EJEMPLO 2: Ing. Mario René De León García. 1. FUNCIÓN EXPONENCIAL EJEMPLO 1:

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1 FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA Por: Ing. Mario René De León García.. FUNCIÓN EXPONENCIAL Una función eponencial tiene la forma, donde a es la base de la potencia la variable es el eponente. Esta función tiene un comportamiento asintótico, el cual depende del valor de la base; por esta razón se eaminará el comportamiento de la función eponencial a través de dos ejemplos, para luego generalizar entrar a la definición. EJEMPLO : Analizar numéricamente el comportamiento de la función: El análisis consiste en observar que sucede con los valores de la función (valores para ) cuando la variable toma valores mu pequeños; así como cuando toma valores mu grandes. ASÍNTOTA HORIZONTAL: COMPORTAMIENTO CRECIENTE CONCLUSIÓN: Cuando los valores de son pequeños la curva de la función se acerca a la asíntota horizontal, mientras que cuando se hacen grandes la curva continúa con un comportamiento creciente. Observe que cuando la función toma el valor. EJEMPLO : Analizar numéricamente el comportamiento de la función:

2 Funciones Eponencial logarítmica Realizando un análisis similar al de ejemplo anterior se tiene: COMPORTAMIENTO DECRECIENTE ASÍNTOTA HORIZONTAL: CONCLUSIÓN: Cuando los valores de son pequeños, la curva de la función tiene imágenes mu grandes, esto equivale a decir que al realizar el análisis de izquierda a derecha, la función tiene un comportamiento decreciente. Cuando los valores de son grandes, la función se acerca a la asíntota horizontal. Observe que cuando, la función nuevamente toma el valor. En el primer ejemplo la base de la función eponencial es un número maor que uno la función ehibe un comportamiento creciente. En este ejemplo la base es un número entre cero uno, de tal forma que su comportamiento es decreciente. Con base en lo estudiado previamente, al generalizar se logra definir la función eponencial de la forma que se presenta a continuación. FUNCIÓN EXPONENCIAL Una función eponencial de base a se define de los reales a los reales positivos, de tal forma que esta base debe ser un número positivo diferente de uno de cero, su grafica presenta una asíntota horizontal en. La función se define de la forma siguiente: Donde Observe que la base no puede ser cero o uno, a que en estos casos se obtienen funciones constantes: & Para todo valor de De igual forma, la base no puede ser un número negativo, a que podría pasar lo siguiente:

3 Funciones Eponencial logarítmica Las graficas típicas de la función eponencial se muestran a continuación: GRAFICAS TÍPICAS DE FUNCIONES EXPONENCIALES Si solo si Pares ordenados característicos: Si solo si Pares ordenados característicos: Las graficas que se muestran corresponden a los casos típicos de una función eponencial básica, en las que se observan los puntos característicos, que son aquellos puntos por los que siempre pasará la grafica de una función eponencial básica, independientemente de su base. A continuación se justifican estos puntos. PUNTOS CARACTERÍSTICOS DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL. Par ordenado: Razón:. Par ordenado: Razón: Las formas básicas de la función eponencial pueden sufrir transformaciones como las estudiadas previamente, es decir se pueden trasladar, estirar, encoger reflejar, tanto horizontalmente como verticalmente. Además, en el álgebra de funciones deben satisfacerse las lees de potencias, las cuales se resumen a continuación: LEYES DE POTENCIAS Sea a un número real positivo, diferente de cero de uno, mientras que n m números naturales, entonces se debe cumplir que: ) ) ) ) 5) 6) 7) 8) 9)

