Variable Real

Funciones Reales de Variable Real 1 Capítulo 6 Funciones Reales de Variable Real M.Sc. Alcides Astorga M., Lic. Julio Rodríguez S. Instituto Tecnológico de Costa Rica Escuela de Matemática Revista digital Matemática, educación e internet

Más detalles

f(x)=a n x n +a n-1 x n-1 +a n-2 x n-2 +...a 2 x 2 +a 1 x 1 +a 0

f(x)=a n x n +a n-1 x n-1 +a n-2 x n-2 +...a 2 x 2 +a 1 x 1 +a 0 FUNCIÓN POLINOMIAL. DEFINICIÓN. Las funciones polinomiales su representación gráfica, tienen gran importancia en la matemática. Estas funciones son modelos que describen relaciones entre dos variables

Más detalles

(A) Primer parcial. si 1 x 1; x 3 si x>1. (B) Segundo parcial

(A) Primer parcial. si 1 x 1; x 3 si x>1. (B) Segundo parcial CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I EVALUACIÓN GLOBAL E700 1) x 5 > 1. A) Primer parcial ) Sean las funciones ft) t +,gy) y 4&hw) w. Encontrar f/h, g f, f g y sus dominios. ) Graficar la función x + six

Más detalles

Ya sabes resolver (x+3) 2 =4?

Ya sabes resolver (x+3) 2 =4? Ya sabes resolver (+) =? Copyright 01, MatematicaTuya Derechos reservados 1 Tomar raíz a ambos miembros de la ecuación 1 Se despeja Sabiendo que la raíz negativa aporta otra solución Se tiene dos soluciones

Más detalles

Un Bisector Perpendicular puede ser una línea, una raya, y otro segmento.

Un Bisector Perpendicular puede ser una línea, una raya, y otro segmento. CGT.5.G.4-Pam Beach- Equations of Perpendicular Bisectors of Segments. La lección de hoy es sobre Ecuaciones de Bisectores Perpendiculares y segmentos. El cuál es la expectativa para el aprendizaje del

Más detalles

Guía para el examen de clasificación de matemáticas para las carreras de: actuaría, economía, ingenierías y matemáticas aplicadas.

Guía para el examen de clasificación de matemáticas para las carreras de: actuaría, economía, ingenierías y matemáticas aplicadas. Guía para el eamen de clasificación de matemáticas para las carreras de: actuaría, economía, ingenierías matemáticas aplicadas. Septiembre 23 Índice. Instrucciones.. Objetivo....2. Requisitos....3. Característicasdeleamen...

Más detalles

EJEMPLO 2: Ing. Mario René De León García. 1. FUNCIÓN EXPONENCIAL EJEMPLO 1:

EJEMPLO 2: Ing. Mario René De León García. 1. FUNCIÓN EXPONENCIAL EJEMPLO 1: FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA Por: Ing. Mario René De León García.. FUNCIÓN EXPONENCIAL Una función eponencial tiene la forma, donde a es la base de la potencia la variable es el eponente. Esta función

Más detalles

LA CIRCUNFERENCIA EN EL PLANO CARTESIANO

LA CIRCUNFERENCIA EN EL PLANO CARTESIANO LA CIRCUNFERENCIA EN EL PLANO CARTESIANO Si un hombre es perseverante, aunque sea duro de entendimiento se hará inteligente; y aunque sea débil se transformará en fuerte Leonardo Da Vinci TRASLACION DE

Más detalles

PROGRAMACIÓN LINEAL. 8.1. Introducción. 8.2. Inecuaciones lineales con 2 variables

PROGRAMACIÓN LINEAL. 8.1. Introducción. 8.2. Inecuaciones lineales con 2 variables Capítulo 8 PROGRAMACIÓN LINEAL 8.1. Introducción La programación lineal es una técnica matemática relativamente reciente (siglo XX), que consiste en una serie de métodos y procedimientos que permiten resolver

Más detalles

Grado polinomial y diferencias finitas

Grado polinomial y diferencias finitas LECCIÓN CONDENSADA 7.1 Grado polinomial y diferencias finitas En esta lección Aprenderás la terminología asociada con los polinomios Usarás el método de diferencias finitas para determinar el grado de

Más detalles

representación gráfica de funciones

representación gráfica de funciones representación gráfica de funciones Esta Unidad pretende ser una aplicación práctica de todo lo aprendido hasta ahora en el bloque de Análisis. En ella nos centraremos en las funciones polinómicas y racionales.

