Profr. Efraín Soto Apolinar. Función exponencial

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1 Función eponencial La función eponencial viene de la generalización de la función polinomial. Si consideramos la función: =, por ejemplo, cabe preguntarnos, «cómo se comportaría la función si cambiamos de lugar la base el eponente?» Es decir, si escribimos: =, obtenemos otra función que es completamente diferente a la función =. Vamos a estudiar este tipo de funciones. Concepto de función eponencial La función eponencial se define a partir de la motivación anterior. La única diferencia consiste en que la base no debe necesariamente ser. Puede ser cualquier constante positiva diferente de cero o uno. Función eponencial Una función f es eponencial si se puede epresar en la forma: f () = k a Definición donde a R es la base de la función eponencial, es maor a cero distinta a uno. Observa que si a = 0, entonces a = 0, independientemente del valor que le asignemos a. De manera semejante, si a =, se sigue que a = para todo. Las siguientes funciones son eponenciales. Ejemplo = = / = = 0 = π = a ( ), donde a es un número real. Profesor: Eplique por qué la base debe ser un número positivo. Observa que el valor de la base puede ser cualquier número real positivo. No necesariamente debe ser un número entero. Grafica la función eponencial: Calcula su dominio su rango. = Ejemplo Podemos tabular algunos valores para calcular los valores que le corresponden a : /

2 La gráfica es inmediata a partir de la información anterior: = 0 Como siempre es posible calcular el valor de para cualquier valor de, tenemos que el dominio de esta función es el conjunto de todos los números reales. Observa que la gráfica corta al eje en el punto (0, ). También es interesante ver que independientemente del valor de los valores de siempre son positivos. Además, nunca se hace cero. Por qué? Entonces, el rango de esta función es el conjunto de todos los números reales positivos. También es importante notar que los valores de son siempre crecientes. Es decir, conforme crece, los valores de crecen más. En el ejemplo anterior el eponente era positivo, por eso los valores de crecen. Cuando el eponente cambia de signo, los valores de decrecen. Ejemplo Grafica la función: Calcula su dominio contradominio. = De nuevo, hacemos una tabulación de diferentes valores de : /

3 = 0 Observa que al cambiar el signo, el orden de los valores de se invierten con respecto a la gráfica de la función anterior. Geométricamente esto representa una refleión respecto del eje. En realidad, eso es ocasionado por el cambio de signo del eponente. Observa que de nuevo, la gráfica de la función corta al eje en el punto (0, ). Gracias a las lees de los eponentes, podemos escribir: = = = = ( ) Qué pasará si dilatamos la gráfica de la función al multiplicarla por?, cuál será la ordenada al origen de esta gráfica? En el siguiente ejemplo vamos a responder estas preguntas. Grafica la función: = Ejemplo Esta función se obtuvo multiplicando por la anterior. Geométricamente esto equivale a una dilatación vertical. La gráfica cambia en que se «estiró» tres veces en la dirección vertical. /

4 = 0 De nuevo, el dominio de esta función es el conjunto de los números reales. El contradominio es el conjunto de todos los números reales positivos. Gracias a las lees de los eponentes, podemos escribir: ( ) = = = ( ) = ( ) Como puedes ver, la gráfica de la función eponencial se comporta de acuerdo al signo del eponente, pero también está afectada por el valor de la base. Grafica en un solo sistema de ejes coordenados las siguientes funciones eponenciales: Ejemplo = = = = = = Podemos tabular para obtener tablas para apoarnos en la graficación de las funciones. /

5 = 0 Observa que todas las gráficas de estas funciones cortan al eje en el mismo punto. Se incluó en la gráfica de la función = que corresponde al caso que no tiene variación, es decir, ni crece ni decrece. Cómo puedes asegurar que nunca se hace cero? Recuerda que la definición de potencia viene de la multiplicación repetida de la base. Observa que para que si a = 0, entonces no importa cuántas veces multipliques el número a por sí mismo, siempre vamos a obtener un valor distinto de cero. También debes recordar que a 0 = para cualquier base a = 0. Para que el producto de dos números sea cero, se requiere que al menos uno de ellos sea cero. De otra forma, el producto será diferente de cero. Entonces, independientemente del valor de, el resultado de calcular a = 0 para cualquier a = 0. Y para cualquier = 0 se cumple que 0 = 0. De manera semejante, para cualquier se cumple que =. Porque no importa cuántas veces multipliquemos el número por sí mismo, siempre obtenemos. Por eso se ecluen estas bases de la definición de función, pues carecen de interés. Sus gráficas son demasiado sencillas: son rectas horizontales. Profesor: Sugiera repasar las lees de los eponentes caso necesario. en /

6 Créditos Todo debe hacerse tan simple como sea posible, pero no más. Albert Einstein Este material se etrajo del libro Matemáticas I escrito por Efraín Soto Apolinar. La idea es compartir estos trucos para que más gente se enamore de las matemáticas, de ser posible, mucho más que el autor. Autor: Efraín Soto Apolinar. Edición: Efraín Soto Apolinar. Composición tipográfica: Efraín Soto Apolinar. Diseño de figuras: Efraín Soto Apolinar. Productor general: Efraín Soto Apolinar. Año de edición: 00 Año de publicación: Pendiente. Última revisión: 0 de agosto de 00. Derechos de autor: Todos los derechos reservados a favor de Efraín Soto Apolinar. Méico. 00. Espero que estos trucos se distribuan entre profesores de matemáticas de todos los niveles sean divulgados entre otros profesores sus alumnos. Este material es de distribución gratuita. Profesor, agradezco sus comentarios sugerencias a la cuenta de correo electrónico: /

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