4 Funciones Eponencial logarítmica. FUNCIÓN LOGARÍTMICA La función logarítmica se puede definir como la función inversa de la función eponencial, cuo dominio son todos los reales positivos rango todos los reales, es decir: FUNCIÓN LOGARITMO La función logaritmo de base a es la inversa de una función eponencial de la forma forma siguiente:, definida de la Donde La grafica de una función logaritmo presenta asíntota vertical en. Las graficas típicas de una función logarítmica se presentan a continuación: GRAFICAS TÍPICAS DE FUNCIONES LOGARÍTMICAS Si solo si Pares ordenados característicos: Función creciente Si solo si Pares ordenados característicos: Función decreciente La función logaritmo es la inversa de la función eponencial no siempre resulta fácil entender que es o para qué sirve un logaritmo. La siguiente definición los siguientes ejemplos audaran a comprender mejor. INTERPRETACIÓN DE LOGARITMO El logaritmo de base a con argumento cumple con la siguiente propiedad: Siempre cuando Es decir, el valor obtenido de un logaritmo es el eponente al que debe elevarse la base para obtener el valor del argumento.

5 Funciones Eponencial logarítmica 5 EJEMPLO :. Razón:. Razón:. Razón: Calcular logaritmos como el del ejercicio anterior no siempre resulta tan evidente, pero puede aplicar la definición de logaritmo para poder resolver. Si no está seguro del valor del logaritmo, asuma un valor no definido de la forma siguiente: Por interpretación de logaritmo, se sabe que es el número al que debe elevarse la base para obtener el argumento, entonces: base 5: Como la base de la epresión eponencial el valor del argumento son múltiplos de 5, se reescriben como potencias de La función eponencial es una función uno a uno en la última igualdad se tienen dos epresiones eponenciales de base 5, la única forma en que estas epresiones puedan ser iguales es que los eponentes sean iguales, por tanto: Como consecuencia: EJERCICIOS: Por interpretación de logaritmo encuentre el valor de los siguientes logaritmos: Con base en lo anterior es fácil comprender los puntos característicos de la grafica de la función logaritmo. PUNTOS CARACTERÍSTICOS DE LA FUNCIÓN LOGARITMO. Par ordenado: Razón:. Par ordenado: Razón:

6 Funciones Eponencial logarítmica 6 estas: La función logaritmo cumple con tres sencillas lees, las cuales están fundamentadas en las lees de eponentes, siendo LEYES DE LOGARITMOS Sean valores reales positivos diferentes de cero, mientras que una cantidad positiva diferente de cero de uno:. Razón: El logaritmo del producto de dos o más factores, es igual a la suma de los logaritmos de los factores.. Razón: El logaritmo de un cociente, es igual a la suma de los factores del numerador menos los logaritmos de los factores del denominador.. Razón: El logaritmo de una potencia, es igual al eponente de la potencia multiplicado por el logaritmo de la base de la potencia.. FUNCIONES ESPECIALES. FUNCIÓN EXPONENCIAL NATURAL En modelos de crecimiento o decrecimiento continuo en el tiempo, es usual utilizar la función eponencial natural, cua base es un número irracional llamado número neperiano que se denota por e ; el valor de este número se deduce del coeficiente de la fórmula de interés compuesto, cuando no importando cual es la tasa de interés sabiendo que la misma varia en, se aumenta el número de capitalizaciones al año a días, minutos, segundos, fracciones de segundo, etc; es decir, se capitaliza de forma continua de tal forma que se hace crecer n. En esta situación, el coeficiente tiende a tomar el valor de un número irracional el cual es aproimadamente.78888, que es el valor de e. Por ser una cantidad maor que, su grafica tiene comportamiento creciente cumple con todas las propiedades de la función eponencial. Se define de la forma siguiente:. FUNCIÓN LOGARITMO NATURAL Como es de esperar, esta es la función inversa de la función eponencial natural, por lo que el comportamiento de la grafica de esta función también es creciente. Sin embargo lo especial de esta función es que utiliza una nomenclatura particular. La función se define por:. LOGARITMO COMÚN En el siglo XIV era mu común utilizar notación científica para escribir cantidades mu grandes o mu pequeñas, a que se escribían en términos de potencias de base 0, por lo que al multiplicarse o dividirse solo debían sumarse o restarse los eponentes. Estudiosos de la matemática como John Napier (550 67) desarrollaron tablas para calcular logaritmos de base 0, a que era lo más usual para esa época no se acostumbraba a indicar la base del logaritmo. Ho en día se les denomina logaritmo común en general los tetos acostumbra a no indicar la base cuando se trata de un logaritmo de base 0.