Más detalles

Gráficas de funciones

Gráficas de funciones Apuntes Tema 1 Gráficas de funciones 1.1 Gráficas de funciones a) Función constante: f(x) = k b) Recta vertical: x = k c) Función lineal: f(x) = mx Todas pasan por el origen O(0, 0). 2 d) Función afín:

Más detalles

La derivada de y respecto a x es lo que varía y por cada unidad que varía x. Ese valor se designa por dy dx.

La derivada de y respecto a x es lo que varía y por cada unidad que varía x. Ese valor se designa por dy dx. Conceptos de derivada y de diferencial Roberto C. Redondo Melchor, Norberto Redondo Melchor, Félix Redondo Quintela 1 Universidad de Salamanca 18 de agosto de 2012 v1.3: 17 de septiembre de 2012 Aunque

Más detalles

6. VECTORES Y COORDENADAS

6. VECTORES Y COORDENADAS 6. VECTORES Y COORDENADAS Página 1 Traslaciones. Vectores Sistema de referencia. Coordenadas. Punto medio de un segmento Ecuaciones de rectas. Paralelismo. Distancias Página 2 1. TRASLACIONES. VECTORES

Más detalles

1.5.- FUNCIONES Y SUS GRAFICAS. OBJETIVO.- Que el alumno conozca el concepto de función, su representación gráfica así como su uso en el Cálculo.

1.5.- FUNCIONES Y SUS GRAFICAS. OBJETIVO.- Que el alumno conozca el concepto de función, su representación gráfica así como su uso en el Cálculo. 1.5.- FUNCIONES Y SUS GRAFICAS OBJETIVO.- Que el alumno conozca el concepto de función, su representación gráfica así como su uso en el Cálculo. 1.5.1.- Introducción. Como ya mencionamos al inicio de estas

Más detalles

Lic. Manuel de Jesús Campos Boc

Lic. Manuel de Jesús Campos Boc UNIVERSIDAD MARIANO GÁLVEZ DE GUATEMALA FACULTAD DE CIENCIAS DE LA ADMINISTRACIÓN DIRECCIÓN GENERAL DE CENTRO UNIVERSITARIOS CENTRO UNIVERSITARIO DE VILLA NUEVA CURSO MATEMÁTICAS APLICADA I 0 Lic. Manuel

Más detalles

Matemática I Extremos de una Función. Definiciones-Teoremas

Matemática I Extremos de una Función. Definiciones-Teoremas Universidad Centroccidental Lisandro Alvarado Decanato de Agronomía Programa Ingeniería Agroindustrial Departamento de Gerencia Estudios Generales Matemática I Etremos de una Función. Definiciones-Teoremas

Más detalles

Gráfica de una función

Gráfica de una función CAPÍTULO 9 Gráfica de una función 9. Bosquejo de la gráfica de una función Para gráficar una función es necesario:. Hallar su dominio sus raíces.. Decidir si es par o impar, o bien ninguna de las dos cosas..

Más detalles

CAPITULO 3. Aplicaciones de la Derivada. Licda. Elsie Hernández Saborío. Instituto Tecnológico de Costa Rica. Escuela de Matemática

CAPITULO 3. Aplicaciones de la Derivada. Licda. Elsie Hernández Saborío. Instituto Tecnológico de Costa Rica. Escuela de Matemática CAPITULO Aplicaciones de la Derivada Licda. Elsie Hernández Saborío Instituto Tecnológico de Costa Rica Escuela de Matemática Créditos Primera edición impresa: Rosario Álvarez, 1988. Edición Latex: Marieth

Más detalles

Departamento de Matemáticas

Departamento de Matemáticas MA5 Clase 9: Campos Direccionales, Curvas Integrales. Eistencia y Unicidad Elaborado por los profesores Edgar Cabello y Marcos González La ecuación y = f(, y) determina el coeficiente angular de la tangente

Más detalles

Problemas Resueltos de Desigualdades y Programación Lineal

Problemas Resueltos de Desigualdades y Programación Lineal Universidad de Sonora División de Ciencias Exactas y Naturales Departamento de Matemáticas. Problemas Resueltos de Desigualdades y Programación Lineal Para el curso de Cálculo Diferencial de Químico Biólogo

Más detalles

Este documento ha sido generado para facilitar la impresión de los contenidos. Los enlaces a otras páginas no serán funcionales.

