Características de funciones que son inversas de otras

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1 Características de funciones que son inversas de otras Si f es una función inyectiva, llamamos función inversa de f y se representa por f 1 al conjunto. f 1 = a, b b, a f} Es decir, f 1 (x, y) = { x = f(y) } Si y es el dominio de f. De la definición se prosigue inmediatamente, que el domino de la función inversa f 1 es el rango de f. También es fácil observar que f 1 a = b es equivalente a decir que f b = a. Para determinar si una función tiene inversa tenemos que observar sus pares y ver si es inyectiva. Se determina de la siguiente forma: Cuando la función viene dada por una lista de pares. Cuando la función viene definida por una propiedad, se complicara y no siempre se determinara si la función tiene inversa. Mediante la representación gráfica. Basta con observar que la función se inyectiva. Ejemplo. Determinar si la función f x = x 2 2 es inyectiva. Solución: primero elaboramos una tabla de pares ordenados:

2 Se puede ver que en las líneas horizontales que atraviesan 1 y 3 cortan en más de un punto por lo tanto, y se repiten esto nos indica que no es inyectiva. Forma geométrica y algebraica, la inversa de una función Los pasos requeridos para encontrar la forma algebraica de la inversa de una función, son los siguientes: 1. Comprobar que la función es biyectiva. 2. Escribir la función colocando en lugar de f(x) una y. 3. Despejar la variable x de la función. 4. Reescribir ésta última cambiando la x por la y, y viceversa. 5. Representar la y como. f 1 (x) Ejemplo 1. Encontrar la función inversa de f x = 2x 4 Lo primero que se debe hacer, es comprobar que es biyectiva, y esto se hace utilizando las rectas horizontales en su gráfica. 2

3 Toda función lineal es biyectiva, tanto el dominio como el rango son los números reales ya las rectas horizontales la cortan una sola vez. Ahora, se expresa la función como y = 2x 4, para poder despejar la variable x. El siguiente paso consiste en cambiar las variables, reescribiendo la función de la siguiente forma. Por último, se representa la variable y como f 1 (x), obteniéndose de esta forma la función inversa. Ejemplo 2. La función inversa f x = x Esta función cuadrática describe una parábola con ramas hacia arriba, como se muestra en la siguiente imagen y al trazarle rectas horizontales, se comprueba que la cortan más de una vez en todos los puntos menos en su vértice, por lo tanto, no es inyectiva y por consecuencia tampoco es biyectiva. 3

4 Si se traza una curva simétrica con respecto a la función identidad, de esta función, se obtiene la siguiente gráfica. Se obtiene una curva que no es función, porque aun valor de x le corresponden 2 de y, también esto se puede comprobar al trazar una recta vertical y verificar que corta a la función en dos puntos. Es por ello que un requisito indispensable que se debe comprobar para obtener la función inversa, es que sea biyectiva, es decir, que sea inyectiva y sobreyectiva. Siempre que una función no sea inyectiva, al quererla invertir, se obtienen relaciones, no funciones. Aunque una función no sea inyectiva, se puede acotar a un intervalo que sí lo sea, esto es, sólo considerar aquellos valores de x en los que la función es inyectiva, se puede decir que se restringirá el dominio, si antes esta función tenía como domino 4

5 todos los números reales, ahora se puede considerar el dominio de los números no negativos, estos se describe: Entonces, con ello se obtiene sólo la mitad derecha de la función, como se ve en la siguiente gráfica. Ahora se puede obtener la función inversa. f x = x Recordando que primero se debe realizar el cambio de notación. y = x Posteriormente despejamos la variable x. Como se puede observar en el despeje, se obtienen dos funciones, esto es válido para cualquier x, pero como en este caso las x están restringidas a no ser negativas, entonces sólo se elige la función irracional de signo positivo fuera del radical. 5

6 x = y 1 A continuación se renombran las variables, intercambiando x por y. y = x 1 De esta forma se obtiene la función inversa. f 1 x = x 1 Funciones valor absoluto, constante, identidad, y escalonada En el curso de matemáticas III se abordó el concepto de valor absoluto. Como se sabe éste representa mediante dos líneas como x, y se lee valor absoluto de x. Ahora definiendo el valor absoluto como una función tenemos que: La función de valor absoluto f x = x se define como: Esta función está definida como la distancia que existe entre el 0 y el número en cuestión. Observado las dos partes en las que está compuesta la función valor absoluto se concluye que son dos rectas, una con pendiente negativa y la otra con pendiente positiva 6

7 Función -x x Condicionante x < 0 x 0 Representación (, 0) (0, ) por intervalo Representación gráfica x -x x x En las tablas anteriores más claramente que se sustituye un número negativo, éste se multiplica por menos para convertirlo en positivo y si es positivo se deja igual. Posteriormente, nos será necesario realizar todo el proceso de separación de la función, con sólo sustituir en el valor absoluto se obtendrá la gráfica de la función, pero siempre es necesario visualizar de dónde proviene el valor absoluto. Enseguida se sustituyen los puntos, en la figura de la tabla notara que hay un hueco en el punto (0, 0), en el rango de x, en el rango de x, el punto está lleno en (0, 0), por lo tanto le da continuidad a la función. Su gráfica queda de la siguiente manera: 7

8 Ejemplo. Graficar la función f x = x 3 + 5, además, encontrar su dominio y rango. Solución: Se usa la tabla para determinar las coordenadas de los puntos por donde pasa la función, se recomienda graficar los valores de la izquierda y utilizando la función de la derecha para despejar obteniendo el resultado que se muestra a la derecha, debido a que este al sustituirlo en la función hace cero dentro del valor absoluto. La gráfica queda de la siguiente manera: Su dominio y rango son: 8

9 La función escalonada es la función cuya gráfica está formada por segmentos horizontales de rectas parecidos a escalones. Ejemplo. De la siguiente función, encontrar su dominio y rango. En esta función no es necesario utilizar tablas ni sustitución, ya que las partes por las que está formada son funciones constantes. Para todos, las x menores que cero, se graficará una recta horizontal a la altura de -1 y para las mayores iguales a cero, se trazará una recta horizontal a la altura de uno. Su domino son todos los números reales, debido a que los intervalos de cada una de las partes contiene a todos los números reales, (, 0) (0, ) en cuanto al rango, sólo son dos valores para los que existe la función, -1 y 1, en este caso no se utiliza paréntesis ni corchetes, porque no son intervalos, son dos elementos, por lo tanto se encierran entre llaves, aquí no importa el orden el cual se acomoden los elementos del rango. 9

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