7 Funciones Eponencial logarítmica 7. FÓRMULA DE CAMBIO DE BASE Una herramienta útil en el cálculo de logaritmos es la fórmula de cambio de base, particularmente cuando se utiliza una calculadora convencional que solo permite calcular logaritmos comunes o logaritmos naturales. También suele ser importante en la solución de ecuaciones en donde los logaritmos no tienen la misma base por ende, no es posible aplicar las lees correspondientes; en este caso los logaritmos se convierten a una base común b. 5. FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS, PROPIEDADES Como se ha indicado, las funciones eponenciales logarítmicas son inversas entre sí, por lo que deben cumplir con las propiedades estudiadas para este tipo de funciones.. Siempre que sea una cantidad positiva.. Siempre que sea una cantidad positiva. Resulta útil etender estas definiciones para la solución de ecuaciones eponenciales logarítmicas, además de agregar dos propiedades más derivadas del hecho de que estas funciones tienen una correspondencia uno a uno.. Siempre que sea una cantidad positiva.. Siempre que sea una cantidad positiva.. Sí, Entonces debe suceder que:. Sí, Entonces debe suceder que: Siempre cuando tengan como rango a los reales positivos sin incluir el cero. Serie de ejercicios Para una función básica de la forma, en cada uno de los ejercicios siguientes se le pide graficar una función transformada, según se indica en cada caso. Para el efecto, se le pide seguir cada uno de los siguientes pasos. A. Según sean las transformaciones requeridas, escriba la ecuación que corresponda. B. Grafique la función transformada con línea continúa. C. Con línea discontinua grafique la función básica. D. Con línea discontinua delgada, trace la asíntota horizontal el eje vertical trasladado (si fuera el caso). E. Identifique los puntos en la función básica, luego identifique sus puntos correspondientes en la función transformada para verificar que su ecuación es correcta.. Para, transfórmela trasladándola dos unidades hacia la izquierda unidades hacia arriba.. Para, transfórmela trasladándola tres unidades hacia la derecha dos unidades hacia abajo.

8 Funciones Eponencial logarítmica 8. Para, refléjela verticalmente estírela verticalmente dos veces.. Para, refléjela horizontalmente, trasládela hacia la izquierda cuatro unidades hacia arriba dos. Para las graficas que se presentan a continuación, desarrolle lo siguiente: a) Escriba la ecuación que corresponda a la grafica. b) Indique el dominio rango de la función Serie de ejercicios Para una función básica de la forma, en cada uno de los ejercicios siguientes se le pide graficar una función transformada, según se indica en cada caso. Para el efecto, se le pide seguir cada uno de los siguientes pasos. A. Según sean las transformaciones requeridas, escriba la ecuación que corresponda. B. Grafique la función transformada con línea continúa. C. Con línea discontinua grafique la función básica. D. Con línea discontinua delgada, trace la asíntota vertical el eje horizontal trasladado (si fuera el caso). E. Identifique los puntos en la función básica, luego identifique sus puntos correspondientes en la función transformada para verificar que su ecuación es correcta.. Para, transfórmela trasladándola dos unidades hacia la izquierda unidades hacia arriba.. Para, transfórmela trasladándola tres unidades hacia la derecha dos unidades hacia abajo.. Para, refléjela verticalmente estírela verticalmente dos veces.