Este documento ha sido generado para facilitar la impresión de los contenidos. Los enlaces a otras páginas no serán funcionales. Este documento ha sido generado para facilitar la impresión de los contenidos. Los enlaces a otras páginas no serán funcionales. Introducción Por qué La Geometría? La Geometría tiene como objetivo fundamental

Más detalles

Matemáticas 1204, 2013 Semestre II Tarea 5 Soluciones

Matemáticas 1204, 2013 Semestre II Tarea 5 Soluciones Matemáticas 104, 01 Semestre II Tarea 5 Soluciones Problema 1: Una definición errónea de línea tangente a una curva es: La línea L es tangente a la curva C en el punto P si y sólamente si L pasa por C

Más detalles

TEMA 1. Introducción y conceptos generales sobre la ciencia económica: Gráficas en Economía

TEMA 1. Introducción y conceptos generales sobre la ciencia económica: Gráficas en Economía TEMA 1 Introducción y conceptos generales sobre la ciencia económica: Gráficas en Economía Objetivos Hacer e interpretar gráficas de series de tiempo, gráficas de sección trasversal y diagramas de dispersión

Más detalles

Una fórmula para la pendiente

Una fórmula para la pendiente LECCIÓN CONDENSADA 5.1 Una fórmula para la pendiente En esta lección aprenderás cómo calcular la pendiente de una recta dados dos puntos de la recta determinarás si un punto se encuentra en la misma recta

Más detalles

2. Vector tangente y gráficas en coordenadas polares.

2. Vector tangente y gráficas en coordenadas polares. GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL CURSO 0 Vector tangente y gráficas en coordenadas polares De la misma forma que la ecuación cartesiana y = yx ( ) define una curva en el plano, aquella formada por los

Más detalles

Funciones elementales

Funciones elementales 10 Funciones elementales Objetivos En esta quincena aprenderás a: Reconocer y distinguir algunas de las funciones más habituales. Utilizar algunas funciones no lineales: cuadráticas, de proporcionalidad

Más detalles

b) Para encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, hay que derivar la función. Como que se trata de un cociente, aplicamos la fórmula:

b) Para encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, hay que derivar la función. Como que se trata de un cociente, aplicamos la fórmula: 1. Dada la función f(x) = : a) Encontrar el dominio, las AH y las AV. b) Intervalos de crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos relativos. c) Primitiva que cumpla que F(0) = 0. a) Para encontrar el

Más detalles

MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas

MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Tema Representación gráfica de funciones reales de una variable real Elaborado

Más detalles

UNIDAD I NÚMEROS REALES

UNIDAD I NÚMEROS REALES UNIDAD I NÚMEROS REALES Los números que se utilizan en el álgebra son los números reales. Hay un número real en cada punto de la recta numérica. Los números reales se dividen en números racionales y números

Más detalles

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

EXPRESIONES ALGEBRAICAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS Un grupo de variables representadas por letras junto con un conjunto de números combinados con operaciones de suma, resta, multiplicación, división, potencia o etracción de raíces

Más detalles

El día más corto del año, la Ecuación del Tiempo, la Analema y otros animales

El día más corto del año, la Ecuación del Tiempo, la Analema y otros animales El día más corto del año, la Ecuación del Tiempo, la Analema y otros animales By Luis Mederos Como todos sabemos, alrededor del 21 de Diciembre se produce el solsticio de invierno (en el hemisferio norte).

Más detalles

TEMA 5. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES

TEMA 5. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES 94 TEMA 5. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES 1. Representación de funciones 1.1. Dominio 1.. Puntos de corte con los ejes 1..1. Con el eje 1... Con el eje y 1.. Signo de la función 1.4. Periodicidad y simetría

Más detalles