9 Funciones Eponencial logarítmica 9. Para, refléjela horizontalmente, trasládela hacia la izquierda cuatro unidades hacia arriba dos. 5. Para, encójala verticalmente a la mitad, trasládela hacia la izquierda dos unidades hacia abajo dos. 6. Para, refléjela verticalmente horizontalmente. Para las graficas que se presentan a continuación, desarrolle lo siguiente: a) Escriba la ecuación que corresponda a la grafica. b) Indique el dominio rango de la función

10 Funciones Eponencial logarítmica 0 MODELOS DE CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO En esta sección aprenderá a modelar problemas relacionados con crecimiento o decrecimiento poblacional, decaimiento radiactivo decrecimiento de la temperatura de acuerdo a la Le de enfriamiento de Newton. Este tipo de modelos está relacionado con un crecimiento o decrecimiento en el tiempo, el cual es una variable continua, por esta razón la modelación se hace utilizando la función eponencial natural.. MODELOS DE CRECIMIENTO O DECRECIMIENTO POBLACIONAL Cuando se habla de modelos de crecimiento o decrecimiento poblacional, no se refiere necesariamente a personas. El término población se utiliza de forma generalizada para nombrar poblaciones de: bacterias, árboles, especies animales, sustancias, medicamento en el torrente sanguíneo, entre otras. El modelo viene dado por la siguiente epresión: MODELOS DE CRECIMIENTO O DECRECIMIENTO Una población que eperimenta un crecimiento o decrecimiento eponencial, lo hace según el siguiente modelo: Donde:. es la población en un tiempo.. es la población inicial, es decir en. representa la tasa relativa de crecimiento, si su valor es positivo. Como consecuencia, en este caso el modelo es de crecimiento. representa la tasa relativa de decrecimiento, si su valor es negativo. Como consecuencia, en este caso el modelo es de decrecimiento 5. es el tiempo. DECAIMIENTO RADIOACTIVO Cuando una sustancia radiactiva es sometida a condiciones de medio ambiente, inmediatamente inicia un proceso de descomposición que es llamada desintegración radiactiva. Es decir la masa presente en el ambiente se reduce, decrece o simplemente decae la cantidad presente en un tiempo t. Las sustancias radiactivas se caracterizan por una propiedad llamada vida media, definida como el tiempo necesario para que la masa se reduzca a la mitad de la cantidad inicial. Las sustancias con vida media mu largas se utilizan para realizar dataciones, por ejemplo, el carbono se ha utilizado durante años en geología para estimar el tiempo de formación de un estrato rocoso, en antropología o paleontología para estimar el tiempo que ha permanecido enterrado un cuerpo, entre otras aplicaciones.

11 Funciones Eponencial logarítmica MODELO DE DECAIMIENTO RADIOACTIVO Si en el momento se tiene una masa de una sustancia radiactiva con vida media h, entonces, la masa presente en el tiempo, viene dada por: Donde: = tasa de decaimiento radiactivo. LEY DE ENFRIAMIENTO DE NEWTON Cuando un objeto o cuerpo ha estado sometido a una fuente de calor ha alcanzado una temperatura, para luego ser sacado de esta fuente colocarse en otro medio, se produce inmediatamente un proceso de enfriamiento. Si en un recipiente se pone agua a hervir, al servir agua en una tasa usted observará que el agua en la tasa inicia un proceso de enfriamiento, pero hasta que temperatura se enfriará? Podría enfriarse el agua hasta congelarse? La respuesta es que el agua se enfriará hasta alcanzar aproimadamente la temperatura del medio ambiente que rodea el agua, denotada por. Esto indica que la máima cantidad de calor que podría perderse es la diferencia entre la temperatura inicial la temperatura del medio ambiente, denotada por No todos los cuerpos u objetos se enfrían al mismo ritmo, cada cuerpo tiene una propiedad que se llama tasa de pérdida de calor, denotada por. MODELO DE LA LEY DE ENFRIAMIENTO DE NEWTON Si en el momento un cuerpo u objeto es sacado de su fuente de calor cuando ha alcanzado una temperatura, se inicia un proceso de enfriamiento al ser sometido a las condiciones del medio ambiente con temperatura, de tal forma que la temperatura en el tiempo, viene dada por: Donde es la tasa de pérdida de calor, la cual depende del objeto o cuerpo. La diferencia máima de calor que es posible perder, viene dada por:.

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